CN114706309A - 基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其包括：建立制导场景的飞行器相对运动学模型以及飞行器运动学和动力学模型，基于飞行器相对运动学模型，选取误差状态变量，根据选取的误差状态变量以及飞行器相对运动学模型和飞行器运动学模型和动力学模型，构建状态方程，构建到达段预设定时间收敛的冲击角约束制导律，构建跟踪段冲击角约束跟踪保持的制导律，根据所构建的到达段滑模制导律和跟踪段滑模制导律，得到预设定时间收敛的冲击角约束制导方法。本发明提高了控制器的鲁棒性，降低了分数阶项对新颖的分数阶时变滑模收敛证明复杂性的影响，能够实现预设定时间角度收敛、终端角度约束和灵活机动。

Description

基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法

技术领域

本发明属于高超声速飞行器制导与控制仿真分析技术领域，特别是一种基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法。

背景技术

随着现代信息战的发展，导弹的任务要求不再仅仅是击中目标。为实现相应的战略目标，还需满足一定的终端约束。与此同时，随着反导技术的不断提高，对导弹灵活机动能力的要求也越来越高。这些对导弹制导律提出了新的挑战。

最早的经典制导律始于比例导引方法。Lee等人设计了基于比例导引法的考虑攻击角约束的制导律，实现以所需角度攻击目标的目的。近年来，基于滑模控制的冲击角约束制导律已成为研究热点，其作为一种非线性控制，控制结构随时间而变化，因其对存在参数不确定和外部扰动的系统具有很强的鲁棒性。Guo等人使用滑模制导律来控制飞行器的方向和姿态，并将其与传统制导律进行了比较。为满足导弹制导的终端约束，Kumar等人提出一种具有终端约束的滑模制导律。然而传统滑模控制器的滑动状态只能满足收敛性和稳定性，而不是所期望的有限时间稳定性，为解决该限制终端滑模控制被提出，Song等人提出一种改进的非奇异快速终端滑模控制方法，可实现受控状态的有限时间收敛。不过当滑模控制器的初始值较大时，系统在有限时间内将无法达到零滑模面，降低了控制器性能，针对该问题全局滑模控制被提出并应用于制导律中，以消除滑模到达段，保证全局稳定。此外，为解决传统滑模控制固有抖振问题，研究人员添加了不同类型的观测器。针对拦截机动目标，Wang等人提出一种含终端角度约束的滑模制导律，并增加了广义干涉观测器，提高了其有限时间稳定性和鲁棒性。另外一些研究人员结合滑模控制理论与分数阶控制理论，形成分数阶滑模控制理论，解决了常规滑模制导律的抖振问题，提高了制导律的鲁棒性。Chen提出一种分数阶滑模制导律，将滑模控制的鲁棒性与分数微积分的微妙特性相结合，提高了制导律的鲁棒性。至此，对于冲击角约束的制导律的研究已经较为成熟和完备，但是却少有人在满足冲击角约束的前提下去考虑导弹弹道机动性的问题。因此，为满足高精度制导和现代战争制导的需要，寻求一种能够在预设时间收敛的冲击角约束制导方法，以实现预设定时间角度收敛、终端角度约束和灵活机动是十分迫切且必要的。

发明内容

本发明针对上述现有技术中的缺陷，提出一种基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法。该方法包括建立制导场景的飞行器相对运动学模型以及飞行器运动学和动力学模型，基于飞行器相对运动学模型，选取误差状态变量，根据选取的误差状态变量以及飞行器相对运动学模型和飞行器运动学模型和动力学模型，构建状态方程，构建到达段预设定时间收敛的冲击角约束制导律，构建跟踪段冲击角约束跟踪保持的制导律，根据所构建的到达段滑模制导律和跟踪段滑模制导律，得到预设定时间收敛的冲击角约束制导方法。本发明提高了控制器的鲁棒性，降低了分数阶项对新颖的分数阶时变滑模收敛证明复杂性的影响，能够实现预设定时间角度收敛、终端角度约束和灵活机动。

本发明提供一种基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其包括以下步骤：

S1、建立制导场景的飞行器相对运动学模型以及飞行器运动学和动力学模型；

S2、基于飞行器相对运动学模型选取误差状态变量；

S3、根据选取的误差状态变量以及飞行器相对运动学模型、飞行器运动学模型和动力学模型，构建状态方程：

其中，e表示受控状态变量；

表示e的二阶导数；u表示控制器的输出；f和g分别表示系统中的第一部分非线性函数和第二部分非线性函数；d表示系统的不确定度；

S4、基于状态方程构建到达段预设定时间收敛的冲击角约束制导律：

S41、根据状态变量，考虑预设定时间收敛，构建到达段分数阶时变滑模函数；

S42、由状态方程和到达段分数阶时变滑模函数得到到达段滑模面S_arrival一阶导数

其中，u_a为到达段滑模制导律；h_a表示到达段滑模面导数的非线性构成函数；

S43、基于边界层饱和函数切换项，构建到达段预设定时间收敛的冲击角约束滑模制导律：

其中，K_aσ和K_aμ分别表示到达段俯仰和偏航方向上的切换项增益系数；sat(·)表示边界层饱和函数；S_aσ和S_aμ分别表示到达段俯仰和偏航方向上构造的滑模面；a_yma和a_zma分别表示到达段飞行器在俯仰和偏航方向上的需求过载；

S5、基于状态方程构建跟踪段冲击角约束跟踪保持的制导律：

S51、根据状态变量，考虑冲击角约束的跟踪保持，构建跟踪段分数阶时变滑模函数；

S52、由状态方程和跟踪段分数阶时变滑模函数得到跟踪段滑模面S_tracking一阶导数

其中，u_t为跟踪段滑模制导律；h_t表示跟踪段滑模面导数的非线性构成函数；

S53、基于边界层饱和函数切换项，构建跟踪段冲击角约束跟踪保持的滑模制导律：

其中，K_tσ和K_tμ表示跟踪段滑模制导律在俯仰和偏航方向上的切换项增益系数；S_tσ和S_tμ分别表示跟踪段俯仰和偏航方向上构造的滑模面；a_ymt和a_zmt表示跟踪段飞行器在俯仰和偏航方向上的需求过载；

S6、根据构建的到达段与跟踪段滑模制导律，得到预设时间收敛的冲击角约束制导方法：

其中，a_ym和a_zm分别表示飞行器在俯仰和偏航方向上的需求过载。

进一步，所述步骤S41中所述到达段分数阶时变滑模函数为：

其中，σ₁和σ₂分别表示俯仰方向上视线角和视线角速度的跟踪误差；μ₁和μ₂分别表示偏航方向上视线角和视线角速度的跟踪误差；M_a,H,k,m_a,n分别表示到达段第一、第二、第三、第四和第五增益系数，且有M_a+σ₁＞0，M_a+μ₁＞0；D^λ表示分数阶算子；ξ_aσ和ξ_aμ分别表示到达段俯仰和偏航方向上滑模面的时变项；t_f表示预设收敛时间；t₀表示初始发射时刻的时间；t表示当前时刻的时间；

所述步骤S51中所述跟踪段分数阶时变滑模函数为：

其中，M_t,A,q分别表示跟踪段第一、第二和第三增益系数，且有M_t+σ₁＞0，M_t+μ₁＞0；ξ_tσ和ξ_tμ分别表示俯仰和偏航方向上滑模面时变项；t_s表示到达段与跟踪段的制导律切换时间。

进一步，所述步骤S41中所述到达段分数阶时变滑模函数的构造还包括以下步骤：

S411、基于李雅普诺夫第二法的到达段分数阶时变滑模函数稳定性证明：

S4111、选取李雅普诺夫函数V＝S²，其中V表示李雅普诺夫函数；S表示滑模面；代入到达段分数阶时变滑模函数S₁，得到到达段李雅普诺夫函数V₁的一阶导数

为：

其中，e₁表示到达段被控状态误差；

分别表示S₁,e₁,e₂的导数；K_a,ξ_a分别表示到达段切换项增益与全局项；d(t)表示飞行过程中外部不确定扰动；sgn(·)表示符号函数；

S4112、当选取合适K_a，令其大于d(t)的最大幅度，即K_a＞|d(t)|，在滑膜面不等于零的条件下得到

即李雅普诺夫函数的一阶导数为负定，证明所构造的S₁的稳定性；

S412、基于分数阶项时变系数阶次设计的到达段分数阶时变滑模函数收敛性证明：

S4121、到达段分数阶时变滑模函数的第一滑模面函数为：

e₂/(M_a+e₁)+c₁(t)ln((M_a+e₁)/M_a)+c₂(t)ξ_a+c₃(t)D^λe₁＝0 (12)

其中，c₁(t),c₂(t),c₃(t)分别表示到达段第一、第二和第三时变系数；

S4122、通过构造新第一变量a变换第一滑模面函数，a与到达段误差变量间的关系为：

其中，

表示a的一阶导数；

S4123、第一滑模面函数重写为：

其中，δ_a为第一常量，且δ_a∈(t₀,t_f)；λ为分数阶算子的阶次；Γ(λ+1)表示λ+1的伽马函数且

S4124、第一滑模面函数方程的通解形式为：

其中，τ表示积分变量；C_a为第二常量且由方程的初始条件确定：

C_a＝ξ_a/((t_f-t₀)^k-1(m_a-k+1))+ln((M_a+e₁(t₀))/M_a)/(t_f-t₀)^k (17)；

S4125、通过构造分数阶项时变系数的阶次n等于k，第一滑模面函数通解形式更改为：

S4126、当时间趋于预设的收敛时间，即t→t_f时，在m_a-k+1≠0，λ+1≠0，k＞1和m_a＞0条件下，a和

均收敛到零，由步骤S4122得到e₁和e₂均收敛到零，证明构造的S₁的收敛性；

S413、基于时变项构造的到达段分数阶时变滑模函数全局性证明：

S4131、构造到达段分数阶时变滑模函数的初始状态S₁(t₀)：

其中，c₁(t₀),c₂(t₀),c₃(t₀)分别表示c₁(t),c₂(t),c₃(t)在t₀的状态；ξ_a表达为：

ξ_a＝-(e₂(t₀)/(M_a+e₁(t₀))+c₁(t₀)ln((M_a+e₁(t₀))/M_a)) (21)；

S4132、得到加入到达段时变项的到达段分数阶时变滑模函数的初始状态：

其中，C表示Caputo定义；Γ(λ)表示λ的伽马函数且

证明所构造的S₁的全局性；

所述步骤S51中所述跟踪段分数阶时变滑模函数的构造还包括以下步骤：

S511、基于李雅普诺夫第二法的跟踪段分数阶时变滑模函数稳定性证明：

S5111、选取李雅普诺夫函数并代入跟踪段分数阶时变滑模函数S₂，得到：

其中，V₂表示跟踪段李雅普诺夫函数；

表示V₂一阶导数；ε₁表示跟踪段被控状态的误差；

分别表示S₂,ε₁,ε₂的导数；K_t表示跟踪段切换项增益；ζ_t表示跟踪段时变项；

S5112、在滑膜面不等于零的条件下，得到

李雅普诺夫函数的一阶导数为负定，证明所构造的S₂的稳定性；

S512、基于分数阶项时变系数阶次设计的跟踪段分数阶时变滑模函数收敛性证明：

S5121、通过构造新第二变量γ变换第二滑模面函数形式，新第二变量与跟踪段误差变量间的关系为：

其中，

表示γ的一阶导数；

S5122、第二滑模面函数重写为：

其中，δ_t为第四常量，且δ_t∈(t_s,t)；

S5123、第二滑模面函数方程的通解形式为：

其中，C_t为第五常量且由方程的初始条件确定：

S5124、当时间趋近于正无穷，即t→+∞时,在条件q＞0，λ+1≠0下，γ和

均收敛到零，由步骤S5121，ε₁和ε₂也均收敛到零，证明构造的S₂的收敛性；

S513、基于时变项构造的跟踪段分数阶时变滑模函数全局性证明，获得跟踪段时变项ζ_t：

加入ζ_t的跟踪段分数阶时变滑模函数初始状态在零滑模面上，由李雅普诺夫函数的形式和其一阶导数负定，得到V₂≡0，S₂≡0，证明了构造的S₂的全局性。

可优选的，所述步骤S1具体包括以下步骤：

S11、设置地面惯性坐标系AXYZ、视线坐标系OX_LY_LZ_L和速度坐标系OX_VY_VZ_V，建立制导场景的飞行器相对运动学模型：

其中，R表示飞行器和目标之间的相对距离；

表示R的一导书数；V_m表示导弹的速度;θ_η,

θ_L,

分别表示飞行器的速度高低前置角、速度方位前置角、视线高低角和视线方位角；

分别表示θ_η,

θ_L,

一阶导数；

S12、建立飞行器运动学模型和动力学模型分别为：

其中，

分别表示飞行器在x、y、z方向上的分速度；θ_m和

分别表示飞行器的弹道倾角和弹道偏角；

和

分别表示θ_m和

的一阶导数；D,L,N分别表示飞行器在飞行过程中受到的阻力、升力和侧向力；m表示飞行器重量；g表示重力加速度。

可优选的，所述步骤S2具体包括以下步骤：

S21、通过飞行器传感器和导引头获取飞行器状态参数；

S22、构建所获飞行器状态参数与相对运动学模型所需参数间转换矩阵

为：

其中，γ_η,γ_v表示飞行器的速度滚转前置角和速度倾斜角；L(γ_v),

分别表示速度坐标系与弹道坐标系间、地面惯性坐标系与弹道坐标系间、地面惯性坐标系与视线坐标系间的转换矩阵；-1表示矩阵的逆运算；

S23、根据飞行器相对运动学模型和状态参数，选取误差状态变量：

其中，θ_Lf和

分别表示在俯仰方向上和偏航方向上期望的终端冲击角。

可优选的，所述步骤S43和步骤S53中所述边界层饱和函数切换项为sat(S)，表达为：

其中，φ表示边界层厚度；

步骤S42和步骤S52中h_a和h_t分别为：

步骤S43中a_yma和a_zma与步骤S53中a_ymt和a_zmt分别表示为：

其中，

表示V_m的一阶导数。

可优选的，所述步骤S21中所述飞行器状态参数包括当前状态参数和相对状态参数，其中所述当前状态参数包括导弹位置信息M、导弹的速度V_m、飞行器的弹道倾角θ_m和弹道偏角

所述相对状态参数包括目标的位置信息T、飞行器与目标之间的相对距离信息R、飞行器的视线高低角θ_L和视线方位角

所述步骤S22中所述相对运动学模型中所需参数包括飞行器的速度高低前置角θ_η和速度方位前置角

可优选的，所述步骤S22中

L(γ_v)、

和

分别表示为：

可优选的，所述步骤S3中受控状态变量e、控制器的输出u、系统中的第一部分非线性函数g和第二部分非线性函数f分别表示为：

与现有技术相比，本发明的技术效果为：

1、本发明设计的一种基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，采用一种新颖分数阶时变滑模控制器形式，实现系统状态的预设定时间收敛，在控制器中引入分数阶项，提高了控制器鲁棒性；同时提出了一种证明该控制器收敛性的新方法，通过巧妙地构造分数阶时变参数，降低了分数阶项对新颖分数阶时变滑模收敛证明复杂性的影响。

2、本发明设计的一种基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，通过将设计的新颖分数阶时变滑模控制器与飞行器动力学和运动学模型相结合，提出了新颖分数阶时变滑模制导律，实现了飞行器状态的冲击角约束和预设定时间的角度收敛；将制导过程分为到达段和跟踪段，其中通过调整制导系数，设置到达段轨迹，实现灵活机动，成功突防后，跟踪段对视线角度误差以及视线角速度再进行微调，以预期的冲击角度精确打击目标；所设计的方法能够实现预设定时间角度收敛、终端角度约束和灵活机动，对于有外部扰动的各种制导情况，制导律均符合高精度制导的需要。

附图说明

通过阅读参照以下附图所作的对非限制性实施例所作的详细描述，本申请的其它特征、目的和优点将会变得更明显。

图1是本发明的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法流程图；

图2是本发明的飞行器制导方法的三维制导场景示意图；

图3a是本发明对不同冲击角打击同一目标时飞行器飞行轨迹影响的示意图；

图3b是本发明对不同冲击角打击同一目标时飞行器弹道倾角影响的示意图；

图3c是本发明对不同冲击角打击同一目标时飞行器弹道偏角影响的示意图；

图3d是本发明对不同冲击角打击同一目标时飞行器法向加速度影响的示意图；

图3e是本发明对不同冲击角打击同一目标时飞行器侧向加速度影响的示意图；

图3f是本发明对不同冲击角打击同一目标时飞行器垂直方向滑模面影响的示意图；

图3g是本发明对不同冲击角打击同一目标时飞行器水平方向滑模面影响的示意图；

图3h是本发明对不同冲击角打击同一目标时飞行器LOS高低角影响的示意图；

图3i是本发明对用不同冲击角打击同一目标时飞行器LOS方向角影响的示意图；

图3j是本发明对不同冲击角打击同一目标时飞行器速度影响的示意图；

图4a是本发明对同一冲击角打击不同距离目标时飞行器飞行轨迹影响的示意图；

图4b是本发明对同一冲击角打击不同距离目标时飞行器弹道倾角影响的示意图；

图4c是本发明对同一冲击角打击不同距离目标时飞行器弹道偏角影响的示意图；

图4d是本发明对同一冲击角打击不同距离目标时飞行器法向加速度影响的示意图；

图4e是本发明对同一冲击角打击不同距离目标时飞行器侧向加速度影响的示意图；

图4f是本发明对同一冲击角打击不同距离目标时飞行器垂直方向滑模面影响的示意图；

图4g是本发明对同一冲击角打击不同距离目标时飞行器水平方向滑模面影响的示意图；

图4h是本发明对同一冲击角打击不同距离的目标时的飞行器LOS高低角影响的示意图；

图4i是本发明对同一冲击角打击不同距离目标时飞行器LOS方向角影响的示意图；

图4j是本发明对同一冲击角打击不同距离目标时飞行器速度影响的示意图；

图5a是本发明对同一目标不同收敛时间t_f时对飞行器轨迹变化影响的示意图；

图5b是本发明对同一目标不同收敛时间t_f时对飞行器弹道倾角影响的示意图；

图5c是本发明对同一目标不同收敛时间t_f时对飞行器滑模表面影响的示意图；

图5d是本发明对同一目标不同收敛时间t_f时对飞行器LOS高低角影响的示意图；

图6a是本发明对同一目标不同到达段第一增益系数M_a对飞行器轨迹影响的示意图；

图6b是本发明对同一目标不同到达段第一增益系数M_a对飞行器弹道倾角影响的示意图；

图6c是本发明对同一目标不同到达段第一增益系数M_a时对滑模表面影响的示意图；

图6d是本发明对同一目标不同到达段第一增益系数M_a时对LOS高低角影响的示意图；

图7a是本发明对同一目标不同到达段第四增益系数k时对飞行器轨迹变化影响的示意图；

图7b是本发明对同一目标不同到达段第四增益系数k时对飞行器弹道倾角影响的示意图；

图7c是本发明对同一目标不同到达段第四增益系数k时对飞行器滑模表面影响的示意图；

图7d是本发明对同一目标不同到达段第四增益系数k时对LOS高低角影响的示意图；

图8a是本发明对同一目标不同到达段第五增益系数m_a时对轨迹变化影响的示意图；

图8b是本发明对同一目标不同到达段第五增益系数m_a时对弹道倾角影响的示意图；

图8c是本发明对同一目标不同到达段第五增益系数m_a时对滑模表面影响的曲线示意图；

图8d是本发明对同一目标不同到达段第五增益系数m_a时对LOS高低角影响的示意图；

图9a是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器飞行轨迹影响的示意图；

图9b是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器弹道倾角影响的示意图；

图9c是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器弹道偏角影响的示意图；

图9d是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器法向加速度影响的示意图；

图9e是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器侧向加速度影响的示意图；

图9f是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器垂直滑模面影响的示意图；

图9g是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器水平滑模面影响的示意图；

图9h是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器LOS高低角影响的示意图；

图9i是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器LOS方向角影响的示意图；

图9j是本发明对存在外部扰动制导下有无分数阶项对飞行器速度影响的示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本申请作进一步的详细说明。可以理解的是，此处所描述的具体实施例仅仅用于解释相关发明，而非对该发明的限定。另外还需要说明的是，为了便于描述，附图中仅示出了与有关发明相关的部分。

需要说明的是，在不冲突的情况下，本申请中的实施例及实施例中的特征可以相互组合。下面将参考附图并结合实施例来详细说明本申请。

图1示出了本发明的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，该方法包括以下步骤：

S1、建立制导场景的飞行器相对运动学模型以及飞行器运动学和动力学模型：

图2表示高超声速飞行器在三维空间中的制导场景示意图。

S11、设置地面惯性坐标系AXYZ、视线坐标系OX_LY_LZ_L和速度坐标系OX_VY_VZ_V，建立制导场景的飞行器相对运动学模型：

其中，R表示飞行器和目标之间的相对距离；

表示R的一阶导数；V_m表示导弹的速度；θ_η,

θ_L,

分别表示飞行器的速度高低前置角、速度方位前置角、视线高低角和视线方位角；

分别表示θ_η,

θ_L,

一阶导数；a_ym和a_zm分别表示飞行器在俯仰和偏航方向上的需求过载。

S12、建立飞行器运动学模型和动力学模型分别为：

其中，

分别表示飞行器在x、y、z方向上的分速度；θ_m和

分别表示飞行器的弹道倾角和弹道偏角；

和

分别表示θ_m和

的一阶导数；D,L,N分别表示飞行器在飞行过程中受到的阻力、升力和侧向力；m表示飞行器重量；g表示重力加速度。

S2、基于飞行器相对运动学模型选取误差状态变量。

S21、通过飞行器传感器和导引头获取飞行器状态参数，其中飞行器状态参数包括当前状态参数和相对状态参数，其中当前状态参数包括导弹位置信息M、导弹的速度V_m、飞行器的弹道倾角θ_m和弹道偏角

相对状态参数包括目标的位置信息T、飞行器与目标之间的相对距离信息R、飞行器的视线高低角θ_L和视线方位角

S22、基于相对运动学模型所需参数，包括飞行器的速度高低前置角θ_η和速度方位前置角

构建所获飞行器状态参数与相对运动学模型所需参数间转换矩阵

为：

其中，γ_η,γ_v分别表示飞行器的速度滚转前置角和速度倾斜角；D,L,N分别表示飞行器在飞行过程中受到的阻力、升力和侧向力；-1表示矩阵的逆运算；L(γ_v),

分别表示速度坐标系与弹道坐标系间、地面惯性坐标系与弹道坐标系间、地面惯性坐标系与视线坐标系间的转换矩阵，且分别表示为：

得到转换矩阵

为：

S23、根据飞行器相对运动学模型和状态参数，选取误差状态变量：

其中，σ₁和σ₂分别表示俯仰方向上视线角和视线角速度的跟踪误差；μ₁和μ₂分别表示偏航方向上视线角和视线角速度的跟踪误差；θ_Lf和

分别表示在俯仰方向上和偏航方向上期望的终端冲击角。

S3、根据选取的误差状态变量以及飞行器相对运动学模型和飞行器运动学模型和动力学模型，构建状态方程：

其中，e表示受控状态变量；

表示e的二阶导数；u表示控制器的输出；f和g分别表示系统中的第一部分非线性函数和第二部分非线性函数；d表示系统的不确定度。e,u,g,f分别表示为：

S4、基于状态方程构建到达段预设定时间收敛的冲击角约束制导律。

S41、根据状态变量，考虑预设定时间收敛，构建到达段分数阶时变滑模函数：

其中，S_aσ和S_aμ分别表示到达段俯仰和偏航方向上构造的滑模面；M_a,H,k,m_a,n分别表示到达段第一、第二、第三、第四和第五增益系数，且有M_a+σ₁＞0，M_a+μ₁＞0；D^λ表示分数阶算子；ξ_aσ和ξ_aμ分别表示到达段俯仰和偏航方向上滑模面的时变项；t_f表示预设收敛时间；t₀表示初始发射时刻的时间；t表示当前时刻的时间。

到达段分数阶时变滑模函数的构造还包括以下步骤：

S411、基于李雅普诺夫第二法的到达段分数阶时变滑模函数稳定性证明。

S4111、选取李雅普诺夫函数V＝S²，其中V表示李雅普诺夫函数；S表示滑模面；代入到达段分数阶时变滑模函数S₁，得到到达段李雅普诺夫函数V₁的一阶导数

为：

其中，e₁表示到达段被控状态误差；

分别表示S₁,e₁,e₂的导数；K_a,ξ_a分别表示到达段切换项增益与全局项；d(t)表示飞行过程中外部不确定扰动；sgn(·)表示符号函数。

S4112、当选取合适的到达段切换项增益，令其大于系统不确定扰动的最大幅度，即K_a＞|d(t)|，在滑膜面不等于零的条件下，得到

即李雅普诺夫函数的一阶导数为负定，证明所构造的到达段分数阶时变滑模函数S₁的稳定性。

S412、基于分数阶项时变系数阶次设计的到达段分数阶时变滑模函数收敛性证明。

S4121、到达段分数阶时变滑模函数的第一滑模面函数为：

e₂/(M_a+e₁)+c₁(t)ln((M_a+e₁)/M_a)+c₂(t)ξ_a+c₃(t)D^λe₁＝0 (12)；

其中，c₁(t),c₂(t),c₃(t)分别表示到达段第一、第二和第三时变系数。

S4122、通过构造新第一变量a变换第一滑模面函数，a与到达段误差变量间的关系为：

其中，

表示a的一阶导数。

S4123、第一滑模面函数重写为：

其中，δ_a为第一常量，且δ_a∈(t₀,t_f)；λ为分数阶算子的阶次；Γ(λ+1)表示λ+1的伽马函数且

S4124、第一滑模面函数方程的通解形式为：

其中，τ表示积分变量；C_a为第二常量且由方程的初始条件确定：

C_a＝ξ_a/((t_f-t₀)^k-1(m_a-k+1))+ln((M_a+e₁(t₀))/M_a)/(t_f-t₀)^k (17)。

S4125、通过构造分数阶项时变系数的阶次n等于k，第一滑模面函数通解形式更改为：

S4126、当时间趋近于预先设定的收敛时间，即t→t_f时，在条件m_a-k+1≠0，λ+1≠0，k＞1和m_a＞0下，a和

均收敛到零，根据步骤S4122得到e₁和e₂也均收敛到零，证明构造的到达段分数阶时变滑模函数S₁的收敛性。

S413、基于时变项构造的到达段分数阶时变滑模函数全局性证明：

S4131、构造到达段分数阶时变滑模函数的初始状态S₁(t₀)：

其中，c₁(t₀),c₂(t₀),c₃(t₀)分别表示c₁(t),c₂(t),c₃(t)在t₀的状态；ξ_a表达为：

ξ_a＝-(e₂(t₀)/(M_a+e₁(t₀))+c₁(t₀)ln((M_a+e₁(t₀))/M_a)) (21)。

S4132、得到加入到达段时变项的到达段分数阶时变滑模函数的初始状态：

其中，C表示Caputo定义；Γ(λ)表示λ的伽马函数且

证明所构造的到达段分数阶时变滑模函数S₁的全局性。

S42、由状态方程和到达段分数阶时变滑模函数得到到达段滑模面S_arrival一阶导数

其中，u_a为到达段滑模制导律；h_a表示到达段滑模面导数的非线性构成函数；h_a和h_t为：

S43、基于边界层饱和函数切换项sat(S)：

其中，φ表示边界层厚度。

构建到达段预设定时间收敛的冲击角约束滑模制导律：

其中，K_aσ和K_aμ分别表示到达段俯仰和偏航方向上的切换项增益系数；sat(·)表示边界层饱和函数；a_yma和a_zma分别表示到达段飞行器在俯仰和偏航方向上的需求过载，分别表示为：

其中，

表示V_m的一阶导数。

S5、基于状态方程构建跟踪段冲击角约束跟踪保持的制导律。

S51、根据状态变量，考虑冲击角约束的跟踪保持，构建跟踪段分数阶时变滑模函数：

其中，S_tσ和S_tμ分别表示跟踪段俯仰和偏航方向上构造的滑模面；M_t,A,q分别表示跟踪段第一、第二和第三增益系数，且有M_t+σ₁＞0，M_t+μ₁＞0；ξ_tσ和ξ_tμ分别表示俯仰和偏航方向上滑模面时变项；t_s表示到达段与跟踪段的制导律切换时间。

跟踪段分数阶时变滑模函数的构造还包括以下步骤：

S511、基于李雅普诺夫第二法的跟踪段分数阶时变滑模函数稳定性证明。

S5111、选取李雅普诺夫函数并代入跟踪段分数阶时变滑模函数，得到：

其中，V₂表示跟踪段李雅普诺夫函数；

表示V₂一阶导数；ε₁表示跟踪段被控状态的误差；

分别表示S₂,ε₁,ε₂的导数；K_t表示跟踪段切换项增益；ζ_t表示跟踪段时变项。

S5112、在滑膜面不等于零的条件下，得到

李雅普诺夫函数的一阶导数为负定，证明所构造的跟踪段分数阶时变滑模函数S₂的稳定性。

S512、基于分数阶项时变系数阶次设计的跟踪段分数阶时变滑模函数收敛性证明。

S5121、通过构造新第二变量γ变换第二滑模面函数形式，新第二变量与跟踪段误差变量间的关系为：

其中，

表示γ的一阶导数。

S5122、第二滑模面函数重写为：

其中，δ_t为第四常量，且δ_t∈(t_s,t)。

S5123、第二滑模面函数方程的通解形式为：

其中，C_t为第五常量且由方程的初始条件确定：

S5124、当时间趋近于正无穷，即t→+∞时,在条件q＞0，λ+1≠0下，γ和

均收敛到零，由步骤S5121，ε₁和ε₂也均收敛到零，证明构造跟踪段分数阶时变滑模函数S₂的收敛性。S513、基于时变项构造的跟踪段分数阶时变滑模函数全局性证明，获得跟踪段时变项ζ_t：

加入ζ_t的跟踪段分数阶时变滑模函数初始状态在零滑模面上，由李雅普诺夫函数的形式和其一阶导数负定，得到V₂≡0，S₂≡0，证明了构造的跟踪段分数阶时变滑模函数S₂的全局性。

S52、由状态方程和跟踪段分数阶时变滑模函数得到跟踪段滑模面S_tracking一阶导数

其中，u_t为跟踪段滑模制导律；h_t表示跟踪段滑模面导数的非线性构成函数。

S53、基于边界层饱和函数切换项，构建跟踪段冲击角约束跟踪保持的滑模制导律：

其中，K_tσ和K_tμ表示跟踪段滑模制导律在俯仰和偏航方向上的切换项增益系数；a_ymt和a_zmt表示跟踪段飞行器在俯仰和偏航方向上的需求过载，分别表示为：

S6、根据所构建的到达段滑模制导律和跟踪段滑模制导律，得到预设定时间收敛的冲击角约束制导方法：

在一个具体实施例中，分别对本发明的适用性、灵活机动能力和鲁棒性进行了讨论。

具体地，针对适用性，采用本发明对不同冲击角打击同一目标进行仿真，结果如图3a～3j以及表1所示。当预期冲击角介于-10°和-70°间时，LOS高低角能在预设定的收敛时间t_f达到预设定的收敛LOS角θ_Lf；随后在跟踪段保持直到飞行结束。在到达段弹道倾角逐渐收敛到预期冲击角，在跟踪段内进行细微修正，实现了预期的冲击角。这符合本发明设计的制导律的预期结果，平均脱靶量小于1e-6m，冲击角平均误差小于3e-3°，符合高精度制导的需要。

对同一冲击角打击不同距离目标进行仿真，结果如图4a～4j以及表2所示。当预期撞击距离在(15,0,15)km和(35,0,35)km间时，平均脱靶量小于2e-5m，冲击角的平均误差小于4.3e-3°，符合高精度制导的需要。因此，上述仿真验证了本发明所设计制导律在三维空间中的普适性。

表1

表2

针对灵活机动能力，本发明对同一目标采用不同收敛时间t_f进行仿真，结果如图5a～5d以及表3所示。当预设定收敛时间小于实际撞击时间时，设计的制导律在冲击角度误差和脱靶量方面表现更好；当大于实际撞击时间时，冲击角度误差和脱靶量将逐渐增加。这由于在预设收敛时间前滑模状态不会收敛到零滑模面，状态误差不会收敛到零。仿真结果与滑模收敛性证明结论一致。此外不同预设定时间可通过改变LOS角度约束趋势来改变到达段的轨迹。

表3

对同一目标采用不同的制导系数M_a、k和m_a进行仿真，结果分别如图6a～6d、7a～7d、8a～8d所示。无论改变哪个制导系数，制导精度和预期冲击角度都不受影响，但到达段轨迹存在差异。因此，通过合理设置制导系数，可实现到达段轨迹调整，实现攻击轨迹的可控性。

针对鲁棒性，本发明对存在外部扰动的制导情况下有无分数阶项进行仿真，结果对比如图9a～9j所示。在两个连续时间段内，将两个不同的频率和幅度的外部扰动添加到升力和侧向力中，当制导律则没有分数阶项时，制导律的加速度输出会随着外部扰动剧烈抖动，加速度的抖动也会导致攻角的抖动，而在实际飞行过程中，攻角的抖动对飞行器的控制非常不利，它甚至可能对飞行器的结构造成共振损坏；具有分数阶项的制导律的加速度输出曲线变化平稳，几乎不受外部扰动的影响。这也证明了具有分数阶项的滑模制导律具有优异的鲁棒性。

本发明设计的一种基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，采用一种新颖分数阶时变滑模控制器形式，实现系统状态的预设定时间收敛，在控制器中引入分数阶项，提高了控制器鲁棒性；同时提出了一种证明该控制器收敛性的新方法，通过巧妙地构造分数阶时变参数，降低了分数阶项对新颖分数阶时变滑模收敛证明复杂性的影响；通过将设计的新颖分数阶时变滑模控制器与飞行器动力学和运动学模型相结合，提出了新颖分数阶时变滑模制导律，实现了飞行器状态的冲击角约束和预设定时间的角度收敛；将制导过程分为到达段和跟踪段，其中通过调整制导系数，设置到达段轨迹，实现灵活机动，成功突防后，跟踪段对视线角度误差以及视线角速度再进行微调，以预期的冲击角度精确打击目标；所设计的方法能够实现预设定时间角度收敛、终端角度约束和灵活机动，对于有外部扰动的各种制导情况，制导律均符合高精度制导的需要。

最后所应说明的是：以上实施例仅以说明而非限制本发明的技术方案，尽管参照上述实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解：依然可以对本发明进行修改或者等同替换，而不脱离本发明的精神和范围的任何修改或局部替换，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (9)

1.一种基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其特征在于，其包括以下步骤：

S1、建立制导场景的飞行器相对运动学模型以及飞行器运动学和动力学模型；

S2、基于飞行器相对运动学模型选取误差状态变量；

S3、根据选取的误差状态变量以及飞行器相对运动学模型、飞行器运动学模型和动力学模型，构建状态方程：

其中，e表示受控状态变量；

表示e的二阶导数；u表示控制器的输出；f和g分别表示系统中的第一部分非线性函数和第二部分非线性函数；d表示系统的不确定度；

S4、基于状态方程构建到达段预设定时间收敛的冲击角约束制导律：

S41、根据状态变量，考虑预设定时间收敛，构建到达段分数阶时变滑模函数；

S42、由状态方程和到达段分数阶时变滑模函数得到到达段滑模面S_arrival一阶导数

其中，u_a为到达段滑模制导律；h_a表示到达段滑模面导数的非线性构成函数；

S43、基于边界层饱和函数切换项，构建到达段预设定时间收敛的冲击角约束滑模制导律：

其中，K_aσ和K_aμ分别表示到达段俯仰和偏航方向上的切换项增益系数；sat(·)表示边界层饱和函数；S_aσ和S_aμ分别表示到达段俯仰和偏航方向上构造的滑模面；a_yma和a_zma分别表示到达段飞行器在俯仰和偏航方向上的需求过载；

S5、基于状态方程构建跟踪段冲击角约束跟踪保持的制导律：

S51、根据状态变量，考虑冲击角约束的跟踪保持，构建跟踪段分数阶时变滑模函数；

S52、由状态方程和跟踪段分数阶时变滑模函数得到跟踪段滑模面S_tracking一阶导数

其中，u_t为跟踪段滑模制导律；h_t表示跟踪段滑模面导数的非线性构成函数；

S53、基于边界层饱和函数切换项，构建跟踪段冲击角约束跟踪保持的滑模制导律：

其中，K_tσ和K_tμ表示跟踪段滑模制导律在俯仰和偏航方向上的切换项增益系数；S_tσ和S_tμ分别表示跟踪段俯仰和偏航方向上构造的滑模面；a_ymt和a_zmt表示跟踪段飞行器在俯仰和偏航方向上的需求过载；

S6、根据构建的到达段与跟踪段滑模制导律，得到预设时间收敛的冲击角约束制导方法：

其中，a_ym和a_zm分别表示飞行器在俯仰和偏航方向上的需求过载。

2.根据权利要求1所述的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其特征在于，所述步骤S41中所述到达段分数阶时变滑模函数为：

其中，σ₁和σ₂分别表示俯仰方向上视线角和视线角速度的跟踪误差；μ₁和μ₂分别表示偏航方向上视线角和视线角速度的跟踪误差；M_a,H,k,m_a,n分别表示到达段第一、第二、第三、第四和第五增益系数，且有M_a+σ₁＞0，M_a+μ₁＞0；D^λ表示分数阶算子；ξ_aσ和ξ_aμ分别表示到达段俯仰和偏航方向上滑模面的时变项；t_f表示预设收敛时间；t₀表示初始发射时刻的时间；t表示当前时刻的时间；

所述步骤S51中所述跟踪段分数阶时变滑模函数为：

其中，M_t,A,q分别表示跟踪段第一、第二和第三增益系数，且有M_t+σ₁＞0，M_t+μ₁＞0；ξ_tσ和ξ_tμ分别表示俯仰和偏航方向上滑模面时变项；t_s表示到达段与跟踪段的制导律切换时间。

3.根据权利要求1所述的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其特征在于，所述步骤S41中所述到达段分数阶时变滑模函数的构造还包括以下步骤：

S411、基于李雅普诺夫第二法的到达段分数阶时变滑模函数稳定性证明：

S4111、选取李雅普诺夫函数V＝S²，其中V表示李雅普诺夫函数；S表示滑模面；代入到达段分数阶时变滑模函数S₁，得到到达段李雅普诺夫函数V₁的一阶导数

为：

其中，e₁表示到达段被控状态误差；

e₂,

分别表示S₁,e₁,e₂的导数；K_a,ξ_a分别表示到达段切换项增益与全局项；d(t)表示飞行过程中外部不确定扰动；sgn(·)表示符号函数；

S4112、当选取合适K_a，令其大于d(t)的最大幅度，即K_a＞|d(t)|，在滑膜面不等于零的条件下得到

即李雅普诺夫函数的一阶导数为负定，证明所构造的S₁的稳定性；

S412、基于分数阶项时变系数阶次设计的到达段分数阶时变滑模函数收敛性证明：

S4121、到达段分数阶时变滑模函数的第一滑模面函数为：

e₂/(M_a+e₁)+c₁(t)ln((M_a+e₁)/M_a)+c₂(t)ξ_a+c₃(t)D^λe₁＝0 (12)

其中，c₁(t),c₂(t),c₃(t)分别表示到达段第一、第二和第三时变系数；

S4122、通过构造新第一变量a变换第一滑模面函数，a与到达段误差变量间的关系为：

其中，

表示a的一阶导数；

S4123、第一滑模面函数重写为：

其中，δ_a为第一常量，且δ_a∈(t₀,t_f)；λ为分数阶算子的阶次；Γ(λ+1)表示λ+1的伽马函数且

S4124、第一滑模面函数方程的通解形式为：

其中，τ表示积分变量；C_a为第二常量且由方程的初始条件确定：

C_a＝ξ_a/((t_f-t₀)^k-1(m_a-k+1))+ln((M_a+e₁(t₀))/M_a)/(t_f-t₀)^k (17)；

S4125、通过构造分数阶项时变系数的阶次n等于k，第一滑模面函数通解形式更改为：

S4126、当时间趋于预设的收敛时间，即t→t_f时，在m_a-k+1≠0，λ+1≠0，k＞1和m_a＞0条件下，a和

均收敛到零，由步骤S4122得到e₁和e₂均收敛到零，证明构造的S₁的收敛性；

S413、基于时变项构造的到达段分数阶时变滑模函数全局性证明：

S4131、构造到达段分数阶时变滑模函数的初始状态S₁(t₀)：

其中，c₁(t₀),c₂(t₀),c₃(t₀)分别表示c₁(t),c₂(t),c₃(t)在t₀的状态；ξ_a表达为：

ξ_a＝-(e₂(t₀)/(M_a+e₁(t₀))+c₁(t₀)ln((M_a+e₁(t₀))/M_a)) (21)；

S4132、得到加入到达段时变项的到达段分数阶时变滑模函数的初始状态：

其中，C表示Caputo定义；Γ(λ)表示λ的伽马函数且

证明所构造的S₁的全局性；

所述步骤S51中所述跟踪段分数阶时变滑模函数的构造还包括以下步骤：

S511、基于李雅普诺夫第二法的跟踪段分数阶时变滑模函数稳定性证明：

S5111、选取李雅普诺夫函数并代入跟踪段分数阶时变滑模函数S₂，得到：

其中，V₂表示跟踪段李雅普诺夫函数；

表示V₂一阶导数；ε₁表示跟踪段被控状态的误差；

ε₂,

分别表示S₂,ε₁,ε₂的导数；K_t表示跟踪段切换项增益；ζ_t表示跟踪段时变项；

S5112、在滑膜面不等于零的条件下，得到

李雅普诺夫函数的一阶导数为负定，证明所构造的S₂的稳定性；

S512、基于分数阶项时变系数阶次设计的跟踪段分数阶时变滑模函数收敛性证明：

S5121、通过构造新第二变量γ变换第二滑模面函数形式，新第二变量与跟踪段误差变量间的关系为：

其中，

表示γ的一阶导数；

S5122、第二滑模面函数重写为：

其中，δ_t为第四常量，且δ_t∈(t_s,t)；

S5123、第二滑模面函数方程的通解形式为：

其中，C_t为第五常量且由方程的初始条件确定：

S5124、当时间趋近于正无穷，即t→+∞时,在条件q＞0，λ+1≠0下，γ和

均收敛到零，由步骤S5121，ε₁和ε₂也均收敛到零，证明构造的S₂的收敛性；

S513、基于时变项构造的跟踪段分数阶时变滑模函数全局性证明，获得跟踪段时变项ζ_t：

加入ζ_t的跟踪段分数阶时变滑模函数初始状态在零滑模面上，由李雅普诺夫函数的形式和其一阶导数负定，得到V₂≡0，S₂≡0，证明了构造的S₂的全局性。

4.根据权利要求1所述的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其特征在于，所述步骤S1具体包括以下步骤：

S11、设置地面惯性坐标系AXYZ、视线坐标系OX_LY_LZ_L和速度坐标系OX_VY_VZ_V，建立制导场景的飞行器相对运动学模型：

其中，R表示飞行器和目标之间的相对距离；

表示R的一阶导数；V_m表示导弹的速度；θ_η,

θ_L,

分别表示飞行器的速度高低前置角、速度方位前置角、视线高低角和视线方位角；

分别表示θ_η,

θ_L,

一阶导数；

S12、建立飞行器运动学模型和动力学模型分别为：

其中，

分别表示飞行器在x、y、z方向上的分速度；θ_m和

分别表示飞行器的弹道倾角和弹道偏角；

和

分别表示θ_m和

的一阶导数；D,L,N分别表示飞行器在飞行过程中受到的阻力、升力和侧向力；m表示飞行器重量；g表示重力加速度。

5.根据权利要求1所述的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其特征在于，所述步骤S2具体包括以下步骤：

S21、通过飞行器传感器和导引头获取飞行器状态参数；

S22、构建所获飞行器状态参数与相对运动学模型所需参数间转换矩阵

为：

其中，γ_η,γ_v表示飞行器的速度滚转前置角和速度倾斜角；L(γ_v),

分别表示速度坐标系与弹道坐标系间、地面惯性坐标系与弹道坐标系间、地面惯性坐标系与视线坐标系间的转换矩阵；-1表示矩阵的逆运算；

S23、根据飞行器相对运动学模型和状态参数，选取误差状态变量：

其中，θ_Lf和

分别表示在俯仰方向上和偏航方向上期望的终端冲击角。

6.根据权利要求1所述的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其特征在于，所述步骤S43和步骤S53中所述边界层饱和函数切换项为sat(S)，表达为：

其中，φ表示边界层厚度；

步骤S42和步骤S52中h_a和h_t分别为：

步骤S43中a_yma和a_zma与步骤S53中a_ymt和a_zmt分别表示为：

其中，

表示V_m的一阶导数。

7.根据权利要求1所述的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其特征在于，所述步骤S21中所述飞行器状态参数包括当前状态参数和相对状态参数，其中所述当前状态参数包括导弹位置信息M、导弹的速度V_m、飞行器的弹道倾角θ_m和弹道偏角

所述相对状态参数包括目标的位置信息T、飞行器与目标之间的相对距离信息R、飞行器的视线高低角θ_L和视线方位角

所述步骤S22中所述相对运动学模型中所需参数包括飞行器的速度高低前置角θ_η和速度方位前置角

8.根据权利要求1所述的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其特征在于，所述步骤S22中

L(γ_v)、

和

分别表示为：

9.根据权利要求1所述的基于分数阶时变滑模预设时间收敛的冲击角约束制导方法，其特征在于，所述步骤S3中受控状态变量e、控制器的输出u、系统中的第一部分非线性函数g和第二部分非线性函数f分别表示为：

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