JPH07120411B2 - 円錐ビーム投射データから物体の三次元計算機断層撮影映像を生成する方法および装置 - Google Patents
円錐ビーム投射データから物体の三次元計算機断層撮影映像を生成する方法および装置Info
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- JPH07120411B2 JPH07120411B2 JP3348602A JP34860291A JPH07120411B2 JP H07120411 B2 JPH07120411 B2 JP H07120411B2 JP 3348602 A JP3348602 A JP 3348602A JP 34860291 A JP34860291 A JP 34860291A JP H07120411 B2 JPH07120411 B2 JP H07120411B2
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- G—PHYSICS
- G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
- G06T—IMAGE DATA PROCESSING OR GENERATION, IN GENERAL
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- G06T11/005—Specific pre-processing for tomographic reconstruction, e.g. calibration, source positioning, rebinning, scatter correction, retrospective gating
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Description
【0001】
【産業上の利用分野】本発明は全体として三次元(3
D)計算機断層撮影(CT)に関するものであり、更に
詳しくいえば、逆ラドン変換により3D映像を再構成す
るために、X線円錐状ビームデータを面積分へ変換する
方法および装置に関するものである。
D)計算機断層撮影(CT)に関するものであり、更に
詳しくいえば、逆ラドン変換により3D映像を再構成す
るために、X線円錐状ビームデータを面積分へ変換する
方法および装置に関するものである。
【0002】
【従来の技術】医療用および工業用の通常の計算機断層
撮影においては、扇状のX線ビームと直線アレイ検出器
が採用される。このCTにおいては二次元(2D)映像
が得られる。データセットが完全で、映像の質は対応し
て高いが、1度に対象の1つの輪切り(スライス)だけ
が映像化される。3D映像が求められると、「輪切りの
積み重ね」技法が採用される。3Dデータセットを得る
には、1度に2Dスライスしか得られないのは面倒で、
時間がかかる。更に、医用においては、隣接するスライ
スが同時に映像化されることはないから、人工的な動き
が生ずる。また、スライスの間の距離がX線コリメータ
の開口より小さいのが典型的であるから、X線の1回の
照射線量が最適量より少なく、その結果として身体の多
くの部分で二重露出することになる。
撮影においては、扇状のX線ビームと直線アレイ検出器
が採用される。このCTにおいては二次元(2D)映像
が得られる。データセットが完全で、映像の質は対応し
て高いが、1度に対象の1つの輪切り(スライス)だけ
が映像化される。3D映像が求められると、「輪切りの
積み重ね」技法が採用される。3Dデータセットを得る
には、1度に2Dスライスしか得られないのは面倒で、
時間がかかる。更に、医用においては、隣接するスライ
スが同時に映像化されることはないから、人工的な動き
が生ずる。また、スライスの間の距離がX線コリメータ
の開口より小さいのが典型的であるから、X線の1回の
照射線量が最適量より少なく、その結果として身体の多
くの部分で二重露出することになる。
【0003】より最近のやり方は円錐ビームと呼ばれる
ものを基にして、直線アレイ検出器の代わりに二次元ア
レイ検出器を用い、扇状ビームX線源の代わりに円錐ビ
ームX線源を用いる。任意の時刻に被写体全体を円錐状
ビームX線源で照射するから、円錐状ビーム走査は、扇
状ビームまたは平行ビームを用いるスライス毎走査より
はるかに速い。更に、対象の各「点」は2Dではなくて
3DでX線により見られるから、従来の2DX線CTで
可能であるよりもはるかに高いコントラストを達成でき
る。円錐ビーム投射データを得るために、X線源を基準
にして2Dアレイ検出器を固定しながら、適切な走査軌
道、たとえば対象の周囲の円形軌道に沿ってX線源を動
かすことにより、またはX線源と検出器を静止させなが
ら対象を回転させることにより、対象を、好ましくは3
60度の角度範囲にわたって走査する。いずれの場合に
も、それはX線源と、走査される対象との間の相対的な
動きである。
ものを基にして、直線アレイ検出器の代わりに二次元ア
レイ検出器を用い、扇状ビームX線源の代わりに円錐ビ
ームX線源を用いる。任意の時刻に被写体全体を円錐状
ビームX線源で照射するから、円錐状ビーム走査は、扇
状ビームまたは平行ビームを用いるスライス毎走査より
はるかに速い。更に、対象の各「点」は2Dではなくて
3DでX線により見られるから、従来の2DX線CTで
可能であるよりもはるかに高いコントラストを達成でき
る。円錐ビーム投射データを得るために、X線源を基準
にして2Dアレイ検出器を固定しながら、適切な走査軌
道、たとえば対象の周囲の円形軌道に沿ってX線源を動
かすことにより、またはX線源と検出器を静止させなが
ら対象を回転させることにより、対象を、好ましくは3
60度の角度範囲にわたって走査する。いずれの場合に
も、それはX線源と、走査される対象との間の相対的な
動きである。
【0004】X線CTにおけるほとんどの映像再構成手
続きはラドン逆プロセスを基にしている。このプロセス
においては、対象のラドン変換の全てから対象の映像が
再構成される。2D対象のラドン変換は、対象と交差す
る線に関する対象密度の積分より成る。3D対象のラド
ン変換は面積分より成る。しかし、円錐状ビームデータ
は、対象の面積分を入力として使用することを必要とす
る逆ラドン変換による映像再構成と直接互換できない。
したがって、円錐状ビーム走査データからの反転による
映像再構成は、(1)円錐ビームデータを面積分へ変換
すること、(2)映像を得るために面積分に対して逆ラ
ドン変換を行うこと、の2つの過程を一般に有する。本
発明は、ラドン空間内の任意の平面群に対して、X線円
錐ビームデータを面積分へ、または面積分を表す値へ変
換する効率的な方法および装置へ主として向けられる。
特願平3−353068(米国特許出願第631818
号)には、ラドン空間内の1組の同軸垂直平面における
面積分でスタートする逆ラドン変換を行う二過程法が開
示されている。したがって、ここで開示する本発明を、
ラドン空間内の1組の同軸垂直平面における面積分を表
す値へX線円錐状ビームデータを変換するために採用で
き、上記特願平3−353068(米国特許出願第63
1818号)に開示されている発明を、3D映像再構成
の逆ラドン変換部分を行うために採用できる。円錐ビー
ムデータを面積分へ変換する1つの方法が、アイイーイ
ーイー(IEEE)Trans.Nucl.Sci.V
ol.NS−26、No.2(1979年4月号)、2
682〜2684ページ所載の「円錐状ビーム投射デー
タからのコンボリューション再構成(Convolut
ional Reconstruction from
Cone−Beam Projection Dat
a)」と題するジェラルド・エヌ・マイナーボ(Ger
ald N.Minerbo)の論文に記載されてい
る。不幸なことに、たとえば、J.Opt.Soc.A
m.A.Vol.1、No.6(1984年6月)、6
12〜619ページ所載の「実際的な円錐状ビームアル
ゴリズム(Practical Cone−Beam
Algorithm)」と題するエル・エー・フェルド
カンプ(L.A.Feldkamp)、エル・シー・デ
ービス(L.C.Davis)、ジェー・ダブリュー・
クレス(J.W.Kress)の論文には、マイナーボ
における微分は、容易には修正できず、結果を無効にす
るような誤差を含む。
続きはラドン逆プロセスを基にしている。このプロセス
においては、対象のラドン変換の全てから対象の映像が
再構成される。2D対象のラドン変換は、対象と交差す
る線に関する対象密度の積分より成る。3D対象のラド
ン変換は面積分より成る。しかし、円錐状ビームデータ
は、対象の面積分を入力として使用することを必要とす
る逆ラドン変換による映像再構成と直接互換できない。
したがって、円錐状ビーム走査データからの反転による
映像再構成は、(1)円錐ビームデータを面積分へ変換
すること、(2)映像を得るために面積分に対して逆ラ
ドン変換を行うこと、の2つの過程を一般に有する。本
発明は、ラドン空間内の任意の平面群に対して、X線円
錐ビームデータを面積分へ、または面積分を表す値へ変
換する効率的な方法および装置へ主として向けられる。
特願平3−353068(米国特許出願第631818
号)には、ラドン空間内の1組の同軸垂直平面における
面積分でスタートする逆ラドン変換を行う二過程法が開
示されている。したがって、ここで開示する本発明を、
ラドン空間内の1組の同軸垂直平面における面積分を表
す値へX線円錐状ビームデータを変換するために採用で
き、上記特願平3−353068(米国特許出願第63
1818号)に開示されている発明を、3D映像再構成
の逆ラドン変換部分を行うために採用できる。円錐ビー
ムデータを面積分へ変換する1つの方法が、アイイーイ
ーイー(IEEE)Trans.Nucl.Sci.V
ol.NS−26、No.2(1979年4月号)、2
682〜2684ページ所載の「円錐状ビーム投射デー
タからのコンボリューション再構成(Convolut
ional Reconstruction from
Cone−Beam Projection Dat
a)」と題するジェラルド・エヌ・マイナーボ(Ger
ald N.Minerbo)の論文に記載されてい
る。不幸なことに、たとえば、J.Opt.Soc.A
m.A.Vol.1、No.6(1984年6月)、6
12〜619ページ所載の「実際的な円錐状ビームアル
ゴリズム(Practical Cone−Beam
Algorithm)」と題するエル・エー・フェルド
カンプ(L.A.Feldkamp)、エル・シー・デ
ービス(L.C.Davis)、ジェー・ダブリュー・
クレス(J.W.Kress)の論文には、マイナーボ
における微分は、容易には修正できず、結果を無効にす
るような誤差を含む。
【0005】同様に、円錐状ビーム投射データから物体
の3D映像を再構成する本発明の装置は、上記の手順を
用いて、ラドン空間内の1組の平面φjにおける面積分
を表す値を決定するために、プログラムされるコンピュ
ータのような手段と、1組の平面φjにおける面積分を
表す値に対して逆ラドン変換を行って物体の映像を再構
成するために、特願平3−353068(米国特許出願
第631818号)に開示されている処理装置のような
手段とを備える。
の3D映像を再構成する本発明の装置は、上記の手順を
用いて、ラドン空間内の1組の平面φjにおける面積分
を表す値を決定するために、プログラムされるコンピュ
ータのような手段と、1組の平面φjにおける面積分を
表す値に対して逆ラドン変換を行って物体の映像を再構
成するために、特願平3−353068(米国特許出願
第631818号)に開示されている処理装置のような
手段とを備える。
【0006】ピー・グランギー(P.Grangea
t)のフランスの国立電気通信大学(I−Ecole
Nationale Supericure des
Telecommunications)へ提出した
(1987年)博士論文「円錐形状のX線写真からの再
構成による3D映像装置の解析(Analysis o
fA 3D Imaging System by R
econstruction from X Radi
ographies in Conical Geom
etry)(Analyse d’un System
D−Imagerie 3D par Recons
truction a partir de Redi
ographies X en Geometrie
conique)」には、円錐ビームデータから面積分
の微分を計算する技術が開示されている。しかし、計算
されたデータ点はラドン空間内の球殻状の1組の大円上
にある。それらの大円はラドン空間内の任意の平面群に
含まれず、かつラドン平面内の同軸垂直平面群上に含ま
れない。したがって、それらは逆ラドン変換への入力に
は適当ではない。逆ラドン変換に使用する垂直平面上で
データを得るための三次元補間には非常な努力を要す
る。更に、補間によりデータに誤差が含まれることにな
る。
t)のフランスの国立電気通信大学(I−Ecole
Nationale Supericure des
Telecommunications)へ提出した
(1987年)博士論文「円錐形状のX線写真からの再
構成による3D映像装置の解析(Analysis o
fA 3D Imaging System by R
econstruction from X Radi
ographies in Conical Geom
etry)(Analyse d’un System
D−Imagerie 3D par Recons
truction a partir de Redi
ographies X en Geometrie
conique)」には、円錐ビームデータから面積分
の微分を計算する技術が開示されている。しかし、計算
されたデータ点はラドン空間内の球殻状の1組の大円上
にある。それらの大円はラドン空間内の任意の平面群に
含まれず、かつラドン平面内の同軸垂直平面群上に含ま
れない。したがって、それらは逆ラドン変換への入力に
は適当ではない。逆ラドン変換に使用する垂直平面上で
データを得るための三次元補間には非常な努力を要す
る。更に、補間によりデータに誤差が含まれることにな
る。
【0007】
【発明が解決しようとする課題】したがって、本発明の
目的は、逆ラドン変換による3D映像再構成のために、
ラドン空間内の任意の平面群における面積分を表す値
へ、X線円錐形状ビームデータを変換する方法および装
置を得ることである。
目的は、逆ラドン変換による3D映像再構成のために、
ラドン空間内の任意の平面群における面積分を表す値
へ、X線円錐形状ビームデータを変換する方法および装
置を得ることである。
【0008】本発明の別の目的は、ラドン逆変換による
3D映像再構成のために、ラドン空間内の1組の同軸平
面上の面積分を表す値へ、X線円錐ビームデータを変換
する方法および装置を得ることである。
3D映像再構成のために、ラドン空間内の1組の同軸平
面上の面積分を表す値へ、X線円錐ビームデータを変換
する方法および装置を得ることである。
【0009】本発明の別の目的は、検出器における全て
のデータを要求する従来の技術のやり方とは対照的に、
面積分を表す値を計算するために、検出器におけるただ
2本の狭い間隔のデータ線を、各視覚ごとに要するよう
な方法および装置を得ることである。
のデータを要求する従来の技術のやり方とは対照的に、
面積分を表す値を計算するために、検出器におけるただ
2本の狭い間隔のデータ線を、各視覚ごとに要するよう
な方法および装置を得ることである。
【0010】本発明の別の目的は、逆ラドン変換により
3D映像再構成のために、ラドン空間内の1組の円錐形
状同軸平面またはラドン空間内の任意の1組の平面にお
ける面積分を表す値へ変換するために補間を必要としな
い、正確な方法および装置を得ることである。
3D映像再構成のために、ラドン空間内の1組の円錐形
状同軸平面またはラドン空間内の任意の1組の平面にお
ける面積分を表す値へ変換するために補間を必要としな
い、正確な方法および装置を得ることである。
【0011】本発明の更に別の目的は、逆ラドン変換に
より3D映像再構成のために、ラドン空間内の1組の同
軸平面、またはラドン空間内の任意の1組の同軸平面に
おける面積分を表す値へ、X線同軸ビームデータを変換
するために必要とされる計算の量を最少にする方法およ
び装置を得ることである。
より3D映像再構成のために、ラドン空間内の1組の同
軸平面、またはラドン空間内の任意の1組の同軸平面に
おける面積分を表す値へ、X線同軸ビームデータを変換
するために必要とされる計算の量を最少にする方法およ
び装置を得ることである。
【0012】
【課題を解決するための手段】本発明では、円錐ビーム
投射データが、複数のX線源位置Siのおのおのに対し
て物体を通る線積分の形で編成され、原点を含んでお
り、かつ各特定のX線源の位置Siから原点までの線に
対して垂直である正規化された検出器面における2Dデ
ータセットとして、物体の3D映像を円錐ビーム投射デ
ータから再構成する方法が用いられる。この方法は、ラ
ドン空間内の1組の平面φjにおける面積分を表す値を
決定する過程と、それから物体の映像を再構成するため
に1組の平面φjにおける面積分を表す値に対して逆ラ
ドン変換を行う過程との2つの過程を含む。更に詳しい
実施例においては、平面φjは、原点と交差する基準軸
を含む1組の共軸な平面を含む。
投射データが、複数のX線源位置Siのおのおのに対し
て物体を通る線積分の形で編成され、原点を含んでお
り、かつ各特定のX線源の位置Siから原点までの線に
対して垂直である正規化された検出器面における2Dデ
ータセットとして、物体の3D映像を円錐ビーム投射デ
ータから再構成する方法が用いられる。この方法は、ラ
ドン空間内の1組の平面φjにおける面積分を表す値を
決定する過程と、それから物体の映像を再構成するため
に1組の平面φjにおける面積分を表す値に対して逆ラ
ドン変換を行う過程との2つの過程を含む。更に詳しい
実施例においては、平面φjは、原点と交差する基準軸
を含む1組の共軸な平面を含む。
【0013】本発明の重要な面は、正規化された検出器
平面上の一対の線のおのおのに沿う線積分を行って重み
づけられた線積分を決定し、それから重みづけられた線
積分の間の差を回転角δβで除すことにより、ラドン空
間内の特定の点における面積分またはラドンデータ(実
際にはラドンデータの半径方向の微分)の値を決定する
ことである。それらの線は、回転軸を共用する対応する
一対の(回転角δβだけ互いに回転させられた)積分平
面と正規化された検出器面との交差として定義される。
平面上の一対の線のおのおのに沿う線積分を行って重み
づけられた線積分を決定し、それから重みづけられた線
積分の間の差を回転角δβで除すことにより、ラドン空
間内の特定の点における面積分またはラドンデータ(実
際にはラドンデータの半径方向の微分)の値を決定する
ことである。それらの線は、回転軸を共用する対応する
一対の(回転角δβだけ互いに回転させられた)積分平
面と正規化された検出器面との交差として定義される。
【0014】とくに、ラドン空間内の1組の平面φjに
おける面積分を表す値を決定する過程には、各X線源位
置Siに対して、次のステップが含まれる。すなわち、
当該のX線源位置Siに対応した、ラドンデータを決定
できる球殻であって、当該のX線源位置Siに対応した
平面φjとの交差により1組の円Dijを定める球殻
を、ラドン空間内で定め、・1組の円Dijのそれぞれ
に対して、当該のX線源位置Siを通り、円Dijに対
してその面に垂直に交差する線を回転軸に定め、その回
転軸を共通に含んでいる、円Dijの面に交差してラド
ンデータ点Rijkの位置をそれぞれ定める共軸の1組
の積分平面Qijkであって、正規化された検出平面と
対応する第1の線Lijkにて交差する共軸状の1組の
積分平面Qijkを定め、・・正規化された検出平面上
の第1の線Lijkのそれぞれに対して、対応する積分
平面Qijkを微小回転角δβだけ回転させて、正規化
された検出器平面に対して第1の線Lijk’にて交差
する平面Qijk’を定め、第1の線Lijkおよび第
1の線Lijk’に沿って積分操作を行い重み付けをし
た第1の線積分Jijk及び重み付けをした第1の線積
分Jijk’を決定し、重み付けをした第1の線積分J
ijkと重み付けをした第1の線積分Jijk’との差
を、微小回転角δβで除すことにより、点Rijkでの
ラドンデータの半径方向微分を算出する、ステップが含
まれる。
おける面積分を表す値を決定する過程には、各X線源位
置Siに対して、次のステップが含まれる。すなわち、
当該のX線源位置Siに対応した、ラドンデータを決定
できる球殻であって、当該のX線源位置Siに対応した
平面φjとの交差により1組の円Dijを定める球殻
を、ラドン空間内で定め、・1組の円Dijのそれぞれ
に対して、当該のX線源位置Siを通り、円Dijに対
してその面に垂直に交差する線を回転軸に定め、その回
転軸を共通に含んでいる、円Dijの面に交差してラド
ンデータ点Rijkの位置をそれぞれ定める共軸の1組
の積分平面Qijkであって、正規化された検出平面と
対応する第1の線Lijkにて交差する共軸状の1組の
積分平面Qijkを定め、・・正規化された検出平面上
の第1の線Lijkのそれぞれに対して、対応する積分
平面Qijkを微小回転角δβだけ回転させて、正規化
された検出器平面に対して第1の線Lijk’にて交差
する平面Qijk’を定め、第1の線Lijkおよび第
1の線Lijk’に沿って積分操作を行い重み付けをし
た第1の線積分Jijk及び重み付けをした第1の線積
分Jijk’を決定し、重み付けをした第1の線積分J
ijkと重み付けをした第1の線積分Jijk’との差
を、微小回転角δβで除すことにより、点Rijkでの
ラドンデータの半径方向微分を算出する、ステップが含
まれる。
【0015】同様に、円錐状ビーム投射データから物体
の3D映像を再構成する本発明の装置は、上記の手順を
用いて、ラドン空間内の1組の平面φj における面積分
を表す値を決定するために、プログラムされるコンピュ
ータのような手段と、1組の平面φj における面積分を
表す値に対して逆ラドン変換を行って物体の映像を再構
成するために、前記米国特許出願第 号(R
D−19564)に開示されている処理装置のような手
段とを備える。
の3D映像を再構成する本発明の装置は、上記の手順を
用いて、ラドン空間内の1組の平面φj における面積分
を表す値を決定するために、プログラムされるコンピュ
ータのような手段と、1組の平面φj における面積分を
表す値に対して逆ラドン変換を行って物体の映像を再構
成するために、前記米国特許出願第 号(R
D−19564)に開示されている処理装置のような手
段とを備える。
【0016】1組の平面φjがX線源を通る基準軸を共
通に含む共軸の1組の平面である場合、好ましい実施例
においては、ラドン空間内の1組の平面φjにおける面
積分を表す値を決定する過程には、前記基準軸上にない
各X線源位置Siに対して、次のステップが含まれる。
すなわち、・当該のX線源位置Siを含む平面におい
て、対応する球殼上にあり平面φjに垂直な円Giであ
って、平面φjおよび円Dijとの交差により円Dij
に対応する複数の点Pijを定める円Giを、ラドン空
間内で定め、対応する円Giの正規化された検出器平面
への投射をX線源Siからの線Miとして行い、点P
ijが線Mi上に対応する投射点Cijとして投射さ
れ、・・正規化された検出器平面上の投射された点C
ijそれぞれに対して、X線源Siと点Pijおよび投
射点Cijを通る回転軸をおのおの含む積分平面Q
ijkと正規化された検出器平面との交差である第2の
線Lijkを、投射点を通る複数の向きに構成し、正規
化された検出器平面上の第2の線Lijkを微小回転角
δθだけ回転させて、前記回転軸を含む平面Qijk’
と正規化された検出器平面との交差として、第2の線L
ijk’を定め、平面QijkとQijk’との間の回
転角δβを回転角δθから幾何学的に定め、第2の線L
ijkおよび第2の線Lijk’に沿って積分操作を行
い重み付けをした第2の線積分Jijk及び重み付けを
した第2の線積分Jijk’を決定し、重み付けをした
第2の線積分Jijkと重み付けをした第2の線積分J
ijk’との差を、微小回転角δβで除すことにより、
平面Qijkと交差する円Dij上の点でのラドンデー
タの半径方向微分を算出するステップが含まれる。
通に含む共軸の1組の平面である場合、好ましい実施例
においては、ラドン空間内の1組の平面φjにおける面
積分を表す値を決定する過程には、前記基準軸上にない
各X線源位置Siに対して、次のステップが含まれる。
すなわち、・当該のX線源位置Siを含む平面におい
て、対応する球殼上にあり平面φjに垂直な円Giであ
って、平面φjおよび円Dijとの交差により円Dij
に対応する複数の点Pijを定める円Giを、ラドン空
間内で定め、対応する円Giの正規化された検出器平面
への投射をX線源Siからの線Miとして行い、点P
ijが線Mi上に対応する投射点Cijとして投射さ
れ、・・正規化された検出器平面上の投射された点C
ijそれぞれに対して、X線源Siと点Pijおよび投
射点Cijを通る回転軸をおのおの含む積分平面Q
ijkと正規化された検出器平面との交差である第2の
線Lijkを、投射点を通る複数の向きに構成し、正規
化された検出器平面上の第2の線Lijkを微小回転角
δθだけ回転させて、前記回転軸を含む平面Qijk’
と正規化された検出器平面との交差として、第2の線L
ijk’を定め、平面QijkとQijk’との間の回
転角δβを回転角δθから幾何学的に定め、第2の線L
ijkおよび第2の線Lijk’に沿って積分操作を行
い重み付けをした第2の線積分Jijk及び重み付けを
した第2の線積分Jijk’を決定し、重み付けをした
第2の線積分Jijkと重み付けをした第2の線積分J
ijk’との差を、微小回転角δβで除すことにより、
平面Qijkと交差する円Dij上の点でのラドンデー
タの半径方向微分を算出するステップが含まれる。
【0017】1組の平面φjがX線源を通る基準軸を共
通に含む共軸の1組の平面である場合、好ましい実施例
においては、ラドン空間内の1組の平面φjにおける面
積分を表す値を決定する過程には、前記基準軸上にある
各X線源位置Siに対して、次のステップが含まれる。
すなわち、・X線源Siに対応し円Dijを定める球殻
に交差する平面φjそれぞれに対して、対応する円D
ijの正規化された検出器平面への投射をX線源Siか
らの線Lij *として行い、線Lij *に垂直な検出器
平面上の複数の平行な第3の線Lijkであって、X線
源Siを通り円Dijの面に垂直な回転軸をおのおの含
む積分平面Qijkと正規化された検出器平面との交差
である、複数の平行な第3の線Lijkを構成し、平行
な第3の線Lijkを微小距離だけ並進させて、前記回
転軸を含む平面Qijk’と正規化された検出器平面と
の交差として、第3の線Lijk’を定め、第3の線L
ijkとLijk’との間の距離から平面QijkとQ
ijk’との間の回転δβを幾何学的に定め、第3の線
Lijkおよび第3の線Lijk’に沿って積分操作を
行い重み付けをした第3の線積分Jijk及び重み付け
をした第3の線積分Jijk’を決定し、重み付けをし
た第3の線積分Jijkと重み付けをした第3の線積分
Jijk’との差を、微小回転角δβで除すことによ
り、平面Qijkと交差する円Dij上の点でのラドン
データの半径方向微分を算出するステップが含まれる。
通に含む共軸の1組の平面である場合、好ましい実施例
においては、ラドン空間内の1組の平面φjにおける面
積分を表す値を決定する過程には、前記基準軸上にある
各X線源位置Siに対して、次のステップが含まれる。
すなわち、・X線源Siに対応し円Dijを定める球殻
に交差する平面φjそれぞれに対して、対応する円D
ijの正規化された検出器平面への投射をX線源Siか
らの線Lij *として行い、線Lij *に垂直な検出器
平面上の複数の平行な第3の線Lijkであって、X線
源Siを通り円Dijの面に垂直な回転軸をおのおの含
む積分平面Qijkと正規化された検出器平面との交差
である、複数の平行な第3の線Lijkを構成し、平行
な第3の線Lijkを微小距離だけ並進させて、前記回
転軸を含む平面Qijk’と正規化された検出器平面と
の交差として、第3の線Lijk’を定め、第3の線L
ijkとLijk’との間の距離から平面QijkとQ
ijk’との間の回転δβを幾何学的に定め、第3の線
Lijkおよび第3の線Lijk’に沿って積分操作を
行い重み付けをした第3の線積分Jijk及び重み付け
をした第3の線積分Jijk’を決定し、重み付けをし
た第3の線積分Jijkと重み付けをした第3の線積分
Jijk’との差を、微小回転角δβで除すことによ
り、平面Qijkと交差する円Dij上の点でのラドン
データの半径方向微分を算出するステップが含まれる。
【0018】
【実施例】まず、本発明を実施している再構成装置へ接
続されている円錐ビームジオメトリを採用する、典型的
な走査およびデータ獲得構成が示されている図1を参照
する。円錐ビームX線点源22と2D検出器アレイ24
の間の視野の中に物体20が位置させられる。その2D
データアレイ24は円錐ビーム投射データを供給する。
視野と物体20を回転軸26が貫通する。X線点源22
を含み、回転軸26に垂直な中間平面を定めることがで
きる。規約により、回転軸26をz軸と呼び、回転軸2
6と中間平面28の交点を座標原点とする。x軸とy軸
は中間平面28内に図示のように配置される。複数のX
線源位置Si において物体20を走査するために、X線
源22は適切な走査軌道30に沿って物体20および視
野に対して動くが、検出器24はX線源22に対して固
定されたままである。図1において、走査軌道30は中
間平面28に含まれる円形走査軌道30として示されて
いる。これは表示の便宜上であるが、他の走査軌道を採
用でき、以下に簡単に説明するように実際に好ましい。
続されている円錐ビームジオメトリを採用する、典型的
な走査およびデータ獲得構成が示されている図1を参照
する。円錐ビームX線点源22と2D検出器アレイ24
の間の視野の中に物体20が位置させられる。その2D
データアレイ24は円錐ビーム投射データを供給する。
視野と物体20を回転軸26が貫通する。X線点源22
を含み、回転軸26に垂直な中間平面を定めることがで
きる。規約により、回転軸26をz軸と呼び、回転軸2
6と中間平面28の交点を座標原点とする。x軸とy軸
は中間平面28内に図示のように配置される。複数のX
線源位置Si において物体20を走査するために、X線
源22は適切な走査軌道30に沿って物体20および視
野に対して動くが、検出器24はX線源22に対して固
定されたままである。図1において、走査軌道30は中
間平面28に含まれる円形走査軌道30として示されて
いる。これは表示の便宜上であるが、他の走査軌道を採
用でき、以下に簡単に説明するように実際に好ましい。
【0019】検出器アレイ24はデータ収集器(DA
S)32へ接続される。動作中は、物体中に入るX線フ
ォトンがX線検出器アレイ24により検出され、データ
収集器(DAS)32により登録される。フォトンカウ
ントは、空気信号により正規化され、対数の負へ変換さ
れた後で、物体20を通る線積分を表す。したがって、
走査軌道30に沿ってX線源22とX線検出器24を走
査することにより(またはX線源22とX線検出器24
を静止させたまま物体20を等しく回転させることによ
り)物体20の周囲のいくつかのX線源位置Si におい
てデータが得られる。
S)32へ接続される。動作中は、物体中に入るX線フ
ォトンがX線検出器アレイ24により検出され、データ
収集器(DAS)32により登録される。フォトンカウ
ントは、空気信号により正規化され、対数の負へ変換さ
れた後で、物体20を通る線積分を表す。したがって、
走査軌道30に沿ってX線源22とX線検出器24を走
査することにより(またはX線源22とX線検出器24
を静止させたまま物体20を等しく回転させることによ
り)物体20の周囲のいくつかのX線源位置Si におい
てデータが得られる。
【0020】しかし、そのような1回の走査で集められ
たデータセットは不完全であり、したがって人工物が再
構成内に導入されることがある。それらの人工物は、用
途に応じて、認めることもできれば、認められないこと
もある。スミス(Smith)(1985年、上記)
は、対象物体を通る各平面上のX線源走査軌道からの点
があるものとすると、円錐ビームデータセットが不完全
であることを示している(検出器がX線源に対して固定
され、検査中の物体を覆うのに十分大きいと仮定し
て)。SIAM J.Math.Vol43、No.3
(1983年6月)、546〜552ページ所載の「円
錐ビーム再構成のための反転式(An Inversi
on Formula for Cone−Beam
Reconstruction)」と題するヒーング・
ケー・チュイ(Heang K Tuy)の論文および
前記マイナーボ(Minerbo)(1979年)によ
り示唆されている構成は、互いに垂直である2つの円形
X線源走査軌道を採用することである。これは、データ
を完全にするために、前記スミスが彼の条件を満たすこ
とを指摘している。データを完全にする別の走査構成
が、本願出願人へ譲渡された、1990年8月27日の
米国特許出願No.07/572,651、「三次元計
算機断層撮影においてデータを完全にするための方形波
円錐状ビーム走査軌道(SQUARE WAVE CO
NE BEAM SCANNING TRAJECTO
RY FOR DATA COMPLETENESS
IN THREE−DIMENSIONAL C0MP
UTERIZED TOMOGRAPHY)」に開示さ
れている。あるいは、完全な円錐ビームX線データセッ
トを得る代わりに、逆ラドン変換過程中に失われたデー
タを反復して訂正するために、光学的に得た物体境界情
報を用いる、特願平3−348406(米国特許出願第
631514号)の発明を採用できる。
たデータセットは不完全であり、したがって人工物が再
構成内に導入されることがある。それらの人工物は、用
途に応じて、認めることもできれば、認められないこと
もある。スミス(Smith)(1985年、上記)
は、対象物体を通る各平面上のX線源走査軌道からの点
があるものとすると、円錐ビームデータセットが不完全
であることを示している(検出器がX線源に対して固定
され、検査中の物体を覆うのに十分大きいと仮定し
て)。SIAM J.Math.Vol43、No.3
(1983年6月)、546〜552ページ所載の「円
錐ビーム再構成のための反転式(An Inversi
on Formula for Cone−Beam
Reconstruction)」と題するヒーング・
ケー・チュイ(Heang K Tuy)の論文および
前記マイナーボ(Minerbo)(1979年)によ
り示唆されている構成は、互いに垂直である2つの円形
X線源走査軌道を採用することである。これは、データ
を完全にするために、前記スミスが彼の条件を満たすこ
とを指摘している。データを完全にする別の走査構成
が、本願出願人へ譲渡された、1990年8月27日の
米国特許出願No.07/572,651、「三次元計
算機断層撮影においてデータを完全にするための方形波
円錐状ビーム走査軌道(SQUARE WAVE CO
NE BEAM SCANNING TRAJECTO
RY FOR DATA COMPLETENESS
IN THREE−DIMENSIONAL C0MP
UTERIZED TOMOGRAPHY)」に開示さ
れている。あるいは、完全な円錐ビームX線データセッ
トを得る代わりに、逆ラドン変換過程中に失われたデー
タを反復して訂正するために、光学的に得た物体境界情
報を用いる、特願平3−348406(米国特許出願第
631514号)の発明を採用できる。
【0021】データ収集器(DAS)32は代表的なプ
ロセッサ34へ接続される。そのプロセッサは、本発明
に従って、物体20を通る線積分から1組の面積分を計
算し、それらの面積分に対して逆ラドン変換を行うこと
により、物体20の三次元映像を再構成する。適当な映
像表示器36が代表的なプロセッサ34へ出力装置とし
て接続される。
ロセッサ34へ接続される。そのプロセッサは、本発明
に従って、物体20を通る線積分から1組の面積分を計
算し、それらの面積分に対して逆ラドン変換を行うこと
により、物体20の三次元映像を再構成する。適当な映
像表示器36が代表的なプロセッサ34へ出力装置とし
て接続される。
【0022】次に、3D映像化へのラドン変換のやり方
が全体的に示されている図2a〜2fおよび図3を参照
する。とくに、物体自体はそれのX線減衰係数f(x,
y,z)(図2a)で定められる。測定される円錐ビー
ム投射データは半径方向にわたるこの関数の線積分X
(θ)=∫f(r,θ,z0) dr(図2b)に対応す
る。検出器データの線積分(検出器積分としても知られ
ている)は∫X(θ)dθ=∬f(r,θ,z0)dr
dθ(図2c)により与えられる。平行ビームの場合に
は、それらの検出器積分は物体のラドン変換に単に等し
い。しかし、円錐ビームの場合には、ラドン変換は代わ
りに∬f(r,θ,z0)rdrdθ(図2d)により
与えられる。 ラドン変換積分中の付加係数rが、直角
座標から極座標への座標変換のヤコビアンの結果として
生ずる。図2eと2fに示すように、逆ラドン変換手続
きが検出器積分から3D CT映像を再構成する。直接
逆ラドン変換は物体の面積分を入力として必要とするか
ら、線積分(扇状ビーム検出器積分)を面積分(ラドン
データ)へ変換する予備過程が要求される。それへ本発
明は向けられる。
が全体的に示されている図2a〜2fおよび図3を参照
する。とくに、物体自体はそれのX線減衰係数f(x,
y,z)(図2a)で定められる。測定される円錐ビー
ム投射データは半径方向にわたるこの関数の線積分X
(θ)=∫f(r,θ,z0) dr(図2b)に対応す
る。検出器データの線積分(検出器積分としても知られ
ている)は∫X(θ)dθ=∬f(r,θ,z0)dr
dθ(図2c)により与えられる。平行ビームの場合に
は、それらの検出器積分は物体のラドン変換に単に等し
い。しかし、円錐ビームの場合には、ラドン変換は代わ
りに∬f(r,θ,z0)rdrdθ(図2d)により
与えられる。 ラドン変換積分中の付加係数rが、直角
座標から極座標への座標変換のヤコビアンの結果として
生ずる。図2eと2fに示すように、逆ラドン変換手続
きが検出器積分から3D CT映像を再構成する。直接
逆ラドン変換は物体の面積分を入力として必要とするか
ら、線積分(扇状ビーム検出器積分)を面積分(ラドン
データ)へ変換する予備過程が要求される。それへ本発
明は向けられる。
【0023】図3に示すように、点x0,y0,z0 にお
ける物体の3Dラドン変換は、点x0,y0,z0 を通っ
て、原点から点x0,y0,z0 までの線に垂直である平
面上のX線減衰係数の面積分により与えられ、
ける物体の3Dラドン変換は、点x0,y0,z0 を通っ
て、原点から点x0,y0,z0 までの線に垂直である平
面上のX線減衰係数の面積分により与えられ、
【0024】
【数1】
【0025】として表すことができる。2Dラドン変換
に対しても、線積分が平面上ではなくて線上であること
を除き、状況は類似する。面積分は
に対しても、線積分が平面上ではなくて線上であること
を除き、状況は類似する。面積分は
【0026】
【数2】
【0027】として表すこともできる。ここに、
【0028】
【数3】
【0029】は、平面に対する法線を特徴づける方向ベ
クトル、sは原点からの平面の距離、f(r)は3D物
体である。いいかえると、
クトル、sは原点からの平面の距離、f(r)は3D物
体である。いいかえると、
【0030】
【数4】
【0031】は、原点から距離sの所にあり、法線が
【0032】
【数5】
【0033】であるような平面上の物体の積分された密
度を表す。面積分
度を表す。面積分
【0034】
【数6】
【0035】はラドンデータとも呼ばれる。3D物体f
(r)をそれの面積分Rから再構成するために使用でき
る逆ラドン変換は
(r)をそれの面積分Rから再構成するために使用でき
る逆ラドン変換は
【0036】
【数7】
【0037】として表すことができる。特願平3−35
3068(米国特許出願第631818号)に詳しく記
載されているように、数7で表されている逆ラドン変換
は、2過程プロセスで行うことができる。過程1は、z
軸をおのおの含んでいるラドン空間内のいくつかの垂直
平面φj上の2D CT映像再構成を含む。たとえば、
それらの垂直平面は、垂直基準すなわちz軸48を含む
垂直平面40、42、44、46である。
3068(米国特許出願第631818号)に詳しく記
載されているように、数7で表されている逆ラドン変換
は、2過程プロセスで行うことができる。過程1は、z
軸をおのおの含んでいるラドン空間内のいくつかの垂直
平面φj上の2D CT映像再構成を含む。たとえば、
それらの垂直平面は、垂直基準すなわちz軸48を含む
垂直平面40、42、44、46である。
【0038】この明細書では、逆ラドン変換のための入
力として、X線円錐ビームデータを、同軸垂直平面セッ
トφj または任意の平面セットにおける面積分へ変換す
る方法および装置を詳しく説明する。
力として、X線円錐ビームデータを、同軸垂直平面セッ
トφj または任意の平面セットにおける面積分へ変換す
る方法および装置を詳しく説明する。
【0039】図5A,5B,5Cを参照して、この解析
で用いる基準の枠と、それらの枠に関連する座標系とを
まず定める。(以下に行う詳細な説明における基準の枠
および座標系は、図1の代表的な走査構成に示されてい
る一般化された座標系とは異なることに注目すべきであ
る。)とくに、Aは物体20に対して固定されている基
準の物体枠を示す。この基準の枠内の任意の点の空間場
所が(x,y,z)の三つ組により表される。数2と数
7中の変数は基準の物体枠中の変数である。Bは、正規
化された検出器50に対して固定されている基準の正規
化された検出器枠を示す。基準の正規化された検出器枠
内の空間場所は(u,v,w)の三つ組により表され
る。(u,v,w)座標系の原点は正規化された検出器
50の中心に設けられ、u軸とv軸は正規化された検出
器平面上にある。X線源位置Si はw軸上に常にある
が、正規化された検出器50の中心からのそれの距離
は、1つのX線源位置Si から別のX線源位置Si まで
変化することがある。
で用いる基準の枠と、それらの枠に関連する座標系とを
まず定める。(以下に行う詳細な説明における基準の枠
および座標系は、図1の代表的な走査構成に示されてい
る一般化された座標系とは異なることに注目すべきであ
る。)とくに、Aは物体20に対して固定されている基
準の物体枠を示す。この基準の枠内の任意の点の空間場
所が(x,y,z)の三つ組により表される。数2と数
7中の変数は基準の物体枠中の変数である。Bは、正規
化された検出器50に対して固定されている基準の正規
化された検出器枠を示す。基準の正規化された検出器枠
内の空間場所は(u,v,w)の三つ組により表され
る。(u,v,w)座標系の原点は正規化された検出器
50の中心に設けられ、u軸とv軸は正規化された検出
器平面上にある。X線源位置Si はw軸上に常にある
が、正規化された検出器50の中心からのそれの距離
は、1つのX線源位置Si から別のX線源位置Si まで
変化することがある。
【0040】図5cに示すように、(x,y,z)座標
系の原点と(u,v,w)座標系の原点が常に一致する
と仮定する。実際には、これは、検出器24の実際の読
みを、(x,y,z)座標系の原点を通り、かつX線源
位置Si を原点へ結ぶ線に垂直である平面へ換算するこ
とより以上のものではないことになる。
系の原点と(u,v,w)座標系の原点が常に一致する
と仮定する。実際には、これは、検出器24の実際の読
みを、(x,y,z)座標系の原点を通り、かつX線源
位置Si を原点へ結ぶ線に垂直である平面へ換算するこ
とより以上のものではないことになる。
【0041】面積分の取り扱いを容易にするために、第
3の基準枠を導入する。図6を参照して、QはX線源S
を含む任意の平面である。この平面Qを正規化された検
出器平面に線Lにおいて交差させる。
3の基準枠を導入する。図6を参照して、QはX線源S
を含む任意の平面である。この平面Qを正規化された検
出器平面に線Lにおいて交差させる。
【0042】
【数8】
【0043】を線Lに垂直な平面Q内の単位ベクトル、
【0044】
【数9】
【0045】を線Lに平行な平面Q内の単位ベクトル、
【0046】
【数10】
【0047】であるように、X線源Sを原点として有す
る座標系(a,b,c)を定める。座標系(a,b,
c)を基準の積分枠内の座標系と定義することにする。
平面Qにおける積分を一層容易にするために、座標系c
が常に零であるから、平面Q上の各点が二つ組(a,
b)により特徴づけられることに注目する。座標変換を
行うことにより、二つ組(a,b)をa軸とb軸に対す
る極座標(r,θ)へ変換できる。(a,b,c)→
(r,θ,c)、ここに、
る座標系(a,b,c)を定める。座標系(a,b,
c)を基準の積分枠内の座標系と定義することにする。
平面Qにおける積分を一層容易にするために、座標系c
が常に零であるから、平面Q上の各点が二つ組(a,
b)により特徴づけられることに注目する。座標変換を
行うことにより、二つ組(a,b)をa軸とb軸に対す
る極座標(r,θ)へ変換できる。(a,b,c)→
(r,θ,c)、ここに、
【0048】
【数11】
【0049】である。
【0050】図7は円錐ビーム走査における典型的な状
況を示す。図7に示されている物体の平面Q、または輪
切りについて考える。円錐ビームX線源Sは、直線Lの
形で平面Qを正規化された検出器平面上に投射する。基
準積分枠において、a軸を点cおいて線Lに交差させる
(図6)。構成により、SCは線Lに垂直である。|S
C|でX線源Sと交点cの間の距離を示させる。tが線
Lに沿う点cからの変位を表すものとして、線L上のデ
ータ(datum)X(t)は
況を示す。図7に示されている物体の平面Q、または輪
切りについて考える。円錐ビームX線源Sは、直線Lの
形で平面Qを正規化された検出器平面上に投射する。基
準積分枠において、a軸を点cおいて線Lに交差させる
(図6)。構成により、SCは線Lに垂直である。|S
C|でX線源Sと交点cの間の距離を示させる。tが線
Lに沿う点cからの変位を表すものとして、線L上のデ
ータ(datum)X(t)は
【0051】
【数12】
【0052】により与えられる。いいかえると、データ
X(t)は、a軸に対して角度θ=tan−1(t/|
SC|)を成す平面Q上の線に沿う物体密度の線積分を
表す。変数tがtanθに比例することに注目すると、
線L上のt変数に対してX(t)を積分することにより
(ある適当な重みづけで)、平面Q上の変数rとθに対
するf(r,θ,0)の積分値、すなわち、∬f(r,
θ,0)drdθを得ることを予測する。そのために、
量I=∬f(r,θ,0)drdθを変数tで表させ
る。そうすると、 t=|SC|tanθ dt=|SC|sec2θdθ であるから、積分Iは
X(t)は、a軸に対して角度θ=tan−1(t/|
SC|)を成す平面Q上の線に沿う物体密度の線積分を
表す。変数tがtanθに比例することに注目すると、
線L上のt変数に対してX(t)を積分することにより
(ある適当な重みづけで)、平面Q上の変数rとθに対
するf(r,θ,0)の積分値、すなわち、∬f(r,
θ,0)drdθを得ることを予測する。そのために、
量I=∬f(r,θ,0)drdθを変数tで表させ
る。そうすると、 t=|SC|tanθ dt=|SC|sec2θdθ であるから、積分Iは
【0053】
【数13】
【0054】により与えられる。したがって、重みで線
L上の円錐ビームデータX(t)を積分することによ
り、量I=∬f(r,θ,0)drdθを得ることがで
きる。これとは対照的に、基準の物体枠において、sを
原点からの平面Qの距離、数5を法線とするとこの平面
に対するラドンデータは
L上の円錐ビームデータX(t)を積分することによ
り、量I=∬f(r,θ,0)drdθを得ることがで
きる。これとは対照的に、基準の物体枠において、sを
原点からの平面Qの距離、数5を法線とするとこの平面
に対するラドンデータは
【0055】
【数14】
【0056】により与えられる。
【0057】
【数15】
【0058】であるから、正規化された検出器平面上の
直線に沿う円錐状ビームデータによりラドンデータを得
ることはできない。(しかし、検出器上のデータが平行
なX線ビームにより発生されるものとすると、正規化さ
れた平面検出器上の直線に沿うデータを積分するとラド
ンデータが生ずる。)
直線に沿う円錐状ビームデータによりラドンデータを得
ることはできない。(しかし、検出器上のデータが平行
なX線ビームにより発生されるものとすると、正規化さ
れた平面検出器上の直線に沿うデータを積分するとラド
ンデータが生ずる。)
【0059】前記ラドンデータと積分Iの間の唯一の差
はIの積分中に係数rがないことである。rの各値にお
ける密度値f(r,θ,0)は既知でないから(さもな
いと、円錐ビーム走査を最初に行う必要はない)、その
差はデータをrで重みづけることにより補償できない。
はIの積分中に係数rがないことである。rの各値にお
ける密度値f(r,θ,0)は既知でないから(さもな
いと、円錐ビーム走査を最初に行う必要はない)、その
差はデータをrで重みづけることにより補償できない。
【0060】被積分関数に係数rを導入する1つの方法
は、原点を通る平面上の任意の軸を中心とする平面Qの
回転において、その平面上の各点が、rsinγ に比例す
る量だけ移動させることに注目することである。ここ
に、rは点の半径方向座標、γは回転軸に対する角座標
である。この観察により、図8と図9を参照する以下の
説明が促進される。
は、原点を通る平面上の任意の軸を中心とする平面Qの
回転において、その平面上の各点が、rsinγ に比例す
る量だけ移動させることに注目することである。ここ
に、rは点の半径方向座標、γは回転軸に対する角座標
である。この観察により、図8と図9を参照する以下の
説明が促進される。
【0061】まず図8を参照して、物体中の、図7の平
面Qに非常に近い別の平面Q′について考える。X線源
位置Sを通る平面Q上の回転軸a′を中心として、平面
Q自体を小さい角度δβだけ回転させることにより平面
Q′が得られる。実際の回転角δβの選択は、特定の各
システムにおける確度と信号対雑音比の間の妥協であ
る。より小さい回転角δβでは確度が高くなるが、デー
タ中の雑音が増大し、回転角度が大きくなるとデータ中
の雑音は減少するが、確度が低くなる。平面Q′は別の
線L′を正規化された検出器平面へ投影する。線Lと
L′はC′点で交差する。回転軸a′は正規化された検
出器平面と交差する。
面Qに非常に近い別の平面Q′について考える。X線源
位置Sを通る平面Q上の回転軸a′を中心として、平面
Q自体を小さい角度δβだけ回転させることにより平面
Q′が得られる。実際の回転角δβの選択は、特定の各
システムにおける確度と信号対雑音比の間の妥協であ
る。より小さい回転角δβでは確度が高くなるが、デー
タ中の雑音が増大し、回転角度が大きくなるとデータ中
の雑音は減少するが、確度が低くなる。平面Q′は別の
線L′を正規化された検出器平面へ投影する。線Lと
L′はC′点で交差する。回転軸a′は正規化された検
出器平面と交差する。
【0062】δθを線LとL′の間の角度とする。(角
度δθとδβは幾何学的に互いに関連させられ、δβを
δθから決定できることが明らかであろう。この計算の
結果を2つの特定の場合について以下に述べる。)極座
標において基準の積分枠に対する平面Q′上の各点
(r,θ,0)を、平面Q内の対応する点から量δrだ
け移動させることにより得られるものと考えることがで
きる。αを回転軸a′との軸の間の角度とすると、点r
=(r,θ,0)における移動量δrは
度δθとδβは幾何学的に互いに関連させられ、δβを
δθから決定できることが明らかであろう。この計算の
結果を2つの特定の場合について以下に述べる。)極座
標において基準の積分枠に対する平面Q′上の各点
(r,θ,0)を、平面Q内の対応する点から量δrだ
け移動させることにより得られるものと考えることがで
きる。αを回転軸a′との軸の間の角度とすると、点r
=(r,θ,0)における移動量δrは
【0063】
【数16】
【0064】により与えられる。空間座標r中の変化δ
rは密度値f(r)に対応する変化を導入する。これは
積Iの値に変化δIを起こさせる。その変化δIは、
rは密度値f(r)に対応する変化を導入する。これは
積Iの値に変化δIを起こさせる。その変化δIは、
【0065】
【数17】
【0066】により与えられる。したがって、
【0067】
【数18】
【0068】である。ここに、
【0069】
【数19】
【0070】である。量T(c)は、付加係数sin
(θ−α)を除き、数14におけるラドンデータとほと
んど同じである、しかし、付加係数は、値を測定により
得ることができる角度変数を含むだけであるから、付加
係数を補償できる。これは、付加係数を打ち消すために
Iの被積分関数中に重みづけ係数を含む新しい積分Jを
定めることにより行うことができる。
(θ−α)を除き、数14におけるラドンデータとほと
んど同じである、しかし、付加係数は、値を測定により
得ることができる角度変数を含むだけであるから、付加
係数を補償できる。これは、付加係数を打ち消すために
Iの被積分関数中に重みづけ係数を含む新しい積分Jを
定めることにより行うことができる。
【0071】
【数20】
【0072】平面Q上の幾何学が図9に示されている。
図9から、
図9から、
【0073】
【数21】
【0074】が得られる。ここに、ΔCはC′とCの変
位を示す。したがって、
位を示す。したがって、
【0075】
【数22】
【0076】が得られる。ここで、重みづけ係数1/si
n(θ−α)を含む、変数t中の希望の積分Jを表すこ
とができる。数4と数7を数6に代入すると
n(θ−α)を含む、変数t中の希望の積分Jを表すこ
とができる。数4と数7を数6に代入すると
【0077】
【数23】
【0078】が得られる。前に積分Iについて行った演
算と同じ演算を行うと
算と同じ演算を行うと
【0079】
【数24】
【0080】が得られる。ここに、基準の物体枠内で、
sは平面Qと原点の間の距離であり、
sは平面Qと原点の間の距離であり、
【0081】
【数25】
【0082】は平面Q上の関数fの面積分である。数2
4を用いて、円錐ビームデータからのラドンデータの半
径方向微分を原理的に計算でき、半径方向の次元におけ
る結果を積分することによりラドンデータ自体を得るこ
とができる。これの手順が図10に示されている。点
4を用いて、円錐ビームデータからのラドンデータの半
径方向微分を原理的に計算でき、半径方向の次元におけ
る結果を積分することによりラドンデータ自体を得るこ
とができる。これの手順が図10に示されている。点
【0083】
【数26】
【0084】におけるラドンデータの半径方向微分を評
価するために、下記の操作を行う。なお、
価するために、下記の操作を行う。なお、
【0085】
【数27】
【0086】である。 1.P点を通り、線OPに垂直な平面Qを決定する。 2.平面Qが正規化された検出器平面と交差する場所の
線Lを決定する。 3.線SCが線Lに垂直であるような線L上の点Cを探
す。 4.線L上で任意の点C′をとり、SからC′までの線
で回転軸a′を定める。平面Qを回転軸a′を中心とし
て小さい角度δβだけ等しく回転させると平面Q′にな
り、検出器平面上の点C′を中心として線Lを小さい角
度δθだけ回転させて線L′にする。平面Q′は正規化
されている平面と線L′において交差する。 5.数23を用いて、線LとL′上のそれぞれの量Jと
J′を計算する。 6.幾何学により角度δβとδθを計算する。 7.下の式を用いて量J、J′、δβからP点における
ラドンデータの半径方向微分が得られる。
線Lを決定する。 3.線SCが線Lに垂直であるような線L上の点Cを探
す。 4.線L上で任意の点C′をとり、SからC′までの線
で回転軸a′を定める。平面Qを回転軸a′を中心とし
て小さい角度δβだけ等しく回転させると平面Q′にな
り、検出器平面上の点C′を中心として線Lを小さい角
度δθだけ回転させて線L′にする。平面Q′は正規化
されている平面と線L′において交差する。 5.数23を用いて、線LとL′上のそれぞれの量Jと
J′を計算する。 6.幾何学により角度δβとδθを計算する。 7.下の式を用いて量J、J′、δβからP点における
ラドンデータの半径方向微分が得られる。
【0087】
【数28】
【0088】上記の手順を用いて、円錐ビームを照射さ
れている物体を通る全ての平面に対してラドンデータを
得ることができる。偶然ではあるが、これは前記スミス
(Smith)(1985年)の論文に述べられている
条件に一致する。すなわち、円錐ビーム走査で完全なデ
ータを得るために、物体を通る全ての平面はX線源位置
と交差すべきである。
れている物体を通る全ての平面に対してラドンデータを
得ることができる。偶然ではあるが、これは前記スミス
(Smith)(1985年)の論文に述べられている
条件に一致する。すなわち、円錐ビーム走査で完全なデ
ータを得るために、物体を通る全ての平面はX線源位置
と交差すべきである。
【0089】次に図11、12、13を参照して、この
ようにして1つのX線源位置において発生できるラドン
データ(すなわち、面積分)の範囲を定量的に評価でき
る。図11の平面を円錐状ビーム源Sと原点0を含む任
意の平面とする。この平面をWで表す。平面Wに垂直
で、X線源Sを含む任意の平面Qについて考えることに
する。Uを、平面Qが平面Wと交差する場所の線とす
る。すなわち、平面Qは線Uを通り、かつ、図11の紙
面である平面Wに垂直である。Vを、原点を通り、線U
に垂直な平面W上の線とし、線UとVがP点で交差する
ものとする。
ようにして1つのX線源位置において発生できるラドン
データ(すなわち、面積分)の範囲を定量的に評価でき
る。図11の平面を円錐状ビーム源Sと原点0を含む任
意の平面とする。この平面をWで表す。平面Wに垂直
で、X線源Sを含む任意の平面Qについて考えることに
する。Uを、平面Qが平面Wと交差する場所の線とす
る。すなわち、平面Qは線Uを通り、かつ、図11の紙
面である平面Wに垂直である。Vを、原点を通り、線U
に垂直な平面W上の線とし、線UとVがP点で交差する
ものとする。
【0090】
【数29】
【0091】を線Vに沿う単位ベクトルとする。付記A
に示すように、図21を参照して、ベクトル
に示すように、図21を参照して、ベクトル
【0092】
【数30】
【0093】は平面Qに垂直であるから、Qにおける面
積分は基準の物体枠内のラドンデータ
積分は基準の物体枠内のラドンデータ
【0094】
【数31】
【0095】すなわち、P点におけるラドンデータであ
る。各OPSは直角であるから、P点は直径がOSであ
る平面W上の円上にある。X線源Sを通り、平面Wに垂
直な全ての平面に対して同じ操作を加えることにより、
図11に示すように、ラドンデータが全円上で発生され
る。
る。各OPSは直角であるから、P点は直径がOSであ
る平面W上の円上にある。X線源Sを通り、平面Wに垂
直な全ての平面に対して同じ操作を加えることにより、
図11に示すように、ラドンデータが全円上で発生され
る。
【0096】図12に示すように、線分OSを含んでい
る他の全ての平面上の平面Wに対して全ての操作を反復
することにより、直径がOSである全ての円でラドンデ
ータが発生される。いいかえると、直径がOSである球
殻上でデータが発生される。この球殻はラドン殻と呼ぶ
こともできる。
る他の全ての平面上の平面Wに対して全ての操作を反復
することにより、直径がOSである全ての円でラドンデ
ータが発生される。いいかえると、直径がOSである球
殻上でデータが発生される。この球殻はラドン殻と呼ぶ
こともできる。
【0097】次に、図6の積分平面Qの回転中心である
回転軸の向きにより識別される2つの特定のケースにつ
いて詳しく説明することにする。前記のように、多くの
回転軸のおのおのはX線源位置Sを通る。線OSはX線
源位置Sを通り、原点0は正規化された検出器平面に垂
直であり、正規化された検出器面は原点を含む。
回転軸の向きにより識別される2つの特定のケースにつ
いて詳しく説明することにする。前記のように、多くの
回転軸のおのおのはX線源位置Sを通る。線OSはX線
源位置Sを通り、原点0は正規化された検出器平面に垂
直であり、正規化された検出器面は原点を含む。
【0098】ケース1は、回転軸がb軸に一致しない時
に適用され、回転軸がa軸に一致するような特定のケー
スを含む。したがって、ケース1はa軸を中心とする拡
張された回転として記述できる。図4に示すように、垂
直軸すなわち基準軸をおのおの含んでいる1組の同軸平
面φj 上でラドンデータが発生されるという、ここで説
明する特定の実施例においては、ケース1は垂直軸すな
わち基準軸上にない全てのX線源位置Si に適用され
る。
に適用され、回転軸がa軸に一致するような特定のケー
スを含む。したがって、ケース1はa軸を中心とする拡
張された回転として記述できる。図4に示すように、垂
直軸すなわち基準軸をおのおの含んでいる1組の同軸平
面φj 上でラドンデータが発生されるという、ここで説
明する特定の実施例においては、ケース1は垂直軸すな
わち基準軸上にない全てのX線源位置Si に適用され
る。
【0099】ケース2は、回転軸が図6のb軸に一致す
る時に適用される。この場合には、回転軸は正規化され
た検出器面に平行である。図4に示すように、垂直軸す
なわち基準軸をおのおの含んでいる1組の同軸平面φj
上でラドンデータが発生される、ここで説明している特
定の実施例においては、垂直軸すなわち基準軸上の全て
のX線源位置Si に対して適用される。
る時に適用される。この場合には、回転軸は正規化され
た検出器面に平行である。図4に示すように、垂直軸す
なわち基準軸をおのおの含んでいる1組の同軸平面φj
上でラドンデータが発生される、ここで説明している特
定の実施例においては、垂直軸すなわち基準軸上の全て
のX線源位置Si に対して適用される。
【0100】回転軸がa軸と一致するような特定のケー
ス1について考える。この場合には、図10ではα=0
であり、2本の線LとL′はC点において交差し、その
C点においてa軸は検出器面と交差する。それらの線が
C点を通る全ての向きに、正規化された検出器面で引か
れるとすると(図13)、それらの線は、共通軸として
線SCを含む種々の向きにおける積分面の正規化された
検出器面上の射影である。それらの積分面をQ1,
Q2,Q3等と名づける。次に、数24に従って、量d
J/dβは、検出器面上の近接している線対上に投影す
る平面Qi上の面積分の微分を生ずる。ここに、J中の
重みづけ関数sinθは各線対に対して計算される。
ス1について考える。この場合には、図10ではα=0
であり、2本の線LとL′はC点において交差し、その
C点においてa軸は検出器面と交差する。それらの線が
C点を通る全ての向きに、正規化された検出器面で引か
れるとすると(図13)、それらの線は、共通軸として
線SCを含む種々の向きにおける積分面の正規化された
検出器面上の射影である。それらの積分面をQ1,
Q2,Q3等と名づける。次に、数24に従って、量d
J/dβは、検出器面上の近接している線対上に投影す
る平面Qi上の面積分の微分を生ずる。ここに、J中の
重みづけ関数sinθは各線対に対して計算される。
【0101】この状況が図14に示されている。図14
は向きSC、すなわち、X線源から検出器上の交点Cへ
向かう向きの図を示す。図14の紙面は原点0を含み、
線SCは図14の紙面に対して垂直である。P点は図1
4の紙面と線SCの間の交点である。線SCは図14の
紙面に垂直であるから、線SCを含む全ての平面Q
iは、中心としての点Pとともに極格子を形成する線と
して現れる。図14でA1,A2,A3等として示され
ている線は平面Q1,Q2,Q3等にそれぞれ対応す
る。原点0から直交線がそれらの各線へ落下し、各直交
線対を図示のように場所B1,B2,B3等で交差す
る。また、付記Aに示すように、原点から線A1,
A2,A3等へ直交する線は平面Q1,Q2,Q3等へ
も垂直である。したがって、平面Q1,Q2,Q3等に
おける面積分は点B1,B2,B3等におけるラドンデ
ータを含む。各点Biは2本の直交線の交点にあるから
(1本の線が原点0から、他の1本はP点から)、全て
の点Biは、線分OPを直径として有する円上にある。
は向きSC、すなわち、X線源から検出器上の交点Cへ
向かう向きの図を示す。図14の紙面は原点0を含み、
線SCは図14の紙面に対して垂直である。P点は図1
4の紙面と線SCの間の交点である。線SCは図14の
紙面に垂直であるから、線SCを含む全ての平面Q
iは、中心としての点Pとともに極格子を形成する線と
して現れる。図14でA1,A2,A3等として示され
ている線は平面Q1,Q2,Q3等にそれぞれ対応す
る。原点0から直交線がそれらの各線へ落下し、各直交
線対を図示のように場所B1,B2,B3等で交差す
る。また、付記Aに示すように、原点から線A1,
A2,A3等へ直交する線は平面Q1,Q2,Q3等へ
も垂直である。したがって、平面Q1,Q2,Q3等に
おける面積分は点B1,B2,B3等におけるラドンデ
ータを含む。各点Biは2本の直交線の交点にあるから
(1本の線が原点0から、他の1本はP点から)、全て
の点Biは、線分OPを直径として有する円上にある。
【0102】全ての点Bi は図14の紙面上にあるか
ら、それらの点が存在する円の面は線OSと直交する。
更に、線分OPは線分SPと直交するから、P点は直径
がOSである球面上にある。したがって、P点は線分S
Cがラドン殻と交差する点である。
ら、それらの点が存在する円の面は線OSと直交する。
更に、線分OPは線分SPと直交するから、P点は直径
がOSである球面上にある。したがって、P点は線分S
Cがラドン殻と交差する点である。
【0103】図13に示す操作は次のように要約でき
る。 (1)C点を通る全ての向きにおいて正常な検出器面上
に線を構成する。 (2)重みづけ関数を各線上に有する量Jを計算する。 (3)微分dJ/dβを計算する。 この結果、原点0を含み、線SCに対して垂直である平
面上の、線分OPを直径とする円(図14)上でラドン
データが発生される。ここに、P点は線SCとラドン殻
の交点である。この操作全体をここでは検出器面上のC
点における回転操作と呼ぶ。
る。 (1)C点を通る全ての向きにおいて正常な検出器面上
に線を構成する。 (2)重みづけ関数を各線上に有する量Jを計算する。 (3)微分dJ/dβを計算する。 この結果、原点0を含み、線SCに対して垂直である平
面上の、線分OPを直径とする円(図14)上でラドン
データが発生される。ここに、P点は線SCとラドン殻
の交点である。この操作全体をここでは検出器面上のC
点における回転操作と呼ぶ。
【0104】図15は特定のX線源位置に対する正規化
された検出器面を表す。回転軸は正規化された検出器に
Ci点で交差し、線62,64,66,68,70,7
2は種々の積分面Qと正規化された検出器面との交差を
表す。図15に関連して回転操作を示すために、正規化
された検出器面上で任意の線Mをとり、線上の各点Cj
に対して回転操作を行う。各点Cjに対して、ラドンデ
ータの円D jが発生される。この場合に、円の面は線S
Cjに対して直角で、円の直径は線分DPjである。こ
こに、Pjは線SCjとラドン殻との交点である。全て
の点Cjは線M上に並ぶから、全ての点Pjは円G上に
ある。ここに、X線源Sと線Mを含む平面はラドン殼と
交差する。また、各円Djの面は、円Gの面上にある対
応する線SPjに垂直であるから、円Djの面は円Gの
面に対して垂直である。
された検出器面を表す。回転軸は正規化された検出器に
Ci点で交差し、線62,64,66,68,70,7
2は種々の積分面Qと正規化された検出器面との交差を
表す。図15に関連して回転操作を示すために、正規化
された検出器面上で任意の線Mをとり、線上の各点Cj
に対して回転操作を行う。各点Cjに対して、ラドンデ
ータの円D jが発生される。この場合に、円の面は線S
Cjに対して直角で、円の直径は線分DPjである。こ
こに、Pjは線SCjとラドン殻との交点である。全て
の点Cjは線M上に並ぶから、全ての点Pjは円G上に
ある。ここに、X線源Sと線Mを含む平面はラドン殼と
交差する。また、各円Djの面は、円Gの面上にある対
応する線SPjに垂直であるから、円Djの面は円Gの
面に対して垂直である。
【0105】要約すると、正規化されている検出器面上
の線M上の全ての点に対して回転操作が行われたとする
と、一連の円Dj についてのラドンデータが発生され
る。円Dj の面は円Gの面に対して垂直である。ここ
に、X線源Sと線Mを含む平面はラドン殻と交差し、円
Dj の直径は線分DPj である。ここに、Pj は円G上
の点である。点Cj が線Mにおいて十分細かくサンプリ
ングされると、発生されるラドン円Dj のセットはラド
ン殻全体をカバーするために十分に近い。いいかえる
と、検出器面上の線に対して回転操作を行うことによ
り、全ラドン殻についてのデータを発生できる。
の線M上の全ての点に対して回転操作が行われたとする
と、一連の円Dj についてのラドンデータが発生され
る。円Dj の面は円Gの面に対して垂直である。ここ
に、X線源Sと線Mを含む平面はラドン殻と交差し、円
Dj の直径は線分DPj である。ここに、Pj は円G上
の点である。点Cj が線Mにおいて十分細かくサンプリ
ングされると、発生されるラドン円Dj のセットはラド
ン殻全体をカバーするために十分に近い。いいかえる
と、検出器面上の線に対して回転操作を行うことによ
り、全ラドン殻についてのデータを発生できる。
【0106】この場合に関数Jを計算するために用いら
れる重みづけ関数 sinθはθ=0において1つである。
この単一性は調整化プロセスにより除去できる。核も単
一性を含んでいる従来のX線源線CTにおけるろ波され
た後方投射のろ波部分において採用されて成功してい
る。
れる重みづけ関数 sinθはθ=0において1つである。
この単一性は調整化プロセスにより除去できる。核も単
一性を含んでいる従来のX線源線CTにおけるろ波され
た後方投射のろ波部分において採用されて成功してい
る。
【0107】次に、回転軸が図6のb軸に一致するケー
ス2について説明する。この場合には図10でα=π/
2で、回転軸が正規化された検出器面と平行であるか
ら、2本の線LとL′は平行である。図16を参照し
て、Lに垂直である(付記B)OCを通る線に沿う全て
の線が、線LとL′に平行に引かれるとすると、それら
の線は、b軸を共通軸として含む種々の向きにおける平
面の検出器面への投影である。それから、数24に従っ
て、J内の重みづけ関数cosθが、正規化されている
検出器面上の近接している各線対に対して計算されてい
る、量dJ/dβが、隣接する線対へ投射する平面Qj
上の面積分の微分を生ずる。この状況が、b軸の向きの
図を示す図17Aと、ケース2に対する正規化された検
出器面上のデータ点と線を示す図17Bとに示されてい
る。図17Aの紙面はX線源を含む平面c−aである。
付記Bには、原点0もこの平面に含まれる。b軸は図1
7Aの紙面に垂直であるから、b軸を共通軸として含む
全ての平面Qjは、X線源Sを中心とする極格子を形成
する線として現れる。図17Aにおいては、それらの線
は、平面Q1,Q2,Q3等にそれぞれ対応するA1,
A2,A3等として示される。原点からそれらの各線へ
垂線が延び、各直交線を図示のように場所B1,B2,
B3等と交差させる。付記Aに示されるように、原点か
ら極格子中の線A1,A2,A3等へと垂直な線は、平
面Q1,Q2,Q3等にも垂直である。したがって、平
面Q1,Q2,Q3等における面積分は点B1,B2,
B3等上にラドンデータを構成する。また、各Bjは2
本の直交線(1本が原点0から、1本がX線源Sから)
の交点にあるから、それらの点は直径がOSである円上
にある。
ス2について説明する。この場合には図10でα=π/
2で、回転軸が正規化された検出器面と平行であるか
ら、2本の線LとL′は平行である。図16を参照し
て、Lに垂直である(付記B)OCを通る線に沿う全て
の線が、線LとL′に平行に引かれるとすると、それら
の線は、b軸を共通軸として含む種々の向きにおける平
面の検出器面への投影である。それから、数24に従っ
て、J内の重みづけ関数cosθが、正規化されている
検出器面上の近接している各線対に対して計算されてい
る、量dJ/dβが、隣接する線対へ投射する平面Qj
上の面積分の微分を生ずる。この状況が、b軸の向きの
図を示す図17Aと、ケース2に対する正規化された検
出器面上のデータ点と線を示す図17Bとに示されてい
る。図17Aの紙面はX線源を含む平面c−aである。
付記Bには、原点0もこの平面に含まれる。b軸は図1
7Aの紙面に垂直であるから、b軸を共通軸として含む
全ての平面Qjは、X線源Sを中心とする極格子を形成
する線として現れる。図17Aにおいては、それらの線
は、平面Q1,Q2,Q3等にそれぞれ対応するA1,
A2,A3等として示される。原点からそれらの各線へ
垂線が延び、各直交線を図示のように場所B1,B2,
B3等と交差させる。付記Aに示されるように、原点か
ら極格子中の線A1,A2,A3等へと垂直な線は、平
面Q1,Q2,Q3等にも垂直である。したがって、平
面Q1,Q2,Q3等における面積分は点B1,B2,
B3等上にラドンデータを構成する。また、各Bjは2
本の直交線(1本が原点0から、1本がX線源Sから)
の交点にあるから、それらの点は直径がOSである円上
にある。
【0108】点Bj は図17Aの紙面に全て含まれるか
ら、ラドンデータの円の面はそれに垂直なb軸に垂直で
ある。図17Bに示すように、b軸は線LとL′を含む
検出器面上の1組の平行線に平行であり、円の面は1組
の平行線に直交する。
ら、ラドンデータの円の面はそれに垂直なb軸に垂直で
ある。図17Bに示すように、b軸は線LとL′を含む
検出器面上の1組の平行線に平行であり、円の面は1組
の平行線に直交する。
【0109】図16に示す操作は下記のように要約でき
る。 (1)全平面をカバーする全ての場所において検出器面
上の向きθに平行な線を構成する。 (2)重みづけ関数 cosθを有する量Jをそれらの線に
対して計算する。 (3)微分dj/dβを計算する。 結果として、原点0とX線源Sを含み、検出器面上の1
組の平行線に直交する平面上の、直径が線分OSである
円(図17A)にラドンデータが発生される。この操作
全体のことをここでは角度θにおける移動操作と呼ぶ。
る。 (1)全平面をカバーする全ての場所において検出器面
上の向きθに平行な線を構成する。 (2)重みづけ関数 cosθを有する量Jをそれらの線に
対して計算する。 (3)微分dj/dβを計算する。 結果として、原点0とX線源Sを含み、検出器面上の1
組の平行線に直交する平面上の、直径が線分OSである
円(図17A)にラドンデータが発生される。この操作
全体のことをここでは角度θにおける移動操作と呼ぶ。
【0110】全ラドン殻についてのラドンデータを発生
するために、正規化された検出器面上の全ての角度にお
いて移動操作が行われる。各角度θj に対してラドンデ
ータの円Dj が発生される。ここに、円の面は検出器面
上で角度θj の線に垂直であって、原点0とX線源Sを
含み、円の直径は線分OSである。角度が十分細かくサ
ンプリングされると、発生される1組のラドン円はラド
ン殻全体をカバーするために十分に近い。
するために、正規化された検出器面上の全ての角度にお
いて移動操作が行われる。各角度θj に対してラドンデ
ータの円Dj が発生される。ここに、円の面は検出器面
上で角度θj の線に垂直であって、原点0とX線源Sを
含み、円の直径は線分OSである。角度が十分細かくサ
ンプリングされると、発生される1組のラドン円はラド
ン殻全体をカバーするために十分に近い。
【0111】最後に、図4の同軸垂直平面θj のセット
についてのラドンデータを円錐状ビームデータから発生
するために述べたタスクに取り組むことができる。一般
に、この手順は、以下に下付き文字i,j,kで示す入
れ子式の過程を含む。下付き文字iは種々のX線源位置
Si に対応する。したがって、以後の過程は各X線源位
置Si に対して反復される。下付き文字jはラドン空間
内の1組の平面θj に対応する。それらの平面は任意の
1組の平面とすることができ、それらの平面上で面積分
をとることを希望する。各X線源位置Si に対して対応
するラドン殻が定められる。そのラドン殻においてラド
ンデータを決定できる。平面θj とラドン殻との交差に
よりラドン殻上に1組の円Dijが形成される。特定の各
X線源位置Si に対して下付き文字iは固定されたまま
であり、下付き文字jは変化して1組の円Dijの各円を
示す。
についてのラドンデータを円錐状ビームデータから発生
するために述べたタスクに取り組むことができる。一般
に、この手順は、以下に下付き文字i,j,kで示す入
れ子式の過程を含む。下付き文字iは種々のX線源位置
Si に対応する。したがって、以後の過程は各X線源位
置Si に対して反復される。下付き文字jはラドン空間
内の1組の平面θj に対応する。それらの平面は任意の
1組の平面とすることができ、それらの平面上で面積分
をとることを希望する。各X線源位置Si に対して対応
するラドン殻が定められる。そのラドン殻においてラド
ンデータを決定できる。平面θj とラドン殻との交差に
よりラドン殻上に1組の円Dijが形成される。特定の各
X線源位置Si に対して下付き文字iは固定されたまま
であり、下付き文字jは変化して1組の円Dijの各円を
示す。
【0112】それから、各円Dijに対して、別の各過
程が反復される。とくに、特定のX線源位置のSiを通
って、特定の円Dijと交差し、かつ円Dijの面(お
よび対応する平面θi)に垂直な線として回転軸が定め
られる。各回転軸上で1組の積分面Qijkが定められ
る。積分面Qijkは特定の回転軸と共軸であって、特
定の円Dijと交差して、その特定の積分面Qijkに
対するラドンデータ点Rijkの場所を定める。各特定
のX線源位置Siと円Dijに対して、下付き文字iと
jは固定されたままであるが、下付き文字kは変化して
各積分面Qijkを定める。入れ子式過程(サブのステ
ップ)の全手順は、個々のラドンデータ点Rijkにお
のおの対応する多数の個々の積分面Qijkを含む。
程が反復される。とくに、特定のX線源位置のSiを通
って、特定の円Dijと交差し、かつ円Dijの面(お
よび対応する平面θi)に垂直な線として回転軸が定め
られる。各回転軸上で1組の積分面Qijkが定められ
る。積分面Qijkは特定の回転軸と共軸であって、特
定の円Dijと交差して、その特定の積分面Qijkに
対するラドンデータ点Rijkの場所を定める。各特定
のX線源位置Siと円Dijに対して、下付き文字iと
jは固定されたままであるが、下付き文字kは変化して
各積分面Qijkを定める。入れ子式過程(サブのステ
ップ)の全手順は、個々のラドンデータ点Rijkにお
のおの対応する多数の個々の積分面Qijkを含む。
【0113】全体的な手順を続けて、各多数の積分面Q
ijk はそれぞれの線Lijk 上の正規化された検出器面
(それの向きは特定のX線源位置Si に対応する)と交
差する。それから、正規化された検出器面上の各線L
ijk に対して、対応する積分面Qij k が回転軸を中心と
して小さい回転角だけ回転させられて、対応する線L
ijk′上の正規化された検出器面と交差する平面Q
ijk ′を定める。同様に、線Lij k は線上の点を中心と
して回転させられ(ケース1)、または平行線へ移動さ
せられ(ケース2)て、線Lijk ′と対応する積分面Q
ijk ′を定める。線Lijkが回転させられるか、移動さ
せられるかは、特定のX線源位置に関係する。
ijk はそれぞれの線Lijk 上の正規化された検出器面
(それの向きは特定のX線源位置Si に対応する)と交
差する。それから、正規化された検出器面上の各線L
ijk に対して、対応する積分面Qij k が回転軸を中心と
して小さい回転角だけ回転させられて、対応する線L
ijk′上の正規化された検出器面と交差する平面Q
ijk ′を定める。同様に、線Lij k は線上の点を中心と
して回転させられ(ケース1)、または平行線へ移動さ
せられ(ケース2)て、線Lijk ′と対応する積分面Q
ijk ′を定める。線Lijkが回転させられるか、移動さ
せられるかは、特定のX線源位置に関係する。
【0114】最後に、特定の点Rijkにおけるラドン
データの半径方向微分を決定するために、線Lijkと
Lijk′にそれぞれ沿って積分することにより、重み
づけられた線積分JijkとJijk′が決定され、重
みづけられた線積分の間の差が回転角δβにより除され
る。
データの半径方向微分を決定するために、線Lijkと
Lijk′にそれぞれ沿って積分することにより、重み
づけられた線積分JijkとJijk′が決定され、重
みづけられた線積分の間の差が回転角δβにより除され
る。
【0115】次に、前記特願平3−353068(米国
特許出願第631818号)のラドン逆変換手続きへの
入力として、1組の同軸垂直面についての面積分を生ず
ることを希望するという特殊な状況について考える。図
18Aは、図4と同様に、z軸を共通軸として含む1組
の同軸垂直面φjを示す。この場合には垂直軸は基準の
物体枠内のz軸として取られる。図18Bは一般的な円
錐ビーム走査状況を示すものであって、X線源Sと、原
点0と、X線源位置に発生されたラドン殼とを示す。X
線源位置はz軸上にないから、図18Bは前記ケース1
の例である。図18Cは、特定のX線源位置Siに対す
る図18Aに示す平面φjと、図18Bに示すラドン殼
との交差を示すジオメトリである。それらの交差は個々
の平面φjにおける点のラドン殻上に円を定めることが
わかる。
特許出願第631818号)のラドン逆変換手続きへの
入力として、1組の同軸垂直面についての面積分を生ず
ることを希望するという特殊な状況について考える。図
18Aは、図4と同様に、z軸を共通軸として含む1組
の同軸垂直面φjを示す。この場合には垂直軸は基準の
物体枠内のz軸として取られる。図18Bは一般的な円
錐ビーム走査状況を示すものであって、X線源Sと、原
点0と、X線源位置に発生されたラドン殼とを示す。X
線源位置はz軸上にないから、図18Bは前記ケース1
の例である。図18Cは、特定のX線源位置Siに対す
る図18Aに示す平面φjと、図18Bに示すラドン殼
との交差を示すジオメトリである。それらの交差は個々
の平面φjにおける点のラドン殻上に円を定めることが
わかる。
【0116】図19は、図18Cに示すケース1の状況
における垂直面φj 上で、どのようにしてラドンデータ
を発生するかをとくに示すものであって、複数のX線源
位置Si のおのおのにおいて円錐ビームデータが得られ
る。各X線源位置Si によって、図18B、18C、図
19に示すラドン殻のような対応する球殻すなわちラド
ン殻が生ずる結果となる。また、各X線源位置Si に対
して、X線源位置Siを含み、かつ平面φj に対して垂
直な平面、すなわち、垂直軸に対して直交する水平面内
の対応するラドン殻上に対応する円Gi が定められる。
における垂直面φj 上で、どのようにしてラドンデータ
を発生するかをとくに示すものであって、複数のX線源
位置Si のおのおのにおいて円錐ビームデータが得られ
る。各X線源位置Si によって、図18B、18C、図
19に示すラドン殻のような対応する球殻すなわちラド
ン殻が生ずる結果となる。また、各X線源位置Si に対
して、X線源位置Siを含み、かつ平面φj に対して垂
直な平面、すなわち、垂直軸に対して直交する水平面内
の対応するラドン殻上に対応する円Gi が定められる。
【0117】各X線源位置Si に対して、円Dijと名づ
けることができる円内の特定のX線源位置Si に対応す
るラドン殻と、各垂直平面φj が交差することがわか
る。円Dijは円Dijに対応する点Pijにおける円Gi と
交差する。(いいかえると、特定のX線源位置Si と平
面φj とに対応する点Pijにおける円Gi と平面φj が
交差する。)円Dijは原点0を通り、それの直径は原点
0から点Pijまで延びる線である。とくに、 Gi =X線源位置Si を通る水平面がラドン殻と交差す
る個所の断面円。 Dij=z軸を含む垂直平面φj がラドン殻と交差する個
所の断面円。 Hi =ラドン殻の中心を通る水平赤道面。 原点0は垂直平面φj とラドン殻の両方に含まれるか
ら、交差円Dij上に存在する。対称性から、ラドン殻の
中心を通る水平赤道平面Hi は円Dijを必ず二等分す
る。円Dijは垂直平面φj 上にある。したがって、円D
ijの中心は水平赤道面Hi 上にある。直線OPijを円D
ijの直径とする。点Pijと水平赤道面Hi の間の距離
は、原点0と水平赤道面Hi の間の距離と同じである。
円Gi を含む平面と水平赤道面Hi の間の距離が、原点
0と水平赤道面Hi の間の距離と同じであるから、点P
ijは円Gi 上にあることがわかる。
けることができる円内の特定のX線源位置Si に対応す
るラドン殻と、各垂直平面φj が交差することがわか
る。円Dijは円Dijに対応する点Pijにおける円Gi と
交差する。(いいかえると、特定のX線源位置Si と平
面φj とに対応する点Pijにおける円Gi と平面φj が
交差する。)円Dijは原点0を通り、それの直径は原点
0から点Pijまで延びる線である。とくに、 Gi =X線源位置Si を通る水平面がラドン殻と交差す
る個所の断面円。 Dij=z軸を含む垂直平面φj がラドン殻と交差する個
所の断面円。 Hi =ラドン殻の中心を通る水平赤道面。 原点0は垂直平面φj とラドン殻の両方に含まれるか
ら、交差円Dij上に存在する。対称性から、ラドン殻の
中心を通る水平赤道平面Hi は円Dijを必ず二等分す
る。円Dijは垂直平面φj 上にある。したがって、円D
ijの中心は水平赤道面Hi 上にある。直線OPijを円D
ijの直径とする。点Pijと水平赤道面Hi の間の距離
は、原点0と水平赤道面Hi の間の距離と同じである。
円Gi を含む平面と水平赤道面Hi の間の距離が、原点
0と水平赤道面Hi の間の距離と同じであるから、点P
ijは円Gi 上にあることがわかる。
【0118】各垂直平面φj における面積分を生ずるこ
とが望ましく、かつ、各X線源位置Si に対して対応す
るラドン殻におけるそれらの面積分だけを発生できるか
ら、特定のX線源位置Si の各円Dij上の面積分に対し
て、X線源位置Si は円Giを対応する線Mi として、
正規化された検出器面上へ投射させる。交点Pijは線M
i 上の対応する点Cijへ投射する。
とが望ましく、かつ、各X線源位置Si に対して対応す
るラドン殻におけるそれらの面積分だけを発生できるか
ら、特定のX線源位置Si の各円Dij上の面積分に対し
て、X線源位置Si は円Giを対応する線Mi として、
正規化された検出器面上へ投射させる。交点Pijは線M
i 上の対応する点Cijへ投射する。
【0119】それから、線Mi 上の各点Cijに対して回
転操作が行われる。各点Cijに対する回転操作の結果と
して、特定の点Cijに対応する全円Dij上にラドンデー
タが発生される結果となる。したがって、図19に示す
各円Dijは直径がOPである図14に示す円により表さ
れる。図14における点Pは図19における各交点Pij
を表す。各点Cij に対する回転軸は、特定のX線源位
置Si と、対応する点Pij と、点Cij とを通る線であ
る。特定のX線源位置Si に対応する特定の線Mi上の
全ての点Cij に対して回転操作が行われると、特定の
X線源位置Si に対する全ラドン殻上のラドンデータが
発生され、平面φj 上の円Dijとして編成される。各X
線源位置Si に対して回転操作が反復されると、ラドン
データが希望の垂直平面の全てに満たされる。
転操作が行われる。各点Cijに対する回転操作の結果と
して、特定の点Cijに対応する全円Dij上にラドンデー
タが発生される結果となる。したがって、図19に示す
各円Dijは直径がOPである図14に示す円により表さ
れる。図14における点Pは図19における各交点Pij
を表す。各点Cij に対する回転軸は、特定のX線源位
置Si と、対応する点Pij と、点Cij とを通る線であ
る。特定のX線源位置Si に対応する特定の線Mi上の
全ての点Cij に対して回転操作が行われると、特定の
X線源位置Si に対する全ラドン殻上のラドンデータが
発生され、平面φj 上の円Dijとして編成される。各X
線源位置Si に対して回転操作が反復されると、ラドン
データが希望の垂直平面の全てに満たされる。
【0120】図19における各投射点Cij に対する回
転操作を要約すると、投射点Cij を通る複数の向きに
おける正規化された検出面上で線Lijk が構成される。
それらの線Lijk は、図13、14に示すように、対応
する面積分Qijk の正規化された検出器面上の交差個所
に生ずる。各積分面は、特定のX線源位置Si と、特定
の点Pijと、特定の投射点Cijとを通る線に沿う回転軸
を含む。図14に類似する多数の図を描くことができ
る。各図の紙面は特定の回転軸に対して垂直である。
転操作を要約すると、投射点Cij を通る複数の向きに
おける正規化された検出面上で線Lijk が構成される。
それらの線Lijk は、図13、14に示すように、対応
する面積分Qijk の正規化された検出器面上の交差個所
に生ずる。各積分面は、特定のX線源位置Si と、特定
の点Pijと、特定の投射点Cijとを通る線に沿う回転軸
を含む。図14に類似する多数の図を描くことができ
る。各図の紙面は特定の回転軸に対して垂直である。
【0121】各線Lijkは正規化された検出器面上で
投射点を中心として小さい角度δθだけ回転させられ
て、特定の回転軸を含む平面Qijk′と正規化された
検出器面との交差個所に線Lijk′を形成する。角度
δθから、平面QijkとQijk′の間の回転角δβ
は幾何学により決定される。それから、先に述べたよう
にして線LijkとLijk′に沿って積分することに
より、それぞれの重みづけられた線積分JijkとJ
ijk′が決定される。最後に、重みづけられた線積分
JijkとJijk′の間の差が回転角δβにより除さ
れて、平面Qijkが円Dijと交差する場所である円
Dij上の点におけるラドンデータの半径方向微分を生
ずる。
投射点を中心として小さい角度δθだけ回転させられ
て、特定の回転軸を含む平面Qijk′と正規化された
検出器面との交差個所に線Lijk′を形成する。角度
δθから、平面QijkとQijk′の間の回転角δβ
は幾何学により決定される。それから、先に述べたよう
にして線LijkとLijk′に沿って積分することに
より、それぞれの重みづけられた線積分JijkとJ
ijk′が決定される。最後に、重みづけられた線積分
JijkとJijk′の間の差が回転角δβにより除さ
れて、平面Qijkが円Dijと交差する場所である円
Dij上の点におけるラドンデータの半径方向微分を生
ずる。
【0122】2本の検出器線の間の角度δθが与えられ
ると、2つの積分平面の間の回転角度δβの決定を、い
くつかの幾何学的手順により行うことができる。下の式
はケース1の状況に対する幾何学的に得た式である。
ると、2つの積分平面の間の回転角度δβの決定を、い
くつかの幾何学的手順により行うことができる。下の式
はケース1の状況に対する幾何学的に得た式である。
【0123】
【数32】
【0124】ここに、φj =SDに対する平面φj の方
位角 η =SDの極角 θ =平面φj が正規化された検出器面と交差する場所
における、線Lijk とLijk′の間の角度 である。
位角 η =SDの極角 θ =平面φj が正規化された検出器面と交差する場所
における、線Lijk とLijk′の間の角度 である。
【0125】原点0の真上または真下のz軸上にX線源
位置Si がある時には、上記のケース1の手順を適用で
きない。z軸が原点0の真上または真下にある、という
のは前記ケース2の状況である。
位置Si がある時には、上記のケース1の手順を適用で
きない。z軸が原点0の真上または真下にある、という
のは前記ケース2の状況である。
【0126】次に、X線源位置Si が原点0の真下にあ
る状況を示す図20を参照する。この状況は図16、1
7A、17Bにも示されている。それらの図において
は、各回転軸は、正規化された検出器面に平行にX線源
位置Si を通る。図20において、z軸を共通軸すなわ
ち基準軸として有する各垂直軸φj が、直径がOSi で
ある大円Di 内のラドン殻と交差する。各円Dijは、円
Dijと、それの対応する平面φj とに垂直である積分面
に対する対応する回転軸を有する。
る状況を示す図20を参照する。この状況は図16、1
7A、17Bにも示されている。それらの図において
は、各回転軸は、正規化された検出器面に平行にX線源
位置Si を通る。図20において、z軸を共通軸すなわ
ち基準軸として有する各垂直軸φj が、直径がOSi で
ある大円Di 内のラドン殻と交差する。各円Dijは、円
Dijと、それの対応する平面φj とに垂直である積分面
に対する対応する回転軸を有する。
【0127】ケース2の場合には、各特定の円Dij がX
線源位置Si から、正規化された検出器面上の線Lij *
まで投射される。円Dij は原点0とX線源位置Si を含
むから、線Lij * も正規化された検出器面への平面φj
の投射である。
線源位置Si から、正規化された検出器面上の線Lij *
まで投射される。円Dij は原点0とX線源位置Si を含
むから、線Lij * も正規化された検出器面への平面φj
の投射である。
【0128】円Dij 上でラドンデータを生ずるために、
正規化された検出器面上で線Lij *に垂直な平行線Lijk
が発生される。線Lijk は図16、17Bにおける正
規化された検出器面上の平行線により表され、対応する
積分面Qijk の検出器面における交差個所にある。各対
応する積分面は、特定のX線源位置Si を通り、特定の
円Dij の面に垂直な線に沿う回転軸を含む。
正規化された検出器面上で線Lij *に垂直な平行線Lijk
が発生される。線Lijk は図16、17Bにおける正
規化された検出器面上の平行線により表され、対応する
積分面Qijk の検出器面における交差個所にある。各対
応する積分面は、特定のX線源位置Si を通り、特定の
円Dij の面に垂直な線に沿う回転軸を含む。
【0129】各平行線Lijkは小さい距離だけ移動さ
せられて、特定の回転軸を含む平面Qijk′と正規化
された検出器面との交差個所に線Lijk′を形成す
る。2つの平面QijkとQijk *の間の回転角δβ
は、線LijkとLijk′の間の距離から幾何学によ
り決定される。それから、前記したようにして線L
ijkとLijk′に沿って積分することにより、それ
ぞれの重みづけられた線積分JijkとJijk′が決
定される。最後に、重みづけられた線積分JijkとJ
ijk′の間の差を回転角δβで除して、平面Qijk
が円Dijと交差する場所である、円Dij上の点にお
けるラドンデータの半径方向微分を生ずる。
せられて、特定の回転軸を含む平面Qijk′と正規化
された検出器面との交差個所に線Lijk′を形成す
る。2つの平面QijkとQijk *の間の回転角δβ
は、線LijkとLijk′の間の距離から幾何学によ
り決定される。それから、前記したようにして線L
ijkとLijk′に沿って積分することにより、それ
ぞれの重みづけられた線積分JijkとJijk′が決
定される。最後に、重みづけられた線積分JijkとJ
ijk′の間の差を回転角δβで除して、平面Qijk
が円Dijと交差する場所である、円Dij上の点にお
けるラドンデータの半径方向微分を生ずる。
【0130】2つの積分面の間の回転角δβの決定を、
ケース2の状況に対して幾何学的に得られた下の式によ
り行うことができる。
ケース2の状況に対して幾何学的に得られた下の式によ
り行うことができる。
【0131】
【数33】
【0132】ここに、|SD|=SとDの間の距離、 y = 原点0から線Lijk までの距離、 δy= 移動距離、 である。
【0133】ここで、本発明の実施例において求められ
る計算の数について考えることにする。各視角におい
て、ラドン空間中の1つの点においてデータ(datu
m)を発生するには、検出器面上のデータの線について
計算することを必要とする。その検出面はほぼN個のデ
ータ点を含む。したがって、ラドン殻上の円上にデータ
を発生するためにはほぼN×N=N2回の計算を必要と
する。したがって、ラドン殻をカバーするN個の円上に
データを発生するために必要な計算の数はほぼN×N2
=N3回である。最後に、全部でN個の視角における計
算の総数はN3×N=N4で与えられる。
る計算の数について考えることにする。各視角におい
て、ラドン空間中の1つの点においてデータ(datu
m)を発生するには、検出器面上のデータの線について
計算することを必要とする。その検出面はほぼN個のデ
ータ点を含む。したがって、ラドン殻上の円上にデータ
を発生するためにはほぼN×N=N2回の計算を必要と
する。したがって、ラドン殻をカバーするN個の円上に
データを発生するために必要な計算の数はほぼN×N2
=N3回である。最後に、全部でN個の視角における計
算の総数はN3×N=N4で与えられる。
【0134】同じ評価に達するためのより速いやり方は
次の通りである。ラドン空間内の1つの点においてデー
タを発生するためには、N回の計算を必要とする。ラド
ン空間内にはほぼN3個の点が存在するから、計算の総
数はほぼN3×N=N4回である。付 記 A
次の通りである。ラドン空間内の1つの点においてデー
タを発生するためには、N回の計算を必要とする。ラド
ン空間内にはほぼN3個の点が存在するから、計算の総
数はほぼN3×N=N4回である。付 記 A
【0135】
【数34】
【0136】は、図11において線Uにおいて平面Wと
交差する平面Qに対して垂直である。
交差する平面Qに対して垂直である。
【0137】
【数35】
【0138】であるように2つの平面Q1 とQ2 を定め
る。平面Q1 とQ2 を線Lにおいて交差させる。一般性
を失うことなしに原点を線L上に置く。
る。平面Q1 とQ2 を線Lにおいて交差させる。一般性
を失うことなしに原点を線L上に置く。
【0139】
【数36】
【0140】であるから
【0141】
【数37】
【0142】である。同様にして、
【0143】
【数38】
【0144】であることを示すことができる。
【0145】
【数39】
【0146】を線Lに沿う単位ベクトルとする。
【0147】
【数40】
【0148】したがって、集合
【0149】
【数41】
【0150】は空間の正規直交基底を形成する。また、
平面Q1 は
平面Q1 は
【0151】
【数42】
【0152】によりスパンされ、平面Q2 は
【0153】
【数43】
【0154】によりスパンされる。Pを平面Q1 上の任
意の点とする。そうすると、あるスカラーλ2 とλ3 に
対して
意の点とする。そうすると、あるスカラーλ2 とλ3 に
対して
【0155】
【数44】
【0156】である。
【0157】
【数45】
【0158】を平面Q2 上のPに最も近い平面Q2上の
点である。そうすると
点である。そうすると
【0159】
【数46】
【0160】固定されているPに対して、|PP′|2
はλ1 1=0およびλ1 3 =λ3において最小となる。すな
わち、P ′=λ3n3 は線L上の点である。
はλ1 1=0およびλ1 3 =λ3において最小となる。すな
わち、P ′=λ3n3 は線L上の点である。
【0161】
【数47】
【0162】であるから、PP′は線Lと平面Q2に対
して垂直である。
して垂直である。
【0163】付 記 B ケース2の状況における図20の幾何学の解析:
【0164】
【数48】
【0165】したがってSCはLに対して垂直、
【0166】
【数49】
【0167】Lは(u,v)平面内にある したがってOSはLに垂直で、OSはLに垂直であるか
ら、線SCとOSを含む平面は線Lに垂直である。Lは
b軸に沿うから、この平面はSを通る(c,a)平面で
ある。この平面は点0,S,Cを含む。
ら、線SCとOSを含む平面は線Lに垂直である。Lは
b軸に沿うから、この平面はSを通る(c,a)平面で
ある。この平面は点0,S,Cを含む。
【図1】本発明を具体化する再構成装置へ接続されてい
る3D CTのための円錐状ビーム走査ジオメトリを示
す。
る3D CTのための円錐状ビーム走査ジオメトリを示
す。
【図2】3D CT映像化するためのラドン変換のやり
方を示す線図である。
方を示す線図である。
【図3】与えられた点における物体の3Dラドン変換の
表現である。
表現である。
【図4】その上でラドンデータ(面積分)を決定するよ
うな垂直軸すなわち基準軸をおのおの含むラドン空間内
の1組の同軸平面を示す。
うな垂直軸すなわち基準軸をおのおの含むラドン空間内
の1組の同軸平面を示す。
【図5】基準の物体枠と座標系(A)、基準の正規化さ
れた検出器枠と座標系(B)、およびAとBの座標系の
原点が一致するやり方(C)を示す。
れた検出器枠と座標系(B)、およびAとBの座標系の
原点が一致するやり方(C)を示す。
【図6】積分面と、基準の積分枠と、対応する座標系と
を示す。
を示す。
【図7】物体を通る積分面に対応する円錐状ビームデー
タを示す。
タを示す。
【図8】物体を通る一対の近接している積分面に対応す
る円錐状ビームデータを同様に示す。
る円錐状ビームデータを同様に示す。
【図9】積分面上における幾何学を示す。
【図10】ラドンデータの半径方向微分をX線円錐状ビ
ームデータから計算するために本発明による手順を示
す。
ームデータから計算するために本発明による手順を示
す。
【図11】1つのX線源位置から計算できる平面上のラ
ドンデータを示す。
ドンデータを示す。
【図12】1つのX線源位置から計算できる全てのラド
ンデータを表す球殻すなわちラドン殻を示す。
ンデータを表す球殻すなわちラドン殻を示す。
【図13】あるケースの例として、ある軸を中心とする
回転と名づけられる操作を示す。
回転と名づけられる操作を示す。
【図14】ある軸を中心とする回転により発生されるラ
ドンデータを示す。
ドンデータを示す。
【図15】正規化された検出器面へ投射された線上のあ
らゆる点において回転操作を行うことによるラドンデー
タの発生を示す。
らゆる点において回転操作を行うことによるラドンデー
タの発生を示す。
【図16】別のケースの例として別の軸を中心とする回
転操作を示す。
転操作を示す。
【図17】別の軸を中心とする回転により発生されるラ
ドンデータ(A)、および別の軸を中心とする回転の結
果として生ずる正規化された検出器面上のデータ点と線
(B)を示す。
ドンデータ(A)、および別の軸を中心とする回転の結
果として生ずる正規化された検出器面上のデータ点と線
(B)を示す。
【図18】ラドン空間内の1組の同軸垂直面(A)、特
定のX線円錐状ビーム源の位置にして発生されたラドン
殻(B)、およびAに示す同軸垂直平面とBのラドン殻
との交差(C)を示す。
定のX線円錐状ビーム源の位置にして発生されたラドン
殻(B)、およびAに示す同軸垂直平面とBのラドン殻
との交差(C)を示す。
【図19】図18Cにおけるように垂直平面がラドン殻
と交差する場所の多くの円の1つを詳細に示し、かつ検
出器データから垂直平面上のラドンデータを発生するた
めのあるケースの手順を示す。
と交差する場所の多くの円の1つを詳細に示し、かつ検
出器データから垂直平面上のラドンデータを発生するた
めのあるケースの手順を示す。
【図20】X線源位置が垂直平面の軸上にある時に垂直
平面がラドン殻と交差する場所の円を示し、かつ検出器
データからラドンデータを発生する別のケースの手順を
示す。
平面がラドン殻と交差する場所の円を示し、かつ検出器
データからラドンデータを発生する別のケースの手順を
示す。
【図21】2つの直交平面の間の交差を示す。
22 円錐状ビームX線源 24 2D検出器アレイ 32 データ獲得器 34 プロセッサ 36 円像表示器
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (51)Int.Cl.6 識別記号 庁内整理番号 FI 技術表示箇所 G06T 15/00
Claims (8)
- 【請求項1】 物体の三次元計算機断層撮影映像を生成
する方法であって、 円錐ビームX線源と、このX線源に対応していて、前記
物体を走査して円錐ビーム投射データを得るよう位置さ
せられた、原点を有する正規化された検出器平面とを用
い、前記円錐ビーム投射データは、複数のX線源位置そ
れぞれに対しての前記検出器平面上の二次元データセッ
トとして編成された、物体を通る線積分の形であって、
それらの線積分それぞれを各X線源位置と前記原点とで
定まる線に垂直にとってあり、 各X線源位置Siに対して、ラドン空間内の1組の平面
φjにおける面積分を表す値を決定する過程であって、 当該のX線源位置Siに対応した、ラドンデータを決定
できる球殻であって、当該のX線源位置Siに対応した
平面φjとの交差により1組の円Dijを定める球殻
を、ラドン空間内で定め、 1組の円Dijのそれぞれに対して、 当該のX線源位置Siを通り、円Dijに対してその面
に垂直に交差する線を回転軸に定め、 その回転軸を共通に含んでいる、円Dijの面に交差し
てラドンデータ点Rijkの位置をそれぞれ定める共軸
の1組の積分平面Qijkであって、正規化された検出
平面と対応する第1の線Lijkにて交差する共軸状の
1組の積分平面Qijkを定め、 正規化された検出平面上の第1の線Lijkのそれぞれ
に対して、 対応する積分平面Qijkを微小回転角δβだけ回転さ
せて、正規化された検出器平面に対して第1の
線ijk’にて交差する平面Qijk’を定め、 第1の線Lijkおよび第1の線Lijk’に沿って積
分操作を行い重み付けをした第1の線積分Jijk及び
重み付けをした第1の線積分Jijk’を決定し、 重み付けをした第1の線積分Jijkと重み付けをした
第1の線積分Jijk’との差を、微小回転角δβで除
すことにより、点Rijkでのラドンデータの半径方向
微分を算出し、 ラドン空間内の1組の平面φjにおける面積分を表す値
を決定する過程と、 1組の平面φjにおける面積分を表す値に対して逆ラド
ン変換を行って物体の映像を再構成する過程とを備える
ことを特徴とする円錐ビーム投射データから物体の三次
元計算機断層撮影映像を生成する方法。 - 【請求項2】 請求項1記載の方法であって、前記1組
の平面φjはX線源を通る基準軸を共通に含む共軸の1
組の平面であり、ラドン空間内の1組の平面φjにおけ
る面積分を表す値を決定する過程は、前記基準軸上にな
い各X線源位置Siに対しては、 当該のX線源位置Siを含む平面において、対応する球
殻上にあり平面φjに垂直な円Giであって、平面φj
および円Dijとの交差により円Dijに対応する複数
の点Pijを定める円Giを、ラドン空間内で定め、 対応する円Giの正規化された検出器平面への投射をX
線源Siからの線Miとして行い、点Pijが線Mi上
に対応する投射点Cijとして投射され、正規化された
検出器平面上の投射された点Cijそれぞれに対して、 X線源Siと点Pijおよび投射点Cijを通る回転軸
をおのおの含む積分平面Qijkと正規化された検出器
平面との交差である第2の線Lijkを、投射点を通る
複数の向きに構成し、 正規化された検出器平面上の第2の線Lijkを微小回
転角δθだけ回転させて、前記回転軸を含む平面Q
ijk’と正規化された検出器平面との交差として、第
2の線Lijk’を定め、平面QijkとQijk’と
の間の回転角δβを回転角δθから幾何学的に定め、 第2の線Lijkおよび第2の線Lijk’に沿って積
分操作を行い重み付けをした第2の線積分Jijk及び
重み付けをした第2の線積分Jijk’を決定し、 重み付けをした第2の線積分Jijkと重み付けをした
第2の線積分Jijk’との差を、微小回転角δβで除
すことにより、平面Qijkと交差する円Dij上の点
でのラドンデータの半径方向微分を算出することを特徴
とする方法。 - 【請求項3】 請求項2記載の方法であって、ラドン空
間内の1組の平面φjにおける面積分を表す値を決定す
る過程は、前記基準軸上にある各X線源位置Siに対し
ては、 X線源Siに対応し円ijを定める球殻に交差する平面
φjそれぞれに対して、 対応する円Dijの正規化された検出器平面への投射を
X線源Siからの線Lij *として行い、 線Lij *に垂直な検出器平面上の複数の平行な第3の
線Lijkであって、X線源Siを通り円Dijの面に
垂直な回転軸をおのおの含む積分平面Qijkと正規化
された検出器平面との交差である、複数の平行な第3の
線Lijkを構成し、 平行な第3の線Lijkを微小距離だけ並進させて、前
記回転軸を含む平面Qijk’と正規化された検出器平
面との交差として、第3の線Lijk’を定め、第3の
線LijkとLijk’との間の距離から平面Qijk
とQijk’との間の回転角δβを幾何学的に定め、 第3の線Lijkおよび第3の線Lijk’に沿って積
分操作を行い重み付けをした第3の線積分Jijk及び
重み付けをした第3の線積分Jijk’を決定し、 重み付けをした第3の線積分Jijkと重み付けをした
第3の線積分Jijk’との差を、微小回転角δβで除
すことにより、平面Qijkと交差する円Dij上の点
でのラドンデータの半径方向微分を算出することを特徴
とする方法。 - 【請求項4】 請求項1記載の方法であって、前記1組
の平面φjはX線源を通る基準軸を共通に含む共軸の1
組の平面であり、ラドン空間内の1組の平面φjにおけ
る面積分を表す値を決定する過程は、前記基準軸上にな
い各X線源位置Siに対して、 X線源Siに対応し円Dijを定める球殻に交差する平
面φjそれぞれに対して、 対応する円Dijの正規化された検出器平面への投射を
X線源Siからの線Lij *として行い、 線Lij *に垂直な検出器平面上の複数の平行な第2の
線Lijkであって、X線源Siを通り円Dijの面に
垂直な回転軸をおのおの含む積分平面Qijkと正規化
された検出器平面との交差である、複数の平行な第2の
線Lijkを構成し、 平行な第2の線Lijkを微小距離だけ並進させて、前
記回転軸を含む平面Qijk’と正規化された検出器平
面との交差として、第2の線Lijk’を定め、第2の
線LijkとLijk’との間の距離から平面Qijk
とQijk’との間の回転角δβを幾何学的に定め、 第2の線Lijkおよび第2の線Lijk’に沿って積
分操作を行い重み付けをした第2の線積分Jijk及び
重み付けをした第2の線積分Jijk’を決定し、 重み付けをした第2の線積分Jijkと重み付けをした
第2の線積分Jijk’との差を、微小回転角δβで除
すことにより、平面Qijkと交差する円Dij上の点
でのラドンデータの半径方向微分を算出することを特徴
とする方法。 - 【請求項5】 物体の三次元計算機断層撮影映像を生成
する装置であって、円錐ビームX線源と、このX線源に
対応していて原点を有する正規化された検出器平面とを
備え、X線源と正規化された検出器平面とは、前記物体
を走査して円錐ビーム投射データを得るよう構成され、
前記円錐ビーム投射データは、複数のX線源位置それぞ
れに対しての前記検出器平面上の二次元データセットと
して編成された、物体を通る線積分の形であって、それ
らの線積分それぞれが各X線源位置と前記原点とで定ま
る線に垂直にとられており、 各X線源位置Siに対して、ラドン空間内の1組の平面
φjにおける面積分を表す値を決定する手段であって、 当該のX線源位置Siに対応した、ラドンデータを決定
できる球殻であって、当該のX線源位置Siに対応した
平面φjとの交差により1組の円Dijを定める球殻
を、ラドン空間内で定める副手段と、 1組の円Dijのそれぞれに対して、 当該のX線源位置Siを通り、円Dijに対してその面
に垂直に交差する線を回転軸に定める副手段と、 その回転軸を含んでいて、円Dijの面に交差してラド
ンデータ点Rijkの位置をそれぞれ定める共軸状の1
組の積分平面Qijkであって、正規化された検出平面
と対応する第1の線Lijkにて交差する共軸状の1組
の積分平面Qijkを定める副手段と、 正規化された検出平面上の第1の線Lijkのそれぞれ
に対して、 対応する積分平面Qijkを微小回転角δβだけ回転さ
せて、正規化された検出器平面に対して第1の線L
ijk’にて交差する平面Qijk’を定める副手段
と、第1の線Lijkおよび第1の線Lijk’に沿っ
て積分操作を行い重み付けをした第1の線積分Jijk
及び重み付けをした第1の線積分Jijk’を決定する
副手段と、 重み付けをした第1の線積分Jijkと重み付けをした
第1の線積分Jijk’との差を、微小回転角δβで除
すことにより、点Rijkでのラドンデータの半径方向
微分を算出する副手段と を含む、ラドン空間内の1組の平面φjにおける面積分
を表す値を決定する手段と、1組の平面φjにおける面
積分を表す値に対して逆ラドン変換を行って物体の映像
を再構成する手段とを備えることを特徴とする円錐ビー
ム投射データから物体の三次元計算機断層撮影映像を生
成する装置。 - 【請求項6】 請求項1記載の装置であって、前記1組
の平面φjはX線源を通る基準軸を共通に含む共軸の1
組の平面であり、ラドン空間内の1組の平面φjにおけ
る面積分を表す値を決定する手段は、前記基準軸上にな
い各X線源位置Siに対して、 当該のX線源位置Siを含む平面において、対応する球
殻上にあり平面φjに垂直な円Giであって、平面φj
および円Dijとの交差により円Dijに対応する複数
の点Pijを定める円Giを、ラドン空間内で定める手
段と、 対応する円Giの正規化された検出器平面への投射をX
線源Siからの線Miとして行い、点Pijが線Mi上
に対応する投射点Cijとして投射されるよう投射を行
う手段と、 正規化された検出器平面上の投射された点Cijそれぞ
れに対して、 X線源Siと点Pijおよび投射点Cijを通る回転軸
をおのおの含む積分平面Qijkと正規化された検出器
平面との交差である第2の線Lijkを、投射点を通る
複数の向きに構成する手段と、 正規化された検出器平面上の第2の線Lijkを微小回
転角δθだけ回転させて、前記回転軸を含む平面Q
ijk’と正規化された検出器平面との交差として、第
2の線Lijk’を定め、平面QijkとQijk’と
の間の回転角δβを回転角δθから幾何学的に定める手
段と、 第2の線Lijkおよび第2の線Lijk’に沿って積
分操作を行い重み付けをした第2の線積分Jijk及び
重み付けをした第2の線積分Jijk’を決定する手段
と、 重み付けをした第2の線積分Jijkと重み付けをした
第2の線積分Jijk’との差を、微小回転角δβで除
すことにより、平面Qijkと交差する円Dij上の点
でのラドンデータの半径方向微分を算出する手段とを備
えることを特徴とする装置。 - 【請求項7】 請求項6記載の装置であって、ラドン空
間内の1組の平面φjにおける面積分を表す値を決定す
る過程は、前記基準軸上にある各X線源位置Siに対し
て、 X線源Siに対応し円Dijを定める球殻に交差する平
面φjそれぞれに対して、 対応する円Dijの正規化された検出器平面への投射を
X線源Siからの線Lij *として行う手段と、 線Lij *に垂直な検出器平面上の複数の平行な第3の
線Lijkであって、X線源Siを通り円Dijの面に
垂直な回転軸をおのおの含む積分平面Qijkと正規化
された検出器平面との交差である、複数の平行な第3の
線Lijkを構成する手段と、 平行な第3の線Lijkを微小距離だけ並進させて、前
記回転軸を含む平面Qijk’と正規化された検出器平
面との交差として、第3の線Lijk’を定め、第3の
線LijkとLijk’との間の距離から平面Qijk
とQijk’との間の回転角δβを幾何学的に定める手
段と、 第3の線Lijkおよび第3の線Lijk’に沿って積
分操作を行い重み付けをした第3の線積分Jijk及び
重み付けをした第3の線積分Jijk’を決定する手段
と、 重み付けをした第3の線積分Jijkと重み付けをした
第3の線積分Jijk’との差を、微小回転角δβで除
すことにより、平面Qijkと交差する円Dij上の点
でのラドンデータの半径方向微分を算出する手段とを備
えることを特徴とする装置。 - 【請求項8】 請求項5記載の装置であって、前記1組
の平面φjはX線源を通る基準軸を共通に含む共軸の1
組の平面であり、ラドン空間内の1組の平面φjにおけ
る面積分を表す値を決定する手段は、前記基準軸上にな
い各X線源位置Siに対して、 X線源Siに対応し円Dijを定める球殻に交差する平
面φjそれぞれに対して、 対応する円Dijの正規化された検出器平面への投射を
X線源Siからの線Lij *として行う手段と、 線Lij *に垂直な検出器平面上の複数の平行な第2の
線Lijkであって、X線源Siを通り円Dijの面に
垂直な回転軸をおのおの含む積分平面Qijkと正規化
された検出器平面との交差である、複数の平行な第2の
線Lijkを構成する手段と、 平行な第2の線Lijkを微小距離だけ並進させて、前
記回転軸を含む平面Qijk’と正規化された検出器平
面との交差として、第2の線Lijk’を定め、第2の
線LijkとLijk’との間の距離から平面Qijk
とQijk’との間の回転角δβを幾何学的に定める手
段と、 第2の線Lijkおよび第2の線Lijk’に沿って積
分操作を行い重み付けをした第2の線積分Jijk及び
重み付けをした第2の線積分Jijk’を決定する手段
と、 重み付けをした第2の線積分Jijkと重み付けをした
第2の線積分Jijk’との差を、微小回転角δβで除
すことにより、平面Qijkと交差する円Dij上の点
でのラドンデータの半径方向微分を算出する手段とを備
えることを特徴とする装置。
Applications Claiming Priority (2)
Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
---|---|---|---|
US631,815 | 1990-12-21 | ||
US07/631,815 US5257183A (en) | 1990-12-21 | 1990-12-21 | Method and apparatus for converting cone beam X-ray projection data to planar integral and reconstructing a three-dimensional computerized tomography (CT) image of an object |
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Publication Number | Publication Date |
---|---|
JPH0628454A JPH0628454A (ja) | 1994-02-04 |
JPH07120411B2 true JPH07120411B2 (ja) | 1995-12-20 |
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---|---|---|---|
JP3348602A Expired - Fee Related JPH07120411B2 (ja) | 1990-12-21 | 1991-12-06 | 円錐ビーム投射データから物体の三次元計算機断層撮影映像を生成する方法および装置 |
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---|---|
US (1) | US5257183A (ja) |
EP (1) | EP0492895B1 (ja) |
JP (1) | JPH07120411B2 (ja) |
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US6219441B1 (en) * | 1993-06-22 | 2001-04-17 | General Electric Company | Reconstruction of images from three-dimensional cone beam data |
US5446776A (en) * | 1993-08-02 | 1995-08-29 | General Electric Company | Tomography with generation of radon data on polar grid points |
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US5461650A (en) * | 1993-10-18 | 1995-10-24 | General Electric Company | Method and system for pre-processing cone beam data for reconstructing free of interpolation-induced artifacts a three dimensional computerized tomography image |
US5463666A (en) * | 1993-11-12 | 1995-10-31 | General Electric Company | Helical and circle scan region of interest computerized tomography |
US5390111A (en) * | 1993-11-12 | 1995-02-14 | General Electric Company | Method and system for processing cone beam data for reconstructing free of boundary-induced artifacts a three dimensional computerized tomography image |
US5461651A (en) * | 1993-11-17 | 1995-10-24 | General Electric Company | Reconstruction of images in cone beam scanning with rectangular detector elements |
US5400255A (en) * | 1994-02-14 | 1995-03-21 | General Electric Company | Reconstruction of images from cone beam data |
US5465283A (en) * | 1994-06-06 | 1995-11-07 | General Electric Company | Method and apparatus for generating radon derivative data on a near uniformly space grid in a cone beam computerized tomography implementation |
CA2156141A1 (en) * | 1994-09-28 | 1996-03-29 | Kaveh Azar | Interactive scanning device or system |
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