CN113362405B - 一种基于StOMP压缩感知图像重构系统的构建方法 - Google Patents

Abstract

一种基于StOMP压缩感知图像重构系统的构建方法，包括：步骤1，采集图像；将图像分成s×T大小的图像块，S、T均是自然数；步骤2，将图像的图像块变换成长度为N的一维列向量X，N＝S×T；在采样端采用部分哈达玛矩阵Φ＝[φ₁，φ₂，...φ_m，...φ_M]作为测量矩阵对X进行采样，获取观测向量获得的Y为长度为M的列向量，M为自然数；步骤3，利用稀疏表示对观测向量进行数学建模，得到观测向量在信号中的稀疏系数；步骤4，在重构端稀疏系数重构出估计信号。本发明运行效率高、准确度高、系统的鲁棒性增强。

Description

一种基于StOMP压缩感知图像重构系统的构建方法

技术领域

本发明涉及一种基于StOMP(Segmented Orthogonal Matching Pursuitalgorithm，StOMP)压缩感知图像重构系统的构建方法。

背景技术

传统奈奎斯特采样定理要求在带限数据采样过程中，采样率必须大于最高频率的两倍。一方面，由于信息需求量的急速增加，例如在大像素高分辨率的图像信号、传感器网络等实际应用中，随着信号的带宽变得越来越大，存储、传输数据的硬件设备也面对着极大的挑战；另一方面，很多实际信号的处理过程都是先用很高的采样频率对信号进行采样，再对数据进行压缩，最后存储或传输。压缩的过程只保留了某些重要数据，大量冗余数据被舍弃。显而易见，这种基于奈奎斯特采样定理为基础的技术造成了大量资源的浪费。由此一种全新的数据采样理论压缩感知应运而生。

该理论表明，当信号数据有一定的稀疏性或者可压缩性时，可以通过采取极少数量的信号投影值加以实现信号的近似重构，可以极大程度的降低数据采集的成本、减少测量时间、采样率，节省模数转换资源和存储空间。因此CS理论从某种意义上突破了奈奎斯特采样频率的限制，带来了信号采样理论的变革，目前已经在传感器网络、图像、医学、雷达及盲源分离等众多领域得到了应用。

压缩感知主要的研究方向主要分为以下几个方面：原始信号稀疏表示、测量矩阵设计和利用观测值重构原始信号。其中，重构算法的作用是将采集到的低维数据尽可能地恢复成高维的原信号，也可以看作是获得的已知信号在给定字典上的稀疏分解的过程。当前CS重构算法主要包含凸优化算法和贪婪算法。其中贪婪算法由于具有原理简单、易于实现、运行速度快的优点，具有广泛的应用前景。而分段正交匹配追踪(SegmentedOrthogonal Matching Pursuit algorithm，StOMP)算法是最具代表性的贪婪算法之一。

传统的StOMP算法采用高斯矩阵作为测量矩阵，该算法在重构信号过程中，要从冗余字典里选择与残差信号匹配的最佳原子，原子间是否独立取决于测量矩阵向量间的非相干性。然而利用高斯矩阵作为测量矩阵，其列相干性过大会影响残差信号的匹配过程，从而导致信号重构精度下降、重构稳定性低的问题。观测矩阵是压缩感知理论中实现数据被压缩采集的核心。理论证明约束等距特性是观测矩阵测量结果能够被精确重建的充分条件。目前观测矩阵主要分三类，如以高斯随机矩阵为代表，矩阵元素独立服从某一分布；以部分傅里叶矩阵为代表的部分正交矩阵和以托普利兹矩阵为代表的结构化矩阵。这三种矩阵均为随机矩阵。另外，还有以多项式确定性矩阵为代表的确定性矩阵作为观测矩阵。

发明内容

本发明要解决传统分段正交匹配追踪算法中存在的信号部分丢失、重构精度下降、稳定性下降等缺点，提出一种基于StOMP压缩感知图像重构系统的构建方法。

本发明将引入部分哈达玛矩阵作为StOMP算法的测量矩阵，通过在迭代过程中选出互相干性小的原子，从而有效地改善以高斯矩阵作为测量矩阵的StOMP算法在匹配过程中信号丢失的问题，用来实现图像信号的精确重构。

本发明的一种基于StOMP压缩感知图像重构系统的构建方法，包括如下步骤：

步骤1，采集图像；将图像分成S×T大小的图像块，S、T均是自然数；

步骤2，将步骤1所描述图像的图像块变换成长度为N的一维列向量X，N＝S×T；在采样端采用部分哈达玛矩阵Φ＝[φ₁,φ₂,...φ_m,...φ_M]作为测量矩阵对X进行采样，获取观测向量获得的Y为长度为M的列向量，M为自然数；

构造部分哈达玛矩阵分为以下三个步骤：

1)预先随机化；构造哈达玛矩阵H∈N×N，随机排序矩阵H的列数，记为矩阵A；

2)采样率设置为R＝M/N；抽取矩阵A的偶数行；若R＞0.5，则保留偶数行，从奇数行中继续采用偶数行抽取原则进行抽取，直至抽取到M行；若R＜0.5，则从偶数行里按照偶数抽取原则继续抽取，直到满足采样率R；抽取的M行构成亚采样矩阵B；

3)测量矩阵生成；对矩阵B进行转置得到B'，即为部分哈达玛矩阵；

步骤3，利用稀疏表示对步骤2中获得的观测向量进行数学建模，即利用分段正交匹配追踪算法，得到观测向量在信号中的稀疏系数，具体步骤如下：

输入：哈达玛矩阵H，观测向量y，信号稀疏度K，门限值g

输出：稀疏系数

1)初始化参数；初始化残差信号r₀＝y，索引集迭代计数t＝1；

2)矩阵H∈N×N随机排列其列数，从中抽取M行，即为测量矩阵Φ，传感矩阵Θ＝ΦΨ；

3)计算残差量和观测矩阵各原子的相关系数：

u＝|〈Θ^T,r_t-1〉| (1)

从u中挑选大于门限值g的值，这些值所对应的Θ列序号j构成J，即将这些原子的角标构成的集合记为索引集J；

4)更新索引集；合并最新两次坐标索引，并对Λ_t集合进行一致化处理；令Λ_t＝Λ_t-1∪J，Θ_t＝Θ_t-1∪θ_j。若Λ_t＝Λ_t-1，则停止迭代，转8)；

5)求y＝Θ_tS_t的最小二乘解：

其中为第t次更新所得的线性优化值；

6)更新残差：

7)稀疏解精度判定；若t＞K或残差r的2范数小于误差限值，停止迭代；否则t＝t+1，返回3)；

8)重构所得在Λ_t处有非零项，其值为最后一次迭代所得/>

步骤4，在重构端，根据步骤3中得到的稀疏系数重构出估计信号；将步骤3中获得的稀疏系数代入公式：

X＝ΨS (4)

重构得到估计的原始图像，重构过程中已知参数稀疏系数S，选择离散余弦基为信号稀疏基Ψ。

本发明的有益效果：运行效率高、准确度高、系统的鲁棒性增强

附图说明

图1是本发明的部分哈达玛矩阵构造的流程图。

图2是本发明的流程图。

具体实施方式

下面结合附图，进一步说明本发明的技术方案。

为了便于公众理解本发明的技术方案，下面先对压缩感知的基本知识做一简要介绍。

压缩感知理论表明用远低于奈奎斯采样定理要求的频率对信号进行采样也能够实现信号的精确重构。其本质内容是可压缩信号(即在某个基上具有稀疏描述的信号)的少量随机的线性投影即包含了重构和处理该信号的足够信息，即仅仅利用信号可压缩的先验知识和少量全局的线性测量就可以获得精确重建。这种观测策略可以显著减少测量时间、采样率，节省模数转换资源和存储空间。压缩感知理论的核心思想主要包括两点。第一点是信号的稀疏结构，现实生活中有很多广受关注的信号本身具有一些结构特点，相对于带宽信息的自由度，这些结构特点是由信号的更小的一部分自由度所决定。换句话说，在很少的信息损失情况下，这种信号可以用很少的数字编码表示。另外一点是不相关特性。稀疏信号的有用信息的获取可以通过一个非自适应的采样方法将信号压缩成较小的样本数据来完成。理论证明压缩感知的采样方法只是一个简单的将信号与一组确定的波形进行相关的操作。这些波形要求是与信号所在的稀疏空间不相关的。压缩感知可以广泛应用于信息论、图像处理、地球科学、光学、模式识别、无线通信、大气、地质等领域。

具体地讲，假设x是一个一维有限长的实值离散时域信号，长度为N，x可以用N×1维正交稀疏基向量Ψ＝[ψ₁,ψ₂,ψ₃,…ψ_N]的线性组合来表示：

其中，s_i为x在ψ_i上的稀疏系数，S＝Ψ^Tx为系数系数矢量。若S中大部分系数为零或按降序排列后呈指数级衰减并趋近于零，则认为x是可压缩的，可以用一个与Ψ不相关的矩阵Φ∈R^M×N(M＜＜N)对信号x进行线性测量，得到观测向量y∈R^M为:

y＝Φ(x+e)＝Φx+Φe＝ΦΨS+Φe＝ΘS+Φe (6)

其中，e表示噪声向量(当不含有噪声时，令e＝0即可)，称Θ＝ΦΨ为传感矩阵。若传感矩阵Θ满足等距限制性准则，则x的稀疏系数S可以通过求解如下优化问题实现精确重构：

其中τ∈[1,∞)为正则化参数(当τ＝0即为不含噪声时的重构模型)，通过求解优化该问题即可得到稀疏系数S，进而可得到原始信号x。

基于StOMP压缩感知图像重构系统的构建方法，包括如下步骤：

步骤1，图像采集；将图像分成S×T大小的图像块，S、T均是自然数；

步骤2，将步骤1所描述图像的图像块变换成长度为N的一维列向量X，N＝S×T；在采样端采用部分哈达玛矩阵并作为测量矩阵对X进行采样，获取观测向量Y，Y是长度为M的列向量，M为自然数；

本发明中所采用的是源图像受到噪声污染的模型，即：

x₁＝x+e (8)

其中，向量x表示干净的信号，e表示噪声向量，x₁表示受到噪声污染的噪声矢量。在压缩感知观测模型中，并不是直接测量稀疏信号，而是将信号投影到观测矩阵Φ＝[φ₁,φ₂,...φ_m,...φ_M]上，而得到观测向量写成矩阵形式为：

y₁＝Φx₁＝Φ(x+e)＝Φx+Φe＝y+e₁ (9)

其中，y＝Φx，e₁＝Φe，y表示干净的观测向量，e₁表示投影后的噪声向量。

本发明中使用部分哈达玛矩阵作为投影的观测矩阵。一般具有如下块状结构：

其中，m为块数。每一个子块的矩阵均可以是相互独立的部分哈达玛矩阵。

构造部分哈达玛矩阵分为以下三个步骤：

1)预先随机化；构造哈达玛矩阵H∈N×N，随机排序矩阵H的列数，记为矩阵A；

2)采样率设置为R＝M/N；抽取矩阵A的偶数行；若R＞0.5，则保留偶数行，从奇数行中继续采用偶数行抽取原则进行抽取，直至抽取到M行；若R＜0.5，则从偶数行里按照偶数抽取原则继续抽取，直到满足采样率R。抽取的M行构成亚采样矩阵B；

3)测量矩阵生成；对矩阵B进行转置得到B'，即为部分哈达玛矩阵；

算法重构质量主要取决于测量矩阵内各向量互相干性，即：

其中，Φ_j和Φ_k分别代表测量矩阵Φ的第j和第k列，互相干性μ'越小，对索引集的选择越有利，算法重构质量也越好。经过预先随机化后，矩阵A各列向量内积仍为0，再经过亚采样后，互相干性最小为0，最大仅为互相干性依然很小，较高斯矩阵具有更好的重构质量。

步骤3，利用稀疏表示对步骤2中获得的观测向量进行数学建模，即利用分段正交匹配追踪算法，得到观测向量在信号中的稀疏系数，具体步骤如下：

输入：哈达玛矩阵H，观测向量y，信号稀疏度K，门限值g

输出：稀疏系数

1)初始化；初始化残差信号r₀＝y，索引集迭代计数t＝1；

2)矩阵H∈N×N随机排列其列数，从中抽取M行，即为测量矩阵Φ，传感矩阵Θ＝ΦΨ；

3)计算残差量和观测矩阵各原子的相关系数u＝|〈Θ^T,r_t-1〉|从u中挑选大于门限值g的值，这些值所对应的Θ列序号j构成J，即将这些原子的角标构成的集合记为索引集J；

4)更新索引集；合并最新两次坐标索引，并对Λ_t集合进行一致化处理。令Λ_t＝Λ_t-1∪J，Θ_t＝Θ_t-1∪θ_j。若Λ_t＝Λ_t-1，则停止迭代，转8)；

5)求y＝Θ_tS_t的最小二乘解：

其中为第t次更新所得的线性优化值；

6)更新残差；

7)稀疏解精度判定；若t＞K或残差r的2范数小于误差限值，停止迭代；否则t＝t+1，返回3)；

8)重构所得在Λ_t处有非零项，其值为最后一次迭代所得/>

步骤4，在重构端，根据步骤3中得到的稀疏系数重构出估计信号；将步骤3中获得的稀疏系数代入公式；

X＝ΨS (4)

重构得到估计的原始图像，重构过程中已知参数稀疏系数S，另外选择离散余弦基为信号稀疏基Ψ。

压缩感知理论框架下，稀疏基端选取和重构算法的选择直接决定了最后重构出的信号质量。只有选择合适的基表示信号才能保证信号的稀疏度，从而保证信号的恢复精度，在研究信号的稀疏系数时，可以通过变换系数衰减速度来衡量变换基的稀疏表示能力。有研究表明，满足具有幂次速度衰减的信号，可利用压缩感知理论得到重构恢复，并且重构误差满足：

其中r＝1/p-1/2,0<p<1

有文献指出光滑信号都傅立叶系数、小波系数，有界变差函数的全变差函数，震荡信号的Gabor系数及具有半连续边缘的图像信号的Curvelet系数等都具有足够的稀疏性，因此选择离散余弦基作为图像信号的稀疏基。

本说明书实施例所述的内容仅仅是对发明构思的实现形式的列举，本发明的保护范围不应当被视为仅限于实施例所陈述的具体形式，本发明的保护范围也及于本领域技术人员根据本发明构思所能够想到的等同技术手段。

Claims (1)

1.一种基于StOMP压缩感知图像重构系统的构建方法，包括如下步骤：

步骤1，采集图像；将图像分成S×T大小的图像块，S、T均是自然数；

步骤2，将步骤1所描述图像的图像块变换成长度为N的一维列向量X，N＝S×T；在采样端采用部分哈达玛矩阵Φ＝[φ₁,φ₂,...φ_m,…φ_M]作为测量矩阵对X进行采样，获取观测向量获得的Y为长度为M的列向量，M为自然数；

构造部分哈达玛矩阵分为以下三个步骤：

21)预先随机化；构造哈达玛矩阵H∈N×N，随机排序矩阵H的列数，记为矩阵A；

22)采样率设置为R＝M/N；抽取矩阵A的偶数行；若R＞0.5，则保留偶数行，从奇数行中继续采用偶数行抽取原则进行抽取，直至抽取到M行；若R＜0.5，则从偶数行里按照偶数抽取原则继续抽取，直到满足采样率R；抽取的M行构成亚采样矩阵B；

23)测量矩阵生成；对矩阵B进行转置得到B'，即为部分哈达玛矩阵；

步骤3，利用稀疏表示对步骤2中获得的观测向量进行数学建模，即利用分段正交匹配追踪算法，得到观测向量在信号中的稀疏系数，具体步骤如下：

输入：哈达玛矩阵H，观测向量y，信号稀疏度K，门限值g

输出：稀疏系数

31)初始化参数；初始化残差信号r₀＝y，索引集迭代计数t＝1；

32)矩阵H∈N×N随机排列其列数，从中抽取M行，即为测量矩阵Φ，传感矩阵Θ＝ΦΨ；

33)计算残差量和观测矩阵各原子的相关系数：

u＝|<Θ^T,r_t-1>| (1)

从u中挑选大于门限值g的值，这些值所对应的Θ列序号j构成J，即将这些原子的角标构成的集合记为索引集J；

34)更新索引集；合并最新两次坐标索引，并对Λ_t集合进行一致化处理；令Λ_t＝Λ_t-1∪J，Θ_t＝Θ_t-1∪θ_j；若Λ_t＝Λ_t-1，则停止迭代，转38)；

35)求y＝Θ_tS_t的最小二乘解：

其中为第t次更新所得的线性优化值；

36)更新残差：

37)稀疏解精度判定；若t＞K或残差r的2范数小于误差限值，停止迭代；否则t＝t+1，返回33)；

38)重构所得在Λ_t处有非零项，其值为最后一次迭代所得/>

步骤4，在重构端，根据步骤3中得到的稀疏系数重构出估计信号；将步骤3中获得的稀疏系数代入公式：

X＝ΨS (4)

重构得到估计的原始图像，重构过程中已知参数稀疏系数S，选择离散余弦基为信号稀疏基Ψ。