JPH0628454A - 円錐ビーム投射データから物体の３ｄ映像を再構成する方法および装置 - Google Patents

円錐ビーム投射データから物体の３ｄ映像を再構成する方法および装置

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JPH0628454A
JPH0628454A JP3348602A JP34860291A JPH0628454A JP H0628454 A JPH0628454 A JP H0628454A JP 3348602 A JP3348602 A JP 3348602A JP 34860291 A JP34860291 A JP 34860291A JP H0628454 A JPH0628454 A JP H0628454A
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Abstract

(57)【要約】 【目的】 逆ラドン変換により３Ｄ映像を再構成するた
めに、ラドン空間内の任意の１組の平面における面積分
を表す値へＸ線円錐状ビームデータを変換する方法と装
置を得ることである。 【構成】 逆ラドン変換により３Ｄ ＣＴ映像を再構成
するために、Ｘ線円錐状ビームデータ（物体を通る線積
分）をラドンデータ（面積分）へ変換する手順を開示す
る。正規化された検出器面上の一対の線のおのおのに沿
う重みづけられた線積分を決定するために、各面積分の
半径方向微分が積分と、次に重みづけられた線積分の間
の差を回転角δβで除すことにより決定される。それら
の線は、回転軸を共有し、回転角δβだけ相対的に回転
させられる対応する一対の積分面の正規化された検出器
面との交差として定められる。円錐状ビームデータを、
ランダム空間内の、１組の同軸垂直面のような任意の１
組の平面上の面積分を表す値へ変換するためにこの手順
を採用できる。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は全体として三次元（３
Ｄ）計算機断層撮影（ＣＴ）に関するものであり、更に
詳しくいえば、逆ラドン変換により３Ｄ映像を再構成す
るために、Ｘ線円錐状ビームデータを面積分へ変換する
方法および装置に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】医療用および工業用の通常の計算機断層
撮影においては、扇状のＸ線ビームと直線アレイ検出器
が採用される。このＣＴにおいては二次元（２Ｄ）映像
が得られる。データセットが完全で、映像の質は対応し
て高いが、１度に対象の１つの輪切り（スライス）だけ
が映像化される。３Ｄ映像が求められると、「輪切りの
積み重ね」技法が採用される。３Ｄデータセットを得る
には、１度に２Ｄスライスしか得られないのは面倒で、
時間がかかる。更に、医用においては、隣接するスライ
スが同時に映像化されることはないから、人工的な動き
が生ずる。また、スライスの間の距離がＸ線コリメータ
の開口より小さいのが典型的であるから、Ｘ線の１回の
照射線量が最適量より少なく、その結果として身体の多
くの部分で二重露出することになる。
【０００３】より最近のやり方は円錐ビームと呼ばれる
ものを基にして、直線アレイ検出器の代わりに二次元ア
レイ検出器を用い、扇状ビームＸ線源の代わりに円錐ビ
ームＸ線源を用いる。任意の時刻に被写体全体を円錐状
ビームＸ線源で照射するから、円錐状ビーム走査は、扇
状ビームまたは平行ビームを用いるスライス毎走査より
はるかに速い。更に、対象の各「点」は２Ｄではなくて
３ＤでＸ線により見られるから、従来の２ＤＸ線ＣＴで
可能であるよりもはるかに高いコントラストを達成でき
る。円錐ビーム投射データを得るために、Ｘ線源を基準
にして２Ｄアレイ検出器を固定しながら、適切な走査軌
道、たとえば対象の周囲の円形軌道に沿ってＸ線源を動
かすことにより、またはＸ線源と検出器を静止させなが
ら対象を回転させることにより、対象を、好ましくは３
６０度の角度範囲にわたって走査する。いずれの場合に
も、それはＸ線源と、走査される対象との間の相対的な
動きである。
【０００４】Ｘ線ＣＴにおけるほとんどの映像再構成手
続きはラドン逆プロセスを基にしている。このプロセス
においては、対象のラドン変換の全てから対象の映像が
再構成される。２Ｄ対象のラドン変換は、対象と交差す
る線に関する対象密度の積分より成る。３Ｄ対象のラド
ン変換は面積分より成る。しかし、円錐状ビームデータ
は、対象の面積分を入力として使用することを必要とす
る逆ラドン変換による映像再構成と直接互換できない。
したがって、円錐状ビーム走査データからの反転による
映像再構成は、（１）円錐ビームデータを面積分へ変換
すること、（２）映像を得るために面積分に対して逆ラ
ドン変換を行うこと、の２つの過程を一般に有する。本
発明は、ラドン空間内の任意の平面群に対して、Ｘ線円
錐ビームデータを面積分へ、または面積分を表す値へ変
換する効率的な方法および装置へ主として向けられる。
１９ 年 月 日付の米国特許出願第号には、ラ
ドン空間内の１組の同軸垂直平面における面積分でスタ
ートする逆ラドン変換を行う二過程法が開示されてい
る。したがって、ここで開示する本発明を、ラドン空間
内の１組の同軸垂直平面における面積分を表す値へＸ線
円錐状ビームデータを変換するために採用でき、１９
年 月 日に出願された米国特許第
号に開示されている発明を、３Ｄ映像再構成の逆ラドン
変換部分を行うために採用できる。円錐ビームデータを
面積分へ変換する１つの方法が、アイイーイーイー（Ｉ
ＥＥＥ）Ｔｒａｎｓ．Ｎｕｃｌ．Ｓｃｉ．Ｖｏｌ．ＮＳ
−２６、Ｎｏ．２（１９７９年４月号）、２６８２〜２
６８４ページ所載の「円錐状ビーム投射データからのコ
ンボリューション再構成（Ｃｏｎｖｏｌｕｔｉｏｎａｌ
Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｆｒｏｍ Ｃｏｎｅ
−Ｂｅａｍ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｄａｔａ）」と題
するジェラルド・エヌ・マイナーボ（Ｇｅｒａｌｄ
Ｎ．Ｍｉｎｅｒｂｏ）の論文に記載されている。不幸な
ことに、たとえば、Ｊ．Ｏｐｔ．Ｓｏｃ．Ａｍ．Ａ．Ｖ
ｏｌ．１、Ｎｏ．６（１９８４年６月）、６１２〜６１
９ページ所載の「実際的な円錐状ビームアルゴリズム
（Ｐｒａｃｔｉｃａｌ Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ Ａｌｇｏ
ｒｉｔｈｍ）」と題するエル・エー・フェルドカンプ
（Ｌ．Ａ．Ｆｅｌｄｋａｍｐ）、エル・シー・デービス
（Ｌ．Ｃ．Ｄａｖｉｓ）、ジェー・ダブリュー・クレス
（Ｊ．Ｗ．Ｋｒｅｓｓ）の論文には、マイナーボにおけ
る微分は、容易には修正できず、結果を無効にするよう
な誤差を含む。
【０００５】アイイーイーイー（ＩＥＥＥ）Ｔｒａｎ
ｓ．Ｍｅｄ．Ｉｍａｇ．Ｖｏｌ．ＭＩ−４４（１９８５
年３月）、１４２５ページ所載の「円錐状ビーム投射か
らの映像再構成：必要かつ十分条件および再構成法（Ｉ
ｍａｇｅ Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｆｒｏｍ
Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｓ：Ｎｅｃ
ｅｓｓａｒｙ ａｎｄ Ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ Ｃｏｎ
ｄｉｔｉｏｎｓ ａｎｄＲｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ
Ｍｅｔｈｏｄ）」と題するブルース・ディー・スミス
（Ｂｒｕｃｅ Ｄ．Ｓｍｉｔｈ）の論文には、ホーンの
核により円錐ビームデータから面積分の一次元コンボリ
ューションを変換する方法が記載されている。コンボリ
ューションは全ての平面における面積分を一緒に混合す
るから、くりこまれた結果の１つの点の計算は１つの視
覚での検出器における全てのデータを必要とする。した
がって、タスクは非常に計算が多い。
【０００６】ピー・グランギー（Ｐ．Ｇｒａｎｇｅａ
ｔ）のフランスの国立電気通信大学（Ｉ−Ｅｃｏｌｅ
Ｎａｔｉｏｎａｌｅ Ｓｕｐｅｒｉｃｕｒｅ ｄｅｓ
Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ）へ提出した
（１９８７年）博士論文「円錐形状のＸ線写真からの再
構成による３Ｄ映像装置の解析（Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏ
ｆＡ ３Ｄ Ｉｍａｇｉｎｇ Ｓｙｓｔｅｍ ｂｙ Ｒ
ｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｆｒｏｍ Ｘ Ｒａｄｉ
ｏｇｒａｐｈｉｅｓ ｉｎ Ｃｏｎｉｃａｌ Ｇｅｏｍ
ｅｔｒｙ）（Ａｎａｌｙｓｅ ｄ’ｕｎ Ｓｙｓｔｅｍ
Ｄ−Ｉｍａｇｅｒｉｅ ３Ｄ ｐａｒ Ｒｅｃｏｎｓ
ｔｒｕｃｔｉｏｎ ａ ｐａｒｔｉｒ ｄｅ Ｒｅｄｉ
ｏｇｒａｐｈｉｅｓ Ｘ ｅｎ Ｇｅｏｍｅｔｒｉｅ
ｃｏｎｉｑｕｅ）」には、円錐ビームデータから面積分
の微分を計算する技術が開示されている。しかし、計算
されたデータ点はラドン空間内の球殻状の１組の大円上
にある。それらの大円はラドン空間内の任意の平面群に
含まれず、かつラドン平面内の同軸垂直平面群上に含ま
れない。したがって、それらは逆ラドン変換への入力に
は適当ではない。逆ラドン変換に使用する垂直平面上で
データを得るための三次元補間には非常な努力を要す
る。更に、補間によりデータに誤差が含まれることにな
る。
【０００７】
【発明が解決しようとする課題】したがって、本発明の
目的は、逆ラドン変換による３Ｄ映像再構成のために、
ラドン空間内の任意の平面群における面積分を表す値
へ、Ｘ線円錐形状ビームデータを変換する方法および装
置を得ることである。
【０００８】本発明の別の目的は、ラドン逆変換による
３Ｄ映像再構成のために、ラドン空間内の１組の同軸平
面上の面積分を表す値へ、Ｘ線円錐ビームデータを変換
する方法および装置を得ることである。
【０００９】本発明の別の目的は、検出器における全て
のデータを要求する従来の技術のやり方とは対照的に、
面積分を表す値を計算するために、検出器におけるただ
２本の狭い間隔のデータ線を、各視覚ごとに要するよう
な方法および装置を得ることである。
【００１０】本発明の別の目的は、逆ラドン変換により
３Ｄ映像再構成のために、ラドン空間内の１組の円錐形
状同軸平面またはラドン空間内の任意の１組の平面にお
ける面積分を表す値へ変換するために補間を必要としな
い、正確な方法および装置を得ることである。
【００１１】本発明の更に別の目的は、逆ラドン変換に
より３Ｄ映像再構成のために、ラドン空間内の１組の同
軸平面、またはラドン空間内の任意の１組の同軸平面に
おける面積分を表す値へ、Ｘ線同軸ビームデータを変換
するために必要とされる計算の量を最少にする方法およ
び装置を得ることである。
【００１２】
【課題を解決するための手段】本発明は、円錐ビーム投
射データが、複数のＸ線源位置Ｓi のおのおのに対し
て、編成されている対象の線積の形であって、原点を含
んでおり、かつ各特定のＸ線源の位置Ｓi から原点まで
の線に対して垂直である正規化された検出器面における
２Ｄデータセットとして、対象の３Ｄ映像を円錐ビーム
投射データから再構成する方法が用いられる。この方法
は、ラドン空間内の１組の平面φj における面積分を表
す値を決定する過程と、それから対象の映像を再構成す
るために１組の平面φj における面積分を表す値に対し
て逆ラドン変換を行う過程との２つの過程を含む。更に
詳しい実施例においては、平面φj は、原点と交差する
基準軸を含む１組の同軸平面を含む。
【００１３】本発明の重要な面は、正規化された検出器
平面上の一対の線のおのおのに沿う重みづけられた線積
分を決定するために積分し、それから重みづけられた線
積分の間の差を回転角δβで除すことにより、ラドン空
間内の特定の上における面積分またはラドン基準（実際
にはラドン基準の半径方向の微分）の値を決定すること
である。それらの線は、回転軸を共用する対応する一対
の正規化された検出器面との交差として定義され、かつ
回転角δβだけ互いに回転させられる。
【００１４】とくに、ラドン空間内の１組の平面φj に
おける面積分を表す値を決定する過程は、各Ｘ線源位置
Ｓi に対して、データ平面φj と特定のＸ線源位置Ｓi
に対応する球殻との交差がその球殻に１組の円Ｄijを定
めるような前記対応するラドンデータを決定できる球殻
をラドン空間内で定めることによって、各円Ｄijに対し
て、特定のＸ線源位置Ｓi を通り、特定の円Ｄijと交差
し、かつ特定の円Ｄijの面に垂直である線として回転軸
を定め、おのおの特定の回転軸を含み、特定の円Ｄijと
交差してラドン基準点Ｒijk の場所を定め、かつそれぞ
れの線上の正規化された検出器平面と交差する１組の同
軸積分平面Ｑijk を定めることによって正規化された検
出器平面上の各線Ｌijk に対して、対応する線Ｌijk ′
上の正規化された検出器平面と交差する平面Ｑijk ′を
定めるため対応する積分平面Ｑijk を小さい回転角δβ
だけ回転させ、それぞれの重みづけられた線積分Ｊijk
およびＪijk ′を決定するため線Ｌijk およびＬijk ′
に沿って積分し、特定の点Ｒijk におけるラドン基準の
半径方向微分を生ずるため重みづけられた線積分Ｊijk
とＪijk ′の間の差を回転角δβで除すという入れ子式
の過程を含む。
【００１５】同様に、円錐状ビーム投射データから物体
の３Ｄ映像を再構成する本発明の装置は、上記の手順を
用いて、ラドン空間内の１組の平面φj における面積分
を表す値を決定するために、プログラムされるコンピュ
ータのような手段と、１組の平面φj における面積分を
表す値に対して逆ラドン変換を行って物体の映像を再構
成するために、前記米国特許出願第 号（Ｒ
Ｄ−１９５６４）に開示されている処理装置のような手
段とを備える。
【００１６】平面φj が、原点と交わる基準軸を含む１
組の同軸平面を備える特定の実施例においては、ラドン
空間内の１組の平面φj における面積分を表す値を決定
する過程は、各Ｘ線源位置Ｓi に対して、特定のＸ線源
位置Ｓi を含み、かつ平面φj に垂直であるような平面
内の対応する球殻上の対応する円Ｇi であって、平面φ
j および円Ｄij と 円Ｇi との交差が円Ｇi 上で円Ｇij
に対応する複数の点Ｐij を定めるような前記円Ｇi を
定め、対応する円Ｇi を特定のＸ線源位置Ｓi から正規
化された検出器面上の線Ｍiへ投射し、かつ点Ｐij を線
Ｍi 上の対応する点Ｃij へ投射する過程と、正規化さ
れた検出器面上の各投射点Ｃij に対して、特定のＸ線
源位置Ｓi と、特定の点Ｐij と、特定の投射された点
Ｃij とを通る線に沿う回転軸をおのおの含む、対応す
る積分面Ｑijk の正規化された検出器面上の交差である
線Ｌijk を、投射された点を通る複数の向きに、正規化
された検出器面上に構成し、正規化された検出器面上の
線Ｌijk を投射された点Ｃijを中心として小さい角度δ
θだけ回転させて、特定の回転軸を含む平面Ｑijk ′と
正規化された検出器面との交差である線Ｌijk ′を定
め、平面ＱijkとＱijk′の間の回転角δβを角度δθか
ら幾何学的に決定し、線Ｌijk とＬijk ′に沿って積分
してそれぞれの重みづけられた線積分Ｊijk とＪijk ′
を決定し、重みづけられた線積分ＪijkとＪijk′を回転
角δβで除して、平面Ｑijkが円Ｄijと交差する場所で
ある円Ｄij上の点においてラドン基準の半径方向微分を
生ずる過程と、の入れ子式過程を含むことが好ましい。
【００１７】原点と交差する基準軸を含む１組の同軸平
面を平面φj が有するような別の実施例においては、１
組の平面φj 上の面積分を表す値を決定する過程は、基
準軸上の各Ｘ線源位置Ｓi に対して、特定のＸ線源位置
Ｓi に対応し、特定の円Ｄijを定める球殻と交差する各
平面φj に対して、特定の円Ｄijを特定のＸ線源位置Ｓ
i から正規化された検出器平面上の線Ｌij * まで投射
し、特定のＸ線源位置Ｓi を通り、特定のＤijの面に対
して垂直である線に沿う回転軸をおのおのが含む対応す
る積分面Ｑijk の正規化された検出器平面上の交差であ
る平行な線Ｌijk を、線Ｌij * に垂直な正規化された検
出器平面上に構成し、特定の回転軸を含んでいる平面Ｑ
ijk ′と正規化された検出器面との交差である線Ｌ
ijk ′を形成するために各平行線Ｌijk を小さい距離だ
け移動させ、平面ＱijkとＱijk′との間の回転角δβ
を、線Ｌijk とＬijk ′の間の距離からの幾何学的に決
定し、線Ｌijk およびＬijk ′に沿って積分してそれぞ
れの重みづけられた線積分Ｌijk とＬijk ′を決定し、
重みづけられた線積分Ｊijk とＪijk ′の間の差を回転
角δβで除して、平面Ｑijk が円Ｄijと交差する場所で
ある円Ｄij上の点にラドン基準の半径方向微分を生ずる
入れ子式過程を含む。
【００１８】
【実施例】まず、本発明を実施している再構成装置へ接
続されている円錐ビームジオメトリを採用する、典型的
な走査およびデータ獲得構成が示されている図１を参照
する。円錐ビームＸ線点源２２と２Ｄ検出器アレイ２４
の間の視野の中に物体２０が位置させられる。その２Ｄ
データアレイ２４は円錐ビーム投射データを供給する。
視野と物体２０を回転軸２６が貫通する。Ｘ線点源２２
を含み、回転軸２６に垂直な中間平面を定めることがで
きる。規約により、回転軸２６をｚ軸と呼び、回転軸２
６と中間平面２８の交点を座標原点とする。ｘ軸とｙ軸
は中間平面２８内に図示のように配置される。複数のＸ
線源位置Ｓi において物体２０を走査するために、Ｘ線
源２２は適切な走査軌道３０に沿って物体２０および視
野に対して動くが、検出器２４はＸ線源２２に対して固
定されたままである。図１において、走査軌道３０は中
間平面２８に含まれる円形走査軌道３０として示されて
いる。これは表示の便宜上であるが、他の走査軌道を採
用でき、以下に簡単に説明するように実際に好ましい。
【００１９】検出器アレイ２４はデータ収集器（ＤＡ
Ｓ）３２へ接続される。動作中は、物体中に入るＸ線フ
ォトンがＸ線検出器アレイ２４により検出され、データ
収集器（ＤＡＳ）３２により登録される。フォトンカウ
ントは、空気信号により正規化され、対数の負へ変換さ
れた後で、物体２０を通る線積分を表す。したがって、
走査軌道３０に沿ってＸ線源２２とＸ線検出器２４を走
査することにより（またはＸ線源２２とＸ線検出器２４
を静止させたまま物体２０を等しく回転させることによ
り）物体２０の周囲のいくつかのＸ線源位置Ｓi におい
てデータが得られる。
【００２０】しかし、そのような１回の走査で集められ
たデータセットは不完全であり、したがって人工物が再
構成内に導入されることがある。それらの人工物は、用
途に応じて、認めることもできれば、認められないこと
もある。スミス（Ｓｍｉｔｈ）（１９８５年、上記）
は、対象物体を通る各平面上のＸ線源走査軌道からの点
があるものとすると、円錐ビームデータセットが不完全
であることを示している（検出器がＸ線源に対して固定
され、検査中の物体を覆うのに十分大きいと仮定し
て）。ＳＩＡＭ Ｊ．Ｍａｔｈ．Ｖｏｌ４３、Ｎｏ．３
（１９８３年６月）、５４６〜５５２ページ所載の「円
錐ビーム再構成のための反転式（Ａｎ Ｉｎｖｅｒｓｉ
ｏｎ Ｆｏｒｍｕｌａ ｆｏｒ Ｃｏｎｅ−Ｂｅａｍ
Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ）」と題するヒーング・
ケー・チュイ（Ｈｅａｎｇ Ｋ Ｔｕｙ）の論文および
前記マイナーボ（Ｍｉｎｅｒｂｏ）（１９７９年）によ
り示唆されている構成は、互いに垂直である２つの円形
Ｘ線源走査軌道を採用することである。これは、データ
を完全にするために、前記スミスが彼の条件を満たすこ
とを指摘している。データを完全にする別の走査構成
が、本願出願人へ譲渡された、１９９０年８月２７日の
米国特許出願Ｎｏ．０７／５７２，６５１、「三次元計
算機断層撮影においてデータを完全にするための方形波
円錐状ビーム走査軌道（ＳＱＵＡＲＥ ＷＡＶＥ ＣＯ
ＮＥ ＢＥＡＭ ＳＣＡＮＮＩＮＧ ＴＲＡＪＥＣＴＯ
ＲＹ ＦＯＲ ＤＡＴＡ ＣＯＭＰＬＥＴＥＮＥＳＳ
ＩＮ ＴＨＲＥＥ−ＤＩＭＥＮＳＩＯＮＡＬ ＣＯＭＰ
ＵＴＥＲＩＺＥＤ ＴＯＭＯＧＲＡＰＨＹ）」に開示さ
れている。あるいは、完全な円錐ビームＸ線データセッ
トを得る代わりに、逆ラドン変換過程中に失われたデー
タを反復して訂正するために、光学的に得た物体境界情
報を用いる、前記米国特許出願第 号（ＲＤ
−１９６９５）の発明を採用できる。
【００２１】データ収集器（ＤＡＳ）３２は代表的なプ
ロセッサ３４へ接続される。そのプロセッサは、本発明
に従って、物体２０を通る線積分から１組の面積分を計
算し、それらの面積分に対して逆ラドン変換を行うこと
により、物体２０の三次元映像を再構成する。適当な映
像表示器３６が代表的なプロセッサ３４へ出力装置とし
て接続される。
【００２２】次に、３Ｄ映像化へのラドン変換のやり方
が全体的に示されている図２ａ〜２ｆおよび図３を参照
する。とくに、物体自体はそれのＸ線減衰係数ｆ（ｘ，
ｙ，ｚ）（図２ａ）で定められる。測定される円錐ビー
ム投射データは半径方向にわたるこの関数の線積分Ｘ
（θ）＝∫ｆ（ｒ，θ，ｚ0） ｄｒ（図２ｂ）に対応す
る。検出器データの線積分（検出器積分としても知られ
ている）は∫Ｘ（θ）ｄθ＝∬ｆ（ｒ，θ，ｚ0）ｄｒ
ｄθ（図２ｃ）により与えられる。平行ビームの場合に
は、それらの検出器積分は物体のラドン変換に単に等し
い。しかし、円錐ビームの場合には、ラドン変換は代わ
りに∬ｆ（ｒ，θ，ｚ0）ｒｄｒｄθ（図２ｄ）により
与えられる。 ラドン変換積分中の付加係数ｒが、直角
座標から極座標への座標変換のヤコビアンの結果として
生ずる。図２ｅと２ｆに示すように、逆ラドン変換手続
きが検出器積分から３Ｄ ＣＴ映像を再構成する。直接
逆ラドン変換は物体の面積分を入力として必要とするか
ら、線積分（扇状ビーム検出器積分）を面積分（ラドン
データ）へ変換する予備過程が要求される。それへ本発
明は向けられる。
【００２３】図３に示すように、点ｘ0，ｙ0，ｚ0 にお
ける物体の３Ｄラドン変換は、点ｘ0，ｙ0，ｚ0 を通っ
て、原点から点ｘ0，ｙ0，ｚ0 までの線に垂直である平
面上のＸ線減衰係数の面積分により与えられ、
【００２４】
【数１】
【００２５】として表すことができる。２Ｄラドン変換
に対しても、線積分が平面上ではなくて線上であること
を除き、状況は類似する。面積分は
【００２６】
【数２】
【００２７】として表すこともできる。ここに、
【００２８】
【数３】
【００２９】は、平面に対する法線を特徴づける方向ベ
クトル、ｓは原点からの平面の距離、ｆ（ｒ）は３Ｄ物
体である。いいかえると、
【００３０】
【数４】
【００３１】は、原点から距離ｓの所にあり、法線が
【００３２】
【数５】
【００３３】であるような平面上の物体の積分された密
度を表す。面積分
【００３４】
【数６】
【００３５】はラドンデータとも呼ばれる。３Ｄ物体ｆ
（ｒ）をそれの面積分Ｒから再構成するために使用でき
る逆ラドン変換は
【００３６】
【数７】
【００３７】として表すことができる。前記米国特許出
願第 号（ＲＤ−１９５６４）に詳しく記載
されているように、数７で表されているラドン変換は、
２過程プロセスで行うことができる。過程１は、ｚ軸を
おのおの含んでいるラドン空間内のいくつかの垂直平面
φj 上の２Ｄ ＣＴ映像再構成を含む。たとえば、それ
らの垂直平面は、垂直基準すなわちｚ軸４８を含む垂直
平面４０、４２、４４、４６である。
【００３８】この明細書では、逆ラドン変換のための入
力として、Ｘ線円錐ビームデータを、同軸垂直平面セッ
トφj または任意の平面セットにおける面積分へ変換す
る方法および装置を詳しく説明する。
【００３９】図５Ａ，５Ｂ，５Ｃを参照して、この解析
で用いる基準の枠と、それらの枠に関連する座標系とを
まず定める。（以下に行う詳細な説明における基準の枠
および座標系は、図１の代表的な走査構成に示されてい
る一般化された座標系とは異なることに注目すべきであ
る。）とくに、Ａは物体２０に対して固定されている基
準の物体枠を示す。この基準の枠内の任意の点の空間場
所が（ｘ，ｙ，ｚ）の三つ組により表される。数２と数
７中の変数は基準の物体枠中の変数である。Ｂは、正規
化された検出器５０に対して固定されている基準の正規
化された検出器枠を示す。基準の正規化された検出器枠
内の空間場所は（ｕ，ｖ，ｗ）の三つ組により表され
る。（ｕ，ｖ，ｗ）座標系の原点は正規化された検出器
５０の中心に設けられ、ｕ軸とｖ軸は正規化された検出
器平面上にある。Ｘ線源位置Ｓi はｗ軸上に常にある
が、正規化された検出器５０の中心からのそれの距離
は、１つのＸ線源位置Ｓi から別のＸ線源位置Ｓi まで
変化することがある。
【００４０】図５ｃに示すように、（ｘ，ｙ，ｚ）座標
系の原点と（ｕ，ｖ，ｗ）座標系の原点が常に一致する
と仮定する。実際には、これは、検出器２４の実際の読
みを、（ｘ，ｙ，ｚ）座標系の原点を通り、かつＸ線源
位置Ｓi を原点へ結ぶ線に垂直である平面へ換算するこ
とより以上のものではないことになる。
【００４１】面積分の取り扱いを容易にするために、第
３の基準枠を導入する。図６を参照して、ＱはＸ線源Ｓ
を含む任意の平面である。この平面Ｑを正規化された平
面に線Ｌにおいて交差させる。
【００４２】
【数８】
【００４３】を線Ｌに垂直な平面Ｑ内の単位ベクトル、
【００４４】
【数９】
【００４５】を線Ｌに平行な平面Ｑ内の単位ベクトル、
【００４６】
【数１０】
【００４７】であるように、Ｘ線源Ｓを原点として有す
る座標系（ａ，ｂ，ｃ）を定める。座標系（ａ，ｂ，
ｃ）を基準の積分枠内の座標系と定義することにする。
平面Ｑにおける積分を一層容易にするために、座標系ｃ
が常に零であるから、平面Ｑ上の各点が二つ組（ａ，
ｂ）により特徴づけられることに注目する。座標変換を
行うことにより、二つ組（ａ，ｂ）をａ軸とｂ軸に対す
る極座標（ｒ，θ）へ変換できる。（ａ，ｂ，ｃ）→
（ｒ，θ，ｃ）、ここに、
【００４８】
【数１１】
【００４９】である。
【００５０】図７は円錐ビーム走査における典型的な状
況を示す。図７に示されている物体の平面Ｑ、または輪
切りについて考える。円錐ビームＸ線源Ｓは、直線Ｌの
形で平面Ｑを正規化された検出器平面上に投射する。基
準積分枠において、ａ軸を点ｃにおいて線Ｌに交差させ
る（図６）。構成により、ＳＣは線Ｌに垂直である。｜
ＳＣ｜でＸ線源Ｓと交点ｃの間の距離を示させる。ｔが
線Ｌに沿う点ｃからの変位を表すものとして、線Ｌ上の
基準Ｘ（ｔ）は
【００５１】
【数１２】
【００５２】により与えられる。いいかえると、基準Ｘ
（ｔ）は、ａ軸に対して角度θ＝tan-1（ｔ／｜ＳＣ
｜）を成す平面Ｑ上の線に沿う物体密度の線積分を表
す。変数ｔがtanθに比例することに注目すると、 線Ｌ
上のｔ変数に対してＸ（ｔ）を積分することにより（あ
る適当な重みづけで）、平面Ｑ上の変数ｒとθに対する
ｆ（ｒ，θ，０）の積分値、すなわち、∬ｆ（ｒ，θ，
０）ｄｒｄθを得ることを予測する。そのために、量Ｉ
＝∬ｆ（ｒ，θ，０）ｄｒｄθを変数ｔで表させる。そ
うすると、 ｔ＝｜ＳＣ｜tanθ ｄｔ＝｜ＳＣ｜sec2θｄθ であるから、積分Ｉは
【００５３】
【数１３】
【００５４】により与えられる。したがって、重みで線
Ｌ上の円錐ビームデータＸ（ｔ）を積分することによ
り、量Ｉ＝∬ｆ（ｒ，θ，０）ｄｒｄθを得ることがで
きる。これとは対照的に、基準の物体枠において、ｓを
原点からの平面Ｑの距離、数５を法線とするとこの平面
に対するラドンデータは
【００５５】
【数１４】
【００５６】により与えられる。
【００５７】
【数１５】
【００５８】であるから、正規化された検出器平面上の
直線に沿う円錐状ビームデータによりラドンデータを得
ることはできない。（しかし、検出器上のデータが平行
なＸ線ビームにより発生されるものとすると、正規化さ
れた平面検出器上の直線に沿うデータを積分するとラド
ンデータが生ずる。）
【００５９】前記ラドンデータと積分Ｉの間の唯一の差
はＩの積分中に係数ｒがないことである。ｒの各値にお
ける密度値ｆ（ｒ，θ，０）は既知でないから（さもな
いと、円錐ビーム走査を最初に行う必要はない）、その
差はデータをｒで重みづけることにより補償できない。
【００６０】被積分関数に係数ｒを導入する１つの方法
は、原点を通る平面上の任意の軸を中心とする平面Ｑの
回転において、その平面上の各点が、ｒsinγ に比例す
る量だけ移動させることに注目することである。ここ
に、ｒは点の半径方向座標、γは回転軸に対する角座標
である。この観察により、図８と図９を参照する以下の
説明が促進される。
【００６１】まず図８を参照して、物体中の、図７の平
面Ｑに非常に近い別の平面Ｑ′について考える。Ｘ線源
位置Ｓを通る平面Ｑ上の回転軸ａ′を中心として、平面
Ｑ自体を小さい角度δβだけ回転させることにより平面
Ｑ′が得られる。実際の回転角δβの選択は、特定の各
システムにおける確度と信号対雑音比の間の妥協であ
る。より小さい回転角δβでは確度が高くなるが、デー
タ中の雑音が増大し、回転角度が大きくなるとデータ中
の雑音は減少するが、確度が低くなる。平面Ｑ′は別の
線Ｌ′を正規化された検出器平面へ投影する。線Ｌと
Ｌ′はＣ′点で交差する。回転軸ａ′は正規化された検
出器平面と交差する。
【００６２】δθを線ＬとＬ′の間の角度とする。（角
度δθとδβは幾何学的に互いに関連させられ、δβを
δθから決定できることが明らかであろう。この計算の
結果を２つの特定の場合について以下に述べる。）極座
標において基準の積分枠に対する平面Ｑ′上の各点
（ｒ，θ，０）を、平面Ｑ内の対応する点から量δｒだ
け移動させることにより得られるものと考えることがで
きる。αを回転軸ａ′との軸の間の角度とすると、点ｒ
＝（ｒ，θ，０）における移動量δｒは
【００６３】
【数１６】
【００６４】により与えられる。空間座標ｒ中の変化δ
ｒは密度値ｆ（ｒ）に対応する変化を導入する。これは
積Ｉの値に変化δＩを起こさせる。その変化δＩは、
【００６５】
【数１７】
【００６６】により与えられる。したがって、
【００６７】
【数１８】
【００６８】である。ここに、
【００６９】
【数１９】
【００７０】である。量Ｔ（ｃ）は、付加係数sin（θ
−α）を除き、数５におけるラドンデータとほとんど同
じである、しかし、付加係数は、値を測定により得るこ
とができる角度変数を含むだけであるから、付加係数を
補償できる。これは、付加係数
【００７１】
【数２０】
【００７２】を打ち消すためにＩの被積分関数中に重み
づけ係数を含む新しい積分Ｊを定めることにより行うこ
とができる。平面Ｑ上の幾何学が図９に示されている。
図９から、
【００７３】
【数２１】
【００７４】が得られる。ここに、ΔＣはＣ′とＣの変
位を示す。したがって、
【００７５】
【数２２】
【００７６】が得られる。ここで、重みづけ係数１／si
n（θ−α）を含む、変数ｔ中の希望の積分Ｊを表すこ
とができる。数４と数７を数６に代入すると
【００７７】
【数２３】
【００７８】が得られる。前に積分Ｉについて行った演
算と同じ演算を行うと
【００７９】
【数２４】
【００８０】が得られる。ここに、基準の物体枠内で、
ｓは平面Ｑと原点の間の距離であり、
【００８１】
【数２５】
【００８２】は平面Ｑ上の関数ｆの面積分である。数２
４を用いて、円錐ビームデータからのラドンデータから
のラドンデータの半径方向微分を主として計算でき、半
径方向の次元における結果を積分することによりラドン
データ自体を得ることができる。これの手順が図１０に
示されている。点
【００８３】
【数２６】
【００８４】におけるラドンデータの半径方向微分を評
価するために、下記の操作を行う。なお、
【００８５】
【数２７】
【００８６】である。 １．Ｐ点を通り、線ＯＰに垂直な平面Ｑを決定する。 ２．平面Ｑが正規化された検出器平面と交差する場所の
線Ｌを決定する。 ３．線ＬＣが線Ｌに垂直であるような線Ｌ上の点Ｃを探
す。 ４．線Ｌ上で任意の点Ｃ′をとり、ＳからＣ′までの線
として回転軸ａ′を定める。平面Ｑを回転軸ａ′を中心
として小さい角度δβだけ等しく回転させると平面Ｑ′
になり、検出器平面上の点Ｃ′を中心として線Ｌを小さ
い角度δθだけ回転させて線Ｌ′にし、平面Ｑ′を正規
化されている平面と線Ｌ′において交差する。 ５．数２３を用いて、線ＬとＬ′上のそれぞれの量Ｊと
Ｊ′を計算する。 ６．幾何学により角度δβとδθを計算する。 ７．下の式を用いて量Ｊ、Ｊ′、δβからＰ点における
ラドンデータの半径方向微分が得られる。
【００８７】
【数２８】
【００８８】上記の手順を用いて、円錐ビームを照射さ
れている物体を通る全ての平面に対してラドンデータを
得ることができる。偶然ではあるが、これは前記スミス
（Ｓｍｉｔｈ）（１９８９年）により述べられている条
件に一致する。すなわち、円錐ビーム走査で完全なデー
タを得るために、物体を通る全ての平面はＸ線源位置と
交差すべきである。
【００８９】次に図１１、１２、１３を参照して、この
ようにして１つのＸ線源位置において発生できるラドン
データ（すなわち、面積分）の範囲を定量的に評価でき
る。図１１の平面を円錐状ビーム源Ｓと原点０を含む任
意の平面とする。この平面をＷで表す。平面Ｗに垂直
で、Ｘ線源Ｓを含む任意の平面Ｑについて考えることに
する。Ｕを、平面Ｑが平面Ｗと交差する場所の線とす
る。すなわち、平面Ｑは線Ｕを通り、かつ、図１１の紙
面である平面Ｗに垂直である。Ｖを、原点を通り、線Ｕ
に垂直な平面Ｗ上の線とし、線ＵとＶがＰ点で交差する
ものとする。
【００９０】
【数２９】
【００９１】を線Ｖに沿う単位ベクトルとする。付記Ａ
に示すように、図２１を参照して、ベクトル
【００９２】
【数３０】
【００９３】は平面Ｑに垂直であるから、Ｑにおける面
積分は基準の物体枠内のラドン基準
【００９４】
【数３１】
【００９５】すなわち、Ｐ点におけるラドン基準であ
る。各ＯＰＳは直角であるから、Ｐ点は直径がＯＳであ
る平面Ｗ上の円上にある。Ｘ線源Ｓを通り、平面Ｗに垂
直な全ての平面に対して同じ操作を加えることにより、
図１１に示すように、ラドンデータが全円上で発生され
る。
【００９６】図１２に示すように、線分ＯＳを含んでい
る他の全ての平面上の平面Ｗに対して全ての操作を反復
することにより、直径がＯＳである全ての円でラドンデ
ータが発生される。いいかえると、直径がＯＳである球
殻上でデータが発生される。この球殻はラドン殻と呼ぶ
こともできる。
【００９７】次に、図６の積分平面Ｑの回転中心である
回転軸の向きにより識別される２つの特定のケースにつ
いて詳しく説明することにする。前記のように、多くの
回転軸のおのおのはＸ線源位置Ｓを通る。線ＯＳはＸ線
源位置Ｓを通り、原点０は正規化された検出器平面に垂
直であり、正規化された検出器面は原点を含む。
【００９８】ケース１は、回転軸がｂ軸に一致しない時
に適用され、回転軸がａ軸に一致するような特定のケー
スを含む。したがって、ケース１はａ軸を中心とする拡
張された回転として記述できる。図４に示すように、垂
直軸すなわち基準軸をおのおの含んでいる１組の同軸平
面φj 上でラドンデータが発生されるという、ここで説
明する特定の実施例においては、ケース１は垂直軸すな
わち基準軸上にない全てのＸ線源位置Ｓi に適用され
る。
【００９９】ケース２は、回転軸が図６のｂ軸に一致す
る時に適用される。この場合には、回転軸は正規化され
た検出器面に平行である。図４に示すように、垂直軸す
なわち基準軸をおのおの含んでいる１組の同軸平面φj
上でラドンデータが発生される、ここで説明している特
定の実施例においては、垂直軸すなわち基準軸上の全て
のＸ線源位置Ｓi に対して適用される。
【０１００】回転軸がａ軸と一致するような特定のケー
ス１については考えない。この場合には、図１０ではα
＝０であり、２本の線ＬとＬ′はＣ点において交差し、
そのＣ点においてａ軸は検出器面と交差する。それらの
線がＣ点を通る全ての向きに、正規化された検出器面で
引かれるとすると（図１３）、それらの線は、共通軸と
して線ＳＣを含む種々の向きにおける積分面の正規化さ
れた検出器面上の射影である。それらの積分面をＱ1，
Ｑ2，Ｑ3 等と名づける。次に、数２４に従って、量ｄ
Ｊ／ｄβは、検出器面上の近接している線対上に投影す
る平面Ｑi 上の面積分の微分を生ずる。ここに、Ｊ中の
重みづけ関数 sinθは各線対に対して計算される。
【０１０１】この状況が図１４に示されている。図１４
は向きＳＣ、すなわち、Ｘ線源から検出器上の交点ＳＣ
へ向かう向きの図を示す。図１４の紙面は原点０を含
み、線ＳＣは図１４の紙面に対して垂直である。Ｐ点は
図１４の紙面と線ＳＣの間の交点である。線ＳＣは図１
４の紙面に垂直であるから、線ＳＣを含む全ての平面Ｑ
i は、中心としての点Ｐとともに極格子を形成する線と
して現れる。図１４でＡ1，Ａ2，Ａ3 等として示されて
いる線は平面Ｑ1，Ｑ2，Ｑ3 等にそれぞれ対応する。原
点０から直交線がそれらの各線へ落下し、各直交線対を
図示のように場所Ｂ1，Ｂ2，Ｂ3 等で交差する。また、
付記Ａに示すように、原点から線Ａ1，Ａ2，Ａ3 等へ直
交する線は平面Ｑ1，Ｑ2，Ｑ3 等へも垂直である。した
がって、平面Ｑ1，Ｑ2，Ｑ3 等における面積分は点
Ｂ1，Ｂ2，Ｂ3 等におけるラドンデータを含む。各点Ｂ
i は２本の直交線の交点にあるから（１本の線が原点０
から、他の１本はＰ点から）、全ての点Ｂi は、線分Ｏ
Ｐを直径として有する円上にある。
【０１０２】全ての点Ｂi は図１４の紙面上にあるか
ら、それらの点が存在する円の面は線ＯＳと直交する。
更に、線分ＯＰは線分ＳＰと直交するから、Ｐ点は直径
がＯＳである球面上にある。したがって、Ｐ点は線分Ｓ
Ｃがラドン殻と交差する点である。
【０１０３】図１３に示す操作は次のように要約でき
る。 （１）Ｃ点を通る全ての向きにおいて正常な検出器面上
に線を構成する。 （２）重みづけ関数を各線上に有する量Ｊを計算する。 （３）微分ｄＪ／ｄβを計算する。 この結果、原点０を含み、線ＳＣに対して垂直である平
面上の、線分ＯＰを直径とする円（図１４）上でラドン
データが発生される。ここに、Ｐ点は線ＳＣとラドン殻
の交点である。この操作全体をここでは検出器面上のＣ
点における回転操作と呼ぶ。
【０１０４】図１５は特定のＸ線源位置に対する正規化
された検出器面を表す。回転軸は正規化された検出器に
Ｃi 点で交差し、線６２，６４，６６，６８，７０，７
２は種々の積分面Ｑと正規化された検出器面との交差を
表す。図１５に関連して回転操作を示すために、正規化
された検出器面上で任意の線Ｍをとり、線上の各点Ｃj
に対して回転操作を行う。各点Ｃj に対して、ラドンデ
ータの円Ｃj が発生される。この場合に、円の面は線Ｓ
Ｃj に対して直角で、円の直径は線分ＤＰj である。こ
こに、Ｐj は線ＳＣj とラドン殻との交点である。全て
の点Ｃj は線Ｍ上に並ぶから、全ての点Ｐj は円Ｇ上に
ある。ここに、Ｘ線源Ｓと線Ｍを含む平面はラドン殻と
交差する。また、各円Ｄj の面は、円Ｇの面上にある対
応する線ＳＰj に垂直であるから、円Ｄj の面は円Ｇの
面に対して垂直である。
【０１０５】要約すると、正規化されている検出器面上
の線Ｍ上の全ての点に対して回転操作が行われたとする
と、一連の円Ｄj についてのラドンデータが発生され
る。円Ｄj の面は円Ｇの面に対して垂直である。ここ
に、Ｘ線源Ｓと線Ｍを含む平面はラドン殻と交差し、円
Ｄj の直径は線分ＤＰj である。ここに、Ｐj は円Ｇ上
の点である。点Ｃj が線Ｍにおいて十分細かくサンプリ
ングされると、発生されるラドン円Ｄj のセットはラド
ン殻全体をカバーするために十分に近い。いいかえる
と、検出器面上の線に対して回転操作を行うことによ
り、全ラドン殻についてのデータを発生できる。
【０１０６】この場合に関数Ｊを計算するために用いら
れる重みづけ関数 sinθはθ＝０において１つである。
この単一性は調整化プロセスにより除去できる。核も単
一性を含んでいる従来のＸ線源線ＣＴにおけるろ波され
た後方投射のろ波部分において採用されて成功してい
る。
【０１０７】次に、回転軸が図６のｂ軸に一致するケー
ス２について説明する。この場合には図１０でα＝π／
２で、回転軸が正規化された検出器面と平行であるか
ら、２本の線ＬとＬ′は平行である。図１６を参照し
て、Ｌに垂直である（付記Ｂ）ＯＣを通る線に沿う全て
の線が、線ＬとＬ′に平行に引かれるとすると、それら
の線は、ｂ軸を共通軸として含む種々の向きにおける平
面の検出器面への投影である。それから、数２４に従っ
て、Ｊ内の重みづけ関数 cosθが、正規化されている検
出器面上の近接している各線対に対して計算されてい
る、量ｄＪ／ｄβが、隣接する線対へ投射する平面Ｑj
上の面積分の微分を生ずる。この状況が、ｂ軸の向きの
図を示す図１７Ａと、ケース２に対する正規化された検
出器面上のデータ点と線を示す図１７Ｂとに示されてい
る。図１７Ａの紙面はＸ線源を含む平面ｃ−ａである。
付記Ａには、原点０もこの平面に含まれる。ｂ軸はＡの
紙面に垂直であるから、ｂ軸を共通軸として含む全ての
平面Ｑj は、Ｘ線源Ｓを中心とする極格子を形成する線
として現れる。Ａにおいては、それらの線は、平面
Ｑ1，Ｑ2，Ｑ3 等にそれぞれ対応するＡ1，Ａ2，Ａ3 等
として示される。原点からそれらの各線へ垂線が延び、
各直交線を図示のように場所Ｂ1 ，Ｂ2，Ｂ3 等と交差
させる。したがって、平面Ｑ1，Ｑ2，Ｑ3 等における面
積分は点Ｂ1，Ｂ2，Ｂ3 等上にラドンデータを構成す
る。また、各Ｂj は２本の直交線（１本が原点０から、
１本がＸ線源Ｓから）の交点にあるから、それらの点は
直径がＯＳである円上にある。
【０１０８】点Ｂj は図１７Ａの紙面に全て含まれるか
ら、ラドンデータの円の面はそれに垂直なｂ軸に垂直で
ある。図１７Ｂに示すように、ｂ軸は線ＬとＬ′を含む
検出器面上の１組の平行線に平行であり、円の面は１組
の平行線に直交する。
【０１０９】図１６に示す操作は下記のように要約でき
る。 （１）全平面をカバーする全ての場所において検出器面
上の向きθに平行な線を構成する。 （２）重みづけ関数 cosθを有する量Ｊをそれらの線に
対して計算する。 （３）微分ｄｊ／ｄβを計算する。 結果として、原点０とＸ線源Ｓを含み、検出器面上の１
組の平行線に直交する平面上の、直径が線分ＯＳである
円（図１７Ａ）にラドンデータが発生される。この操作
全体のことをここでは角度θにおける移動操作と呼ぶ。
【０１１０】全ラドン殻についてのラドンデータを発生
するために、正規化された検出器面上の全ての角度にお
いて移動操作が行われる。各角度θj に対してラドンデ
ータの円Ｄj が発生される。ここに、円の面は検出器面
上で角度θj の線に垂直であって、原点０とＸ線源Ｓを
含み、円の直径は線分ＯＳである。角度が十分細かくサ
ンプリングされると、発生される１組のラドン円はラド
ン殻全体をカバーするために十分に近い。
【０１１１】最後に、図４の同軸垂直平面θj のセット
についてのラドンデータを円錐状ビームデータから発生
するために述べたタスクに取り組むことができる。一般
に、この手順は、以下に下付き文字ｉ，ｊ，ｋで示す入
れ子式の過程を含む。下付き文字ｉは種々のＸ線源位置
Ｓi に対応する。したがって、以後の過程は各Ｘ線源位
置Ｓi に対して反復される。下付き文字ｊはラドン空間
内の１組の平面θj に対応する。それらの平面は任意の
１組の平面とすることができ、それらの平面上で面積分
をとることを希望する。各Ｘ線源位置Ｓi に対して対応
するラドン殻が定められる。そのラドン殻においてラド
ンデータを決定できる。平面θj とラドン殻との交差に
よりラドン殻上に１組の円Ｄijが形成される。特定の各
Ｘ線源位置Ｓi に対して下付き文字ｉは固定されたまま
であり、下付き文字ｊは変化して１組の円Ｄijの各円を
示す。
【０１１２】それから、各円Ｄijに対して、別の各過程
が反復される。とくに、特定のＸ線源位置のＳi を通っ
て、特定の円Ｄijと交差し、かつ円Ｄijの面（および対
応する平面θj） に垂直な線として回転軸が定められ
る。各回転軸上で１組の積分面Ｑijk が定められる。積
分面Ｑijk は特定の回転軸と同軸であって、特定の円Ｄ
ijと交差して、その特定の積分面Ｑijk に対するラドン
基準点Ｒijk の場所を定める。各特定のＸ線源位置Ｓi
と円Ｄijに対して、下付き文字ｉとｊは固定されたまま
であるが、下付き文字ｋは変化して各積分面Ｑijk を定
める。入れ子式過程の全手順は、個々のラドン基準点Ｒ
ijk におのおの対応する多数の個々の積分面Ｑijk を含
む。
【０１１３】全体的な手順を続けて、各多数の積分面Ｑ
ijk はそれぞれの線Ｌijk 上の正規化された検出器面
（それの向きは特定のＸ線源位置Ｓi に対応する）と交
差する。それから、正規化された検出器面上の各線Ｌ
ijk に対して、対応する積分面Ｑij k が回転軸を中心と
して小さい回転角だけ回転させられて、対応する線Ｌ
ijk′上の正規化された検出器面と交差する平面Ｑ
ijk ′を定める。同様に、線Ｌij k は線上の点を中心と
して回転させられ（ケース１）、または平行線へ移動さ
せられ（ケース２）て、線Ｌijk ′と対応する積分面Ｑ
ijk ′を定める。線Ｌijkが回転させられるか、移動さ
せられるかは、特定のＸ線源位置に関係する。
【０１１４】最後に、特定の点Ｒijk におけるラドン基
準の半径方向微分を決定するために、線Ｌijk とＬ
ijk ′にそれぞれ沿って積分することにより、重みづけ
られた線積分Ｊijk とＪijk ′が決定され、重みづけら
れた線積分の間の差が回転角δβにより除される。
【０１１５】次に、前記米国特許出願第 号
（ＲＤ−１９５６４）のラドン反転手続きへの入力とし
て、１組の同軸垂直面についての面積分を生ずることを
希望するという特殊な状況について考える。図１８Ａ
は、図４と同様に、ｚ軸を共通軸として含む１組の同軸
垂直面φj を示す。この場合には垂直軸は基準の物体枠
内のｚ軸として取られる。図１８Ｂは一般的な円錐ビー
ム走査状況を示すものであって、Ｘ線源Ｓと、原点０
と、Ｘ線源位置に発生されたラドン殻とを示す。Ｘ線源
位置はｚ軸上にないから、図１８Ｂは前記ケース１の例
である。図１８Ｃは、特定のＸ線源位置Ｓi に対する図
１８Ａに示す平面φj と、図１８Ｂに示すラドン殻との
交差を示すジオメトリである。それらの交差は個々の平
面φj における点のラドン殻上に円を定めることがわか
る。
【０１１６】図１９は、図１８Ｃに示すケース１の状況
における垂直面φj 上で、どのようにしてラドンデータ
を発生するかをとくに示すものであって、複数のＸ線源
位置Ｓi のおのおのにおいて円錐ビームデータが得られ
る。各Ｘ線源位置Ｓi によって、図１８Ｂ、１８Ｃ、図
１９に示すラドン殻のような対応する球殻すなわちラド
ン殻が生ずる結果となる。また、各Ｘ線源位置Ｓi に対
して、Ｘ線源位置Ｓiを含み、かつ平面φj に対して垂
直な平面、すなわち、垂直軸に対して直交する水平面内
の対応するラドン殻上に対応する円Ｇi が定められる。
【０１１７】各Ｘ線源位置Ｓi に対して、円Ｄijと名づ
けることができる円内の特定のＸ線源位置Ｓi に対応す
るラドン殻と、各垂直平面φj が交差することがわか
る。円Ｄijは円Ｄijに対応する点Ｐijにおける円Ｇi と
交差する。（いいかえると、特定のＸ線源位置Ｓi と平
面φj とに対応する点Ｐijにおける円Ｇi と平面φj が
交差する。）円Ｄijは原点０を通り、それの直径は原点
０から点Ｐijまで延びる線である。とくに、 Ｇi ＝Ｘ線源位置Ｓi を通る水平面がラドン殻と交差す
る個所の断面円。 Ｄij＝ｚ軸を含む垂直平面φj がラドン殻と交差する個
所の断面円。 Ｈi ＝ラドン殻の中心を通る水平赤道面。 原点０は垂直平面φj とラドン殻の両方に含まれるか
ら、交差円Ｄij上に存在する。対称性から、ラドン殻の
中心を通る水平赤道平面Ｈi は円Ｄijを必ず二等分す
る。円Ｄijは垂直平面φj 上にある。したがって、円Ｄ
ijの中心は水平赤道面Ｈi 上にある。直線ＯＰijを円Ｄ
ijの直径とする。点Ｐijと水平赤道面Ｈi の間の距離
は、原点０と水平赤道面Ｈi の間の距離と同じである。
円Ｇi を含む平面と水平赤道面Ｈi の間の距離が、原点
０と水平赤道面Ｈi の間の距離と同じであるから、点Ｐ
ijは円Ｇi 上にあることがわかる。
【０１１８】各垂直平面φj における面積分を生ずるこ
とが望ましく、かつ、各Ｘ線源位置Ｓi に対して対応す
るラドン殻におけるそれらの面積分だけを発生できるか
ら、特定のＸ線源位置Ｓi の各円Ｄij上の面積分に対し
て、Ｘ線源位置Ｓi は円Ｇiを対応する線Ｍi として、
正規化された検出器面上へ投射させる。交点Ｐijは線Ｍ
i 上の対応する点Ｃijへ投射する。
【０１１９】それから、線Ｍi 上の各点Ｃijに対して回
転操作が行われる。各点Ｃijに対する回転操作の結果と
して、特定の点Ｃijに対応する全円Ｄij上にラドンデー
タが発生される結果となる。したがって、図１９に示す
各円Ｄijは直径がＯＰである図１４に示す円により表さ
れる。図１４における点Ｐは図１９における各交点Ｐij
を表す。各点Ｃij に対する回転軸は、特定のＸ線源位
置Ｓi と、対応する点Ｐij と、点Ｃij とを通る線であ
る。特定のＸ線源位置Ｓi に対応する特定の線Ｍi上の
全ての点Ｃij に対して回転操作が行われると、特定の
Ｘ線源位置Ｓi に対する全ラドン殻上のラドンデータが
発生され、平面φj 上の円Ｄijとして編成される。各Ｘ
線源位置Ｓi に対して回転操作が反復されると、ラドン
データが希望の垂直平面の全てに満たされる。
【０１２０】図１９における各投射点Ｃij に対する回
転操作を要約すると、投射点Ｃij を通る複数の向きに
おける正規化された検出面上で線Ｌijk が構成される。
それらの線Ｌijk は、図１３、１４に示すように、対応
する面積分Ｑijk の正規化された検出器面上の交差個所
に生ずる。各積分面は、特定のＸ線源位置Ｓi と、特定
の点Ｐijと、特定の投射点Ｃijとを通る線に沿う回転軸
を含む。図１４に類似する多数の図を描くことができ
る。各図の紙面は特定の回転軸に対して垂直である。
【０１２１】各線Ｌijk は正規化された検出器面上で投
射点を中心として小さい角度δθだけ回転させられて、
特定の回転軸を含む平面Ｑijk ′と正規化された検出器
面との交差個所に線Ｌijk ′を形成する。角度δθか
ら、平面Ｑijk とＱijk ′の間の回転角δβは幾何学に
より決定される。それから、先に述べたようにして線Ｌ
ijk とＬijk ′に沿って積分することにより、それぞれ
の重みづけられた線積分Ｊijk とＪijk′が決定され
る。最後に、重みづけられた線積分Ｊijk とＪijk′の
間の差が回転角δβにより除されて、平面Ｑijk が円Ｄ
ijと交差する場所である円Ｄij上の点におけるラドン基
準の半径方向微分を生ずる。
【０１２２】２本の検出器線の間の角度δθが与えられ
ると、２つの積分平面の間の回転角度δβの決定を、い
くつかの幾何学的手順により行うことができる。下の式
はケース１の状況に対する幾何学的に得た式である。
【０１２３】
【数３２】
【０１２４】ここに、φj ＝ＳＤに対する平面φj の方
位角 η ＝ＳＤの極角 θ ＝平面φj が正規化された検出器面と交差する場所
における、線Ｌijk とＬijk′の間の角度 である。
【０１２５】原点０の真上または真下のｚ軸上にＸ線源
位置Ｓi がある時には、上記のケース１の手順を適用で
きない。ｚ軸が原点０の真上または真下にある、という
のは前記ケース２の状況である。
【０１２６】次に、Ｘ線源位置Ｓi が原点０の真下にあ
る状況を示す図２０を参照する。この状況は図１６、１
７Ａ、１７Ｂにも示されている。それらの図において
は、各回転軸は、正規化された検出器面に平行にＸ線源
位置Ｓi を通る。図２０において、ｚ軸を共通軸すなわ
ち基準軸として有する各垂直軸φj が、直径がＯＳi で
ある大円Ｄi 内のラドン殻と交差する。各円Ｄijは、円
Ｄijと、それの対応する平面φj とに垂直である積分面
に対する対応する回転軸を有する。
【０１２７】ケース２の場合には、各特定の円Dij がＸ
線源位置Ｓi から、正規化された検出器面上の線Ｌij *
まで投射される。円Dij は原点０とＸ線源位置Ｓi を含
むから、線Ｌij * も正規化された検出器面への平面φj
の投射である。
【０１２８】円Dij 上でラドンデータを生ずるために、
正規化された検出器面上で線Ｌij *に垂直な平行線Ｌijk
が発生される。線Ｌijk は図１６、１７Ｂにおける正
規化された検出器面上の平行線により表され、対応する
積分面Ｑijk の検出器面における交差個所にある。各対
応する積分面は、特定のＸ線源位置Ｓi を通り、特定の
円Dij の面に垂直な線に沿う回転軸を含む。
【０１２９】各平行線Ｌijk は小さい距離だけ移動させ
られて、特定の回転軸を含む平面Ｑijk ′と正規化され
た検出器面との交差個所に線Ｌijk ′を形成する。２つ
の平面Ｑijk とＱijk * の間の回転角δβは、線Ｌijk
とＬijk ′の間の距離から幾何学により決定される。そ
れから、前記したようにして線Ｌijk とＬijk ′に沿っ
て積分することにより、それぞれの重みづけられた線積
分Ｊijk とＪijk ′が決定される。最後に、重みづけら
れた線積分Ｊijk とＪijk ′の間の差を回転角δβで除
して、平面Ｑijk が円Dijと交差する場所である、円Dij
上の点におけるラドン基準の半径方向微分を生ずる。
【０１３０】２つの積分面の間の回転角δβの決定を、
ケース２の状況に対して幾何学的に得られた下の式によ
り行うことができる。
【０１３１】
【数３３】
【０１３２】ここに、｜ＳＤ｜＝ＳとＤの間の距離、 ｙ ＝ 原点０から線Ｌijk までの距離、 δｙ＝ 移動距離、 である。
【０１３３】ここで、本発明の実施例において求められ
る計算の数について考えることにする。各視角におい
て、ラドン空間中の１つの点において基準を発生するに
は、検出器面上のデータの線について計算することを必
要とする。その検出面はほぼＮ個のデータ点を含む。し
たがって、ラドン殻上の円上にデータを発生するために
はほぼＮ×Ｎ＝Ｎ2 回の計算を必要とする。したがっ
て、ラドン殻をカバーするＮ個の円上にデータを発生す
るために必要な計算の数はほぼＮ×Ｎ2 ＝Ｎ3 回であ
る。最後に、全部でＮ個の視角における計算の総数はＮ
3×Ｎ＝Ｎ4で与えられる。
【０１３４】同じ評価に達するためのより速いやり方は
次の通りである。ラドン空間内の１つの点において基準
を発生するためには、Ｎ回の計算を必要とする。ラドン
空間内にはほぼＮ3 個の点が存在するから、計算の総数
はほぼＮ3 ×Ｎ＝Ｎ4 回である。付 記 Ａ 図２１を参照して、図１１のベクトル
【０１３５】
【数３４】
【０１３６】は、図１１において線Ｕにおいて平面Ｗと
交差する平面Ｑに対して垂直である。
【０１３７】
【数３５】
【０１３８】であるように２つの平面Ｑ1 とＱ2 を定め
る。平面Ｑ1 とＱ2 を線Ｌにおいて交差させる。一般性
を失うことなしに原点を線Ｌ上に置く。
【０１３９】
【数３６】
【０１４０】であるから
【０１４１】
【数３７】
【０１４２】である。同様にして、
【０１４３】
【数３８】
【０１４４】であることを示すことができる。
【０１４５】
【数３９】
【０１４６】を線Ｌに沿う単位ベクトルとする。
【０１４７】
【数４０】
【０１４８】したがって、集合
【０１４９】
【数４１】
【０１５０】は空間の正規直交基底を形成する。また、
平面Ｑ1 は
【０１５１】
【数４２】
【０１５２】によりスパンされ、平面Ｑ2 は
【０１５３】
【数４３】
【０１５４】によりスパンされる。Ｐを平面Ｑ1 上の任
意の点とする。そうすると、あるスカラーλ2 とλ3 に
対して
【０１５５】
【数４４】
【０１５６】である。
【０１５７】
【数４５】
【０１５８】を平面Ｑ2 上のＰに最も近い平面Ｑ2上の
点である。そうすると
【０１５９】
【数４６】
【０１６０】固定されているＰに対して、｜ＰＰ′｜2
はλ1 1＝０およびλ1 3 ＝λ3において最小となる。すな
わち、Ｐ ′＝λ3ｎ3 は線Ｌ上の点である。
【０１６１】
【数４７】
【０１６２】であるから、ＰＰ′は線Ｌと平面Ｑ2に対
して垂直である。
【０１６３】付 記 Ｂ ケース２の状況における図２０の幾何学の解析：
【０１６４】
【数４８】
【０１６５】したがってＳＣはＬに対して垂直、
【０１６６】
【数４９】
【０１６７】Ｌは（ｕ，ｖ）平面内にある したがってＯＳはＬに垂直で、ＯＳはＬに垂直であるか
ら、線ＳＣとＯＳを含む平面は線Ｌに垂直である。Ｌは
ｂ軸に沿うから、この平面はＳを通る（ｃ，ａ）平面で
ある。この平面は点０，Ｓ，Ｃを含む。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明を具体化する再構成装置へ接続されてい
る３Ｄ ＣＴのための円錐状ビーム走査ジオメトリを示
す。
【図２】３Ｄ ＣＴ映像化するためのラドン変換のやり
方を示す線図である。
【図３】与えられた点における物体の３Ｄラドン変換の
表現である。
【図４】その上でラドンデータ（面積分）を決定するよ
うな垂直軸すなわち基準軸をおのおの含むラドン空間内
の１組の同軸平面を示す。
【図５】基準の物体枠と座標系（Ａ）、基準の正規化さ
れた検出器枠と座標系（Ｂ）、およびＡとＢの座標系の
原点が一致するやり方（Ｃ）を示す。
【図６】積分面と、基準の積分枠と、対応する座標系と
を示す。
【図７】物体を通る積分面に対応する円錐状ビームデー
タを示す。
【図８】物体を通る一対の近接している積分面に対応す
る円錐状ビームデータを同様に示す。
【図９】積分面上における幾何学を示す。
【図１０】ラドンデータの半径方向微分をＸ線円錐状ビ
ームデータから計算するために本発明による手順を示
す。
【図１１】１つのＸ線源位置から計算できる平面上のラ
ドンデータを示す。
【図１２】１つのＸ線源位置から計算できる全てのラド
ンデータを表す球殻すなわちラドン殻を示す。
【図１３】あるケースの例として、ある軸を中心とする
回転と名づけられる操作を示す。
【図１４】ある軸を中心とする回転により発生されるラ
ドンデータを示す。
【図１５】正規化された検出器面へ投射された線上のあ
らゆる点において回転操作を行うことによるラドンデー
タの発生を示す。
【図１６】別のケースの例として別の軸を中心とする回
転操作を示す。
【図１７】別の軸を中心とする回転により発生されるラ
ドンデータ（Ａ）、および別の軸を中心とする回転の結
果として生ずる正規化された検出器面上のデータ点と線
（Ｂ）を示す。
【図１８】ラドン空間内の１組の同軸垂直面（Ａ）、特
定のＸ線円錐状ビーム源の位置にして発生されたラドン
殻（Ｂ）、およびＡに示す同軸垂直平面とＢのラドン殻
との交差（Ｃ）を示す。
【図１９】図１８Ｃにおけるように垂直平面がラドン殻
と交差する場所の多くの円の１つを詳細に示し、かつ検
出器データから垂直平面上のラドンデータを発生するた
めのあるケースの手順を示す。
【図２０】Ｘ線源位置が垂直平面の軸上にある時に垂直
平面がラドン殻と交差する場所の円を示し、かつ検出器
データからラドンデータを発生する別のケースの手順を
示す。
【図２１】２つの直交平面の間の交差を示す。
【符号の説明】
２２ 円錐状ビームＸ線源 ２４ ２Ｄ検出器アレイ ３２ データ獲得器 ３４ プロセッサ ３６ 円像表示器
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (51)Int.Cl.5 識別記号 庁内整理番号 ＦＩ 技術表示箇所 Ｇ０６Ｆ 15/72 ４５０ Ｋ 9192−5Ｌ

Claims (2)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 原点を含み、特定の各Ｘ線源位置
    （Ｓi） から原点までの線に対して垂直である正規化さ
    れた検出器平面上の２Ｄデータセットとして、複数のＸ
    線源位置のおのおのに対して編成された物体を通る線積
    分の形の円錐ビーム投射データから物体の３Ｄ映像を再
    構成する方法において、 各Ｘ線源位置（Ｓi） に対して、 データ平面（φj） と特定のＸ線源位置（Ｓi） に対応
    する球殻との交差がその球殻に１組の円（Ｄij）を定め
    るような前記対応するラドンデータを決定できる球殻を
    ラドン空間内で定めることによって、 各円（Ｄij）に対して、 特定のＸ線源位置（Ｓi） を通り、特定の円（Ｄij）と
    交差し、かつ特定の円（Ｄij）の面に垂直である線とし
    て回転軸を定め、 おのおの特定の回転軸を含み、特定の円（Ｄij）と交差
    してラドン基準点（Ｒijk） の場所を定め、かつそれぞ
    れの線上の正規化された検出器平面と交差する１組の同
    軸積分平面（Ｑijk） を定めることによって正規化され
    た検出器平面上の各線（Ｌijk） に対して、 対応する線（Ｌijk ′）上の正規化された検出器平面と
    交差する平面（Ｑijk ′）を定めるため対応する積分平
    面（Ｑijk） を小さい回転角δβだけ回転させ、 それぞれの重みづけられた線積分（Ｊijk） および（Ｊ
    ijk ′）を決定するため線（Ｌijk） および（Ｌ
    ijk ′）に沿って積分し、 特定の点（Ｒijk） におけるラドン基準の半径方向微分
    を生ずるため重みづけられた線積分（Ｊijk） と（Ｊ
    ijk ′）の間の差を回転角δβで除すことによってラド
    ン空間内の１組の平面（φj ）における面積分を表す値
    を決定する過程と、 １組の平面（φj） の面積分を表す値に対して逆ラドン
    変換を行って物体の映像を再構成する過程と、を備える
    ことを特徴とする円錐ビーム投射データから物体の３Ｄ
    映像を再構成する方法。
  2. 【請求項２】 原点を含み、特定の各Ｘ線源位置
    （Ｓi） から原点までの線に対して垂直である正規化さ
    れた検出器平面上の２Ｄデータセットとして、複数のＸ
    線源位置のおのおのに対して編成された物体を通る線積
    分の形の円錐ビーム投射データから物体の３Ｄ映像を再
    構成する装置において、 各Ｘ線源位置（Ｓi） に対して、 データ平面（φj） と特定のＸ線源位置（Ｓi） に対応
    する球殻との交差がその球殻に１組の円（Ｄij）を定め
    るような前記対応するラドンデータを決定できる球殻を
    ラドン空間内で定めることによって、 各円（Ｄij）に対して、 特定のＸ線源位置（Ｓi） を通り、特定の円（Ｄij）と
    交差し、かつ特定の円（Ｄij）の面に垂直である線とし
    て回転軸を定め、 おのおの特定の回転軸を含み、特定の円（Ｄij）と交差
    してラドン基準点（Ｒijk） の場所を定め、かつそれぞ
    れの線上の正規化された検出器平面と交差する１組の同
    軸積分平面（Ｑijk） を定めることによって正規化され
    た検出器平面上の各線（Ｌijk） に対して、 対応する線（Ｌijk ′）上の正規化された検出器平面と
    交差する平面（Ｑijk ′）を定めるため対応する積分平
    面（Ｑijk） を小さい回転角δβだけ回転させ、 それぞれの重みづけられた線積分（Ｊijk） および（Ｊ
    ijk ′）を決定するため線（Ｌijk） および（Ｌ
    ijk ′）に沿って積分し、 特定の点（Ｒijk） におけるラドン基準の半径方向微分
    を生ずるため重みづけられた線積分（Ｊijk） と（Ｊ
    ijk ′）の間の差を回転角δβで除すことによってラド
    ン空間内の１組の平面（φj ）における面積分を表す値
    を決定する手段と、 １組の平面（φj） における面積分を表す値に対して逆
    ラドン変換を行って物体の映像を再構成する手段と、を
    備えることを特徴とする円錐ビーム投射データから物体
    の３Ｄ映像を再構成する装置。
JP3348602A 1990-12-21 1991-12-06 円錐ビーム投射データから物体の三次元計算機断層撮影映像を生成する方法および装置 Expired - Fee Related JPH07120411B2 (ja)

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