CN1254676C - 由锥形束投影数据再现物体三维ct图象的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了经逆拉冬变换再现三维CT图象用的、将X射线锥形束数据(通过物体的线积分)变换成拉冬数据(平分积分)的方法。各平面积分的径向导数，是经沿归一化检测器平面上的一对直线中的每一条进行积分以求出加权的线积分来求的，这对直线被定义为共用一条旋转轴且彼此相对转动δβ角的一对相应积分平面与归一化检测器平面的交线，再将此加权线积分间的差值除以转角δβ。此法可将锥形束数据变换为表示拉冬空间中在任何一组平面上的平面积分值，例如一组共轴垂直平面。

Description

由锥形束投影数据再现物体 三维CT图象的方法

本申请是1991年12月20日提交的发明名称为“由锥形束投影数据再现物体三维CT图象的方法和装置”中国专利申请91111691.5的分案申请。

在此公开及请求保护的本发明，涉及的是以下共同指定的专利申请主题，因而这些专利申请全部的公开，在此合并引作参考：

并此同时由Kwok C.Tam提交的申请号为 91111689.3，发明名称为“由锥形束投影数据或由平面积分再现物体三维CT图象用的平行处理方法和装置”的专利申请[RD-19564]，以及

并此同时由Kwok C.Tam提出的申请号为 91111690.7，发明名称为“由不完全锥形束投影数据再现物体三维CT图象用的方法和装置”[RD-19695]的专利申请。

技术领域

本发明总地涉及三维计算机X射线断层摄影术(CT)，更确切地说，涉及将X射线锥形束数据变换为平面积分，通过逆拉冬变换(inverse Radontransformation)再现三维图象用的方法和装置。

背景技术

在传统的既为医学且为工业应用的CT中，采用的是扇形束的X射线和线性列阵的检测器。所获得的是二维成象。当数据组分完整的，而且象质也相当高时，只有物体的单一切片(Slice)能被同时成象。在需要三维图象时，采用的是“切片堆叠”的方法。同时取得三维数据组的二维切片，本来就是缓慢而费时的。此外，在医学应用中，由于相邻的切片无法同时成象，所以会产生移动的赝象。而且，由于切片之间的距离通常都比X射线准直器的孔径小，所以能利用的辐射剂量要比最佳剂量低，其结果是使身体的许多部位要被双重照射。

比较更新一些的基于所谓的锥形束几何结构基础上的方法，所采用的是二维列阵的检测器来替代线性列阵的检测器，以及锥形束的X射线源来替代扇形束的X射线源。整个物体随时都被锥形束的X射线源照射，因而锥形束扫描要比使用扇形束或平行束进行一个切片一个切片地扫描要快得多。而且，由于物体上的每个“点”是靠X射线以三维而不是二维的方式进行观察的，故所达到的对比度要比使用传统的二维X射线CT可能达到的高得多。为了获得锥形束投影数据，最好对物体在360°的角度范围内进行扫描，或者通过让X射线源在适当的扫描轨道(例如围绕该物体的圆形轨道上)上运动，同时保持此二维列阵检测器参照此X射线源固定不动；或者通过转动该物体，同时让X射线源和检测器保持不动。在两种情况下，都是靠X射线源和物体之间的相对运动来实现扫描的。

大多数X射线CT中的图象再现过程，都是基于拉冬的逆变换(inversion)过程基础上的，其中的物体图象是由物体的拉冬变换总额再现的。二维物体的拉冬变换，是由贯穿该物体的各条线上物体密度的积分构成的。三维物体的拉冬变换，是由平面积分构成的。然而锥形束数据是不能和通过逆拉冬变换再现图象直接兼容的，它需要使用物体的平面积分作为输入。所以，通过逆变换由锥形束扫描数据再现出图象，一般要包括两个步骤，即(1)将锥形束数据变换为平面积分，以及(2)在平面积分上完成逆拉冬变换，以获得图象。本发明主要致力于用来将X射线锥形束数据变换成对于拉冬空间内的一组适宜平面的平面积分或代表平面积分值的有效方法和装置。上述联案申请91111689.3[RD-19564]公开了用于完成逆拉冬变换的两步法，首先从对于拉冬空间中的一组共轴的垂直平面的平面积分开始。因而，在此公开的本发明，可被利用来将X射线维形束数据变换成能代表对于拉冬空间中的一组共轴的垂直平面的平面积分的值，而且申请号为 91111689.3[RD-19564]的发明，可被利用来完成三维图象再现的逆拉冬变换部分。

一种用来将锥形束数据变换成平面积分的方法，已被公开在Gerald N.Minerbo的“由锥形束投影数据进行卷积再现”一文中，参见IEEE Trans.Nucl.Sci.，NS-26卷，No.2，第2682～2684页(1979.4)。然而遗憾的是，如在L.A.Feldkamp.L.C.Davis以及J.W.Kress的“实际锥形束算法”一文中(参见J.Opt.Soc.Am.A.，1卷，No.6，第612-619页，1984，6)讨论过的那样，Minerbo的求导包含有不容易矫正的误差，而且提供的结果不能成立。

在Bruce D.Smith的“由锥形束投影进行图象再现：必要和充分的条件以及再现方法”一文中(参见IEEE Trans.Med.Imag.，MI-44卷，第1425页，1985，3)，公开了一种以锥角形(Horn)影响函数由锥形束数据变换成平面积分的一维卷积的方法。由于该卷积是把所有平面上的平面积分混合在一起，所以对卷积结果中一点的计算，对应在一个视角度下，需要有检测器上的所有数据。因此，计算方面的任务是非常紧张的。

在P.Grangeat的“通过从锥形几何结构的X射线摄影中再现三维成象系统的分析”(“Analyse d′un System D-Imagerie 3D par Reconstruction a partir deRadiographiex X en Geometrie conique”)一文中，参见其在国际电讯学院的博士论文(I-Ecole Natinale Superieure des Telecommunications)，法国(1987)，公开了用来从锥形束数据计算平面积分的导数方面的技术。然而计算出来的数据点存在于拉冬空间内球壳的一组大圆上。这些大圆通常并不落在拉冬空间中任何随意的一组平面上，而且也不落在拉冬空间中一组共轴的垂直平面上。因而它们不适于作为逆拉冬变换的输入。为取得有关被用在逆拉冬变换中的垂直平面的数据，还要求在三维内插方面作广泛的工作，而且内插会把误差引入数据中。

发明内容

因此，本发明的目的在于提供一种方法和装置，用来将X射线锥形束数据变换为代表对于拉冬空间中任何随意一组平面的平面积分值，以便通过逆拉冬变换再现出三维图象。

本发明更加明确的目的，是提供一种方法和装置，用来将X射线锥形束数据变换为能代表对于拉冬空间中一组共轴的平面的平面积分值，以便通过逆拉冬变换再现出三维图象。

本发明的另一个目的是提供一种方法和装置，对于每一个视角，与已有技术中的方法要求检测器的全部数据相比，在检测器上仅有两条小间隔的数据线用来计算代表平面积分的值。

本发明的再一个目的是提供一种方法和装置，它是精确的而且并不需要内插，能够将X射线锥形束数据变换成能代表拉冬空间中对于一组共轴平面的平面积分值，或者变换成能代表拉冬空间中对于任何随意一组平面的平面积分值，以便通过逆拉冬变换再现出三维图象。

本发明最后一个目的是提供一种方法和装置，在将X射线锥形束数据变换成能代表拉冬空间中对于一组共轴的平面或者任何随意的一组平面的平面积分值，以通过逆拉冬变换再现出三维图象时，它能将所需要的计算量减至最少。

根据本发明提供的由锥形束投影数据再现出物体三维图象的方法，其中的锥形束投影数据，是以穿过物体的直线积分形式，对于多个X射线源位置S_i中的每一个位置编制成归一化检测器平面上的二维数据组，此归一化检测器平面则包含有原点并垂直于由每一特定的源位置S_i至该原点的直线。此方法包括两个总体步骤，即先确定能代表拉冬空间中对于一组平面φ_j的平面积分的值，然后对这些能代表对这组平面φ_j的平面积分的值完成逆拉冬变换，以再现出物体的图象。在更具体的实施例中，此平面φ_j包括含有与原点相交的参考轴的一组共轴的平面。

本发明的一个重要方面是要求出拉冬空间中在特定点处的平面积分值或者拉冬数据(实际上是拉冬数据的径向导数)，即通过沿归一化检测器平面上的一对直线中的每一条进行积分以求出加权的线积分，这对直线被定义为共用一根旋转轴并且彼此之间相对转动δβ角的一对相应的积分平面与此归一化检测器平面的交线，然后将此加权的线积分之间的差值除以该转角δβ。

更确切地说，确定代表对拉冬空间中一组平面φ_j上的平面积分值的步骤，包括对于每一种X射线源位置S_i的如下嵌套(nested)步骤：

在拉冬空间中确定相应的球壳，球壳上的拉冬数据可被求出，确定平面φ_j与对应于特定X射线源位置S_i的球壳的交线，并在该球壳上确定一组圆D_ij，而且，对于这组圆D_ij中的每个圆来说：

将旋转轴定义为，经过此特定的X射线源位置S_i而与此特定圆D_ij相交，且与此特定圆D_ij的平面正交的一条直线；

确定一组共轴的积分平面Q_ijk，此积分平面Q_ijk中的每一个都包含此特定的旋转轴，并且与此特定的圆D_ij相交以确定拉冬数据点R_ijk的位置，而且此积分平面Q_ijk在相应的线L_ijk上与归一化检测器平面相交，而且，对于此归一化检测器平面上的每条线L_ijk来说：

将相应的积分平面Q_ijk转动一个小角度δβ，确定在相应的直线L_ijk′与此归一化检测器平面相交的平面Q_ijk′；

沿着直线L_ijk和L_ijk′进行积分，以求出相应的加权的线积分J_ijk和J_ijk′，并且

将此加权的线积分J_ijk和J_ijk′之差除以旋转角δβ，以得出在特定点R_ijk处拉冬数据的径向导数。

与此类似，根据本发明的用于从锥形束投影数据再现物体三维图象的装置，包括如可编程序的计算机装置，用来利用上面概括出来的方法，求出能代表在拉冬空间中一组平面φ_j的平面积分的数值的装置；以及如在申请号为91111689.3[RD-19564]中公开的处理装置，用来在表示对于一组平面φ_j的平面积分的数值上完成逆拉冬变换，以便再现物体的图象。

在更具体的实施例中，平面φ_j包括含有与原点相交的参考轴的一组共轴的平面，确定代表对于这组平面φ_j的平面积分值的步骤，最好包括对于不在参考轴上的每一个源位置S_i的嵌套步骤：

在拉冬空间中对应的球壳上，在包含此特定的源位置S_i并垂直于平面φ_j的平面内，确定出相应的圆G_i，确定此平面φ_j和圆D_ij与该特定圆G_i的交点，并在此圆G_i上确定与圆D_ij对应的多个点P_ij；

将相应的圆G_i，由特定的源位置S_i在归一化的检测器平面上投影为一条直线M_i；将P_ij点投影至直线M_i上的对应点C_ij，并且，对于归一化检测器平面内的每个投影点C_ij：

在此归一化检测平面内经过此被投影的点以多种取向作出一些线L_ijk，这些线L_ijk，也就是沿着一条通过此特定的X射线源位置S_i、特定的点P_ij以及特定的被投影点C_ij的直线的相应积分平面Q_ijk(其中每个积分平面Q_ijk都包含旋转轴)在归一化检测平面上的交线；

在此归一化检测平面内，将这些线L_ijk中的每一条绕着该投影点C_ij转动一个小角度δθ，以确定线L_ijk′，此线L_ijk′就是包含此特定旋转轴的平面Q_ijk′与归一化检测平面的交线，并且可根据几何关系从角度δθ求出平面Q_ijk和Q_ijk′之间的转角δβ；

沿着直线L_ijk和L_ijk′进行积分，以求出相应的加权的线积分J_ijk和J_ijk′，并且

将此加权的线积分J_ijk和J_ijk′之差除以转角δβ，以便在圆D_ij上得出平面Q_ijk与该圆D_ij交点处拉冬数据的径向导数。

在更加具体的实施例中，平面φ_j包括含有与原点相交的参考轴的一组共轴的平面，确定代表对于这组平面φ_j的平面积分值的步骤，包括对于参考轴上的每一种X射线源位置S_i的嵌套步骤：

对于每一个同对应于此特定X射线源位置S_i的球壳相交的平面φ_j，确定一个特定的圆D_ij；

将此特定的圆D_ij从特定的X射线源位置S_i投影到归一化检测器平面内的线L_ij*上；

在归一化检测平面内作一些与此直线L_ij*垂直的平行线L_ijk，这些平行线L_ijk，也就是沿着一条通过此特定的X射线源位置S_i并正交于此特定圆D_ij平面的直线的相应积分平面Q_ijk(其中每个积分平面Q_ijk都包含旋转轴)在归一化检测器平面上的交线；

将上述平行线L_ijk中的每一条平移一小段距离，以确定直线L_ijk′，此线L_ijk′就是包含此特定旋转轴的平面Q_ijk′与归一化检测器平面的交线，并且可根据几何关系从线L_ijk与L_ijk′之间的距离求出平面Q_ijk和Q_ijk′之间的转角δβ；

沿着直线L_ijk和L_ijk′进行积分，以求出相应加权的线积分J_ijk和J_ijk，并且

将此加权的线积J_ijk和J_ijk′之差除以转角δβ，以便在圆D_ij上得出平面Q_ijk与该圆D_ij相交处拉冬数据的径向导数。

附图说明

本发明的新特点在所附的权利要求书中具体提出，本发明的构成方式和内容，从以下结合附图所作的详细描述中将会更好地熟悉和理解，其中

图1描绘用于三维CT的锥形束扫描几何图形与实施本发明的再现装置连接的情形；

图2a、2b、2c、2d、2e和2f为描绘拉冬变换法进行三维CT成象的图解；

图3为在给定点处物体的三维拉冬变换表示；

图4表示拉冬空间内的一组共轴的平面φ_j，其中每个平面都包含一条垂直轴或参考轴，在这些轴上可求出拉冬数据(平面积分)；

图5A为物体的参照系和坐标系；

图5B为归一化检测器参照系和坐标系；

图5C表示图5A和5B的坐标系原点相重合的方式；

图6表示积分平面、积分参照系和对应的坐标系；

图7表示与经过物体的积分平面对应的锥形束数据；

图8与其类似，表示与经过物体的一对相隔很小的相邻积分平面对应的锥形束数据；

图9表示积分平面上的几何关系；

图10表示根据本发明的由X射线锥形束数据计算拉冬数据的径向导数的方法；

图11表示可从一个X射线源位置上计算出来的平面上的拉冬数据；

图12描绘一个能代表从一个源位置上计算出来的所有拉冬数据的球壳或拉冬球壳；

图13表示如情况之1实例称作绕a轴旋转的操作；

图14表示通过绕a轴旋转产生的拉冬数据；

图15表示在投影至归一化检测器平面的一条直线上的每一点，通过完成旋转操作产生拉冬数据的情况；

图16表示如情况之2实例的绕b轴的旋转操作；

图17A表示通过绕b轴旋转产生拉冬数据的情况；

图17B表示由绕b轴旋转而在归一化检测器平面内产生数据点及数据线的情况；

图18A用线标示图4，表示拉冬空间内一组共轴的垂直平面；

图18B表示对于特定的锥形束X射线源位置产生的拉冬球壳；

图18C表示图18A的共轴垂直平面与图18B的拉冬球壳相交；

图19详细表示如图18C中垂直平面与拉冬球壳相交处的许多圆中之一，并且说明在垂直平面内由检测数据产生拉冬数据的情况之1的方法；

图20表示当源位置S处在垂直平面的转轴上时，垂直平面与拉冬球壳相交处的一些圆，并且说明由检测器数据产生拉冬数据的情况之2的方法。

图21表示两垂直平面间的相交。

具体实施方式

首先参见图1，这是一种典型的采用锥形束几何构形的扫描及获得数据结构，与实施本发明的再现装置连接在一起。物体20位于锥形束X射线点状辐射源22和二维检测器列阵24之间的视场中，能够提供出锥形束的投影数据。旋转轴26则穿过该视场和物体20。中平面28可被定义为包含此X射线点源22并垂直于旋转轴26的平面。按照惯例，旋转轴26被称之为Z轴，旋转轴26与中平面28的交点取作坐标原点。如图所示，X和Y轴位于中平面28内。为了从多种X射线源位置S_i上对物体20进行扫描，X射线源22应沿着适当的扫描轨道30相对此物体20及视场运动，同时让检测器24相对此X射线源22保持固定。在图1中，为解释方便起见，扫描轨道30被表示为位于中平面28内的圆形扫描轨道30，然而其它的扫描轨道也可以采用，而且正如在下文中概括讨论的，事实上是更可取的。

检测器列阵24连在数据获得系统(DAS)32上。在工作时，穿透物体的X射线光子被X射线检测器列阵24检测，并被数据获得系统(DAS)32记录。通过光子计数，在由空气信号归一化并变换为负对数(negative of the logarithms)之后，就能表示经过物体20的线积分。因此，这些数据是靠X射线源22和检测器24沿扫描轨道30进行扫描(或者等效于让该物体20旋转，而X射线源22和检测器24保持固定)，在绕物体20的许多X射线源位置S_i上获得的。

然而应当指出的是，按照这种单一扫描采集到的数据组(集)是不完整的，而且可能容许也可能不能容许的赝象会因而导入再现中，这取决于具体的应用。Smith在上述1985年的文章中曾经指出，如果在穿过研究中的物体的每一平面上都存在来自该X射线源扫描轨道的点(假定检测器相对于X射线源锁定，并且大到足以跨越被检查的物体)，那么锥形束数据组就是完整的。由Minerbo在上述1979年的文章中以及由Heang K.Tuy在“用于锥形束再现的反演公式”(参见SIAM J.Math.，43卷，No.3，第546-552页，1983，6)的文章中提出的构形(Smith指出能满足其数据完整性条件的)，采用的是彼此垂直的两个圆形的X射线源扫描轨道。另外一种能获得数据完整性的扫描构形，被公开在共同指定的美国专利申请No.07/572,651中，是1990.8.27由Eberhard等人提交的，名称为“三锥CT中为数据完整性用的方波锥形束扫描轨道”。另一个办法是，替代这种获得完整的锥形束X射线数据组，可以采用上面联案申请的申请号为91111690.7[RD-19695]的发明，采用光学方式获取物体的边界信息，以对逆拉冬变换过程中失去的数据进行迭代校正。

数据获得系统32是接在具有代表性的处理机34上的，后者被用来再现物体20的三维图象，即根据本发明从通过该物体20的线积分中，计算出对于一组平面的平面积分，并在此平面积分上完成逆拉冬变换，以便再现出物体20的三维图象。适合的图象显示器36接在该具有代表性的处理机34上面，用作输出装置。

现在参见图2a至2f以及图3，概括表示的是拉冬变换进行三维成象的方法。

具体说来，物体本身是以其X射线衰减系数f(x，y，z)定义的(图2a)。测得的锥形束投影数据，于是就对应于该函数在辐射方向上的线积分X(θ)＝∫f(r，θ，z₀)dr(图2b)。检测器数据的线性积分(又称为检测器积分)，是由∫X(θ)dθ＝∫∫f(r，θ，z₀)dr d_θ给出来的(图2c)。在平行束的情况下，这些检测器积分简单地等于物体的拉冬变换。然而在锥形束的情况下，拉冬变换代之以下式∫∫f(r，θ，z₀)r dr d_θ给出(图2d)。拉冬变换积分中的附加因子r，是由于从笛卡尔坐标变换为极坐标的坐标变换雅可比行列式产生的。如在图2e及2f中表示的那样，逆拉冬变换过程能从检测器积分中再现出三维CT图象。由于直接的逆拉冬变换要求以物体的平面积分作为输入，所以将线积分(锥形束检测器积分)变换成平面积分(拉冬数据)的预备步骤便成为必须，本发明正是指向于此。

如在图3中表示的那样，在点X₀，Y₀，Z₀处物体的三维拉冬变换，是由X射线衰减系数在通过该点X₀，Y₀，Z₀的平面(即垂直于原点至该点X₀，Y₀，Z₀的直线的平面)上的面积分给出的，并可表示为

      R(X₀，Y₀，Z₀)＝∫∫f(x，y，z)da          (1)

                     平面

对于二维拉冬变换来说，除了积分是对于线而不是对于面之外情况是类似的。

此平面积分还可表示为

$R(s,\hat{n})={\∫d}^3\mathrm{r\δ}(s-\underset{\‾}{r}\·\hat{n})f\left(\underset{\‾}{r}\right)----\left(2\right)$

其中 $\hat{n}=(\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ},\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ},\cos \mathrm{\φ})$ 是表征该平面法线的方向向量；S为该平面离原点的距离；而且f(r)为三维物体。

总之，

表示物体在法线为

距原点距离为S的平面上的积分密度。此平面积分 又被引作拉冬数据。

靠逆拉冬变换，可从其平面积分R再现出三维物体f(r)；逆拉冬变换可被表示为

$f\left(\underset{\‾}{r}\right)=\frac{-1}{8{\mathrm{\π}}^2}\∫\∫\∫\mathrm{d\φd}\left(\cos \mathrm{\θ}\right)\mathrm{ds}\frac{{\∂}^2}{\∂s^2}R(s,\hat{n})\mathrm{\δ}(s-\underset{\‾}{r}\·\hat{n})----\left(3\right)$

如在上述联案申请的申请号为 91111689.3[RD-19564]的申请中详细描述的那样，方程式(3)中表示的逆拉冬变换，可以通过两步过程来实现。步骤1，包括在拉冬空间中每一个都包含Z轴的许多垂直平面φ_j内的二维CT图象再现。步骤2，包括在许多水平平面内的二维CT图象再现。

因此，如在图4中表示的那样，所谓需要作为逆拉冬变换输入的，是在拉冬空间中包含参考轴的许多平面φ_j上求出和构成的平面积分，例如在包含垂直参考轴或Z轴48的垂直平面40，42，44和46上的平面积分。

在此详细描述的方法和装置，用于将X射线锥形束数据，变换为在一组共轴的垂直平面φ_j上或在任何随意的一组平面上的平面积分，以作为逆拉冬变换输入。

参见图5A、5B及5C，我们首先规定在此进行分析中使用的参照系及其相关联的坐标系。(应当指出的是，在详细讨论的下文中，参照系及坐标系不同于以图1的典型扫描构形表示的广义坐标系。)具体说来，图5A表示物体的参照系，是相对该物体20固定的。在此参照系中随意一点的空间位置，可被表示为(X，Y，Z)三个一组。方程式(2)和(3)中变量，就是物体参照系中的变量。图5B表示归一化检测器的参照系，是相对于此归一化检测器50固定的。在归一化检测器的参照系中的空间位置，是由(U，V，W)三个一组表示的。(U，V，W)坐标系的原点，位于此归一化检测器50的中心，而且U轴和V轴位于此归一化检测器平面内。X射线源的位置S_i总是在W轴上，但其距该归一化检测器50中心的距离，可从一个X射线源位置S_i变化到另一个X射线源位置S_i。

如在图5C中表示的那样，我们假定(X，Y，Z)坐标系的原点总是和(U，V，W)坐标系的原点重合的。实际上，这等于仅仅是把实际的检测器24读数换算到平面上，该平面通过(X，Y，Z)坐标系的原点，并且与连接X射线源位置S_i和原点的直线正交。

为了简化平面积分的变换，我们现在引入第三个参照系。参见图6，Q是随意一个包含X射线源S的平面。令平面Q在线L上与此归一化检测器平面相交。将坐标系(a，b，c)定义为以X射线源S作为原点，以使为在平面Q中与线L正交的单位向量，b为在平面Q中与L平行的单位向量，而且 $\hat{c}=\hat{b}\×\hat{a}.$ 我们将把此坐标系(a，b，c)称为积分参照系中的坐标系。为了进一步简化平面Q上的积分，我们指出，因其从标C总为0，故平面Q上的每个点均以一对(a，b)表征。通过进行坐标变换：(a，b，c)→(r，θ，c)，可以把一对(a，b)变换成与，座标系相关的极坐标(r，θ)，其中

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

$\mathrm{\θ}{=\tan }^{-1}\frac{b}{a}$

图7表示锥形束扫描中的典型情况。假定一个如图7所示的物体的平面Q或者切片。此锥形束X射线源S以直线L的形式将此平面Q投影到归一化检测器平面上。在此积分参照系中，令a轴在C点与直线L相交(图6)。通过作图，SC应与线L正交。令|SC|代表X射线源S和交点C之间的距离。线L上的数据X(t)，其中t表示点C沿L的位移，可由下式给出：

$X\left(t\right)=\∫\∫f(r,\mathrm{\θ},0)\mathrm{\δ}[\mathrm{\θ}-{\tan }^{-1}\left(\frac{t}{\left|\mathrm{SC}\right|}\right)]\mathrm{drd\θ}$

$=\∫f(r,{\tan }^{-1}\frac{t}{\left|\mathrm{SC}\right|},0)\mathrm{dr}$

换言之，数据X(t)，表示沿Q平面上与a轴成

θ＝tan^-1(r/|SC|)角直线的物体密度的线积分。并且指明变量t与tanθ成正比，通过对直线L上的变量t进行X(t)积分(以某种适合的加权)，人们有希望得到f(r，θ，0)对于平面Q上的变量r和θ的积分值，即∫∫f(r，θ，0)drdθ。为此目的，让我们用变量t来表示量I＝∫∫f(r，θ，0)drdθ。于是

                t＝|SC|tanθ

                dt＝|SC|sec²θdθ

因而积分I可由下式给出：

$I=\∫\∫f(r,\mathrm{\θ},0)\mathrm{drd\θ}$

$=\∫\frac{{\left|\mathrm{SC}\right|}^2}{{\left|\mathrm{SC}\right|}^2+{\left(\right|\mathrm{SC}\left|\tan \mathrm{\θ}\right)}^2}{\sec }^2\mathrm{\θd\θ}\∫f(r,\mathrm{\θ},0)\mathrm{dr}$

$=\left|\mathrm{SC}\right|\∫\frac{\mathrm{dt}}{{\left|\mathrm{SC}\right|}^2+t^2}\∫f[r,{\tan }^{-1}\left(\frac{t}{\left|\mathrm{SC}\right|}\right),0]\mathrm{dr}$

$=\left|\mathrm{SC}\right|\∫\frac{X\left(t\right)\mathrm{dr}}{{\left|\mathrm{SC}\right|}^2+t^2}$

因此，通过对直线L上的锥形束数据X(t)进行加权积分，便可以得到量I＝∫∫f(r，θ，0)drdθ。与此对比，作为该平面的拉冬数据 在物体参照系中，其中的S为平面Q至原点的距离，而且

为法线，则可由下式给出：

$R(s,\hat{n})=\∫\∫f(r,\mathrm{\θ},0)\mathrm{rdrd\θ}----\left(5\right)$

由于 $I\≠R(s,\hat{n})$ 所以拉冬数据不能靠沿着归一化检测器平面上的直线对锥形束数据积分来获得。(然而，如果检测器上的数据是由X射线平行束产生的，则沿此归一化检测器平面上的直线对数据进行积分，会能产生拉冬数据。)

拉冬数据 和积分I之间仅有的差别是，积分I中没有r因子。由于在每一r值处的密度值f(r，θ，0)是不知道的(换句话说，则不需要在第一位置进行锥形束扫描)，所以这种差别不能够通过以r对此数据加权来补偿。

注意到一种将r因子引进被积分函数中的方法，让平面Q围绕经过原点的平面上的任一条直线旋转，则此平面上的每个点都被平移一个与rsinγ成正比的量，其中r为该点的径向坐标，γ为该点相对此转轴的角度坐标。这种观察促进了参照图8及9作出的下列进展。

现在参见图8，让我们来假定物体中另一个与图7的平面Q非常接近的平面Q′。平面Q′，是靠将平面Q本身，围绕经过X射线源位置S的平面Q上的转轴a′转动一小角度δβ得到的。对于实际转角δβ大小的选择，需要综合考虑每一具体系统中的精度和信噪比之间的关系。比较小的转角δβ会得到较高的精度，但以增加数据中的噪声为代价，且反之亦然。平面Q′在归一化检测平面内投影出另一条线L′。线L和L′相交于C′，此处就是转轴a′与法向检测器平面的相交处。

令δθ表示L和L′间的夹角。(显然，角度δθ和δβ是以简明的几何关系彼此相关的，而且δβ可从δθ求出。下文对于两种具体的情况将提供该计算的实例。)平面Q′上的每个点(r，θ，0)，在极坐标中是和积分参照系相关的，可被认为是在平面Q中由相应点平移一个δ r量得出的。用α表示转轴a′和a之间的角度，则在点 r＝(r，θ，0)处的平移量δ r，可由下式给出：

$\mathrm{\δ}\underset{\‾}{r}=\mathrm{\δ\β}{\hat{a}}^{\′}\×\underset{\‾}{r}$

$=\mathrm{\δ\β}(\cos \mathrm{\α}\hat{a}+\sin \mathrm{\α}\hat{b})\×(r\cos \mathrm{\θ}\widehat{\mathrm{\α}}+r\sin \mathrm{\θ})\hat{b})$

$=r\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})\mathrm{\δ\β}\hat{c}$

改变δ r的空间坐标r，将导致密度值f(r)的相应改变，随后再引起积分值I的δI改变，并可由下式给出：

$\mathrm{\δI}=\∫\∫\▿f{(r,\mathrm{\θ},c)}_{c=0}\·\mathrm{\δ}\underset{\‾}{r}\mathrm{drd\θ}$

$=\∫\∫\frac{\∂f{(r,\mathrm{\θ},c)}_{c=0}}{\∂c}r\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})\mathrm{\δ\βdrd\θ}$

$=\mathrm{\δ\β}\∫\∫\frac{\∂f{(r,\mathrm{\θ},c)}_{c=0}}{\∂c}\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})\mathrm{rdrd\θ}$

$=\mathrm{\δ\β}\frac{\∂}{\∂c}\∫\∫\left[f{(r,\mathrm{\θ},c)}_{c=0}\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})\right]\mathrm{rdrd\θ}$

所以

$\frac{\mathrm{dI}}{\mathrm{d\β}}=\frac{\∂}{\∂c}\∫\∫\left[f{(r,\mathrm{\θ},c)}_{c=0}\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})\right]\mathrm{rdrd\θ}$

$=\frac{\∂T\left(c\right)}{\∂c}|c=0$

其中

         T(c)＝∫∫[f(r，θ，c)sin(θ-α)]rdrdθ

T(c)这个量除了附加因子sin(θ-α)之外几乎与方程式(5)的拉冬数据完全一样。然而，现在附加因子可被补偿，因为它只包含角度变量，其值可通过测量来改变。这可以通过规定一个新的积分J来实现，该积分包括在I的被积分函数内的加权因子，以消掉此附加因子，

$J=\∫\∫\frac{(r,\mathrm{\θ},c)\mathrm{drd\θ}}{\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}----\left(6\right)$

平面Q内的几何关系表示在图9中。由图9中我们得出

$\sin \mathrm{\θ}=\frac{t}{\sqrt{{\left|\mathrm{SC}\right|}^2+t^2}}$

$\cos \mathrm{\θ}=\frac{\left|\mathrm{SC}\right|}{\sqrt{{\left|\mathrm{SC}\right|}^2+t^2}}$

$\sin \mathrm{\α}=\frac{\mathrm{\ΔC}}{\left|{\mathrm{SC}}^{\′}\right|}$

$\cos \mathrm{\α}=\frac{\left|\mathrm{SC}\right|}{\left|{\mathrm{SC}}^{\′}\right|}$

其中ΔC表示C′和C的位移。因此我们有

$\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})=\sin \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\α}-\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\α}$

$=\frac{\left|\mathrm{SC}\right|(t-\mathrm{\ΔC})}{\left|{\mathrm{SC}}^{\′}\right|\sqrt{{\left|\mathrm{SC}\right|}^2+t^2}}----\left(7\right)$

于是，我们可以将所要求的积分J表示为包含有加权因子

1/sin(θ-α)的变量t。将方程式(4)和(7)代入方程式(6)，我们得到

$J=\∫\∫\frac{f(r,\mathrm{\θ},0)\mathrm{drd\θ}}{\sin (\mathrm{\θ}-\mathrm{\α})}$

$=\∫\frac{\left|{\mathrm{SC}}^{\′}\right|\sqrt{{\left|\mathrm{SC}\right|}^2+t^2}\left|\mathrm{SC}\right|X\left(t\right)}{\left|\mathrm{SC}\right|(t-\mathrm{\ΔC}){\left|\mathrm{SC}\right|}^2+t^2}\mathrm{dt}----\left(8\right)$

$=\∫\frac{\left|{\mathrm{SC}}^{\′}\right|X\left(t\right)}{(t-\mathrm{\ΔC})\sqrt{{\left|\mathrm{SC}\right|}^2+t^2}}\mathrm{dt}$

通过如前面I积分同样的数学处理，我们得到

$\frac{\mathrm{dJ}}{\mathrm{d\β}}=\frac{\∂}{\∂c}\∫\∫f{(r,\mathrm{\θ},c)}_{c=0}\mathrm{rdrd\θ}$

$=\frac{\∂R(s,\hat{c})}{\∂s}----\left(9\right)$

其中，在物体参系中，S为平面Q和原点之间的距离，并且

$R(s,\hat{c})=\∫\∫f(r,\mathrm{\θ},0)\mathrm{rdrd\θ}$

就是函数f在平面Q上的平面积分。

利用方程式(9)，原则上我们能从锥形束数据中计算出拉冬数据的径向导数，而且拉冬数据本身也可以通过对在径向尺度(dimension)的结果进行积分来获得。此过程表示在图10中。为了求出在点 $P=s\hat{n}$ 处拉冬数据的径向导数值，在物体参照系中，此处s＝|OP|，而且 $\hat{n}=\underset{\‾}{\mathrm{OP}}/\left|\mathrm{OP}\right|,$ 我们进行如下：

1.确定经过点P并垂直于直线OP的平面Q；

2.确定平面Q与归一化检测器平面相交处的直线L；

3.在直线L上找出一点C，使直线SC垂直于L；

4.在直线L上任取一点C′，将旋转轴a′规定为从S到C′的直线。

等效地，让平面Q绕此旋转轴a′转过一个小角度δβ，于是得到平面Q′；让直线L在此检测器平面内绕点C′转过一个小角度δθ，于是得到直线L′，平面Q′则在直线L′处与此归一化检测器平面相交；

5.利用方程式(8)，分别计算出在直线L和L′上的量J和J′；

6.根据几何关系由δθ计算出角度δβ；

7.利用下列方程式，从量J，J′和δβ得到点P处拉冬数据的径向导数：

$\frac{\∂R(s,\hat{n})}{\∂s}=\frac{J^{\′}-J}{\mathrm{\δ\β}}$

采用上述程序，我们能够得到对于穿过为锥形束X射源辐照的物体的所有平面的拉冬数据。顺便要说的是，这和前面Smith 1985年文章中叙述的条件是一致的，在锥形束扫描中，为了具有完整的数据，穿过物体的每个平面都应与X射线源的位置相交。

现在参见图11，12及13，在一种X射线源位置上能够产生的拉冬数据(即平面积分)的范围，可以用这种方法定量地估算出来。令图11的平面为包含锥形束X射线源S和原点O的任意平面，称之为W平面。假定有任一个平面Q与平面W正交且包含此X射线源S。令U为平面Q与平面W相交的直线，也就是说平面Q经过直线U且与平面W即图11的图面正交。让V为平面W上经过原点且与直线U正交的直线，并让直线U和V在点P相交。让为沿直线V的单位向量。如在附录A中参考图21表示的那样，向量 垂直于平面Q，因而在Q上的平面积分就是在物体参照系中的拉冬数据

即在P点的拉冬数据。由于角OPS为直角，所以点P位于平面W内以OS为直径的圆上。通过把同样的操作加在所有垂直于平面W且经过X射线源S的平面上，于是就在整个圆上产生出拉冬数据，如在图11中那样。

如在图12中表示的那样，通过重复W平面内在包含线段OS的所有其它平面上进行的整个操作，拉冬数据便在包含OS作为直径的所有圆上产生出来。换而言之，拉冬数据是在以OS作为直径的球壳上产生出来的。这种球壳又可称之为拉冬球壳。

现在将仔细考虑两种具体的情况，其区别在于图6中的积分平面Q围绕其转动的旋转轴的取向不同。如在上文中描述的那样，许多旋转轴中的每一条都通过此X射线源位置S，通过此X射线源位置S及原点O的直线SO则与归一化检测器平面正交，而且此归一化检测器平面中包含有原点。

情况之1适用于，当旋转轴不与b轴重合并且包括此旋转轴与a轴重合的特定情况。因而情况之1可被描述为绕a轴的连续旋转。在此描述的具体实施例中，拉冬数据是在一组共轴的平面φ_j上产生的，其中每个平面都包含如图4中表示的垂直轴或参考轴，情况之1则适用于不在此垂直轴或参考轴上的所有X射线源位置S_i。

情况之2适用于当旋转轴与图6中b轴重合的情况。在这种情况下，旋转轴是和归一化检测器平面平行的。在此描述的具体实施例中，拉冬数据是在一组共轴的平面φ_j上产生的，其中每个平面都包含如图4中表示的垂直轴或参考轴，情况之2则适用于在此垂直轴或参考轴上的所有X射线源位置S_i。

对于情况之1的旋转轴与a轴重合的特定情况，将不予以考虑。在这种情部况下图10中的α＝0，而且两条线L和L′相交的在a轴与检测器平面相交的C点。如果在归一化检测器平面上过C点以所有取向作出一些直线(图13)，那么这些线就是包含线SC作为共用轴线的一些积分平面在此归一化检测器平面上以不同取向的投影。把这些积分平面称为Q₁，Q₂，Q₃......等等。那么根据方程式(9)，就能由量dJ/dβ(顾及检测器平面上对于每一对相邻的具有小间隔的直线计算出来的J中的加权函数sinθ)给出投影在这一对相邻直线上的平面Q_i上的平面积分的导数。

这种情况表示在图14中，它描绘出在SC方向上的视图，即由X射线源朝向检测器上面的交点C。图14的平面包含有原点O，而且线SC与图14垂直。P点为图14的平面和线SC之间的交点。由于线SC垂直于图14的平面，因此包含线SC的所有平面Q_i，都作为构成以P点为中心的极坐标的直线出现。图14中的这些称之为A₁，A₂，A₃，......等等的直线，分别和平面Q₁，Q₂，Q₃，......等等对应。由原点O对这些直线中的每一条线作垂线，并让每一对垂线如图所示在位置B₁，B₂，B₃，......处相交，而且，如在附录A中表明的那样，由原点垂直于线A₁，A₂，A₃，......的直线，同样也垂直于平面Q₁，Q₂，Q₃，......等等。因此在平面Q₁，Q₂，Q₃，......等上面的平面积分，包括在点B₁，B₂，B₃，......等处的拉冬数据。而且，因为每一个B_i都是一条来自原点O一条来自P点的这样两条垂线的交点，因此所有的B_i点都落在以线段OP为直径的圆周上。

由于B_i点全都位于图14的平面内，所以这些点全都落在其中的圆的平面，与直线SC垂直。此外，由于线段OP垂直于线段SP，所以P点位于以OS为直径的球的表面上。因而P是线段SC与拉冬球壳的相交点。

图13中表示的操作，可被概括为：

(1)在法向检测器平面上过C点以所有取向作出一些直线；

(2)以加权函数sinθ计算出这些线中每一条线上的J的量；

(3)计算导数dJ/dβ。

其结果是，拉冬数据将在包含原点O并垂直于直线SC的平面内的圆周上(图14)产生，而且以线段OP作为该圆的直径，其中P为直线SC与拉冬球壳相交的点。这整个操作在此被称为检测器平面内在C点处的旋转操作。

图15表示对于特定X射线源位置的归一化检测器平面。旋转轴与此归一化检测器平面在C_i点相交，而且直线62，64，66，68，70及72，为代表各积分平面Q与此归一化检测器平面的交线。为了说明图15上下文中的旋转操作，在归一化检测器平面内任意取一条直线M，并在此直线上的每一个C_j点处进行旋转操作。对于每一个C_j点都能产生一个拉冬数据的圆D_j，其中该圆的平面垂直于直线SC_j，而且该圆的直径就是线段OP_j，此处P_j是线SC_j与拉冬球壳相交的点。由于所有的C_j点在直线M上排成一线，因此所有的点P_j，都位于包含X射线源S和线M的平面与拉冬球壳相交处的圆周G上。而且，因为每一个圆D_j的平面都垂直于位于圆G平面内的相应直线SP_j，所以圆D_j的平面与圆G的平面垂直。

概括说来，如果旋转操作是在归一化检测器内直线M上的所有点进行的，那么拉冬数据就在一系列圆D_j上产生。圆D_j的平面，与包含有X射线源S及直线M的平面同拉冬球壳相交处的圆G的平面垂直，而且圆D_j的直径就是线段OP_j，其中P_j为圆G上的点。如果在直线M上点C_j足够细地被采样，那么所产生的这组拉冬圆D_j就会足够密集地覆盖整个拉冬球壳。换而言之，整个拉冬球壳上的数据，可以通过在检测器平面内的一条线上进行旋转操作来产生。

计算函数J时使用的加权函数sinθ，在这种情况下是奇异的，θ＝0。这种奇异性可以通过加权滑动平均处理予以消除。这种加权滑动平均处理已成功地应用在其影响函数也包含奇异性的传统X射线CT中滤波后的回填投影(filtered backprojection)的滤波部分中。

现在将考虑情况之2，其中的旋转轴与图6中的b轴重合。在这种情况下，图10中的α＝π/2，而且两条直线L和L′彼此平行，因为转轴平行于归一化检测器平面。

参见图16，如果全部定位，都经与L正交的线OC(参见附录B)，作出一些平行于L和L′的线，则这些线就是包含有b轴作为公共轴的一些不同取向的平面在检测器平面上的投影。标称这些平面为Q₁，Q₂，Q₃，......等等。那么根据方程式(9)，对于在归一化检测器上每一对具有小间隔的相邻直线上以加权函数cosθ对J的计算中，可由dJ/dβ得到投影到这一对相邻直线的平面Q_j上的平面积分的导数。

这种情况表示在图17A和图17B中，其中图17A表示在b轴方向上的视图，图17B则表示作为情况之2的归一化检测器平面上的数据点和数据线。图17A的平面是包含有X射线源的c-a平面。在附录B中，它表明原点O也位于该平面内。由于b轴垂直于图17A的面，因此包含b轴作为公共轴的所有平面Q_j，均作为构成以X射线源S为中心的极坐标中的线出现。在图17A中标称为A₁，A₂，A₃，......等等的这些线，分别与平面Q₁，Q₂，Q₃，......等等对应。从原点向这些线中的每一条作垂线，并让每一对垂线在B₁，B₂，B₃，......定位上相交，如图所示。而且，如在附录A中表明的那样，在极坐标中由原点垂直于线A₁，A₂，A₃，......的直线，也与平面Q₁，Q₂，Q₃，......等等垂直。因此，对于Q₁，Q₂，Q₃，......的平面积分，便在点B₁，B₂，B₃，......等构成了拉冬数据。而且，由于每一个B_j都是一条来自原点O一条来自X射线源S的这样两条垂直线的相交处，所以这些点都落在以线段OS为直径的圆上。

鉴于B_j点全部落在图17A的面上，故拉冬数据圆的平面与垂直该平面的b轴垂直。于是如图17B所示，b轴平行于检测器平面上的一组平行线，其中包括L和L′，而且圆的平面与这组平行线垂直。

图16中表示的操作可概括为：

(1)于检测器平面上在所有覆盖整个平面的定位上，平行于θ方向作出一些线；

(2)在这些线上以加权函数cosθ计算出J的量，并且

(3)计算出导数dJ/dβ。

其结果是，拉冬数据在包含有原点O和X射线源S且垂直于检测器平面内的一组平行线的平面上的圆(图17A)上产生，而且线段OS为该圆的直径。这整个操作在此被称为以θ角平移的操作。

为了在整个拉冬球壳上产生拉冬数据，平移操作要以所有的角度在归一化检测器平面上完成。对于每一种角度θ_j都能产生一个拉冬数据圆D_j，此处圆的平面与检测器上成θ_j角的一些直线垂直，并包含原点O和X射线源S，而且圆的直径就是线段OS。如果此角能得到足够细的采样时，那么所产生的这组拉冬圆就会足够密集地覆盖整个拉冬球壳。

最后，我们可以着手处理我们提出要解决的任务：在图4的这组共轴的垂直平面θ_j上由锥形束数据产生出拉冬数据。

一般说来，此过程包括下文中由脚标i，j和k指定的嵌套步骤。脚标i对应于各种X射线源位置S_i。因此，对于每一种X射线源位置S_i，后续的步骤将予以重复。脚标j对应于这组平面θ_j，它可以是拉冬空间中指望在其上面产生平面积分的随意一组平面。对于每一种X射线源位置S_i来说，在其上面能够得到拉冬数据的对应的拉冬球壳被确定，而且这些平面θ_j与此拉冬球壳的交线，在拉冬球壳上确定出一组圆D_ij。对于每一特定的X射线源位置S_i而言，脚标i保持固定，而脚标j变化以指定这组圆D_ij中的每一个圆。

然后对于这些圆D_ij中的每一个圆，重复更后续步骤中的每一步骤。具体地说，旋转轴被定义为一条经过此特定的源位置S_i与此特定的圆D_ij相交且与该圆D_ij的平面垂直(并且垂直于相应的平面θ_j)的直线。在这些旋转轴中的每一条旋转轴上，可以确定一组积分平面Q_ijk，这些积分平面Q_ijk是以此特定的旋转轴共轴的，并与此特定的圆D_ij相交，以确定对此特定积分平面Q_ijk的拉冬数据点R_ijk的定位。对于每一特定的源位置S_i和圆D_ij来说，脚标i和j保持固定，而脚标k变化以指定每一个积分平面Q_ijk。应当使嵌套步骤的整个过程包括多阶的单个积分平面Q_ijk，其中每一单个的积分平面Q_ijk都对应一个单个的拉冬数据点R_ijk。

继续此总的过程，每个多阶积分平面Q_ijk都在相应的直线L_ijk上与归一化检测器平面相交(其取向与特定的源位置S_i对应)。然后对于归一化检测器平面上这些线L_ijk中的每一条线，将相应的积分平面Q_ijk绕转轴转动一个小的转角，以确定在相应的直线L_ijk′上与此归一化检测器平面相交的平面Q_ijk′。等同地，让直线L_ijk绕该直线上的一点旋转(情况之1)，或者平移为平行线(情况之2)，这要取决于具体的源位置S_i，以便确定直线L_ijk′和对应的积分平面Q_ijk′。

最后，为了求出在特定点R_ijk处拉冬数据的径向导数，可通过分别沿着直线L_ijk及L_ijk′进行积分求出加权的线积分J_ijk及J_ijk′，并且将此加权的线积分之间的差值除以转角δβ。

现在考虑上述联案申请 91111689.3[RD-19564]，需要在一组共轴的垂直平面上产生平面积分，以作为其拉冬的逆变换过程输入的特定情况，图18A象图4一样，表示这组包含Z轴作为公共轴的共轴的垂直平面φ_j，此处的垂直轴取作物体参照系中的Z轴。图18B表示一般锥形束扫描的情况，具有源S、原点O和在源位置上产生的拉冬球壳。鉴于源位置S不在Z轴上，故图18B是上文定义的情况之1的例子。图18C说明某种几何结构，表示图18A的平面φ_j与特定源位置S_i下的图18B拉冬球壳相交的情形。由此可以看出，这些交线于单个平面φ_j内一些点的拉冬球壳上确立了一些圆。

图19具体表示如图18C的情况之1的情况下，如何在垂直平面φ_j上产生拉冬数据，这里的锥形束数据是在许多源位置S_I中的每一位置上取得的，每一种源位置S_i都会产生相应的球壳或拉冬球壳，如图18B、18C及19的拉冬球壳。而且，对于每一种源位置S_i来说，相应的圆G_i，是在包含此源位置S_i且垂直于平面φ_j的平面(即与垂直轴垂直的水平平面)内相应的拉冬球壳上确立的。

可以看出，对于每一种源位置S_i来说，垂直平面φ_j中的每一个平面，都与对应此特定源位置S_i的拉冬球壳以圆相交，此圆可称之为圆D_ij。该圆D_ij则在对应此圆D_ij的P_ij点处与圆G_i相交(换一种说法，这些平面φ_j在与特定的源位置S_i及平面φ_j)对应的P_ij点与圆G_i相交)。此圆D_ij则通过原点0，并以从O到P_ij的直线作为直径。具体说来

G_i-其水平面通过源位置S_i并与拉冬球壳相交的圆；

D_ij-其包含Z轴的垂直平面φ_j与拉冬球壳相交的圆；

H_i-经过拉冬球壳中心的水平大圆平面。

由于原点O既在垂直平面φ_j内又在拉冬球壳上，所以它在交圆D_ij上。根据对称性，经过拉冬球壳中心的水平大圆平面H_i，必然将垂直平面φ_j上的圆D_ij平分。因此，D_ij的中心应位于水平大圆平面H_i内。令OP_ij为圆D_ij的直径。点P_ij和水平大圆平面H_i之间的距离，等于原点O和H_i之间的距离。由此可见，点P_ij落在圆G_i上，因为包含G_i的水平平面和平面H_i间的距离，等于原点O和平面H_i间的距离。

由于需要在每一个垂直平面φ_j上产生平面积分，而且对于每一种源位置S_i来说，由于这些平面积分只能在对应的拉冬球壳上产生，所以，对于每种源位置S_i下作为此特定源位置S_i的每个圆D_ij上的平面积分来说，S_i将作为一条对应的直线M_i把G_i投影到归一化检测器平面上。交点P_ij则在直线M_i上投影到对应的点C_ij。

然后于直线M_i上的这些点C_ij中的每一个点上进行旋转操作。在每一个C_ij点上进行的旋转操作将在与此特定点C_ij对应的整个圆D_ij上产生出拉冬数据。因此，图19中的每个圆D_ij，可以用图14中具有直径OP的圆表示，而且图14中的P点代表图19中的每个交点P_ij。对于每一个C_ij点来说，旋转轴就是经过此特定源位置S_i、对应点P_ij和C_ij的一条直线。当对于相应于特定源位置S_i的特定直线M_i上的所有点C_ij完成旋转操作之后，作为此特定源位置S_i的整个拉冬球壳上的拉冬数据便产生出来，并在平面φ_j上以圆D_ij出现。当对于每一种源位置S_i重复上述操作之后，拉冬数据便被填在在所有需要的垂直平面上。

总结这种旋转操作，对于图19中的每一个投影点C_ij来说，在归一化检测器平面内过此投影点C_ij以多种取向作出一些直线L_ijk。这些直线L_ijk就是图13及14中表示的相应积分平面Q_ijk在归一化检测器平面上的交线。这些积分平面中的每一个，都包含一个沿着通过该特定源位置S_i、特定点P_ij及特定投影点C_ij的一条直线的旋转轴。如图14中的多阶图形可以绘出，每一图形的平面都与此特定旋转轴垂直。

在归一化检测器平面上，将每一条L_ijk直线绕着投影点旋转一个小角度δθ，以便确立线L_ijk′，此线L_ijk′就是包含此特定旋转轴的平面Q_ijk′与归一化检测器平面的交线。平面Q_ijk和Q_ijk′之间的转角δβ，可根据几何关系由角δθ求出来。然后按照上文描述的方法，通过沿直线L_ijk及L_ijk′积分，分别求出加权的线积分J_ijk和J_ijk；。最后，将此加权的线积分J_ijk和J_ijk′之间的差值除以转角δβ，以得出平面Q_ijk与圆D_ij相交处圆D_ij上点的拉冬数据的径向导数。

给定两条检测线之间的角度δθ，确定两积分平面之间的转角δβ，可通过一些几何处理来完成。下面是对于情况之1的情况的几何推导公式：

$\mathrm{\δ\β}=\cos {\mathrm{\φ}}_j\cos \mathrm{\η}\frac{1+{\tan }^2\mathrm{\θ}}{1+{\cos }^2{\mathrm{\φ}}_j{\cos }^2\mathrm{\η}{\tan }^2\mathrm{\θ}}\mathrm{\δ\θ}$

其中，φ_j-平面φ_j相对SO的方位角；

η-SO的极坐标角；

θ-直线L_ijk和平面φ_j与归一化检测器平面相交处的参考线之间的夹角。

当源位置S_i是在Z轴上，不管是直接在原点O之上还是直接在其之下时(属于上文中规定的情况之2的情形)，上述情况之1的几何处置不能应用。

具体说来，参见图20中表示的源S_i直接在原点O之下的情况。这种情况也表示在图16，17A及17B中，其中每条转轴都经过源位置S_i而与归一化检测器平面平行。在图20中，每个以Z轴作为公共轴或参考轴的垂直平面φ_j，以OS_i作为直径的拉冬球壳上的大圆D_i相交。每个圆D_ij都有作为积分平面的对应转轴，与圆D_ij及其相应的平面φ_j垂直。

对于情况之2来说，每个特定的圆D_ij，在归一化检测器平面上从源位置S_i投影成直线L_ij*。由于D_ij圆包含O和S_i，所以直线L_ij*也就是平面φ_j在归一化检测器平面上的投影。

为了在圆D_ij上产生出拉冬数据，在归一化检测器平面上垂直于直线L_ij*作一些平行线L_ijk。这些线L_ijk由在图16及17B中归一化检测器平面上的一些平行线代表，并且是对应积分平面Q_ijk在检测器平面上的交线，其中每个积分平面Q_ijk，都包含一条沿着经过此特定的源位置S_i且与特定圆D_ij的平面垂直的直线的旋转轴。

将平行线L_ijk中的每一条都平移一小段距离，以确定线L_ijk′，此线就是包含此特定旋转轴的平面Q_ijk′与归一化检测器平面的交线。这两个平面Q_ijk和Q_ijk′之间的转角δβ，可根据几何关系由直线L_ijk和L_ijk′之间的距离求出。然后按上文描述的方法，通过沿直线L_ijk及L_ijk′进行积分，分别求出加权的线积分J_ijk和J_ijk′。最后，将此加权线积分J_ijk和J_ijk′之间的差值除以转角δβ，以便得到平面Q_ijk与圆D_ij相交处圆D_ij上点的拉冬数据的轴向导数。

对于情况之2的情况来说，确定两积分平面之间的转角δβ，可根据以下几何推导公式来完成：

$\mathrm{\δ\β}=\frac{\left|\mathrm{SO}\right|\mathrm{\δy}}{{\left|\mathrm{SO}\right|}^2+y^2}$

其中，|SO|-S和O之间的距离；

y-线L_ijk距O的距离；

δ_y-平移距离。

考虑在本发明的实施例中需要作出计算的次数，在每一种视角下，在拉冬空间的一点上产生数据，要求在检测器平面内的一条数据线上的计算数次，约包含N个数据点。因此，为了在拉冬球壳上的圆内产生数据，需要约有N×N＝N²次计算。为了在覆盖拉冬球壳的N个圆上产生数据，其所要求计算的次数因而就约等为N×N²＝N³。最后，在所有N种视角下，总的计算量为N³×N＝N⁴。

作出同样估算的快速方法如下：为在拉冬空间中的一点上产生数据，需要N次计算。由于在拉冬空间中约存在N³个点，所以总的计算量约等于N³×N＝N⁴。

                         附录A

参见图21，它表明，图11的向量

垂直于在图11中的直线U上与平面W相交的平面Q。定义出两个平面Q₁和Q₂，以使

-垂直于Q₁的单位量

-垂直于Q₂的单位量

${\hat{n}}_1\⊥{\hat{n}}_2$

让Q₁与Q₂相交于直线L上。不失去普遍性，让原点在直线L上。由于而且 ${\hat{n}}_1\⊥{\hat{n}}_2,$ 所以 ${\hat{n}}_1\⊥Q_1.$ ${\hat{n}}_2\∈Q_1$

按照类似方式，人们可以表示 ${\hat{n}}_1\∈Q_2.$

让

为沿着直线L方向上的单位向量。

${\hat{n}}_3\∈L\⋐Q_1\⇒{\hat{n}}_3\⊥{\hat{n}}_1$

${\hat{n}}_3\∈L\⋐Q_2\⇒{\hat{n}}_3\⊥{\hat{n}}_2$

因此，由集合

构成了该空间的标准正交基。而且， 和展成Q₁；

和

展成Q₂。

令 P为Q₁的任意点，那么对于某些标量λ₂和λ₃来说， $\underset{\‾}{P}={\mathrm{\λ}}_2\hat{n}+{\mathrm{\λ}}_3{\hat{n}}_3\·$ 令 ${\underset{\‾}{P}}^{\′}={{\mathrm{\λ}}_1}^{\′}{\hat{n}}_1+{{\mathrm{\λ}}_3}^{\′}{\hat{n}}_3$ 为Q₂上最接近Q₂上 P的点，于是

           |PP′|²＝λ₁′²+λ₂ ²+(λ₃-λ₃′)

对于一个固定的 P来说，|PP′|²的最小值出现在λ₁′＝0及λ′₃＝λ₃的情况下，即

                          P′＝λ₃n₃

为直线L上的点，于是

$\underset{\‾}{{\mathrm{PP}}^{\′}}=P-P^{\′}$

$={\mathrm{\λ}}_2{\hat{n}}_2$

因此，非常明显， PP′垂直于直线L，并且垂直于平面Q₂。

                         附录B

在情况之2的情况下，对图20的几何关系的分析：

SC沿着

L沿着

所以SC垂直于L，

OS沿着

L在(U，V)平面上

所以OS垂直于L

由于SC垂直于L，而且OS垂直于L，故我们得出结论，包含直线SC及OS的平面垂直于直线L。由于L是沿着b轴，所以这个平面就是经过S的(c，a)平面。此平面包含点O，S和C。

Claims (4)

1.一种用来再现物体的三维CT图象的方法，该方法的特征在于包括以下步骤：

采用一个锥形束X射线源和相应的归一化检测器平面，该平面具有原点并参照所述源定位，以便对物体扫描和得到锥形束投影数据，所述锥形束投影数据取通过有器官的所述物体线积分的形式，对多个X射线源位置中的每一个来说，作为所述检测器平面上设定的二维数据，其中所述线积分中的每一个垂直于所述源位置中的一个和所述原点之间所确定的直线；

对于每一种源位置(S_i)，确定代表对于拉冬空间中一组平面(φ_j)上的平面积分的值，

在拉冬空间中确定相应的球壳，在该球壳上可求出拉冬数据，确定平面(φ_j)与对应于特定X射线源位置(S_i)的球壳的交线，并在该球壳上确定一组圆D_ij，而且，对于这组圆(D_ij)中的每个圆来说：

将旋转轴定义为，经过此源位置(S_i)而与此圆(D_ij)相交，且与此圆(D_ij)的平面正交的一条直线；

确定一组共轴的积分平面(Q_ijk)，此积分平面(Q_ijk)中的每一个都包含此旋转轴，并且与此圆(D_ij)相交以确定拉冬数据点(R_ijk)的位置，而且此积分平面(Q_ijk)在相应的第一直线(L_ijk)上与归一化检测器平面相交，而且，对于此归一化检测器平面上的每条第一直线(L_ijk)来说：

将相应的积分平面(Q_ijk)转动一个小角度(δβ)，以确定在相应的第一直线(L_ijk’)上与此归一化检测器平面相交的平面(Q_ijk’)；

沿着第一直线(L_ijk)和(L_ijk’)进行积分，以求出相应的加权的第一线积分(J_ijk)和(J_ijk’)，

将此加权的第一线积分(J_ijk)和(J_ijk’)之差除以该旋转角(δβ)，以得出在点(R_jk)处拉冬数据的径向导数；以及

在表示对于这组平面(φ_j)的平面积分值上进行逆拉冬变换，以便重建该物体的图象。

2.根据权利要求1的方法，其特征在于：平面(φ_j)包括一组含有与原点相交的参考轴的共轴平面；而且，对于不在参考轴上的每一个源位置(S_i)，确定代表对于这组平面(φ_j)的平面积分值的步骤包括：

在拉冬空间中对应的球壳上，在包含此源位置(S_i)并垂直于平面(φ_j)的平面内，确定出相应的圆(G_i)，确定此平面(φ_j)和圆(D_ij)与该特定圆(G_i)的交点，并在此圆(G_i)上确定与圆(D_ij)对应的多个点(P_ij)；

将相应的圆(G_i)，由源位置(S_i)投影到归一化的检测器平面上的一条直线(M_i)；将点(P_ij)投影至直线(M_i)上的对应点(C_ij)，并且，对于归一化检测器平面内的每个投影点(C_ij)：

在此归一化检测器平面内经过此被投影的点以多种取向形成第二直线(L_ijk)，这些第二直线(L_ijk)就是相应积分平面(Q_ijk)在归一化检测器平面上的交线，其中每个积分平面(Q_ijk)都包含一条沿着通过此源位置(S_i)、点(P_ij)以及被投影点(C_ij)的直线的旋转轴；

在此归一化检测器平面内，将第二直线(L_ijk)中的每一条绕着该投影点(C_ij)转动一个小角度(δθ)，以确定第二直线(L_ijk’)，此第二直线(L_ijk’)就是包含此特定旋转轴的平面(Q_ijk’)与归一化检测器平面的交线，并且可根据几何关系从角度(δθ)求出平面(Q_ijk)和(Q_ijk’)之间的转角(δβ)；

沿着第二直线(L_ijk)和(L_ijk’)进行积分，以求出相应的加权的第二线积分(J_ijk)和(J_ijk’)，而且

将此加权的第二线积分(J_ijk)和(J_ijk’)之差除以转角(δβ)，以便在圆(D_ij)上平面(Q_ijk)与该圆(D_ij)交点处得出拉冬数据的径向导数。

3.根据权利要求2的方法，其特征在于：对于参考轴上的每一种源位置(S_i)，确定代表这组平面(φ_j)的平面积分值的步骤包括：

对于每一个同对应于此源位置(S_i)的球壳相交及确定一个圆(D_ij)的平面(φ_j)，

将此圆(D_ij)从源位置(S_j)投影到归一化检测器平面内的线(L_ij*)上；

在归一化检测器平面内形成一些与此直线(L_ij*)垂直的第三平行线(L_ijk)，这些第三平行线(L_ijk)就是相应积分平面(Q_ijk)在归一化检测器平面上的交线，其中每个积分平面(Q_ijk)都包含一条沿着通过此X射线源位置(S_i)并垂直于此圆(D_ij)平面的直线的旋转轴；

将上述第三平行线(L_ijk)中的每一条平移一小段距离，以确定第三直线(L_ijk’)，此第三直线(L_ijk’)就是包含此特定旋转轴的平面(Q_ijk’)与归一化检测器平面的交线，并可根据几何关系从第三直线(L_ijk)与(L_ijk’)之间的距离求出平面(Q_ijk)和(Q_ijk’)之间的转角(δβ)；

沿着直线(L_ijk)和(L_ijk’)进行积分，以求出相应的加权的第三线积分(J_ijk)和(J_ijk’)，并且

将此加权的第三线积分(J_ijk)和(J_ijk’)之差除以转角(δβ)，以便在圆(D_ij)上得出平面(Q_ijk)与该圆(D_ij)交点处拉冬数据的径向导数。

4.根据权利要求1的方法，其特征在于：平面(φ_j)包括一组含有与原点相交的参考轴的共轴平面；

而且对于参考轴上的每一种X射线源位置(S_i)，确定代表对于这组平面(φ_j)的平面积分值的步骤包括：

对于每一个同对应于此源位置(S_i)的球壳相交且确定一个圆(D_ij)的平面(φ_j)，

将此圆(D_ij)从源位置(S_i)投影到归一化检测器平面内的线(L_ij*)上；

在归一化检测器平面内形成一些与所述直线(L_ij*)垂直的第二平行线(L_ijk)，这些第二平行线(L_ijk)就是相应积分平面(Q_ijk)在归一化检测器平面上的交线，其中每个积分平面(Q_ijk)都包含一条沿着通过此源位置(S_i)并垂直于此圆(D_ij)平面的直线的旋转轴；

将上述第二平行线(L_ijk)中的每一条平移一小段距离，以确定第二直线(L_ijk’)，此第二线(L_ijk’)就是包含此特定旋转轴的平面(Q_ijk’)与归一化检测器平面的交线，并可根据几何关系从第二直线(L_ijk)与(L_ijk’)之间的距离求出平面(Q_ijk)和(Q_ijk’)之间的转角(δβ)；

沿着第二直线(L_ijk)和(L_ijk’)进行积分，以求出相应的加权的第二线积分(J_ijk)和(J_ijk’)，并且

将此加权的第二线积分(J_ijk)和(J_ijk’)之差除以转角(δβ)，以便在圆(D_ij)上得出平面(Q_ijk)与该圆(D_ij)交点处拉冬数据的径向导数。

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