CN114726501B - 一种基于四维保守混沌系统的模拟电路 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于四维保守混沌系统的模拟电路，相比于已有的四维保守混沌系统，该系统具有五个一次项和一个非线性函数项，结构简单易于电路实现，并通过对该系统的耗散性、相图、平衡点、Lyapunov指数谱及分岔图等动力学特性分析证实了该系统的保守性和混沌性。相对于普通耗散混沌系统，其具有更宽的混沌参数区间，能够为保守混沌系统应用于通信加密等领域提供更可靠的选择方案。

Description

一种基于四维保守混沌系统的模拟电路

技术领域

本发明属于通信工程技术领域，涉及一种基于四维保守混沌系统的模拟电路。

背景技术

非线性问题广泛存在于自然和社会等各类学科中，正在改变人们对真实物理世界的传统看法。自1975年题为“周期3蕴涵混沌”的文章的发表，混沌一词被正式确立以来，混沌理论作为非线性科学中的重要组成部分得到了广泛关注和研究。然而，尽管人们提出了大量的混沌和超混沌系统，但各研究方向发展并不平均，其中大部分的系统是耗散混沌系统，保守混沌系统非常稀少。不同于耗散混沌系统，保守混沌系统无吸引子，遍历性更好，更适合加密领域的应用，已经成为近年来非线性领域的研究热点。本发明相比于已有的四维保守混沌系统，提出了一个结构简单易于电路实现的新系统，并用模拟电路进行了实现，为保守混沌系统应用于通信加密等工程领域提供了更可靠的选择方案。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术存在的问题，提供一种四维保守混沌系统，并用模拟电路器件实现，解决了现有保守混沌系统结构复杂，不易电路实现的技术问题。该系统相比典型的耗散混沌系统(如Lorenz系统和超混沌Lorenz系统)，无明显吸引子，在相空间中具有高度遍历性，从而更适合应用于加密领域。

为此，本发明采取以下技术方案：

一种基于四维保守混沌系统的模拟电路，包括第一反相积分器、第二反相积分器、第三反相积分器、第四反相积分器、减法器、反相加法器和反向比例放大器；

所述第一反相积分器分别与第二反相积分器、第四反相积分器和减法器相连，所述第三反相积分器与反向比例放大器和第四反相积分器相连，所述减法器与第二反相积分器相连，所述反相加法器分别与第四反相积分器、反向比例放大器和减法器相连；

其中，所述第一反相积分器包括运算放大器U1A，所述运算放大器U1A的反向输入端与电阻R1相连、正向输入端接地、输出端与电容C1相连，所述电容C1的另一端与电阻R1相连，所述电阻R1的另一端与运算放大器U3A的输出端相连；

所述第二反相积分器包括运算放大器U3A，所述运算放大器U3A的反向输入端与电阻R6相连、正向输入端接地、输出端与电容C2相连，所述电容C2的另一端与电阻R6相连，所述电阻R6的另一端与运算放大器U2A的输出端相连；

所述第三反相积分器包括运算放大器U4A，所述运算放大器U4A的反向输入端与电阻R12相连、正向输入端接地、输出端与电容C3相连，所述电容C3的另一端与电阻R12相连，所述电阻R12的另一端与运算放大器U7A的输出端相连；

所述第四反相积分器包括运算放大器U7A，所述运算放大器U7A的反向输入端分别与电阻R13和电阻R14相连、正向输入端接地、输出端与电容C4相连，所述电容C4的另一端分别与电阻R13和电阻R14相连，所述电阻R13的另一端与运算放大器U1A的输出端相连，所述电阻R14的另一端与运算放大器U6A的输出端相连；

所述减法器包括运算放大器U2A，所述运算放大器U2A的反向输入端与电阻R2相连、正向输入端与电阻R3相连、输出端与电阻R5相连，所述电阻R5的另一端与电阻R2相连，所述电阻R2的另一端与运算放大器U1A的输出端相连，所述电阻R3的一端通过电阻R4接地、另一端与运算放大器U4A的输出端相连；

所述反相加法器包括运算放大器U6A，所述运算放大器U6A的反向输入端分别与电阻R9和电阻R10相连、正向输入端接地、输出端与电阻R11相连，所述电阻R11的另一端分别与电阻R9和电阻R10相连，所述电阻R9的另一端与运算放大器U4A的输出端相连，所述电阻R10的另一端与运算放大器U5A的输出端相连；

所述反向比例放大器包括运算放大器U5A，所述运算放大器U5A的反向输入端与电阻R7相连、正向输入端接地、输出端与电阻R8相连，所述电阻R8的另一端与电阻R7相连，所述电阻R7的另一端与运算放大器U4A的输出端相连。

进一步地，所述电容C1＝C2＝C3＝C4＝10nF，所述电阻R1＝R2＝R3＝R4＝R5＝R7＝10kΩ，R6＝R12＝R13＝100kΩ，R8＝150kΩ，R9＝2kΩ，R10＝R11＝20kΩ，R14＝50kΩ。

进一步地，所述运算放大器U1A～U7A采用LF347N芯片，供电电压为15V直流电源。

本发明的有益效果在于：

本发明相比于已有的四维保守混沌系统，提出了一个结构简单易于电路实现的新系统，并用模拟电路进行了实现。与典型的耗散混沌系统(如Lorenz系统和超混沌Lorenz系统)相比，该系统具有如下优势：

1.本混沌系统有且只有两种平衡点：中心型平衡点和鞍点。其中，中心型平衡点在耗散混沌系统中不存在，为保守混沌系统所特有；

2.本混沌系统是体积保守的，其Lyapunov指数的和为零，且Lyapunov指数谱关于横轴对称，这些特点区别于普通耗散系统；

3.本混沌系统相空间具有高度遍历性，应用于加密领域，由该系统产生的密钥分布范围更广，密钥空间更庞大；

4.本混沌系统无明显吸引子，因此系统特征不易被提取，从而使攻击者无法运用复现的方法来破解系统，系统能表现出更强的抵御攻击的能力；

5.本混沌系统抗噪声干扰能力强，该系统在弱信号检测中具有一定优势，基于混沌系统应用的同步方法可实现更低信噪比强噪声背景中微弱正弦信号的检测；

综上所述，该系统的实现为保守混沌系统应用于通信加密等工程领域提供了更可靠的选择方案。

附图说明

图1为本发明混沌系统的部分相图；

图2为本发明混沌系统参数a的Lyapunov指数谱与分岔图的结构示意图；

图3为本发明混沌系统参数b的Lyapunov指数谱与分岔图的结构示意图；

图4为本发明混沌系统参数c的Lyapunov指数谱与分岔图的结构示意图；

图5为本发明的电路结构示意图。

具体实施方式

下面结合附图与实施方法对本发明的技术方案进行相关说明。

本发明构造了一个基于四维保守混沌系统的模拟电路，相比于已有的四维保守混沌系统，该系统具有五个一次项和一个非线性函数项，结构简单易于电路实现。

以下通过对该混沌系统的耗散性、相图、平衡点、Lyapunov指数谱及分岔图等动力学特性分析证实了该混沌系统的保守性和混沌性，相对于普通耗散混沌系统，该混沌系统具有更宽的混沌参数区间。

本电路实现的四维保守混沌系统方程如下：

其中，(x，y，z，w)为系统的状态变量，a、b和c为系统参数，f(z)为分段线性函数，其形式如下：

f(z)＝m₀z+0.5(m₀-m₁)[|z-1|-|z+1|]

式中，m₀＝3、m₁＝-0.2。

混沌系统主要通过耗散度区分系统是耗散的还是保守，当/>时，系统为耗散系统，当/>时，系统为保守系统。

本混沌系统的耗散度如下：

由计算可得耗散度为零，说明本混沌系统是保守系统。

本混沌系统的相图分析如下：

由于保守混沌系统无吸引子，并且具有高度遍历性。因此，可以通过观察相图中系统的运动轨迹判断系统是否为保守混沌系统。

将本混沌系统参数被设置为a＝-10、b＝10、c＝-1，系统初值被设置为(x₀,y₀,z₀,w₀)＝(1,1,1,1)。系统的部分相图如图1所示，系统处于混沌状态且没有吸引子，这说明系统是保守混沌系统。

本混沌系统的平衡点分析如下：由于相体积守恒，保守混沌系统有且只有两种平衡点，包括中心型平衡点和鞍点，其中，中心型平衡点在耗散混沌系统中不存在，为保守混沌系统所特有。

下面计算本混沌系统的平衡点，将本混沌系统参数被设置为a＝-10，b＝10，c＝-1，此时(x′,y′,z′,w′)＝(0,0,0,0)，可得到系统平衡点(0,0,0,0)，系统的Jacobi矩阵如下：

令|λI-J|＝0，并将平衡点带入，可得到相应的特征根如表1所示。其中，第一个平衡点的特征值有正实部和负实部，此平衡点是鞍点。其余两个平衡点的特征值由纯虚数组成，所以相应的平衡点为中心型平衡点。而中心型平衡点只在保守系统中存在，不存在于耗散系统。因此，通过分析平衡点可以证明本混沌系统为保守混沌系统。

表1本混沌系统的平衡点及其特征值

本混沌系统的Lyapunov的数谱与分岔图分析如下：

非线性系统的动力学行为通常包括周期轨道、准周期、混沌和超混沌等，这些行为可以通过Lyapunov指数谱确定。如果系统至少存在一个正的Lyapunov指数，则系统处于混沌状态。一个耗散系统的相空间体积是收缩的，其Lyapunov指数的和小于零。而保守系统是体积保守的，所以不同于耗散系统，保守混沌系统的Lyapunov指数的和为零，且Lyapunov指数谱关于横轴对称。

本混沌系统的参数设置同上，可计算出Lyapunov指数分别为LE1＝0.59165，LE2＝0.00529，LE3＝-0.00022，LE4＝-0.59672，4个指数的和等于零。根据Kaplan Yorke公式可以计算出Lyapunov维数DL为：

由于本混沌系统的维数是整数维，且等于系统状态变量的个数，这与保守混沌系统的特征相吻合。图2-4分别是本混沌系统关于参a、b、c的Lyapunov指数谱及相应的分岔图，如图2-4所示，其中表现的系统性质与Lyapunov指数谱一致。

如图5所示，一种用于实现上述混沌系统的模拟电路，包括第一反相积分器、第二反相积分器、第三反相积分器、第四反相积分器、减法器、反相加法器和反向比例放大器。

所述第一反相积分器分别与第二反相积分器、第四反相积分器和减法器相连，所述第三反相积分器与反向比例放大器和第四反相积分器相连，所述减法器与第二反相积分器相连，所述反相加法器分别与第四反相积分器、反向比例放大器和减法器相连。

其中，所述第一反相积分器包括运算放大器U1A，所述运算放大器U1A的反向输入端与电阻R1相连、正向输入端接地、输出端与电容C1相连，所述电容C1的另一端与电阻R1相连，所述电阻R1的另一端与运算放大器U3A的输出端相连。

所述第二反相积分器包括运算放大器U3A，所述运算放大器U3A的反向输入端与电阻R6相连、正向输入端接地、输出端与电容C2相连，所述电容C2的另一端与电阻R6相连，所述电阻R6的另一端与运算放大器U2A的输出端相连。

所述第三反相积分器包括运算放大器U4A，所述运算放大器U4A的反向输入端与电阻R12相连、正向输入端接地、输出端与电容C3相连，所述电容C3的另一端与电阻R12相连，所述电阻R12的另一端与运算放大器U7A的输出端相连。

所述第四反相积分器包括运算放大器U7A，所述运算放大器U7A的反向输入端分别与电阻R13和电阻R14相连、正向输入端接地、输出端与电容C4相连，所述电容C4的另一端分别与电阻R13和电阻R14相连，所述电阻R13的另一端与运算放大器U1A的输出端相连，所述电阻R14的另一端与运算放大器U6A的输出端相连。

所述减法器包括运算放大器U2A，所述运算放大器U2A的反向输入端与电阻R2相连、正向输入端与电阻R3相连、输出端与电阻R5相连，所述电阻R5的另一端与电阻R2相连，所述电阻R2的另一端与运算放大器U1A的输出端相连，所述电阻R3的一端通过电阻R4接地、另一端与运算放大器U4A的输出端相连。

所述反相加法器包括运算放大器U6A，所述运算放大器U6A的反向输入端分别与电阻R9和电阻R10相连、正向输入端接地、输出端与电阻R11相连，所述电阻R11的另一端分别与电阻R9和电阻R10相连，所述电阻R9的另一端与运算放大器U4A的输出端相连，所述电阻R10的另一端与运算放大器U5A的输出端相连。

所述反向比例放大器包括运算放大器U5A，所述运算放大器U5A的反向输入端与电阻R7相连、正向输入端接地、输出端与电阻R8相连，所述电阻R8的另一端与电阻R7相连，所述电阻R7的另一端与运算放大器U4A的输出端相连。

计算x的过程为：把由运算放大器U3A、电容C2、电阻R6组成反相积分器2计算出的y的结果输入到由运算放大器U1A与C1、R1组成的反相积分器1的反相端，同相端接地，进行积分运算，由输出端1输出积分结果，对应方程组中的x。

计算y的过程为：把由运算放大器U1A与C1、R1组成的反相积分器1计算出x的结果输入到由U2A、电阻R5、电阻R2、电阻R3组成减法器1的反相端中的同时，把由运算放大器U4A、电容C3、电阻R12组成反相积分器3计算出z的结果后输入到由U2A、电阻R5、电阻R2、电阻R3组成减法器1的同相端中，做减法运算，计算出方程组中的y′。y′计算结束后作为输入信号输入到由运算放大器U3A、电容C2、电阻R6组成反相积分器2的反相端，U3A的同相端接地，进行积分运算，由输出端1输出积分结果，对应方程组中的y。

计算z的过程为：把由运算放大器U7A、电容C4、电阻R13，电阻R14组成反相积分器4计算出的w的值，输入到由运算放大器U4A、电容C3、电阻R12组成反相积分器3的反相端，U4A的同相端接地，进行积分运算，由输出端1输出积分结果，对应方程组中的z。

计算w的过程为：把由运算放大器U4A、电容C3、电阻R12组成反相积分器3计算出z的结果输入到由运算放大器USA、电阻R8、电阻R7组成反向比例放大器1，进行放大运算，得到中间结果即对应f(z)的后项加数：0.5(m₀-m₁)[|z-1|-|z+1|]，计算出的结果再在由运算放大器U6A、电阻R11、电阻R9、电阻R10组成的反相加法器1中与经过比例放大后的z相加，得到f(z)。f(z)计算的结果作为输入信号输入到由运算放大器U7A、电容C4、电阻R13，电阻R14组成反相积分器4的反相端，U7A的同向端接地，进行积分运算，由输出端1输出积分结果，对应方程组中的w。

图4中电容C1、C2、C3、C4两端电压值分别对应系统的四个状态变量。选取系统(1)的参数为a＝-10，b＝10，c＝-1。首先，需对式(4-1)做时间尺度变换，令τ＝1000，再用t替换T。可得：

系统系数与图5中的电阻和电容的关系如下：

可得，电容C1＝C2＝C3＝C4＝10nF，电阻R1＝R2＝R3＝R4＝R5＝R7＝10kΩ，R6＝R12＝R13＝100kΩ，R8＝150kΩ，R9＝2kΩ，R10＝R11＝20kΩ，R14＝50kΩ；运算放大器U1A～U7A采用LF347N芯片，供电电压为15V直流电源。

Claims (3)

1.一种基于四维保守混沌系统的模拟电路，其特征在于，包括第一反相积分器、第二反相积分器、第三反相积分器、第四反相积分器、减法器、反相加法器和反向比例放大器；

所述第一反相积分器分别与第二反相积分器、第四反相积分器和减法器相连，所述第三反相积分器与反向比例放大器和第四反相积分器相连，所述减法器与第二反相积分器相连，所述反相加法器分别与第四反相积分器、反向比例放大器和减法器相连；

其中，所述第一反相积分器包括运算放大器U1A，所述运算放大器U1A的反向输入端与电阻R1相连、正向输入端接地、输出端与电容C1相连，所述电容C1的另一端与电阻R1相连，所述电阻R1的另一端与运算放大器U3A的输出端相连；

所述第二反相积分器包括运算放大器U3A，所述运算放大器U3A的反向输入端与电阻R6相连、正向输入端接地、输出端与电容C2相连，所述电容C2的另一端与电阻R6相连，所述电阻R6的另一端与运算放大器U2A的输出端相连；

所述第三反相积分器包括运算放大器U4A，所述运算放大器U4A的反向输入端与电阻R12相连、正向输入端接地、输出端与电容C3相连，所述电容C3的另一端与电阻R12相连，所述电阻R12的另一端与运算放大器U7A的输出端相连；

所述第四反相积分器包括运算放大器U7A，所述运算放大器U7A的反向输入端分别与电阻R13和电阻R14相连、正向输入端接地、输出端与电容C4相连，所述电容C4的另一端分别与电阻R13和电阻R14相连，所述电阻R13的另一端与运算放大器U1A的输出端相连，所述电阻R14的另一端与运算放大器U6A的输出端相连；

所述减法器包括运算放大器U2A，所述运算放大器U2A的反向输入端与电阻R2相连、正向输入端与电阻R3相连、输出端与电阻R5相连，所述电阻R5的另一端与电阻R2相连，所述电阻R2的另一端与运算放大器U1A的输出端相连，所述电阻R3的一端通过电阻R4接地、另一端与运算放大器U4A的输出端相连；

所述反相加法器包括运算放大器U6A，所述运算放大器U6A的反向输入端分别与电阻R9和电阻R10相连、正向输入端接地、输出端与电阻R11相连，所述电阻R11的另一端分别与电阻R9和电阻R10相连，所述电阻R9的另一端与运算放大器U4A的输出端相连，所述电阻R10的另一端与运算放大器U5A的输出端相连；

所述反向比例放大器包括运算放大器U5A，所述运算放大器U5A的反向输入端与电阻R7相连、正向输入端接地、输出端与电阻R8相连，所述电阻R8的另一端与电阻R7相连，所述电阻R7的另一端与运算放大器U4A的输出端相连。

2.根据权利要求1所述的一种基于四维保守混沌系统的模拟电路，其特征在于，所述电容C1＝C2＝C3＝C4＝10nF，所述电阻R1＝R2＝R3＝R4＝R5＝R7＝10kΩ，R6＝R12＝R13＝100kΩ，R8＝150kΩ，R9＝2kΩ，R10＝R11＝20kΩ，R14＝50kΩ。

3.根据权利要求1所述的一种基于四维保守混沌系统的模拟电路，其特征在于，所述运算放大器U1A～U7A采用LF347N芯片，供电电压为15V直流电源。