CN114818188A - 一种基于无隙共轭理论的滚插刀具安装设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于无隙共轭理论的滚插刀具安装设计方法，包括步骤：（1）、基于无隙啮合设计滚插刀具参数；（2）、利用粒子群优化算法求解滚插加工过程的啮合过程参数；（3）、计算滚插刀具的安装参数：轴交角和中心距。本发明设计合理，从无隙啮合原理出发，利用参数设计方程和粒子群算法求解迭代，通过啮合过程中的啮合角进行设计计算，从而得到所需设计的安装位置参数（轴交角和安装中心距），具有更高的准确定和适应性。在算法部分，将粒子群算法引入到滚插刀啮合过程的参数计算过程中，既能有效解决迭代敛散性的问题，也能进一步提高计算精度和速度。

Description

一种基于无隙共轭理论的滚插刀具安装设计方法

技术领域

本发明属于机床加工技术领域，特别涉及滚插刀具安装，具体为一种基于无隙共轭理论的滚插刀具安装设计方法。

背景技术

随着中国工业程度的提高，中国机械发展正迎来新的发展境遇，而齿轮加工制造在其中发挥着举足轻重的作用。上世纪开始，国外许多专家学者对于滚插加工理论进行了较为深入研究，并在数控机床上进行实践操作。Schmidt J.利用模拟实验，提出了适于车齿加工的新的工艺设计方法；VOLKER S等也研究了滚插加工的工艺工程，对于加工的可靠性给出了研究结果；Antoniadis A利用、CAD模拟滚插过程，对滚插加工的切屑进行了外形和切削力分析。Hartmut M等提出了一种新的车齿刀具，但是对于检测时的精度准确性要求较高，可管理性能差。Wear推出了全自动的滚插加工机床，是滚插加工的成功实践，但目前技术处于封闭，行业处于垄断状态；Gleason提出了强力滚插(Power Skiving)机床400PS、600PS等，成为机床加工行业的一个重大突破；Pittler设计的PV 601-1Y的滚插设备实现了高效率的多操作复合功能，能够大幅度的提高加工效率。虽然国内在该领域的研究取得了一定的成果，但是广泛应用于齿轮加工的生产实践还需要一定的努力。金精教授对车齿加工的工艺和原理进行了研究；娄本超等建立了剐齿的切削角模型，指出了加工参数对于刀具切削角的作用；陈新春和李佳设计了直齿车齿刀，开启了刀具设计新阶段，为后期的车齿刀设计提供了基础，缺少对于法面和端面的设计角度计算；西安交通大学的毛世名团队对于车齿刀的齿面给出了分析计算，并对齿形误差进行分析；郭二廓在对斜车齿刀的切削刃型计算中，对于初始计算滚插刀参数的牛顿迭代未作更多的说明；而后郑国等推出了无切削刃的刃形模型，给出了轮廓偏差与滚插刀具安装误差的适应性；杨亚蒙对减小刮齿的加工误差提出了新的模型，通过实例证明了该模型的有效性。

滚插齿加工作为新型的加工方式，具有加工精度高和加工效率较高的优点，就目前来看，国内对于研究滚插加工的专家学者较少，对于滚插加工的结构参数的完整设计和系统计算模型较少。国内研究起步较晚，虽然基于空间交错轴的齿轮啮合的基本原理，在滚插刀原理和设计等方面已经取得了一定的研究成果，但是对于空间交错轴啮合，现有技术并未给出滚插刀具实际安装位置的精密计算方法。

目前求解滚插刀具安装只是基于传动链和啮合要求给出安装位置，由于机加工中对毛坯进行加工，很难精确实现实验验证，难以保证其加工精度要求。

发明内容

本发明目的是提供一种基于无隙共轭理论的滚插刀具安装设计方法，从无隙啮合原理出发，利用参数设计方程和粒子群算法求解迭代，利用啮合过程中的啮合角进行设计计算，从而得到所需设计的安装位置，具有更高的准确定和适应性。

本发明是采用如下技术方案实现的：

一种基于无隙共轭理论的滚插刀具安装设计方法，包括如下步骤：

(1)、基于无隙啮合设计滚插刀具参数

1.1、滚插刀具和被加工工件(齿轮)的啮合线要与其两轴线的公垂线相交，满足交错轴螺旋齿轮的啮合条件，且设定法向(标准)模数m_n，滚插刀具和工件的端面压力角分别为α_t1、α_t2，滚插刀具和工件的设定螺旋角分别为β₁、β₂，滚插刀具和工件的基圆螺旋角分别为β_b1、β_b2，滚插刀具齿数z₁，工件齿数z₂，滚插刀具和工件的分度圆上法向齿厚分别为S_fn1、S_fn2，滚插刀具和工件的端面啮合角分别为α′_t1、α′_t2，(滚插刀具和工件)法向(标准)压力角α_n，以及需要求解的(滚插刀具和工件)法向啮合角α'_n。

则节圆法向齿厚分别为：(节圆法向齿厚是啮合过程中形成的齿厚，如图7所示)

S_jn1＝[S_fn1+m_nZ₁(invα_t1-invα′_t1)]cosα_n/cosα'_n (1)

S_jn2＝[S_fn2+m_nZ₂(invα_t2-invα′_t2)]cosα_n/cosα'_n (2)

节圆上的法向齿距：

p_jn＝S_jn1+S_jn2＝πm_ncosα_n/cosα'_n (3)

将S_jn1，S_jn2代入等式(3)：

πm_n＝S_fn1+S_fn2+m_nZ₁(invα_t1-invα'_t1)+m_nZ₂(invα_t2-invα'_t2) (4)

根据齿轮啮合，法向压力角α_n满足关系：sinα_tcosβ_b＝sinα_n，则法向啮合角α'_n满足：sinα′_tcosβ_b＝sinα'_n；α′_t是在推导公式时，统称了迭代过程中的端面啮合角α′_t1、α′_t2，α_t是在推导公式时，统称了迭代过程中的端面压力角α_t1、α_t2。

利用滚插刀具和工件的法向啮合角α′_n相等，则：

sinα′_t1cosβ_b1＝sinα'_n＝sinα′_t2cosβ_b2 (5)

可知：

则有

1.2、利用牛顿迭代法构建迭代式

由泰勒公式可知：啮合角函数f(α'_t)在某个初值

处展开泰勒级数

若取其部分线性前两项作为函数f(α'_t1)近似，则有关系式：

由此构建牛顿迭代式如下

逐次求解得迭代序列为：

最终求得近似根α'_t。

1.2.1、根据迭代原则构建工件(被加工齿轮)及滚插刀具的法向啮合角α'_n的函数迭代式

空间交错轴圆柱齿轮的无隙方程式满足的交错收敛式如下：

1.2.2、根据迭代原则构建滚插刀具的端面啮合角α'_t1的函数迭代式

由渐开线函数方程invα＝tanα-α，则常量F代出化简，令

则有：

代入迭代关系式(9)

1.2.3、利用空间啮合原理公式求解工件(被加工齿轮)的端面啮合角α'_t2

由上述公式计算工件的端面啮合角。

(2)、利用粒子群优化算法求解滚插加工过程的啮合过程参数

基于在j维空间下的粒子群最优路径搜索原理，利用其收敛迅速的特性，使其能够很快的完成初值优选，定义以下物理量：

第i个迭代初值在空间表示为L_(ij)＝[α'_i1,α'_i2,…,α'_ij]，其迭代路径的速度定义为V_(ij)＝[v'_i1,v'_i2,v'_i3,…,v'_ij]，规定单个初值最优迭代终值的位置为P_(ij)＝[α_i1,α_i2,α_i3,…,α_ij]，全局搜索最优位置为P_(gj)＝[α_g1,α_g2,α_g3,…,α_gj]；由于迭代初值是经过自身对于邻近初值的判定和自身的运动历史轨迹，选择最优的运行趋势和路径进行决策，因此能够提高其迭代速度。

若引入非负数学习因子m₁，m₂，则求出初值进行迭代的更新速度和位置表达式为

α'_i1(n+1)＝α'_i1(n)+V_(ij)(n) (18)

其中：r₁、r₂是介于0-1之间的随机数；惯性权系数

由最大和最小惯性权重

和

优选求出：

采用粒子群算法优选的初值进行牛顿迭代的计算具体步骤如下：

Step1：根据预设迭代精度初选迭代终值附近满足的定义域区间，并选取若干点进行离散处理；

Step2：求解初始化离散点的位置信息L_(ij)＝[α'_i1,α'_i2,α'_i3,…,α'_ij]和速度信息V_(ij)＝[v'_i1,v'_i2,v'_i3,…,v'_ij]；

Step3：判断迭代初值的适应值，将其位置信息和适应度信息储存在单个初值离散点的P_(ij)best＝[α_i1,α_i2,…,α_ij]，所有P_(ij)best中的优选个体储存在全局搜索最优位置为P_(gj)best＝[α_g1,α_g2,α_g3,…,α_gj]；

Step4：进行迭代运动并及时判定其位置和速度的更新信息，并在P_(ij)best中及时寻优，并替换为当前值后，比较当前的P_(gj)best和P_(ij)best，完成P_(gj)best的更新；

Step5：经过多次循环计算，直到达到预设的迭代精度要求，或者完成规定的迭代次数时，完成优选初值步骤后，转入牛顿迭代的计算，将给出相应迭代终值最优解。

法向(标准)压力角α_n和端面啮合角α′_t1、α′_t2分别通过Step1至Step5计算得出。

(3)、计算滚插刀具和被加工件的安装轴交角和加工中心距

3.1、滚插刀具进行加工时要使得滚插刀具的加工轴轴线与被加工工件的安装轴轴线要设定一定的倾斜角度值∑'进行安装后加工，根据空间无隙共轭啮合关系求出此时的安装轴交角为：

∑'＝β'₁±β'₂；

其中，β'₁、β'₂是滚插刀具和被加工件的节圆螺旋角，根据前述迭代求解的法向啮合角α'_n及滚插刀具和工件的基圆螺旋角β_b1、β_b2的关系式得出：

设定螺旋角(β)：斜齿轮的螺旋线的切线与通过切点的齿面母线之间所夹的锐角，称为螺旋角，此处特指预先给定的输入参数。

基圆螺旋角(β_b)是指在基圆柱上测定的螺旋角，也是给定参数。

节圆螺旋角(β')：在啮合过程中，在节平面上轴向平面和切平面间所成的角度，根据实际啮合角进行迭代计算。节圆啮合角是在啮合过程中出现的，区别于前述的滚插刀具和被加工件的设定螺旋角。

3.2、根据滚插刀具安装要求，为了使得滚插刀具与被加工件完成强制啮合以完成齿轮工件的切削加工需要对安装的中心距a'设计和求解，从而进行设计安装，使得滚插刀具安装在设定的中心距位置，以进行顺利切削。

根据空间关系可知滚插刀具加工轴轴线和被加工件安装轴轴线属于空间异面直线，定义两异面直线的最短距离为名义中心距，则计算安装中心距为：

其中d'₁为滚插刀具的节圆直径值；d'₂为被加工工件的节圆直径值，d_b1为滚插刀具的基圆直径值；d_b2为被加工工件的基圆直径值；d₁、d₂表示滚插刀具和被加工件的分度圆直径。

得以上述迭代出的端面啮合角α′_t1、α′_t2进行表示的安装的名义中心距为：

本发明设计合理，从无隙啮合原理出发，利用参数设计方程和粒子群算法求解迭代，通过啮合过程中的啮合角进行设计计算，从而得到所需设计的安装位置参数(轴交角和安装中心距)，具有更高的准确定和适应性。在算法部分，将粒子群算法引入到滚插刀啮合过程的参数计算过程中，既能有效解决迭代敛散性的问题，也能进一步提高计算精度和速度。

附图说明

图1表示滚插加工时滚插刀具安装参数(轴交角、安装中心距)示意图。

图2表示迭代优化算法最优适应度曲线。

图3表示迭代优化算法迭代切线以及求解结果。

图4表示滚插刀具加工外斜齿示意图。

图5表示分度圆上的法向齿厚示意图。

图6表示滚插刀具和工件的设定螺旋角和基圆螺旋角示意图。

图7表示啮合过程中形成的节圆法向齿厚示意图。

具体实施方式

下面对本发明的具体实施例进行详细说明。

一种基于无隙共轭理论的滚插刀具安装设计方法，包括如下步骤：

(1)、基于无隙啮合设计滚插刀具参数

1.1、为了确定滚插设计刀具和需要被加工的齿轮(工件)的啮合位置关系，需要设定一些必要的参数：其中滚插刀具和工件的啮合线要与其两轴线的公垂线相交，满足交错轴螺旋齿轮的啮合条件；且设定法向(标准)模数m_n，滚插刀具和工件的端面压力角分别为α_t1、α_t2，滚插刀具和工件的设定螺旋角分别为β₁、β₂，滚插刀具和工件的基圆螺旋角分别为β_b1、β_b2，滚插刀具齿数z₁，工件齿数z₂，分度圆上滚插刀具和工件的法向齿厚分别为S_fn1、S_fn2，滚插刀具和工件的端面啮合角分别为α′_t1、α′_t2，(滚插刀具和工件)法向(标准)压力角α_n，以及需要求解的(滚插刀具和工件)法向啮合角α'_n；

则节圆法向齿厚分别为：

S_jn1＝[S_fn1+m_nZ₁(invα_t1-invα′_t1)]cosα_n/cosα'_n (1)

S_jn2＝[S_fn2+m_nZ₂(invα_t2-invα′_t2)]cosα_n/cosα'_n (2)

节圆上的法向齿距：

p_jn＝S_jn1+S_jn2＝πm_ncosα_n/cosα'_n (3)

将S_jn1，S_jn2代入等式(3)：

πm_n＝S_fn1+S_fn2+m_nZ₁(invα_t1-invα'_t1)+m_nZ₂(invα_t2-invα'_t2) (4)

根据齿轮啮合，法向压力角α_n满足关系：sinα_tcosβ_b＝sinα_n，则法向啮合角α'_n满足：sinα′_tcosβ_b＝sinα'_n。

利用其法向啮合角α′_n相等，则：

sinα′_t1cosβ_b1＝sinα'_n＝sinα′_t2cosβ_b2 (5)

可知：

则有

1.2、利用牛顿迭代法构建迭代式

由泰勒公式可知：啮合角函数f(α'_t)在某个初值

处展开泰勒级数

若取其部分线性前两项作为函数f(α'_t1)近似，则有关系式：

由此构建牛顿迭代式如下

逐次求解得迭代序列为：

最终求得近似根α'_t。

1.2.1、根据迭代原则构建工件(被加工齿轮)和滚插刀具的法向啮合角α'_n的函数迭代式

空间交错轴圆柱齿轮的无隙方程式满足的交错收敛式如下：

1.2.2、根据迭代原则构建滚插刀具的端面啮合角α'_t1的函数迭代式由渐开线函数方程invα＝tanα-α，则常量F代出化简，令

则有：

代入迭代关系式(9)

1.2.3、利用空间啮合原理公式求解工件(被加工齿轮)的端面啮合角α'_t2

再由公式计算工件的端面啮合角。

以此构建滚插刀具和工件的啮合角的设计参数迭代计算式。

(2)、利用粒子群优化算法求解滚插加工过程的啮合过程参数

从迭代初值角度提出的优化方法应当以能够加快迭代速度为目的，因此基于在j维空间下的粒子群最优路径搜索原理，利用其收敛迅速的特性，使其能够很快的完成初值优选，特别地，定义以下物理量：

第i个迭代初值在空间表示为L_(ij)＝[α'_i1,α'_i2,…,α'_ij]，其迭代路径的速度定义为V_(ij)＝[v'_i1,v'_i2,v'_i3,…,v'_ij]，规定单个初值最优迭代终值的位置为P_(ij)＝[α_i1,α_i2,α_i3,…,α_ij]，全局搜索最优位置为

P_(gj)＝[α_g1,α_g2,α_g3,…,α_gj]；由于迭代初值是经过自身对于邻近初值的判定和自身的运动历史轨迹，选择最优的运行趋势和路径进行决策，因此能够提高其迭代速度；

若引入非负数学习因子m₁、m₂，则求出初值进行迭代的更新速度和位置表达式为

α'_i1(n+1)＝α'_i1(n)+V_(ij)(n) (18)

其中：惯性权系数

由最大和最小惯性权重

和

优选求出：

而考虑到粒子群算法的收敛速度快但是难以控制后期的发散性，结合上述关于牛顿迭代的迭代速度需求，不难想到以粒子群作为牛顿迭代前端，构建从初值优化角度的迭代优化方法，并将这一混合算法应用于啮合角的迭代计算中，将能够切实提高迭代过程的迭代速度和迭代精度。

采用粒子群算法优选的初值进行牛顿迭代的计算具体步骤如下：

Step1：根据预设迭代精度初选迭代终值附近满足的定义域区间，并选取若干点进行离散处理；

Step2：求解初始化离散点的位置信息L_(ij)＝[α'_i1,α'_i2,α'_i3,…,α'_ij]和速度信息V_(ij)＝[v'_i1,v'_i2,v'_i3,…,v'_ij]；

Step3：判断迭代初值的适应值，将其位置信息和适应度信息储存在单个初值离散点的P_(ij)best＝[α_i1,α_i2,…,α_ij]，所有P_(ij)best中的优选个体储存在全局搜索最优位置为P_(gj)best＝[α_g1,α_g2,α_g3,…,α_gj]；

Step4：进行迭代运动并及时判定其位置和速度的更新信息，并在P_(ij)best中及时寻优，并替换为当前值后，比较当前的P_(gj)best和P_(ij)best，完成P_(gj)best的更新；

Step5：经过多次循环计算，直到达到预设的迭代精度要求，或者完成规定的迭代次数时，完成优选初值步骤后，转入牛顿迭代的计算，将给出相应迭代终值最优解。

法向(标准)压力角α_n和端面啮合角α′_t1、α′_t2分别通过Step1至Step5计算得出。

(3)、计算滚插刀具和被加工件的安装轴交角和加工中心距

3.1、为了使得充分利用相对运动速度进行切削任务，滚插刀具进行加工时要使得滚插刀具的加工轴轴线与被加工工件的安装轴轴线要设定一定的倾斜角度值∑'进行安装后加工，根据空间无隙共轭啮合关系求出此时的安装轴交角为：

∑'＝β'₁±β'₂；

其中，β'₁，β'₂是滚插刀具和被加工件的节圆螺旋角，根据前述迭代求解的法面啮合角α'_n和刀具、工件的基圆螺旋角β_b1、β_b2的关系式得出：

特别地：对于滚插刀具加工内外齿轮时，给出不同的正负号取用规则如下：

①对于滚插加工外齿轮时，滚插刀具与毛坯工件旋向不同取“-”，反之取“+”。

②对于滚插加工内齿轮时，滚插刀具与毛坯工件旋向不同取“+”，反之取“-”。

通过轴交角的设定确保了滚插刀具和毛坯工件在空间实现无隙共轭啮合，这样滚插刀具加工出来的齿轮便是所预先设定的准确的共轭齿形。

3.2、根据滚插刀具安装要求，为了使得滚插刀具与被加工件完成强制啮合以完成齿轮工件的切削加工需要对安装的中心距a'设计和求解，从而进行设计安装，使得滚插刀具安装在设定的中心距位置，以进行顺利切削。

根据空间关系可知滚插刀具加工轴轴线和被加工件安装轴轴线属于空间异面直线，定义两异面直线的最短距离为名义中心距，则计算安装中心距为，

其中d'₁为滚插刀具的节圆直径值；d'₂为被加工工件的节圆直径值，d_b1为滚插刀具的基圆直径值；d_b2为被加工工件的基圆直径值；d₁、d₂表示滚插刀具和被加工件的分度圆直径。

亦即可得以上述迭代出的端面啮合角α′_t1、α′_t2进行表示安装的名义中心距为：

获得安装轴交角和安装中心距后，安装滚插刀具进行滚插加工，如图1所示。通过设定的安装参数进行主轴位置安装后，对刀具预定的滚插刀具前刀面顶在被将工件的端面上，这样按照预定的速度进行加工切削便能得到所需的齿轮齿形。

具体计算实例如下：

(1)法向(标准)模数m_n＝1.75，滚插刀具和工件的端面压力角分别为α_t1＝20°、α_t2＝20，滚插刀具和工件的设定螺旋角分别为β₁＝0°、β₂＝20°，滚插刀具齿数z₁＝70，工件齿数z₂＝40，分度圆上滚插刀具和工件的法向齿厚分别为S_fn1＝4.712、S_fn1＝4.712，法向(标准)压力角α_n＝20°，滚插刀具和工件的基圆螺旋角分别为β_b1＝0、β_b2＝18°52′54″。

(2)求解结果

滚插刀具和工件的节圆螺旋角β'₁＝0、β'₂＝20°22′18″。

求解的法向啮合角α′_n＝22°5′37″。

滚插刀具和工件的端面啮合角分别为α′_t1＝25°43′43″，α′_t2＝25°38′32″。

滚插刀具的安装参数为：安装中心距100.3721mm，安装轴交角18°22′13″。

(3)迭代精度error定义要求如下：

实验中对迭代优化效果进行了分析，迭代优化算法的最优适应度曲线如图2，牛顿迭代最佳最优适应度曲线如图3，并给出迭代初始次数时的适应度信息如表1。

表1两种算法在各迭代次数下的适应度信息比较分析

从上述图表中可知牛顿迭代的适用度函数在初次迭代时从23.920处开始递减，而新提出的迭代优化算法的适用度函数在初次迭代时从0.022处开始递减，远远小于牛顿迭代。由此可以得出结论：在相同迭代次数下，新提出的迭代优化算法有更优的最优适应度。

并将牛顿迭代法与迭代优化算法对该问题分别进行迭代求解，两种算法的比较分析如表2所示。

表2两种算法求解结果比较分析

从表2中可知，迭代优化算法的迭代时间将减少到牛顿迭代算法的16.19％，大大提高了运算速度，与此同时，计算精度error提高了10²倍以上。亦即证明了，从初值角度提出的迭代优化算法能在保证求解准确性的前提下，可有效减少迭代次数，提高齿轮啮合角α'的求解速度，实验证明，对该方法的迭代精度也有一定程度的提高。

本发明方法具有如下优点：

1、通过研究提出了无隙共轭啮合模型的啮合角的迭代式数值计算方法，对滚插刀具的相关参数构建了系统的迭代算法，并进行实例计算，对于滚插刀具的设计和准确的数值计算提供了新研究方法和研究工具，并且给出了滚插加工模拟实验加工台，更加直观的展示和求解了滚插刀具安装的名义中心距a'和无隙轴交角∑'。

2、实现了迭代计算的参数方法的构建，进而设计出滚插刀具安装的名义中心距a'和无隙轴交角∑'，利用粒子群算法给出迭代优化过程，再回到实际中进而设计滚插刀具，满足了工具厂提高部分未设退刀槽的内斜齿轮加工精度的要求，对于滚插刀具设计的更新的理论研究将起到推动作用，具有广阔的齿轮工业设计方面的应用前景。

最后所应说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照本发明实施例进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，都不脱离本发明的技术方案的精神和范围，其均应涵盖本发明的权利要求保护范围中。

Claims (1)

1.一种基于无隙共轭理论的滚插刀具安装设计方法，其特征在于：包括如下步骤：

(1)、基于无隙啮合设计滚插刀具参数

1.1、滚插刀具和工件的啮合线要与其两轴线的公垂线相交，满足交错轴螺旋齿轮的啮合条件；且设定法向模数m_n，滚插刀具和工件的端面压力角分别为α_t1、α_t2，滚插刀具和工件的设定螺旋角分别为β₁、β₂，滚插刀具齿数z₁，工件齿数z₂，分度圆上滚插刀具和工件的法向齿厚分别为S_fn1、S_fn1，滚插刀具和工件的端面啮合角分别为α'_t1、α'_t2，法向压力角α_n，以及需要求解的法向啮合角α'_n；

则节圆法向齿厚分别为：

S_jn1＝[S_fn1+m_nZ₁(invα_t1-invα'_t1)]cosα_n/cosα'_n (1)

S_jn2＝[S_fn2+m_nZ₂(invα_t2-invα'_t2)]cosα_n/cosα'_n (2)

节圆上的法向齿距：

p_jn＝S_jn1+S_jn2＝πm_ncosα_n/cosα'_n (3)

将S_jn1，S_jn2代入等式(3)：

πm_n＝S_fn1+S_fn2+m_nZ₁(invα_t1-invα'_t1)+m_nZ₂(invα_t2-invα'_t2) (4)

根据齿轮啮合，法向压力角α_n满足关系：sinα_tcosβ_b＝sinα_n，则法向啮合角α'_n满足：sinα'_tcosβ_b＝sinα'_n；

利用滚插刀具和工件的法向啮合角α′_n相等，则：

sinα'_t1cosβ_b1＝sinα'_n＝sinα'_t2cosβ_b2 (5)

可知：

则有

1.2、利用牛顿迭代法构建迭代式

由泰勒公式可知：啮合角函数f(α'_t)在某个初值α'_t ⁰处展开泰勒级数

若取其部分线性前两项作为函数f(α'_t1)近似，则有关系式：

f(α'_t)≈f(α'_t ⁰)+(α'_t-α'_t ⁰)f'(α'_t)＝0 (8)

由此构建牛顿迭代式如下

逐次求解得迭代序列为：

...α'_t(k)...，最终求得近似根α'_t；

1.2.1、根据迭代原则构建工件和滚插刀具的法向啮合角α'_n的函数迭代式

空间交错轴圆柱齿轮的无隙方程式满足的交错收敛式如下：

1.2.2、根据迭代原则构建滚插刀具的端面啮合角α'_t1的函数迭代式由渐开线函数方程invα＝tanα-α，则常量F代出化简，令

则有：

代入迭代关系式(9)

1.2.3、利用空间啮合原理公式求解工件的端面啮合角α'_t2

再由公式计算工件的端面啮合角；

(2)、利用粒子群优化算法求解滚插加工过程的啮合过程参数

基于在j维空间下的粒子群最优路径搜索原理，利用其收敛迅速的特性，使其能够很快的完成初值优选，定义以下物理量：

第i个迭代初值在空间表示为L_(ij)＝[α'_i1,α'_i2,…,α'_ij]，其迭代路径的速度定义为V_(ij)＝[v'_i1,v'_i2,v'_i3,…,v'_ij]，规定单个初值最优迭代终值的位置为P_(ij)＝[α_i1,α_i2,α_i3,…,α_ij]，全局搜索最优位置为P_(gj)＝[α_g1,α_g2,α_g3,…,α_gj]；由于迭代初值是经过自身对于邻近初值的判定和自身的运动历史轨迹，选择最优的运行趋势和路径进行决策，因此能够提高其迭代速度；

若引入非负数学习因子m₁，m₂，则求出初值进行迭代的更新速度和位置表达式为

α'_i1(n+1)＝α'_i1(n)+V_(ij)(n) (18)

其中：惯性权系数

由最大和最小惯性权重

和

优选求出：

采用粒子群算法优选的初值进行牛顿迭代的计算具体步骤如下：

Step1：根据预设迭代精度初选迭代终值附近满足的定义域区间，并选取若干点进行离散处理；

Step2：求解初始化离散点的位置信息L_(ij)＝[α'_i1,α'_i2,α'_i3,…,α'_ij]和速度信息V_(ij)＝[v'_i1,v'_i2,v'_i3,…,v'_ij]；

Step3：判断迭代初值的适应值，将其位置信息和适应度信息储存在单个初值离散点的P_(ij)best＝[α_i1,α_i2,…,α_ij]，所有P_(ij)best中的优选个体储存在全局搜索最优位置为P_(gj)best＝[α_g1,α_g2,α_g3,…,α_gj]；

Step4：进行迭代运动并及时判定其位置和速度的更新信息，并在P_(ij)best中及时寻优，并替换为当前值后，比较当前的P_(gj)best和P_(ij)best，完成P_(gj)best的更新；

Step5：经过多次循环计算，直到达到预设的迭代精度要求，或者完成规定的迭代次数时，完成优选初值步骤后，转入牛顿迭代的计算，将给出相应迭代终值最优解；

法向压力角α_n和端面啮合角α'_t1、α'_t2分别通过Step1至Step5计算得出；

(3)、计算滚插刀具的安装参数：轴交角和中心距

3.1、滚插刀具进行加工时要使得滚插刀具的加工轴轴线与被加工工件的安装轴轴线要设定一定的倾斜角度值∑'进行安装后加工，根据空间无隙共轭啮合关系求出此时的安装轴交角为：

∑'＝β'₁±β'₂；

其中，β'₁、β'₂分别是滚插刀具和工件的节圆螺旋角，根据前述迭代求解的法面啮合角α'_n和滚插刀具、工件的基圆螺旋角β'_b1、β'_b2的关系式得出：

3.2、根据滚插刀具安装要求，为了使得滚插刀具与被加工件完成强制啮合以完成齿轮工件的切削加工需要对安装的中心距a'设计和求解，从而进行设计安装，使得滚插刀具安装在设定的中心距位置，以进行顺利切削；

根据空间关系可知滚插刀具加工轴轴线和被加工件安装轴轴线属于空间异面直线，定义两异面直线的最短距离为名义中心距，则计算安装中心距为，

其中d'₁为滚插刀具的节圆直径值；d'₂为被加工工件的节圆直径值，d_b1为滚插刀具的基圆直径值；d_b2为被加工工件的基圆直径值；

得以上述迭代出的端面啮合角α′_t1、α′_t2进行表示的安装的名义中心距为：

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