CN114781142A - 单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法 - Google Patents

单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法 Download PDF

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CN114781142A CN202210374516.7A CN202210374516A CN114781142A CN 114781142 A CN114781142 A CN 114781142A CN 202210374516 A CN202210374516 A CN 202210374516A CN 114781142 A CN114781142 A CN 114781142A
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Abstract

本发明提供了单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法，该方法在维持同一榀索桁架上径向索和下径向索水平分力的合力保持恒定的前提下，迭代调整上径向索和下径向索水平分力的相对大小以及上径向索或下径向索的位形，使环索节点严格在目标位形达到平衡；同时，在各榀索桁架内部，基于力密度法分别进行上径向索和下径向索的找形或找力，使支承屋面的上径向索或下径向索的初始态位形与目标位形保持一致。本发明在考虑结构自重与附加恒荷载的情况下，可实现对单环索轮辐式索桁架结构中屋面系统支承构件的初始态位形精准控制，使形态分析结果完全符合建筑要求的屋面曲面，同时索桁架结构的吊索或撑杆自动保持竖直。

Description

单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法
技术领域
本发明涉及建筑工程的结构分析与设计领域，尤其是涉及单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法。
背景技术
索结构是一类由只可受拉的索和既可受拉、又可受压的杆组成的结构，常见形式有单层索网、索桁架结构、索穹顶结构等。轮辐式索桁架结构是一类广泛应用于体育场馆等大跨度屋顶的索结构体系，其由环索和沿径向设置的索桁架组成，索桁架由上径向索、下径向索和撑杆(或吊索)组成，其中上径向索和下径向索的一端与环索相连，另一端锚固于外边界。根据环索数量的不同，可将轮辐式索桁架结构分为双环索轮辐式索桁架结构和单环索轮辐式索桁架结构，如图1和图2所示，其中双环索轮辐式索桁架结构的上、下环索之间设有内环撑杆。
不同于混凝土结构、传统钢结构等刚性结构靠材料自身提供结构刚度和承载力，索结构需要通过引入预应力来达到稳定状态，进而建立刚度、形成承载能力。可以在结构中存在的预应力并非任意的，而是与结构位形、刚度要求直接相关。求解满足目标要求的结构位形及相应预应力的过程称作形态分析。形态分析是所有索结构分析、设计过程中的核心工作。
索结构在分析设计中存在三种状态：(1)零状态，即按照几何原则建立、未执行计算的结构模型；(2)初始态，即在零状态基础上，考虑预应力、结构自重、附加恒荷载等因素，计算得到的结构平衡状态，该平衡状态代表了索结构施工完成时的状态，是形态分析求解的对象，需要满足目标要求；(3)荷载态，即在初始态基础上施加后续荷载和作用，计算得到的结构平衡状态。
轮辐式索桁架结构的屋面材料可以采用膜材或刚性屋面，屋面体系铺设于上径向索与环索或下径向索与环索。为实现建筑造型、保障排水等功能的实现，通常由建筑师指定屋面的位形，此时支承屋面的上径向索与环索或下径向索与环索的初始态目标位形也随之确定。对于双环索轮辐式索桁架结构，可采用专利ZL201710146029.4中的方法实现对结构初始态位形的精准控制，但对于单环索轮辐式索桁架结构，目前尚无公开的能精准控制结构初始态几何位形的形态分析方法，引起的后果是结构设计经常无法完全实现建筑要求的屋面位形。
公开于背景技术部分的信息仅仅旨在加深对本发明的总体背景技术的理解，而不应当被视为承认或以任何形式暗示该信息构成已为本领域技术人员所公知的现有技术。
发明内容
本发明的目的在于提供单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法，以实现对结构初始态位形的精准控制，从而使屋面的几何形状与建筑要求完全吻合。
为了实现上述目的，本发明采用以下技术方案：
本发明提供单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法，当屋面支承于环索和下径向索，即需要控制环索和下径向索的位形与目标位形一致时，所述形态分析方法包括如下步骤：
S1：建立单环索的轮辐式索桁架结构模型，其中，每榀索桁架均沿相邻两段环索的角平分线方向布置，环索和下径向索的位形与建筑给定的屋面曲面吻合，所有吊索或撑杆沿竖直方向布置，构件的相交处形成节点，节点按所处位置分为4种，分别为环索节点、上径向索节点、下径向索节点和边界节点，提取此时所有上径向索节点的z坐标{zaRAS}；
S2：施加形态分析中需要考虑的结构自重和附加恒荷载，约束边界节点的x、y、z三个方向自由度，并临时约束环索节点的x、y、z三个方向自由度与所有上径向索节点和下径向索节点的z向自由度；
S3：指定环索预应力的水平分量fTR0，并根据环索位形计算各环索分段的预应力
Figure BDA0003590259420000021
其中lTRk和lTRPk分别为第k个环索分段的长度和水平投影长度；
S4：以初应变或降温的形式将第S3步中的预应力赋给模型中的相应环索单元；
S5：对模型执行静力计算；
S6：提取所有环索节点临时约束的反力
Figure BDA0003590259420000022
与各榀索桁架的上径向索节点临时约束的z向反力{RaRzi}＝{… raRzi(j) …}T和下径向索节点临时约束的z向反力{RbRzi}＝{… rbRzi(j) …}T，其中i为索桁架及相应环索节点的编号，rTRri、rTRci和rTRzi分别为第i个环索节点处沿索桁架跨度方向、垂直于索桁架跨度方向和沿z向的约束反力，rTRci满足rTRci≡0，rTRri和rTRzi分别以沿索桁架跨度方向朝外和竖直向上为正，raRzi(j)和rbRzi(j)分别为第i榀索桁架的第j个上径向索节点和第j个下径向索节点处临时约束的z向反力，以竖直向上为正；
S7：分别计算各榀索桁架的上径向索水平力分配系数
Figure BDA0003590259420000031
对第i榀索桁架，lPi(1)为最接近环索的吊索或撑杆与相应环索节点之间的水平投影距离，zTRi为相应环索节点的z坐标，zaRi(1)和zbRi(1)分别为最靠近环索的上径向索节点和下径向索节点的z坐标，其中zTRi和zbRi(1)根据屋面曲面给定，lPi(1)根据索桁架的径向分格给定，zaRi(1)根据当前模型的几何位形取值；
S8：若所有αai＜1，则计算各榀索桁架的下径向索水平力分配系数αbi＝1-αai，并进入下一步，若任意αai≥1，则返回第S3步，并增大指定的环索预应力水平分量fTR0，重新开始计算；
S9：对各榀索桁架，分别组集下径向索拓扑矩阵[Cbi]，m×(n+2)矩阵[Cbi]中的各个元素满足
Figure BDA0003590259420000032
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cbi]的各列按照环索节点、下径向索节点、边界节点的顺序排列，则有[Cbi]＝[{CbTRi} [CbRi] {CbBi}]，其中m×1向量{CbTRi}、m×n矩阵[CbRi]和m×1向量{CbBi}分别为环索节点、下径向索节点和下径向索上的边界节点对应的列，m为第i榀索桁架的上径向索和下径向索各自的分段数，n为第i榀索桁架的上径向索节点和下径向索节点各自的数量，m和n满足m＝n+1；
S10：对各榀索桁架，分别组集下径向索力密度矩阵[Qbi]＝diag{… qbi(j) …)，其中qbi(j)＝αbirTRri/lbPi(j)，lbPi(j)为第i榀索桁架的第j个下径向索分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定；
S11：对各榀索桁架，分别计算下径向索索力在所有下径向索节点处的z向分力{PbRzi}＝-[CbRi]T[Qbi][Cbi]{zTRi {zbRi}T zbBi}T，其中{zbRi}＝{… zbRi(j) …}T为第i榀索桁架的所有下径向索节点的z坐标，zbBi为第i榀索桁架的下径向索上的边界节点z坐标，zTRi、{zbRi}和zbBi均根据屋面曲面给定；
S12：将{PbRzi}与反号后的相应{RaRzi}和{RbRzi}叠加，得到各榀索桁架上径向索找形的驱动力{FDi}＝{PbRzi}-{RaRzi}-{RbRzi}；
S13：对各榀索桁架，分别组集上径向索拓扑矩阵[Cai]，m×(n+2)矩阵[Cai]中的各个元素满足
Figure BDA0003590259420000041
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cai]的各列按照环索节点、上径向索节点、边界节点的顺序排列，则有[Cai]＝[{CaTRi} [CaRi] {CaBi}]，其中m×1向量{CaTRi}、m×n矩阵[CaRi]和m×1向量{CaBi}分别为环索节点、上径向索节点和上径向索上的边界节点对应的列；
S14：对各榀索桁架，分别组集上径向索力密度矩阵[Qai]＝diag(… qai(j) …)，其中qai(j)＝αairTRri/laPi(j)，laPi(j)为第i榀索桁架的第j个上径向索分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定；
S15：结合第S12步得到的驱动力，利用力密度法分别求解各榀索桁架的上径向索节点的z坐标
Figure BDA0003590259420000042
其中zaBi为第i榀索桁架的上径向索上的边界节点z坐标，根据边界位形给定；
S16：利用第S15步得到的各榀索桁架的{zaRi}更新模型的几何位形；
S17：基于更新后的几何位形，分别求解各榀索桁架的上径向索在环索节点处的z向分力paTRzi＝-{CaTRi}T[Qai][Cai]{zTRi {zaRi}T zaBi}T，以及下径向索在环索节点处的z向分力pbTRzi＝-{CbTRi}T[Qbi][Cbi]{zTRi {zbRi}T zbBi}T；
S18：对各榀索桁架，分别计算本轮迭代后的环索节点z向不平衡力fubi＝PaTRzi+PbTRzi-rTRzi；
S19：将所有索桁架对应的环索节点z向不平衡力组集为向量{Fub}＝{… fubi …}，并计算{Fub}的2-范数||{Fub}||2，以ε作为预先设定的收敛精度，若||{Fub}||2≤ε，则进入下一步，若||{Fub}||2＞ε，则返回第S7步，进行新一轮迭代；
S20：组集此时所有上径向索节点的z坐标{zaRA}＝{… {zaRi}T …}T，并计算{zaRA}-{zaRAS}的2-范数||{zaRA}-{zaRAS}||2，以η作为预先设定的收敛精度，若||{zaRA}-{zaRAS}||2≤η，则进入下一步，若||{zaRA}-{zaRAS}||2＞η，则令{zaRAS}＝{zaRA}，并返回第S5步，进行新一轮迭代；
S21：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，将{RbRzi}与反号后的{PbRzi}叠加，得到第i榀索桁架的吊索或撑杆预应力{FHi}＝{RbRzi}-{PbRzi}；
S22：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，计算第i榀索桁架的上径向索和下径向索的预应力{Fai}＝[Qai]{Lai}和{Fbi}＝[Qbi]{Lbi}，其中{Lai}＝{… lai(j) …}T和{Lbi}＝{… lbi(j) …}T分别为第i榀索桁架的各上径向索分段和各下径向索分段的长度；
S23：基于最后一轮迭代得到的结构位形，将{FTR}和所有{FHi}、{Fai}、{Fbi}作为预应力赋给模型中的相应单元，同时去除环索节点临时约束、上径向索节点临时约束和下径向索节点临时约束，计算得到结构的初始态；
当屋面支承于环索和上径向索，即需要控制环索和上径向索的位形与目标位形一致时，所述形态分析方法包括如下步骤：
T1：建立单环索的轮辐式索桁架结构模型，其中，每榀索桁架均沿相邻两段环索的角平分线方向布置，环索和上径向索的位形与建筑给定的屋面曲面吻合，所有吊索或撑杆沿竖直方向布置，构件的相交处形成节点，节点按所处位置分为4种，分别为环索节点、上径向索节点、下径向索节点和边界节点，提取此时所有下径向索节点的z坐标{zbRAS}；
T2：施加形态分析中需要考虑的结构自重和附加恒荷载，约束边界节点的x、y、z三个方向自由度，并临时约束环索节点的x、y、z三个方向自由度与所有上径向索节点和下径向索节点的z向自由度；
T3：指定环索预应力的水平分量fTR0，并根据环索位形计算各环索分段的预应力
Figure BDA0003590259420000051
其中lTRk和lTRPk分别为第k个环索分段的长度和水平投影长度；
T4：以初应变或降温的形式将第T3步中的预应力赋给模型中的相应环索单元；
T5：对模型执行静力计算；
T6：提取所有环索节点临时约束的反力
Figure BDA0003590259420000052
与各榀索桁架的上径向索节点临时约束的z向反力{RaRzi}＝{… raRzi(j) …}T和下径向索节点临时约束的z向反力{RbRzi}＝{… rbRzi(j) …}T，其中i为索桁架及相应环索节点的编号，rTRri、rTRci和rTRzi分别为第i个环索节点处沿索桁架跨度方向、垂直于索桁架跨度方向和沿z向的约束反力，rTRci满足rTRci≡0，rTRri和rTRzi分别以沿索桁架跨度方向朝外和竖直向上为正，raRzi(j)和rbRzi(j)分别为第i榀索桁架的第j个上径向索节点和第j个下径向索节点处临时约束的z向反力，以竖直向上为正；
T7：分别计算各榀索桁架的上径向索水平力分配系数
Figure BDA0003590259420000061
对第i榀索桁架，lPi(1)为最接近环索的吊索或撑杆与相应环索节点之间的水平投影距离，zTRi为相应环索节点的z坐标，zaRi(1)和zbRi(1)分别为最靠近环索的上径向索节点和下径向索节点的z坐标，其中zTRi和zaRi(1)根据屋面曲面给定，lPi(1)根据索桁架的径向分格给定，zbRi(1)根据当前模型的几何位形取值；
T8：若所有αai＜1，则计算各榀索桁架的下径向索水平力分配系数αbi＝1-αai，并进入下一步，若任意αai≥1，则返回第T3步，并增大指定的环索预应力水平分量fTR0，重新开始计算；
T9：对各榀索桁架，分别组集上径向索拓扑矩阵[Cai]，m×(n+2)矩阵[Cai]中的各个元素满足
Figure BDA0003590259420000062
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cai]的各列按照环索节点、上径向索节点、边界节点的顺序排列，则有[Cai]＝[{CaTRi} [CaRi] {CaBi}]，其中m×1向量{CaTRi}、m×n矩阵[CaRi]和m×1向量{CaBi}分别为环索节点、上径向索节点和上径向索上的边界节点对应的列，m为第i榀索桁架的上径向索和下径向索各自的分段数，n为第i榀索桁架的上径向索节点和下径向索节点各自的数量，m和n满足m＝n+1；
T10：对各榀索桁架，分别组集上径向索力密度矩阵[Qai]＝diag(… qai(j) …)，其中qai(j)＝αairTRri/laPi(j)，laPi(j)为第i榀索桁架的第j个上径向索分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定；
T11：对各榀索桁架，分别计算上径向索索力在所有上径向索节点处的z向分力{PaRzi}＝-[CaRi]T[Qai][Cai]{zTRi {zaRi}T zaBi}T，其中{zaRi}＝{… zaRi(j) …}T为第i榀索桁架的所有上径向索节点的z坐标，zaBi为第i榀索桁架的上径向索上的边界节点z坐标，zTRi、{zaRi}和zaBi均根据屋面曲面给定；
T12：将{PaRzi}与反号后的相应{RaRzi}和{RbRzi}叠加，得到各榀索桁架下径向索找形的驱动力{FDi}＝{PaRzi}-{RaRzi}-{RbRzi}；
T13：对各榀索桁架，分别组集下径向索拓扑矩阵[Cbi]，m×(n+2)矩阵[Cbi]中的各个元素满足
Figure BDA0003590259420000071
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cbi]的各列按照环索节点、下径向索节点、边界节点的顺序排列，则有[Cbi]＝[{CbTRi} [CbRi] {CbBi}]，其中m×1向量{CbTRi}、m×n矩阵[CbRi]和m×1向量{CbBi}分别为环索节点、下径向索节点和下径向索上的边界节点对应的列；
T14：对各榀索桁架，分别组集下径向索力密度矩阵[Qbi]＝diag(… qbi(j) …)，其中qbi(j)＝αbirTRri/lbPi(j)，lbPi(j)为第i榀索桁架的第j个下径向索分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定；
T15：考虑第T12步得到的驱动力，利用力密度法分别求解各榀索桁架的下径向索节点的z坐标
Figure BDA0003590259420000072
其中zbBi为第i榀索桁架的下径向索上的边界节点z坐标，根据边界位形给定；
T16：利用第T15步得到的各榀索桁架的{zbRi}更新模型的几何位形；
T17：基于更新后的几何位形，分别求解各榀索桁架的上径向索在环索节点处的z向分力paTRzi＝-{CaTRi}T[Qai][Cai]{zTRi {zaRi}T zaBi}T，以及下径向索在环索节点处的z向分力pbTRzi＝-{CbTRi}T[Qbi][Cbi]{zTRi {zbRi}T zbBi}T；
T18：对各榀索桁架，分别计算本轮迭代后的环索节点z向不平衡力fubi＝paTRzi+pbTRzi-rTRzi；
T19：将所有索桁架对应的环索节点z向不平衡力组集为向量{Fub}＝{… fubi …}，并计算{Fub}的2-范数||{Fub}||2，以ε作为预先设定的收敛精度，若||{Fub}||2≤ε，则进入下一步，若||{Fub}||2＞ε，则返回第T7步，进行新一轮迭代；
T20：组集此时所有下径向索节点的z坐标{zbRA}＝{… {zbRi}T …}T，并计算{zbRA}-{zbRAS}的2-范数||{zbRA}-{zbRAS}||2，以η作为预先设定的收敛精度，若||{zbRA}-{zbRAS}||2≤η，则进入下一步，若||{zbRA}-{zbRAS}||2＞η，则令{zbRAS}＝{zbRA}，并返回第T5步，进行新一轮迭代；
T21：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，将{PaRzi}与反号后的{RaRzi}叠加，得到第i榀索桁架的吊索或撑杆预应力{FHi}＝{PaRzi}-{RaRzi}；
T22：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，计算第i榀索桁架的上径向索和下径向索的预应力{Fai}＝[Qai]{Lai}和{Fbi}＝[Qbi]{Lbi}，其中{Lai}＝{… lai(j) …}T和{Lbi}＝{… lbi(j) …}T分别为第i榀索桁架的各上径向索分段和各下径向索分段的长度；
T23：基于最后一轮迭代得到的结构位形，将{FTR}和所有{FHi}、{Fai}、{Fbi}作为预应力赋给模型中的相应单元，同时去除环索节点临时约束、上径向索节点临时约束和下径向索节点临时约束，计算得到结构的初始态。
优选地，步骤S1和步骤T1中的所述环索节点指环索与上径向索端部和下径向索端部相连的节点，所述边界节点指上径向索和下径向索除与环索相连的端部之外的另一端部节点，所述上径向索节点指上径向索与吊索或撑杆相连的节点，所述下径向索节点指下径向索与吊索或撑杆相连的节点。
优选地，步骤S2和步骤T2中的所述附加恒荷载包括节点重量以及屋面系统重量。
采用上述技术方案，本发明具有如下有益效果：
1、在考虑结构自重与附加恒荷载的情况下，可实现对单环索轮辐式索桁架结构中屋面系统支承构件的初始态位形精准控制，使形态分析结果完全符合建筑要求的屋面位形；
2、索桁架结构初始态位形中的吊索或撑杆自动保持竖直；
3、控制参数少，外部输入参数仅有环索预应力的水平分量，便于进行结构方案和建筑方案的优化比选。
附图说明
为了更清楚地说明本发明具体实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对具体实施方式或现有技术描述中所需要使用的附图作简单的介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为典型双环索轮辐式索桁架结构示意图；
图2为典型单环索轮辐式索桁架结构示意图；
图3为本发明提供的以控制环索和下径向索位形为目标的单环索轮辐式索桁架结构形态分析方法流程图；
图4为本发明提供的以控制环索和上径向索位形为目标的单环索轮辐式索桁架结构形态分析方法流程图；
图5为本发明实施例一提供的单环索轮辐式索桁架结构的组成示意图；
图6为本发明实施例一提供的单环索轮辐式索桁架结构的典型剖面图；
图7为本发明实施例一提供的单环索轮辐式索桁架结构的临时约束和支座反力示意图。
图8为本发明实施例一提供的单环索轮辐式索桁架结构初始态位形的典型剖面图；
图9为本发明实施例二提供的单环索轮辐式索桁架结构的组成示意图；
图10为本发明实施例二提供的单环索轮辐式索桁架结构的典型剖面图；
图11为本发明实施例二提供的单环索轮辐式索桁架结构的临时约束和支座反力示意图。
图12为本发明实施例二提供的单环索轮辐式索桁架结构初始态位形的典型剖面图。
其中：101为环索，102为上径向索，103为下径向索，104为内环撑杆，105为吊索或撑杆，106为屋面系统，201为环索节点，202为上径向索节点，203为下径向索节点，204为边界节点，301为环索节点临时约束，302为上径向索节点临时约束，303为下径向索节点临时约束。
具体实施方式
下面将结合附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
下面基于具体实施例，结合附图对本发明进行说明。
当屋面支承于环索和下径向索时，单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法流程图如图3所示；当屋面支承于环索和上径向索时，单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法流程图如图4所示。
实施例一
图5-8以屋面系统106直接支承于环索101和下径向索103、采用吊索105的单环索轮辐式索桁架结构为例，对本发明的形态分析方法进行说明。
在本实施例中，屋面系统106在安装完成之后的几何位形需与建筑给定的屋面曲面一致。由于屋面系统106直接支承于环索101和下径向索103之上，因此形态分析得到的结构初始态中，环索101和下径向索103的位形应与给定的屋面曲面一致。同时，为实现优美的视觉效果，结构初始态的所有吊索105均应保持竖直。
采用本发明的方法对该单环索轮辐式索桁架结构进行形态分析，包括以下步骤：
A1：建立单环索的轮辐式索桁架结构模型，其中，每榀索桁架均沿相邻两段环索101的角平分线方向布置，环索101和下径向索103的位形与建筑给定的屋面曲面吻合，所有吊索105沿竖直方向布置，构件的相交处形成节点，节点按所处位置分为4种，分别为：环索101与上径向索102端部和下径向索103端部相连的节点，称为环索节点201；上径向索102和下径向索103除与环索101相连的端部之外的另一端部节点，称为边界节点204；上径向索102与吊索105相连的节点，称为上径向索节点202；下径向索103与吊索105相连的节点，称为下径向索节点203。
需要说明的是，建模时对上径向索节点202的z坐标没有要求，简便起见，可令模型中各上径向索节点202位于通过相应环索节点201和相应边界节点204的直线上，后续步骤将通过迭代修改上径向索节点202的z坐标实现形态分析目标。提取此时所有上径向索节点202的z坐标{zaRAS}。
A2：施加形态分析中需要考虑的结构自重和节点重量、屋面重量等附加恒荷载，约束边界节点204的x、y、z三个方向自由度，并临时约束环索节点201的x、y、z三个方向自由度与所有上径向索节点202和下径向索节点203的z向自由度。
A3：指定环索预应力的水平分量fTR0，并根据环索101的位形计算各环索101分段的预应力
Figure BDA0003590259420000101
其中lTRk和lTRPk分别为第k个环索101分段的长度和水平投影长度。
A4：以初应变或降温的形式将第A3步中的预应力赋给模型中的相应环索101单元。
A5：对模型执行静力计算。
A6：提取所有环索节点临时约束301的反力
Figure BDA0003590259420000102
与各榀索桁架的上径向索节点临时约束302的z向反力{RaRzi}＝{… raRzi(j) …}T和下径向索节点临时约束303的z向反力{RbRzi}＝{… rbRzi(j) …}T，其中i为索桁架及相应环索节点201的编号，rTRri、rTRci和rTRzi分别为第i个环索节点201处沿索桁架跨度方向、垂直于索桁架跨度方向和沿z向的约束反力，rTRci满足rTRci≡0，rTRri和rTRzi分别以沿索桁架跨度方向朝外和竖直向上为正，raRzi(j)和rbRzi(j)分别为第i榀索桁架的第j个上径向索节点202和第j个下径向索节点203处临时约束的z向反力，以竖直向上为正。
A7：分别计算各榀索桁架的上径向索水平力分配系数
Figure BDA0003590259420000111
对第i榀索桁架，lPi(1)为最接近环索101的吊索105与相应环索节点201之间的水平投影距离，zTRi为相应环索节点201的z坐标，zaRi(1)和zbRi(1)分别为最靠近环索101的上径向索节点202和下径向索节点203的z坐标，其中zTRi和zbRi(1)根据屋面曲面给定，lPi(1)根据索桁架的径向分格给定，zaRi(1)根据当前模型的几何位形取值。
A8：若所有αai＜1，则计算各榀索桁架的下径向索水平力分配系数αbi＝1-αai，并进入下一步，若任意αai≥1，则返回第A3步，并增大指定的环索预应力水平分量fTR0，重新开始计算。
A9：对各榀索桁架，分别组集下径向索拓扑矩阵[Cbi]，m×(n+2)矩阵[Cbi]中的各个元素满足
Figure BDA0003590259420000112
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cbi]的各列按照环索节点201、下径向索节点203、边界节点204的顺序排列，则有[Cbi]＝[{CbTRi} [CbRi] {CbBi}]，其中m×1向量{CbTRi}、m×n矩阵[CbRi]和m×1向量{CbBi}分别为环索节点201、下径向索节点203和下径向索103上的边界节点204对应的列，m为第i榀索桁架的上径向索102和下径向索103各自的分段数，n为第i榀索桁架的上径向索节点202和下径向索节点203各自的数量，m和n满足m＝n+1。
A10：对各榀索桁架，分别组集下径向索力密度矩阵[Qbi]＝diag(… qbi(j) …)，其中qbi(j)＝αbirTRri/lbPi(j)，lbPi(j)为第i榀索桁架的第j个下径向索103分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定。
A11：对各榀索桁架，分别计算下径向索索力在所有下径向索节点203处的z向分力{PbRzi}＝-[CbRi]T[Qbi][Cbi]{zTRi {zbRi}T zbBi}T，其中{zbRi}＝{… zbRi(j) …}T为第i榀索桁架的所有下径向索节点203的z坐标，zbBi为第i榀索桁架的下径向索103上的边界节点204的z坐标，zTRi、{zbRi}和zbBi均根据屋面曲面给定。
A12：将{PbRzi}与反号后的相应{RaRzi}和{RbRzi}叠加，得到各榀索桁架上径向索102找形的驱动力{FDi}＝{PbRzi}-{RaRzi}-{RbRzi}。
A13：对各榀索桁架，分别组集上径向索拓扑矩阵[Cai]，m×(n+2)矩阵[Cai]中的各个元素满足
Figure BDA0003590259420000121
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cai]的各列按照环索节点201、上径向索节点202、边界节点204的顺序排列，则有[Cai]＝[{CaTRi} [CaRi] {CaBi}]，其中m×1向量{CaTRi}、m×n矩阵[CaRi]和m×1向量{CaBi}分别为环索节点201、上径向索节点202和上径向索102上的边界节点204对应的列。
A14：对各榀索桁架，分别组集上径向索力密度矩阵[Qai]＝diag{… qai(j) …)，其中qai(j)＝αairTRri/laPi(j)，laPi(j)为第i榀索桁架的第j个上径向索102分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定。
A15：考虑第A12步得到的驱动力，利用力密度法分别求解各榀索桁架的上径向索节点202的z坐标
Figure BDA0003590259420000122
其中zaBi为第i榀索桁架的上径向索102上的边界节点204的z坐标，根据边界位形给定。
A16：利用第A15步得到的各榀索桁架的{zaRi}更新模型的几何位形。
A17：基于更新后的几何位形，分别求解各榀索桁架的上径向索102在环索节点201处的z向分力paTRzi＝-{CaTRi}T[Qai][Cai]{zTRi {zaRi}T zaBi}T，以及下径向索103在环索节点201处的z向分力pbTRzi＝-{CbTRi}T[Qbi][Cbi]{zTRi {zbRi}T zbBi}T。
A18：对各榀索桁架，分别计算本轮迭代后的环索节点201的z向不平衡力fubi＝paTRzi+pbTRzi-rTRzi。
A19：将所有索桁架对应的环索节点201的z向不平衡力组集为向量{Fub}＝{… fubi…}，并计算{Fub}的2-范数||{Fub}||2，以ε作为预先设定的收敛精度，若||{Fub}||2≤ε，则进入下一步，若||{Fub}||2＞ε，则返回第A7步，进行新一轮迭代。
A20：组集此时所有上径向索节点202的z坐标{zaRA}＝{… {zaRi}T …}T，并计算{zaRA}-{zaRAS}的2-范数||{zaRA}-{zaRAS}||2，以η作为预先设定的收敛精度，若||{zaRA}-{zaRAS}||2≤η，则进入下一步，若||{zaRA}-{zaRAS}||2＞η，则令{zaRAS}＝{zaRA}，并返回第A5步，进行新一轮迭代。
A21：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，将{RbRzi}与反号后的{PbRzi}叠加，得到第i榀索桁架的吊索105的预应力{FHi}＝{RbRzi}-{PbRzi}。
A22：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，计算第i榀索桁架的上径向索102和下径向索103的预应力{Fai}＝[Qai]{Lai}和{Fbi}＝[Qbi]{Lbi}，其中{Lai}＝{… lai(j)…}T和{Lbi}＝{… lbi(j) …}T分别为第i榀索桁架的各上径向索102分段和各下径向索103分段的长度。
A23：基于最后一轮迭代得到的结构位形，将{FTR}和所有{FHi}、{Fai}、{Fbi}作为预应力赋给模型中的相应单元，同时去除环索节点临时约束301、上径向索节点临时约束302和下径向索节点临时约束303，计算得到结构的初始态。
采用上述形态分析过程得到的结构初始态位形的典型剖面如图8所示。在形态分析结果中，环索101和下径向索103在与建筑给定的屋面曲面一致的目标位形上实现平衡，使支承于环索101和下径向索103的屋面系统106的几何位形与给定的屋面曲面完全一致；同时，在形态分析过程中只对上径向索节点202的z坐标进行了调整，x、y坐标不变，因此所有吊索105在整个形态分析过程中自动保持竖直。
实施例二
图9-12以屋面系统106直接支承于环索101和上径向索102、采用撑杆105的单环索轮辐式索桁架结构为例，对本发明的形态分析方法进行说明。
在本实施例中，屋面系统106在安装完成之后的几何位形需与建筑给定的屋面曲面一致。由于屋面系统106直接支承于环索101和上径向索102之上，因此形态分析得到的结构初始态中，环索101和上径向索102的位形应与给定的屋面曲面一致。同时，为实现优美的视觉效果，结构初始态的所有撑杆105均应保持竖直。
采用本发明的方法对该单环索轮辐式索桁架结构进行形态分析，包括以下步骤：
B1：建立单环索的轮辐式索桁架结构模型，其中，每榀索桁架均沿相邻两段环索101的角平分线方向布置，环索101和上径向索102的位形与建筑给定的屋面曲面吻合，所有撑杆105沿竖直方向布置，构件的相交处形成节点，节点按所处位置分为4种，分别为：环索101与上径向索102端部和下径向索103端部相连的节点，称为环索节点201；上径向索102和下径向索103除与环索101相连的端部之外的另一端部节点，称为边界节点204；上径向索102与撑杆105相连的节点，称为上径向索节点202；下径向索103与撑杆105相连的节点，称为下径向索节点203。
需要说明的是，建模时对下径向索节点203的z坐标没有要求，简便起见，可令模型中各下径向索节点203位于通过相应环索节点201和相应边界节点204的直线上，后续步骤将通过迭代修改下径向索节点203的z坐标实现形态分析目标。提取此时所有下径向索节点203的z坐标{zbRAS}。
B2：施加形态分析中需要考虑的结构自重和节点重量、屋面重量等附加恒荷载，约束边界节点204的x、y、z三个方向自由度，并临时约束环索节点201的x、y、z三个方向自由度与所有上径向索节点202和下径向索节点203的z向自由度。
B3：指定环索预应力的水平分量fTR0，并根据环索101的位形计算各环索101分段的预应力
Figure BDA0003590259420000141
其中lTRk和lTRPk分别为第k个环索101分段的长度和水平投影长度。
B4：以初应变或降温的形式将第B3步中的预应力赋给模型中的相应环索101单元。
B5：对模型执行静力计算。
B6：提取所有环索节点临时约束301的反力
Figure BDA0003590259420000142
与各榀索桁架的上径向索节点临时约束302的z向反力{RaRzi}＝{… raRzi(j) …}T和下径向索节点临时约束303的z向反力{RbRzi}＝{… rbRzi(j) …}T，其中i为索桁架及相应环索节点201的编号，rTRri、rTRci和rTRzi分别为第i个环索节点201处沿索桁架跨度方向、垂直于索桁架跨度方向和沿z向的约束反力，rTRci满足rTRci≡0，rTRri和rTRzi分别以沿索桁架跨度方向朝外和竖直向上为正，raRzi(j)和rbRzi(j)分别为第i榀索桁架的第j个上径向索节点202和第j个下径向索节点203处临时约束的z向反力，以竖直向上为正。
B7：分别计算各榀索桁架的上径向索水平力分配系数
Figure BDA0003590259420000151
对第i榀索桁架，lPi(1)为最接近环索101的撑杆105与相应环索节点201之间的水平投影距离，zTRi为相应环索节点201的z坐标，zaRi(1)和zbRi(1)分别为最靠近环索101的上径向索节点202和下径向索节点203的z坐标，其中zTRi和zaRi(1)根据屋面曲面给定，lPi(1)根据索桁架的径向分格给定，zbRi(1)根据当前模型的几何位形取值。
B8：若所有αai＜1，则计算各榀索桁架的下径向索水平力分配系数αbi＝1-αai，并进入下一步，若任意αai≥1，则返回第B3步，并增大指定的环索预应力水平分量fTR0，重新开始计算。
B9：对各榀索桁架，分别组集上径向索拓扑矩阵[Cai]，m×(n+2)矩阵[Cai]中的各个元素满足
Figure BDA0003590259420000152
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cai]的各列按照环索节点201、上径向索节点202、边界节点204的顺序排列，则有[Cai]＝[{CaTRi} [CaRi] {CaBi}]，其中m×1向量{CaTRi}、m×n矩阵[CaRi]和m×1向量{CaBi}分别为环索节点201、上径向索节点202和上径向索102上的边界节点204对应的列，m为第i榀索桁架的上径向索102和下径向索103各自的分段数，n为第i榀索桁架的上径向索节点202和下径向索节点203各自的数量，m和n满足m＝n+1。
B10：对各榀索桁架，分别组集上径向索力密度矩阵[Qai]＝diag(… qai(j) …)，其中qai(j)＝αairTRri/laPi(j)，laPi(j)为第i榀索桁架的第j个上径向索102分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定。
B11：对各榀索桁架，分别计算上径向索索力在所有上径向索节点202处的z向分力{PaRzi}＝-[CaRi]T[Qai][Cai]{zTRi {zaRi}T zaBi}T，其中{zaRi}＝{… zaRi(j) …}T为第i榀索桁架的所有上径向索节点202的z坐标，zaBi为第i榀索桁架的上径向索102上的边界节点204的z坐标，zTRi、{zaRi}和zaBi均根据屋面曲面给定。
B12：将{PaRzi}与反号后的相应{RaRzi}和{RbRzi}叠加，得到各榀索桁架下径向索103找形的驱动力{FDi}＝{PaRzi}-{RaRzi}-{RbRzi}。
B13：对各榀索桁架，分别组集下径向索拓扑矩阵[Cbi]，m×(n+2)矩阵[Cbi]中的各个元素满足
Figure BDA0003590259420000161
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cbi]的各列按照环索节点201、下径向索节点203、边界节点204的顺序排列，则有[Cbi]＝[{CbTRi} [CbRi] {CbBi}]，其中m×1向量{CbTRi}、m×n矩阵[CbRi]和m×1向量{CbBi}分别为环索节点201、下径向索节点203和下径向索103上的边界节点204对应的列。
B14：对各榀索桁架，分别组集下径向索力密度矩阵[Qbi]＝diag(… qbi(j) …)，其中qbi(j)＝αbirTRri/lbPi(j)，lbPi(j)为第i榀索桁架的第j个下径向索103分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定。
B15：考虑第B12步得到的驱动力，利用力密度法分别求解各榀索桁架的下径向索节点203的z坐标
Figure BDA0003590259420000162
其中zbBi为第i榀索桁架的下径向索103上的边界节点204的z坐标，根据边界位形给定。
B16：利用第B15步得到的各榀索桁架的{zbRi}更新模型的几何位形。
B17：基于更新后的几何位形，分别求解各榀索桁架的上径向索102在环索节点201处的z向分力paTRzi＝-{CaTRi}T[Qai][Cai]{zTRi {zaRi}T zaBi}T，以及下径向索103在环索节点201处的z向分力PbTRzi＝-{CbTRi}T[Qbi][Cbi]{zTRi {zbRi}T zbBi}T。
B18：对各榀索桁架，分别计算本轮迭代后的环索节点201的z向不平衡力fubi＝paTRzi+pbTRzi-rTRzi。
B19：将所有索桁架对应的环索节点201的z向不平衡力组集为向量{Fub}＝{… fubi…}，并计算{Fub}的2-范数||{Fub}||2，以ε作为预先设定的收敛精度，若||{Fub}||2≤ε，则进入下一步，若||{Fub}||2＞ε，则返回第B7步，进行新一轮迭代。
B20：组集此时所有下径向索节点203的z坐标{zbRA}＝{… {zbRi}T …}T，并计算{zbRA}-{zbRAS}的2-范数||{zbRA}-{zbRAS}||2，以η作为预先设定的收敛精度，若||{zbRA}-{zbRAS}||2≤η，则进入下一步，若||{zbRA}-{zbRAS}||2＞η，则令{zbRAS}＝{zbRA}，并返回第B5步，进行新一轮迭代。
B21：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，将{PaRzi}与反号后的{RaRzi}叠加，得到第i榀索桁架的撑杆105的预应力{FHi}＝{PaRzi}-{RaRzi}。
B22：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，计算第i榀索桁架的上径向索102和下径向索103的预应力{Fai}＝[Qai]{Lai}和{Fbi}＝[Qbi]{Lbi}，其中{Lai}＝{… lai(j)…}T和{Lbi}＝{… lbi(j) …}T分别为第i榀索桁架的各上径向索102分段和各下径向索103分段的长度。
B23：基于最后一轮迭代得到的结构位形，将{FTR}和所有{FHi}、{Fai}、{Fbi}作为预应力赋给模型中的相应单元，同时去除环索节点临时约束301、上径向索节点临时约束302和下径向索节点临时约束303，计算得到结构的初始态。
采用上述形态分析过程得到的结构初始态位形的典型剖面如图12所示。在形态分析结果中，环索101和上径向索102在与建筑给定的屋面曲面一致的目标位形上实现平衡，使支承于环索101和上径向索102的屋面系统106的几何位形与给定的屋面曲面完全一致；同时，在形态分析过程中只对下径向索节点203的z坐标进行了调整，x、y坐标不变，因此所有撑杆105在整个形态分析过程中自动保持竖直。
综上，本发明的思路为：在维持同一榀索桁架上径向索水平分力和下径向索水平分力的合力保持恒定的前提下，迭代调整上径向索和下径向索水平分力的相对大小以及上径向索或下径向索的位形，使环索节点在考虑环索索力、径向索索力、结构自重和附加恒载的情况下，同时满足水平向和竖向的平衡条件，从而使环索严格在目标位形达到平衡；同时，在各榀索桁架内部，基于力密度法分别进行上径向索和下径向索的找形或找力，实现对上径向索或下径向索初始态位形的精准控制，使支承屋面的上径向索或下径向索的初始态位形与目标位形保持一致。
最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (3)

1.单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法，其特征在于，当屋面支承于环索和下径向索，即需要控制环索和下径向索的位形与目标位形一致时，所述形态分析方法包括如下步骤：
S1：建立单环索的轮辐式索桁架结构模型，其中，每榀索桁架均沿相邻两段环索的角平分线方向布置，环索和下径向索的位形与建筑给定的屋面曲面吻合，所有吊索或撑杆沿竖直方向布置，构件的相交处形成节点，节点按所处位置分为4种，分别为环索节点、上径向索节点、下径向索节点和边界节点，提取此时所有上径向索节点的z坐标{zaRAS}；
S2：施加形态分析中需要考虑的结构自重和附加恒荷载，约束边界节点的x、y、z三个方向自由度，并临时约束环索节点的x、y、z三个方向自由度与所有上径向索节点和下径向索节点的z向自由度；
S3：指定环索预应力的水平分量fTR0，并根据环索位形计算各环索分段的预应力
Figure FDA0003590259410000011
其中lTRk和lTRPk分别为第k个环索分段的长度和水平投影长度；
S4：以初应变或降温的形式将第S3步中的预应力赋给模型中的相应环索单元；
S5：对模型执行静力计算；
S6：提取所有环索节点临时约束的反力
Figure FDA0003590259410000012
与各榀索桁架的上径向索节点临时约束的z向反力{RaRzi}＝{…raRzi(j)…}T和下径向索节点临时约束的z向反力{RbRzi}＝{…rbRzi(j)…}T，其中i为索桁架及相应环索节点的编号，rTRri、rTRci和rTRzi分别为第i个环索节点处沿索桁架跨度方向、垂直于索桁架跨度方向和沿z向的约束反力，rTRci满足rTRci≡0，rTRri和rTRzi分别以沿索桁架跨度方向朝外和竖直向上为正，raRzi(j)和rbRzi(j)分别为第i榀索桁架的第j个上径向索节点和第j个下径向索节点处临时约束的z向反力，以竖直向上为正；
S7：分别计算各榀索桁架的上径向索水平力分配系数
Figure FDA0003590259410000013
对第i榀索桁架，lPi(1)为最接近环索的吊索或撑杆与相应环索节点之间的水平投影距离，zTRi为相应环索节点的z坐标，zaRi(1)和zbRi(1)分别为最靠近环索的上径向索节点和下径向索节点的z坐标，其中zTRi和zbRi(1)根据屋面曲面给定，lPi(1)根据索桁架的径向分格给定，zaRi(1)根据当前模型的几何位形取值；
S8：若所有αai＜1，则计算各榀索桁架的下径向索水平力分配系数αbi＝1-αai，并进入下一步，若任意αai≥1，则返回第S3步，并增大指定的环索预应力水平分量fTR0，重新开始计算；
S9：对各榀索桁架，分别组集下径向索拓扑矩阵[Cbi]，m×(n+2)矩阵[Cbi]中的各个元素满足
Figure FDA0003590259410000021
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cbi]的各列按照环索节点、下径向索节点、边界节点的顺序排列，则有[Cbi]＝[{CbTRi}[CbRi]{CbBi}]，其中m×1向量{CbTRi}、m×n矩阵[CbRi]和m×1向量{CbBi}分别为环索节点、下径向索节点和下径向索上的边界节点对应的列，m为第i榀索桁架的上径向索和下径向索各自的分段数，n为第i榀索桁架的上径向索节点和下径向索节点各自的数量，m和n满足m＝n+1；
S10：对各榀索桁架，分别组集下径向索力密度矩阵[Qbi]＝diag(…qbi(j)…)，其中qbi(j)＝αbirTRri/lbPi(j)，lbPi(j)为第i榀索桁架的第j个下径向索分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定；
S11：对各榀索桁架，分别计算下径向索索力在所有下径向索节点处的z向分力{PbRzi}＝-[CbRi]T[Qbi][Cbi]{zTRi{zbRi}TzbBi}T，其中{zbRi}＝{…zbRi(j)…}T为第i榀索桁架的所有下径向索节点的z坐标，zbBi为第i榀索桁架的下径向索上的边界节点z坐标，zTRi、{zbRi}和zbBi均根据屋面曲面给定；
S12：将{PbRzi}与反号后的相应{RaRzi}和{RbRzi}叠加，得到各榀索桁架上径向索找形的驱动力{FDi}＝{PbRzi}-{RaRzi}-{RbRzi}；
S13：对各榀索桁架，分别组集上径向索拓扑矩阵[Cai]，m×(n+2)矩阵[Cai]中的各个元素满足
Figure FDA0003590259410000022
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cai]的各列按照环索节点、上径向索节点、边界节点的顺序排列，则有[Cai]＝[{CaTRi}[CaRi]{CaBi}]，其中m×1向量{CaTRi}、m×n矩阵[CaRi]和m×1向量{CaBi}分别为环索节点、上径向索节点和上径向索上的边界节点对应的列；
S14：对各榀索桁架，分别组集上径向索力密度矩阵[Qai]＝diag(…qai(j)…)，其中qai(j)＝αairTRri/laPi(j)，laPi(j)为第i榀索桁架的第j个上径向索分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定；
S15：结合第S12步得到的驱动力，利用力密度法分别求解各榀索桁架的上径向索节点的z坐标
Figure FDA0003590259410000031
其中zaBi为第i榀索桁架的上径向索上的边界节点z坐标，根据边界位形给定；
S16：利用第S15步得到的各榀索桁架的{zaRi}更新模型的几何位形；
S17：基于更新后的几何位形，分别求解各榀索桁架的上径向索在环索节点处的z向分力paTRzi＝-{CaTRi}T[Qai][Cai]{zTRi{zaRi}TzaBi}T，以及下径向索在环索节点处的z向分力pbTRzi＝-{CbTRi}T[Qbi][Cbi]{zTRi{zbRi}TzbBi}T；
S18：对各榀索桁架，分别计算本轮迭代后的环索节点z向不平衡力fubi＝PaTRzi+PbTRzi-rTRzi；
S19：将所有索桁架对应的环索节点z向不平衡力组集为向量{Fub}＝{…fubi…}，并计算{Fub}的2-范数||{Fub}||2，以ε作为预先设定的收敛精度，若||{Fub}||2≤ε，则进入下一步，若||{Fub}||2＞ε，则返回第S7步，进行新一轮迭代；
S20：组集此时所有上径向索节点的z坐标{zaRA}＝{…{zaRi}T…}T，并计算{zaRA}-{zaRAS}的2-范数||{zaRA}-{zaRAS}||2，以η作为预先设定的收敛精度，若||{zaRA}-{zaRAS}||2≤η，则进入下一步，若||{zaRA}-{zaRAS}||2＞η，则令{zaRAS}＝{zaRA}，并返回第S5步，进行新一轮迭代；
S21：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，将{RbRzi}与反号后的{PbRzi}叠加，得到第i榀索桁架的吊索或撑杆预应力{FHi}＝{RbRzi}-{PbRzi}；
S22：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，计算第i榀索桁架的上径向索和下径向索的预应力{Fai}＝[Qai]{Lai}和{Fbi}＝[Qbi]{Lbi}，其中{Lai}＝{…lai(j)…}T和{Lbi}＝{…lbi(j)…}T分别为第i榀索桁架的各上径向索分段和各下径向索分段的长度；
S23：基于最后一轮迭代得到的结构位形，将{FTR}和所有{FHi}、{Fai}、{Fbi}作为预应力赋给模型中的相应单元，同时去除环索节点临时约束、上径向索节点临时约束和下径向索节点临时约束，计算得到结构的初始态；
当屋面支承于环索和上径向索，即需要控制环索和上径向索的位形与目标位形一致时，所述形态分析方法包括如下步骤：
T1：建立单环索的轮辐式索桁架结构模型，其中，每榀索桁架均沿相邻两段环索的角平分线方向布置，环索和上径向索的位形与建筑给定的屋面曲面吻合，所有吊索或撑杆沿竖直方向布置，构件的相交处形成节点，节点按所处位置分为4种，分别为环索节点、上径向索节点、下径向索节点和边界节点，提取此时所有下径向索节点的z坐标{zbRAS}；
T2：施加形态分析中需要考虑的结构自重和附加恒荷载，约束边界节点的x、y、z三个方向自由度，并临时约束环索节点的x、y、z三个方向自由度与所有上径向索节点和下径向索节点的z向自由度；
T3：指定环索预应力的水平分量fTR0，并根据环索位形计算各环索分段的预应力
Figure FDA0003590259410000041
其中lTRk和lTRPk分别为第k个环索分段的长度和水平投影长度；
T4：以初应变或降温的形式将第T3步中的预应力赋给模型中的相应环索单元；
T5：对模型执行静力计算；
T6：提取所有环索节点临时约束的反力
Figure FDA0003590259410000042
与各榀索桁架的上径向索节点临时约束的z向反力{RaRzi}＝{…raRzi(j)…}T和下径向索节点临时约束的z向反力{RbRzi}＝{…rbRzi(j)…}T，其中i为索桁架及相应环索节点的编号，rTRri、rTRci和rTRzi分别为第i个环索节点处沿索桁架跨度方向、垂直于索桁架跨度方向和沿z向的约束反力，rTRci满足rTRci≡0，rTRri和rTRzi分别以沿索桁架跨度方向朝外和竖直向上为正，raRzi(j)和rbRzi(j)分别为第i榀索桁架的第j个上径向索节点和第j个下径向索节点处临时约束的z向反力，以竖直向上为正；
T7：分别计算各榀索桁架的上径向索水平力分配系数
Figure FDA0003590259410000051
对第i榀索桁架，lPi(1)为最接近环索的吊索或撑杆与相应环索节点之间的水平投影距离，zTRi为相应环索节点的z坐标，zaRi(1)和zbRi(1)分别为最靠近环索的上径向索节点和下径向索节点的z坐标，其中zTRi和zaRi(1)根据屋面曲面给定，lPi(1)根据索桁架的径向分格给定，zbRi(1)根据当前模型的几何位形取值；
T8：若所有αai＜1，则计算各榀索桁架的下径向索水平力分配系数αbi＝1-αai，并进入下一步，若任意αai≥1，则返回第T3步，并增大指定的环索预应力水平分量fTR0，重新开始计算；
T9：对各榀索桁架，分别组集上径向索拓扑矩阵[Cai]，m×(n+2)矩阵[Cai]中的各个元素满足
Figure FDA0003590259410000052
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cai]的各列按照环索节点、上径向索节点、边界节点的顺序排列，则有[Cai]＝[{CaTRi}[CaRi]{CaBi}]，其中m×1向量{CaTRi}、m×n矩阵[CaRi]和m×1向量{CaBi}分别为环索节点、上径向索节点和上径向索上的边界节点对应的列，m为第i榀索桁架的上径向索和下径向索各自的分段数，n为第i榀索桁架的上径向索节点和下径向索节点各自的数量，m和n满足m＝n+1；
T10：对各榀索桁架，分别组集上径向索力密度矩阵[Qai]＝diag(…qai(j)…)，其中qai(j)＝αairTRri/laPi(j)，laPi(j)为第i榀索桁架的第j个上径向索分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定；
T11：对各榀索桁架，分别计算上径向索索力在所有上径向索节点处的z向分力{PaRzi}＝-[CaRi]T[Qai][Cai]{zTRi{zaRi}TzaBi}T，其中{zaRi}＝{…zaRi(j)…}T为第i榀索桁架的所有上径向索节点的z坐标，zaBi为第i榀索桁架的上径向索上的边界节点z坐标，zTRi、{zaRi}和zaBi均根据屋面曲面给定；
T12：将{PaRzi}与反号后的相应{RaRzi}和{RbRzi}叠加，得到各榀索桁架下径向索找形的驱动力{FDi}＝{PaRzi}-{RaRzi}-{RbRzi}；
T13：对各榀索桁架，分别组集下径向索拓扑矩阵[Cbi]，m×(n+2)矩阵[Cbi]中的各个元素满足
Figure FDA0003590259410000061
每一列包含了与该列对应节点相连的单元信息，将[Cbi]的各列按照环索节点、下径向索节点、边界节点的顺序排列，则有[Cbi]＝[{CbTRi}[CbRi]{CbBi}]，其中m×1向量{CbTRi}、m×n矩阵[CbRi]和m×1向量{CbBi}分别为环索节点、下径向索节点和下径向索上的边界节点对应的列；
T14：对各榀索桁架，分别组集下径向索力密度矩阵[Qbi]＝diag(…qbi(j)…)，其中qbi(j)＝αbirTRri/lbPi(j)，lbPi(j)为第i榀索桁架的第j个下径向索分段的水平投影长度，根据索桁架的径向分格给定；
T15：考虑第T12步得到的驱动力，利用力密度法分别求解各榀索桁架的下径向索节点的z坐标
Figure FDA0003590259410000062
其中zbBi为第i榀索桁架的下径向索上的边界节点z坐标，根据边界位形给定；
T16：利用第T15步得到的各榀索桁架的{zbRi}更新模型的几何位形；
T17：基于更新后的几何位形，分别求解各榀索桁架的上径向索在环索节点处的z向分力paTRzi＝-{CaTRi}T[Qai][Cai]{zTRi{zaRi}TzaBi}T，以及下径向索在环索节点处的z向分力pbTRzi＝-{CbTRi}T[Qbi][Cbi]{zTRi{zbRi}TzbBi}T；
T18：对各榀索桁架，分别计算本轮迭代后的环索节点z向不平衡力fubi＝paTRzi+pbTRzi-rTRzi；
T19：将所有索桁架对应的环索节点z向不平衡力组集为向量{Fub}＝{…fubi…}，并计算{Fub}的2-范数||{Fub}||2，以ε作为预先设定的收敛精度，若||{Fub}||2≤ε，则进入下一步，若||{Fub}||2＞ε，则返回第T7步，进行新一轮迭代；
T20：组集此时所有下径向索节点的z坐标{zbRA}＝{…{zbRi}T…}T，并计算{zbRA}-{zbRAS}的2-范数||{zbRA}-{zbRAS}||2，以η作为预先设定的收敛精度，若||{zbRA}-{zbRAS}||2≤η，则进入下一步，若||{zbRA}-{zbRAS}||2＞η，则令{zbRAS}＝{zbRA}，并返回第T5步，进行新一轮迭代；
T21：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，将{PaRzi}与反号后的{RaRzi}叠加，得到第i榀索桁架的吊索或撑杆预应力{FHi}＝{PaRzi}-{RaRzi}；
T22：对各榀索桁架，分别基于最后一轮迭代的结果，计算第i榀索桁架的上径向索和下径向索的预应力{Fai}＝[Qai]{Lai}和{Fbi}＝[Qbi]{Lbi}，其中{Lai}＝{…lai(j)…}T和{Lbi}＝{…lbi(j)…}T分别为第i榀索桁架的各上径向索分段和各下径向索分段的长度；
T23：基于最后一轮迭代得到的结构位形，将{FTR}和所有{FHi}、{Fai}、{Fbi}作为预应力赋给模型中的相应单元，同时去除环索节点临时约束、上径向索节点临时约束和下径向索节点临时约束，计算得到结构的初始态。
2.根据权利要求1所述的单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法，其特征在于，步骤S1和步骤T1中的所述环索节点指环索与上径向索端部和下径向索端部相连的节点，所述边界节点指上径向索和下径向索除与环索相连的端部之外的另一端部节点，所述上径向索节点指上径向索与吊索或撑杆相连的节点，所述下径向索节点指下径向索与吊索或撑杆相连的节点。
3.根据权利要求1所述的单环索轮辐式索桁架结构的形态分析方法，其特征在于，步骤S2和步骤T2中的所述附加恒荷载包括节点重量以及屋面系统重量。
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