CN113361169B - 一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及隧道工程技术领域，公开了一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，建立接头非连续盾构隧道计算模型，使得隧道在长度方向上是由一系列的标准环单元和接头单元构成，组建得到盾构隧道全部n个节点的纵向位移差分方程、弯矩方程以及环间张开角的矩阵‑向量表达式，采用牛顿迭代法进行求解分别得到盾构隧道的纵向位移、弯矩和环间接头张开角，本发明避免了弹性地基模型的缺点，同时兼顾考虑到地表堆载作用下地基土非线性变形特征和盾构隧道非连续变形特征，能够准确的地预测地表堆载作用下盾构隧道的沉降变形，具有切实意义上的实用价值。

Description

一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法

技术领域

本发明涉及隧道工程技术领域，具体涉及一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法。

背景技术

随着我国经济的快速发展，地铁里程迅速增加，地铁隧道附近的突发堆载频繁出现。突发地表堆载来源主要以临时基坑开挖弃土和建筑垃圾为主。由于地面堆载通常具有突发性的特点，这将在短时间内大大增加作用于地铁隧道上的附加荷载，造成隧道变形，特别是管片的过大变形，进而引起螺栓拉断、衬砌破损、环缝张开以及渗漏水等病害，严重影响隧道结构的服役性能，威胁地铁的运行安全。因此，评估遭遇地表突发堆载下既有服役盾构隧道的受力特点是地铁盾构隧道面临的难题之一。

针对预测盾构隧道在邻近堆载下的变形和受力响应这一问题，现有技术主要分为实地监测、实验模拟、数值分析和理论分析等四个方面。由于理论分析具有速度快、成本低等优点，许多学者利用理论解析的方法研究堆载引起的盾构隧道变形。戴宏伟等、王涛等均将隧道简化为Euler-Bernoulli梁，使用Winkler地基模型模拟地基土，在此基础上求解地铁隧道挠曲微分方程，进而得到地铁隧道变形。璩继立等将隧道视为双面弹性地基梁，并将计算得到的内力和变形与Winkler弹性地基梁模型计算结果进行对比。为合理考虑盾构隧道的剪切变形，康成等、张勇等、江杰等使用Timoshenko梁模型模拟盾构隧道，并分别结合Winkler地基模型、Pasternak地基模型和利夫金地基模型得到盾构隧道在地表堆载作用下的响应。前述理论分析方法均是将隧道视为连续梁，然而盾构隧道存在大量管片和接头，接头相对于混凝土管片更加容易变形，连续梁模型无法有效考虑环间接头对隧道纵向变形的影响。

此外，前述理论方法均是利用弹性地基模型考虑土与隧道的相互作用。在传统的弹性地基模型中，地基土变形和其提供的地基反力之间往往为线性关系，这在地基土变形量较小时是合理的，但当地基土变形量较大时地基反力和地基土变形往往不再为线性对应关系，而是呈现明显的非线性特征。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，能够同时兼顾考虑到地表堆载作用下地基土非线性变形特征和盾构隧道非连续变形特征，能够准确的地预测地表堆载作用下盾构隧道的沉降变形。

本发明解决技术问题采用如下技术方案：

本发明提供一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，包括：

建立盾构隧道计算模型，将盾构隧道沿长度方向划分为标准环单元和接头单元，其中标准环单元为将管片环简化后的Euler-Bernoulli短梁，其长度与管片环长度一致，接头单元为模拟环间接头的无长度转动弹簧；

将n₁个长度为l_s的管片环分别离散成n₂个单元并得到n个节点，使得盾构隧道被n个节点离散为n-1个长度为l的单元，其中l＝l_s/n₂，n-1＝n₁×n₂；

在盾构隧道两端各增加两个虚拟节点位移差分方程，定位m个节点位于环间接头处，n-3m个节点属于标准环单元；

组建由盾构隧道全部n个节点的纵向位移差分方程组成的非线性方程组：

[K_t+K_s-G_s]{w}＝{P}，

其中{w}为隧道纵向位移向量；K_t为既有隧道刚度矩阵；{P}为施加于隧道的卸荷列向量，具体为：

{w}＝{w₀,w₁,…,w_n-2,w_n-1}，

{P}＝{p(x₀),p(x₁),…,p(x_n-2),p(x_n-1)}，

其中p(x_i)，i＝0，1，2…n-1为作用在盾构隧道上各节点的外部应力，w_i，i＝0，1，2…n-1为各节点纵向位移，q_u为极限地层反力，k_u＝q_u/δ_u，δ_u为获得极限地层反力所需要的地基土变形值，EI为管片环的纵向有效抗弯刚度，D为盾构隧道外径，G_c为地基土剪切层刚度，

其中：[J_t]_i和[J_s]_i分别是盾构隧道纵向第i个环间接头和邻近节点的隧道刚度系数矩阵和地基剪切刚度系数矩阵，具体为：

其中k_θ为环间接头的转动刚度，

组建由盾构隧道全部n个节点的弯矩方程构成的矩阵-向量表达式：

其中[M_t]为系数矩阵，具体为:

组建环间接头张开角的矩阵-向量表达式：

其中接头处的相对转动角θ，即环间接头张开角

采用牛顿迭代法进行求解分别得到盾构隧道的纵向位移、弯矩和环间接头张开角。

优选地，所述盾构隧道全部n个节点的纵向位移差分方程包括：n-3m个属于标准环单元的节点位移差分方程、m个位于环间接头处的节点位移差分方程和2m个与环间接头相邻的节点位移差分方程。

优选地，所述n-3m个属于标准环单元的节点位移差分方程通过以下步骤建立：

对标准环单元的微分单元进行受力分析，得到其弯矩平衡方程和静力平衡方程：

q(x)Ddx-p(x)Ddx+Q-(Q+dQ)＝0

其中：Q为静力；M为弯矩；p(x)为作用在盾构隧道上的外部应力；q(x)为地基反力；D为盾构隧道外径，参数x为沿盾构隧道轴线延申的横坐标；

建立标准环单元的纵向变形微分方程：

结合有限差分原理，可得属于标准环单元的节点位移差分方程：

其中w_i+2、w_i+1、w_i、w_i-1、w_i-1和w_i-2代表节点i+2、i+1、i、i-1和i-2的纵向位移，w(x)为盾构隧道竖向变形值；G_c为地基土剪切层刚度，w(i)为i节点处盾构隧道竖向变形。

优选地，所述地基反力q(x)计算公式为：

式中，k_u＝q_u/δ_u，

其中w(x)为地基土变形量；δ_u为获得极限地层反力所需要的地基土变形值，v为土层的泊松比，E_s为土层的弹性模量，H_t为剪切层厚度，G_c为地基土剪切层刚度，q_u为极限地层反力，采用以下公式得到：

c为土的粘聚力；γ为土的重度；γ′为土的浮重度；H为隧道轴线埋深；D为隧道外径；N_c、N_q和N_γ为承载力系数，分别采用以下公式得到：

N_γ＝e^0.18φ-2.5，

其中φ为土层内摩擦角。

优选地，所述作用在盾构隧道上的外部应力p(x)，通过以下方法得到：

预设盾构隧道上方地表存在一矩形堆载，L和B分别为堆载范围的长和宽，在堆载和盾构隧道上分别建立ζ-η坐标系与x-y坐标系，d为两个坐标系原点之间的距离，α为ζ轴与x轴的夹角，β为两坐标系原点连线与ζ轴的夹角；

代入公式

其中z₀为盾构隧道轴线埋置深度；p₀为地表堆载的自重应力；参数R计算公式为：

式中：X，Y为ζ-η坐标系中横纵坐标，其中ζ-η坐标系与x-y坐标系的转换关系为：

优选地，建立属于标准环单元的节点位移差分方程的步骤中还包括建立四个盾构隧道两端虚拟节点位移差分方程，具体包括：

预设盾构隧道两端弯矩和静力均为零，得到公式：

根据中心标准有限差分原理得四个盾构隧道两端虚拟节点位移差分方程：

优选地，所述m个位于环间接头处的节点位移差分方程通过如下步骤建立：

在环间接头节点两侧增加虚拟节点，令w_j为接头节点的纵向位移，w_j-2、w_j-1、w_j+1、w_j+2分别为接头节点两侧相邻节点的纵向位移，w′_j-2、w′_j-1、w′_j+1和w′_j+2代表增设的虚拟节点的纵向位移，θ_j-为接头左侧转动角度，θ_j+为接头右侧转动角度，θ为隧道环间接头的总转角；

基于采用无长度的转动弹簧来表示环间接头，得到第j个环间接头节点处的弯矩为：

M_j＝k_θθ＝k_θ(θ_j--θ_j+)，其中k_θ为环间接头的转动刚度；

令θ≈tanθ＝w′，得弯矩M_j为：

M_j＝k_θ(θ_j--θ_j+)＝k_θ(w′_j--w′_j+)；

根据有限差分原理可得到接头处弯矩M_j的有限差分表达式：

由环间接头处弯矩连续得：M_j-＝M_j+＝M_j；

结合标准一阶中心差分公式和高阶中心差分公式推导，得到M_j、M_j-和M_j+的高阶差分表达式为：

结合有限差分原理，可得第j个接头节点处的差分方程为：

优选地，所述2m个与环间接头相邻的节点位移差分方程，通过以下步骤建立：

对与环间接头相邻的两个节点(j-1)和(j+1)建立：

结合有限差分原理，可得与第j个环间接头左右相邻的两个节点(j-1)和(j+1)纵向位移差分方程为：

优选地，所述盾构隧道全部n个节点的弯矩方程包括：

m个在环间接头处节点的弯矩的代数方程和(n-m)个在非环间接头处节点的弯矩的代数方程，其中，

m个在环间接头处节点的弯矩的代数方程为：

(n-m)个在非环间接头处节点的弯矩的代数方程为：

优选地，所述静力Q计算公式为：

弯矩M计算公式为：

所述管片环的纵向等效抗弯刚度EI计算公式为：

其中，β为盾构隧道管片环纵向抗弯刚度折减系数；E_c为盾构隧道管片弹性模量；t为隧道管片厚度；

所述环间接头转动刚度k_θ计算公式为：

其中，η为转动刚度系数；l_s为环宽；I为盾构隧道截面惯性矩；ψ为表示纵向等效连续模型中的中性轴位置的参数，其计算公式为：

其中，k_b为接头螺栓的平均线刚度，k_b＝E_bA_b/l_b，l_b为螺栓长度，E_b为螺栓弹性模量，A_b为螺栓截面面积；A_c为隧道管片截面积；n为螺栓个数。

与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：

本发明针对弹性地基模型的缺点，建立了一种新的适用于计算隧道沉降变形的非线性Pasternak地基模型，并进一步的结合盾构隧道接头非连续计算模型提出一套能够同时考虑地表堆载作用下地基土非线性变形特征和盾构隧道非连续变形特征的计算预测方法，能够有效提高地表突载作用下盾构隧道的沉降变形的预测效果。

关于本发明相对于现有技术，其他突出的实质性特点和显著的进步在实施例部分进一步详细介绍。

附图说明

通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：

图1为实施例1中非线性Pasternak地基模型示意图；

图2为实施例1中堆载与既有隧道相对位置平面示意图；

图3为实施例1中接头非连续盾构隧道计算模型示意图；

图4为实施例1中标准环单元微元受力分析图；

图5为实施例1中隧道离散化示意图；

图6为实施例1中隧道环间接头增设虚拟节点示意图；

图7为实施例1中张开量计算示意图；

图8为实施例2中堆土与隧道相对位置图；

图9为实施例2中上海地铁9号线附加荷载分布图；

图10为实施例2中上海地铁9号线沉降值计算结果与实测值对比图；

图11为实施例2中上海地铁9号线弯矩值计算结果对比图；

图12为实施例2中上海地铁9号线接头张开量示意图；

图13为实施例3中堆土与隧道相对位置图；

图14为实施例3中盾构隧道附加荷载分布图；

图15为实施例3中隧道沉降值计算结果与实测值对比图；

图16为实施例3中盾构隧道接头张开量图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

需要说明的是，在说明书及权利要求书当中使用了某些名称来指称特定组件。应当理解，本领域普通技术人员可能会用不同名称来指称同一个组件。本申请说明书及权利要求书并不以名称的差异作为区分组件的方式，而是以组件在功能上的实质性差异作为区分组件的准则。如在本申请说明书和权利要求书中所使用的“包含”或“包括”为一开放式用语，其应解释为“包含但不限定于”或“包括但不限定于”。具体实施方式部分所描述的实施例为本发明的较佳实施例，并非用以限定本发明的范围。

实施例1

请参照图1-7，本发明的第一个实施例为一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，为了实现本预测方法，本实施例先建立了一种适用于隧道沉降工况的非线性Pasternak地基模型，其表达式为：

k_u＝q_u/δ_u (2)

式中：q(x)为地基反力；w(x)为地基土变形量；δ_u为获得极限地层反力所需要的地基土变形值，一般取0.2倍隧道直径。G_c为地基土剪切层刚度；v为土层的泊松比；E_s为土层的弹性模量；H_t为剪切层厚度，一般取2.5倍隧道直径；q_u为极限地层反力，q_u的取值^[21]为

式中：c为土的粘聚力；γ为土的重度；γ′为土的浮重度；H为隧道轴线埋深；D为隧道外径；N_c、N_q和N_γ为承载力系数，取值为

N_γ＝e^0.18φ-2.5 (7)

式中：φ为土层内摩擦角。

式(1)的右侧第二项用于考虑地基的连续性，这是从Pasternak地基模型继承而来的，式(1)右侧第一项则是用于反映地基反力与变形量之间的非线性关系，如图1所示，随着地基变形量的增大，地基反力的增量逐渐减小，最终地基反力趋向一个稳定值，即极限地基反力q_u。

如图2所示，预设盾构隧道上方地表存在一矩形堆载，L和B分别为堆载范围的长和宽。d为两个坐标系原点之间的距离，α为ζ轴与x轴的夹角，β为两坐标系原点连线与ζ轴的夹角。

使用Boussinesq解求解地表堆载产生的作用于既有盾构隧道上的附加应力p(x)

式中：z₀为盾构隧道轴线埋置深度；p₀为地表堆载的自重应力；参数R为：

式中：X，Y为ζ-η坐标系中横纵坐标。

ζ-η坐标系与x-y坐标系的转换关系为：

在盾构隧道中，相较于管片环部分，环间接头的承载性能更差，在外力的作用下更易产生变形，而环间接头的变形以转动和错台为主。目前环间接头普遍设计有凹凸榫槽，这有效减少了管片环间的错台变形。因此，仅考虑环间接头转动对盾构隧道纵向变形的影响。

本实施例建立的接头非连续盾构隧道计算模型如图3所示。该模型将盾构隧道划分为标准环单元和接头单元，其中标准环单元是将管片环简化为Euler-Bernoulli短梁，其长度与管片宽度一致；而接头单元则是采用无长度的转动弹簧来模拟环间接头。总的来看，在接头非连续盾构隧道计算模型中，隧道在长度方向上是由一系列的标准环单元和接头单元构成的。

取标准环单元的微分单元进行受力分析，可以得到其弯矩平衡方程和静力平衡方程，受力示意图见图4。

q(x)Ddx-p(x)Ddx+Q-(Q+dQ)＝0 (11)

式中：Q为静力；M为弯矩；p(x)为作用在盾构隧道上的外部应力；q(x)为地基反力

根据材料力学理论有

式中：EI为管片环的纵向有效抗弯刚度。

由式(11)、式(12)、式(13)和式(15)可以得到标准环单元的纵向变形微分方程

式(16)为四阶的微分方程，利用有限差分法求其数值解。

首先对盾构隧道进行离散化，如图5，预设盾构隧道管片环的数量为n₁长度为l_s，每个管片环离散为n₂个单元，那么隧道共被n个节点离散为长度为l(l＝l_s/n₂)的n-1(n-1＝n₁×n₂)个单元。为了表达盾构隧道的受力边界条件，分别在隧道两端各增加两个虚拟节点位移差分方程。增加虚拟节点位移差分方程后，总计有n+4个节点，假设其中有m个节点位于环间接头处，则除去虚拟节点位移差分方程、环间接头节点及其相邻节点还有n-3m个节点属于标准环单元。

将盾构隧道离散化后再结合有限差分原理，可得到式(16)的有限差分表达式

式中：w_i+2、w_i+1、w_i、w_i-1和w_i-2代表节点i+2、i+1、i、i-1和i-2的纵向位移。

预设盾构隧道两端弯矩和静力均为零(自由状态)，则有

根据中心标准有限差分原理有：

由式(19)可以得到隧道两端虚拟节点位移差分方程的位移表达式：

根据式(17)和(20)可以得到盾构隧道标准环单元的纵向变形代数方程表达式。

由于环间接头的存在，使得盾构隧道的纵向变形曲线在接头处不可导，所以通过在环间接头节点两侧增加虚拟节点的方式来满足有限差分的条件。图6为环间接头处虚拟节点的分布示意图。w_j为接头节点的纵向位移，w_j-2、w_j-1、w_j+1、w_j+2分别为接头节点两侧相邻节点的纵向位移，w′_j-2、w′_j-1、w′_j+1和w′_j+2代表增设的虚拟节点的纵向位移。θ_j-为接头左侧转动角度，θ_j+为接头右侧转动角度，θ为隧道环间接头的总转角。

利用无长度的转动弹簧来表示环间接头，所以环间接头处的弯矩为

M_j＝k_θθ＝k_θ(θ_j--θ_j+) (21)

式中：k_θ为环间接头的转动刚度。

由材料力学理论可知，Euler-Bernoulli梁有

θ≈tanθ＝w′ (22)

则弯矩M_j为

M_j＝k_θ(θ_j--θ_j+)＝k_θ(w′_j--w′_j+) (23)

根据有限差分原理可得到接头处弯矩M_j的有限差分表达式：

由环间接头处弯矩连续有

M_j-＝M_j+＝M_j (25)

结合式(15)和标准一阶中心差分公式可知

联立式(24)、式(25)、式(26)和式(27)，可得接头两侧虚节点位移差分方程w′_j-1和w′_j+1表达式为：

利用高阶中心差分公式，并消去w′_j-2和w′_j+2，M_j、M_j-和M_j+的高阶差分表达式为：

联立式(25)、式(30)、式(31)和式(32)有

由式(23)和有限差分原理有

将式(15)、式(28)、式(29)和式(33)代入式(34)。根据有限差分原理，可以得到接头节点处的差分方程

本模型共有m个接头节点，则可以得到m个接头节点的差分方程。

对与环间接头相邻的两个节点(j-1)和(j+1)有

将式(28)和式(29)代入式(36)和式(37)，可得节点(j-1)和节点(j+1)的差分方程

本模型共有2m个接头节点相邻节点，则有2m个与接头节点相邻的节点的差分方程。

结合式(17)、式(35)、式(38)和式(39)便可得到盾构隧道全部n个节点的位移差分方程，将这n个方程用矩阵的形式表示便有式(40)。式(40)为非线性方程组，难以直接求解，使用牛顿迭代法进行求解，牛顿迭代法具体求解过程本领域人员可知，在这里不做赘述。

[K_t+K_s-G_s]{w}＝{P} (40)

式中：其中{w}为隧道纵向位移向量；K_t为既有隧道刚度矩阵；{P}为施加于隧道的卸荷列向量。

{w}＝{w₀,w₁,…,w_n-2,w_n-1} (41)

{P}＝{p(x₀),p(x₁),…,p(x_n-2),p(x_n-1)} (42)

其中

其中

式中：[J_t]_i和[J_s]_i分别是盾构隧道纵向第i个环间接头和邻近节点的隧道刚度系数矩阵和地基剪切刚度系数矩阵，其表达式如下：

其中

在得到地表堆载产生的附加应力p(x)后，由式(40)便可得盾构隧道的沉降值，进而可以得到既有盾构隧道的弯矩。

结合式(28)、(29)和(24)，便可以得到环间接头处弯矩的m个代数方程

由式(15)和有限差分原理可以得到在非接头节点处隧道的弯矩的(n-m)代数方程

结合式(48)和式(49)可以得到隧道全部n个节点的弯矩矩阵-向量表达式：

式中：[M_t]为系数矩阵，其表达式为:

预设环缝接缝邻近微元为刚体，由图6可知，盾构隧道纵向环间张开角

即接头处的相对转动角θ，则

综上所述，在得知既有盾构隧道外部应力p(x)时，可计算得到接头非连续盾构隧道模型的纵向位移、弯矩和环间接头张开角。

接头非连续盾构隧道计算模型将管片环视为一个整体，因而需要得到管片环的纵向等效抗弯刚度。为考虑环向接头对管片环刚度的弱化作用，引入折减系数对管片环纵向抗弯刚度进行折减

式中：β为盾构隧道管片环纵向抗弯刚度折减系数；E_c为盾构隧道管片弹性模量；t为隧道管片厚度。

以往大多数学者采用实验的方法来确定环间接头转动刚度，但实验方法较为复杂，不便于应用，在这里我们采用一种盾构隧道纵向等效抗弯刚度的计算公式，该公式计算参数易于获取，应用方便，环间接头转动刚度的计算公式为：

式中：η为转动刚度系数；l_s为环宽；I为盾构隧道截面惯性矩；ψ为表示纵向等效连续模型中的中性轴位置的参数，其计算公式为：

式中:k_b为接头螺栓的平均线刚度，k_b＝E_bA_b/l_b，l_b为螺栓长度，E_b为螺栓弹性模量，A_b为螺栓截面面积；A_c为隧道管片截面积；n为螺栓个数。

栎社盾构隧道环间接头附近微元体为刚体，由图7可得到，隧道环间接头张开量Δ的计算公式为：

式中：

为环间张开角；r为纵向接头螺栓中心到盾构隧道轴线的距离。

实施例2

请参照图8-12，本实施例以一个具体案例验证，验证本发明的突出效果和显著进步，具体为：

小涞港河道正交跨越上海地铁9号线，河道深3m，宽24m。由于嘉闵高架的施工，在河道内堆填了大量土体，形成4.5m高的土堆，造成下方盾构隧道产生明显沉降，堆土与隧道的相对位置关系见图8。具体工程细节见文献《施工技术》2014,43(07)：107-109正上方加卸载对盾构隧道变形的影响分析[J]。上海地铁9号线盾构隧道为上海地区典型隧道，隧道轴线埋深为8.1m，外径为6.2m，管片厚度为0.35m，环宽1.2m。根据式(53)可得管片环纵向抗弯刚度为6.7×10⁸kN·m²，由式(54)可得环间接头转动刚度为6.5×10⁷kN·m/rad(η为1)。堆土重度取18kN/m³，地基土弹性模量为9MPa，泊松比为0.33，粘聚力c为13kPa，内摩擦角φ为15.5°，δ_u为1.24m，N_c、N_q和N_γ分别取值为11.30、4.13和1.34。

图9为采用Boussinesq解计算得到的堆载产生的作用于盾构隧道上的附加荷载。由图9可看出堆土产生的附加荷载最大值已经达到了71.48kPa，远远超出《城市轨道交通结构安全保护技术规范》所规定的20kPa限值。较大附加荷载将会导致隧道结构产生较大变形，因此严格控制地表堆载诱发的附加荷载十分重要。

图10为本发明的预测方法得到的隧道沉降值与实测数据的对比。现有技术中将隧道视为放置于Winkler地基上的Timoshenko梁，本文将其简称为W-T法。由图10可以看出，相较于W-T法，本文方法在预测最大沉降值方面更加准确，总体上与实测数据保持一致。此外，由图10亦可以发现，本发明的预测方法计算得到的盾构隧道沉降曲线并非光滑曲线，在管片环接头处沉降曲线出现转折。这是因为管片环与接头的力学特性存在明显差异，故而在外力作用下它们的变形特点也显著不同。这也说明本发明的预测方法可以有效反映盾构隧道纵向变形的非连续特征。

图11为本发明的预测方法和W-T法计算得到的弯矩对比图。由图11可以看出，W-T法计算得到的弯矩值明显小于本发明的预测方法，这应当是由于W-T法将隧道简化为连续的Timoshenko梁，高估了隧道的整体性所致。事实上，盾构隧道并不是一个均匀连续的整体，它是由若干管片和螺栓拼接而成的。本发明的预测方法充分考虑了盾构隧道环间接头对隧道受力的影响，故而得到的盾构隧道弯矩分布曲线也是非光滑曲线，曲线在盾构隧道接头处出现了转折。

图12为本发明的预测方法计算得到的盾构隧道环间接头张开量。由图12可以发现，堆载区域中心的张开量最大，张开量沿隧道轴线向两侧逐渐减小，在堆载区域边缘附近张开量反向增大，而后又逐渐减小。盾构隧道环间接头张开量的这种分布形态说明在堆载区中心和边缘外侧隧道最易发生破坏，在实际工程中应当特别注意，可以在这两个部位对隧道进行加固。此外，本发明的预测方法计算得到的接头张开量最大值为1.1mm，小于《规范》规定的2mm控制值。

实施例3

请参照图13-16，本实施例以另一个具体案例验证，验证本发明的突出效果和显著进步，具体为：

2013年1月18日某盾构隧道上方出现大面积堆土，最大高度为6m，平均高度为4m，堆土重度取19.5kN/m³。堆土范围沿隧道轴线方向为150m，垂直隧道轴线方向为20m，具体工程细节见文献《铁道工程学报》,2019,36(11)：67-73堆载诱发盾构隧道病害及结构安全分析[J]。为简化计算，将堆土考虑为长宽高分别为150m、20m和4m的长方体土堆，如图13所示。盾构隧道轴线埋深为8m，隧道外径为6m，内径为5.4m，管片环宽为1.5m，。管片环纵向抗弯刚度为5.3×10⁸kN·m²，环间接头转动刚度为3.6×10⁷kN·m/rad(η为1)。土层弹性模量取25.4MPa，泊松比取0.29，粘聚力c取18kPa，内摩擦角φ取19°，δ_u为1.2m，N_c、N_q和N_γ分别取值为13.98、5.80和2.51。

图14给出本发明的预测方法计算得到的作用于盾构隧道上的附加荷载。由图14可以看出，最大附加荷载同样大大超出了《规范》规定的20kPa限值。此外，在堆载区中心一定范围内，附加荷载均保持在最大附加荷载值，这也将造成该范围内的盾构隧道沉降值也保持在最大值附近。

图15为本发明的预测方法计算值与实测值的对比。现有技术通过将盾构隧道简化为放置于利夫金地基上的Timoshenko梁来计算隧道的沉降变形。由图15可以看出，本发明的预测方法得到的盾构隧道沉降值更加接近实测数据，而现有技术方法得到的隧道沉降值偏大，最大沉降值达到20.1mm，超过了规范规定的20mm限值。造成现有技术方法计算所得的沉降值偏大的原因是其基床系数k是采用Vesic推荐的公式计算得到的，该公式是针对搁置于地面的长梁提出的。对于具有一定埋深的地基梁，其计算得到的基床系数偏小，将会造成计算得到的位移偏大。

图16为本发明的预测方法计算得到的盾构隧道环间接头张开量。由图16可以看出，堆载中心区域张开量基本为零，而在在堆载区边缘内侧张开量迅速增大，在堆载区边缘外侧又急剧减小进而反向增大，而后沿隧道轴线向堆载区外侧又逐渐减小。与前述案例相比，本案例张开量的分布形态呈现不同的特点，这主要是是因为本案例沿隧道轴线方向的堆载长度达到了150m，而小涞港堆载工程沿隧道方向的堆载长度仅为24m。这说明堆载长度不同，下方的盾构隧道变形特点也有明显不同，在实际工程中应当区别对待。

对于本领域技术人员而言，显然本发明不限于上述示范性实施例的细节，而且在不背离本发明的精神或基本特征的情况下，能够以其他的具体形式实现本发明。因此，无论从哪一点来看，均应将实施例看作是示范性的，而且是非限制性的，本发明的范围由所附权利要求而不是上述说明限定，因此旨在将落在权利要求的等同要件的含义和范围内的所有变化囊括在本发明内。不应将权利要求中的任何附图标记视为限制所涉及的权利要求。

此外，应当理解，虽然本说明书按照实施方式加以描述，但并非每个实施方式仅包含一个独立的技术方案，说明书的这种叙述方式仅仅是为清楚起见，本领域技术人员应当将说明书作为一个整体，各实施例中的技术方案也可以经适当组合，形成本领域技术人员可以理解的其他实施方式。

Claims (10)

1.一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，包括：

建立盾构隧道计算模型，将盾构隧道沿长度方向划分为标准环单元和接头单元，其中标准环单元为将管片环简化后的Euler-Bernoulli短梁，其长度与管片环长度一致，接头单元为模拟环间接头的无长度转动弹簧；

将n₁个长度为l_s的管片环分别离散成n₂个单元并得到n个节点，使得盾构隧道被n个节点离散为n-1个长度为l的单元，其中l＝l_s/n₂，n-1＝n₁×n₂；

在盾构隧道两端各增加两个虚拟节点位移差分方程，定位m个节点位于环间接头处，n-3m个节点属于标准环单元；

组建由盾构隧道全部n个节点的纵向位移差分方程组成的非线性方程组：

[K_t+K_s-G_s]{w}＝{P}，

其中{w}为隧道纵向位移向量；K_t为既有隧道刚度矩阵；{P}为施加于隧道的卸荷列向量，具体为：

{w}＝{w₀,w₁,…,w_n-2,w_n-1}，

{P}＝{p(x₀),p(x₁),…,p(x_n-2),p(x_n-1)}，

其中p(x_i)，i＝0，1，2…n-1为作用在盾构隧道上各节点的外部应力，w_i，i＝0，1，2…n-1为各节点纵向位移，q_u为极限地层反力，k_u＝q_u/δ_u，δ_u为获得极限地层反力所需要的地基土变形值，EI为管片环的纵向有效抗弯刚度，D为盾构隧道外径，G_c为地基土剪切层刚度，

其中：[J_t]_i和[J_s]_i分别是盾构隧道纵向第i个环间接头和邻近节点的隧道刚度系数矩阵和地基剪切刚度系数矩阵，具体为：

其中k_θ为环间接头的转动刚度，

组建由盾构隧道全部n个节点的弯矩方程构成的矩阵-向量表达式：

其中[M_t]为系数矩阵，具体为:

组建环间接头张开角的矩阵-向量表达式：

其中接头处的相对转动角θ，即环间接头张开角

采用牛顿迭代法进行求解分别得到盾构隧道的纵向位移、弯矩和环间接头张开角。

2.根据权利要求1所述的一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，所述盾构隧道全部n个节点的纵向位移差分方程包括：n-3m个属于标准环单元的节点位移差分方程、m个位于环间接头处的节点位移差分方程和2m个与环间接头相邻的节点位移差分方程。

3.根据权利要求2所述的一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，所述n-3m个属于标准环单元的节点位移差分方程通过以下步骤建立：

对标准环单元的微分单元进行受力分析，得到其弯矩平衡方程和静力平衡方程：

q(x)Ddx-p(x)Ddx+Q-(Q+dQ)＝0

其中：Q为静力；M为弯矩；p(x)为作用在盾构隧道上的外部应力；q(x)为地基反力；D为盾构隧道外径，参数x为沿盾构隧道轴线延申的横坐标；

建立标准环单元的纵向变形微分方程：

结合有限差分原理，可得属于标准环单元的节点位移差分方程：

其中w_i+2、w_i+1、w_i、w_i-1、w_i-1和w_i-2代表节点i+2、i+1、i、i-1和i-2的纵向位移，w(x)为盾构隧道竖向变形值；G_c为地基土剪切层刚度，w(i)为i节点处盾构隧道竖向变形。

4.根据权利要求3所述的一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，所述地基反力q(x)计算公式为：

式中，k_u＝q_u/δ_u，

其中w(x)为地基土变形量；δ_u为获得极限地层反力所需要的地基土变形值，υ为土层的泊松比，E_s为土层的弹性模量，H_t为剪切层厚度，G_c为地基土剪切层刚度，q_u为极限地层反力，采用以下公式得到：

c为土的粘聚力；γ为土的重度；γ′为土的浮重度；H为隧道轴线埋深；D为隧道外径；N_c、N_q和N_γ为承载力系数，分别采用以下公式得到：

N_γ＝e^0.18φ-2.5，

其中φ为土层内摩擦角。

5.根据权利要求4所述的一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，所述作用在盾构隧道上的外部应力p(x)，通过以下方法得到：

预设盾构隧道上方地表存在一矩形堆载，L和B分别为堆载范围的长和宽，在堆载和盾构隧道上分别建立ζ-η坐标系与x-y坐标系，d为两个坐标系原点之间的距离，α为ζ轴与x轴的夹角，β为两坐标系原点连线与ζ轴的夹角；

代入公式

其中z₀为盾构隧道轴线埋置深度；p₀为地表堆载的自重应力；参数R计算公式为：

式中：X，Y为ζ-η坐标系中横纵坐标，其中ζ-η坐标系与x-y坐标系的转换关系为：

6.根据权利要求3所述的一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，建立属于标准环单元的节点位移差分方程的步骤中还包括建立四个盾构隧道两端虚拟节点位移差分方程，具体包括：

预设盾构隧道两端弯矩和静力均为零，得到公式：

根据中心标准有限差分原理得四个盾构隧道两端虚拟节点位移差分方程：

7.根据权利要求6所述的一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，所述m个位于环间接头处的节点位移差分方程通过如下步骤建立：

在环间接头节点两侧增加虚拟节点，令w_j为接头节点的纵向位移，w_j-2、w_j-1、w_j+1、w_j+2分别为接头节点两侧相邻节点的纵向位移，w′_j-2、w′_j-1、w′_j+1和w′_j+2代表增设的虚拟节点的纵向位移，θ_j-为接头左侧转动角度，θ_j+为接头右侧转动角度，θ为隧道环间接头的总转角；

基于采用无长度的转动弹簧来表示环间接头，得到第j个环间接头节点处的弯矩为：

M_j＝k_θθ＝k_θ(θ_j--θ_j+)，其中k_θ为环间接头的转动刚度；

令θ≈tanθ＝w′，得弯矩M_j为：

M_j＝k_θ(θ_j--θ_j+)＝k_θ(w′_j--w′_j+)；

根据有限差分原理可得到接头处弯矩M_j的有限差分表达式：

由环间接头处弯矩连续得：M_j-＝M_j+＝M_j；

结合标准一阶中心差分公式和高阶中心差分公式推导，得到M_j、M_j-和M_j+的高阶差分表达式为：

结合有限差分原理，可得第j个接头节点处的差分方程为：

8.根据权利要求7所述的一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，所述2m个与环间接头相邻的节点位移差分方程，通过以下步骤建立：

对与环间接头相邻的两个节点(j-1)和(j+1)建立：

结合有限差分原理，可得与第j个环间接头左右相邻的两个节点(j-1)和(j+1)纵向位移差分方程为：

9.根据权利要求8所述的一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，所述盾构隧道全部n个节点的弯矩方程包括：

m个在环间接头处节点的弯矩的代数方程和(n-m)个在非环间接头处节点的弯矩的代数方程，其中，

m个在环间接头处节点的弯矩的代数方程为：

(n-m)个在非环间接头处节点的弯矩的代数方程为：

10.根据权利要求9所述的一种地表突发堆载引起盾构隧道纵向变形的高效预测方法，其特征在于，所述静力Q计算公式为：

弯矩M计算公式为：

所述管片环的纵向等效抗弯刚度EI计算公式为：

其中，β为盾构隧道管片环纵向抗弯刚度折减系数；E_c为盾构隧道管片弹性模量；t为隧道管片厚度；

所述环间接头转动刚度k_θ计算公式为：

其中，η为转动刚度系数；l_s为环宽；I为盾构隧道截面惯性矩；ψ为表示纵向等效连续模型中的中性轴位置的参数，其计算公式为：

其中，k_b为接头螺栓的平均线刚度，k_b＝E_bA_b/l_b，l_b为螺栓长度，E_b为螺栓弹性模量，A_b为螺栓截面面积；A_c为隧道管片截面积；n为螺栓个数。

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