CN107609281A

CN107609281A - 一种新建隧道下穿引起既有盾构隧道位移计算方法

Info

Publication number: CN107609281A
Application number: CN201710846958.6A
Authority: CN
Inventors: 魏纲; 俞国骅; 杨波; 朱田宇; 陆世杰; 崔程虹; 张鑫海; 王新
Original assignee: Zhejiang University City College ZUCC
Current assignee: Zhejiang University City College ZUCC
Priority date: 2017-09-19
Filing date: 2017-09-19
Publication date: 2018-01-19

Abstract

本发明涉及一种新建隧道下穿引起既有盾构隧道位移计算方法，包括如下步骤：一、新建隧道下穿引起的既有隧道附加应力计算：刀盘附加推力q产生的竖向附加应力σ_z‑q、盾壳摩擦力f产生的竖向附加应力σ_z‑f、注浆附加压力p产生的竖向附加应力σ_z‑p1和σ_z‑p2、土体损失产生的附加应力；二、基于最小势能原理计算隧道纵向变形：盾构隧道的总势能、假设隧道衬砌环的位移函数、变分控制方程。本发明的有益效果是：本发明考虑了隧道环间的“接头效应”，充分考虑了隧道的结构特性和物理特性，运用Matlab可以快速计算得到由于新建隧道下穿引起的既有盾构隧道纵向位移，由此可判断新建隧道下穿作用下既有隧道结构的安全性，与盾构隧道实际的受力和变形较为符合。

Description

一种新建隧道下穿引起既有盾构隧道位移计算方法

技术领域

本发明涉及一种计算新建隧道下穿引起既有盾构隧道位移计算方法，属于地下工程技术领域。

背景技术

既有盾构隧道下部有新建隧道穿越时，原有受力平衡被打破，引起既有盾构隧道应力的重分布，产生过大的横向或者纵向变形，引发管片开裂、接缝张开、螺栓失效等现象，影响地铁的安全性。现有计算方法分析新建隧道下穿既有盾构隧道都是基于弹性地基梁法，将盾构隧道简化为均质弹性梁，未考虑隧道环间的“接头效应”，无法计算管片错台量，与实际有所出入。

发明内容

本发明的目的是克服现有技术中的不足，提供一种合理的新建隧道下穿引起既有盾构隧道位移计算方法。

新建隧道下穿引起既有盾构隧道位移计算方法，包括如下步骤：

一、新建隧道下穿引起的既有隧道附加应力计算

1.1各个分力产生的附加应力

设既有盾构隧道轴线处一点坐标为(x，y，z)，求该点处的附加应力；根据Mindlin公式进行积分求解，可推导得到刀盘附加推力q、盾壳摩擦力f、注浆附加压力p在既有隧道轴线处的附加应力；

1.1.1刀盘附加推力q产生的竖向附加应力σ_z-q

在盾构刀盘处取任一微元体dA＝rdrdθ，运用Mindlin公式积分得到刀盘附加推力q在该点处产生的竖向附加应力σ_z-q为：

式中：v为土的泊松比；

1.1.2盾壳摩擦力f产生的竖向附加应力σ_z-f

在盾壳壁上取任一微元体dA＝R_sdsdθ，运用Mindlin公式积分得到盾壳摩擦力f在该点处产生的竖向附加应力σ_z-f为：

式中：L为新建盾构机机长；

1.1.3注浆附加压力p产生的竖向附加应力σ_z-p1和σ_z-p2

在盾尾注浆处取任一微元体dA＝R_sdsdθ，运用Mindlin公式积分得到：

(1)注浆附加压力竖向分力p₁

(2)注浆附加压力水平向分力p₂

1.1.4土体损失产生的附加应力

得到单线盾构施工由于土体损失引起的管线平面处任一点的土体竖向位移为U_z，进而得到土体损失在既有隧道轴线处产生的附加应力σ_s为：

其中，

式中：k为地基基床系数；d为土体移动焦点到新建隧道中心点的距离；η为最大土体损失百分率(％)；

最终得到隧道下穿引起既有隧道轴线处产生的竖向总附加应力值σ_z为：

σ_Z＝σ_z-q+σ_z-f+σ_z-p1+σ_z-p2+σ_s (7)

二、基于最小势能原理计算隧道纵向变形

在分析盾构隧道与土体相互作用时，假定：将盾构隧道衬砌环视为由剪切弹簧连接的弹性地基短梁，新建隧道下穿导致隧道以环间剪切错台的方式进行变形；

2.1运用能量变分法计算隧道纵向位移量

2.1.1盾构隧道的总势能

任取盾构隧道一环进行分析，编号为m，其所受到的竖向荷载F_z为：

F_z＝P_z(x)-kDS_z(x)-k_t(ΔW_z(m+1)+ΔW_z(m)) (8)

式中：P_z(x)＝Dσ_z，P_z(x)为附加水平荷载；kDS_z(x)为地基抗力，D为既有盾构隧道直径，k为地基基床系数，采用Vesic公式计算，S_z(x)为地基弹簧的位移，根据位移协调条件则S_z(x)＝W_z(x)，这里W_z(x)为隧道的水平位移，E_s为地基土的弹性模量，E_tI_t为隧道的等效抗弯刚度；k_t为隧道的环间剪切刚度；k_t(ΔW_z(m+1)+ΔW_z(m))为水平环间剪切力；

根据盾构隧道每片衬砌环的受荷状况，分析计算得到盾构隧道的总势能，具体分为以下三部分：①新建隧道下穿引起临近盾构隧道轴线处附加荷载做功W^p；②盾构隧道衬砌环克服地层抗力做功W^k；③衬砌环克服盾构环间剪切力做功W^s；可得到新建隧道下穿引起的临近地铁盾构隧道的总势能为：E^p＝W^p+W^k+W^s (9)

2.1.2假设隧道衬砌环的位移函数

能量变分解法原理是假定合适的位移函数来表示盾构隧道受新建隧道影响的基本变形形状；假设隧道位移函数如下，并按傅里叶级数展开，隧道的竖向位移函数为：

式中：

δ为既有盾构隧道环宽；A＝{a₀ a₁...a_n}^T，A为位移函数中的待定系数矩阵；n为傅里叶级数的展开阶数；

2.1.3变分控制方程

基于能量变分法，将总势能E^p对各待定系数取极值，即：

式中：ξ_i为矩阵A中的各个元素；

对上式求解，可得隧道竖向位移控制方程为：

式中：2N为新建隧道施工既有隧道受影响的隧道衬砌环数；

将上式表达为矩阵形式：

([K_t]+[K_s]){A}＝{P_z}^T (13)

式中：[K_t]为隧道环间刚度矩阵，

[K_s]为土体刚度矩阵，

其中：{P_z}^T表示自由土体位移和隧道衬砌环的相作用效应，具体表示为：

由式(12)计算可得到待定系数矩阵A，再代入假设的隧道位移函数W(x)即式(10)，可以得到在新建隧道开挖时引起的既有盾构隧道纵向位移值；

相邻盾构管片之间位移差值即错台量ΔW，其中隧道的竖向错台量为：

ΔW_z＝W_Z[(m+1)δ]-W_z(m) (15)。

作为优选：由式(15)，相邻盾构管片环之间的竖向剪切力为：

Q_z＝{W_z[(m+1)δ]-W_z(mδ)}·k_t (16)。

本发明的有益效果是：

本专利考虑了隧道环间的“接头效应”，将隧道等效为一个一个由剪切弹簧连接的弹性地基短梁，充分考虑了隧道的结构特性和物理特性，运用Matlab可以快速计算得到由于新建隧道下穿引起的既有盾构隧道纵向位移，以及盾构隧道环之间的错台量和环间剪切力，由此可判断新建隧道下穿作用下既有隧道结构的安全性，与盾构隧道实际的受力和变形较为符合。

计算得到的隧道位移值，环间错台量和剪力值与相关国标或者地方标准进行对比，例如一般隧道位移限制为20mm，如果计算得到的隧道位移值大于20mm，就需要加强监管或者在进行新建隧道下穿时对隧道进行加固；隧道错台量以上海地方标准为例，以4mm为限制，若大于4mm，需要加强监管或者在新建隧道下穿时对既有隧道进行加固；对于剪力值来说，以一般隧道环间有17颗螺栓为例，隧道环间剪切强度极限为665.36kN，若大于665.36kN，需要加强监管或者在进行新建隧道下穿时对既有隧道进行加固。

附图说明

图1为新建隧道下穿既有隧道力学计算模型简图；

图2为盾构隧道环间错台变形示意图；

图3为既有隧道上(0，0，0)点竖向位移随新建隧道开挖变化曲线；

图4为既有隧道竖向位移随新建隧道开挖变化曲线；

图5为既有隧道管片错台量变化曲线；

图6为盾构隧道环间剪力值变化曲线。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明做进一步描述。下述实施例的说明只是用于帮助理解本发明。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对本发明进行若干改进和修饰，这些改进和修饰也落入本发明权利要求的保护范围内。

本专利利用“剪切错台模型”，将隧道等效为一个一个由剪切弹簧连接的弹性地基短梁，运用最小势能原理计算新建隧道下穿时，既有盾构隧道的纵向变形，以及相邻隧道环之间的错台量和环间剪切力的大小，可评估隧道在运营期间的结构安全性和抗渗性。新建隧道下穿既有隧道力学计算模型，如图1所示。

图中：既有隧道轴线埋深为z，单位为m；新建盾构隧道轴线埋深为z0，单位为m；隧道半径为Rs，单位为m；刀盘附加推力为q，单位为kPa；盾壳摩擦力为f，单位为kPa；注浆附加压力为p，单位为kPa。令作用宽度为m0，单位为m；盾构切口在xoz平面上。以新旧隧道轴线交点在地面上的投影为原点，平行于既有隧道轴线为x轴，平行于新建隧道轴线为y轴，具体方向见图1。

新建隧道下穿引起的既有隧道附加应力计算

1.1各个分力产生的附加应力

设既有盾构隧道轴线处一点坐标为(x，y，z)，求该点处的附加应力。根据Mindlin公式进行积分求解，可推导得到刀盘附加推力q、盾壳摩擦力f、注浆附加压力p在既有隧道轴线处的附加应力。

1.1.1刀盘附加推力q产生的竖向附加应力σz-q

在盾构刀盘处取任一微元体dA＝rdrdθ，运用Mindlin公式积分得到刀盘附加推力q在该点处产生的竖向附加应力σz-q为：

式中：v为土的泊松比。

1.1.2盾壳摩擦力f产生的竖向附加应力σz-f

在盾壳壁上取任一微元体dA＝Rsdsdθ，运用Mindlin公式积分得到盾壳摩擦力f在该点处产生的竖向附加应力σz-f为：

式中：L为新建盾构机机长。

1.1.3注浆附加压力p产生的竖向附加应力σz-pl和σz-p2

在盾尾注浆处取任一微元体dA＝Rsdsdθ，运用Mindlin公式积分得到：

(1)注浆附加压力竖向分力p1

(2)注浆附加压力水平向分力p2

1.1.4土体损失产生的附加应力

采用二维解建立的统一土体移动模型三维解，得到单线盾构施工由于土体损失引起的管线平面处任一点的土体竖向位移为Uz，进而得到土体损失在既有隧道轴线处产生的附加应力σs为：

其中，

最终得到隧道下穿引起既有隧道轴线处产生的竖向总附加应力值σz为：

σ_Z＝σ_z-q+σ_z-f+σ_z-p1+σ_z-p2+σ_s (7)

2.基于最小势能原理计算隧道纵向变形

在分析盾构隧道与土体相互作用时，假定：将盾构隧道衬砌环视为由剪切弹簧连接的弹性地基短梁，新建隧道下穿导致隧道以环间剪切错台的方式进行变形，见图2。

2.1运用能量变分法计算隧道纵向位移量

2.1.1盾构隧道的总势能

任取盾构隧道一环进行分析，编号为m，其所受到的竖向荷载Fz为：

F_z＝P_z(x)-kDS_z(x)-k_t(ΔW_z(m+1)+ΔW_z(m)) (8)

式中：Pz(x)＝Dσz，Pz(x)为附加水平荷载；kDSz(x)为地基抗力，D为既有盾构隧道直径，k为地基基床系数，采用Vesic公式计算，Sz(x)为地基弹簧的位移，根据位移协调条件则Sz(x)＝Wz(x)，这里Wz(x)为隧道的水平位移，Es为地基土的弹性模量，EtIt为隧道的等效抗弯刚度；kt为隧道的环间剪切刚度；kt(ΔWz(m+1)+ΔWz(m))为水平环间剪切力。

根据盾构隧道每片衬砌环的受荷状况，分析计算得到盾构隧道的总势能，具体分为以下三部分：①新建隧道下穿引起临近盾构隧道轴线处附加荷载做功Wp；②盾构隧道衬砌环克服地层抗力做功Wk；③衬砌环克服盾构环间剪切力做功Ws。可得到新建隧道下穿引起的临近地铁盾构隧道的总势能为：

E^p＝W^p+W^k+W^s (9)

2.1.2假设隧道衬砌环的位移函数

能量变分解法原理是假定合适的位移函数来表示盾构隧道受新建隧道影响的基本变形形状。本文假设隧道位移函数如下，并按傅里叶级数展开，隧道的竖向位移函数为：

式中：

δ为既有盾构隧道环宽；A＝{a₀ a₁...a_n}^T，A为位移函数中的待定系数矩阵；n为傅里叶级数的展开阶数。

2.1.3变分控制方程

基于能量变分法，将总势能Ep对各待定系数取极值，即：

式中：ξ_i为矩阵A中的各个元素。

对上式求解，可得隧道竖向位移控制方程为：

式中：2N为新建隧道施工既有隧道受影响的隧道衬砌环数。

将上式表达为矩阵形式：

([K_t]+[K_s]){A}＝{P_z}^T (13)

式中：[Kt]为隧道环间刚度矩阵，

[Ks]为土体刚度矩阵，

由式(12)计算可得到待定系数矩阵A，再代入假设的隧道位移函数W(x)即式(10)，可以得到在新建隧道开挖时引起的既有盾构隧道纵向位移值。

ΔW_z＝W_z[(m+1)δ]-W_z(m) (15)

相邻盾构管片环之间的竖向剪切力为：

Q_z＝{W_z[(m+1)δ]-W_z(mδ)}·k_t (16)

取10阶的刚度矩阵[Kp]和[Kt]即可满足计算精度，以上算法通过Matlab编程进行数值计算。

具体工况及参数取值：(1)既有盾构隧道轴线埋深z＝9.1m，直径D＝6.2m，隧道环宽δ＝1.2m，既有隧道等效抗弯刚度k_t＝4×10⁵kN·m^-1，N＝110；(2)新建盾构隧道轴线埋深z₀＝20.1m，隧道半径R_s＝3.1m，刀盘附加推力q＝200kPa，盾壳摩擦力f＝150kPa，注浆附加压力p＝120kPa，p作用宽度m₀＝2m，盾构机长L＝9m，土体移动焦点到新建隧道中心点的距离d＝0.8R_s＝2.48m，最大土体损失百分率η＝0.75％；(3)地基土弹性模量E_s＝16.49MPa，土体泊松比v＝0.35。

通过三维计算，可以得到既有隧道(0，0，0)坐标处的隧道竖向位移随着新建隧道开挖的变化过程和既有隧道竖向位移随新建隧道开挖的变化过程，见图3和图4。如图4所示：(1)随着新建隧道的掘进，(0，0，0)点处的沉降量最初缓慢增加，当两者水平距离小于10m时，(0，0，0)点处沉降量快速增加，当开挖面经过该点，掘进至y＝-20m处时，该点沉降量达到最大，而后略微上升，趋于平稳；(2)土体损失所引起的该点沉降量最为明显。

由于管片环缝处有错台量(即有两个位移值)，故文中盾构隧道位移取的是管片中心的位移。该工况下，盾构隧道的沉降量和错台量变化曲线，如图5所示。图中，盾构隧道最大沉降量为6.17mm，没有超过相关管理条例规定的地铁结构最终绝对位移限值20mm，；从本专利计算得到的管片竖向错台量变化曲线中，可得到在隧道沉降曲线反弯点处的管片错台量最大，达到0.36mm。参考上海盾构隧道错台等级划分标准该错台量的评价等级为II级，没有超过4mm的控制标准，但隧道结构的安全性和抗渗性均有所降低，应该加强监测；在隧道沉降量最大点处的管片错台量接近0，表明隧道沉降量最大点附近相邻盾构环之间几乎不发生错台变形；随着新建盾构隧道的掘进，既有盾构隧道的环间错台量不断加大，最终趋于稳定。

本专利还可计算得到盾构隧道环之间的环间剪切力变化曲线，如图6所示。盾构隧道环间剪力值的变化规律与管片错台量的变化规律一致，隧道沉降量最大值处的环间剪力值接近0；随着新建盾构隧道的掘进，既有盾构隧道的环间剪力不断增大，最终也趋于稳定；在隧道沉降曲线反弯点处的剪力值最大，最大值为88kN。本工程中相邻隧道环之间用17颗M30螺栓连接，其剪切强度极限为665.36kN，计算得到的最大剪力值没有超过该极限值。

Claims

1.一种新建隧道下穿引起既有盾构隧道位移计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

一、新建隧道下穿引起的既有隧道附加应力计算

1.1各个分力产生的附加应力

1.1.1刀盘附加推力q产生的竖向附加应力σ_z-q

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式中：v为土的泊松比；

1.1.2盾壳摩擦力f产生的竖向附加应力σ_z-f

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d&sigma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>fR</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>d</mi> <mi>s</mi> <mi>d</mi> <mi>&theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> <mi>&pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>3</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>2</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>3</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>4</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>6</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>4</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>4</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>3</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>2</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi> <mi> </mi> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mrow> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mi>L</mi> </msubsup> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&pi;</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>d&sigma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mi>f</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>2</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中：L为新建盾构机机长；

1.1.3注浆附加压力p产生的竖向附加应力σ_z-p1和σ_z-p2

(1)注浆附加压力竖向分力p₁

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d&sigma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mi>p</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>pR</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mi>d</mi> <mi>s</mi> <mi>d</mi> <mi>&theta;</mi> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> <mi>&pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>5</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>+</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>6</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>3</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>5</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>6</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mn>5</mn> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>6</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>30</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>6</mn> <mn>7</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>5</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>6</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mrow> <msub> <mi>&sigma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <msub> <mi>m</mi> <mn>0</mn> </msub> </msubsup> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mn>0</mn> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&pi;</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>d&sigma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mi>p</mi> <mi>l</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

(2)注浆附加压力水平向分力p₂

<mfenced open = "" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>d&sigma;</mi> <mrow> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>pR</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mi>d</mi> <mi>s</mi> <mi>d</mi> <mi>&theta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mn>8</mn> <mi>&pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>7</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>8</mn> <mn>3</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>7</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>-</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mn>3</mn> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>-</mo> <mn>4</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>8</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>6</mn> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>8</mn> <mn>5</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>+</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <mi>v</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>5</mn> <mi>z</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <msubsup> <mi>R</mi> <mn>8</mn> <mn>2</mn> </msubsup> </mfrac> <mo>&rsqb;</mo> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

<mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>7</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>8</mn> </msub> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>-</mo> <mi>L</mi> <mo>-</mo> <mi>s</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>z</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mi>sin</mi> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced>

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1.1.4土体损失产生的附加应力

1.

<mrow> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>x</mi> <mn>2</mn> </msup> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mi>&lambda;</mi> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <msup> <mi>z</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mi>&lambda;</mi> <mo>-</mo> <mi>l</mi> <mi>n</mi> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>+</mo> <mi>d</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>6</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，

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<mrow> <mi>&delta;</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <mi>&eta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msup> <msub> <mi>&pi;R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mn>2</mn> </msup> <mi>&eta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mi>s</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <msqrt> <mrow> <mi>&eta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>y</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow>

σ_Z＝σ_z-q+σ_z-f+σ_z-p1+σ_z-p2+σ_s (7)

二、基于最小势能原理计算隧道纵向变形

2.1运用能量变分法计算隧道纵向位移量

2.1.1盾构隧道的总势能

F_z＝P_z(x)-kDS_z(x)-k_t(ΔW_z(m+1)+ΔW_z(m)) (8)

式中：P_z(x)＝Dσ_z，P_z(x)为附加水平荷载；kDS_z(x)为地基抗力，D为既有盾构隧道直径，k为地基基床系数，采用Vesic公式计算，S_z(x)为地基弹簧的位移，根据位移协调条件则S_z(x)＝W_z(x)，这里W_z(x)为隧道的水平位移，E_s为地基土的弹性模量，E_tI_t为隧道的等效抗弯刚度；k_t为隧道的环间剪切刚度；k_t(△W_z(m+1)+△W_z(m))为水平环间剪切力；

2.1.2假设隧道衬砌环的位移函数

能量变分解法原理是假定合适的位移函数来表示盾构隧道受新建隧道影响的基本变形形状；假设隧道位移函数如下，并按傅里叶级数展开,隧道的竖向位移函数为：

<mrow> <msub> <mi>W</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mi>&infin;</mi> </munderover> <msub> <mi>a</mi> <mi>n</mi> </msub> <mi>cos</mi> <mfrac> <mrow> <mi>n</mi> <mi>&pi;</mi> <mi>x</mi> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>&delta;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>{</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mo>{</mo> <mi>A</mi> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中：

δ为既有盾构隧道环宽；A＝{a₀ a₁ ... a_n}^T，A为位移函数中的待定系数矩阵；n为傅里叶级数的展开阶数；

2.1.3变分控制方程

基于能量变分法，将总势能E^p对各待定系数取极值，即：

式中：_ξi为矩阵A中的各个元素；

对上式求解，可得隧道竖向位移控制方程为：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>{</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>{</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&delta;</mi> <mo>}</mo> <mo>-</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&delta;&xi;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mi>&delta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>&delta;</mi> </mrow> </msubsup> <mo>-</mo> <mi>k</mi> <mi>D</mi> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>W</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&delta;&xi;</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>{</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>&CenterDot;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mi>&delta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>&delta;</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>12</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式中：2N为新建隧道施工既有隧道受影响的隧道衬砌环数；

将上式表达为矩阵形式：

([K_t]+[K_s]){A}＝{P_z}^T (13)

式中：[K_t]为隧道环间刚度矩阵，

<mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>K</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>&rsqb;</mo> <mo>=</mo> <munderover> <mo>&Sigma;</mo> <mrow> <mi>n</mi> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>N</mi> </mrow> <mrow> <mi>n</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>k</mi> <mi>t</mi> </msub> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>&rsqb;</mo> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mo>(</mo> <mrow> <mi>m</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mo>)</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>m</mi> <mi>&delta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>;</mo> </mrow>

[K_s]为土体刚度矩阵，

<mrow> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>P</mi> <mi>z</mi> </msub> <mo>}</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>=</mo> <msubsup> <mo>&Integral;</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mi>N</mi> <mi>&delta;</mi> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mi>&delta;</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>P</mi> <mi>z</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>{</mo> <msub> <mi>T</mi> <mi>n</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>x</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mi>d</mi> <mi>x</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

相邻盾构管片之间位移差值即错台量△W，其中隧道的竖向错台量为：

ΔW_z＝W_z[(m+1)δ]-W_z(m) (15)。

2.根据权利要求1所述的新建隧道下穿引起既有盾构隧道位移计算方法，其特征在于：由式(15)，相邻盾构管片环之间的竖向剪切力为：

Q_z＝{W_z[(m+1)δ]-W_z(mδ)}·k_t (16)。