CN114492060B - 小模数塑料直齿圆柱齿轮工业ct投影及重建图像建模方法 - Google Patents

Abstract

小模数塑料直齿圆柱齿轮工业CT投影及重建图像建模方法属于精密测试技术与仪器领域。该方法：(1)得到齿轮端截面投影图像。(2)获得渐开线轮廓及完整齿轮端截面投影图像。(3)得到渐开线齿体部分的投影图像，需推导出单齿在所有中心夹角下的投影方程。(4)根据上述单齿投影方程求得渐开线齿体部分每个齿的投影图像。(5)组合各齿投影图像得到单角度下的渐开线齿体部分投影图像。(6)得到该角度下的齿轮端截面投影图像。(7)得到一个旋转周期内的齿轮端截面投影图像。(8)用基于高斯低通滤波器的滤波反投影法得到齿轮端截面重建图像。本发明为后续误差评定及系统测量不确定度研究奠定基础。

Description

小模数塑料直齿圆柱齿轮工业CT投影及重建图像建模方法

技术领域

本发明涉及精密测试技术与仪器领域，具体是建立小模数塑料直齿圆柱齿轮工业CT投影图像及重建图像的数学建模与仿真。

背景技术

近年来随着制造技术的发展，小模数塑料齿轮的应用变得越来越广。小模数塑料齿轮具有质量轻、惯性小、噪声低、自润滑等优点，一般采用注塑模具加工，生产效率高且成本低。经过几十年的发展已广泛应用于汽车电装、仪器仪表、服务机器人、家用电器、办公自动化、智能家居等各种行业领域。但同时小模数塑料齿轮强度低、易变形，接触式测量方法较为困难。

计算机断层成像技术(Computed Tomography，简称为CT)是断层成像技术和计算机技术的结合，其应用于工业被称作工业CT技术。工业CT测量可在不破坏产品状态下测量复杂产品的内部缺陷、构造和几何尺寸特征。

工业CT机结构复杂，测量过程中误差源较多。在获取投影图像的测量过程中引入了多个系统误差和随机误差，不确定度评定困难。而齿轮端截面形状复杂，对其轮廓尤其是渐开线齿廓的精度要求较高。为获得渐开线轮廓，CT射线入射方向取其径向方向获得齿轮端截面投影图像。建立小模数塑料齿轮工业CT投影图像及其重建方法，获取小模数塑料齿轮端截面工业CT理想断层图像，可为后续误差评定及系统测量不确定度研究奠定基础。

通过以下四个步骤建立针对小模数塑料直齿圆柱齿轮工业CT投影图像及重建图像的数学建模与仿真方法：1)建立齿轮端截面投影方程数学模型；2)根据数学模型求解齿轮端截面投影图像；3)根据投影图像用滤波反投影法得到重建图像；4)在MATLAB中基于以上数学模型，得到小模数塑料直齿圆柱齿轮工业CT中的投影图像及重建图像仿真结果。

发明内容

为解决背景技术中提出的问题，本发明提出了一种小模数塑料直齿圆柱齿轮端截面投影图像和重建图像的建模方法。该方法通过分割端截面图像，确定各部分投影图像数学模型，叠加得到齿轮端截面投影图像，并用滤波反投影法得到重建图像。

本发明是采用如下步骤推导实现的：

将工业CT扇束投影转化为平行束投影。使用平行束分析小模数塑料齿轮投影图像。

获取齿轮端截面的投影图像，需将齿轮端截面分割为三部分，包括齿根部分、渐开线齿体部分、修形圆部分。

依次确定各部分投影图像数学模型，将其组合得到整个齿轮端截面投影图像。

用滤波反投影法得到齿轮端截面重建图像。

小模数塑料直齿圆柱齿轮工业CT投影及重建图像建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)当采用扇束X射线激发器为CT激发器，为得到齿轮端截面投影图像，需通过转换公式将其转换为平行束测量方式，同时为获得端截面内的渐开线轮廓，CT射线入射方向应为径向方向；

2)X射线穿过齿轮齿体内部会发生衰减，衰减过程遵从朗伯-比尔定律，使用X射线穿过齿体长度来表示投影方程；

3)为得到齿轮端截面投影图像，将齿轮端截面分割为三部分，齿根部分、渐开线齿体部分、修形圆部分，依次建立各部分投影方程，得到各部分的投影图像，然后组合三部分投影图像得到完整齿轮端截面投影图像；

4)计算出渐开线在任意角度下的参数方程，以中心夹角为0°的齿的渐开线作为基准，通过转换矩阵得到任意中心夹角的齿的渐开线；其中中心夹角为齿中心线与工件固有横坐标的夹角；

5)为获取渐开线齿体部分的投影图像，需推导出单齿在所有中心夹角下的投影方程；根据齿轮基本参数，包括模数、齿数、压力角、齿顶高系数确定不同投影方程的临界中心夹角，进而推导出投影方程；

6)通过任意齿的中心夹角得到所有齿的中心夹角，进而根据上述投影方程求得渐开线齿体部分每个齿的投影图像；

7)组合各齿投影图像得到渐开线齿体部分的投影图像；

8)得到修形圆部分投影图像，按数学关系叠加三部分单角度投影图像得到该角度下的齿轮端截面投影图像；

9)设采样间隔及接收器间距，通过改变转角，得到一个旋转周期内的齿轮端截面投影图像；

10)得到一个旋转周期内的齿轮端截面投影图像后，用滤波反投影法得到齿轮端截面重建图像。

本发明的优势在于：

基于齿轮基本参数和低能工业CT断层成像机理，建立小模数塑料齿轮投影与重建图像的数学模型，在MATLAB仿真得到齿轮端截面理想投影图像和重建图像，为后续误差评定及系统测量不确定度研究奠定基础。

附图说明

图1工业CT扇束激发器和接收器(a)等间距类型(b)等角度类型

图2扇束测量模式转换为平行束测量模式

(a)等间距类型转换(b)等角度类型转换

图3平行束工业CT测量小模数塑料齿轮

图4齿轮端截面分割方法(a)齿轮端截面示意图

(b)齿根部分y₁(c)渐开线齿体部分y₂(d)修形圆部分y₃

图5渐开线齿体部分投影图像生成流程

图6渐开线原理

图7齿轮序号说明

图8单齿内部角度推导

图9渐开线齿体部分单齿投影方程临界中心夹角

(a)临界中心夹角1 (b)临界中心夹角2

(c)临界中心夹角3 (d)临界中心夹角4

(e)临界中心夹角5 (f)临界中心夹角6

图10齿根部分单角度投影图像

图11齿根部分投影图像灰度图

图12渐开线齿体部分单齿不同情况的投影图像

(a)情况1 (b)情况2

(c)情况3 (d)情况4

(e)情况5 (f)情况6 (g)情况7

图13渐开线齿体部分单角度投影图像

图14渐开线齿体部分投影图像灰度图

图15修形圆部分单角度投影图像

图16修形圆部分投影图像灰度图

图17齿轮端截面投影图像灰度图

图18齿轮端截面重建图像

(a)直接反投影法重建图像灰度图(b)滤波反投影法重建图像灰度

(c)滤波反投影法重建图像灰度图二值化

具体实施方式

以下结合附图对本发明做进一步说明。

扇束激发器为常用的工业CT激发器，其激发射线为扇形分布，该类型激发器据其探测器排列方式可分为等间距类型和等角度类型，两类扇束激发器和接收器如图1所示。等间距类型接收器之间距离相同，等角度类型接收器与激发器连线的角度间隔相同。二者都可转换为平行束射线源表达式。

如图2(a)所示，等间距扇束投影表达式为R(L,β),其中L为射线源S穿过旋转中心O与探测器交点O′到射线源的距离(单位：mm)。β为射线源S和旋转中心O连线与工件固有纵轴Y轴的夹角(单位：rad)，对于某一个测量系统是固定角。设平行束投影表达式为P(x,ω),其中x为回转中心到射线的距离(单位：mm)，ω为被测齿轮旋转角度(单位：rad)。等间距扇束投影转换为平行束投影的转换公式为：

式中，D₁为射线源S到旋转中心O的距离(单位：mm)，D₂为中心射线与接收器交点O′和被转换射线与接收器交点H的距离，中心射线为激发器发出穿过旋转中心的射线。

如图2(b)所示，设等角度扇束投影表达式为R(γ,β),其中γ为接收器接收到的射线与中心射线的夹角(单位：rad)，中心射线为射线源激发穿过齿轮旋转中心的射线。β为射线源S和旋转中心O连线与工件固有纵轴Y轴的夹角(单位：rad)，对于某一个测量系统是一固定角。等角度扇束投影转换为平行束投影的转换公式为：

ω＝γ+β (3)

x＝Dsinγ (4)

式中，D为射线源S到旋转中心O的距离(单位：mm)。

通过上述转换公式可将扇束投影方式转换为平行束投影方式，完成投影模式转换后，平行束投影示意图如图3所示。CT成像原理是基于X射线的衰减原理，衰减过程遵从朗伯-比尔定律，X射线穿过均匀物质时，出射射线能量和入射射线能量的关系遵从式(5)。

I＝I₀e^-μl (5)

式中，I为出射X射线能量(单位：eV)，I₀为入射X射线能量(单位：eV)，μ为被测齿轮材料的X射线衰减率(单位：mm^-1)，l为X射线穿过被测齿轮的长度(单位：mm)。

本方法中所用齿轮为均匀材质，齿轮衰减系数为常数，仅计算射线穿过齿体长度l，通过l值可得到齿轮投影图像。任意旋转工作台角度ω_i(i＝0,1,…n)，都有一组垂直方向上射线穿过齿体的长度l_j(i＝0,1,…m)，该射线与齿轮旋转中心的水平距离x_j(i＝0,1,…m)的对应关系。l_j(i＝0,1,…m)关于ω_i(i＝0,1,…n)和x_j(i＝0,1,…m)的函数关系通过排列即可得到投影图像。其中齿轮旋转中心的水平距离x_j(i＝0,1,…m)的数量取决于接收器数量。射线穿过齿体长度l_j(i＝0,1,…m)取决于接收器接收X射线粒子能量与X射线激发器粒子能量的差值。

为得到齿轮端截面投影图像，需将其分割为三部分，包括齿根部分、渐开线齿体部分和修形圆部分，三部分示意图如图4所示。依次建立各部分的投影方程，带入齿轮基本参数(模数、齿数、压力角、内孔半径等)得到其投影图像，最后将三部分投影图像组合得到齿轮端截面的投影图像。齿轮在旋转角度ω下的投影方程Y(x,ω)可表示为

Y(x，ω)＝y_l+y₂(ω)-y₃(ω) (6)

式中，y₁为从旋转中心到齿轮基圆内不考虑修形圆部分的同心圆投影方程，其内部点与齿轮旋转中心距离d∈(0，r_b)。y₂(ω)为基圆到齿顶圆内渐开线齿体部分的投影图像，其内部点与齿轮旋转中心距离d∈(r_b，r_a)。y₃(ω)为修形圆部分的投影方程，其内部点与齿轮旋转中心距离d∈(r_f，r_b)。其中，r_f为齿根圆半径(单位：mm)，r_b为基圆半径(单位：mm)，r_a为齿顶圆半径(单位：mm)。

下面推导三部分的投影方程来得到投影图像，齿根部分如图4(b)所示，其形状为同心圆，外圆半径为基圆半径r_b，内圆半径为圆孔半径r_h。得到其投影方程为

之后推导渐开线齿体部分的投影方程，如图4(c)所示，齿轮端截面的渐开线齿体部分由齿数个齿共同组成，为获取该部分的投影图像，需得到所有齿的投影图像并将其叠加。获取渐开线齿体部分的投影图像流程如图5所示，首先根据齿轮基本参数确定投影方程的临界中心夹角，即单齿中心线与工件横轴的夹角；之后再推导不同中心夹角下的单齿投影方程；将各齿在一个齿轮转角下的中心夹角带入投影方程得到该齿在该转角下的投影图像；将各齿投影图像叠加得到渐开线齿体部分的投影图像。

为了得到单齿的投影方程首先需要计算渐开线在任意角度下的参数方程。渐开线原理如图6所示。

渐开线直角坐标方程为

式中，r_b为基圆半径(单位：mm)，θ_k为渐开线上任意点的展角(单位：rad)，α_k为该点压力角(单位：rad)。展角θ_k同时为压力角α_k的函数，θ_k可表示为

θ_k＝inv(α_k)＝tan(α_k)-α_k (9)

为了方便计算，可以设tan(α_k)＝t,由于基圆半径r_b为常数。x和y可以当作t的参数方程。

渐开线方程中较难将纵坐标y表示为横坐标x的函数，因此可将参数t分离为离散点，将渐开线表示为点集，以此点集为基础进而求得不同齿在不同旋转角下的渐开线点集。

任意数组(x₁,y₁)旋转角度后得到(x₂,y₂)，二者转换矩阵为

如图7所示，假设有一中心夹角为0°的齿为基准齿，中心夹角为轮齿中心线与横坐标的夹角，其渐开线点集为(x₀,y₀)，与其逆时针方向夹角最小的齿为1号齿，其余齿依次标号2、3…z。设i号齿在齿轮旋转角度为ω时的渐开线点集为(x_i,y_i)。齿轮每个轮齿对称中心之间的夹角为2π/z，因此i号齿与基准齿的夹角为由此可以得到(x_i,y_i)与(x₀,y₀)的转换矩阵

上、下渐开线示意图如图8所示，设1号齿上渐开线点集为(x_1a,y_1a)。下渐开线点集为(x_1b,y_1b)；依此类推，i号齿上渐开线点集为(x_ia,y_ia)。下渐开线点集为(x_ib,y_ib)。第i(i≤z)号齿是由1号齿逆时针旋转角度后得到的，即由基准齿逆时针旋转/>得到的。若已知基准齿上、下渐开线的点集坐标，则可根据式(12)求出齿轮旋转任意角度/>后任意齿上的渐开线点集坐标。

设齿轮端截面上单个齿体投影方程为只要得到第一象限的单齿投影方程，即可通过式(13)得到各象限的单齿投影方程

下面确定第一象限内单齿的投影方程。为方便表述，设f₁(x)为单齿在中心夹角为时上渐开线，f₂(x)为单个齿在中心夹角为/>时下渐开线。分析单个齿在不同旋转角下的轮齿渐开线部分投影方程，设其投影方乘为/>基圆到齿顶圆部分为渐开线。齿轮渐开线齿廓上分度圆与X轴夹角为τ(单位：rad)，齿轮渐开线齿廓上基圆与X轴夹角为τ_b(单位：rad)，齿轮渐开线齿廓上齿顶圆与X轴夹角为τ_a(单位：rad)。渐开线齿体部分单个齿的示意图如图8所示。

齿轮齿厚为(单位：mm)，分度圆半径为r(单位：mm)。分度圆齿厚半角τ(单位：rad)见式(14)，分度圆展角θ(单位：rad)见式(15)。

θ＝inv(α)＝tanα-α (15)

分度圆半径r为基圆半径/>取齿顶高系数为1时，齿轮齿顶圆半径/>以上，m为模数(单位：mm)，z为齿轮齿数，α为齿轮压力角(单位：rad)。根据渐开线性质可得：

由此可得

齿顶圆展角θ_a(单位：rad)为

过度角β(单位：rad)为

进而得到齿顶圆齿厚半角τ_a(单位：rad)为

τ_a＝τ-β (22)

基圆齿厚半角τ_b(单位：rad)为

τ_b＝τ+θ (23)

在求得τ_a、τ_b后，可求单个轮齿顶点的坐标，将齿顶圆与齿廓两交点命名为a₁、a₂。基圆和齿廓两交点命名为b₁、b₂，4个交点的横坐标如式(24)至式(27)所示。根据这4点横坐标值的相互关系，可求得投影方程的六个临界中心夹角(至/>)，各临界中心夹角示意图如图9所示。由六个临界中心夹角可得到七种情况下的投影方程。a₁点横坐标、a₂点横坐标、b₁点横坐标、b₂点横坐标，分别见式(24)至式(27)。单齿临界中心夹角数值计算方法列在表1中。

表1渐开线齿体部分单齿投影方程临界中心夹角

单齿在不同情况下的投影方程如表2所示，其中，当中心夹角下渐开线上会出现p点为横坐标最大值，即渐开线在p点的切线垂直于横坐标轴，设渐开线在p点压力角为α_p，则p点满足式(28)。

同时，下渐开线上会出现横坐标相同但纵坐标不同的点，设此时下渐开线f₂(x)上纵坐标较大的函数为f₂(x)₁，纵坐标较小的函数为f₂(x)₂。

表2单齿不同投影方程

求解出单齿各情况的投影方程后，将其组合即可得到齿轮端截面渐开线部分的投影方程。齿轮各齿夹角为因此只要知道1号齿的中心夹角/>即可根据式(29)得到所有齿的中心夹角。带入上述投影方程即可得到单角度下的各齿的投影图像。设1号齿在齿轮未旋转时的中心夹角为0°，则1号齿中心夹角/>与齿轮旋转角度ω一直相等。

设1号齿中心夹角为0°时为未旋转状态，若采样间隔为1°，则机械转台每旋转1°获取一幅投影图像，接收器分辨力为10μm。通过改变旋转角度，即可得到一个旋转周期(0°,1°,…179°)内的渐开线齿体部分投影图像。齿轮修形圆投影方程建模流程和渐开线齿体部分相同，齿根部分形状为同心圆，其投影方程不随旋转角度而改变。得到三部分投影图像后，将其叠加即可得到齿轮端截面投影图像。

获得齿轮端截面投影图像后，需将其反投影以得到重建图像。常用反投影法为直接反投影法和滤波反投影法。直接反投影法的原理是：将所测得的投影值，按照其原投影路径平均分配到经过的每一个点上，将各个方向的投影值都反投影后，再把每个角度的反投影图像进行累加，从而推导出重建图像。因为直接反投影法中反投影图是离散叠加的，所以会出现中心处信号集中、边缘处信号稀疏的现象，且图形边缘处往往会出现锯齿。因此最后需要在锯齿处进行插值，得到重建图像。

由于直接反投影法的局限性，工业CT重建图像获取方法常为由此衍生的滤波反投影法。根据傅立叶中心切片定理，对投影图像的一维傅立叶变换等效于对原图像进行二维傅立叶变换。因此将每一角度下的投影图像进行一次滤波，通过与滤波器函数卷积可以改善扩散函数引起的伪影，重建的图像质量相对于直接反投影较好。

滤波反投影法的流程为：

1)将原始投影进行一次一维傅立叶变换。

2)设计合适的滤波器，将各角度的原始投影图像进行卷积滤波，得到滤波后的投影图像。

3)将滤波后的投影进行反投影,将所有反投影进行叠加，得到重建图像。

通过MATLAB对上述齿轮端截面投影图像数学模型进行仿真。以模数为0.5mm，齿数为20，齿顶高系数为1的小模数塑料直齿圆柱齿轮为例，设其修形圆为半圆，齿体内部有一半径为2.5mm的内孔。采样间隔为1°，旋转周期为180°，接收器分辨力为10μm。

根据式(7)可得，齿根部分在单角度下的投影图像如图10所示，齿根部分在一个旋转周期内的投影图像灰度图如图11所示。

根据表2可得渐开线齿体部分内单齿在任意中心夹角的投影图像，各情况内的单角度投影图像如图12所示。齿轮每个轮齿对称中心之间的夹角为2π/z，只要知道任意齿在某一时刻的中心夹角，即可计算出所有齿的中心夹角，将各齿中心夹角带入表2的投影方程得到其投影图像。组合各齿投影图像得到渐开线齿体部分在单角度下投影图像，图13为1号齿中心夹角为0°时的渐开线齿体部分投影图像。设1号齿初始位置与基准齿位置重合，通过改变其中心夹角，即可得到渐开线齿体部分在一个旋转周期内的投影图，渐开线齿体部分在一个旋转周期内的投影图像灰度图如图14所示。

修形部分投影图像获取流程与渐开线齿体部分相同。修形圆部分在单角度下的投影图像如图15所示，在一个旋转周期内的投影图像灰度图如图16所示

根据式(6)，单角度下齿轮端截面投影图像为三部分的叠加，同理，一个旋转周期内的齿轮端截面投影图像为三部分在一个旋转周期内投影图像的叠加。齿轮端截面在一个旋转周期内的投影图像灰度图如图17所示。

设置滤波器为高斯低通滤波器，分别使用直接反投影法、滤波反投影法得到齿轮端截面灰度图，将滤波反投影法得到的灰度图二值化得到齿轮端截面灰度图。图18分别为三种方法得到的齿轮端截面灰度图。

Claims (2)

1.小模数塑料直齿圆柱齿轮基于工业CT投影重建图像建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)当采用扇束X射线激发器为CT激发器，为得到齿轮端截面投影图像，需通过转换公式将其转换为平行束测量方式，同时为获得端截面内的渐开线轮廓，CT射线入射方向应为径向方向；

2)X射线穿过齿轮齿体内部会发生衰减，衰减过程遵从朗伯-比尔定律，使用X射线穿过齿体长度来表示投影方程；

3)为得到齿轮端截面投影图像，将齿轮端截面分割为三部分，齿根部分、渐开线齿体部分、修形圆部分，依次建立各部分投影方程，得到各部分的投影图像，然后组合三部分投影图像得到完整齿轮端截面投影图像；

4)计算出渐开线在任意角度下的参数方程，以中心夹角为0°的齿的渐开线作为基准，通过转换矩阵得到任意中心夹角的齿的渐开线；其中中心夹角为齿中心线与工件固有横坐标的夹角；

5)为获取渐开线齿体部分的投影图像，需推导出单齿在所有中心夹角下的投影方程；根据齿轮基本参数，包括模数、齿数、压力角、齿顶高系数确定不同投影方程的临界中心夹角，进而推导出投影方程；

6)通过任意齿的中心夹角得到所有齿的中心夹角，进而根据上述投影方程求得渐开线齿体部分每个齿的投影图像；

7)组合各齿投影图像得到渐开线齿体部分的投影图像；

8)得到修形圆部分投影图像，按数学关系叠加三部分单角度投影图像得到该角度下的齿轮端截面投影图像；

9)设采样间隔及接收器间距，通过改变转角，得到一个旋转周期内的齿轮端截面投影图像；

10)得到一个旋转周期内的齿轮端截面投影图像后，用滤波反投影法得到齿轮端截面重建图像。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于：扇束激发器为其激发射线为扇形分布，该类型激发器据其探测器排列方式分为等间距类型和等角度类型，等间距类型接收器之间距离相同，等角度类型接收器与激发器连线的角度间隔相同；二者都转换为平行束射线源表达式；

等间距扇束投影表达式为R(L，β)，其中L为射线源S穿过旋转中心O与探测器交点O′到射线源的距离；β为射线源S和旋转中心O连线与工件固有纵轴Y轴的夹角；对于某一个测量系统是固定角；设平行束投影表达式为P(x，ω)，其中x为回转中心到射线的距离，ω为被测齿轮旋转角度；等间距扇束投影转换为平行束投影的转换公式为：

式中，D₁为射线源S到旋转中心O的距离，D₂为中心射线与接收器交点O′和被转换射线与接收器交点H的距离，中心射线为激发器发出穿过旋转中心的射线；

设等角度扇束投影表达式为R(γ，β)，其中γ为接收器接收到的射线与中心射线的夹角，中心射线为射线源激发穿过齿轮旋转中心的射线；β为射线源S和旋转中心O连线与工件固有纵轴Y轴的夹角，对于某一个测量系统是一固定角；等角度扇束投影转换为平行束投影的转换公式为：

ω＝γ+β (3)

x＝Dsinγ (4)

式中，D为射线源S到旋转中心O的距离；

通过上述转换公式将扇束投影方式转换为平行束投影方式，CT成像原理是基于X射线的衰减原理，衰减过程遵从朗伯-比尔定律，X射线穿过均匀物质时，出射射线能量和入射射线能量的关系遵从式(5)；

I＝I₀e^-μl (5)

式中，I为出射X射线能量，I₀为入射X射线能量，μ为被测齿轮材料的X射线衰减率，l为X射线穿过被测齿轮的长度

计算射线穿过齿体长度l，通过l值得到齿轮投影图像；任意旋转工作台角度ω_i(i＝0，1，…n)，都有一组垂直方向上射线穿过齿体的长度l_j(i＝0，1，…m)，该射线与齿轮旋转中心的水平距离x_j(i＝0，1，…m)的对应关系；l_j(i＝0，1，…m)关于ω_i(i＝0，1，…n)和x_j(i＝0，1，…m)的函数关系通过排列即得到投影图像；其中齿轮旋转中心的水平距离x_j(i＝0，1，…m)的数量取决于接收器数量；射线穿过齿体长度l_j(i＝0，1，…m)取决于接收器接收X射线粒子能量与X射线激发器粒子能量的差值；

为得到齿轮端截面投影图像，需将其分割为三部分，包括齿根部分、渐开线齿体部分和修形圆部分，依次建立各部分的投影方程，带入齿轮基本参数，包括模数、齿数、压力角、内孔半径得到其投影图像，最后将三部分投影图像组合得到齿轮端截面的投影图像；齿轮在旋转角度ω下的投影方程Y(x，ω)表示为

Y(x，ω)＝y₁+y₂(ω)-y₃(ω) (6)

式中，y₁为从旋转中心到齿轮基圆内不考虑修形圆部分的同心圆投影方程，其内部点与齿轮旋转中心距离d∈(0，r_b)；y₂(ω)为基圆到齿顶圆内渐开线齿体部分的投影图像，其内部点与齿轮旋转中心距离d∈(r_b，r_a)；y₃(ω)为修形圆部分的投影方程，其内部点与齿轮旋转中心距离d∈(r_f，r_b)；其中，r_f为齿根圆半径，r_b为基圆半径，r_a为齿顶圆半径；

下面推导三部分的投影方程来得到投影图像，齿根部分其形状为同心圆，外圆半径为基圆半径r_b，内圆半径为圆孔半径r_h；得到其投影方程为

之后推导渐开线齿体部分的投影方程，齿轮端截面的渐开线齿体部分由齿数个齿共同组成，为获取该部分的投影图像，需得到所有齿的投影图像并将其叠加；

获取渐开线齿体部分的投影图像流程：首先根据齿轮基本参数确定投影方程的临界中心夹角，即单齿中心线与工件横轴的夹角；之后再推导不同中心夹角下的单齿投影方程；将各齿在一个齿轮转角下的中心夹角带入投影方程得到该齿在该转角下的投影图像；将各齿投影图像叠加得到渐开线齿体部分的投影图像；

为了得到单齿的投影方程首先需要计算渐开线在任意角度下的参数方程；

渐开线直角坐标方程为

式中，r_b为基圆半径，θ_k为渐开线上任意点的展角，α_k为该点压力角；展角θ_k同时为压力角α_k的函数，θ_k表示为

θ_k＝inv(α_k)＝tan(α_k)-α_k (9)

设tan(α_k)＝t，由于基圆半径r_b为常数；x和y当作t的参数方程；

将参数t分离为离散点，将渐开线表示为点集，以此点集为基础进而求得不同齿在不同旋转角下的渐开线点集；

任意数组(x₁，y₁)旋转角度后得到(x₂，y₂)，二者转换矩阵为

有一中心夹角为0°的齿为基准齿，中心夹角为轮齿中心线与横坐标的夹角，其渐开线点集为(x₀，y₀)，与其逆时针方向夹角最小的齿为1号齿，其余齿依次标号2、3…z；设i号齿在齿轮旋转角度为ω时的渐开线点集为(x_i，y_i)；齿轮每个轮齿对称中心之间的夹角为2π/z，因此i号齿与基准齿的夹角为由此得到(x_i，y_i)与(x₀，y₀)的转换矩阵

设1号齿上渐开线点集为(x_1a，y_1a)；下渐开线点集为(x_1b，y_1b)；依此类推，i号齿上渐开线点集为(x_ia，y_ia)；下渐开线点集为(x_ib，y_ib)；第i(i≤z)号齿是由1号齿逆时针旋转角度后得到的，即由基准齿逆时针旋转/>得到的；若已知基准齿上、下渐开线的点集坐标，则根据式(12)求出齿轮旋转任意角度/>后任意齿上的渐开线点集坐标；

设齿轮端截面上单个齿体投影方程为只要得到第一象限的单齿投影方程，即通过式(13)得到各象限的单齿投影方程

下面确定第一象限内单齿的投影方程；设f₁(x)为单齿在中心夹角为时上渐开线，f₂(x)为单个齿在中心夹角为/>时下渐开线；分析单个齿在不同旋转角下的轮齿渐开线部分投影方程，设其投影方乘为/>基圆到齿顶圆部分为渐开线；齿轮渐开线齿廓上分度圆与X轴夹角为τ，齿轮渐开线齿廓上基圆与X轴夹角为τ_b，齿轮渐开线齿廓上齿顶圆与X轴夹角为τ_a；

齿轮齿厚为分度圆半径为r；分度圆齿厚半角τ见式(14)，分度圆展角θ见式(15)；

θ＝inv(α)＝tanα-α (15)

分度圆半径r为基圆半径/>取齿顶高系数为1时，齿轮齿顶圆半径m为模数，z为齿轮齿数，α为齿轮压力角；根据渐开线性质得：

由此得

齿顶圆展角θ_a为

过度角β为

进而得到齿顶圆齿厚半角τ_a为

τ_a＝τ-β (22)

基圆齿厚半角τ_b为

τ_b＝τ+θ (23)

在求得τ_a、τ_b后，求单个轮齿顶点的坐标，将齿顶圆与齿廓两交点命名为a₁、a₂；基圆和齿廓两交点命名为b₁、b₂，4个交点的横坐标如式(24)至式(27)所示；根据这4点横坐标值的相互关系，求得投影方程的六个临界中心夹角(至/>)，由六个临界中心夹角得到七种情况下的投影方程；a₁点横坐标、a₂点横坐标、b₁点横坐标、b₂点横坐标，分别见式(24)至式(27)；单齿临界中心夹角数值计算方法列在表1中；

表1渐开线齿体部分单齿投影方程临界中心夹角

单齿在不同情况下的投影方程如表2所示，其中，当中心夹角下渐开线上会出现p点为横坐标最大值，即渐开线在p点的切线垂直于横坐标轴，设渐开线在p点压力角为α_p，则p点满足式(28)；

同时，下渐开线上会出现横坐标相同但纵坐标不同的点，设此时下渐开线f₂(x)上纵坐标较大的函数为f₂(x)₁，纵坐标较小的函数为f₂(x)₂；

表2单齿不同投影方程

求解出单齿各情况的投影方程后，将其组合即得到齿轮端截面渐开线部分的投影方程；齿轮各齿夹角为因此只要知道1号齿的中心夹角/>即根据式(29)得到所有齿的中心夹角；带入上述投影方程即得到单角度下的各齿的投影图像；设1号齿在齿轮未旋转时的中心夹角为0°，则1号齿中心夹角/>与齿轮旋转角度ω一直相等；

设1号齿中心夹角为0°时为未旋转状态，若采样间隔为1°，则机械转台每旋转1°获取一幅投影图像，接收器分辨力为10μm；通过改变旋转角度，即得到一个旋转周期(0°,1°,…179°)内的渐开线齿体部分投影图像；齿轮修形圆投影方程建模流程和渐开线齿体部分相同，齿根部分形状为同心圆，其投影方程不随旋转角度而改变；得到三部分投影图像后，将其叠加即得到齿轮端截面投影图像；

获得齿轮端截面投影图像后，将其反投影以得到重建图像。