CN113359481A - 基于滑模控制的倒立摆系统自适应鲁棒h∞控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于滑模控制的倒立摆系统自适应鲁棒H_∞控制方法，针对倒立摆系统构建带有系统参数不确定性、时变时滞、未建模动态、外部干扰的广义系统模型，向广义系统模型中加入增广状态变量并进行状态增广变换，基于增广变换后的参数、状态信息，设计滑模面并导出滑动模态，根据滑动模态稳定且满足H_∞性能指标的线性矩阵不等式条件计算增益矩阵，将得到的增益矩阵用于滑模面和控制器配置，最后更新基于自适应率的滑模控制器镇定倒立摆系统，并实现干扰及未建模动态的界的估计与自校正。本发明将多种控制手段优势互补，采用的模型通用有效、适用范围更广，在同时含所有影响因素的复杂工况下，都可以取得良好的控制效果。

Description

基于滑模控制的倒立摆系统自适应鲁棒H∞控制方法

技术领域

本发明涉及的是一种倒立摆控制领域的技术，具体是一种适用于水下机器人的遥操作、机器人行走过程中的平衡控制、卫星飞行中的姿态控制、火箭发射中的垂直度控制等领域的基于滑模控制的倒立摆系统自适应鲁棒H_∞控制方法。

背景技术

倒立摆作为一种多变量、不稳定、非线性的复杂系统，运行时难免会遇到参数不确定、时滞(比如利用网络远程控制时)、非线性负载、外部干扰这些影响因素，由于实际控制对象越来越复杂，并且运行环境又随时间发生变化，因此采用定常系统的模型、分析与控制手段会遇到无法处理的情况。此外，目前大多数方法只针对含有前述部分影响因素的倒立摆系统进行研究，还未有提出较为通用、有效的模型、分析与控制方法。

发明内容

本发明针对现有控制技术对倒立摆系统在复杂工况下难以分析与控制的问题，提出一种基于滑模控制的倒立摆系统自适应鲁棒H_∞控制方法，在滑模控制策略的基础上通过结合自适应技术和鲁棒H_∞控制技术，多种控制手段优势互补，进而镇定不稳定的倒立摆系统，本发明采用的模型通用有效、适用范围更广，使得倒立摆系统不论是在含有上述某些影响因素抑或同时含所有影响因素的复杂工况下，都可以取得良好的控制效果。

本发明是通过以下技术方案实现的：

本发明涉及一种基于滑模控制的倒立摆系统自适应鲁棒H_∞控制方法，针对倒立摆系统构建带有系统参数不确定性、时变时滞、未建模动态、外部干扰的广义系统模型，向广义系统模型中加入增广状态变量并进行状态增广变换，基于增广变换后的参数、状态信息，设计滑模面并导出滑动模态，根据滑动模态稳定且满足H_∞性能指标的线性矩阵不等式条件计算增益矩阵，将得到的增益矩阵用于滑模面和控制器配置，最后更新基于自适应率的滑模控制器镇定倒立摆系统，并实现干扰及未建模动态的界的估计与自校正。

技术效果

本发明整体解决现有技术对倒立摆系统建模描述不完备，无法适应同时带有系统参数不确定性、时变时滞、未建模动态、外部干扰的复杂工况的缺陷。

与现有技术相比，本发明充分考虑适用范围更广，适用各种复杂工况下倒立摆系统的广义系统模型，利用该模型，提出基于滑模控制的倒立摆系统自适应鲁棒H_∞控制方法。针对状态导数矩阵可能含的参数不确定性，提出状态增广变换技术，并保证增广变换后系统稳定性及H_∞性能与变换前一致；本发明提出系统稳定并满足H_∞性能指标的线性矩阵不等式条件，可以方便地通过MATLAB编程求得控制器中所需的增益矩阵；本发明的自适应滑模控制器，消除以往控制方法对界已知这一先验信息的依赖，抑制系统不确定性与外部干扰，提升控制性能；本发明提出的综合控制策略具有抗干扰能力强、鲁棒稳定性强等优点；本发明针对的倒立摆系统涵盖应用范围广，适用于各种复杂工况下倒立摆系统的控制；本发明提出的控制方法对于不含时滞、含定常时滞、不含不确定性的系统亦适用，且综合滑模控制、自适应控制、鲁棒H_∞控制三种控制策略的优势。

附图说明

图1为倒立摆系统的实施例；

图2为本发明流程图；

图3为开环倒立摆系统状态轨迹示意图；

图4为添加本发明的控制器后闭环倒立摆系统状态轨迹示意图；

图5为本发明的控制器曲线示意图。

具体实施方式

如图1所示，为本实施例涉及的一种倒立摆系统作为水下机器人、卫星、火箭的简化模拟，具体为：可移动的活动底座上立着一根可以活动的匀质直立部，直立部不稳定随时可能倒下，活动底座的车轮由电机控制，并通过传感器获取电机的转动力矩、车轮的转动圈数和直立部相对于垂直方向的倾角。

所述的活动底座和直立部仅在一个平面内运动，在不考虑车轮打滑的情况下，活动底座所受力通过车轮半径乘电机力矩得到，活动底座位置根据车轮转动圈数得到，具体为：活动底座质量M＝0.5kg，直立部的质量m＝0.2kg，直立部的重心到关节的距离l＝0.3m，直立部的转动惯量I＝0.024kg·m²,作用在活动底座上的力为F(视为输入u(t))，活动底座受到摩擦力等阻力方向与F相反，阻尼系数为

活动底座的位置为x(t)，直立部的角度为θ(t)如图所示，规定逆时针为正，直立部受到作用力的水平与竖直分量用N和P表示。

如图2所示，为本实施例涉及一种基于滑模控制的倒立摆系统自适应鲁棒H_∞控制方法，具体包括：

步骤一，对图1所示的倒立摆系统进行受力分析，根据牛顿定律、转动定律，建立倒立摆系统的状态空间方程：

y(t)＝Cx(t)，其中：

p＝I(M+m)+Mml²＝0.0258，φ(t)＝π+θ(t)，

各个状态x(t)，

φ(t)，

对应记为x₁(t)，x₂(t)，x₃(t)，x₄(t)。

步骤二，构建带有系统参数不确定性、时变时滞、未建模动态、外部干扰的广义系统模型，具体为：

x(t-d(t))，t))+B_ww(t)，y(t)＝C₀x(t)+C_dx(t-d(t))+D_ww(t)，

t∈[-d_M，0]，其中：x(t)∈Rⁿ为系统的状态，u(t)∈R^m为控制输入，y(t)∈R^p为输出，w(t)∈R^q为外部干扰且属于L₂[0，+∞)，满足||w(t)||≤λ，其中λ为正常数；f(x(t)，x(t-d(t))，t)∈R^m是未建模动态，用非线性函数表示，且||f(x(t)，x(t-d(t))，t)||≤η₁||x(t)||+η₂||x(t-d(t))||+η₃，其中：η₁，η₂，η₃为正常数；E＝(I+ΔE₀(t))E₀∈R^n×n为含有时变不确定性的奇异矩阵且rank(E)＝r≤n，det(I+ΔE₀(t))≠0且ΔE₀(t)＝M_aF(t)N_e，F(t)∈R^i×j为适当维数的未知矩阵且满足F^T(t)F(t)≤I；ΔA(t)，ΔA_d(t)是未知时变矩阵，代表系统参数不确定性，且满足ΔA₀(t)＝M_aF(t)N_a，ΔA_d(t)＝M_aF(t)N_d，M_a，N_e，N_a，N_d为已知的适当维数定常矩阵；矩阵A₀，A_d，B₀，B_w，C₀，C_d，D_w皆为已知适当维数的参数矩阵，且B₀列满秩；d(t)为时变时滞且0≤d(t)≤d_M，

其中d_M与d₀是正常数；

为可容许的连续初值函数，表示系统的初始状态。为方便，f(x(t)，x(t-d(t))，t)，ΔA₀(t)，ΔA_d(t)，ΔE₀(t)可简记为f，ΔA₀，ΔA_d，ΔE₀。

本实施例中系统参数设置为：I＝I₄，E₀＝I₄，

A_d＝0，

I₄为四阶单位矩阵，B_w＝0，M_a＝0，N_a＝0，N_e＝0，N_d＝0，

C_d＝0，D_w＝0，F(t)＝0，w(t)＝0，d(t)＝0，d₀＝0.2，f(x(t)，x(t-d(t))，t)＝0。

步骤三，在步骤二中广义系统形式描述的模型基础上，引入增广状态变量，建立状态增广变换以消除状态导数的系数中含的不确定性，并且能保证增广变换后系统的稳定性及H_∞性能与变换前一致，其中引入的新增广状态变量为z(t)和z(t-d(t))，增广变换后得到的系统为：

t∈[-d_M，0]，其中：

N₁＝[N_a -N_e]，N₂＝[N_d 0]。

如图3所示，增广变换后的系统的开环情形是不稳定的，由于增广变换前后系统的稳定性未变，故变换前的系统亦不稳定。

步骤四，基于增广变换后的系数矩阵

及状态

的信息，设计积分型滑模面并导出滑动模态，具体为：积分型滑模面为

其中：G∈R^{m ×2n}是实矩阵且G的选取需满足

非奇异，K∈R^m×2n是待求增益矩阵；导出的滑动模态为：

其中：

本实施例中G选取为

满足

非奇异，为计算方便，取X＝I，其中I为单位矩阵。

步骤五，根据确保滑动模态稳定并满足H_∞性能指标的线性矩阵不等式条件，计算增益矩阵K，将K用于步骤四中滑模面和步骤六中控制器的配置，其中：线性矩阵不等式条件为：给定正数

当存在适当维数的矩阵

0＜W∈R^2n×2n，Z∈R^(2n-r)×2n以及满足

可逆的任何列满秩矩阵S∈R^2n×(2n-r)，正定矩阵

以及一正数β＞0满足线性矩阵不等式

其中：

那么滑模动态为稳定的并满足H_∞抑制水平

所述的计算增益矩阵K的具体步骤为：

1)通过MATLAB编程求解线性矩阵不等式Φ₄＜0得到

S，Z；

2)将

S，Z代入

求得K.

本实施例中干扰抑制水平性能指标γ＝2.6480，根据线性矩阵不等式求得K＝[-14.4412 -13.9866 55.3807 15.2048 -0.3260 0.2260 0.2600 0.6025]。

步骤六，将步骤五计得到的增益矩阵K代入到带有自适应率的滑模控制器来镇定倒立摆系统，其中自适应率用于估计干扰及未建模动态的界并自校正，具体为：由于外部干扰w(t)的界λ和未建模动态f(x(t)，x(t-d(t))，t)的界η₁，η₂，η₃难以获取，故而设计自适应率去估计并自校正。以

表示对η₁，η₂，η₃，λ的估计，估计误差为

所述的自适应滑模控制器具体为：

其中：

且ζ是一个小的正常数；自适应率为

且μ_i＞0(i＝1，2，3，4)是给定的标量，代表自适应增益。

本实施例滑模控制器中的参数选取为ζ＝0.1，μ₁＝μ₂＝μ₃＝μ₄＝0.005。

为削弱抖振，本实施例采用

替换掉控制器中的sign(s(t))且取ι＝0.05。

针对图1所示本实施例的倒立摆系统，采用本发明的控制器后闭环倒立摆系统状态轨迹如图4所示，可知状态轨迹

在前3s逐渐趋于0，3s后保持在平衡点0处，即3s后倒立摆系统活动底座位移x(t)、活动底座速度

皆为0，摆直立部的角度θ(t)＝-π(φ(t)＝π+θ(t)＝0)，摆直立部角速度

说明不稳定的系统能迅速达到稳定状态；图5展示自适应滑模控制器u(t)的曲线，因为F＝u(t)，即按照此，施加作用倒立摆系统活动底座上的力F，便可镇定不稳定的倒立摆系统。因而，该自适应滑模控制器可以有效地镇定不稳定的倒立摆系统，确保整个闭环系统稳定且满足H_∞干扰抑制水平2.6480。

综上所述，本发明能够就不稳定的倒立摆系统给出良好的控制设计策略，并且能得到可靠、有效的控制结果。而且，本发明提出的控制方法亦适用于各种复杂工况下倒立摆系统控制问题的解决，比如带有系统参数不确定性、时变时滞、未建模动态、外部干扰时。

上述具体实施可由本领域技术人员在不背离本发明原理和宗旨的前提下以不同的方式对其进行局部调整，本发明的保护范围以权利要求书为准且不由上述具体实施所限，在其范围内的各个实现方案均受本发明之约束。

Claims (6)

1.一种基于滑模控制的倒立摆系统自适应鲁棒H_∞控制方法，其特征在于，针对倒立摆系统构建带有系统参数不确定性、时变时滞、未建模动态、外部干扰的广义系统模型，向广义系统模型中加入增广状态变量并进行状态增广变换，基于增广变换后的参数、状态信息，设计滑模面并导出滑动模态，根据滑动模态稳定且满足H_∞性能指标的线性矩阵不等式条件计算增益矩阵，将得到的增益矩阵用于滑模面和控制器配置，最后更新基于自适应率的滑模控制器镇定倒立摆系统，并实现干扰及未建模动态的界的估计与自校正。

2.根据权利要求1所述的控制方法，其特征是，所述的倒立摆系统作为水下机器人、卫星、火箭的简化模拟，具体为：可移动的活动底座上立着一根活动的匀质直立部，直立部不稳定随时可能倒下，活动底座的车轮由电机控制，并通过传感器获取电机的转动力矩、车轮的转动圈数和直立部相对于垂直方向的倾角；

所述的活动底座和直立部仅在一个平面内运动，在不考虑车轮打滑的情况下，活动底座所受力通过车轮半径乘电机力矩得到，活动底座位置根据车轮转动圈数得到。

3.根据权利要求1或2所述的控制方法，其特征是，具体包括：

步骤一，建立倒立摆系统的状态空间方程：

y(t)＝Cx(t)，其中：

p＝I(M+m)+Mml²，

各个状态x(t)，

φ(t)，

对应记为x₁(t)，x₂(t)，x₃(t)，x₄(t)；

步骤二，构建带有系统参数不确定性、时变时滞、未建模动态、外部干扰的广义系统模型，具体为：

t∈[-d_M，0]，其中：x(t)∈Rⁿ为系统的状态，u(t)∈R^m为控制输入，y(t)∈R^p为输出，w(t)∈R^q为外部干扰且属于L₂[0，+∞)，满足||w(t)||≤λ，其中λ为正常数；f(x(t)，x(t-d(t))，t)∈R^m是未建模动态，用非线性函数表示，且||f(x(t)，x(t-d(t))，t)||≤η₁||x(t)||+η₂||x(t-d(t))||+η₃，η₁，η₂，η₃为正常数；E＝(I+ΔE₀(t))E₀∈R^n×n为含有时变不确定性的奇异矩阵且rank(E)＝r≤n，det(I+ΔE₀(t))≠0且ΔE₀(t)＝M_aF(t)N_e，F(t)∈R^i×j为适当维数的未知矩阵且满足F^T(t)F(t)≤I；ΔA(t)，ΔA_d(t)是未知时变矩阵，代表系统参数不确定性，且满足ΔA₀(t)＝M_aF(t)N_a，ΔA_d(t)＝M_aF(t)N_d，M_a，N_e，N_a，N_d为已知的适当维数定常矩阵；矩阵A₀，A_d，B₀，B_w，C₀，C_d，D_w皆为已知适当维数的参数矩阵，且B₀列满秩；d(t)为时变时滞且0≤d(t)≤d_M，

其中d_M与d₀是正常数；

为可容许的连续初值函数，表示系统的初始状态；为方便，f(x(t)，x(t-d(t))，t)，ΔA₀(t)，ΔA_d(t)，ΔE₀(t)可简记为f，ΔA₀，ΔA_d，ΔE₀；

步骤三，在步骤二中广义系统形式描述的模型基础上，引入增广状态变量，建立状态增广变换以消除状态导数的系数中含的不确定性，并且能保证增广变换后系统的稳定性及H_∞性能与变换前一致，其中引入的新增广状态变量为z(t)和z(t-d(f))，增广变换后得到的系统为：

t∈[-d_M，0]，其中：

N₁＝[N_a -N_e]，N₂＝[N_d 0]；

步骤四，基于增广变换后的系数矩阵

及状态

的信息，设计积分型滑模面并导出滑动模态，具体为：积分型滑模面为

其中：G∈R^m×2n是实矩阵且G的选取需满足

非奇异，K∈R^m×2n是待求增益矩阵；导出的滑动模态为：

其中：

步骤五，根据确保滑动模态稳定并满足H_∞性能指标的线性矩阵不等式条件，计算增益矩阵K，将K用于步骤四中滑模面和步骤六中控制器的配置，其中：线性矩阵不等式条件为：给定正数

当存在适当维数的矩阵

0＜W∈R^2n×2n，Z∈R^(2n-r)×2n以及满足

可逆的任何列满秩矩阵S∈R^2n×(2n-r)，正定矩阵

以及一正数β＞0满足线性矩阵不等式

其中：

那么滑模动态为稳定的并满足H_∞抑制水平

步骤六，将步骤五计得到的增益矩阵K代入到带有自适应率的滑模控制器来镇定倒立摆系统，其中自适应率用于估计干扰及未建模动态的界并自校正，具体为：由于外部干扰w(t)的界λ和未建模动态f(x(t)，x(t-d(t))，t)的界η₁，η₂，η₃难以获取，故而设计自适应率去估计并自校正；以

表示对η₁，η₂，η₃，λ的估计，估计误差为

4.根据权利要求3所述的控制方法，其特征是，所述的步骤四中，

满足

非奇异，取X＝I，其中I为单位矩阵。

5.根据权利要求3所述的控制方法，其特征是，所述的计算增益矩阵K的具体步骤为：

1)通过MATLAB编程求解线性矩阵不等式Φ₄＜0得到

2)将

代入

求得K。

6.根据权利要求3所述的控制方法，其特征是，所述的自适应滑模控制器具体为：

其中：

且ζ是一个正常数；自适应率为

且标量μ_i＞0，i＝1，2，3，4，该标量代表自适应增益。

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