CN114258495B - 一种有限复数信号测量系统与高精度分解方法 - Google Patents

一种有限复数信号测量系统与高精度分解方法 Download PDF

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Abstract

一种有限复数信号测量系统与高精度分解方法，尤其是有限复数信号谐波分量频率、幅值和初相位的测量系统，包括离散复数源信号提取模块、离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块以及谐波分量的特征分解输出模块，离散复数源信号提取模块根据源信号的特征将源信号转换成有限离散复数源信号，离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块根据源信号的特征将源信号转换成有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列，谐波分量的特征分解输出模块利用离散复数源信号和离散复数源信号的微分/积分/微差序列和/或它们的自相关序列分解提取有限复数信号谐波分量的频率、幅值和初相位并输出，解决了有限长度、有限谐波分量复杂复数信号的测量和分解问题，可实现无噪声信号的精确分解和噪声信号的高精度分解。

Description

一种有限复数信号测量系统与高精度分解方法
技术领域
本发明涉及一种有限复数信号测量系统及高精度分解方法，涉及信号处理技术领域，可广泛应用于物理、电子、通讯、声学、光学、图像、机械、医学、生物等各个领域的信号分析与处理。部分技术也能用于实数信号的高精度分解。
背景技术
复数信号的分析与处理技术有许多独特的优势，在科技、通讯、国防以及人们的日常生活中发挥着重要作用，尤其是随着5G通讯和现代高新技术的高速发展，复数信号的分析与处理技术得到广泛应用。因此，实现无噪声复数信号的精确分解和含噪声复数信号的高精度分解具有重要的理论和工程应用价值。但受信号分析理论的制约，各种信号处理技术都无法做到对复杂复数信号的精确分解。如FFT(快速傅里叶变换)技术在信号处理和工程应用的众多领域发挥着不可替代的作用，一直是信号分析的最重要的技术手段，但是，由于截断产生的泄露以及离散导致的栅栏效应，频率以及幅值谱和相位谱的畸变是FFT的共生缺陷。为解决这些问题，国内外学者做了大量的研究对FFT技术进行校正，如插值傅里叶变换、插值快速傅里叶变换、加权相位平均法、能量重心校正法、全相位FFT方法，等等。尽管这些方法都取得了良好的效果，但是都有自身的局限性，通用性不强，不能实现对任意有限长度多谐波分量复杂复数信号分量频率、幅值和初相位的精确分解和提取。
小波分析技术是近些年来得到广泛研究和应用的信号处理技术，但小波分析技术严重依赖于小波函数的选择性，选择不同的小波函数，分析结果往往大不相同；此外，希尔伯特-黄变换、旋转不变信号参数估计技术、多重信号分类技术等，都在信号分析与处理当中都发挥了重要作用，然而它们理论上也都无法实现有限长度多谐波分量复杂复数信号的分量频率、幅值和相位的精确分解和提取。
在实际工程中，不仅信号的频率参数非常重要，幅值参数和相位参数也十分有用。众所周知，信号能量的大小与幅值的平方成正比，要想得到信号的能量分布，准确测量各谐波分量的幅值至关重要。相位参数则是激光雷达测量的重要参数，在用激光雷达测量目标的距离和速度时，仅用频率参数测量距离的最高精度只能达到雷达波长的一半，要实现更高精度的测量，必须使用相位参数，相位参数的精度越高，距离的测量精度也越高；利用多普勒效应测量目标的速度甚至加速度时，相位参数则是最为关键的参数。此外，在通讯信号、军事雷达、语音、图像、生物医学的信号处理技术中，都需更加准确的信号的频率、幅值和相位信息。
另一方面，无限长度信号和无限谐波分量信号大都属于物理不可实现的信号，亦即实际工程中的绝大多数信号都具有有限长度、并且是由有限谐波分量构成的，因此，解决有限长度、有限谐波分量无噪声复杂复数信号的精确分解问题，进而实现含噪声复杂复数信号的高精度分解具有广泛的工程需求背景和应用价值。
发明内容
为克服上述现有技术存在的缺点，本发明针对有限长度且由有限数量谐波分量构成的复杂复数信号，公开了一种有限长度复杂复数信号的测量系统与高精度分解方法，用于测量、分解构成复杂复数信号的全部或部分谐波分量的频率、幅值和初相位。所述方法可有效避免截断产生的泄露以及离散导致的栅栏效应。理想情况下，由m个谐波分量构成的复杂复数信号，只需2m-1个点的测量值(或离散值)及其对应的导数值就能够精确分解得到所有谐波分量的频率、幅值和初相位，采样频率无需满足采样定理；对噪声信号，可以实现谐波分量的频率、幅值和初相位高精度分解；并且部分技术也能用于实数信号的高精度分解。
为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：一种用于有限复数信号的测量系统，尤其是有限复数信号谐波分量频率、幅值和初相位的测量系统，包括离散复数源信号提取模块、离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块以及谐波分量的特征分解输出模块，其特征在于：所述离散复数源信号提取模块根据源信号的特征将所述源信号转换成有限离散复数源信号，所述离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块根据源信号的特征将所述源信号转换成有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列，所述谐波分量的特征分解输出模块利用所述离散复数源信号和离散复数源信号的微分/积分/微差序列和/或它们的自相关序列分解提取有限复数信号谐波分量的频率、幅值和初相位并输出。
本发明公开了有限复数信号特征分解的复数/实数广义特征值方程式。所述复数/实数广义特征值方程式的复数/实数广义特征值和广义特征向量与所述有限复数信号谐波分量的频率、幅值和初相位密切相关，可用矩阵表示为：
Bv＝λAv或λ-1Bv＝Av
其中，矩阵B是矩阵A中的离散复数序列的p阶微分或p次微差矩阵，且排列方式相同，p是自然数，所述p次微差与p阶微分的差别在于：做p阶微分运算时要计及离散函数的增量对离散变量的p阶变化率，p次微差运算只计及离散函数的p次增量；λ是所述复数/实数广义特征值方程式的复数/实数广义特征值；v是所述复数/实数广义特征值方程式的广义特征向量。
或，矩阵A是源自相关信号矩阵或微分/积分/微差自相关信号矩阵，构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关信号矩阵A的信号的p阶微分或p次微差，且自相关信号矩阵B与自相关信号矩阵A的排列方式相同；
或，矩阵A是源实数自相关信号矩阵或实数微分/积分/微差自相关信号矩阵，构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关信号矩阵A的信号的p阶微分或p次微差，且自相关信号矩阵B与自相关信号矩阵A的排列方式相同。
所述复数/实数广义特征值方程式中的矩阵A和矩阵B的构成和组合方式包括、但不局限于以下几种：
1、矩阵A是所述有限复数信号的离散复数源信号矩阵且矩阵B是所述离散复数源信号的p阶微分信号矩阵；
2、矩阵A是所述有限复数信号的离散复数源信号矩阵且矩阵B是所述离散复数源信号的p次微差信号矩阵；
3、矩阵A是所述有限复数信号的离散复数源信号的一次积分信号矩阵且矩阵B是所述离散复数源信号的p-1阶微分信号矩阵；
4、矩阵A是所述有限复数信号的离散复数源信号的一次积分信号矩阵且矩阵B是所述离散复数源信号的p-1次微差信号矩阵；
5、矩阵A是所述源自相关信号矩阵且矩阵B是所述p阶微分自相关信号矩阵；
6、矩阵A是所述源自相关信号矩阵且矩阵B是所述p阶微差自相关信号矩阵；
7、矩阵A是所述源实数自相关信号矩阵且矩阵B是所述p阶实数微分自相关信号矩阵；
8、矩阵A是所述源实数自相关信号矩阵且矩阵B是所述p阶实数微差自相关信号矩阵；
以此类推。
如果矩阵A是离散复数源信号矩阵，可以表示为：
其中：x1，x2，x3，…，x2n-1是所述有限复数信号的2n-1个离散值的顺序或随机排列，即离散复数源信号。
矩阵B中元素的排列顺序与矩阵A中的元素一一对应。所述各种组合的矩阵的排列方式类似。
所述有限复数信号的离散复数源信号的l阶微分、l次积分、l次微差均可以通过微积分电路的硬件实现，原理如附图2所示；或者通过对离散复数源信号序列做l阶微分、l次积分、l次微差数值计算获得。l是自然数。
所述复数/实数广义特征值方程式的复数/实数广义特征值与所述有限复数信号的谐波分量的圆频率密切相关，它们之间的数值关系分四种情况，且第三种情况和第四种情况同样适用于有限实数信号的高精度分解。
第一种情况：矩阵B和矩阵A是所述离散复数源信号矩阵和/或离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，且矩阵B是矩阵A的p阶微分信号矩阵，这时所述有限复数信号谐波分量的圆频率为：
其中：λi是所述复数广义特征值方程式的第i个复数广义特征值，是所述第i个复数广义特征值的虚部的p次方根，/>是所述第i个复数广义特征值的模的p次方根；
第二种情况：矩阵B和矩阵A是所述离散复数源信号矩阵和/或离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，且矩阵B是矩阵A的p次微差信号矩阵，这时所述有限复数信号谐波分量的圆频率为：
其中：λi、的定义与第一种情况相同，Δt是所述离散复数源信号的离散间隔；
第三种情况：矩阵B和矩阵A是所述源自相关信号矩阵和/或微分/积分/微差自相关信号矩阵，且构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关矩阵矩阵A的信号的p阶微分，这时所述有限复数/实数信号谐波分量的圆频率为：
其中：λi是所述复数/实数广义特征值方程式的第i个广义特征值，是所述第i个广义特征值的2p次方根；
第四种情况：矩阵B和矩阵A是所述源自相关信号矩阵和/或微分/积分/微差自相关信号矩阵，且构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关矩阵矩阵A的信号的p阶微差，这时所述有限复数/实数信号谐波分量的圆频率为：
其中：λi、的定义与第三种情况相同，Δt是所述离散复数/实数源信号的离散间隔。
得到所述有限复数信号谐波分量的圆频率之后，有四种路径得到谐波分量的幅值和相位，且第三种路径和第四种路径同样适用于有限实数信号的高精度分解。
路径1：首先根据计算得到的所述复数广义特征值方程式的全部复数广义特征值，计算所述有限复数信号的全部谐波分量的圆频率；然后构建复数线性方程组Dy＝z，其中：D＝CTC，z＝CTx，向量x由所述有限离散复数源信号构成。如果x是顺序排列的，矩阵C的构成如下：
其中：m-1≤k≤2n-1，m是计算得到的复数广义特征值的数量，CT是矩阵C的转置矩阵；解所述复数线性方程组得到向量y；最后由如下公式计算得到各分量的幅值和相位：
ai＝abs(yi)
其中：yi是向量y的第i个元素，abs(yi)是yi的模，imag(yi)是yi的虚部，real(yi)是yi的实部；
如果x是随机排列的，矩阵C的每一列的元素都要按照随机排列与顺序排列的对应关系做相对应的调整；
路径2：与权利要求7的第一种情况和第二种情况相对应。首先根据计算得到的所述复数广义特征值方程式的复数广义特征值，计算所述有限复数信号的谐波分量的圆频率；然后用所述复数广义特征方程式的复数广义特征值对应的复数广义特征向量，按下式计算wk：
其中：vk是所述复数广义特征值方程式的第k个复数广义特征值对应的复数广义特征向量，是vk的转置向量。如果x是顺序排列的，且矩阵A是离散源信号矩阵，矩阵Hk的构成如下：
如果矩阵A是离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，矩阵Hk要作相应的运算。
最后由如下公式计算得到所述有限复数信号的第k个谐波分量的幅值和相位：
ak＝abs(wk)
其中：abs(wk)是wk的模，imag(wk)是wk的虚部，real(wk)是wk的实部；
如果x是随机排列的，矩阵Hk的元素都要按照随机排列与顺序排列的对应关系做相对应的调整；
由路径2得到部分所述有限复数信号谐波分量的频率、幅值和初相位后，再从所述离散复数源信号中剔除这些已知谐波分量，重构所述复数广义特征值方程式，重复所述方法，可以继续分解得到所述有限复数信号的剩余部分的全部或部分谐波分量的频率、幅值和初相位。
路径3：与权利要求7的第三种情况和第四种情况相对应。首先根据计算得到的所述复数/实数广义特征值方程式的广义特征值，计算所述有限复数/实数信号的谐波分量的圆频率；然后用所述复数/实数广义特征方程式的广义特征值对应的广义特征向量，按下式计算wk1：
其中：vk1是所述复数/实数广义特征值方程式的第k1个广义特征值对应的广义特征向量，是vk1的转置向量。如果A是源自相关信号矩阵，矩阵Hk1是复数信号exp(iλk1t)的自相关信号矩阵，且与矩阵A的排列方式相同；如果A是源实数自相关信号矩阵，矩阵Hk1是实数信号cos(λk1t)/sin(λk1t)的自相关信号矩阵，且与矩阵A的排列方式相同；以此类推。最后由如下公式计算得到所述有限复数/实数信号的第k1个谐波分量的幅值：
路径4：与权利要求7的第三种情况和第四种情况相对应。首先根据计算得到的所述复数/实数广义特征值方程式的全部广义特征值，计算所述有限复数/实数信号的全部谐波分量的圆频率；然后构建复数/实数线性方程组Dryr＝zr，其中：向量xr由所述有限离散复数/实数源信号的自相关序列构成。矩阵Cr＝[xr10 … xrm0]，如果A是源自相关信号矩阵，xrk0是复数信号exp(iλkt)的自相关序列列向量；如果A是源实数自相关信号矩阵，xrk0是实数信号cos(λk1t)/sin(λk1t)的自相关序列列向量；以此类推。m是计算得到的全部广义特征值的数量。CT是矩阵C的转置矩阵。解所述线性方程组得到向量yr；最后计算得到各分量的幅值为：/>其中：yri是向量yr的第i个元素。
针对所述复数/实数广义特征值方程式的复数/实数广义特征值问题有两种求解方法，分别是特征谱分解计算方法和矩阵迭计算方法，分别如附图3和附图4所示。
所述特征谱分解方法包括：步骤S301、选取矩阵A或矩阵B，并计算其复数/实数特征值和及其对应的左右特征向量；步骤S302、根据计算得到的复数/实数特征值，选取模大于零的复数/实数特征值及其对应的左右特征向量，或根据需要选取模较大的部分复数/实数特征值及其对应的左右特征向量；步骤S303、利用左右特征向量的正交性，把所述复数/实数广义特征值方程式转化为降阶的标准复数/实数特征值方程式；步骤S304、计算所述标准复数/实数特征值方程式的全部复数/实数特征值，即是所述复数/实数广义特征值方程式的全部复数/实数广义特征值；步骤S305、用所述矩阵A或矩阵B的右特征向量和所述标准复数/实数特征值方程式的标准特征向量重构得到所述复数/实数广义特征值方程式的全部广义特征向量。
所述矩阵迭代方法包括：步骤S401、选取矩阵A或矩阵B，并计算其复数/实数特征值及其对应的左右特征向量；步骤S402、根据计算得到的复数/实数特征值，选取模大于零的复数/实数特征值及其对应的左右特征向量，或根据需要选取模较大的部分复数/实数特征值及其对应的左右特征向量；步骤S403、利用左右特征向量的正交性，把所述广义复数/实数广义特征值方程式转化为降阶的标准复数/实数特征值方程式；步骤S404、选取一个初始特征向量，设定迭代精度，对所述标准复数/实数特征值方程式做矩阵迭代运算，即可计算出一个标准复数/实数特征值及其对应的特征向量，重复该过程可计算得到所述标准复数/实数特征值方程式的若干个标准特征值及其对应的标准特征向量。
根据所述有限复数信号的高精度分解方法构建的有限复数信号谐波分量频率、幅值和初相位的测量系统如附图5所示。所述测量系统包括：离散复数源信号提取模块、离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块和谐波分量的特征分解输出模块。
离散复数源信号提取模块，能够根据源信号的特征将所述源信号转换成有限离散复数源信号。如果所述源信号是实数模拟信号，可以通过A/D转换为离散实数信号，再用Hilbert变换转换成有限离散复数源信号；如果所述源信号是实数模拟信号，也可以通过模拟正交解调与采集电路转换成复数模拟信号；如果所述源信号是复数模拟信号，可以通过A/D转换直接转换成有限离散复数源信号。
离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块，能够根据源信号的特征将所述源信号转换成有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列。如果所述源信号是实数模拟信号，可以首先通过微积分电路获取所述源信号的微分/积分/微差序列，再用Hilbert变换转换成有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列；如果所述源信号是复数模拟信号，可以直接通过微积分电路转换得到有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列；如果所述源信号是有限离散实数数字信号，可以通过数值方法计算获得所述源信号的微分/积分/微差序列，再用Hilbert变换转换成有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列；如果所述源信号是有限离散复数数字信号，可以通过数值方法直接计算获得所述有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列。
谐波分量的特征分解输出模块，能够利用所述源信号的部分离散复数源信号及其对应的部分离散复数源信号的微分/积分/微差序列，按照所述复数/实数广义特征值方程式的构建方法构建关于所述源信号的复数/实数广义特征值方程式，再按照有限复数信号的高精度分解方法分解提取所述源信号的谐波分量的频率、幅值和初相位，并输出使用。
附图说明
图1是本发明实施例的有限复数信号的高精度分解方法和测量系统的流程示意图。
图2是把有限复数源信号转化成离散复数源信号和离散复数源信号的微分/积分/微差信号的方法的原理示意图。
图3是所述复数广义特征值方程式的全部复数广义特征值和复数广义特征向量的特征谱分解方法的计算过程示意图。
图4是所述复数广义特征值方程式的部分复数广义特征值及其对应的复数广义特征向量的矩阵迭代方法的计算过程示意图。
图5是所述有限复数信号谐波分量频率、幅值和初相位的测量系统的结构示意图。
图6是用本项发明所述方法对包含4个谐波分量的有限复数信号的源信号及其一、二阶微分信号进行离散，分解得到谐波分量的频率、幅值和初相位后，重构信号与源信号的对比示意图。
图7是用本项发明所述方法对包含4个谐波分量的有限复数信号的源信号进行离散，然后根据离散复数源信号计算得到离散源信号的一、二阶微分信号，再分解得到谐波分量的频率、幅值和初相位后，重构信号与源信号的对比示意图。
图8是用本项发明所述方法测量分析的包含有2个谐波分量、信噪比为-10dB的复数源信号的实部和虚部的示意图。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明专利的原理及优点做进一步阐述。
本发明的实施例提供了一种有限长度、有限谐波分量组成的复杂复数信号的高精度分解方法，该方法包括：离散复数源信号矩阵的构建；离散复数源信号微分/积分/微差信号的获得途径；离散复数源信号微分/积分/微差信号矩阵的构建；关于有限复数信号谐波分量频率的复数广义特征值方程式的构建；复数广义特征值方程式的全部复数广义特征值及复数广义特征向量的计算过程；复数广义特征值方程式的部分复数广义特征值及其对应的复数广义特征向量的计算过程；根据全部复数广义特征值解算有限复数信号的全部谐波分量的频率、幅值和初相位的计算路径；根据部分复数广义特征值及其对应的复数广义特征向量解算有限复数信号的部分谐波分量的频率、幅值和初相位的计算路径；根据有限复数信号的高精度分解方法构建有限复数信号谐波分量频率、幅值和初相位的测量系统。
图1示意性示出了根据本发明实施例的有限复数信号谐波分量的高精度分解方法和测量系统的流程图。
如图1所示，该方法包括步骤S101～步骤S104。
在步骤S101中，利用有限复数信号的源信号构建离散复数源信号矩阵，并由所述有限复数信号的源信号获得离散复数源信号的微分/积分/微差信号序列，由此构建离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，用所述离散复数源信号矩阵和所述离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵构建关于有限复数信号谐波分量频率的复数广义特征值方程式。
在步骤S102中，根据所述复数广义特征值方程式计算全部复数广义特征值及复数广义特征向量，或计算部分复数广义特征值及其对应的复数广义特征向量。
在步骤S103中，根据全部复数广义特征值解算有限复数信号的全部谐波分量的频率、幅值和初相位，或根据部分复数广义特征值及其对应的复数广义特征向量解算有限复数信号的部分谐波分量的频率、幅值和初相位。
在步骤S104中，根据S101～S103的方法构建有限复数信号谐波分量频率、幅值和初相位的测量系统。
图2示意性示出了所述有限复数信号的源信号转化为离散复数源信号和离散复数源信号的微分/积分/微差信号的方法的原理图。
如图2所示，该方法包括步骤S201～步骤S213和步骤S201～步骤S224两个路径。
在步骤S201中，有限复数信号的源信号分为两路并联信号同步输出。
在步骤S212中，对所述有限复数信号的源信号做A/D转换并离散化。
在步骤S213中，得到所述有限复数信号的离散复数源信号。
在步骤S222中，通过微分/积分电路对所述有限复数信号的源信号做微分/积分/微差运算。
在步骤S223中，对所述有限复数信号的微分/积分/微差信号做A/D转换并离散化。
在步骤S224中，得到所述有限复数源信号的微分/积分/微差信号序列。微差与微分的差别在于：微分运算要计及离散函数的增量对离散变量的变化率，微差运算只计及离散函数的增量。
离散复数源信号的微分/积分/微差信号序列也可以利用有限复数信号序列通过数值计算的方法获得。
获得离散复数源信号和离散复数源信号的微分/积分/微差信号序列后，按所述矩阵A和矩阵B的结构和组合原则构建矩阵A和矩阵B。
再由矩阵A和矩阵B构建关于所述有限复数信号谐波分量的复数广义特征值方程式。
图3示意性示出所述复数广义特征值方程式的全部复数广义特征值和复数广义特征向量的特征谱分解方法的计算流程图。
如图3所示，该方法包括步骤S301～步骤S305。
在步骤S301中，选取矩阵A或矩阵B，并计算其复数特征值和及其对应的左右复数特征向量。
在步骤S302中，根据计算得到的复数特征值，选取模大于零的复数特征值及其对应的左右复数特征向量，或根据需要选取模较大的部分复数特征值及其对应的左右复数特征向量
在步骤S303中，利用左右特征向量的正交性，把所述复数广义特征值方程式转化为降阶的标准复数特征值方程式。
在步骤S304中，计算所述标准复数特征值方程式的全部复数特征值，即是所述复数广义特征值方程式的全部复数广义特征值。
在步骤S305中，用所述矩阵A或矩阵B的右复数特征向量和所述标准复数特征值方程式的标准复数特征向量重构得到所述复数广义特征值方程式的全部复数广义特征向量。
得到所述复数广义特征值方程式的全部复数广义特征值和复数广义特征向量后，根据本发明所述的复数广义特征值与所述有限复数信号谐波分量圆频率的关系式，计算全部谐波分量的圆频率，然后按照路径1或路径2所述的方法计算得到所述有限复数信号全部谐波分量的幅值和初相位：
路径1、构建矩阵C；构建复数线性方程组Dy＝z；解算所述复数线性方程组；计算全部谐波分量的幅值和初相位。
路径2、构建矩阵Hk；计算wk；计算全部谐波分量的幅值和初相位。
图4示意性示出所述复数广义特征值方程式的部分复数广义特征值及其对应的复数广义特征向量的矩阵迭代方法的计算流程图。
如图4所示，该方法包括步骤S401～步骤S405。
步骤S401～步骤S403与图3的步骤S301～步骤S303相同。
在步骤S404中，选取一个初始特征向量，设定迭代精度，对所述标准复数特征值方程式做矩阵迭代运算，即可计算出一个标准复数特征值及其对应的复数特征向量，重复该过程可计算得到所述标准复数特征值方程式的若干个标准复数特征值及其对应的标准复数特征向量；或者选取若干个初始特征向量，设定迭代精度，对所述标准复数特征值方程式做子空间迭代运算，即可得到所述标准复数特征值方程式的若干标准复数特征值及其对应的标准复数特征向量，该步骤得到的若干标准复数特征值即是所述复数广义特征值方程式的部分复数广义特征值。
在步骤S405中，用所述矩阵A或矩阵B的右复数特征向量和所述标准复数特征值方程式的若干标准复数特征向量重构得到所述复数广义特征值方程式的部分复数广义特征向量。
得到所述复数广义特征值方程式的部分复数广义特征值及其对应的复数广义特征值向量后，根据本发明所述的复数广义特征值与所述有限复数信号谐波分量频率的关系，计算相对应的部分谐波分量的圆频率，然后按照路径2所述的方法：构建矩阵Hk；计算wk；计算得到所述有限复数信号对应部分谐波分量的幅值和初相位。
图5示意性示出用本项发明所述方法构建的有限复数信号谐波分量频率、幅值和初相位的测量系统。
所述测量系统包括3个模块：离散复数源信号提取模块、离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块、谐波分量的特征分解输出模块。
源信号通过所述离散复数源信号提取模块获得有限离散复数源信号；源信号通过所述离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块获得有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列；利用部分所述离散复数源信号及其对应的部分所述离散复数源信号的微分/积分/微差序列通过所述谐波分量的特征分解输出模块，分解提取所述源信号的谐波分量的频率、幅值和初相位。
图6示意性示出用本项发明所述方法对包含4个谐波分量的有限复数信号的源信号及其一、二阶微分信号进行离散，分解得到谐波分量的频率、幅值和初相位后，重构信号与源信号的对比图。所述有限复数信号的频率分别是：50Hz，52Hz，95Hz，120Hz；幅值分别是：2.0，0.1，1.7，1.5；初相位分别是：π/5，4π/5，π/4，π/9。
在准确离散得到有限复数信号的离散值及其一阶微分信号的离散值的情况下，用离散复数源信号矩阵及其一阶微分信号矩阵构建复数广义特征值方程式，无需满足采样定理，取离散频率fs＝110Hz，只需2n-1(7)个点的离散值，即可准确分解得到n(4)个谐波分量的频率、幅值和初相位。频率、幅值和初相位的最大绝对误差分别为：3.7957e-11、3.7308e-12、7.4456e-12，这可以认为是计算机的数值截断误差。
在准确离散得到有限复数信号的离散值及其二阶微分信号的离散值的情况下，用离散复数源信号矩阵及其二阶微分信号矩阵构建复数广义特征值方程式，用同样的离散频率和离散点数，分解得到4个谐波分量的频率、幅值和初相位的最大绝对误差分别为：6.4560e-11、6.3923e-12、1.1990e-11。表明用二阶复数微分信号的离散值代替一阶复数微分信号的离散值有同样的精度。
图6A是用本项发明所述方法分解得到的所述有限复数信号的源信号的实部与重构复数信号的实部的对比图。
图6B是用本项发明所述方法分解得到的所述有限复数信号的源信号的虚部与重构复数信号的虚部的对比图。
图7示意性示出用本项发明所述方法对包含4个谐波分量的有限复数信号的源信号进行离散，然后根据离散复数源信号计算得到离散源信号的一、二阶微分信号，再分解得到谐波分量的频率、幅值和初相位后，重构信号与源信号的对比图。所述有限复数信号的频率分别是：50Hz，52Hz，95Hz，120Hz；幅值分别是：2.0，0.1，1.7，1.5；初相位分别是：π/5，4π/5，π/4，π/9。
在离散复数源信号的一、二阶微分信号是用离散复数源信号的数值微分计算所得的情况下，用离散复数源信号矩阵及其一、二阶数值微分信号矩阵构建复数广义特征值方程式，需要较多的离散点(图中蓝色圆圈，本例为100个离散点)和采样频率，取采样频率fs＝2000Hz，仍然可以以较高的精度分解得到4个谐波分量的频率、幅值和初相位。频率、幅值和初相位的最大绝对误差分别为：2.3935e-3、1.1280e-4、3.6845e-4，误差主要源于数值微分和计算机的数值截断误差，精度可以满足工程实际的需求。
在离散复数源信号的二阶微分信号是用离散复数源信号的数值微分计算所得的情况下，用离散复数源信号矩阵及其二阶数值微分信号矩阵构建复数广义特征值方程式，采用同样的离散频率和离散点数，分解得到4个谐波分量的频率、幅值和初相位的最大绝对误差分别为：3.0085e-4、1.4184e-5、4.6312e-5。表明用二阶复数数值微分代替一阶复数数值微分后计算精度略有提高，这是由于广义特征值方程式的数值特性更好所致。
图7A是用本项发明所述方法分解得到的所述有限复数信号的源信号的实部与重构复数信号的实部的对比图。
图7B是用本项发明所述方法分解得到的所述有限复数信号的源信号的虚部(图中实线)与重构复数信号的虚部(图中虚线)的对比图。
图8示意性示出用本项发明所述方法测量分析的包含有2个谐波分量、信噪比高达-10dB的复数源信号的实部和虚部，所述复数源信号的两个谐波分量的频率分别为60.2和70.9Hz，幅值均为1。用本项发明所述方法得到的谐波分量的频率分别为60.19和70.97Hz，幅值分别为0.90和1.11。

Claims (10)

1.一种用于有限复数信号的测量系统，是有限复数信号谐波分量频率、幅值和初相位的测量系统，包括离散复数源信号提取模块、离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块以及谐波分量的特征分解输出模块，其特征在于：所述离散复数源信号提取模块根据源信号的特征将所述源信号转换成有限离散复数源信号，所述离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块根据源信号的特征将所述源信号转换成有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列，所述谐波分量的特征分解输出模块利用所述离散复数源信号和离散复数源信号的微分/积分/微差序列和/或它们的自相关序列分解提取有限复数信号谐波分量的频率、幅值和初相位并输出。
2.根据权利要求1所述的用于有限复数信号的测量系统，其特征在于：所述分解提取有限复数信号谐波分量的频率、幅值和初相位并输出的步骤包括：
步骤S101、根据由所述源信号得到的有限离散复数源信号构建离散复数源信号矩阵，并由所述源信号获得的有限离散复数源信号的微分/积分/微差信号序列构建离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，用所述离散复数源信号矩阵和/或离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，构建关于有限复数信号谐波分量频率的复数广义特征值方程式；
或，由所述有限离散复数源信号的自相关序列构建源自相关信号矩阵，并由所述有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列构建微分/积分/微差自相关信号矩阵，用所述源自相关信号矩阵和/或微分/积分/微差自相关信号矩阵构建关于有限复数信号谐波分量频率的复数广义特征值方程式；
或，由所述有限离散复数源信号的实部或虚部的自相关序列构建源实数自相关信号矩阵，并由所述有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列的实部或虚部构建实数微分/积分/微差自相关信号矩阵，用所述源实数自相关信号矩阵和/或实数微分/积分/微差自相关信号矩阵构建关于有限复数信号谐波分量频率的实数广义特征值方程式；
步骤S102、根据所述有限复数信号谐波分量频率的复数/实数广义特征值方程式计算全部复数/实数广义特征值及广义特征向量；
和/或计算复数/实数广义特征值方程式的部分复数/实数广义特征值及其对应的广义特征向量；
步骤S103、根据全部复数/实数广义特征值解算有限复数信号的全部谐波分量的频率、幅值和初相位；
和/或根据部分复数/实数广义特征值及其对应的广义特征向量解算有限复数信号的部分谐波分量的频率、幅值和初相位。
3.根据权利要求2所述的用于有限复数信号的测量系统，其特征在于：所述复数/实数广义特征值方程式用矩阵表示为：
Bv＝λAv或λ-1Bv＝Av，
其中，矩阵A是离散复数源信号矩阵或离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵；矩阵B是矩阵A的p阶微分或p次微差信号矩阵且排列方式相同，p是自然数，所述微差与微分的区别在于：做微分运算时要计及离散函数的增量对离散变量的变化率，微差运算只计及离散函数的增量；λ是所述复数/实数广义特征值方程式的复数/实数广义特征值；v是所述复数/实数广义特征值方程式的广义特征向量；
或，矩阵A是源自相关信号矩阵或微分/积分/微差自相关信号矩阵，构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关信号矩阵A的信号的p阶微分或p次微差，且自相关信号矩阵B与自相关信号矩阵A的排列方式相同；
或，矩阵A是源实数自相关信号矩阵或实数微分/积分/微差自相关信号矩阵，构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关信号矩阵A的信号的p阶微分或p次微差，且自相关信号矩阵B与自相关信号矩阵A的排列方式相同。
4.根据权利要求1所述的用于有限复数信号的测量系统，其特征在于：在离散复数源信号提取模块中，如果所述源信号是实数模拟信号，可以通过A/D转换为离散实数信号，再用Hilbert变换转换成有限离散复数源信号；如果所述源信号是实数模拟信号，也可以通过模拟正交解调与采集电路转换成复数模拟信号；如果所述源信号是复数模拟信号，可以通过A/D转换直接转换成有限离散复数源信号。
5.根据权利要求1所述的用于有限复数信号的测量系统，其特征在于：在离散复数源信号的微分/积分/微差序列提取模块中，如果所述源信号是复数模拟信号，可以通过微积分电路获取所述复数模拟信号的微分/积分/微差信号，再通过A/D转换为离散复数源信号的微分/积分/微差序列；如果所述源信号是有限离散复数源信号，可以通过数值计算的方法计算出离散复数源信号的微分/积分/微差序列。
6.一种有限复数信号的高精度分解方法，所述有限复数信号是指有限长度且由有限数量谐波分量构成的复杂复数信号，其特征在于：包括下列步骤，
步骤S101、根据由源信号得到的有限离散复数源信号构建离散复数源信号矩阵，并由所述源信号获得的有限离散复数源信号的微分/积分/微差信号序列构建离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，用所述离散复数源信号矩阵和/或离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，构建关于有限复数信号谐波分量频率的复数广义特征值方程式；
或，由所述有限离散复数源信号的自相关序列构建源自相关信号矩阵，并由所述有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列构建微分/积分/微差自相关信号矩阵，用所述源自相关信号矩阵和/或微分/积分/微差自相关信号矩阵构建关于有限复数信号谐波分量频率的复数广义特征值方程式；
或，由所述有限离散复数源信号的实部或虚部的自相关序列构建源实数自相关信号矩阵，并由所述有限离散复数源信号的微分/积分/微差序列的实部或虚部构建实数微分/积分/微差自相关信号矩阵，用所述源实数自相关信号矩阵和/或实数微分/积分/微差自相关信号矩阵构建关于有限复数信号谐波分量频率的实数广义特征值方程式；
所述复数/实数广义特征值方程式用矩阵表示为：
Bv＝λAv或λ-1Bv＝Av
其中，矩阵A是离散复数源信号矩阵或离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵；矩阵B是矩阵A的p阶微分或p次微差信号矩阵且排列方式相同，p是自然数，所述微差与微分的区别在于：做微分运算时要计及离散函数的增量对离散变量的变化率，微差运算只计及离散函数的增量；λ是所述复数/实数广义特征值方程式的复数/实数广义特征值；v是所述复数/实数广义特征值方程式的广义特征向量；
或，矩阵A是源自相关信号矩阵或微分/积分/微差自相关信号矩阵，构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关信号矩阵A的信号的p阶微分或p次微差，且自相关信号矩阵B与自相关信号矩阵A的排列方式相同；
或，矩阵A是源实数自相关信号矩阵或实数微分/积分/微差自相关信号矩阵，构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关信号矩阵A的信号的p阶微分或p次微差，且自相关信号矩阵B与自相关信号矩阵A的排列方式相同；
步骤S102、根据所述有限复数信号谐波分量频率的复数/实数广义特征值方程式计算全部复数/实数广义特征值及广义特征向量；
和/或计算复数/实数广义特征值方程式的部分复数/实数广义特征值及其对应的广义特征向量；
步骤S103、根据全部复数/实数广义特征值解算有限复数信号的全部谐波分量的频率、幅值和初相位；
和/或根据部分复数/实数广义特征值及其对应的广义特征向量解算有限复数信号的部分谐波分量的频率、幅值和初相位。
7.根据权利要求6所述的有限复数信号的高精度分解方法，其特征在于：在步骤S102中，所述有限复数信号谐波分量频率的复数/实数广义特征值与所述有限复数信号的谐波分量的圆频率之间的数值关系分四种情况，且第三种情况和第四种情况同样适用于有限实数信号的高精度分解；
第一种情况：矩阵B和矩阵A是所述离散复数源信号矩阵和/或离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，且矩阵B是矩阵A的p阶微分信号矩阵，这时所述有限复数信号谐波分量的圆频率为：
其中：λi是所述复数广义特征值方程式的第i个复数广义特征值，是所述第i个复数广义特征值的虚部的p次方根，/>是所述第i个复数广义特征值的模的p次方根；
第二种情况：矩阵B和矩阵A是所述离散复数源信号矩阵和/或离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，且矩阵B是矩阵A的p次微差信号矩阵，这时所述有限复数信号谐波分量的圆频率为：
其中：λi、的定义与第一种情况相同，Δt是所述离散复数源信号的离散间隔；
第三种情况：矩阵B和矩阵A是所述源自相关信号矩阵和/或微分/积分/微差自相关信号矩阵，且构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关矩阵矩阵A的信号的p阶微分，这时所述有限复数/实数信号谐波分量的圆频率为：
其中：λi是所述复数/实数广义特征值方程式的第i个广义特征值，是所述第i个广义特征值的2p次方根；
第四种情况：矩阵B和矩阵A是所述源自相关信号矩阵和/或微分/积分/微差自相关信号矩阵，且构成自相关信号矩阵B的信号是构成自相关矩阵矩阵A的信号的p阶微差，这时所述有限复数/实数信号谐波分量的圆频率为：
其中：λi、的定义与第三种情况相同，Δt是所述离散复数/实数源信号的离散间隔。
8.根据权利要求7所述的有限复数信号的高精度分解方法，其特征在于：在步骤S103中，有四种路径计算得到谐波分量的频率、幅值和初相位，且第三种路径和第四种路径同样适用于有限实数信号的高精度分解；
路径1：首先根据计算得到的所述复数广义特征值方程式的全部复数广义特征值，计算所述有限复数信号的全部谐波分量的圆频率；然后构建复数线性方程组Dy＝z，其中：D＝CTC，z＝CTx，向量x由所述有限离散复数源信号构成，如果x是顺序排列的，矩阵C的构成如下：
其中：m-1≤k≤2n-1，m是计算得到的复数广义特征值的数量，CT是矩阵C的转置矩阵；解所述复数线性方程组得到向量y；最后由如下公式计算得到各分量的幅值和相位：
ai＝abs(yi)
其中：yi是向量y的第i个元素，abs(yi)是yi的模，imag(yi)是yi的虚部，real(yi)是yi的实部；
如果x是随机排列的，矩阵C的每一列的元素都要按照随机排列与顺序排列的对应关系做相对应的调整；
路径2：与权利要求7的第一种情况和第二种情况相对应，首先根据计算得到的所述复数广义特征值方程式的复数广义特征值，计算所述有限复数信号的谐波分量的圆频率；然后用所述复数广义特征方程式的复数广义特征值对应的复数广义特征向量，按下式计算wk：
其中：vk是所述复数广义特征值方程式的第k个复数广义特征值对应的复数广义特征向量，是vk的转置向量，如果x是顺序排列的，且矩阵A是离散源信号矩阵，矩阵Hk的构成如下：
如果矩阵A是离散复数源信号的微分/积分/微差信号矩阵，矩阵Hk要作相应的运算；
最后由如下公式计算得到所述有限复数信号的第k个谐波分量的幅值和相位：
ak＝abs(wk)
其中：abs(wk)是wk的模，imag(wk)是wk的虚部，real(wk)是wk的实部；
如果x是随机排列的，矩阵Hk的元素都要按照随机排列与顺序排列的对应关系做相对应的调整；
由路径2得到部分所述有限复数信号谐波分量的频率、幅值和初相位后，再从所述离散复数源信号中剔除这些已知谐波分量，重构所述复数广义特征值方程式，重复所述方法，可以继续分解得到所述有限复数信号的剩余部分的全部或部分谐波分量的频率、幅值和初相位；
路径3：与权利要求7的第三种情况和第四种情况相对应，首先根据计算得到的所述复数/实数广义特征值方程式的广义特征值，计算所述有限复数/实数信号的谐波分量的圆频率；然后用所述复数/实数广义特征方程式的广义特征值对应的广义特征向量，按下式计算wk1：
其中：vk1是所述复数/实数广义特征值方程式的第k1个广义特征值对应的广义特征向量，是vk1的转置向量，如果A是源自相关信号矩阵，矩阵Hk1是复数信号exp(iλk1t)的自相关信号矩阵，且与矩阵A的排列方式相同；如果A是源实数自相关信号矩阵，矩阵Hk1是实数信号cos(λk1t)/sin(λk1t)的自相关信号矩阵，且与矩阵A的排列方式相同；以此类推，最后由如下公式计算得到所述有限复数/实数信号的第k1个谐波分量的幅值：
路径4：与权利要求7的第三种情况和第四种情况相对应，首先根据计算得到的所述复数/实数广义特征值方程式的全部广义特征值，计算所述有限复数/实数信号的全部谐波分量的圆频率；然后构建复数/实数线性方程组Dryr＝zr，其中：向量xr由所述有限离散复数/实数源信号的自相关序列构成，矩阵Cr＝[xr10 … xrm0]，如果A是源自相关信号矩阵，xrk0是复数信号exp(iλkt)的自相关序列列向量；如果A是源实数自相关信号矩阵，xrk0是实数信号cos(λk1t)/sin(λk1t)的自相关序列列向量；以此类推，m是计算得到的全部广义特征值的数量，CT是矩阵C的转置矩阵，解所述线性方程组得到向量yr；最后计算得到各分量的幅值为：/>其中：yri是向量yr的第i个元素。
9.根据权利要求6所述的有限复数信号的高精度分解方法，其特征在于：在步骤S102中，采用特征谱分解方法根据所述复数/实数广义特征值方程式计算全部广义特征值及广义特征向量，所述特征谱分解方法包括：
步骤S301、选取矩阵A或矩阵B，并计算其复数/实数特征值和及其对应的左右特征向量；
步骤S302、根据计算得到的复数/实数特征值，选取模大于零的复数/实数特征值及其对应的左右特征向量，或根据需要选取模较大的部分复数/实数特征值及其对应的左右特征向量；
步骤S303、利用左右特征向量的正交性，把所述复数/实数广义特征值方程式转化为降阶的标准复数/实数特征值方程式；
步骤S304、计算所述标准复数/实数特征值方程式的全部复数/实数特征值，即是所述复数/实数广义特征值方程式的全部复数/实数广义特征值；
步骤S305、用所述矩阵A或矩阵B的右特征向量和所述标准复数/实数特征值方程式的标准特征向量重构得到所述复数/实数广义特征值方程式的全部广义特征向量。
10.根据权利要求6所述的有限复数信号的高精度分解方法，其特征在于：在步骤S102中，采用矩阵迭代方法根据所述复数/实数广义特征值方程式计算部分复数/实数广义特征值及其对应的广义特征向量，所述矩阵迭代方法包括：
步骤S401、选取矩阵A或矩阵B，并计算其复数/实数特征值及其对应的左右特征向量；
步骤S402、根据计算得到的复数/实数特征值，选取模大于零的复数/实数特征值及其对应的左右特征向量，或根据需要选取模较大的部分复数/实数特征值及其对应的左右特征向量；
步骤S403、利用左右特征向量的正交性，把所述广义复数/实数广义特征值方程式转化为降阶的标准复数/实数特征值方程式；
步骤S404、选取一个初始特征向量，设定迭代精度，对所述标准复数/实数特征值方程式做矩阵迭代运算，即可计算出一个标准复数/实数特征值及其对应的特征向量，重复该过程可计算得到所述标准复数/实数特征值方程式的若干个标准特征值及其对应的标准特征向量；
或者选取若干个初始特征向量，设定迭代精度，对所述标准复数/实数特征值方程式做子空间迭代运算，即可得到所述标准复数/实数特征值方程式的若干标准复数/实数特征值及其对应的标准特征向量，该步骤得到的若干标准特征值即是所述复数/实数广义特征值方程式的部分复数/实数广义特征值；
步骤S405、用所述矩阵A或矩阵B的右特征向量和所述标准复数/实数特征值方程式的若干标准特征向量重构得到所述复数/实数广义特征值方程式的部分广义特征向量。
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