CN113569197B - 一种基于地球椭球面两点等距离点解算方法 - Google Patents

一种基于地球椭球面两点等距离点解算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，该方法包括已知地球椭球面上P和Q两点各自的大地坐标及两点之间的大地线距离；设定点O为距离P、Q两点大地线距离相同的等距离点；根据点P的大地坐标、PO大地方位角近似值以及PO大地线距离计算距离P、Q两点等距的近似点O’的大地坐标；根据P、Q和O’三点的大地坐标，计算获得O’P和O’Q各自的大地线距离之差，如果满足指定误差，O‘即为所求等距点；否则，进调整PO’方位角后重新计算O‘点。该方法通过迭代逼近计算，算法更加简洁，不需要复杂的高次方运算，即可计算出满足精度要求的结果；同时距离计算在地球椭球面上进行，摆脱了地图投影的影响，不用考虑地图投影方式的选择问题。

Description

一种基于地球椭球面两点等距离点解算方法
技术领域
本发明涉及等距离点解算技术领域，特别是涉及一种基于地球椭球面的两点等距离点解算方法。
背景技术
在地理空间分析和实际应用中，一般会计算到两个已知点P、Q的距离均为r的等距离点O。目前，常用的地理信息软件(GIS)如ESRI ArcGIS、SuperMap等都没有提供计算两点等距点的计算工具，但是利用这些GIS软件提供的常用功能函数接口，以编程方式可以开发实现这个功能。受限于GIS软件底层算法，这种实现算法不是在地球椭球面上解决的，而是在地图投影面上通过几何求交法实现的。
地图投影平面几何求交法主要有两种方法：一是直线求交法，即通过计算过两个已知点P、Q的距离均为r，角度为α的直线交点作为等距点，如下图2所示；二是圆弧求交法，即通过计算以两个已知点P、Q为圆心、r为半径的圆弧交点作为等距点，如下图3所示。实际上，到P、Q为两点等距点(除两点中间点外)均有两个，即PQ左右各一个，计算时要先确定方向。
无论是直线求交法还是圆弧求交法，都是基于笛卡尔平面通过几何计算的。由于地球是一个椭球体，并非一个地理平面，因此，实际应用中不仅在不同纬度区域要考虑选择不同地图投影，而且在长距离计算时还会受到地图投影变形的影响，因此计算结果存在不可避免的误差，无法用于地理空间精确定位和分析。
发明内容
本发明提供了一种基于地球椭球面的两点等距离点解算方法。
本发明提供了如下方案：
一种基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，包括：
已知地球椭球面上P和Q两点各自的大地坐标及两点之间的大地线距离；
设定点O为距离P、Q两点大地线距离相同的等距离点，且该距离为已知；
根据点P的大地坐标、PO大地方位角近似值以及PO大地线距离按照大地主题正算公式计算距离P、Q两点等距的近似点O’的大地坐标；
根据P、Q和O’三点的大地坐标，按照大地主题反算公式计算获得O’P和O’Q各自的大地线距离；
判断所述O’P和O’Q各自的大地线距离之差是否小于目标误差；
如果是，则将所述点O’的大地坐标作为所述点O的大地坐标；
如果否，则调整PO大地方位角近似值后重新计算所述点O’的大地坐标。
优选地：通过公式1计算获得所述近似点O’的大地坐标(BO’,LO’)及Q’P大地线方位角AO’P：
Figure GDA0004240044090000021
式中：(BP,LP)为点P的大地坐标，SPO为点P与点O之间的大地线距离，APO为PO大地线方位角的近似值。
优选地：所述PO大地线方位角的近似值APO通过以下方法计算获得：
将三角形PQO近似为平面三角形；
令∠QPO＝α，根据三角余弦定理a2＝b2+c2-2bc*cosA，有cosα＝s/2r，则α＝arccos(s/2r)；PO大地线方位角近似值APO＝APQ±α；APQ为PQ大地线的方位角；s为PQ两点大地线距离；r为点O距离点P或点Q的大地线距离。
优选地：通过公式2、公式3计算获得所述O’P和O’Q各自的大地线距离SO’P、SO’Q；
Figure GDA0004240044090000031
Figure GDA0004240044090000032
式中：AO’P为O’P大地线方位角，APO，为O’P大地线反方位角，(BQ’LQ)为点Q的大地坐标，AO’Q为O’Q大地线方位角，AQO’为O’Q大地线反方位角。
优选地：所述调整PO大地方位角近似值获得ΔAPO，将所述ΔAPO带入公式1重新计算所述点O’的大地坐标。
优选地：ΔApO＝ApO+δ/r；δ为SO’P与SO’Q差，r为点O距离点P或点Q的大地线距离。
根据本发明提供的具体实施例，本发明公开了以下技术效果：
通过本发明，可以实现一种基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，在一种实现方式下，该方法可以包括已知地球椭球面上P和Q两点各自的大地坐标及两点之间的大地线距离；设定点O为距离P、Q两点大地线距离相同的等距离点；根据点P的大地坐标、PO大地方位角近似值以及PO大地线距离按照大地主题正算公式计算距离P、Q两点等距的近似点O’的大地坐标；根据P、Q和O’三点的大地坐标，按照大地主题反算公式计算获得O’P和O’Q各自的大地线距离；判断所述O’P和O’Q各自的大地线距离之差是否小于目标误差；如果是，则将所述点O’的大地坐标作为所述点O的大地坐标；如果否，则调整PO大地方位角近似值后重新计算所述点O’的大地坐标。本申请提供的基于地球椭球面两点等距离点解算方法，通过迭代逼近计算算法更加简洁，不需要复杂的高次方运算，即可计算出满足精度要求的结果；同时距离计算在地球椭球面上进行，摆脱了地图投影的影响，不用考虑地图投影方式的选择问题。值得大面积推广使用。
当然，实施本发明的任一产品并不一定需要同时达到以上所述的所有优点。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1是本发明实施例提供的一种基于地球椭球面的两点等距离点解算方法计算过程示意图；
图2是现有技术中通过P、Q两点，夹角为α的直线交点求解等距点的示意图；
图3是现有技术中以P、Q两点为圆心，r为半径的圆弧交点求解等距点的示意图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
首先对地球椭球面距离和方位计算进行说明：
地球椭球面上进行距离和方位计算，需要用到地球椭球面大地主题计算方法，包括大地主题正解和大地主题反解。假设地球椭球面上点的大地经度L、大地纬度B，两点间的大地线长度S及其正、反大地方位角A、A′。由于可以实现地球椭球面大地主题计算的公式有很多，本申请实施例仅以Vincenty公式为例进行说明，可以理解的是其他任何可以实现地球椭球面大地主题计算的公式对于本申请提供的方法同样适用。
大地主题正解：已知大地线上某一点P的大地坐标(BP,LP)，P到大地线上另一点Q的大地线长度SPQ和大地线方位角APQ，计算另一点Q的大地坐标(BQ,LQ)和大地线反方位角AQP的过程。即解算方程组：
Figure GDA0004240044090000051
大地主题反解：已知大地线上相异两点P、Q的大地坐标(BP,LP)和(BQ,LQ)，计算这两点间的大地线长度SPQ及大地线正、反方位角APQ和AQP的过程。即解算方程组：
Figure GDA0004240044090000052
实施例
本发明实施例提供了一种基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，该方法可以包括：
确定地球椭球面上P和Q两点各自的大地坐标及两点之间的大地线距离；
设定点O为距离P、Q两点大地线距离相同的等距离点；
根据点P的大地坐标、PO大地方位角近似值以及PO大地线距离按照大地主题正算公式计算距离P、Q两点等距的近似点O’的大地坐标；
具体的，通过公式1计算获得所述近似点O’的大地坐标(BO’,LO’)及O’P大地线方位角AO’P：
Figure GDA0004240044090000061
式中：(BP,LP)为点P的大地坐标，SPO为点P与点O之间的大地线距离，APO为PO大地线方位角的近似值。
所述PO大地线方位角的近似值APO通过以下方法计算获得：
将三角形PQO近似为平面三角形；
令∠QPO＝α，根据三角余弦定理a2＝b2+c2-2bc*cosA，有cosα＝s/2r，则α＝arccos(s/2r)；PO大地线方位角近似值APO＝APQ±α；APQ为PQ大地线的方位角；s为PQ两点大地线距离；r为点O距离点P或点Q的大地线距离。
根据P、Q和O’三点的大地坐标，按照大地主题反算公式计算获得O’P和O’Q各自的大地线距离；
具体的，通过公式2、公式3计算获得所述O’P和O’Q各自的大地线距离SO’P、SO’Q；
Figure GDA0004240044090000062
Figure GDA0004240044090000063
式中：AO′P为O’P大地线方位角，APO′为O′P大地线反方位角，BQ’LQ分别为点Q的大地坐标，AO’Q为O’Q大地线方位角，AQO’为O’Q大地线反方位角。
所述调整PO大地方位角近似值获得ΔAPO，将所述ΔAPO带入公式1重新计算所述点O’的大地坐标。其中，ΔApO＝ApO+δ/r；δ为SO’P与SO’Q差，r为点O距离点P或点Q的大地线距离。
判断所述O’P和O’Q各自的大地线距离之差是否小于目标误差；该目标误差可以根据实际要求计算的精度确定，例如，选定的两点之间的距离为200海里(1海里＝1.852千米)，那么该目标误差可以设定为0.1米。
如果是，则将所述点O’的大地坐标作为所述点O的大地坐标；
如果否，则调整PO大地方位角近似值后重新计算所述点O’的大地坐标。
下面通过具体示例对本申请提供的等距离点的解算方法进行详细说明。
地球椭球面两点等距离点计算方法，参见图1假设地球椭球面上两点P(BP,LP)和Q((BQ,LQ)，PQ两点大地线距离为s，点P到点Q大地方位角为APQ，点O为距离点P、点Q大地线距离均为r的等距离点，求点O的大地坐标。现将三角形PQO近似为平面三角形，通过迭代逼近计算O点大地坐标，计算过程如下：
(1)计算∠QPO。令∠QPO＝α，根据三角余弦定理a2＝b2+c2-2bc*cosA，有cosα＝s/2r，则α＝arccos(s/2r)。
(2)计算距离PQ两点等距的近似点O’。根据点P大地坐标(BP,LP),PO大地方位角近似值APO＝APQ±α，以及PO大地线距离r,按照大地主题正算公式计算O点近似点O’大地坐标(BO’,LO’)。
(3)计算距离PQ两点等距的实际点O。根据P(BP,LP)、Q((BQ,LQ)和O’(BO’,LO’)三点大地坐标，按照大地主题反算公式，计算O’P和O’Q大地线距离r1、r2，δ＝r1-r2。如果δ小于指定误差，则点O为点P、Q等距离点；否则，将ApO＝ApO+δ/r，角度单位为弧度，然后将ApO代入第(2)、(3)步重新计算点O’，直到δ满足指定误差，所求点O即为PQ两点的等距点。
该方法可以采用在计算大地线距离是采用的Vincenty公式，地理坐标采用WGS84大坐标系，计算误差10-4m。此外，利用Visual studio C#2012和ArcGIS Engine10.2，实现了基于圆弧求交法的两点等距点计算工具(以下称“圆弧求交法”)，该工具使用的地图投影参数是”WGS1984WorldMercator”。
通过选择两组实验数据，对该方法与圆弧求交法计算结果进行比对分析，为了便于分析只比较PQ右侧等距点(左侧等距点类似)。两种法计算得到等距点O和已知点P、Q进行大地线距离计算，然后与真实值r进行比较，可以发现圆弧求交法计算结果存在误差，特别是在长距离或高纬度地区时，计算误差更大；而本方法计算精度高，误差小，不受纬度区域限制，也能够满足长距离精确定位计算需求，比较结果见表1和表2。
表1采用本申请提供的方法计算获得的等距离点
Figure GDA0004240044090000081
表2采用圆弧求交法计算获得的等距离点
Figure GDA0004240044090000082
Figure GDA0004240044090000091
总之，本申请提供的基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，通过迭代逼近计算算法更加简洁，不需要复杂的高次方运算，即可计算出满足精度要求的结果；同时距离计算在地球椭球面上进行，摆脱了地图投影的影响，不用考虑地图投影方式的选择问题。值得大面积推广使用。
需要说明的是，在本文中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。而且，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。在没有更多限制的情况下，由语句“包括一个……”限定的要素，并不排除在包括所述要素的过程、方法、物品或者设备中还存在另外的相同要素。
以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并非用于限定本发明的保护范围。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换、改进等，均包含在本发明的保护范围内。

Claims (6)

1.一种基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，其特征在于，所述方法包括：
已知地球椭球面上P和Q两点各自的大地坐标及两点之间的大地线距离；
设定点O为距离P、Q两点大地线距离相同的等距离点，且该距离为已知；
根据点P的大地坐标、PO大地方位角近似值以及PO大地线距离按照大地主题正算公式计算距离P、Q两点等距的近似点O’的大地坐标；
根据P、Q和O’三点的大地坐标，按照大地主题反算公式计算获得O’P和O’Q各自的大地线距离；
判断所述O’P和O’Q各自的大地线距离之差是否小于目标误差；
如果是，则将所述点O’的大地坐标作为所述点O的大地坐标；
如果否，则调整PO大地方位角近似值后重新计算所述点O’的大地坐标。
2.根据权利要求1所述的基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，其特征在于，通过公式1计算获得所述近似点O’的大地坐标(BO’,LO’)及O’P大地线方位角AO’P：
Figure FDA0004240044080000011
式中：(BP,LP)分别为点P的大地坐标，SPO为点P与点O之间的大地线距离，APO为PO大地线方位角的近似值。
3.根据权利要求2所述的基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，其特征在于，所述PO大地线方位角的近似值APO通过以下方法计算获得：
将三角形PQO近似为平面三角形；
令∠QPO＝α，根据三角余弦定理a2＝b2+c2-2bc*cosA，有cosα＝s/2r，则α＝arccos(s/2r)；PO大地线方位角近似值APO＝APQ±α；APQ为PQ大地线的方位角；s为PQ两点大地线距离；r为点O距离点P或点Q的大地线距离。
4.根据权利要求2所述的基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，其特征在于，通过公式2、公式3计算获得所述O’P和O’Q各自的大地线距离SO’P、SO’Q；
Figure FDA0004240044080000021
Figure FDA0004240044080000022
式中：AO’P为O’P大地线方位角，APO，为O’P大地线反方位角，(BQ，LQ)为点Q的大地坐标，AO′Q为O’Q大地线方位角，AQO′为O′Q大地线反方位角。
5.根据权利要求4所述的基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，其特征在于，所述调整PO大地方位角近似值获得ΔAPO，将所述ΔAPO带入公式1重新计算所述点O’的大地坐标。
6.根据权利要求5所述的基于地球椭球面的两点等距离点解算方法，其特征在于，ΔApO＝ApO+δ/r；δ为SO’P与SO′Q差，r为点O距离点P或点Q的大地线距离。
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