CN113985730A - 一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法 - Google Patents

一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法 Download PDF

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CN113985730A CN202111150983.3A CN202111150983A CN113985730A CN 113985730 A CN113985730 A CN 113985730A CN 202111150983 A CN202111150983 A CN 202111150983A CN 113985730 A CN113985730 A CN 113985730A
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Abstract

本发明提出一种基于斜坡响应的双控制器闭环系统辨识方法，属于自动控制技术领域。将提取得到的闭环系统设定值和输出的序列集均减去设定值斜坡变化前的稳态值得到设定值和输出第一级序列集，设定值和输出第一级序列集通过数学计算得到设定值和输出第二级序列集；结合待辨识对象的已知延迟时间常数、串联反馈控制器参数、设定值和输出第二级序列集，通过计算得到一阶惯性加纯延迟系统的待辨识参数。该方法通过适当变换可以得到二阶惯性加纯延迟系统的待辨识参数。本发明能够辨识含双控制器的被控对象，为控制策略设计和优化提出模型，具有一定的应用潜力。

Description

一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法
技术领域
本发明属于自动控制技术领域，尤其是一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法。
背景技术
随着工业生产中自动化水平的逐渐提高，提高系统的控制品质也变得越来越重要，为提高控制品质，控制器设计与优化变得尤为重要。系统辨识是控制器设计和优化的重要组成部分，也是实施先进控制方法和控制方法改进的基础。工业过程中存在着一类不稳定对象，该类对象由于没有控制器作用时系统无法收敛，此外，由于设定值在变化时一般是按照一定速率变化，设定值的变化不是严格意义的阶跃响应而是斜坡响应，因此研究基于反馈控制器作用下的闭环系统斜坡响应数据来辨识不稳定对象是十分有必要的。
因此提出一种针对不稳定的基于工业过程中的闭环系统斜坡数据和输出数据的闭环辨识方法，能够解决不稳定对象的闭环辨识方问题，为不稳定对象的进一步的控制策略设计以及参数优化，并为先进控制方法实施提供模型基础，具有很强的工业应用价值和应用前景。
发明内容
本发明的目的是解决一类不稳定对象的闭环辨识问题，提出基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法。
本发明第一方面提供一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法，该方法包括以下步骤：
1)提取得到闭环系统在设定值斜坡变化前后的同一时间段内的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0；
2)闭环系统在设定值斜坡变化前的稳态值为rs，将步骤1)中采集的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0中每一个数据均减去稳态值rs，分别得到设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中的数据；
3)闭环系统设定值斜坡变化的幅值为l，斜率为γ，定义不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000011
不超过(τ+l/γ)/ΔT的最大整数为ξ；不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000012
对步骤2)中得到的设定值初级数据集R1中的数据进行代数变换得到设定值中级数据集R11、R21和R31中的数据；
4)对步骤2)中得到的系统输出初级数据集Y1中的数据进行计算处理，得到系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据；
5)一类不稳定对象的传递函数表达式如下：
Figure BDA0003287090910000021
其中，G(s)为对象的传递函数，s和τ分别为微分算子和对象已知的延迟时间常数，a1和a2为被控对象的待辨识参数；
闭环系统中的反馈控制器为C(s)，反馈控制器C(s)的数学表达式如下：
Figure BDA0003287090910000022
其中，kp、ki和kd为反馈控制器C(s)的已知参数，分别为C(s)的比例增益系数、积分增益系数和微分增益系数；
对步骤3)得到的设定值中级数据集R11、R21和R31中的数据以及步骤4)得到的系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据进行代数计算得到数据集θ1和θ2中的数据；
6)将步骤5)中得到的数据集θ1和θ2变换得到末级数据集θ；末级数据集θ的数学计算式如下：
Figure BDA0003287090910000023
其中
Figure BDA0003287090910000024
和
Figure BDA0003287090910000025
分别为数据集θ1的转置和数据集θ2的转置；对象的待辨识系数a2和a1组成的参数向量
Figure BDA0003287090910000026
参数向量
Figure BDA0003287090910000027
的形式如下：
Figure BDA0003287090910000028
7)令中间变量P的初值为充分大的正矩阵，
Figure BDA0003287090910000029
其中λ∈[103～1015]；参数向量
Figure BDA00032870909100000210
的初值为零向量或者充分小的实向量，
Figure BDA00032870909100000211
其中ν∈[0～10]；基于步骤3)中系统输出初级数据集和步骤6)中末级数据集θ，采用递推最小二乘法计算参数向量
Figure BDA00032870909100000212
的估计值；递推最小二乘法的第一步计算采用下式进行计算：
Figure BDA0003287090910000031
其中下标(1)表示第一步计算结果，
Figure BDA0003287090910000032
8)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤7)中得到的数据，递推最小二乘法的第q步计算可以得到
Figure BDA0003287090910000033
的第q步估计值，其计算公式如下：
Figure BDA0003287090910000034
其中下标(q)表示第q步计算结果，
Figure BDA0003287090910000035
9)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤8)中得到的数据，第n步计算得到参数向量
Figure BDA0003287090910000036
的最终结果，其计算表达式为：
Figure BDA0003287090910000037
其中下标(n)表示第n步计算结果。
本发明第二方面提供一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法，该方法针对的是二阶不稳定对象，包括以下步骤：
1)提取得到闭环系统在设定值斜坡变化前后的同一时间段内的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0；
2)闭环系统在设定值斜坡变化前的稳态值为rs，将步骤1)中采集的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0中每一个数据均减去稳态值rs，分别得到设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中的数据；
3)闭环系统设定值斜坡变化的幅值为l，斜率为γ，定义不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000041
不超过(τ+l/γ)/ΔT的最大整数为ξ；不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000042
对步骤2)中得到的设定值初级数据集R1中的数据进行代数变换得到设定值中级数据集R11、R21、R31和R41中的数据；
4)对步骤2)中得到的系统输出初级数据集Y1中的数据进行计算处理，得到系统输出中级数据集Y10、Y20、Y11、Y21、Y31和Y41中的数据；
5)一类二阶不稳定对象的传递函数表达式如下：
Figure BDA0003287090910000043
其中，G(s)为对象的传递函数，s和τ分别为微分算子和对象已知的延迟时间常数，a1、a2和a3为被控对象的待辨识参数；
闭环系统中的反馈控制器为C(s)，反馈控制器C(s)的数学表达式如下：
Figure BDA0003287090910000044
其中，kp、ki和kd为反馈控制器C(s)的已知参数，分别为C(s)的比例增益系数、积分增益系数和微分增益系数；
对步骤3)得到的设定值中级数据集R11、R21和R31中数据以及步骤4)得到的系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据进行代数计算得到数据集θ1、θ2和θ3中的数据；
6)将步骤5)中得到的数据集θ1、θ2和θ3变换得到末级数据集θ；末级数据集θ的数学计算式如下：
Figure BDA0003287090910000045
其中，
Figure BDA0003287090910000046
和
Figure BDA0003287090910000047
分别为数据集θ1的转置和数据集θ2的转置；对象的待辨识系数a2、a1和a3组成的参数向量
Figure BDA0003287090910000048
参数向量
Figure BDA0003287090910000049
的形式如下：
Figure BDA00032870909100000410
7)令中间变量P的初值为充分大的正矩阵，
Figure BDA0003287090910000051
其中λ∈[103～1015]；参数向量
Figure BDA0003287090910000052
的初值为零向量或者充分小的实向量，
Figure BDA0003287090910000053
其中ν∈[0～10]；基于步骤3)中系统输出初级数据集和步骤6)中末级数据集θ，采用递推最小二乘法计算参数向量
Figure BDA0003287090910000054
的估计值；递推最小二乘法的第一步计算采用下式进行计算：
Figure BDA0003287090910000055
其中下标(1)表示第一步计算结果，
Figure BDA0003287090910000056
为单位矩阵；
8)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤7)中得到的数据，递推最小二乘法的第q步计算可以得到
Figure BDA0003287090910000057
的第q步估计值，其计算公式如下：
Figure BDA0003287090910000058
其中下标(q)表示第q步计算结果，
Figure BDA0003287090910000059
9)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤8)中得到的数据，第n步计算得到参数向量
Figure BDA00032870909100000510
的最终结果，其计算表达式为：
Figure BDA00032870909100000511
其中下标(n)表示第n步计算结果。
本发明第三方面提供一种闭环控制系统，包括串联连接的不稳定对象和反馈控制器，该闭环控制系统的待辨识的不稳定对象的辨识方法采用所述的基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法。
本发明能够基于闭环系统设定值的数据集和输出数据集、反馈控制器以及待辨识系统的延迟时间常数，将被控对象辨识为一阶或者二阶不稳定连续系统，能够有效避免系统进行开环辨识的操作，能够直接应用于不稳定对象的控制策略设计以及参数优化，并为先进控制方法实施提供模型基础，具有很强的工业应用价值和应用前景。
附图说明
图1为由不稳定对象和反馈控制器组成的闭环控制系统。
图2为实施例3中设定值数据集、系统输出数据集和辨识模型系统输出的趋势。
具体实施方式
实施例1
本实施例提供一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法，包括以下步骤：
1)提取得到闭环系统在设定值斜坡变化前后的同一时间段内的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0，数据长度为n，采样周期为ΔT；设定值数据集R0和系统输出数据集Y0的形式如下：
R0＝[r0(1),…,r0(i),…,r0(n)]
Y0＝[y0(1),…,y0(i),…,y0(n)]；
其中，i表示数据在数据集中的位置，1≤i≤n；r0(1)、r0(i)和r0(n)分别为设定值数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y0(1)、y0(i)和y0(n)分别为系统输出数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；采集的数据长度一般有1000≤n≤10000，典型工业过程的采样周期一般有0.01s≤ΔT≤10s。
2)闭环系统在设定值斜坡变化前的稳态值为rs，将步骤1)中采集的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0中每一个数据均减去稳态值rs，分别得到设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中的数据；闭环系统在数据采集开始阶段的稳态值根据实际的物理量来决定，一般有0.05≤rs≤1000；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中数据的数学计算式分别如下：
r1(1)＝r0(1)-rs
r1(i)＝r0(i)-rs
r1(n)＝r0(n)-rs
y1(1)＝y0(1)-rs
y1(i)＝y0(i)-rs
y1(n)＝y0(n)-rs；
其中，r1(1)、r1(i)和r1(n)分别为设定值初级数据集R1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y1(1)、y1(i)和y1(n)分别为系统输出初级数据集Y1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1的形式分别如下：
R1＝[r1(1),…,r1(i),…,r1(n)]
Y1＝[y1(1),…,y1(i),…,y1(n)]。
3)闭环系统设定值斜坡变化的幅值为l，斜率为γ，定义不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000071
不超过(τ+l/γ)/ΔT的最大整数为ξ；不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000072
对步骤2)中得到的设定值初级数据集R1中的数据进行代数变换得到设定值中级数据集R11、R21和R31中的数据；一般有
Figure BDA0003287090910000073
1≤l≤1000、0.001≤γ≤10000和1≤ξ≤1000；
设定值中级数据集R11、R21和R31中数据的数学计算式分别如下：
Figure BDA0003287090910000074
Figure BDA0003287090910000081
Figure BDA0003287090910000082
其中，r11(i)、r21(i)和r31(i)分别为设定值中级数据集R11、R21和R31中的第i个数据；设定值中级数据集R11、R21、和R31的形式分别如下：
R11＝[r11(1),…,r11(i),…,r11(n)]
R21＝[r21(1),…,r21(i),…,r21(n)]
R31＝[r31(1),…,r31(i),…,r31(n)]。
4)对步骤2)中得到的系统输出初级数据集Y1中的数据进行计算处理，得到系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据；
系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中数据的数学计算式分别如下：
Figure BDA0003287090910000083
Figure BDA0003287090910000084
Figure BDA0003287090910000085
Figure BDA0003287090910000086
其中，j为数据在数据集中超不过i的位置，1≤j≤i；y10(i)、y11(i)、y21(i)和y31(i)分别是系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的第i个数据；系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31的形式分别如下：
Y10＝[y10(1),…,y10(i),…,y10(n)]
Y11＝[y11(1),…,y11(i),…,y11(n)]
Y21＝[y21(1),…,y21(i),…,y21(n)]
Y31＝[y31(1),…,y31(i),…,y31(n)]。
5)一类不稳定对象的传递函数表达式如下：
Figure BDA0003287090910000091
其中，G(s)为对象的传递函数，s和τ分别为微分算子和待辨识对象已知的延迟时间常数，a1和a2为被控对象的待辨识参数；待辨识对象的延迟时间常数一般有0≤τ≤100；
闭环系统中的反馈控制器为C(s)，反馈控制器C(s)的数学表达式如下：
Figure BDA0003287090910000092
其中，kp、ki和kd为反馈控制器C(s)的已知参数，分别为C(s)的比例增益系数、积分增益系数和微分增益系数；反馈控制器C(s)的参数一般有-105≤kp≤105、-105≤ki≤105和-105≤kd≤105；
对步骤3)得到的设定值中级数据集R11、R21和R31中数据以及步骤4)得到的系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据进行代数计算得到数据集θ1和θ2中的数据；
数据集θ1和θ2中数据的数学计算式分别如下：
θ1(i)＝kdr11(i)+kpr21(i)+kir31(i)
-kdy11(i)-kpy21(i)-kiy31(i)
θ2(i)＝y10(i)；
其中，θ1(i)和θ2(i)分别是数据集θ1和θ2中的第i个数据；数据集θ1和θ2的形式分别如下：
θ1＝[θ1(1),…,θ1(i),…,θ1(n)]
θ2＝[θ2(1),…,θ2(i),…,θ2(n)]。
6)将步骤5)中得到的数据集θ1和θ2变换得到末级数据集θ；末级数据集θ的数学计算式如下：
Figure BDA0003287090910000101
其中，
Figure BDA0003287090910000102
和
Figure BDA0003287090910000103
分别为数据集θ1的转置和数据集θ2的转置；对象的待辨识系数a2和a1组成的参数向量
Figure BDA0003287090910000104
参数向量
Figure BDA0003287090910000105
的形式如下：
Figure BDA0003287090910000106
7)令中间变量P的初值为充分大的正矩阵，
Figure BDA0003287090910000107
其中λ∈[103～1015]；参数向量
Figure BDA0003287090910000108
的初值为零向量或者充分小的实向量，
Figure BDA0003287090910000109
其中ν∈[0～10]；基于步骤3)中系统输出初级数据集和步骤6)中末级数据集θ，采用递推最小二乘法计算参数向量
Figure BDA00032870909100001010
的估计值；递推最小二乘法的第一步计算采用下式进行计算：
Figure BDA00032870909100001011
其中，下标(1)表示第一步计算结果，
Figure BDA00032870909100001012
8)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤7)中得到的数据，递推最小二乘法的第q步计算可以得到
Figure BDA00032870909100001013
的第q步估计值，其计算公式如下：
Figure BDA00032870909100001014
其中，下标(q)表示第q步计算结果，
Figure BDA00032870909100001015
9)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤8)中得到的数据，第n步计算得到参数向量
Figure BDA00032870909100001016
的最终结果，其计算表达式为：
Figure BDA0003287090910000111
其中，下标(n)表示第n步计算结果。
按照上述步骤可以完成一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法的实施。
实施例2
本实施例提出针对二阶不稳定对象的一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法，该方法包括以下步骤：
1)提取得到闭环系统在设定值斜坡变化前后的同一时间段内的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0，数据长度为n，采样周期为ΔT；设定值数据集R0和系统输出数据集Y0的形式如下：
R0＝[r0(1),…,r0(i),…,r0(n)]
Y0＝[y0(1),…,y0(i),…,y0(n)]；
其中，i表示数据在数据集中的位置，1≤i≤n；r0(1)、r0(i)和r0(n)分别为设定值数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y0(1)、y0(i)和y0(n)分别为系统输出数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；采集的数据长度一般有1000≤n≤10000，典型工业过程的采样周期一般有0.01s≤ΔT≤10s。
2)闭环系统在设定值斜坡变化前的稳态值为rs，将步骤1)中采集的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0中每一个数据均减去稳态值rs，分别得到设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中的数据；闭环系统在数据采集开始阶段的稳态值根据实际的物理量来决定，一般有0.05≤rs≤1000；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中数据的数学计算式分别如下：
r1(1)＝r0(1)-rs
r1(i)＝r0(i)-rs
r1(n)＝r0(n)-rs
y1(1)＝y0(1)-rs
y1(i)＝y0(i)-rs
y1(n)＝y0(n)-rs；
其中，r1(1)、r1(i)和r1(n)分别为设定值初级数据集R1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y1(1)、y1(i)和y1(n)分别为系统输出初级数据集Y1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1的形式分别如下：
R1＝[r1(1),…,r1(i),…,r1(n)]
Y1＝[y1(1),…,y1(i),…,y1(n)]。
3)闭环系统设定值斜坡变化的幅值为l，斜率为γ，定义不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000121
不超过(τ+l/γ)/ΔT的最大整数为ξ；不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000122
对步骤2)中得到的设定值初级数据集R1中的数据进行代数变换得到设定值中级数据集R11、R21、R31和R41中的数据；一般有
Figure BDA0003287090910000123
1≤l≤1000、0.001≤γ≤10000和1≤ξ≤1000；
设定值中级数据集R11、R21、R31和R41中数据的数学计算式分别如下：
Figure BDA0003287090910000124
Figure BDA0003287090910000125
Figure BDA0003287090910000131
Figure BDA0003287090910000132
其中，r11(i)、r21(i)、r31(i)和r41(i)分别为设定值中级数据集R11、R21、R31和R41中的第i个数据；设定值中级数据集R11、R21、R31和R41的形式分别如下：
R11＝[r11(1),…,r11(i),…,r11(n)]
R21＝[r21(1),…,r21(i),…,r21(n)]
R31＝[r31(1),…,r31(i),…,r31(n)]
R41＝[r41(1),…,r41(i),…,r41(n)]。
4)对步骤2)中得到的系统输出初级数据集Y1中的数据进行计算处理，得到系统输出中级数据集Y10、Y20、Y11、Y21、Y31和Y41中的数据；
系统输出中级数据集Y10、Y20、Y11、Y21、Y31和Y41中数据的数学计算式分别如下：
Figure BDA0003287090910000133
Figure BDA0003287090910000134
Figure BDA0003287090910000135
Figure BDA0003287090910000136
Figure BDA0003287090910000137
Figure BDA0003287090910000141
其中，j为数据在数据集中超不过i的位置，1≤j≤i；y10(i)、y20(i)、y11(i)、y21(i)、y31(i)和y41(i)分别是系统输出中级数据集Y10、Y20、Y11、Y21、Y31和Y41中的第i个数据；系统输出中级数据集Y10、Y20、Y11、Y21、Y31和Y41的形式分别如下：
Y10＝[y10(1),…,y10(i),…,y10(n)]
Y20＝[y20(1),…,y20(i),…,y20(n)]
Y11＝[y11(1),…,y11(i),…,y11(n)]
Y21＝[y21(1),…,y21(i),…,y21(n)]
Y31＝[y31(1),…,y31(i),…,y31(n)]
Y41＝[y41(1),…,y41(i),…,y41(n)]。
5)一类二阶不稳定对象的传递函数表达式如下：
Figure BDA0003287090910000142
其中，G(s)为对象的传递函数，s和τ分别为微分算子和待辨识对象已知的延迟时间常数，a1、a2和a3为被控对象的待辨识参数；待辨识对象的延迟时间常数一般有0≤τ≤100；
闭环系统中的反馈控制器为C(s)，反馈控制器C(s)的数学表达式如下：
Figure BDA0003287090910000143
其中，kp、ki和kd为反馈控制器C(s)的已知参数，分别为C(s)的比例增益系数、积分增益系数和微分增益系数；反馈控制器C(s)的参数一般有-105≤kp≤105、-105≤ki≤105和-105≤kd≤105；
对步骤3)得到的设定值中级数据集R11、R21和R31中数据以及步骤4)得到的系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据进行代数计算得到数据集θ1、θ2和θ3中的数据；
数据集θ1和θ2中数据的数学计算式分别如下：
θ1(i)＝kdr21(i)+kpr31(i)+kir41(i)
-kdy21(i)-kpy31(i)-kiy41(i)
θ2(i)＝y20(i)
θ3(i)＝-y10(i)；
其中，θ1(i)、θ2(i)和θ3(i)分别是数据集θ1、θ2和和θ3中的第i个数据；数据集θ1、θ2和θ3的形式分别如下：
θ1＝[θ1(1),…,θ1(i),…,θ1(n)]
θ2＝[θ2(1),…,θ2(i),…,θ2(n)]
θ3＝[θ3(1),…,θ3(i),…,θ3(n)]。
6)将步骤5)中得到的数据集θ1、θ2和θ3变换得到末级数据集θ；末级数据集θ的数学计算式如下：
Figure BDA0003287090910000151
其中，
Figure BDA0003287090910000152
和
Figure BDA0003287090910000153
分别为数据集θ1的转置和数据集θ2的转置；对象的待辨识系数a2、a1和a3组成的参数向量
Figure BDA0003287090910000154
参数向量
Figure BDA0003287090910000155
的形式如下：
Figure BDA0003287090910000156
7)令中间变量P的初值为充分大的正矩阵，
Figure BDA0003287090910000157
其中λ∈[103～1015]；参数向量
Figure BDA0003287090910000158
的初值为零向量或者充分小的实向量，
Figure BDA0003287090910000159
其中ν∈[0～10]；基于步骤3)中系统输出初级数据集和步骤6)中末级数据集θ，采用递推最小二乘法计算参数向量
Figure BDA00032870909100001510
的估计值；递推最小二乘法的第一步计算采用下式进行计算：
Figure BDA00032870909100001511
其中，下标(1)表示第一步计算结果，
Figure BDA0003287090910000161
为单位矩阵。
8)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤7)中得到的数据，递推最小二乘法的第q步计算可以得到
Figure BDA0003287090910000162
的第q步估计值，其计算公式如下：
Figure BDA0003287090910000163
其中，下标(q)表示第q步计算结果，
Figure BDA0003287090910000164
9)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤8)中得到的数据，第n步计算得到参数向量
Figure BDA0003287090910000165
的最终结果，其计算表达式为：
Figure BDA0003287090910000166
其中，下标(n)表示第n步计算结果。
按照上述步骤可以完成针对二阶不稳定对象的基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法的实施。
实施例3
通过仿真说明本发明的技术优越性：
1)提取得到闭环系统在设定值斜坡变化前后的同一时间段内的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0，数据长度为n，采样周期为ΔT；设定值数据集R0和系统输出数据集Y0的形式如下：
R0＝[r0(1),…,r0(i),…,r0(n)]
Y0＝[y0(1),…,y0(i),…,y0(n)]
其中i表示数据在数据集中的位置，1≤i≤n；r0(1)、r0(i)和r0(n)分别为设定值数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y0(1)、y0(i)和y0(n)分别为系统输出数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；本实施例中采集的数据长度为n＝2000，本实施例中采样周期为ΔT＝1s。
2)闭环系统在设定值斜坡变化前的稳态值为rs，将步骤1)中采集的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0中每一个数据均减去稳态值rs，分别得到设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中的数据；本实施例中闭闭环系统在设定值阶跃响应前的稳态值为rs＝0；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中数据的数学计算式分别如下：
r1(1)＝r0(1)-rs
r1(i)＝r0(i)-rs
r1(n)＝r0(n)-rs
y1(1)＝y0(1)-rs
y1(i)＝y0(i)-rs
y1(n)＝y0(n)-rs；
其中，r1(1)、r1(i)和r1(n)分别为设定值初级数据集R1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y1(1)、y1(i)和y1(n)分别为系统输出初级数据集Y1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1的形式分别如下：
R1＝[r1(1),…,r1(i),…,r1(n)]
Y1＝[y1(1),…,y1(i),…,y1(n)]。
3)闭环系统设定值斜坡变化的幅值为l，斜率为γ，定义不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000171
不超过(τ+l/γ)/ΔT的最大整数为ξ；不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure BDA0003287090910000172
对步骤2)中得到的设定值初级数据集R1中的数据进行代数变换得到设定值中级数据集R11、R21和R31中的数据；一般有
Figure BDA0003287090910000173
1≤l≤1000、0.001≤γ≤10000和1≤ξ≤1000；本实施例中不超过τ/ΔT的最大正整数为
Figure BDA0003287090910000181
l＝4、γ＝0.05和ξ＝180；
设定值中级数据集R11、R21和R31中数据的数学计算式分别如下：
Figure BDA0003287090910000182
Figure BDA0003287090910000183
Figure BDA0003287090910000184
其中，r11(i)、r21(i)和r31(i)分别为设定值中级数据集R11、R21和R31中的第i个数据；设定值中级数据集R11、R21、和R31的形式分别如下：
R11＝[r11(1),…,r11(i),…,r11(n)]
R21＝[r21(1),…,r21(i),…,r21(n)]
R31＝[r31(1),…,r31(i),…,r31(n)]。
4)对步骤2)中得到的系统输出初级数据集Y1中的数据进行计算处理，得到系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据；
系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中数据的数学计算式分别如下：
Figure BDA0003287090910000185
Figure BDA0003287090910000191
Figure BDA0003287090910000192
Figure BDA0003287090910000193
其中，j为数据在数据集中超不过i的位置，1≤j≤i；y10(i)、y11(i)、y21(i)和y31(i)分别是系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的第i个数据；系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31的形式分别如下：
Y10＝[y10(1),…,y10(i),…,y10(n)]
Y11＝[y11(1),…,y11(i),…,y11(n)]
Y21＝[y21(1),…,y21(i),…,y21(n)]
Y31＝[y31(1),…,y31(i),…,y31(n)]。
5)一类不稳定对象的传递函数表达式如下：
Figure BDA0003287090910000194
其中，G(s)为对象的传递函数，s和τ分别为微分算子和待辨识对象已知的延迟时间常数，a1和a2为被控对象的待辨识参数；本实施例中被控对象的延迟时间常数为τ＝4.8；
闭环系统中的反馈控制器为C(s)，反馈控制器C(s)的数学表达式如下：
Figure BDA0003287090910000195
其中，kp、ki和kd为反馈控制器C(s)的已知参数，分别为C(s)的比例增益系数、积分增益系数和微分增益系数；本实施例中反馈控制器C(s)的参数有kp＝1.0、ki＝0.005和kd＝0；
对步骤3)得到的设定值中级数据集R11、R21和R31中数据以及步骤4)得到的系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据进行代数计算得到数据集θ1和θ2中的数据；
数据集θ1和θ2中数据的数学计算式分别如下：
θ1(i)＝kdr11(i)+kpr21(i)+kir31(i)
-kdy11(i)-kpy21(i)-kiy31(i)
θ2(i)＝y10(i)；
其中，θ1(i)和θ2(i)分别是数据集θ1和θ2中的第i个数据；数据集θ1和θ2的形式分别如下：
θ1＝[θ1(1),…,θ1(i),…,θ1(n)]
θ2＝[θ2(1),…,θ2(i),…,θ2(n)]。
6)将步骤5)中得到的数据集θ1和θ2变换得到末级数据集θ；末级数据集θ的数学计算式如下：
Figure BDA0003287090910000201
其中，
Figure BDA0003287090910000202
和
Figure BDA0003287090910000203
分别为数据集θ1的转置和数据集θ2的转置；对象的待辨识系数a2和a1组成的参数向量
Figure BDA0003287090910000204
参数向量
Figure BDA0003287090910000205
的形式如下：
Figure BDA0003287090910000206
7)令中间变量P的初值为充分大的正矩阵，
Figure BDA0003287090910000207
其中本实施例中λ＝108；本实施例中参数向量
Figure BDA0003287090910000208
的初值为零；基于步骤3)中系统输出初级数据集和步骤6)中末级数据集θ，采用递推最小二乘法计算参数向量
Figure BDA0003287090910000209
的估计值；递推最小二乘法的第一步计算采用下式进行计算：
Figure BDA00032870909100002010
其中，下标(1)表示第一步计算结果，
Figure BDA00032870909100002011
8)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤7)中得到的数据，递推最小二乘法的第q步计算可以得到
Figure BDA00032870909100002012
的第q步估计值，其计算公式如下：
Figure BDA0003287090910000211
其中，下标(q)表示第q步计算结果，
Figure BDA0003287090910000212
9)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤8)中得到的数据，第n步计算得到参数向量
Figure BDA0003287090910000213
的最终结果，其计算表达式为：
Figure BDA0003287090910000214
其中，下标(n)表示第n步计算结果；
本实施例中辨识结果a1＝0.1176和a2＝0.2353。
图2为本实施例中设定值数据集、系统输出数据集和辨识模型系统输出的趋势，虚线为设定值数据集趋势，点划线为系统输出数据集的趋势，实线为本实施例中辨识模型在图1的闭环结构中在预处理设定值数据集激励下的系统输出趋势。从趋势结果可知辨识的模型能够与系统输出数据集趋势保持一致，可以比较好的反映闭环系统的动态特性。说明了本发明提出方法的有效性，基于该方法辨识的模型能够为不稳定对象进一步的控制器设计以及控制优化、先进控制方法实施提供模型基础，具有很强的实用性和很广阔的工业应用前景。
实施例4
本实施例提供一种闭环控制系统，包括串联连接的不稳定对象和反馈控制器，该闭环控制系统的待辨识的不稳定对象的辨识方法采用上述实施例所述的基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法。
在上述实施例中，对各个实施例的描述都各有侧重，某个实施例中没有详述或记载的部分，可以参见其它实施例的相关描述。
本领域普通技术人员可以意识到，结合本文中所公开的实施例描述的各示例的单元及算法步骤，能够以电子硬件、或者计算机软件和电子硬件的结合来实现。这些功能究竟以硬件还是软件方式来执行，取决于技术方案的特定应用和设计约束条件。专业技术人员可以对每个特定的应用来使用不同方法来实现所描述的功能，但是这种实现不应认为超出本申请的范围。
在本申请所提供的实施例中，应该理解到，所揭露的装置/终端和方法，可以通过其它的方式实现。例如，以上所描述的装置/终端实施例仅仅是示意性的，例如，上述模块的划分，仅仅为一种逻辑功能划分，实际实现时可以有另外的划分方式，例如多个单元或组件可以结合或者可以集成到另一个系统，或一些特征可以忽略，或不执行。另一点，所显示或讨论的相互之间的耦合或直接耦合或通讯连接可以是通过一些接口，装置或单元的间接耦合或通讯连接，可以是电性，机械或其它的形式。
另外，在本申请各个实施例中的各功能单元可以集成在一个处理单元中，也可以是各个单元单独物理存在，也可以两个或两个以上单元集成在一个单元中。上述集成的单元既可以采用硬件的形式实现，也可以采用软件功能单元的形式实现。
上述集成的模块如果以软件功能单元的形式实现并作为独立的产品销售或使用时，可以存储在一个计算机可读取存储介质中。基于这样的理解，本申请实现上述实施例方法中的全部或部分流程，也可以通过计算机程序来指令相关的硬件来完成，上述的计算机程序可存储于计算机可读存储介质中，该计算机程序在被处理器执行时，可实现上述各个方法实施例的步骤。其中，上述计算机程序包括计算机程序代码，上述计算机程序代码可以为源代码形式、对象代码形式、可执行文件或某些中间形式等。
上述计算机可读介质可以包括：能够携带上述计算机程序代码的任何实体或装置、记录介质、U盘、移动硬盘、磁碟、光盘、计算机存储器、只读存储器(Read-Only Memory，ROM)、随机存取存储器(RandomAccess Memory，RAM)、电载波信号、电信信号以及软件分发介质等。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，可轻易想到变化或替换，都应涵盖在本发明的保护范围之内。因此，本发明的保护范围应以所述权利要求的保护范围为准。

Claims (3)

1.一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
1)提取得到闭环系统在设定值斜坡变化前后的同一时间段内的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0，数据长度为n，采样周期为ΔT；设定值数据集R0和系统输出数据集Y0的形式如下：
R0＝[r0(1),…,r0(i),…,r0(n)]
Y0＝[y0(1),…,y0(i),…,y0(n)]
其中，i表示数据在数据集中的位置，1≤i≤n；r0(1)、r0(i)和r0(n)分别为设定值数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y0(1)、y0(i)和y0(n)分别为系统输出数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；
2)闭环系统在设定值斜坡变化前的稳态值为rs，将步骤1)中采集的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0中每一个数据均减去稳态值rs，分别得到设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中的数据；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中数据的数学计算式分别如下：
r1(1)＝r0(1)-rs
r1(i)＝r0(i)-rs
r1(n)＝r0(n)-rs
y1(1)＝y0(1)-rs
y1(i)＝y0(i)-rs
y1(n)＝y0(n)-rs；
其中，r1(1)、r1(i)和r1(n)分别为设定值初级数据集R1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y1(1)、y1(i)和y1(n)分别为系统输出初级数据集Y1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1的形式分别如下：
R1＝[r1(1),…,r1(i),…,r1(n)]
Y1＝[y1(1),…,y1(i),…,y1(n)]；
3)闭环系统设定值斜坡变化的幅值为l，斜率为γ，定义不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure FDA0003287090900000024
不超过(τ+l/γ)/ΔT的最大整数为ξ；不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure FDA0003287090900000025
对步骤2)中得到的设定值初级数据集R1中的数据进行代数变换得到设定值中级数据集R11、R21和R31中的数据；
设定值中级数据集R11、R21和R31中数据的数学计算式分别如下：
Figure FDA0003287090900000021
Figure FDA0003287090900000022
Figure FDA0003287090900000023
其中，r11(i)、r21(i)和r31(i)分别为设定值中级数据集R11、R21和R31中的第i个数据；设定值中级数据集R11、R21、和R31的形式分别如下：
R11＝[r11(1),…,r11(i),…,r11(n)]
R21＝[r21(1),…,r21(i),…,r21(n)]
R31＝[r31(1),…,r31(i),…,r31(n)]；
4)对步骤2)中得到的系统输出初级数据集Y1中的数据进行计算处理，得到系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据；
系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中数据的数学计算式分别如下：
Figure FDA0003287090900000031
Figure FDA0003287090900000032
Figure FDA0003287090900000033
Figure FDA0003287090900000034
其中，j为数据在数据集中超不过i的位置，1≤j≤i；y10(i)、y11(i)、y21(i)和y31(i)分别是系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的第i个数据；系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31的形式分别如下：
Y10＝[y10(1),…,y10(i),…,y10(n)]
Y11＝[y11(1),…,y11(i),…,y11(n)]
Y21＝[y21(1),…,y21(i),…,y21(n)]
Y31＝[y31(1),…,y31(i),…,y31(n)]；
5)一类不稳定对象的传递函数表达式如下：
Figure FDA0003287090900000035
其中，G(s)为对象的传递函数，s和τ分别为微分算子和对象已知的延迟时间常数，a1和a2为被控对象的待辨识参数；
闭环系统中的反馈控制器为C(s)，反馈控制器C(s)的数学表达式如下：
Figure FDA0003287090900000036
其中，kp、ki和kd为反馈控制器C(s)的已知参数，分别为C(s)的比例增益系数、积分增益系数和微分增益系数；
对步骤3)得到的设定值中级数据集R11、R21和R31中的数据以及步骤4)得到的系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据进行代数计算得到数据集θ1和θ2中的数据；
数据集θ1和θ2中数据的数学计算式分别如下：
θ1(i)＝kdr11(i)+kpr21(i)+kir31(i)-kdy11(i)-kpy21(i)-kiy31(i)
θ2(i)＝y10(i)；
其中，θ1(i)和θ2(i)分别是数据集θ1和θ2中的第i个数据；数据集θ1和θ2的形式分别如下：
θ1＝[θ1(1),…,θ1(i),…,θ1(n)]
θ2＝[θ2(1),…,θ2(i),…,θ2(n)]；
6)将步骤5)中得到的数据集θ1和θ2变换得到末级数据集θ；末级数据集θ的数学计算式如下：
Figure FDA0003287090900000041
其中
Figure FDA0003287090900000042
和
Figure FDA0003287090900000043
分别为数据集θ1的转置和数据集θ2的转置；对象的待辨识系数a2和a1组成的参数向量
Figure FDA0003287090900000044
参数向量
Figure FDA0003287090900000045
的形式如下：
Figure FDA0003287090900000046
7)令中间变量P的初值为充分大的正矩阵，
Figure FDA0003287090900000047
其中λ∈[103～1015]；参数向量
Figure FDA0003287090900000048
的初值为零向量或者充分小的实向量，
Figure FDA0003287090900000049
其中ν∈[0～10]；基于步骤3)中系统输出初级数据集和步骤6)中末级数据集θ，采用递推最小二乘法计算参数向量
Figure FDA00032870909000000410
的估计值；递推最小二乘法的第一步计算采用下式进行计算：
Figure FDA00032870909000000411
其中下标(1)表示第一步计算结果，
Figure FDA00032870909000000412
8)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤7)中得到的数据，递推最小二乘法的第q步计算可以得到
Figure FDA0003287090900000051
的第q步估计值，其计算公式如下：
Figure FDA0003287090900000052
其中下标(q)表示第q步计算结果，
Figure FDA0003287090900000053
9)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤8)中得到的数据，第n步计算得到参数向量
Figure FDA0003287090900000054
的最终结果，其计算表达式为：
Figure FDA0003287090900000055
其中下标(n)表示第n步计算结果。
2.一种基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法，其特征在于，该方法针对的是二阶不稳定对象，包括以下步骤：
1)提取得到闭环系统在设定值斜坡变化前后的同一时间段内的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0，数据长度为n，采样周期为ΔT；设定值数据集R0和系统输出数据集Y0的形式如下：
R0＝[r0(1),…,r0(i),…,r0(n)]
Y0＝[y0(1),…,y0(i),…,y0(n)]；
其中，i表示数据在数据集中的位置，1≤i≤n；r0(1)、r0(i)和r0(n)分别为设定值数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y0(1)、y0(i)和y0(n)分别为系统输出数据集的第一个数据、第i个数据和第n个数据；
2)闭环系统在设定值斜坡变化前的稳态值为rs，将步骤1)中采集的设定值数据集R0和系统输出数据集Y0中每一个数据均减去稳态值rs，分别得到设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中的数据；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1中数据的数学计算式分别如下：
r1(1)＝r0(1)-rs
r1(i)＝r0(i)-rs
r1(n)＝r0(n)-rs
y1(1)＝y0(1)-rs
y1(i)＝y0(i)-rs
y1(n)＝y0(n)-rs；
其中，r1(1)、r1(i)和r1(n)分别为设定值初级数据集R1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；y1(1)、y1(i)和y1(n)分别为系统输出初级数据集Y1的第一个数据、第i个数据和第n个数据；
设定值初级数据集R1和系统输出初级数据集Y1的形式分别如下：
R1＝[r1(1),…,r1(i),…,r1(n)]
Y1＝[y1(1),…,y1(i),…,y1(n)]；
3)闭环系统设定值斜坡变化的幅值为l，斜率为γ，定义不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure FDA0003287090900000061
不超过(τ+l/γ)/ΔT的最大整数为ξ；不超过τ/ΔT的最大整数为
Figure FDA0003287090900000062
对步骤2)中得到的设定值初级数据集R1中的数据进行代数变换得到设定值中级数据集R11、R21、R31和R41中的数据；
设定值中级数据集R11、R21、R31和R41中数据的数学计算式分别如下：
Figure FDA0003287090900000063
Figure FDA0003287090900000071
Figure FDA0003287090900000072
Figure FDA0003287090900000073
其中，r11(i)、r21(i)、r31(i)和r41(i)分别为设定值中级数据集R11、R21、R31和R41中的第i个数据；设定值中级数据集R11、R21、R31和R41的形式分别如下：
R11＝[r11(1),…,r11(i),…,r11(n)]
R21＝[r21(1),…,r21(i),…,r21(n)]
R31＝[r31(1),…,r31(i),…,r31(n)]
R41＝[r41(1),…,r41(i),…,r41(n)]；
4)对步骤2)中得到的系统输出初级数据集Y1中的数据进行计算处理，得到系统输出中级数据集Y10、Y20、Y11、Y21、Y31和Y41中的数据；
系统输出中级数据集Y10、Y20、Y11、Y21、Y31和Y41中数据的数学计算式分别如下：
Figure FDA0003287090900000074
Figure FDA0003287090900000075
Figure FDA0003287090900000081
Figure FDA0003287090900000082
Figure FDA0003287090900000083
Figure FDA0003287090900000084
其中，j为数据在数据集中超不过i的位置，1≤j≤i；y10(i)、y20(i)、y11(i)、y21(i)、y31(i)和y41(i)分别是系统输出中级数据集Y10、Y20、Y11、Y21、Y31和Y41中的第i个数据；系统输出中级数据集Y10、Y20、Y11、Y21、Y31和Y41的形式分别如下：
Y10＝[y10(1),…,y10(i),…,y10(n)]
Y20＝[y20(1),…,y20(i),…,y20(n)]
Y11＝[y11(1),…,y11(i),…,y11(n)]
Y21＝[y21(1),…,y21(i),…,y21(n)]
Y31＝[y31(1),…,y31(i),…,y31(n)]
Y41＝[y41(1),…,y41(i),…,y41(n)]；
5)一类二阶不稳定对象的传递函数表达式如下：
Figure FDA0003287090900000085
其中，G(s)为对象的传递函数，s和τ分别为微分算子和对象已知的延迟时间常数，a1、a2和a3为被控对象的待辨识参数；
闭环系统中的反馈控制器为C(s)，反馈控制器C(s)的数学表达式如下：
Figure FDA0003287090900000086
其中，kp、ki和kd为反馈控制器C(s)的已知参数，分别为C(s)的比例增益系数、积分增益系数和微分增益系数；
对步骤3)得到的设定值中级数据集R11、R21和R31中数据以及步骤4)得到的系统输出中级数据集Y10、Y11、Y21和Y31中的数据进行代数计算得到数据集θ1、θ2和θ3中的数据；
数据集θ1和θ2中数据的数学计算式分别如下：
θ1(i)＝kdr21(i)+kpr31(i)+kir41(i)-kdy21(i)-kpy31(i)-kiy41(i)
θ2(i)＝y20(i)
θ3(i)＝-y10(i)；
其中，θ1(i)、θ2(i)和θ3(i)分别是数据集θ1、θ2和和θ3中的第i个数据；数据集θ1、θ2和θ3的形式分别如下：
θ1＝[θ1(1),…,θ1(i),…,θ1(n)]
θ2＝[θ2(1),…,θ2(i),…,θ2(n)]
θ3＝[θ3(1),…,θ3(i),…,θ3(n)]；
6)将步骤5)中得到的数据集θ1、θ2和θ3变换得到末级数据集θ；末级数据集θ的数学计算式如下：
Figure FDA0003287090900000091
其中，
Figure FDA0003287090900000092
和
Figure FDA0003287090900000093
分别为数据集θ1的转置和数据集θ2的转置；对象的待辨识系数a2、a1和a3组成的参数向量
Figure FDA0003287090900000094
参数向量
Figure FDA0003287090900000095
的形式如下：
Figure FDA0003287090900000096
7)令中间变量P的初值为充分大的正矩阵，
Figure FDA0003287090900000097
其中λ∈[103～1015]；参数向量
Figure FDA0003287090900000098
的初值为零向量或者充分小的实向量，
Figure FDA0003287090900000099
其中ν∈[0～10]；基于步骤3)中系统输出初级数据集和步骤6)中末级数据集θ，采用递推最小二乘法计算参数向量
Figure FDA00032870909000000910
的估计值；递推最小二乘法的第一步计算采用下式进行计算：
Figure FDA0003287090900000101
其中下标(1)表示第一步计算结果，
Figure FDA0003287090900000102
为单位矩阵；
8)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤7)中得到的数据，递推最小二乘法的第q步计算可以得到
Figure FDA0003287090900000103
的第q步估计值，其计算公式如下：
Figure FDA0003287090900000104
其中下标(q)表示第q步计算结果，
Figure FDA0003287090900000105
9)基于步骤3)中系统输出初级数据集、步骤6)中末级数据集θ和步骤8)中得到的数据，第n步计算得到参数向量
Figure FDA0003287090900000106
的最终结果，其计算表达式为：
Figure FDA0003287090900000107
其中下标(n)表示第n步计算结果。
3.一种闭环控制系统，包括串联连接的不稳定对象和反馈控制器，其特征在于：该闭环控制系统的待辨识的不稳定对象的辨识方法采用权利要求1或2所述的基于斜坡响应的一类不稳定对象的闭环辨识方法。
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