CN114065486A - 一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法，涉及阵列天线领域，通过引入期望辐射场的相位作为设计变量，构建阵列天线方向图的新的优化问题；初始化所述设计变量；使用L‑BFGS‑B对所述新的优化问题寻找局部最优解；判断所述最优解是否满足终止条件，若是，则输出局部最优相位，得到相应的阵列天线方向图，若否，则继续迭代，直到得到满意的阵列天线方向图。本发明的有益效果是：大大减少阵列天线中的设计变量维度，降低了计算复杂度，提高了阵列天线方向图综合问题的计算速度。

Description

一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法

技术领域

本发明涉及阵列天线领域，尤其涉及一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法。

背景技术

与传统天线相比，阵列天线可以有效地提高通信系统的通信距离、信号质量、覆盖面积、连通率和频谱效率，在现代无线通信系统中发挥着越来越重要的作用。通过调整天线阵中阵元的数目、位置和激励，可以得到期望的辐射方向图。阵列方向图综合是一个非线性优化问题，许多优秀的方向图综合技术被提出，如解析法、人工智能法等。

各种经典的综合方法都具有很高的计算效率，如Woodward Lawson法、凸优化法、矩阵束法等。然而，传统的数学综合方法不适用于局部最优值较多的综合函数的优化，且数学优化往往需要大量的函数评估，这会减慢方向图综合的计算速度。

因此，一些人工智能方法，如基于人工神经网络(ANN)的阵列合成方法，遗传算法(GAs)，差分进化(DE)，粒子群优化(PSO)被应用于天线阵的设计。神经网络能够处理复杂的非线性问题，但是神经网络的训练需要大量的数据和时间。这些智能优化算法在求解具有一定外部条件的复杂优化问题时显示出了其有效性和优越性。但是，随着设计变量的增加，这些人工智能方法的计算效率和收敛速度会明显变差。

综上所述，现有的方法主要有以下缺陷：

(1)设计变量多；

(2)计算速度慢；

(3)综合效果不佳。

发明内容

为了解决上述问题，本发明提供了一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法，主要包括以下步骤：

S1：引入期望辐射场的相位作为设计变量，构建阵列天线方向图的新的优化问题；

S2：初始化所述设计变量；

S3：使用L-BFGS-B对所述新的优化问题寻找局部最优解；

S4：判断所述最优解是否满足终止条件，若是，则输出设计变量的局部最优相位，若否，则回到步骤S2，继续S2-S4的操作，直至得到局部最优相位，以得到满足设计要求的阵列天线方向图。所述终止条件为至少满足下列条件中的一条：

(1)

小于2.220446049250313*10^-9；f(x^k)表示第k次迭代时的目标函数，f(x^k+1)表示第k+1次迭代时的目标函数；

(2)梯度g_k的投影分量小于10^-5；

(3)达到最大函数评估次数15000；

(4)达到最大迭代次数15000。

进一步地，所述新的优化问题为：

其中，

是设计变量，LSM()表示最优解，p和q是赋形区域的边界表示，

是相位的下界，

是相位的上界。

进一步地，初始化所述设计变量的过程包括，将副瓣区域方向图的幅值设为0，此时则不用考虑副瓣区域辐射场的相位，以减少所述新的优化问题中的设计变量的数目。

进一步地，赋形区域的宽度与副瓣区域的宽度之比r为：

其中，W_shaped表示赋形区域的宽度，W_sidelobe表示副瓣区域的宽度

进一步地，若M＝3N，则得到：

其中，dim(·)表示变量的维度，

为设计变量，即理想场的赋形区域的相位，N为阵元数量，M为阵列天线的方向θ_i的总量，i＝1,2,…,M，r为赋形区域的宽度与副瓣区域的宽度之比；

所述预设要求为，r<2。

本发明提供的技术方案带来的有益效果是：

1、设计变量维度明显减少，引入理想辐射场赋形区域的相位作为设计变量，赋形区域通常很窄，设计变量的维度可以得到显著降低；

2、计算复杂度低，与其他典型的数学优化器相比计算速度很快，可以在较短时间内得到符合条件的最优阵列天线方向图。

附图说明

下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：

图1是本发明实施例中一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法的流程图。

图2是本发明实施例中沿x轴的线性阵列示意图。

图3是本发明实施例中两个典型的线性阵列天线的方向图，(a)为平顶扇形方向图，(b)为余割平方型方向图。

图4是本发明实施例中N＝20时脉冲赋形效果图。

图5是本发明实施例中N＝20时余割赋形效果图。

图6是本发明实施例中N＝200时脉冲赋形效果图。

图7是本发明实施例中N＝200时余割赋形效果图。

具体实施方式

为了对本发明的技术特征、目的和效果有更加清楚的理解，现对照附图详细说明本发明的具体实施方式。

本发明的实施例提供了一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法。

在现有阵列天线方向图综合技术中，设计变量维数的增加往往会减慢方向图综合问题的计算速度。为了解决这个问题，首先，引入期望辐射场的相位作为设计变量，构造了一个新的优化问题。给定相位，可以通过求解线性最小二乘问题确定激励。当赋形区域较窄时，设计变量的维度会显著减小。将相位作为设计变量后，阵列方向图综合问题有许多局部最优解，而局部目标值之间非常接近。然后，使用L-BFGS-B方法来寻找局部最优相位并逼近理想方向图。实验证明，本工作所提出的方法可以在短时间内获得满意的方向图。

如图1所示，图1是本发明实施例中一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法的流程图，具体包括如下步骤：

(一)新的优化问题的构建

(1)阵列天线方向图原理

如图2所示，设线性阵列天线由N个沿x轴分布的阵元组成，每一个阵元都可视为理想的粒子辐射源。

在数值计算时，[-90°,90°]分为M-1个部分，有着M个方向θ_i(i＝1,2,…,M)。M是为阵元数量N的两到三倍。

天线阵在θ_i方向上的辐射场E_i为

其中

其中，

是n维方向向量，

是复激励向量，θ_i是不同方向的角度，θ_i∈[-90°,90°]；λ表示波长；

其中d_n是阵元n和阵元n+1之间的距离；D_n是从原点到第n个阵元位置的向量，因为所有阵元都在一条直线上，所以这些向量可以看作一维向量，

辐射方向图(简称方向图)是场的归一化振幅。在一些方向图综合的应用中，用户只关心某些情况下的方向图，而此时相位是没有被考虑的。

这里，引入符号：

其中，

是理想辐射场的振幅，记作理想方向图；

(其中的相位在一般的方向图综合问题中没有给出)是理想辐射场。

是θ_i方向上的理想辐射场振幅，

是式(1)中θ_i方向上的理想辐射场。

然后，

其中，

是所设计的辐射场的振幅，记作实际方向图；

是实际辐射场。P_i是θ_i方向上的实际辐射场振幅，E_i是θ_i方向上的实际辐射场。

在方向图综合中，如图3所示，理想的方向图通常包括两部分:赋形区域和副瓣区域。如图3所示为两种常见的理想方向图:(a)为平顶扇形方向图，(b)为余割平方型方向图。

理想情况下，设计的方向图与理想的方向图相同，但在大多数情况下，不可能将方向图设计为所需的方向图。因此，方向图综合的目标是尽可能减少设计的方向图和期望的方向图之间的差异。

已知所有阵元的分布。方向图综合通常被认为是一个如下形式的优化问题：

其中

其中，

是目标函数，

是一个包含激励的矢量。优化问题的目标是减小设计的方向图与理想方向图的差异，并以二范数形式构造归一化误差。

需要注意的是，为了求解优化问题的方便，方向图的采样点数目应尽可能少，但为了准确计算

方向图的采样点数目应尽可能多。

(2)新的优化问题

在新的优化问题中，将期望的辐射场的相位作为设计变量。当理想场(包括振幅和相位)确定后，最优激励的解为线性最小二乘问题。因此，阵列天线的方向图综合可以看作是理想场的相位优化。

为了方便讨论，将式(1)中的场E_i改写为实向量形式：

其中

其中，

是复激励，R(·)和I(·)分别表示实部和虚部。

设

是理想辐射场的相位，根据

有：

通常，模式综合是为了接近理想的方向图(即归一化振幅的形状)而不考虑理想相位的信息。但是本发明中，应考虑理想场的相位。通过引入理想辐射场的相位，试图接近理想的辐射场，具体地说，接近理想场的幅值和理想场的相位，而不是一般问题中只接近理想场的幅值也就是方向图。

这个新思想可以用优化问题的公式表示为：

其中

其中，

如式(2)和式(3)所示，

是式(6)中的设计变量。值得注意的是，式(4)和式(8)中的两个问题公式是不同的，式(4)中

只反映了理想场与实际场之间振幅的误差，式(8)中的

反映了振幅和相位的误差。

如式(8)所述，设计变量由激励和相位组成。当相位被设定为某个假设常数时，寻找最优激励的过程可以看作是在

约束下的子空间中寻找最优解的过程。

将

看作常数时，目标是

上的线性最小二乘问题。那么内部极小化只有一个最优解，记作

因此，可以求出式(8)中使平方误差

最小的最小二乘解：

其中，A⁺是摩尔-彭罗斯广义逆矩阵，

是

的一部分，见式(7)。

下一步是优化

在此步骤中，只需用

来计算理想方向图与实际方向图之间的误差。新优化问题的目标可以构造为振幅的平方误差，与一般的方向图综合优化问题相同。将由式(11)计算得到的

赋给激励

然后替换式(8)中

的位置为

然后有:

在理想情况下，天线不向旁瓣区域辐射能量，因此在旁瓣区域所要求的方向图设为零。这样就不需要考虑旁瓣区域的相位，设计变量可以设置为理想场的赋形区域的相位，记作

所以新的最小二乘法辅助的优化问题为：

其中，

是设计变量，p和q是赋形区域的边界，

是相位的下界，

是相位的上界。

(3)设计变量的减少

第(2)部分是将非线性优化问题的设计变量由

转换为

而本部分将解释变量向量维数的减少。根据式(13)得到公式(14)：

其中

样品在赋形区域的采样的方向数为

的尺寸。W_shaped表示赋形区域的宽度，W_sidelobe表示副瓣区域的宽度，用r表示赋形区域的宽度与副瓣区域的宽度之比，则

若M＝3N，则

那么

根据式(17)，若满足r＜2，新的优化问题的设计变量数会小于一般优化问题的设计变量数。在实际工程中，赋形区域通常是狭窄而尖锐的，赋形区域与旁瓣区域的比值接近于零，设计变量的减少是非常显著的。而且，r越小，优化变量的减少越显著。

(二)理想场相位的快速优化

以相位为设计变量后，问题有许多局部最优解，而局部目标值之间非常接近。基于对问题特性的充分分析和利用，本发明使用L-BFGS-B寻找局部最优相位，逐渐接近理想的方向图。

L-BFGS-B算法的输入和输出如下：

输入：目标函数f(x)，

精度要求ε；

输出：f(x)的极小点x^*；

其具体步骤如下：

(1)选定算法中的参数x₀、B₀，并设置参数k＝0；x₀为初始值，其值可以随机选择，B₀为初始的近似逆海森矩阵，是一个单位矩阵；k是迭代次数，k＜＝15000；

(2)计算第k次迭代的梯度g_k＝g(x^(k))，如满足终止条件，则停止迭代，得到局部最优解；

(3)由B_kP_k＝-g_k，求出p_k；

(4)球

(5)置x^(k+1)＝x^(k)+λ_kP_k；

(6)计算g_k+1＝g(x^(k+1))，如满足终止条件，则停止迭代，得到局部最优解，若不能满足终止条件，则计算第k+1次迭代的近似逆海森矩阵B_k+1；

(7)k＝k+1，回到步骤(3)；

其中，

表示求梯度，B_k表示第k次迭代的近似逆海森矩阵。

(三)本发明的技术关键点在于：

1、引入理想辐射场的赋形区域的相位作为设计变量，建立了一个新的优化问题，大大减少了设计变量的维度；

2、充分利用新的优化问题中有很多个非常接近的局部最优值的特点，提出使用L-BFGS-B算法来寻找局部最优相位，减少了天线综合问题的计算复杂度。

本发明通过构造了一种新的优化问题，将原来的以激励

为变量的优化问题转化为以相位

为变量的优化问题，并使用L-BFGS-B来寻找局部最优解。为了说明新的优化问题的好处和算法的有效性，本实施例中，采用线性阵列中一组广泛使用的扇形和余割平方方向图作为测试问题。扇形方向图的赋形区域选择为[-20°，20°]，余割平方方向图的赋形区域选择为[3°，40°]。LSM在辐射区域的采样点M应该选择为阵列尺寸N的2～3倍，本实施例中，采用N＝20，N＝200，M＝3N。阵列天线为间距为0.5λ的等间距线性阵列。

为说明设计变量维度的减少，根据上述测试，得到表1N＝20和N＝200的阵列天线扇形方向图和余割平方方向图综合问题中的设计变量维度比较

表1

赋形方向图及阵元数目	一般的优化问题	新的优化问题
			脉冲赋形(N＝20)	40	11
余割赋形(N＝20)	40	9
			脉冲赋形(N＝200)	400	110
余割赋形(N＝200)	400	90

从表1可以看出，以赋形区域的相位为设计变量的新优化问题的变量维数要比以激励为设计变量的普通优化问题的变量维数小得多。搜索空间往往随决策变量的个数呈指数增长，随着变量维数的减小，大大降低了求解方向图综合的计算成本。

将本发明所公开的方法与scipy.optimize.minimize中的其他所有无约束算法和边界约束算法进行比较。重复实验25次，设置25个不同的初始相位来寻找不同的局部最优解，以比较不同算法的性能。在25次实验中，统计了目标函数值和函数评估次数来评价算法的性能，目标函数值可以反映算法的有效性，函数评估次数可以反映算法的计算复杂度。

表2为N＝20时扇形赋形的目标值均值、目标值标准差、函数评估次数均值和函数评估次数标准差的比较。表3为N＝20时余割赋形的目标值均值、目标值标准差、函数评估次数均值和函数评估次数标准差的比较。

表2 N＝20时阵列天线扇形方向图合成25次实验的误差和函数平局次数的比较(“-”说明该算法不能在所有实验中都有效)

表3 N＝20时阵列天线余割方向图合成25次实验的误差和函数平局次数的比较(“-”说明该算法不能在所有实验中都有效)

然后，为了验证所提方法在元素数较大时的有效性，将所提方法与CG、BFGS、L-BFGSB和Powell在N＝200时的性能进行了比较，因为它们在之前的实验中有更好的性能。

表4为N＝200时扇形赋形的目标值均值、函数评估次数均值和时间消耗均值的比较。表5为N＝200时余割赋形的目标值均值、函数评估次数均值和时间消耗均值的比较。由于表2和表3已经给出了均值和标准差的一般规律，所以在表4和表5中没有给出标准差。

表4 N＝200时阵列天线扇形方向图合成25次实验的误差和函数平局次数的比较

表5 N＝200时阵列天线余割方向图合成25次实验的误差和函数平局次数的比较

从表2、表3、表4、表5可以看出，不同方法得出的目标值比较接近。在初始相位不同的情况下，最优目标值不同，但又很接近。这表明该问题有许多局部最优值，而局部最优值彼此之间非常接近。L-BFGS-B的函数评估次数明显小于其他方法。由于其他方法都需要计算目标函数的梯度、Hessian或近似逆Hessian，这就需要很多次目标函数评估。

图4为N＝20时脉冲赋形效果图，图5为N＝20时余割赋形效果图，图6为N＝200时脉冲赋形效果图，图7为N＝200时余割赋形效果图。通过图4-7可以得知，本发明所提出的方法能在线性阵列中获得满意的方向图，纹波水平很低，在没有约束的情况下大部分旁瓣在-30dB以下。

本发明的有益效果是：

1、设计变量维度明显减少，引入理想辐射场赋形区域的相位作为设计变量，赋形区域通常很窄，设计变量的维度可以得到显著降低；

2、计算复杂度低，与其他典型的数学优化器相比计算速度很快，可以在较短时间内得到符合条件的方向图。

以上所述仅为本发明的较佳实施例，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法，其特征在于：包括以下步骤：

S1：引入期望辐射场的相位作为设计变量，构建阵列天线方向图的新的优化问题；

S2：初始化所述设计变量；

S3：使用L-BFGS-B对所述新的优化问题寻找局部最优解；

S4：判断所述最优解是否满足终止条件，若是，则输出设计变量的局部最优相位，若否，则回到步骤S2，继续S2-S4的操作，直至得到局部最优相位，以得到满足设计要求的阵列天线方向图。

2.如权利要求1所述的一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法，其特征在于：步骤S1中，所述新的优化问题为：

其中，

是设计变量，LSM()表示最小二乘法解得的最优解，p和q是赋形区域的边界表示，

是相位的下界，

是相位的上界。

3.如权利要求1所述的一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法，其特征在于：步骤S2中，初始化所述设计变量的过程包括，将副瓣区域方向图的幅值设为0，此时则不用考虑副瓣区域辐射场的相位，以减少所述新的优化问题中的设计变量的数目。

4.如权利要求1所述的一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法，其特征在于：步骤S2中，赋形区域的宽度与副瓣区域的宽度之比r为：

其中，W_shaped表示赋形区域的宽度，W_sidelobe表示副瓣区域的宽度。

5.如权利要求3所述的一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法，其特征在于：步骤S2中，若M＝3N，则得到：

其中，dim(·)表示变量的维度，

为设计变量，即理想场的赋形区域的相位，N为阵元数量，M为阵列天线的方向θ_i的总量，i＝1,2,…,M，r为赋形区域的宽度与副瓣区域的宽度之比；

所述预设要求为，r<2。

6.如权利要求1所述的一种基于新的优化问题的快速阵列天线方向图综合方法，其特征在于：在步骤S4中，所述终止条件为至少满足下列条件中的一条：

(1)

小于2.220446049250313*10^-9；f(x^(k))表示第k次迭代时的目标函数，f(x^(k+1))表示第k+1次迭代时的目标函数；

(2)梯度g_k的投影分量小于10^-5；

(3)达到最大函数评估次数15000；

(4)达到最大迭代次数15000。

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