CN107016179B - 一种张弦结构的找形方法 - Google Patents

Abstract

本申请公开了一种张弦结构的找形方法，该方法能在张弦结构上弦给定，且撑杆保持竖直的条件下寻找相应的下弦索构形，并给出初始态的预应力。本发明可在不改变上弦刚性部分几何形状、保持撑杆竖直的前提下进行张弦结构下弦索的找形，使结构的初始态与建筑几何完全吻合；适用范围广，可用于单向、双向、多向张弦梁以及张弦网壳等不同类型的张弦结构；找形过程中仅更新节点的z坐标，节点x、y坐标自动满足平衡方程，无需进行更新，从而使撑杆自动保持竖直；控制参数少，可以针对给定的上弦刚性部分的几何形状，直接得到一系列不同尺寸的下弦索形状以及对应的预应力，便于建筑方案比选和结构优化。

Description

一种张弦结构的找形方法

技术领域

本发明涉及建筑工程的建筑设计和结构设计领域，具体涉及一种张弦结构的找形方法。

背景技术

张弦结构由上弦刚性构件、下弦高强度索以及连接二者的撑杆组成，是一种典型的由刚、柔性单元组成的杂交结构体系。这类结构体系的最早应用形式是平面受力的张弦梁(beam string structure)，其刚性部分采用梁、拱等单向构件，后来逐渐发展出张弦立体桁架、双向张弦梁结构、多向张弦梁结构、张弦网壳等不同类型。张弦结构能充分发挥刚性构件和柔性构件的受力特点，具有跨越较大空间的能力，广泛应用于大跨度建筑。

在张弦结构的早期应用中，下弦形状通常由建筑要求确定，并在此基础上进行找力分析以及基于逆迭代的零状态找形分析。近期研究表明，通过确定合理的下弦形状及相应的预应力，可使结构的初始态(即张拉完成、考虑指定荷载的平衡态)与零状态几何形状相同，改善上弦刚性构件的内力分布，提高材料的利用率。现有的下弦索找形方法主要包括有限元法、力密度法、动力松弛法等。

在工程实践中，除了要求张弦结构的初始态与建筑几何吻合，还一般要求撑杆保持竖直。目前基于力密度法的找形对下弦索节点三个方向的坐标同时求解，为了得到撑杆竖直的结构初始态，需要在找形中引入迭代过程，对节点的x、y坐标进行修正。本发明基于力密度法提出一种张弦结构找形方法，无需对节点的x、y坐标进行修正，使撑杆自动保持竖直。

发明内容

针对现有技术中存在的问题，本发明的目的在于提供一种张弦结构的找形方法，其有效解决了背景技术中存在的问题。

为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种张弦结构的找形方法，所述方法包括如下步骤：

步骤1：将张弦结构按构件特性拆分为两部分，第一部分为上弦刚性部分与撑杆组成的刚性模型，其中撑杆沿竖直方向布置；第二部分为下弦索构成的柔性模型；

步骤2：约束刚性模型的边界节点，以及每根撑杆下端点的三个平动自由度，在指定荷载作用下进行静力计算，提取撑杆内力；

步骤3：约束柔性模型的边界节点，以及每个下弦索节点的z向自由度，在自重作用下进行静力计算，提取每个下弦索节点的z向反力；

步骤4：将步骤3得到的反力值与步骤2中的撑杆内力相加，所得结果作为柔性模型找形采用的外荷载；

步骤5：以力密度为变量建立柔性模型下弦索节点的x向、y向平衡方程组，求解方程组的通解，该通解称作力密度模态，满足各节点x向和y向平衡条件；

步骤6：将步骤5得到的力密度模态乘以调整系数，得到柔性模型找形采用的力密度；

步骤7：采用步骤6得到的力密度，并将步骤4得到的外荷载施加到柔性模型的相应节点上，对柔性模型进行带荷载的力密度法找形；

步骤8：检查找形得到的柔性模型几何是否满足与建筑功能相关的要求，若满足则进入下一步，否则返回步骤6，更新力密度模态的调整系数，并重新进行找形，直至得到几何尺寸满足要求的柔性模型；

步骤9：根据找形结果更新张弦结构整体模型，检查本次找形引起的结构几何尺寸变化幅度是否在预设限值之内，若是则进入下一步，否则基于最新的结构模型重新执行上述找形过程，直至单次找形引起的几何尺寸变化幅度小于预设限值；

步骤10：根据找形后的下弦索长度和相应的力密度，求解初始态中下弦索的预应力。

进一步，步骤5中所述力密度模态的计算方法为：为柔性模型的第i个节点建立x向和y向平衡方程：

其中(x_i,y_i)为第i个节点的x、y坐标，n为连接到第i个节点的下弦索的数量，L_k、f_k和(x_k,y_k)分别为连接到第i个节点的第k根下弦索的长度、内力和另一端点的x、y坐标，其中k＝1,2,…,n；引入力密度q_k＝f_k/L_k，将式(1)变换为：

在式(2)中，(x_i,y_i)、(x_k,y_k)已经根据各节点的水平位置给定，而q_k未知，因此将式(2)视为关于q_k的方程组；为柔性模型所有节点建立同样的平衡方程并组集，有：

[A_q]{q}＝{0} (3)

齐次线性方程组(3)的通解即为满足柔性模型各节点水平平衡条件的力密度模态。

进一步，步骤7中所述对柔性模型进行带荷载的力密度法找形具体为：

对柔性模型的每个节点施加沿z向的外荷载，用p_i表示；则柔性模型第i个节点的平衡方程为：

其中(x_i,y_i,z_i)为第i个节点的x、y、z坐标，n为连接到第i个节点的下弦索数量，L_k、f_k和(x_k,y_k,z_k)分别为连接到第i个节点的第k根下弦索的长度、内力和另一端点的x、y、z坐标，其中k＝1,2,…,n；引入力密度q_k＝f_k/L_k，将式(4)写为：

由式(1)-式(3)可知，当采用由步骤6得到的力密度时，式(5)的前两个方程自动成立，只需对第三个方程进行求解；

设柔性模型有b根下弦索，m个节点，其中待找形的下弦索节点和固定的边界节点的数量分别为m_f和m_c，引入b×m的拓扑矩阵：

在[C]中将下弦索节点排列在边界节点之前，将[C]拆分为自由节点拓扑矩阵[C_f]和约束节点拓扑矩阵[C_c]，即[C]＝[[C_f][C_c]]；对柔性模型的所有节点列出z向平衡方程并组集，得到：

[C_f]^T[Q][C_f]{z_f}+[C_f]^T[Q][C_c]{z_c}＝{p} (7)

其中{z_f}为待求解的节点的z坐标向量，{z_c}为边界节点的z坐标向量，{p}为节点外荷载向量，[Q]为力密度对角矩阵；求解式(7)，即得节点的z坐标：

{z_f}＝([C_f]^T[Q][C_f])^-1({p}-[C_f]^T[Q][C_c]{z_c}) (8)

以上求解意味着在柔性模型的找形过程中仅更新z坐标，而x、y坐标不变，因而撑杆自动保持竖直。

本发明具有以下有益技术效果：

1.可在不改变上弦刚性部分几何形状、保持撑杆竖直的前提下进行张弦结构下弦索的找形，使结构的初始态与建筑几何完全吻合；

2.适用范围广，可用于单向、双向、多向张弦梁以及张弦网壳等不同类型的张弦结构；

3.找形过程中仅更新节点的z坐标，节点x、y坐标自动满足平衡方程，无需进行更新，从而使撑杆自动保持竖直；

4.控制参数少，可以针对给定的上弦刚性部分的几何形状，直接得到一系列不同尺寸的下弦索形状以及对应的预应力，便于建筑方案比选和结构优化。

附图说明

图1为本发明的找形方法流程图；

图2为本发明实施例1的找形前整体模型；

图3为本发明实施例1求解撑杆内力的刚性模型；

图4为本发明实施例1求解自重反力的柔性模型；

图5为本发明实施例1施加找形外荷载的柔性模型；

图6为本发明实施例1柔性模型的局部平面投影；

图7为本发明实施例1的不同找形结果；

图8为本发明实施例2的找形前整体模型；

图9为本发明实施例2求解撑杆内力的刚性模型；

图10为本发明实施例2求解自重反力的柔性模型；

图11为本发明实施例2施加找形外荷载的柔性模型；

图12为本发明实施例2柔性模型的局部平面投影；

图13为本发明实施例2的找形结果；

图14为本发明实施例3的找形前整体模型；

图15为本发明实施例3求解撑杆内力的刚性模型；

图16为本发明实施例3求解自重反力的柔性模型；

图17为本发明实施例3施加找形外荷载的柔性模型；

图18为本发明实施例3柔性模型的局部平面投影；

图19为本发明实施例3的找形结果；

其中：1为上弦刚性部分，2为撑杆，3为下弦索，4为撑杆上端点，5为撑杆下端点(即下弦索节点)，6为边界节点，7为计算撑杆内力时考虑的指定荷载，8为找形采用的外荷载，9为环索，10为径向索。

具体实施方式

下面，参考附图，对本发明进行更全面的说明，附图中示出了本发明的示例性实施例。然而，本发明可以体现为多种不同形式，并不应理解为局限于这里叙述的示例性实施例。而是，提供这些实施例，从而使本发明全面和完整，并将本发明的范围完全地传达给本领域的普通技术人员。

为了易于说明，在这里可以使用诸如“上”、“下”“左”“右”等空间相对术语，用于说明图中示出的一个元件或特征相对于另一个元件或特征的关系。应该理解的是，除了图中示出的方位之外，空间术语意在于包括装置在使用或操作中的不同方位。例如，如果图中的装置被倒置，被叙述为位于其他元件或特征“下”的元件将定位在其他元件或特征“上”。因此，示例性术语“下”可以包含上和下方位两者。装置可以以其他方式定位(旋转90度或位于其他方位)，这里所用的空间相对说明可相应地解释。

如图1所示，本申请提供了一种张弦结构的找形方法，该方法包括如下步骤：

步骤1：将张弦结构按构件特性拆分为两部分，第一部分为上弦刚性部分1与撑杆2组成的刚性模型，其中撑杆2沿竖直方向布置，长度可取任意值，第二部分为下弦索3构成的柔性模型；

步骤2：约束刚性模型的边界节点6，以及所有撑杆下端点5的三个平动自由度，在指定荷载7(通常为结构自重和附加恒荷载)作用下进行静力计算，提取撑杆2内力；

步骤3：约束柔性模型的边界节点6，以及每个下弦索节点5的z向自由度，在自重作用下进行静力计算，提取每个下弦索节点5的z向反力；

步骤4：将步骤3得到的反力值与步骤2中的撑杆2内力相加，所得结果作为柔性模型找形采用的外荷载8；

步骤5：以力密度为变量建立柔性模型下弦索节点5的x向、y向平衡方程组，求解方程组的通解，该通解称作力密度模态，满足各节点5的x向和y向平衡条件；

步骤6：将步骤5得到的力密度模态乘以调整系数，得到柔性模型找形采用的力密度，调整系数与下弦索的预应力水平和目标几何尺寸有关，需根据经验确定；

步骤7：采用步骤6得到的力密度，并将步骤4得到的外荷载8施加到柔性模型的相应节点5上，对柔性模型进行带荷载的力密度法找形，找形过程中各节点5的x、y坐标自动满足平衡，仅更新z坐标；

步骤8：检查找形得到的柔性模型几何是否满足与建筑功能相关的要求，若满足则进入下一步，否则返回步骤6，更新力密度模态调整系数，并重新进行找形，直至得到几何尺寸满足要求的柔性模型；

步骤9：根据找形结果更新张弦结构整体模型，检查本次找形引起的结构几何尺寸变化幅度是否在预设限值之内，若是则进入下一步，否则基于最新的结构模型重新执行上述找形过程，直至单次找形引起的几何尺寸变化幅度小于预设限值；

步骤10：根据最后一次找形采用的力密度和相应的下弦索3长度，求解初始态中下弦索3的预应力。

步骤5中力密度模态的计算方法为：为柔性模型的第i个节点5建立x向和y向平衡方程：

其中(x_i,y_i)为第i个节点5的x、y坐标，n为连接到第i个节点5的下弦索3的数量，L_k、f_k和(x_k,y_k)分别为连接到第i个节点5的第k根下弦索3的长度、内力和另一端点的x、y坐标，其中k＝1,2,…,n；引入力密度q_k＝f_k/L_k，将式(1)变换为：

在式(2)中，(x_i,y_i)、(x_k,y_k)已经根据各节点5的水平位置给定，而q_k未知，因此将式(2)视为关于q_k的方程组；为柔性模型所有节点5建立同样的平衡方程并组集，有：

[A_q]{q}＝{0} (3)

齐次线性方程组(3)的通解即为满足柔性模型各节点5水平平衡条件的力密度模态。

步骤7中对柔性模型进行带荷载的力密度法找形具体为：

对柔性模型的每个节点5施加沿z向(即撑杆方向)的外荷载8，用p_i表示；则柔性模型第i个节点5的平衡方程为：

其中(x_i,y_i,z_i)为第i个节点5的x、y、z坐标，n为连接到第i个节点5的下弦索3数量，L_k、f_k和(x_k,y_k,z_k)分别为连接到第i个节点5的第k根下弦索3的长度、内力和另一端点的x、y、z坐标，其中k＝1,2,…,n；引入力密度q_k＝f_k/L_k，将式(4)写为：

由式(1)-式(3)可知，当采用由步骤6得到的力密度时，式(5)的前两个方程自动成立，只需对第三个方程进行求解；

设柔性模型有b根下弦索3，m个节点，其中待找形的下弦索节点5和固定的边界节点6的数量分别为m_f和m_c，引入b×m的拓扑矩阵：

在[C]中将下弦索节点5排列在边界节点6之前，将[C]拆分为自由节点拓扑矩阵[C_f]和约束节点拓扑矩阵[C_c]，即C＝[[C_f][C_c]]；对柔性模型的所有节点5列出z向平衡方程并组集，得到：

[C_f]^T[Q][C_f]{z_f}+[C_f]^T[Q][C_c]{z_c}＝{p} (7)

其中{z_f}为待求解的节点5的z坐标向量，{z_c}为边界节点6的z坐标向量，{p}为节点外荷载8向量，[Q]为力密度对角矩阵；求解式(7)，即得节点5的z坐标：

{z_f}＝([C_f]^T[Q][C_f])^-1({p}-[C_f]^T[Q][C_c]{z_c}) (8)

以上求解意味着在柔性模型的找形过程中仅更新z坐标，而x、y坐标不变，因而撑杆2自动保持竖直。

实施例1

图2-7以张弦梁结构找形为实施例，对本发明进行说明。

图2所示为找形前的张弦梁整体结构，其由上弦梁1、撑杆2和下弦索3组成。撑杆2上端点4铰接于上弦梁1，在下端点5与下弦索3铰接。边界节点6为铰支座。

将图2中的整体结构在撑杆下端点5处拆分为图3所示的刚性模型和图4所示的柔性模型，其中刚性模型由上弦梁1和撑杆2组成，柔性模型由下弦索3构成。

在图3的刚性模型中，约束撑杆2下端点5，并在上弦梁1上施加指定荷载(通常为结构自重和附加恒荷载)，然后进行静力计算，提取计算结果中的撑杆2内力。

在图4的柔性模型中，约束节点5的z向自由度，在结构自重作用下进行静力计算，提取节点5的支座反力。

将由刚性模型提取的撑杆2内力与由柔性模型提取的节点5反力进行叠加，所得结果作为找形采用的外荷载8，施加在柔性模型的相应节点5上，如图5所示。

将柔性模型投影到水平面，每个节点5的投影均连接有两个下弦索3的投影，其局部如图6所示。对编号为i的节点5，以q_k和q_k+1表示连接到该节点的单元k和k+1的力密度，x_k和

分别表示单元k和k+1的另一端点x坐标，则所有节点5的水平平衡方程均为：

(x_k-x_i)q_k+(x_k+1-x_i)q_k+1＝0 (9)

以l_k和

表示单元k和k+1的水平投影长度，则在图6中，有l_k＝x_i-x_k和

代入式(9)，有：

l_kq_k＝l_k+1q_k+1 (10)

联立所有节点5的平衡方程，求得方程组通解为：

将向量{q}扩展为对角矩阵形式，作为满足节点5水平平衡条件的力密度模态：

由此可知，满足各节点5水平平衡条件的力密度模态中，各下弦索3对应数值为其水平投影长度的倒数。将力密度模态[Q_m]乘以调整系数，所得结果仍能令方程(10)成立，即仍满足节点5的水平平衡条件，作为找形时的力密度[Q]。

将外荷载8向量{p}和力密度[Q]代入式(8)，即得到找形后的节点5坐标。由于方程(8)仅更新了节点5的z坐标，因此找形后的撑杆2仍然保持竖直。

将力密度模态乘以调整系数等价于等比例调整初始态中的下弦索3预应力。将力密度模态乘以不同的调整系数，把所得结果作为力密度分别代入式(8)，可得到各自对应的的找形结果，如图7所示。建筑功能一般会对结构的几何尺寸提出要求，可以根据要求选择合适的找形结果。

由于找形后结构几何尺寸发生变化，结构自重也会随之改变，因此应重新执行上述过程，直至单次找形引起的几何尺寸变化幅度小于预设限值。由于每次找形过程中节点的水平位置不变，因此采用一致的力密度模态。

实施例2

图8-13以双向张弦梁结构找形为实施例，对本发明进行说明。

图8所示为找形前的双向张弦梁整体结构，其由水平投影正交的上弦梁系1、撑杆2和水平投影正交的下弦索3组成。撑杆2上端点4铰接于上弦梁系1的交点，下端点5铰接于两个方向下弦索3的交点。边界节点6为铰支座。

将图8中的整体结构在撑杆下端点5处拆分为图9所示的刚性模型和图10所示的柔性模型，其中刚性模型由上弦梁系1和撑杆2组成，柔性模型由下弦索3构成。

在图9的刚性模型中，约束撑杆2下端点5，并在上弦梁系1上施加指定荷载(通常为结构自重和附加恒荷载)，然后进行静力计算，提取计算结果中的撑杆2内力。

在图10的柔性模型中，约束节点5的z向自由度，在结构自重作用下进行静力计算，提取节点5的支座反力。

将由刚性模型提取的撑杆2内力与由柔性模型提取的节点5反力进行叠加，所得结果作为找形采用的外荷载8，施加在柔性模型的相应节点5上，如图11所示。

将柔性模型投影到水平面，每个节点5的投影均连接有4个下弦索3的投影，如图12所示。对编号为i的节点5，以q_j表示连接到该节点的单元j的力密度，x_j和y_j表示单元j另一端点的x坐标和y坐标(j＝k,k+1,k+2,k+3)，则节点的水平平衡方程为：

以l_j表示单元j的水平投影长度(j＝k,k+1,k+2,k+3)，则在图12中，有l_k＝x_k-x_i，l_k+2＝x_i-x_k+2，

和

代入式(13)，有：

联立所有节点5的平衡方程，可以发现，若将平面投影共线的下弦索3编为一组，则各组下弦索3对应的平衡方程组是相互独立的，各方程组的形式与实施例1中的单榀张弦梁平衡方程组的形式一样。由此得到第h组下弦索3对应的通解为：

其中l(h)k第h组第k根下弦索3的长度。

将向量{q_h}扩展为对角矩阵形式：

然后将各组下弦索3对应的矩阵[Q(h)m]进行整合，作为满足节点5水平平衡条件的力密度模态：

其中a_h为第h组下弦索3的相对内力系数，与各组下弦索3预应力的相对大小有关，也会影响到最终的找形结果。当各组下弦索3的a_h值给定后，则找形采用的力密度模态也随之确定。

将力密度模态[Q_m]乘以调整系数，所得结果作为找形时的力密度[Q]。将外荷载8向量{p}和力密度[Q]代入式(8)，即得到找形后的节点5坐标。由于方程(8)仅更新了节点5的z坐标，因此找形后的撑杆2仍然保持竖直。采用不同的调整系数会得到不同几何尺寸的找形结果，可根据建筑功能要求进行选择。

由于找形后结构几何尺寸发生变化，结构自重也会随之改变，因此应重新执行上述过程，直至单次找形引起的几何尺寸变化幅度小于预设限值。由于每次找形过程中节点的水平位置不变，因此采用一致的力密度模态。图13所示为找形后的整体结构。

实施例3

图14-19以张弦网壳结构找形为实施例，对本发明进行说明。

图14所示为找形前的张弦网壳整体结构，其由肋环形的上弦网壳1、撑杆2、环索9和径向索10组成。径向索10沿相应环索9夹角的角平分线方向布置，环索9和径向索10构成了张弦网壳的下弦索。撑杆2上端点4铰接于上弦网壳的节点，下端点5与下弦索铰接。边界节点6为铰支座。

将图14中的整体结构在撑杆下端点5处拆分为图15所示的刚性模型和图16所示的柔性模型，其中刚性模型由上弦网壳1和撑杆2组成，柔性模型由环索9和径向索10构成。

在图15的刚性模型中，约束撑杆2下端点5，并在上弦网壳1上施加指定荷载(通常为结构自重和附加恒荷载)，然后进行静力计算，提取计算结果中的撑杆2内力。

在图16的柔性模型中，约束节点5的z向自由度，在结构自重作用下进行静力计算，提取节点5的支座反力。

将由刚性模型提取的撑杆2内力与由柔性模型提取的节点5反力进行叠加，所得结果作为找形采用的外荷载8，施加在柔性模型的相应节点5上，如图17所示。

将柔性模型投影到水平面，其局部如图18所示。需要注意的是，本发明的找形方法并不要求各环索9的长度相等，为突出这一特点，图18中放大了相邻环索9的几何尺寸差异。

由于满足节点5水平平衡条件的力密度仅与下弦索内力和长度有关，与坐标系无关，因此可以在任意坐标系下求解。如图18，取一环索9节点，以该节点为原点、径向索10所在直线为x轴建立坐标系，以q_j表示连接到该节点的单元j的力密度，x_j和y_j表示单元j另一端点的x坐标和y坐标(j＝k,k+1,k+2)，则该节点的水平平衡方程为：

以l_j表示单元j的水平投影长度(j＝k,k+1,k+2)，则在图18中，有：x_k＝l_k，x_k+1＝l_k+1cosθ，x_k+2＝l_k+2cosθ，y_k+1＝l_k+1sinθ和y_k+2＝-l_k+2sinθ，代入式(18)，有：

θ为径向索10与环索9水平投影的夹角，满足90°＜θ＜180°，因此sinθ≠0，cosθ≠0，由此将式(19)简化为：

式(20)建立了与坐标系无关的环索9节点平衡方程。

类似于实施例1，建立图18中其他节点5的平衡方程：

l_kq_k＝l_k-1q_k-1 (21)

联立所有节点5的平衡方程，求解方程组的通解。通解中各环索9的对应结果为：

径向索10的对应结果为：

将方程组的通解扩展为对角矩阵形式，作为满足节点5水平平衡条件的力密度模态[Q_m]。将力密度模态[Q_m]乘以调整系数，所得结果作为找形时的力密度[Q]。将外荷载8向量{p}和力密度[Q]代入式(8)，即得到找形后的节点5坐标。由于方程(8)仅更新了节点5的z坐标，因此找形后的撑杆2仍然保持竖直。采用不同的调整系数会得到不同几何尺寸的找形结果，可根据建筑功能要求进行选择。

由于找形后结构几何尺寸发生变化，结构自重也会随之改变，因此应重新执行上述过程，直至单次找形引起的几何尺寸变化幅度小于预设限值。由于每次找形过程中节点的水平位置不变，因此采用一致的力密度模态。图19所示为找形后的整体结构。

上面所述只是为了说明本发明，应该理解为本发明并不局限于以上实施例，符合本发明思想的各种变通形式均在本发明的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种张弦结构的找形方法，其特征在于，所述方法包括如下步骤：

步骤1：将张弦结构按构件特性拆分为两部分，第一部分为上弦刚性部分与撑杆组成的刚性模型，其中撑杆沿竖直方向布置；第二部分为下弦索构成的柔性模型；

步骤2：约束刚性模型的边界节点，以及每根撑杆下端点的三个平动自由度，在指定荷载作用下进行静力计算，提取撑杆内力；

步骤3：约束柔性模型的边界节点，以及每个下弦索节点的z向自由度，在自重作用下进行静力计算，提取每个下弦索节点的z向反力；

步骤4：将步骤3得到的反力值与步骤2中的撑杆内力相加，所得结果作为柔性模型找形采用的外荷载；

步骤5：以力密度为变量建立柔性模型下弦索节点的x向、y向平衡方程组，求解方程组的通解，该通解称作力密度模态，满足各节点x向和y向平衡条件；

步骤6：将步骤5得到的力密度模态乘以调整系数，得到柔性模型找形采用的力密度；

步骤7：采用步骤6得到的力密度，并将步骤4得到的外荷载施加到柔性模型的相应节点上，对柔性模型进行带荷载的力密度法找形；

步骤8：检查找形得到的柔性模型几何是否满足与建筑功能相关的要求，若满足则进入下一步，否则返回步骤6，更新力密度模态的调整系数，并重新进行找形，直至得到几何尺寸满足要求的柔性模型；

步骤9：根据找形结果更新张弦结构整体模型，检查本次找形引起的结构几何尺寸变化幅度是否在预设限值之内，若是则进入下一步，否则基于最新的结构模型重新执行上述找形过程，直至单次找形引起的几何尺寸变化幅度小于预设限值；

步骤10：根据找形后的下弦索长度和相应的力密度，求解初始态中下弦索的预应力。

2.根据权利要求1所述的张弦结构的找形方法，其特征在于，步骤5中所述力密度模态的计算方法为：为柔性模型的第i个节点建立x向和y向平衡方程：

其中(x_i,y_i)为第i个节点的x、y坐标，n为连接到第i个节点的下弦索的数量，L_k、f_k和(x_k,y_k)分别为连接到第i个节点的第k根下弦索的长度、内力和另一端点的x、y坐标，其中k＝1,2,…,n；引入力密度q_k＝f_k/L_k，将式(1)变换为：

在式(2)中，(x_i,y_i)、(x_k,y_k)已经根据各节点的水平位置给定，而q_k未知，因此将式(2)视为关于q_k的方程组；为柔性模型所有节点建立同样的平衡方程并组集，有：

[A_q]{q}＝{0} (3)

齐次线性方程组(3)的通解即为满足柔性模型各节点水平平衡条件的力密度模态。

3.根据权利要求1所述的张弦结构的找形方法，其特征在于，步骤7中所述对柔性模型进行带荷载的力密度法找形具体为：

对柔性模型的每个节点施加沿z向的外荷载，用p_i表示；则柔性模型第i个节点的平衡方程为：

其中(x_i,y_i,z_i)为第i个节点的x、y、z坐标，n为连接到第i个节点的下弦索数量，L_k、f_k和(x_k,y_k,z_k)分别为连接到第i个节点的第k根下弦索的长度、内力和另一端点的x、y、z坐标，其中k＝1,2,…,n；引入力密度q_k＝f_k/L_k，将式(4)写为：

由式(1)-式(3)可知，当采用由步骤6得到的力密度时，式(5)的前两个方程自动成立，只需对第三个方程进行求解；

设柔性模型有b根下弦索，m个节点，其中待找形的下弦索节点和固定的边界节点的数量分别为m_f和m_c，引入b×m的拓扑矩阵：

在[C]中将下弦索节点排列在边界节点之前，将[C]拆分为自由节点拓扑矩阵[C_f]和约束节点拓扑矩阵[C_c]，即[C]＝[[C_f] [C_c]]；对柔性模型的所有节点列出z向平衡方程并组集，得到：

[C_f]^T[Q][C_f]{z_f}+[C_f]^T[Q][C_c]{z_c}＝{p} (7)

其中{z_f}为待求解的节点的z坐标向量，{z_c}为边界节点的z坐标向量，{p}为节点外荷载向量，[Q]为力密度对角矩阵；求解式(7)，即得节点的z坐标：

{z_f}＝([C_f]^T[Q][C_f])^-1({p}-[C_f]^T[Q][C_c]{z_c}) (8)

以上求解意味着在柔性模型的找形过程中仅更新z坐标，而x、y坐标不变，因而撑杆自动保持竖直。

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