CN113189538A - 一种基于互质稀疏排列的三元阵列及其空间谱估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于互质稀疏排列的三元阵列及其空间谱估计方法，所述三元阵列的结构通式为：M、N、Q∈N₊且(M,N)＝1，M＞N，

为向上取整；三元阵列包括子阵1、子阵2和子阵3，子阵1、子阵2和子阵3为间距不同的均匀线阵，子阵1的阵元数为M，阵元间距为d₁＝Nd；子阵2的阵元数为N，阵元间距为d₂＝Md；子阵3的阵元数为Q+1，阵元间距为d₃＝‑(M+N)d＝Ld，其中，d＝1/2λ，λ为入射信号的波长。本发明属于信号处理技术领域，通过改变阵型结构、增加子阵个数及合理设计各个阵元之间的间距，得到一种更高分辨率、更小计算复杂度和更大自由度的非均匀阵列结构。

Description

一种基于互质稀疏排列的三元阵列及其空间谱估计方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，具体是指一种基于互质稀疏排列的三元阵列及其空间谱估计方法。

背景技术

在阵列信号处理领域，波达方向估计因具有广泛的适用性，一直以来都备受国内外研究者关注；然而，随着研究的持续深入和技术标准的不断提升，DOA估计算法性能的要求也愈来愈高。

经典的高分辨算法均是针对均匀线阵提出的，均匀线阵的阵元间距太小，在实际工作时，阵元间的相互电磁作用会引起互耦以致模型失配，且受瑞利限的影响DOA估计的分辨率有限；同时均匀线阵存在欠定问题，估计信源数受限于阵元数目且自由度有限。因此，现有的高分辨算法及阵型结构已经不能满足军事和民用领域的要求，进一步研究具有低复杂度、高分辨率，同时能有效提高自由度的新算法及新阵型具有实际意义。

近年来的研究热点是基于非均匀线阵的高分辨波达方向估计。其中，互质阵是一种特殊的非均匀线阵，针对互质阵的DOA估计是一类基于互质稀疏采样技术的信号处理方法。互质稀疏采样技术利用一组时域互质的稀疏采样器对信号进行稀疏采样，可以突破奈奎斯特采样的限制实现信号欠采样；将互质稀疏采样获得的接收数据用于信号参数估计中可获得更大的自由度。在阵元数相同的情况下，稀疏阵型设计可获得更大的自由度，典型的稀疏阵型有最小冗余阵、嵌套阵、互质阵等。

因此，通过改变阵型结构、增加子阵个数及合理设计各个阵元之间的间距，提出一种基于互质稀疏排列的三元阵列及其空间谱估计方法，在总阵元数固定的情况下，该三元阵列结构可得到更高分辨率、更小计算复杂度和更大自由度的DOA估计。

发明内容

为解决上述现有难题，本发明提供了一种有效解决均匀线阵的阵元间距太小、阵元间耦合干扰较大、且受瑞利限的影响导致DOA估计的分辨率有限、稀疏阵列结构构造复杂、无结构通用表达式、估计信源的个数受限于较短子阵的阵列长度、估计自由度与估计分辨率不能同时满足问题；且构造简单、存在结构通式；自由度更大、阵元之间的耦合干扰更小；普适性更强，适用于解模糊方法、虚拟化阵元方法及压缩感知方法的基于互质稀疏排列的三元阵列及其空间谱估计方法。

本发明采用的技术方案如下：一种基于互质稀疏排列的三元阵列，所述三元阵列的结构通式为： M、N、Q∈N₊且(M,N)＝1，M＞N，

为向上取整；三元阵列包括子阵1、子阵2和子阵3，子阵1、子阵2和子阵3为间距不同的均匀线阵，子阵1的阵元数为M，阵元间距为d₁＝Nd；子阵2的阵元数为N，阵元间距为d₂＝Md；子阵3的阵元数为Q+1，阵元间距为 d₃＝-(M+N)d＝Ld，当子阵1、子阵2和子阵3共用一个参考阵元时，它们的其余阵元位置互不重合，其中，d＝1/2λ，λ为入射信号的波长。

一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法，包括如下步骤：

1)给出三元阵列结构通式；

2)定义三元阵列差集并分析其自由度和相异值个数；

3)分别运用解模糊算法、虚拟化阵元算法、压缩感知算法中的一种算法推导三元阵列的空间谱估计。

进一步地，步骤2)所述的定义三元阵列差集并分析其自由度和相异值个数，具体步骤如下：

2a)根据三元阵列结构，定义如下函数：

S₁(m,n)＝Mn-Nm,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1；

S₂(q,n)＝Mn-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤n≤N-1；

S₃(q,m)＝Nm-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤m≤M-1；

2b)表示三元阵列差集为S＝{S₁(m,n)∪S₂(q,n)∪S₃(q,m)}；

2c)在不同阵列总数构造三元阵列，并结合数据表计算三元阵列差集产生的连续值及相异值个数：三元阵列用

个阵元达到MN-1个连续值，差集 {±S₁(m,n),±S₂(q,n),±S₃(q,m)}中含有相异整数值的个数有

个。

进一步地，步骤3)所述的算法采用解模糊算法，运用解模糊算法推导三元阵列的空间谱估计的具体过程如下：

3a)将三元阵列分解为三组均匀子阵，并得到个分解子阵的导向矢量：

3b)结合music算法得到三元阵列各分解子阵的空间谱：

3c)利用阵元间距互质消除角度模糊：当阵列的阵元间距大于半波长时，阵列空间谱会存在相位模糊问题，而三元阵列的三组分解子阵的阵元间距Md、Nd、-(M+N)d是两两互质的，故可消除相位模糊得到空间谱估计的唯一解。

进一步地，步骤3)所述的算法采用虚拟化阵元算法，运用虚拟化阵元算法推导三元阵列的空间谱估计的具体过程如下：

4a)由阵列天线接收机对空间信号采样得到接收信号X(t)，并计算数据协方差R_XX；

4b)将数据协方差矩阵R_XX按照差集连续值排列，得到一个新的矩阵R_new：当考虑集合 S＝{S₁(m,n)∪S₂(q,n)∪S₃(q,m)}对称的复数部分时，三元阵列差集中包含2MN-1个连续变化的整数，其取值范围为[-MN+1,MN-1]，且差集元素有重复值，故可将数据协方差矩阵R_XX按照差集连续值排列，得到一个新的矩阵R_new，该矩阵的主对角线存放差集为零的元素

第一副对角线(上)存放差集为1的元素

第一副对角线(下)存放差集为-1的元素

以此类推，第MN-1 对角线(上)存放差集为MN-1的元素

第MN-1对角线(下)存放差集为MN-1的元素

即

4c)考虑到三元阵列差集取值有重复，对矩阵R_new中同一差集对应的元素进行平均，得到一个对角线平均的重构矩阵R_T，并利用music方法进行空间谱估计。

进一步地，步骤3)所述的算法采用压缩感知算法，运用压缩感知算法推导三元阵列的空间谱估计的具体过程如下：

5a)定义lasso方法的目标函数

式中，λ_t为正则化参数，l₂范数为普通最小二乘代价函数，l₁范数包含稀疏性约束，z为矢量化协方差矩阵，

为稀疏字典，

表示在B^g上的展开系数，

表示P个信号源的平均功率，

表示噪声的平均功率；

5b)定义

和

将上述lasso目标表达式等价地描述为

利用压缩感知的lasso估计即可求得信号的来波方向。

采用上述方案本发明取得有益效果如下：本发明一种基于互质稀疏排列的三元阵列及其空间谱估计方法，解决了均匀线阵的阵元间距太小、阵元间耦合干扰较大、且受瑞利限的影响导致DOA估计的分辨率有限的问题；克服了稀疏阵列结构构造复杂、无结构通用表达式、估计信源的个数受限于较短子阵的阵列长度、估计自由度与估计分辨率不能同时满足的缺点；通过改变阵型结构、增加子阵个数及合理设计各个阵元之间的间距，得到一种更高分辨率、更小计算复杂度和更大自由度的非均匀阵列结构；且三元阵列普适性更强，适用于解模糊方法、虚拟化阵元算法及压缩感知方法。

附图说明

图1为本发明一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法的流程框图；

图2为本发明一种基于互质稀疏排列的三元阵列的结构示意图；

图3为本发明一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法的仿真1的信噪比与均方误差的折线图；

图4为本发明一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法的仿真1的采用次数与均方误差的折线图；

图5为本发明一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法的仿真2的信噪比与均方误差的折线图；

图6为本发明一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法的仿真2的采用次数与均方误差的折线图；

图7为基本互质阵空间谱估计图；

图8为扩展互质阵空间谱估计图；

图9为CACIS嵌套阵的空间谱估计图；

图10为CADiS嵌套阵的空间谱估计图；

图11为本发明一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计图。

具体实施方式

下面将对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。

实施例1：一种基于互质稀疏排列的三元阵列，所述三元阵列的结构通式为：M、N、Q∈N₊且 (M,N)＝1，M＞N，

为向上取整；

三元阵列包括子阵1、子阵2和子阵3，子阵1、子阵2和子阵3为三组稀疏均匀线阵，子阵1的阵元数为M，阵元间距为d₁＝Nd；子阵2的阵元数为N，阵元间距为d₂＝Md；子阵3的阵元数为Q+1，阵元间距为d₃＝-(M+N)d＝Ld，当子阵1、子阵2和子阵3共用一个参考阵元时，它们的其余阵元位置互不重合，其中，d＝1/2λ，λ为入射信号的波长。

一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法，包括如下步骤：

1)利用天线接收机形成三元阵列：子阵1每间隔Nd放置1个天线接收机，一共放置M个，子阵2 每间隔Md放置1个天线接收机，一共放置N个，子阵3每间隔-(M+N)d放置1个天线接收机，一共放置 Q+1个，三组子阵组合形成一个非均匀线阵，每个天线接收机成为一个阵元，假设有P个远场窄带信号入射到三元阵列上，且信号在传播过程中加入了零均值的高斯白噪声，其中，M、N、Q∈N₊且 (M,N)＝1，M＞N，

为向上取整，

λ为入射信号的波长；

2)定义三元阵列差集并分析其自由度和相异值：根据三元阵列结构，定义如下函数：

S₁(m,n)＝Mn-Nm,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1；

S₂(q,n)＝Mn-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤n≤N-1；

S₃(q,m)＝Nm-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤m≤M-1；

则三元阵列差集可表示为S＝{S₁(m,n)∪S₂(q,n)∪S₃(q,m)}，为分析三元阵列的连续值及相异值个数，在不同阵列总数构造三元阵列，并结合表1计算三元阵列差集产生的连续值及相异值个数：

表1

由表1中数据可以得出：三元阵列可用

个阵元达到MN-1个连续值，差集 {±S₁(m,n),±S₂(q,n),±S₃(q,m)}中含有相异整数值的个数有

个；

3)运用模糊算法推导三元阵列的空间谱估计，具体流程如下：将三元阵列分解为三组均匀子阵，并得到分解子阵的导向矢量：

结合MUSIC算法得到三元阵列各分解子阵的空间谱：

当阵列的阵元间距大于半波长时，阵列空间谱会存在相位模糊问题，而三元阵列的三组分解子阵的阵元间距Md、Nd、-(M+N)d是两两互质的，故可消除相位模糊得到DOA的唯一解。

实施例2：一种基于互质稀疏排列的三元阵列，所述三元阵列的结构通式为：M、N、Q∈N₊且 (M,N)＝1，M＞N，

为向上取整；

三元阵列包括子阵1、子阵2和子阵3，子阵1、子阵2和子阵3为三组稀疏均匀线阵，子阵1的阵元数为M，阵元间距为d₁＝Nd；子阵2的阵元数为N，阵元间距为d₂＝Md；子阵3的阵元数为Q+1，阵元间距为d₃＝-(M+N)d＝Ld，当子阵1、子阵2和子阵3共用一个参考阵元时，它们的其余阵元位置互不重合，其中，d＝1/2λ，λ为入射信号的波长。

一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法，包括如下步骤：

1)利用天线接收机形成三元阵列：子阵1每间隔Nd放置1个天线接收机，一共放置M个，子阵2 每间隔Md放置1个天线接收机，一共放置N个，子阵3每间隔-(M+N)d放置1个天线接收机，一共放置 Q+1个，三组子阵组合形成一个非均匀线阵，每个天线接收机成为一个阵元，假设有P个远场窄带信号入射到三元阵列上，且信号在传播过程中加入了零均值的高斯白噪声，其中，M、N、Q∈N₊且 (M,N)＝1，M＞N，

为向上取整，

λ为入射信号的波长；

2)定义三元阵列差集并分析其自由度和相异值：根据三元阵列结构，定义如下函数：

S₁(m,n)＝Mn-Nm,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1；

S₂(q,n)＝Mn-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤n≤N-1；

S₃(q,m)＝Nm-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤m≤M-1；

则三元阵列差集可表示为S＝{S₁(m,n)∪S₂(q,n)∪S₃(q,m)}，为分析三元阵列的连续值及相异值个数，我们在不同阵列总数构造三元阵列，并结合表1计算三元阵列差集产生的连续值及相异值个数；由表1中数据可以得出：三元阵列可用

个阵元达到MN-1个连续值，差集 {±S₁(m,n),±S₂(q,n),±S₃(q,m)}中含有相异整数值的个数有

个；

3)运用虚拟化阵元算法推导三元阵列的空间谱估计，具体流程如下：

4a)由阵列天线接收机对空间信号采样得到接收信号X(t)，并计算数据协方差R_XX；

4b)将数据协方差矩阵R_XX按照差集连续值排列，得到一个新的矩阵R_new；

当考虑集合S＝{S₁(m,n)∪S₂(q,n)∪S₃(q,m)}对称的复数部分时，三元阵列差集中包含2MN-1 个连续变化的整数，其取值范围为[-MN+1,MN-1]，且差集元素有重复值，故可将数据协方差矩阵R_XX按照差集连续值排列，得到一个新的矩阵R_new，该矩阵的主对角线存放差集为零的元素

第一副对角线上存放差集为1的元素

第一副对角线(下)存放差集为-1的元素

以此类推，第MN-1对角线(上)存放差集为MN-1的元素

第MN-1对角线(下)存放差集为MN-1 的元素

即

4c)考虑到三元阵列差集取值有重复，对矩阵R_new中同一差集对应的元素进行平均，得到一个对角线平均的重构矩阵R_T，并利用music方法进行DOA估计；

实施例3：一种基于互质稀疏排列的三元阵列，所述三元阵列的结构通式为：M、N、Q∈N₊且 (M,N)＝1，M＞N，

为向上取整；

三元阵列包括子阵1、子阵2和子阵3，子阵1、子阵2和子阵3为三组稀疏均匀线阵，子阵1的阵元数为M，阵元间距为d₁＝Nd；子阵2的阵元数为N，阵元间距为d₂＝Md；子阵3的阵元数为Q+1，阵元间距为d₃＝-(M+N)d＝Ld，当子阵1、子阵2和子阵3共用一个参考阵元时，它们的其余阵元位置互不重合，其中，d＝1/2λ，λ为入射信号的波长。

一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法，包括如下步骤：

1)利用天线接收机形成三元阵列：子阵1每间隔Nd放置1个天线接收机，一共放置M个，子阵2 每间隔Md放置1个天线接收机，一共放置N个，子阵3每间隔-(M+N)d放置1个天线接收机，一共放置 Q+1个，三组子阵组合形成一个非均匀线阵，每个天线接收机成为一个阵元，假设有P个远场窄带信号入射到三元阵列上，且信号在传播过程中加入了零均值的高斯白噪声，其中，M、N、Q∈N₊且 (M,N)＝1，M＞N，

为向上取整，

λ为入射信号的波长；

2)定义三元阵列差集并分析其自由度和相异值：根据三元阵列结构，定义如下函数：

S₁(m,n)＝Mn-Nm,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1；

S₂(q,n)＝Mn-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤n≤N-1；

S₃(q,m)＝Nm-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤m≤M-1；

则三元阵列差集可表示为S＝{S₁(m,n)∪S₂(q,n)∪S₃(q,m)}，为分析三元阵列的连续值及相异值个数，我们在不同阵列总数构造三元阵列，并结合表1计算三元阵列差集产生的连续值及相异值个数；由表1中数据可以得出：三元阵列可用

个阵元达到MN-1个连续值，差集 {±S₁(m,n),±S₂(q,n),±S₃(q,m)}中含有相异整数值的个数有

个；

3)运用压缩感知算法推导三元阵列的空间谱估计，具体流程如下：

5a)定义lasso方法的目标函数

式中，λ_t为正则化参数，l₂范数为普通最小二乘代价函数，l₁范数包含稀疏性约束，z为矢量化协方差矩阵，

为稀疏字典，

表示在B^g上的展开系数，

表示P个信号源的平均功率，

表示噪声的平均功率；

5b)定义

和

将上述lasso目标表达式等价地描述为

利用压缩感知的lasso估计即可求得信号的来波方向。

本发明可以通过以下仿真说明：

1.仿真条件：考虑阵列由全向阵元组成，信源均为远场窄带独立信号，空域角度搜索范围为 [-90° 90°]。

均方误差计算式为：

式中，I表示蒙特卡洛实验次数，

表示第i次试验的波达方向角，θ_p表示信号真实的波达方向角。

2.仿真内容与结果：

仿真1：考虑远场窄带独立信源的波达方向为30°、60°，阵列总数为13，利用乘积解模糊方法分别对简单互质阵和三元阵列进行仿真实验。实验结果如图3和图4所示，其中：图3中横坐标表示信噪比，纵坐标表示均方误差；图4中横坐标表示采样次数，纵坐标表示均方误差；

从图3和图4中可以看出，在图3中，三元阵列结构均方误差均低于简单互质阵结构，尤其是当SNR 较低时，三元阵列可以实现更高精度的DOA估计；在图4中，随着采样次数的增加，DOA估计误差逐渐减小，但三元阵列的估计性能明显优于简单互质阵。

仿真2：选取9个来波方向在[-60°60°]范围内均匀分布的远场窄带独立信源，阵列长度设置为10，利用对角线均值Toeplitz方法分别对基本互质阵、CACIS阵、CADiS阵和三元阵列进行蒙特卡洛仿真实验，实验结果如图5和图6所示：图5中横坐标表示信噪比，纵坐标表示均方误差；图6中横坐标表示采样次数，纵坐标表示均方误差；

图4和图6显示了不同阵列结构的DOA估计均方误差：在不同信噪比和不同采样次数下，相比于基本互质阵、CACIS阵、CADiS阵，三元阵列均可得到较小的估计误差。

仿真3：选取21个来波方向在[-60°60°]范围内均匀分布的远场窄带独立信源，Lasso方法的估计谱如图所示。图3阵列长度为10(基本互质阵设置为M＝5，N＝6，最大相异值为39；扩展互质阵设置为M＝2*3， N＝5，最大相异值为43；CACIS嵌套阵设置为M＝5，N＝6，最大相异值为51；CADiS嵌套阵设置为M＝5， N＝6，p＝5，最大相异值为61；三元阵列设置为M＝4，N＝5，Q＝2，最大相异值为59)输入信噪比为10dB，采样次数为500次，未设置正则化参数。

图7、8、9、10、11分别为基本互质阵、扩展互质阵、CACIS嵌套阵CADiS嵌套阵及三元阵列的DOA 估计图。

从图5可以看出：相比于基本互质阵、扩展互质阵、CACIS嵌套阵，三元阵列的相异值个数最多，估计性能最好；虽然三元阵列相异值个数略小于CADiS嵌套阵，但其互耦泄露值小于CADiS嵌套阵，最终三元阵列估计性能优于CADiS嵌套阵。

综上，本发明阵列结构可实现更高分辨率、更小计算复杂度和更大自由度的DOA估计，且三元阵列普适性更强，适用于解模糊方法、虚拟化阵元算法及压缩感知方法。

以上所述仅为本发明的实施例，并非因此限制本发明的专利范围，凡是利用本发明说明书内容所作的等效结构或等效流程变换，或直接或间接运用在其它相关的技术领域，均同理包括在本发明的专利保护范围内。

Claims (6)

1.一种基于互质稀疏排列的三元阵列，其特征在于，所述三元阵列的结构通式为：M、N、Q∈N₊且(M,N)＝1，M＞N，

为向上取整；三元阵列包括子阵1、子阵2和子阵3，子阵1、子阵2和子阵3为间距不同的均匀线阵，子阵1的阵元数为M，阵元间距为d₁＝Nd；子阵2的阵元数为N，阵元间距为d₂＝Md；子阵3的阵元数为Q+1，阵元间距为d₃＝-(M+N)d＝Ld，其中，d＝1/2λ，λ为入射信号的波长。

2.一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)给出三元阵列结构通式；

2)定义三元阵列差集并分析其自由度和相异值个数；

3)运用解模糊算法、虚拟化阵元算法、压缩感知算法中的一种算法推导三元阵列的空间谱估计。

3.根据权利要求2所述的一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法，其特征在于，步骤2)所述的定义三元阵列差集并分析其自由度和相异值个数，具体步骤如下：

2a)根据三元阵列结构，定义如下函数：

S₁(m,n)＝Mn-Nm,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1；

S₂(q,n)＝Mn-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤n≤N-1；

S₃(q,m)＝Nm-Lq，L＝-(M+N)，1≤q≤Q，0≤m≤M-1；

2b)表示三元阵列差集为S＝{S₁(m,n)∪S₂(q,n)∪S₃(q,m)}；

2c)在不同阵列总数下构造三元阵列，并结合数据表计算三元阵列差集产生的连续值及相异值个数：三元阵列用

个阵元达到MN-1个连续值，差集{±S₁(m,n),±S₂(q,n),±S₃(q,m)}中含有相异整数值的个数有

个。

4.根据权利要求2所述的一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法，其特征在于，步骤3)所述的算法采用解模糊算法，运用解模糊算法推导三元阵列的空间谱估计的具体过程如下：

3a)将三元阵列分解为三组均匀子阵，并得到各分解子阵的导向矢量：

3b)结合music算法得到三元阵列各分解子阵的空间谱：

3c)利用阵元间距互质消除角度模糊：三元阵列的三组分解子阵的阵元间距Md、Nd、-(M+N)d是两两互质的，消除相位模糊得到空间谱估计的唯一解。

5.根据权利要求2所述的一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法，其特征在于，步骤3)所述的算法采用虚拟化阵元算法，运用虚拟化阵元算法推导三元阵列的空间谱估计的具体过程如下：

4a)由阵列天线接收机对空间信号采样得到接收信号X(t)，并计算数据协方差R_XX；

4b)将数据协方差矩阵R_XX按照差集连续值排列，得到一个新的矩阵R_new：

4c)考虑到三元阵列差集取值有重复，对矩阵R_new中同一差集对应的元素进行平均，得到一个对角线平均的重构矩阵R_T，并利用music方法进行空间谱估计。

6.根据权利要求2所述的一种基于互质稀疏排列的三元阵列的空间谱估计方法，其特征在于，步骤3)所述的算法采用压缩感知算法，运用压缩感知算法推导三元阵列的空间谱估计的具体过程如下：

5a)定义lasso方法的目标函数

式中，λ_t为正则化参数，l₂范数为普通最小二乘代价函数，l₁范数包含稀疏性约束，z为矢量化协方差矩阵，

为稀疏字典，

表示在B^g上的展开系数，

表示P个信号源的平均功率，

表示噪声的平均功率；

5b)定义

和

将上述lasso目标表达式等价地描述为

利用压缩感知的lasso估计即可求得信号的来波方向。

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