CN113360985A - 一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及隧道工程技术领域，公开了一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，包括将既有盾构隧道简化为搁置于非线性Pasternak地基上的接头非连续盾构隧道模型，构建隧道管片环段纵向位移差分方程和环间接头区段纵向位移差分方程，隧道环间接头处弯矩差分方程和非接头处弯矩差分方程；盾构隧道纵向环间张开量Δ计算公式，采用牛顿迭代法进行求解分别得到盾构隧道的纵向位移、弯矩和环间接头张开角，本发明的预测方法综合考虑了隧道接头弱化作用，能够充分反映盾构隧道的结构特点，更合理的反映实际工程中盾构隧道结构的变形，进而高精度的地预测新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形，具有切实意义上的实用价值。

Description

一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测 方法

技术领域

本发明涉及隧道工程技术领域，具体涉及一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法。

背景技术

随着城市化建设步伐的加快，城市轨道交通工程也得到快速发展，然而有限的城市地下空间和日益增多的地铁线路使得新建地铁隧道交叉上穿既有盾构隧道的工程情况越来越多。新建隧道开挖施工中拼装的隧道管片重量远小于挖除土体的重量，两者存在较大的重量差，这会引起下卧土层应力释放，产生卸荷效应，引发下方既有盾构隧道发生隆起变形，从而导致既有盾构隧道结构产生诸如管片破损渗水、接头张开、纵向不均匀沉降等一系列病害，严重者将导致机车脱轨等严重安全事故。因此，探究和摸清新建隧道上穿引起既有盾构隧道的变形规律，对进一步评估并减少新建隧道施工对既有盾构隧道的不利影响具有重要的现实意义。

针对既有盾构隧道在新建隧道上穿引起的纵向响应，国内外学者通过现场实测、室内模型试验、数值模拟、理论解析法等方法进行了富有成效的研究，并取得了一定的研究成果。尽管前人不断完善地基模型以充分反映隧道-地基的连续性和非线性变形特点，但依然是将盾构隧道视为等效连续梁，通过赋予梁纵向等效抗弯刚度体现了接头的作用，本质上忽略了盾构隧道环间接头的影响，这和盾构隧道的实际变形情况有一定的出入。

此外，目前关于预测既有盾构隧道在新建隧道上穿开挖下的纵向受力变形的方法大多采用等效连续梁模拟盾构隧道变形，采用Winker、Pasternak、Kerr等弹性地基模型考虑梁与土体间的相互作用。实际上，盾构隧道由于环间采用螺栓连接会使接头处刚度远低于管片，环间接头是盾构隧道的薄弱位置，而目前的预测方法基本是把盾构隧道考虑为连续的长梁，忽视了管片环间接头对整体变形弱化；且地基土变形具有非线性特点。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，能够充分反映盾构隧道的结构特点，更合理的反映实际工程中盾构隧道结构的变形，进而高精度的地预测新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形。

本发明解决技术问题采用如下技术方案：

本发明提供一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，包括：

基于弹性力学Mindlin解推导建立隧道开挖引起既有盾构隧道轴线处土体纵向自由位移u(y)；

建立非连续盾构隧道计算模型：将盾构隧道沿长度方向划分为标准环单元和接头单元，其中标准环单元为将管片环简化后的Euler-Bernoulli短梁，其长度与管片环长度一致，接头单元为模拟环间接头的无长度转动弹簧；

将既有盾构隧道简化为搁置于非线性Pasternak地基上的接头非连续盾构隧道模型，并参考所述纵向自由位移u(y)分别构建：

隧道管片环段纵向位移差分方程和环间接头区段纵向位移差分方程；

隧道环间接头处弯矩差分方程和非接头处弯矩差分方程；

盾构隧道纵向环间张开量Δ计算公式；

采用有限差分法和牛顿迭代法进行求解分别得到盾构隧道的纵向位移、弯矩和纵向环间张开量Δ。

优选地，所述基于弹性力学Mindlin解推导新建隧道开挖引起既有盾构隧道轴线处土体纵向自由位移u(y)，具体包括：

以新建隧道与既有盾构隧道交点为原点，既有盾构隧道延长方向为y轴建立空间全局坐标系o-xyz，并基于空间全局坐标系o-xyz得到局部坐标系o′-x′y′z′，其中全局坐标系o-xyz与局部坐标系o′-x′y′z′间的转换关系为：

基于Mindlin位移解，构建新建隧道开挖引起既有盾构隧道轴线处土体纵向自由位移公式：

其中L₁、L₂分别为局部坐标系o′-x′y′z′中新建隧道尾首沿x′轴方向距离原点的距离，v为各土层加权平均泊松比；

G_s为土体的剪切刚度，计算公式为：G_s＝(1-2v)E_s/2(1+v)，式中E_s为土体的弹性模量；

H为新建隧道底部距离地面的垂直距离；

p为新建隧道开挖沿横向每延米卸荷荷载，计算公式为

式中γ_s、γ_t、γ_n分别为新建隧道开挖土体、管片和触变泥浆的重度；R、R_o、R_i分别为新建隧道开挖半径、管环外半径和内半径；

R₁、R₂的计算公式为：

R₁＝((xcosα+ysinα-ε)²+(ycosα-xsinα-η)²+(z-H)²)¹²；

R₂＝((xcosα+ysinα-ε)²+(ycosα-xsinα-η)²+(z+H)²)¹²。

优选地，在建立非连续盾构隧道计算模型后，将n₂个长度为l的既有隧道管片环分别离散为n₁个单元得到n个节点，其中n＝n₁×n₂；

在盾构隧道两端各增加两个虚拟位移节点，定位m＝n₂-1个节点位于环间接头处。

优选地，在构建隧道管片环段纵向位移差分方程前，预先基于Pasternak地基模型并结合地基的非线性变形，建立地基反力模型公式为：

其中q(x)为地基反力；w(x)为地基变形；

G_c为剪切层的剪切刚度，G_c＝E_sh_t/6(1+v)，其中E_s为土体的压缩模量，h_t为剪切层厚度；

k_u为割线斜率且k_u＝q_u/δ_u，式中δ_u为土体获得极限接触压力所需要的位移值，q_u＝S_uN_v，其中S_u为土体不排水抗剪强度，N_v为纵向隆起系数且计算公式为：

适用于

式中：H_t为隧道埋置深度，D为隧道直径。

优选地，所述隧道管片环段纵向位移差分方程构建方法包括：

对盾构结构体任一接头区段处微元体进行受力分析，并结合地基反力模型公式得到微元体上部应力q(y)和地基反力P(y)；

建立隧道管片环段弯矩平衡方程和静力平衡方程：

其中：Q为静力，M为弯矩，EI为盾构隧道管片单环纵向的有效抗弯刚度，计算公式为：

EI＝β_tE_cπ(D⁴-(D-2t_c)⁴)/64

β_t为考虑隧道管片环纵向接缝的隧道环纵向抗弯刚度折减系数，E_c为盾构隧道管片弹性模量，t_c为隧道管片厚度；

建立隧道环段位移微分控制方程

根据标准一阶中心差分公式得到隧道管片环段纵向位移差分方程：

其中w_i-1为隧道第i-1个节点处纵向位移；w_i为隧道第i个节点处纵向位移；w_i+1为隧道第i+1个节点处纵向位移；u_i-1为隧道第i-1个节点处土体纵向自由位移；u_i为隧道第i个节点处土体纵向自由位移；u_i+1隧道第i+1个节点处土体纵向自由位移。

优选地，所述隧道管片环段纵向位移差分方程构建方法中还包括四个盾构隧道两端虚拟位移节点差分方程的构建步骤，具体包括：

预设盾构隧道两端弯矩和静力均为零，得到公式：

根据中心标准有限差分原理得四个盾构隧道两端虚拟位移节点差分方程：

优选地，所述环间接头区段纵向位移差分方程包括m个隧道环间接头处节点的纵向位移差分方程和2m个与环间接头相邻节点的纵向位移差分方程，其中，

m个隧道环间接头处节点的纵向位移差分方程构建步骤包括：

在环间接头两侧增加虚拟变位节点，令w_j为接头节点的纵向位移，w_j-2、w_j-1、w_j+1、w_j+2分别为接头节点两侧相邻节点的纵向位移，w′_j-1、w′_j-2为无接头存在时接头左边管段节点处的实际位移，虚拟节点w′_j+1、w′_j+2为无接头存在时接头右边管段节点处的实际位移，

为接头左侧管片环旋转角度，

为接头右侧管片环旋转角度，θ_j为相邻两管片环在该接头处相对转动角度；

基于采用无长度的转动弹簧来表示环间接头，得第j个接头节点处的弯矩为：

其中k_θ为盾构隧道纵向环间转动刚度；

令θ≈tanθ＝w′，得到接头处弯矩M_j的有限差分表达式

由环间接头处弯矩连续得：

结合标准一阶中心差分公式和高阶中心差分公式推导，得到M_j、

的高阶差分表达式为：

结合有限差分原理，可得第j个接头节点处的差分方程为：

2m个与环间接头相邻节点的纵向位移差分方程构建步骤为：

建立第j个接头处两侧虚节点位移w′_j-1、w′_j-2为：

结合隧道管片环段纵向位移差分方程，可得与第j个环间接头左右相邻的两个节点(j-1)和(j+1)纵向位移差分方程为：

优选地，所述隧道环间接头处弯矩差分方程包括m个在环间接头处弯矩的差分方程：

所述隧道非接头处弯矩差分方程包括n+1-m个在非接头节点处弯矩的差分方程：

优选地，所述环间接头转动刚度k_θ计算公式为：

其中，η为转动刚度系数；l_s为环宽；I为盾构隧道截面惯性矩；ψ为表示纵向等效连续模型中的中性轴位置的参数，其计算公式为：

其中，k_b为接头螺栓的平均线刚度，k_b＝E_bA_b/l_b，l_b为螺栓长度，E_b为螺栓弹性模量，A_b为螺栓截面面积；A_c为隧道管片截面积；n为螺栓个数。

优选地，所述盾构隧道纵向环间张开量Δ计算公式通过以下方法构建：

预设环间接缝邻近微元为刚体，基于θ≈tanθ＝w′和

得到：

其中：

为环间张开角；r为纵向拼接螺栓中心到盾构隧道轴线的距离。

与现有技术相比，本发明具有如下的有益效果：

本发明为充分反映盾构隧道的结构特点，建立了一种接头非连续盾构隧道模型，将接头非连续盾构隧道模型沿纵向分解为标准环段和无长度的旋转弹簧，该模型可反映盾构隧道衬砌管片环间接头的纵向内力、变形和相邻管环间的相对转动，相比于等效连续梁和用拉伸弹簧考虑环间转动效应的非连续梁模型，该隧道模型能更合理的反映实际工程中盾构隧道结构的变形，进一步的引入接头非连续盾构隧道模型和非线性Pasternak地基模型，将既有盾构隧道简化为搁置于非线性Pasternak地基上的接头非连续盾构隧道模型，统筹分布求解分别得到盾构隧道的纵向位移、弯矩和纵向环间张开量Δ，大大提高了新建隧道上穿开挖下既有盾构隧道纵向变形预测精准度。

关于本发明相对于现有技术，其他突出的实质性特点和显著的进步在实施例部分进一步详细介绍。

附图说明

通过阅读参照以下附图对非限制性实施例所作的详细描述，本发明的其它特征、目的和优点将会变得更明显：

图1为实施例1中接头非连续盾构隧道模型示意图；

图2为实施例1中非线性Pasternak地基模型示意图；

图3(a)为实施例1中新建隧道与既有盾构隧道相交平面图；

图3(b)为实施例1中新建隧道与既有盾构隧道相交剖面图；

图4为实施例1中既有盾构隧道受力计算模型示意图；

图5为实施例1中盾构接头区段微元受力分析示意图；

图6为实施例1中盾构隧道离散示意图；

图7为实施例1中隧道环间接头处实际及虚拟变位节点示意图；

图8为实施例1中盾构隧道纵向等效连续模型示意图；

图9为实施例2中新建隧道与既有地铁隧道相对位置图；

图10(a)为实施例2中2号线双线隧道中下行线纵向变形实测与计算值对比图；

图10(b)为实施例2中2号线双线隧道中上行线纵向变形实测与计算值对比图；

图11为实施例2中下行线隧道弯矩变化图；

图12为实施例2中下行线隧道环间接头处张开量变化图；

图13(a)为实施例3中2号线双线隧道下行线纵向变形实测与计算值对比图；

图13(b)为实施例3中2号线双线隧道上行线纵向变形实测与计算值对比图；

图14为实施例3中下行线隧道弯矩变化图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

需要说明的是，在说明书及权利要求书当中使用了某些名称来指称特定组件。应当理解，本领域普通技术人员可能会用不同名称来指称同一个组件。本申请说明书及权利要求书并不以名称的差异作为区分组件的方式，而是以组件在功能上的实质性差异作为区分组件的准则。如在本申请说明书和权利要求书中所使用的“包含”或“包括”为一开放式用语，其应解释为“包含但不限定于”或“包括但不限定于”。具体实施方式部分所描述的实施例为本发明的较佳实施例，并非用以限定本发明的范围。

实施例1

请参照图1-8，本发明的第一个实施例为一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法；

由于盾构隧道属于装配式衬砌结构，隧道由一系列的管环逐一连接而成，以此来支承四周土体防止发生往隧道内的坍塌。相邻管环间多采用螺栓连接，由于环间采用螺栓连接会使接头处刚度远低于管片，环间接头是盾构隧道的薄弱位置，盾构管片的病害如裂缝、破损、错台、渗漏水等皆是发生于接头处。

为充分反映盾构隧道的结构特点，建立了一种接头非连续盾构隧道模型，如图1所示。该接头非连续盾构隧道模型沿纵向分解为标准环段和无长度的旋转弹簧。其中标准环段为Euler-Bernoulli梁，其长度与管片长度一致，环间接头用无长度转动弹簧考虑其转动刚度。该模型可反映盾构隧道衬砌管片环间接头的纵向内力、变形和相邻管环间的相对转动。相比于等效连续梁和用拉伸弹簧考虑环间转动效应的非连续梁模型，该隧道模型能更合理的反映实际工程中盾构隧道结构的变形。

非线性Pasternak地基模型在Pasternak地基模型的基础上进一步考虑了地基的非线性变形，用非线性弹簧替代原有的线性弹簧，如图2所示，其表达式为：

式中：q(x)为地基反力；w(x)为地基变形；k_u为割线斜率，k_u＝q_u/δ_u，其中δ_u为土体获得极限接触压力所需要的位移值，对于黏土可取0.01～0.02倍隧道埋置深度；q_u＝S_uN_v，其中S_u为土体不排水抗剪强度，N_v为竖向隆起系数，在黏土地层中，其表达式为：

式中：H_t为隧道埋置深度，D为隧道直径；G_c为剪切层的剪切刚度，G_c＝E_sh_t/6(1+v)，其中E_s为土体的压缩模量，h_t为剪切层厚度，一般可取2.5倍的隧道直径，v为土体泊松比。

由式(2)可知，地基反力与隧道位移存在双曲线函数关系，当隧道位移持续增大时，地基反力最终将达到极限值q_u并保持不变。非线性Pasternak地基模型较Pasternak地基模型和Winker地基模型而言，同时考虑了土体的连续性和隧道-土体的非线性特点，更能符合实际工程中隧道-土体间的相互作用及变形。

而导致临近既有盾构隧道发生隆起变形。本发明采用两阶段分析法，先基于Mindlin位移解，求解得到新建隧道上穿开挖下既有盾构隧道处土体竖向自由位移，然后引入接头非连续盾构隧道模型和非线性Pasternak地基模型，得到新建隧道上穿开挖下既有盾构隧道纵向变形解析解答。

新建隧道开挖后由于同等长度被挖除的土体重量远大于管片的重量，会使得周围土体产生卸荷效应，引起隧道下方土体发生隆起变形。基于弹性力学Mindlin解推导新建隧道开挖引起既有盾构隧道轴线处土体竖向自由位移u(y)，计算模型如图3所示。

为考虑新建隧道与既有盾构隧道任意α角度相交，建立空间全局坐标系o-xyz与空间局部坐标系o′-x′y′z′，局部坐标系o′-x′y′z′由全局坐标系o-xyz以o为基点在xoy平面沿逆时针旋转α角度后再将x轴，y轴，z轴分别偏移m，n，0距离后得到(图3所示)，则全局坐标系o-xyz与局部坐标系o′-x′y′z′间的关系为：

根据Mindlin位移解，对其积分可求得新建隧道开挖引起既有盾构隧道轴线处土体竖向自由位移u(y)为

式中：p为新建隧道开挖沿横向每延米卸荷荷载，即为开挖除去的土体重量与管片重量和泥浆重量之差(kN/m³)，可由下式求得：

式中：γ_s、γ_t、γ_n分别为新建隧道开挖土体、管片和触变泥浆的重度(kN/m³)；R、R_o、R_i分别为新建隧道开挖半径、管环外半径和内半径(m)；L₁、L₂分别为局部坐标系o′-x′y′z′中新建隧道尾首沿x′轴方向距离原点的距离(m)；v为各土层加权平均泊松比；G_s为土体的剪切刚度，G_s＝(1-2v)E_s/2(1+v)，E_s为土体的弹性模量；H为新建隧道底部距离地面的垂直距离(m)；R₁、R₂的取值为

R₁＝((xcosα+ysinα-ε)²+(ycosα-xsinα-η)²+(z-H)²)¹² (6a)

R₂＝((xcosα+ysinα-ε)²+(ycosα-xsinα-η)²+(z+H)²)¹² (6b)

式(4)可由定积分结合5点Gauss-Legendre数值积分进行求解。

将既有盾构隧道简化为搁置于非线性Pasternak地基上的接头非连续盾构隧道模型，计算模型如图4所示。

为获得土体自由位移u(y)作用下隧道纵向变形控制微分方程，取图4中盾构结构体任一接头区段处微元体进行受力分析，如图5所示。

联合式(1)可得微元体上部应力q(y)为

地基反力P(y)为

根据图5中隧道微元受力及弯矩平衡方程可以得到

由于标准管环段被视为Euler-Bernoulli梁，因此对于隧道管环段有

式中：EI为Euler-Bernoulli梁的抗弯刚度，即盾构隧道管片单环纵向的有效抗弯刚度，取值EI＝β_tE_cπ(D⁴-(D-2t_c)⁴)/64；β_t为考虑管环纵向接缝，隧道环纵向抗弯刚度折减系数；E_c为盾构隧道管片弹性模量，t_c为隧道管片厚度。

结合式(7)～式(10)可得隧道环段位移微分控制方程为

式(11)为4阶常微分方程，其显式解求解较为困难，故采用有限差分法将微分方程转换为代数方程求解。由于接头非连续盾构隧道模型在环间接头处会发生转动使得式(11)在接头处不可导，因此需分别构建隧道管片环段差分方程和环间接头区段差分方程以考虑接头转动刚度的影响。

将隧道每环管片离散为n₁个单元，则隧道总共被离散为n个单元(n＝n₁×n₂)，n₂为计算分析的既有隧道环数。每个单元的长度为l，共计n+5个节点(包含4个虚节点)，其中有m＝n₂-1个节点位于接头处，如图6所示。

根据标准一阶中心差分公式，式(11)中微分项的有限差分格式为

式中：w_i-1为隧道第i-1个节点处竖向位移；w_i为隧道第i个节点处竖向位移；w_i+1为隧道第i+1个节点处竖向位移；u_i-1为隧道第i-1个节点处土体竖向自由位移；u_i为隧道第i个节点处土体竖向自由位移；u_i+1隧道第i+1个节点处土体竖向自由位移。

除接头处和接头左右相邻处节点外，其他实际(n+1-3m)个节点位移的有限差分表达式为：

由于隧道两端不与车站固定连接，可假定两端满足自由边界条件，因此两端的剪力和弯矩均为0，由此可得

由式(14)可得4个虚节点的位移表达式为

将式(13)展开可以得到(n+1-3m)个非线性代数方程，即为盾构隧道管片环段差分方程。

由于隧道挠度在接头处不可导，因此需增设虚拟变位节点，使盾构隧道挠度在环间接头位置连续且可导。图7给出了隧道环间接头处实际及虚拟变位节点示意图。图中虚拟节点w′_j-1、w′_j-2代表的含义为无接头存在时接头左边管段节点处的实际位移，虚拟节点w′_j+1、w′_j+2代表的含义为无接头存在时接头右边管段节点处的实际位移。根据虚拟节点可列出接头处节点的差分方程。

根据非连续接头盾构隧道模型，第j个接头节点处的弯矩为

式中：k_θ为盾构隧道纵向环间转动刚度。结合纵向等效连续模型，本实施例给出盾构隧道纵向环间转动刚度k_θ的取值公式取值为

式中：η为转动刚度系数，当不考虑环间接头的加固时，取值为1。ψ为纵向等效连续模型中的中性轴位置，其计算公式为

式中：E_c为单个管片弹性模量；I_c为隧道纵向惯性矩；n为接头处螺栓个数；k_b为接头螺栓的平均线刚度，k_b＝E_bA_b/l_b，E_b为螺栓的弹性模量，A_b为螺栓的横截面积，l_b为螺栓长度；l_s为环宽；A_c为隧道管片横截面积；

为接头左侧管环旋转角度，

为接头右侧管环旋转角度，θ_j为相邻两环在该接头处相对转动角度。

对于Euler-Bernoulli梁有转角方程为

θ≈tanθ＝w′ (17)

由式(16)、(17)结合标准一阶中心差分公式可得接头处弯矩M_j的差分表达式为

由接头处弯矩连续可知，接头节点处弯矩、接头左边相邻处管片弯矩和接头右边相邻处管片弯矩三者相等，即

由式(10)和标准一阶中心差分公式可得到第j个接头左边相邻处管片弯矩

和右边相邻处管片弯矩

为

由式(18)～(20)可得第j个接头处两侧虚节点位移w′_j-1、w′_j-2为

为得到第j个接头处两侧虚节点位移w′_j-2、w′_j+2的表达式，需引入高阶中心差分公式。由高阶中心差分公式可得M_j、

的表达式为

由式(19)、(22)可得

由式(16)、(17)和标准一阶中心差分公式可得

将式(10)、式(21)、式(23)代入式(24)并结合式(9)可得第j个接头节点处的差分方程为

式(25)即为隧道环间接头处节点竖向位移的差分方程，m个接头节点可列出m个非线性代数方程。

将式(21)代入式(13)可得第j个环间接头左右相邻的两个节点(j-1)和(j+1)处竖向位移的差分方程分别为

式(26)、(27)即为隧道环间接头左右相邻节点处竖向位移的差分方程，m个接头节点则有2m个接头相邻节点，可列出2m个非线性代数方程。

将式(21)代入式(18)中可以得到盾构隧道在环间接头处弯矩的m个差分方程为

将式(12b)代入式(10b)可以得到盾构隧道在非接头节点处弯矩的(n+1-m)个差分方程为

假定环间接缝邻近微元为刚体，由图8可知，盾构隧道纵向环间张开量Δ的计算公式为

式中：

为环间张开角；r为纵向拼接螺栓中心到盾构隧道轴线的距离。

结合式(13)、式(24)和式(27)可列出全部(n+1)个节点位移的差分方程，即(n+1)个非线性代数方程。将包含(n+1)个方程的非线性代数方程组表示为矩阵—向量形式后即可得盾构隧道在外部土体竖向自由位移作用下结构竖向位移的矩阵—向量非线性代数表达式为

式中：K_t为既有盾构隧道刚度矩阵，其表达式为

式中：

w为隧道结构节点位移向量，表示为

w＝{w₀,w₁,…,w_i-1,w_i,w_i+1,…,w_j-1,w_j,w_j+1,…,w_n} (33)

G_t表示为

式中：

G_s表示为

u为既有隧道节点处竖向土体自由位移向量，可由式(4)求出，表示为

u＝{u₀,u₁,…,u_i-1,u_i,u_i+1,…,u_n-2,u_n-1,u_n} (36)

式(28)为非线性代数方程组，难以直接求解，因此可采用牛顿迭代法把非线性方程通过近似线性方法进行数值求解。引入矩阵F(w)，使得

若F(w)的雅可比矩阵的逆矩阵(F′(w^(k)))^-1存在且有界，则可得到F(w)的雅可比矩阵为

F′(w)＝K_t+K_r-G_t (38)

式中：K_r表示为

其中：

根据牛顿迭代公式有

w^(k+1)＝w^(k)-(F′(w^(k)))^-1F(w^(k)) (40a)

w^(k+1)＝w^(k)+Δw^(k) (40b)

Δw^(k)＝-(F′(w^(k)))^-1F(w^(k)) (40c)

式中：k为迭代次数；w^(k)、w^(k+1)分别为迭代第k和第k+1次时隧道结构节点位移向量。

式(40)的迭代求解过程如下：

(1)输入初始位移向量w⁽⁰⁾，代入式(40c)得到Δw⁽⁰⁾、w⁽¹⁾；

(2)将w⁽¹⁾代入式(40c)得到Δw⁽¹⁾、w⁽²⁾；

(3)重复上述步骤，直至由w^(k)代入式(40)得到的Δw^(k)＜ε＝10^-6时，w^(k)即为所求。

求得盾构隧道节点位移向量w后，由式(28)、(29)可得隧道全部(n+1)个节点的弯矩矩阵-向量表达式为：

式中：M_t为系数矩阵，表示为

由式(41)即可求得盾构隧道所有节点弯矩M，将接头处弯矩代入式(30)可求得盾构隧道纵向环间张开量Δ。

实施例2

请参照图9-12，本实施例以一个具体案例验证，验证本发明的突出效果和显著进步，具体为：

上海外滩隧道位于天潼路和福州路之间，隧道盾构段全长1098m，共549环，每环长为1.2m，隧道管片外径为13950mm，内径为12750mm，采用直径14.270m的土压平衡式盾构机进行施工掘进。隧道在第345～355环处以近距离上穿正在运行的地铁2号线。掘进过程中盾构机先上穿2号线下行线，再上穿2号线上行线，新建隧道与地铁隧道相对位置图如图9所示。外滩隧道轴线距离地表15.4m，地铁2号线隧道轴线距离地表27m，隧道直径为6.2m，外滩隧道底部距离地铁隧道顶部为1.46m。外滩隧道主要穿越灰色淤泥质黏土层与灰色黏土层，2号线主要位于灰色黏土层。

本实施例计算参数为：开挖土体重度γ_s为17.8kN/m³，管片重度γ_t为25kN/m³，泥浆重度γ_n为25kN/m³，计算得到每延米卸荷荷载p＝140.5kN/m³；新建隧道底部距离地表距离H为22.5m；各地基土层物理参数如表1所示，根据现有文献对2号线周边地层物理力学参数统计结果，粉质黏土不排水抗剪强度为82.3kPa；上海典型隧道结构参数如表2所示，管环的刚度折减系数β_t取0.7，求得隧道环的抗弯刚度EI为6.7×10⁸kN·m²，转动刚度k_θ由式(16)计算为6.5×10⁷kN·m/rad，剪切层参数G_c为55.9MN/m，；竖向隆起系数N_v和土体获得极限接触压力所需要的位移值δ_u分别取为8.71和0.297m；采用新建隧道通过后6d现场监测结果，按隧道每天掘进12m考虑，可得到6d后新建隧道通过下方地铁隧道轴线约72m，对于下行线L₁＝72m，L₂＝72m，上行线L₁＝83.4m，L₂＝60.6m；隧道每环离散单元数量n₁取5；离散的单元长度l＝0.24m。

表1地基土物理参数

表2上海典型地铁隧道结构参数

注:表中D_t、D′_t分别为隧道外、内径；D_b为螺栓直径。

图10为外滩隧道上穿下地铁2号线双线隧道纵向变形实测与计算值对比。从图中可见，本实施例方法计算结果都与实测结果较为接近，与实际监测误差最小。

从图10中仔细观察发现，无论是采用何种地基模型，基于Euler-Beroulli梁此类等效连续梁模型计算得到隧道纵向隆起曲线表现为光滑连续曲线，管片和环间接头连接出的位移也是连续可导的。实际上，管片环的刚度远大于环间接头的刚度，两者的位移实际表现应该是不连续，隆起变形位移曲线应该是非光滑不连续曲线，在接头部位处存在“尖点”。由于现场监测点无法密集布设，导致这个现象无法监测。本实施例方法由于考虑了隧道管片环间接头的弱化作用，得到的管片和环间接头位移是非连续不可导的。从图10中可见，隧道位移会在环间接头处发生突变，在隧道纵向变形图上表现为“尖端”，管环段的抗弯刚度大于接头处，管环段不易变形，因此管环段位移在隧道纵向变形图上表现为“短直线”。可见，盾构隧道的纵向变形应该是一系列的“尖端”和“短直线”连接而成。由此可见，本实施例提出的预测方法能更真实的反映实际盾构隧道的变形特征。

图11为下行线隧道弯矩变化图。由图11可知，基于本实施例方法计算得到的隧道最大正负弯矩值分别约为Euler-Bernoulli梁-Pasternak地基模型计算值的1.2倍和1.25倍。这是由于盾构隧道简化为连续Euler-Bernoulli梁，通过等效的方式赋予梁长度上等效的抗弯刚度，忽略了环间接头弱化的影响，低估了开挖卸载引起的弯矩值。由于采用等效梁的方式，导致隧道的整体弯矩曲线相对平滑，最大负弯矩点位置略大于本实施例方法。实际上，由于盾构隧道接头的存在，环间接头的位置应该为弯矩不连续点，实质上沿着盾构隧道纵向的弯矩应该是不光滑分布。由图11观察发现，本实施例方法考虑了环间接头存在的影响，计算得到的隧道弯矩曲线并不光滑，弯矩会在接头处发生突变，这是因为环间接头的影响所致，因此可以得到不光滑的弯矩分布曲线，可见本实施例所用预测方法更接近实际情况。

图12为下行线隧道接头处环间张开量图。从图12可以看出基于Euler-Bernoulli梁-Pasternak地基预测和本实施例模型得到的隧道接头处环间张开量变形趋势相似，但基于Euler-Bernoulli梁模型得到的隧道变形范围较宽，且计算得到的环间张开量偏小。这是因为既有盾构隧道简化为连续Euler-Bernoulli梁模型，忽略了环间接头的弱化影响，进而高估了接头处的刚度，因此，计算得到隧道受影响范围偏大，环间张开量偏小。本实施例方法考虑了环间接头的存在，因此，计算得到的管片张开量大于基于Euler-Bernoulli梁模型的结果。

实施例3

请参照图13-14，本实施例以另一个具体案例验证，验证本发明的突出效果和显著进步，具体为：

南京横跨江东路大型长段行人地下通道上穿既有地铁2号线工程中，新建隧道采用多刀盘土压平衡式矩形顶管机顶进施工，顶管穿越淤泥质粘土层，上覆约4m厚填土；顶管埋深8.63m，顶管机宽7.02m，高4.32m；管节采用混凝土浇筑，宽7m，高4.3m，厚0.5m；整个工程使用了63节管节；顶进速度约为4m/day；垂直穿过双盾构地铁隧道，净空为4.5m。现有的地铁2号线双隧道，外径为6.2m，隧道埋深为14.2m，主要在淤泥质粉质粘土中。隧道结构类似于上海地铁隧道，其结构参数见表2。新建隧道首先穿过下行隧道，然后是上行隧道。隧道刚度折减系数β_t取0.7，得到隧道环的抗弯刚度EI为6.7×10⁸kN·m²，转动刚度k_θ由式(16)计算为6.5×10⁷kN·m/rad，剪切层参数G_c为55.9MN/m。粉质粘土的压缩模量E_s为4.01Mpa；其不排水剪切强度约为40.1kPa；土体泊松比为0.35。开挖土体重度γ_s为17kN/m³；管片重度γ_t为23kN/m³；泥浆重度γ_n为11kN/m³。根据计算，竖向隆起系数N_v和土体获得极限接触压力所需要的位移值δ_u分别取为5和0.275m。新建隧道上穿下行线时L₁、L₂分别为20m、20m；新建隧道上穿上行线时L₁、L₂分别为20m、21m。。

图13为行人地下通道上穿下地铁2号线双线隧道纵向变形实测与计算值对比。从图中可见，本实施例预测方法计算结果与实测结果较为接近。

从图13中还可发现，本实施例考虑了环间接头的弱化，得到的隆起位移曲线是由一系列的“短直线”和“尖点”连接而成，更加符合盾构隧道结构变形的特点。而基于Euler-Beroulli梁此类等效连续梁模型计算得到隧道纵向隆起曲线表现为光滑连续曲线。可见，本实施例方法能够精确反映盾构隧道的实际变形特点。

图14为2号线下行线隧道弯矩变化图。基于本实施例方法计算得到的隧道最大正负弯矩值分别约为Euler-Bernoulli梁-Pasternak地基模型计算值的1.8倍和1.2倍。同时得到最大负弯矩的位置约为距离隧道轴线24m处，而本实施例方法得到的最大负弯矩为主距离隧道轴线约为12m。可见，采用连续梁方法模拟盾构隧道将会高估最大负弯矩位置。由于隧道的张开量与弯矩分布情况一致，如果采用连续梁方法得到隧道加固位置，将会导致隧道加固位置偏离实际的最大张开角处，从而使得加固不能有效控制隧道的张开量。

对于本领域技术人员而言，显然本发明不限于上述示范性实施例的细节，而且在不背离本发明的精神或基本特征的情况下，能够以其他的具体形式实现本发明。因此，无论从哪一点来看，均应将实施例看作是示范性的，而且是非限制性的，本发明的范围由所附权利要求而不是上述说明限定，因此旨在将落在权利要求的等同要件的含义和范围内的所有变化囊括在本发明内。不应将权利要求中的任何附图标记视为限制所涉及的权利要求。

此外，应当理解，虽然本说明书按照实施方式加以描述，但并非每个实施方式仅包含一个独立的技术方案，说明书的这种叙述方式仅仅是为清楚起见，本领域技术人员应当将说明书作为一个整体，各实施例中的技术方案也可以经适当组合，形成本领域技术人员可以理解的其他实施方式。

Claims (10)

1.一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，包括：

基于弹性力学Mindlin解推导建立隧道开挖引起既有盾构隧道轴线处土体纵向自由位移u(y)；

建立非连续盾构隧道计算模型：将盾构隧道沿长度方向划分为标准环单元和接头单元，其中标准环单元为将管片环简化后的Euler-Bernoulli短梁，其长度与管片环长度一致，接头单元为模拟环间接头的无长度转动弹簧；

将既有盾构隧道简化为搁置于非线性Pasternak地基上的接头非连续盾构隧道模型，并参考所述纵向自由位移u(y)分别构建：

隧道管片环段纵向位移差分方程和环间接头区段纵向位移差分方程；

隧道环间接头处弯矩差分方程和非接头处弯矩差分方程；

盾构隧道纵向环间张开量Δ计算公式；

采用有限差分法和牛顿迭代法进行求解分别得到盾构隧道的纵向位移、弯矩和纵向环间张开量Δ。

2.根据权利要求1所述的一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，所述基于弹性力学Mindlin解推导新建隧道开挖引起既有盾构隧道轴线处土体纵向自由位移u(y)，具体包括：

以新建隧道与既有盾构隧道交点为原点，既有盾构隧道延长方向为y轴建立空间全局坐标系o-xyz，并基于空间全局坐标系o-xyz得到局部坐标系o′-x′y′z′，其中全局坐标系o-xyz与局部坐标系o′-x′y′z′间的转换关系为：

基于Mindlin位移解，构建新建隧道开挖引起既有盾构隧道轴线处土体纵向自由位移公式：

其中L₁、L₂分别为局部坐标系o′-x′y′z′中新建隧道尾首沿x′轴方向距离原点的距离，v为各土层加权平均泊松比；

G_s为土体的剪切刚度，计算公式为：G_s＝(1-2v)E_s/2(1+v)，式中E_s为土体的弹性模量；

H为新建隧道底部距离地面的垂直距离；

p为新建隧道开挖沿横向每延米卸荷荷载，计算公式为：

式中γ_s、γ_t、γ_n分别为新建隧道开挖土体、管片和触变泥浆的重度；R、R_o、R_i分别为新建隧道开挖半径、管环外半径和内半径；

R₁、R₂的计算公式为：

R₁＝((xcosα+ysinα-ε)²+(ycosα-xsinα-η)²+(z-H)²)^1/2；

R₂＝((xcosα+ysinα-ε)²+(ycosα-xsinα-η)²+(z+H)²)^1/2。

3.根据权利要求1所述的一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，在建立非连续盾构隧道计算模型后，将n₂个长度为l的既有隧道管片环分别离散为n₁个单元得到n个节点，其中n＝n₁×n₂；

在盾构隧道两端各增加两个虚拟位移节点，定位m＝n₂-1个节点位于环间接头处。

4.根据权利要求3所述的一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，在构建隧道管片环段纵向位移差分方程前，预先基于Pasternak地基模型并结合地基的非线性变形，建立地基反力模型公式为：

其中q(x)为地基反力；w(x)为地基变形；

G_c为剪切层的剪切刚度，G_c＝E_sh_t/6(1+v)，其中E_s为土体的压缩模量，h_t为剪切层厚度；

k_u为割线斜率且k_u＝q_u/δ_u，式中δ_u为土体获得极限接触压力所需要的位移值，q_u＝S_uN_v，其中S_u为土体不排水抗剪强度，N_v为纵向隆起系数且计算公式为：

适用于

式中：H_t为隧道埋置深度，D为隧道直径。

5.根据权利要求4所述的一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，所述隧道管片环段纵向位移差分方程构建方法包括：

对盾构结构体任一接头区段处微元体进行受力分析，并结合地基反力模型公式得到微元体上部应力q(y)和地基反力P(y)；

建立隧道管片环段弯矩平衡方程和静力平衡方程：

其中：Q为静力，M为弯矩，EI为盾构隧道管片单环纵向的有效抗弯刚度，计算公式为：

EI＝β_tE_cπ(D⁴-(D-2t_c)⁴)/64，

β_t为考虑隧道管片环纵向接缝的隧道环纵向抗弯刚度折减系数，E_c为盾构隧道管片弹性模量，t_c为隧道管片厚度；

建立隧道环段位移微分控制方程：

根据标准一阶中心差分公式得到隧道管片环段纵向位移差分方程：

其中w_i-1为隧道第i-1个节点处纵向位移；w_i为隧道第i个节点处纵向位移；w_i+1为隧道第i+1个节点处纵向位移；u_i-1为隧道第i-1个节点处土体纵向自由位移；u_i为隧道第i个节点处土体纵向自由位移；u_i+1隧道第i+1个节点处土体纵向自由位移。

6.根据权利要求5所述的一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，所述隧道管片环段纵向位移差分方程构建方法中还包括四个盾构隧道两端虚拟位移节点差分方程的构建步骤，具体包括：

预设盾构隧道两端弯矩和静力均为零，得到公式：

根据中心标准有限差分原理得四个盾构隧道两端虚拟位移节点差分方程：

7.根据权利要求6所述的一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，所述环间接头区段纵向位移差分方程包括m个隧道环间接头处节点的纵向位移差分方程和2m个与环间接头相邻节点的纵向位移差分方程，其中，

m个隧道环间接头处节点的纵向位移差分方程构建步骤包括：

在环间接头两侧增加虚拟变位节点，令w_j为接头节点的纵向位移，w_j-2、w_j-1、w_j+1、w_j+2分别为接头节点两侧相邻节点的纵向位移，w′_j-1、w′_j-2为无接头存在时接头左边管段节点处的实际位移，虚拟节点w′_j+1、w′_j+2为无接头存在时接头右边管段节点处的实际位移，

为接头左侧管片环旋转角度，

为接头右侧管片环旋转角度，θ_j为相邻两管片环在该接头处相对转动角度；

基于采用无长度的转动弹簧来表示环间接头，得第j个接头节点处的弯矩为：

其中k_θ为盾构隧道纵向环间转动刚度；

令θ≈tanθ＝w′，得到接头处弯矩M_j的有限差分表达式

由环间接头处弯矩连续得：

结合标准一阶中心差分公式和高阶中心差分公式推导，得到M_j、

的高阶差分表达式为：

结合有限差分原理，可得第j个接头节点处的差分方程为：

2m个与环间接头相邻节点的纵向位移差分方程构建步骤为：

建立第j个接头处两侧虚节点位移w′_j-1、w′_j-2为：

结合隧道管片环段纵向位移差分方程，可得与第j个环间接头左右相邻的两个节点(j-1)和(j+1)纵向位移差分方程为：

8.根据权利要求7所述的一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，所述隧道环间接头处弯矩差分方程包括m个在环间接头处弯矩的差分方程：

所述隧道非接头处弯矩差分方程包括n+1-m个在非接头节点处弯矩的差分方程：

9.根据权利要求8所述的一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，所述环间接头转动刚度k_θ计算公式为：

其中，η为转动刚度系数；l_s为环宽；I为盾构隧道截面惯性矩；ψ为表示纵向等效连续模型中的中性轴位置的参数，其计算公式为：

其中，k_b为接头螺栓的平均线刚度，k_b＝E_bA_b/l_b，l_b为螺栓长度，E_b为螺栓弹性模量，A_b为螺栓截面面积；A_c为隧道管片截面积；n为螺栓个数。

10.根据权利要求9所述的一种新建隧道上穿引起既有盾构隧道纵向变形的高精度预测方法，其特征在于，所述盾构隧道纵向环间张开量Δ计算公式通过以下方法构建：

预设环间接缝邻近微元为刚体，基于θ≈tanθ＝w′和

得到：

其中：

为环间张开角；r为纵向拼接螺栓中心到盾构隧道轴线的距离。

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