CN115016119A - 基于改进w-w方程的离轴三反自由曲面系统设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于改进W‑W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，涉及光学系统设计领域；对传统只适用于同轴系统的W‑W方程法在系统光线表达式的推导上做出改进，通过几何推导，改进后的W‑W方程法可对离轴三反系统中的光线精确表达；在光线关系的建立上做了改进，通过引入光学旋转矩阵，改进后在离轴系统条件下，对目标自由曲面的入射光线、出射光线和法线建立起数学联系。本发明将W‑W方程法扩展到离轴三反系统初始结构的设计中，扩大了W‑W方程法的使用范围，简单有效地根据系统成像要求和反射镜的位置关系设计出离轴三反自由曲面系统的初始结构，同时保证设计的光学系统结构简单、无像散。

Description

基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法

技术领域

本发明涉及光学系统设计领域，尤其涉及基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法。

背景技术

目前，在自由曲面光学系统初始结构的设计方面，现有方法为SMS设计法、CI方法和W-W偏微分方程法。

SMS设计法是基于费马定理和边缘光线理论，根据入射波前和出射波前的关系，求解两个或以上的自由曲面。

CI方法是根据物像关系，先依次对每个待求自由曲面进行初步的逐点构建，再对系统曲面进行多次迭代，最终得到自由曲面系统。

W-W(Wassermann-Wolf)偏微分方程法与SMS设计法和CI方法相比，具有设计的光学系统结构简单、保证光束无像散性等优点。其原理是：设定系统满足正弦条件，根据折射、反射定律建立待求自由曲面上每一点处入射光线、出射光线和法线的数学关系；通过微分几何知识和待求的两个自由曲面的位置关系构建关于两个待求自由曲面的偏微分方程组；最后，对此方程组数值求解，得到自由曲面上的点并进行拟合，从而获得自由曲面光学系统的初始结构。

但是W-W偏微分方程法仍然存在一定的局限性。W-W偏微分方程法公式的推导过程是建立在同轴光学系统的情况下，严重依赖同轴系统的光线和光轴之间的关系。而在离轴光学系统中，各镜面元件的光轴并不重合，传统W-W偏微分方程法的公式无法正确描述离轴光学系统的光线，因此不适用于设计离轴光学系统。

发明内容

为解决现有技术的不足，本发明提供一种基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，通过对W-W偏微分方程法进行改进，设计出离轴三反自由曲面系统的初始结构。

为解决上述技术问题，本发明所采取的技术方案是：

一种基于改进W-W(Wassermann-Wolf)方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，包括以下步骤：

步骤1：确定入射光线参量t和出射光线参量t′满足正弦定理，如式(1)所示：

t＝f sin t′ (1)

其中，f为系统的焦距；

步骤2：从物空间进行光线追迹，得出次镜入射光线s的孔径角U和s在次镜坐标系下，Y方向的高度h的表达式，如式(2)所示：

其中：

其中，r₁为主镜的曲率半径；q₁和q₂分别为主镜和次镜的倾斜角度；d₁为主镜中心点与次镜中心点间距离；A和B分别为s与次镜坐标系Y轴的交点和次镜中心点的Z方向距离和Y方向距离；

步骤3：从像空间进行光线追迹，得出三镜出射光线s′在像面坐标系下的孔径角U′和s′在三镜坐标系下，Y方向的高度h′的表达式，如式(5)所示：

其中：

C＝-d₃cos(-2q₁+2q₂-q₃) (6)

其中，q₃为三镜的倾斜角度；d₃为三镜中心点与像面中心点间距离；C为三镜中心点与像面中心点在三镜坐标系下的Z方向距离；

步骤4：推导次镜离散点P和三镜离散点P′两点间距离D的表达式

步骤4.1：s^*作为次镜出射光线三镜入射光线；通过几何关系推导s^*在系统Z方向长度D_z的表达式，如式(7)-(9)：

D_z＝d₂cos(-2q₁+2q₂)+ZP₂-ZP₃ (7)

ZP₂＝z[tan(-U+q₂)sin(-q₂)-cos(-q₂)]+hsin(-q₂) (8)

ZP₃＝z′[tan(-U′-2q₁+2q₂-q₃)sin(-q₃)-cos(-q₃)]+h′sin(-q₃) (9)

其中，d₂为次镜中心点与三镜中心点间距离；z为P在次镜坐标系下的Z轴坐标；z′为P′在三镜坐标系下的Z轴坐标；ZP₂为P与次镜中心点在系统Z方向的距离；ZP₃为P′与三镜中心点在系统Z方向的距离；

步骤4.2：推导s^*在系统Y方向长度D_y的表达式，如式(10)-(12)：

D_y＝d₂sin(-2q₁+2q₂)+YP₂-YP₃ (10)

YP₂＝z[tan(-U+q₂)cos(-q₂)+sin(-q₂)]+hcos(-q₂) (11)

YP₃＝z′[tan(-U′-2q₁+2q₂-q₃)cos(-q₃)+sin(-q₃)]+h′cos(-q₃) (12)

其中，YP₂为P与次镜中心点在系统Y方向的距离；YP₃为P′与三镜中心点在系统Y方向的距离；

步骤4.3：通过勾股定理，得到D的表达式：

步骤5：建立s、s′和s^*的数学关系式

步骤5.1：系统坐标系下，s、s′和s^*的表达式，如式(14)-(16)所示：

s＝(0,-sin(-U),-cos(-U)) (14)

s′＝(0,-sin(-U′-2q₁+2q₂-2q₃),-cos(-U′-2q₁+2q₂-2q₃)) (15)

步骤5.2：将次镜坐标系下的s和s^*定义为s₂和s₂ ^*，其表达式，如式(17)-(19)所示：

s₂＝E₂s^T (17)

s₂ ^*＝E₂(s^*)^T (18)

其中，E₂为次镜基准下的旋转矩阵；

步骤5.3：在次镜坐标系下，基于shell定律，建立s₂和s₂ ^*的关系式，如式(20)所示：

其中：

其中，y为P在次镜坐标系下的Y轴坐标；τ₂为次镜坐标系下，次镜在P点处的单位法向量；；

步骤5.4：将三镜坐标系下的s′和s^*定义为s′₃和s₃ ^*，其表达式，如式(22)-(24)：

s′₃＝E₃(s′)^T (22)

其中，E₃为三镜基准下的旋转矩阵；

步骤5.5：在三镜坐标系下，基于shell定律，建立s′₃和s₃ ^*的关系式，如式(25)所示：

其中：

其中，y′为P′在三镜坐标系下的Y轴坐标；τ₃为三镜坐标系下，三镜在P′处的单位法向量；

步骤6：建立P和P′关于次镜和三镜的偏微分方程组；

步骤6.1：基于几何关系，得到离轴系统中P和P′分别在次镜坐标系和三镜坐标系的Y轴坐标y和y′，如式(27)、式(28)所示：

y＝h-ztan(U-q₂) (27)

y′＝h′-z′tan(U′+2q₁-2q₂+q₃) (28)

步骤6.2：y、y′、h、h′、z、z′、U和U′均为含参量t或t′的表达式，将步骤6.1中的等式两边分别对t和t′微分，如式(29)、式(30)所示：

步骤6.3：将步骤6.2的关系式代入到步骤5.3和步骤5.5的关系式中，消去dy/dt和dy′/dt′，得到P和P′关于次镜和三镜的偏微分方程组，如式(31)、式(32)所示：

步骤7：通过龙格库塔法求解步骤6.3中的偏微分方程组，得到次镜和三镜曲面上的离散点；

步骤8：将求得的次镜和三镜的离散点导入到matlab的cftool中进行拟合，得到自由曲面；其中拟合曲面类型为zernike自由曲面，如式(32)所示：

其中，Z为曲面各点的矢高，c为曲率半径，ρ为极坐标形式下的径向高度，k为圆锥系数，C_j为第j项zernike项的系数，Z_j为第j项zernike项。

采用上述技术方案所产生的有益效果在于：

1、本发明对传统只适用于同轴系统的W-W方程法在系统光线表达式的推导上做了改进，通过几何推导，改进后的W-W方程法可对离轴三反系统中的光线精确表达；

2、本发明对传统只适用于同轴系统的W-W方程法在光线关系的建立上做了改进，通过引入光学旋转矩阵，改进后的W-W方程法可在离轴系统条件下，对目标自由曲面的入射光线、出射光线和法线建立起数学联系，可以应用到离轴三反系统设计中，适用范围更加广泛。

3、本发明的目的是提出一种基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，该方法最大的优势是将W-W方程法扩展到离轴三反系统初始结构的设计中，扩大了W-W方程法的使用范围，可以简单有效地根据系统成像要求和反射镜的位置关系设计出离轴三反自由曲面系统的初始结构，同时保证设计的光学系统结构简单、无像散。

附图说明

图1为本发明实施例提供的基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法流程图；

图2为本发明实施例提供的离轴三反W-W偏微分方程法模型示意图；

图3为本发明实施例提供的对次镜、三镜离散点间距离D求解的示意图；

图4为本发明实施例提供的离轴三反系统三维布局图；

图5为本发明实施例提供的系统MTF曲线效果图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。

本实施例中，通过设计的离轴三反光学自由曲面光学系统进行验证，本实施例的设计要求为，入瞳为60mm，焦距为350mm，主镜曲率半径r₁为-1286mm，主镜倾斜角度q₁为-10.2°，次镜倾斜角度q₂为-8.6°，三镜倾斜角度为-3.412°，主镜中心点与次镜中心点间距离d₁为-249.385mm，次镜中心点与三镜中心点间距离d₂为210.296mm，三镜中心点与像面中心点间距离d₃为-228.516mm。

如图1所示，本实施例中一种基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，包括以下步骤，如图2所示本发明实施例提供的离轴三反W-W偏微分方程法模型示意图；

步骤1：确定入射光线参量t和出射光线参量t′满足正弦定理，如式(1)所示：

t＝f sin t′ (1)

其中，f为系统的焦距；

步骤2：从物空间进行光线追迹，得出次镜入射光线s的孔径角U和s在次镜坐标系下，Y方向的高度h的表达式，如式(2)所示：

其中：

其中，r₁为主镜的曲率半径；q₁和q₂分别为主镜和次镜的倾斜角度；d₁为主镜中心点与次镜中心点间距离；A和B分别为s与次镜坐标系Y轴的交点和次镜中心点的Z方向距离和Y方向距离；在计算中心光线下方的离散点时，h的符号为负；

步骤3：从像空间进行光线追迹，得出三镜出射光线s′在像面坐标系下的孔径角U′和s′在三镜坐标系下，Y方向的高度h′的表达式，如式(5)所示：

其中：

C＝-d₃cos(-2q₁+2q₂-q₃) (6)

其中，q₃为三镜的倾斜角度；d₃为三镜中心点与像面中心点间距离；C为三镜中心点与像面中心点在三镜坐标系下的Z方向距离；

图3为本发明实施例中对次镜、三镜离散点间距离D求解的示意图；

步骤4：构建次镜离散点P和三镜离散点P′两点间距离D的表达式；

步骤4.1：s^*作为次镜出射光线三镜入射光线；构建s^*在系统Z方向长度D_z的表达式，如式(7)-(9)：

D_z＝d₂cos(-2q₁+2q₂)+ZP₂-ZP₃ (7)

ZP₂＝z[tan(-U+q₂)sin(-q₂)-cos(-q₂)]+hsin(-q₂) (8)

ZP₃＝z′[tan(-U′-2q₁+2q₂-q₃)sin(-q₃)-cos(-q₃)]+h′sin(-q₃) (9)

其中，d₂为次镜中心点与三镜中心点间距离；z为P在次镜坐标系下的Z轴坐标；z′为P′在三镜坐标系下的Z轴坐标；ZP₂为P与次镜中心点在系统Z方向的距离；ZP₃为P′与三镜中心点在系统Z方向的距离；

步骤4.2：构建s^*在系统Y方向长度D_y的表达式，如式(10)-(12)：

D_y＝d₂sin(-2q₁+2q₂)+YP₂-YP₃ (10)

YP₂＝z[tan(-U+q₂)cos(-q₂)+sin(-q₂)]+hcos(-q₂) (11)

YP₃＝z′[tan(-U′-2q₁+2q₂-q₃)cos(-q₃)+sin(-q₃)]+h′cos(-q₃) (12)

其中，YP₂为P与次镜中心点在系统Y方向的距离；YP₃为P′与三镜中心点在系统Y方向的距离；

步骤4.3：通过勾股定理，得到D的表达式：

步骤5：建立s、s′和s^*的数学关系式；

步骤5.1：系统坐标系下，s、s′和s^*的表达式，如式(14)-(16)所示：

s＝(0,-sin(-U),-cos(-U)) (14)

s′＝(0,-sin(-U′-2q₁+2q₂-2q₃),-cos(-U′-2q₁+2q₂-2q₃)) (15)

步骤5.2：将次镜坐标系下的s和s^*定义为s₂和s₂ ^*，其表达式，如式(17)-(19)所示：

s₂＝E₂s^T (17)

s₂ ^*＝E₂(s^*)^T (18)

其中，E₂为次镜基准下的旋转矩阵；

步骤5.3：在次镜坐标系下，基于shell定律，建立s₂和s₂ ^*的关系式，如式(20)所示：

其中：

其中，y为P在次镜坐标系下的Y轴坐标；τ₂为次镜坐标系下，次镜在P点处的单位法向量；；

步骤5.4：将三镜坐标系下的s′和s^*定义为s′₃和s₃ ^*，其表达式，如式(22)-(24)：

s′₃＝E₃(s′)^T (22)

其中，E₃为三镜基准下的旋转矩阵；

步骤5.5：在三镜坐标系下，基于shell定律，建立s′₃和s₃ ^*的关系式，如式(25)所示：

其中：

其中，y′为P′在三镜坐标系下的Y轴坐标；τ₃为三镜坐标系下，三镜在P′处的单位法向量；

步骤6：建立P和P′关于次镜和三镜的偏微分方程组；

步骤6.1：基于几何关系，得到离轴系统中P和P′分别在次镜坐标系和三镜坐标系的Y轴坐标y和y′，如式(27)、式(28)所示：

y＝h-ztan(U-q₂) (27)

y′＝h′-z′tan(U′+2q₁-2q₂+q₃) (28)

步骤6.2：y、y′、h、h′、z、z′、U和U′均为含参量t或t′的表达式，将步骤6.1中的等式两边分别对t和t′微分，如式(29)、式(30)所示：

步骤6.3：将步骤6.2的关系式代入到步骤5.3和步骤5.5的关系式中，消去dy/dt和dy′/dt′，得到P和P′关于次镜和三镜的偏微分方程组，如式(31)、式(32)所示：

步骤7：通过龙格库塔法求解步骤6.3中的偏微分方程组，得到次镜和三镜曲面上的离散点；中心光线上半部分的离散点和下半部分的离散点需要分开计算，本实施例中t的范围为[0,33]和[-33,0]，龙格库塔法的步长为3.75；

步骤8：将求得的次镜和三镜的离散点导入到matlab的cftool中进行拟合，得到自由曲面；其中拟合拟合的曲面为zernike自由曲面，如式(32)所示：

其中，Z为曲面各点的矢高，c为曲率半径，ρ为极坐标形式下的径向高度，k为圆锥系数，C_j为第j项zernike项的系数，Z_j为第j项zernike项。

本实施例中，光学系统关于YOZ平面对称，仅使用zernike高次项中关于x的偶次项。其中x为离散点的X轴坐标。本实施例中使用了zernike曲面的第1、3、4、5、8、9、11、12、15和16项。通过拟合，次镜和三镜的参数如表1所示。

表1.次镜和三镜的曲面参数表

通过该方法设计得到的离轴三反自由曲面光学系统系统布局如图4所示，可以看出光线基本都聚焦在像点上。系统的MTF曲线效果如图5所示，MTF性能在截止频率50lp/mm时大于0.25，没有出现采样混叠，这证明了该初始系统性能较好，可用于后续优化的起点。

Claims (7)

1.一种基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤1：确定入射光线参量t和出射光线参量t′满足正弦定理，如式(1)所示：

t＝f sint′ (1)

其中，f为系统的焦距；

步骤2：从物空间进行光线追迹，得出次镜入射光线s的孔径角U和s在次镜坐标系下，Y方向的高度h的表达式；

步骤3：从像空间进行光线追迹，得出三镜出射光线s′在像面坐标系下的孔径角U′和s′在三镜坐标系下，Y方向的高度h′的表达式，

步骤4：推导次镜离散点P和三镜离散点P′两点间距离D的表达式；

步骤5：建立s、s′和s^*的数学关系式；

步骤6：建立P和P′关于次镜和三镜的偏微分方程组；

步骤7：通过龙格库塔法求解P和P′关于次镜和三镜的偏微分方程组，得到次镜和三镜曲面上的离散点；

步骤8：将求得的次镜和三镜的离散点导入到matlab的cftool中进行拟合，得到自由曲面。

2.根据权利要求1所述的基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，其特征在于：

所述Y方向的高度的表达式，如式(2)所示：

其中：

其中，r₁为主镜的曲率半径；q₁和q₂分别为主镜和次镜的倾斜角度；d₁为主镜中心点与次镜中心点间距离；A和B分别为s与次镜坐标系Y轴的交点和次镜中心点的Z方向距离和Y方向距离。

3.根据权利要求1所述的基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，其特征在于：所述Y方向的高度h′的表达式，如式(5)所示：

其中：

C＝-d₃cos(-2q₁+2q₂-q₃) (6)

其中，q₃为三镜的倾斜角度；d₃为三镜中心点与像面中心点间距离；C为三镜中心点与像面中心点在三镜坐标系下的Z方向距离。

4.根据权利要求1所述的基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，其特征在于：

所述步骤4具体包括：

步骤4.1：s^*作为次镜出射光线三镜入射光线，通过几何关系推导s^*在系统Z方向长度D_z的表达式，如式(7)-(9)：

D_z＝d₂cos(-2q₁+2q₂)+ZP₂-ZP₃ (7)

ZP₂＝z[tan(-U+q₂)sin(-q₂)-cos(-q₂)]+hsin(-q₂) (8)

ZP₃＝z′[tan(-U′-2q₁+2q₂-q₃)sin(-q₃)-cos(-q₃)]+h′sin(-q₃) (9)

其中，d₂为次镜中心点与三镜中心点间距离；z为P在次镜坐标系下的Z轴坐标；z′为P′在三镜坐标系下的Z轴坐标；ZP₂为P与次镜中心点在系统Z方向的距离；ZP₃为P′与三镜中心点在系统Z方向的距离；

步骤4.2：推导s^*在系统Y方向长度D_y的表达式，如式(10)-(12)：

D_y＝d₂sin(-2q₁+2q₂)+YP₂-YP₃ (10)

YP₂＝z[tan(-U+q₂)cos(-q₂)+sin(-q₂)]+hcos(-q₂) (11)

YP₃＝z′[tan(-U′-2q₁+2q₂-q₃)cos(-q₃)+sin(-q₃)]+h′cos(-q₃) (12)

其中，YP₂为P与次镜中心点在系统Y方向的距离；YP₃为P′与三镜中心点在系统Y方向的距离；

步骤4.3：通过勾股定理，得到D的表达式：

5.根据权利要求1所述的基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，其特征在于：

所述步骤5具体包括：

步骤5.1：系统坐标系下，s、s′和s^*的表达式，如式(14)-(16)所示：

s＝(0,-sin(-U),-cos(-U)) (14)

s′＝(0,-sin(-U′-2q₁+2q₂-2q₃),-cos(-U′-2q₁+2q₂-2q₃)) (15)

步骤5.2：将次镜坐标系下的s和s^*定义为s₂和s₂ ^*，其表达式，如式(17)-(19)所示：

s₂＝E₂s^T (17)

s₂ ^*＝E₂(s^*)^T (18)

其中，E₂为次镜基准下的旋转矩阵；

步骤5.3：在次镜坐标系下，基于shell定律，建立s₂和s₂ ^*的关系式，如式(20)所示：

其中：

其中，y为P在次镜坐标系下的Y轴坐标；τ₂为次镜坐标系下，次镜在P点处的单位法向量；

步骤5.4：将三镜坐标系下的s′和s^*定义为s′₃和s₃ ^*，其表达式，如式(22)-(24)：

s′₃＝E₃(s′)^T (22)

其中，E₃为三镜基准下的旋转矩阵；

步骤5.5：在三镜坐标系下，基于shell定律，建立s′₃和s₃ ^*的关系式，如式(25)所示：

其中：

其中，y′为P′在三镜坐标系下的Y轴坐标；τ₃为三镜坐标系下，三镜在P′处的单位法向量。

6.根据权利要求1所述的基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，其特征在于：

所述步骤6具体包括：

步骤6.1：基于几何关系，得到离轴系统中P和P′分别在次镜坐标系和三镜坐标系的Y轴坐标y和y′，如式(27)、式(28)所示：

y＝h-ztan(U-q₂) (27)

y′＝h′-z′tan(U′+2q₁-2q₂+q₃) (28)

步骤6.2：y、y′、h、h′、z、z′、U和U′均为含参量t或t′的表达式，将步骤6.1中的等式两边分别对t和t′微分，如式(29)、式(30)所示：

步骤6.3：将步骤6.2的关系式代入到步骤5.3和步骤5.5的关系式中，消去dy/dt和dy′/dt′，得到P和P′关于次镜和三镜的偏微分方程组，如式(31)、式(32)所示：

7.根据权利要求1所述的基于改进W-W方程的离轴三反自由曲面系统设计方法，其特征在于：

所述拟合曲面类型为zernike自由曲面，如式(32)所示：

其中，Z为曲面各点的矢高，c为曲率半径，ρ为极坐标形式下的径向高度，k为圆锥系数，C_j为第j项zernike项的系数，Z_j为第j项zernike项。

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