CN105573124A - 不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法，包括：步骤1、针对有不确定性项的线性定常系统生成滑模控制律；步骤2、针对不确定性项，采用模糊系统逼近切换控制εsgn(s)。本发明的上述技术方案的有益效果如下：上述方案中本文针对有不确定项的倒立摆系统，设计了自适应模糊滑模控制器，通过理论证明不确定倒立摆系统是稳定性的，并通过仿真实验验证了所设计的控制系统具有很好的快速性和鲁棒性。

Description

不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法

技术领域

本发明涉及属于控制技术领域，特别是指一种不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法。

背景技术

倒立摆系统是研究各种控制算法的典型实验平台，目前研究倒立摆系统的文章很多，例如：

[1]HungTH,YehMF,LuHC.PI-likefuzzycontrollerimplementationfortheinvertedpendulumsystem[C].ProceedingsoftheIEEEInternationalConferenceonIntelligentProcessingSystems,ICIPS,1998,1:218-222.

[2]LeeHahn-Ming,LuBing-Hui,LinFu-Tyan.Fuzzyneuralnetworkmodelforrevisingimperfectfuzzyrules[J].FuzzySetsandSystems,1995,76(1):25-45.

[3]张克勤,苏宏业,庄开宇,褚健.三级倒立摆系统基于滑模的鲁棒控制[J].浙江大学学报(工学版)，2002.36(4):404-409.(ZhangKeqin,SuHongye,ZhuangKaiyu,ChuJian.Robustcontrolbasedonslidingmodeforatripleinvertedpendulum[J].JournalofZhejiangUniversity(EngineeringScience),2002.36(4):404-409.)

现有的倒立摆系统控制算法主要有神经网络控制方法、基于能量控制方法、混合控制方法等，例如：

[4]ZhuangKY,SuHY,ChuJ,ZhangKQ.Globallystablerobusttackingofuncertainsystemsviafuzzyintegralslidingmodecontrol[C].Proceedingofthe3rdWorldCongressonIntelligentControlandAutomation,P.R.China,2000:1827-1831.

[5]李洪兴,苗志宏,王加银.四级倒立摆的变论域自适应模糊控制[J].中国科学(E辑),2001,32(1):65-75.(LiHongxing,MiaoZhihong,WangJiayin.Variableuniverseadaptivefuzzycontroloffourfoldinvertedpendulum[J].ScienceinChina,Ser.E,2001,32(1):65-75.)

[6]Q.P.Ha,Q.H.Nguyen,D.C.Rye,H.F.Durrant-Whyte.Fuzzysliding-modecontrollerswithapplications[J].IEEETransactionsonIndustrialElectronics,2001,48(1):38-41.

这些方法在某种实验条件下能实现倒立摆系统的稳定控制，但是这些控制方法都存在一定的局限性，具有调节时间长、抗干扰性差等缺点。同时现有的控制方法都非常复杂，实现的困难也会加大。

发明内容

针对现有技术中存在的二次谐波制动方法存在的问题，本发明要解决的技术问题是提供一种基于负序分量及其谐波特性的励磁涌流识别方法。

为了解决上述问题，本发明实施例提出了一种不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法，包括：

步骤1、针对有不确定性项的线性定常系统生成滑模控制律；

步骤2、针对不确定性项，采用模糊系统逼近切换控制εsgn(s)；

进一步，所述步骤1具体为：

对有不确定项的线性定常系统：

$\stackrel{\·}{x}=Ax+Bu+d\left(t\right)---\left(5\right)$

其中x∈Rⁿ，u∈R，d(t)为未知干扰，||d(t)||≤D，CB非奇；

定义切换函数为s＝Cx，则取指数趋近律则滑模控制律可设计为

u＝-(CB)^-1[CAx+Cd+kCx+u_sw](6)

其中切换控制u_sw＝εsgn(s),ε>0；

由式(5)和(6)可得

$s\&CenterDot;\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-{\mathrm{ks}}^2-\mathrm{\&epsiv;}\left|s\right|<0;$

进一步，所述步骤2为：

针对公式(6)中的d未知时，采用模糊系统逼近切换控制εsgn(s)；

进一步，所述步骤2具体包括：

步骤21、设模糊系统由IF-TNEN形式的模糊规则构成：

$\begin{array}{ccccccccccccc}{R}^{\left(j\right)}:& IF& x_1& is& A_1^j& and\mathrm{...}and& x_n& is& A_n^j& THEN& y& is& B^j\end{array}$

步骤22、采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，则模糊系统的输出为：

$y\left(x\right)=\frac{\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{y}^j\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\right(x_i\left)\right)}{\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\right(x_i\left)\right)}---\left(7\right)$

其中为x_i的隶属函数；

其中模糊隶属度函数为p_i,q_i分别表示隶属度函数的矩心和宽度；

步骤23、引入向量ξ(x)，ξ(x)＝[ξ¹(x)…ξ^m(x)]^T，θ＝[y¹…y^m]^T，则式(7)可变为：

y(x)＝θ^Tξ(x)(8)

$\mathrm{\&xi;}\left(x\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\left(x_i\right)}{\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\right(x_i\left)\right)}---\left(9\right)$

步骤24、设y^*(x)＝θ^*Tξ(x)是y(x)的最佳逼近，由于存在一个正数c₀满足：

y(x)＝y^*(x)+δ(X)

${\mathrm{\&theta;}}^{*}=\arg \underset{\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{min}\left\{\underset{x\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_x}{sup}\right|y\left(x\right)-{\mathrm{\&theta;}}^{*T}\mathrm{\&xi;}\left(x\right)\left|\right\}---\left(10\right)$

其中，|δ(x)|<c₀，δ(x)是最佳逼近误差，Ω_θ＝{θ:||θ||≤M_θ},Ω_x＝{x:|x|≤M_x}，M_θ,M_x是设计常数；

步骤25、采用乘积推理机、单值模糊器、中心平均解模糊器和高斯隶属函数的模糊系统的输出为则控制律为：

$u=-{\left(CB\right)}^{-1}(CAx+kCx+\hat{h})---\left(11\right)$

$\hat{h}(s,{\mathrm{\&theta;}}_h)={\mathrm{\&theta;}}_h^T\mathrm{\&phi;}\left(s\right)$

为形如式(7)的模糊系统输出，φ(s)为式(9)形式的模糊向量，根据自适应律变化；

步骤26、根据

$\hat{h}(s,{\mathrm{\&theta;}}_h^{*})=\mathrm{\&mu;}\mathrm{sgn}\left(s\right)---\left(12\right)$

其中μ＝||C||D+ε，ε≥0，(||d(t)||≤D)

设自适应律为r₁>0,定义最佳参数为

${{\mathrm{\&theta;}}_h}^{*}=\arg \underset{{\mathrm{\&theta;}}_h\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_h}{min}\left\{sup\right|h(s,\underset{x\&Element;R^n}{{\mathrm{\&theta;}}_h})-u_{sw}\left|\right\}---\left(13\right)$

其中Ω_n为θ_h的集合。

令则

定义Lyapunov函数为

由式(14)、(15)可得

由μ＝||C||D+ε，令则

进一步，所述的不确定性平面倒立摆系统包括两根均匀摆杆(1，2)，在所述两根均匀摆杆(1，2)的表面喷涂抗腐蚀的涂层，该涂层包括粘结底层和抗氧化表面层；

所述粘结底层制备方法为：采用镍3份，钼5份，铝8份，二氧化硅1份，氧化硼1份，钴2份，铬1份，钒1份的合金粉末，用等离子喷涂机喷涂，涂层厚度0.1mm；

所述抗氧化面层制备方法为：采用钼6份，铬5份，硅7份，铁3份，镍2份，铝1份，碳0.02份，磷0.01份，钴1份，二氧化硅2份，氧化铝1份，钇3份，钨2份，钒2份的合金粉末，用等离子喷涂机喷涂，涂层厚度0.2mm。

本发明的上述技术方案的有益效果如下：上述方案中本文针对有不确定项的倒立摆系统，设计了自适应模糊滑模控制器，通过理论证明不确定倒立摆系统是稳定性的，并通过仿真实验验证了所设计的控制系统具有很好的快速性和鲁棒性，由于均匀摆杆表面涂覆了防腐蚀涂层，使得均匀摆杆性能稳定，不易被氧化腐蚀，质量不易发生改变，从而保证了试验的稳定性。

附图说明

图1为本发明实施例的平面二级倒立摆的示意图；

图2为利用本发明实施例生成的自适应滑模控制器进行状态变量仿真的结果示意图；

图3为图2中控制量u的变化图；

图4为图2的局部放大图；

图5为倒立摆系统的参数发生变化时的状态变量仿真结果示意图；

图6为图5中控制量u的变化图；

图7为图5的局部放大图。

具体实施方式

为使本发明要解决的技术问题、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图及具体实施例进行详细描述。

以下先对本发明实施例中涉及的平面二级倒立摆进行简单介绍。本发明实施例中涉及的平面二级倒立摆采用拉格朗日方程推导了倒立摆系统的数学模型，在忽略了空气阻力和各种摩擦力等影响的条件下，平面二级倒立摆可以抽象为小车平台、转轴质量块、均匀摆杆1和均匀摆杆2所组成，基本结构如图1所示。其基本参数定义如下：l₁、l₂分别为摆杆1和摆杆2的长度，m₁、m₂分别为摆杆1和摆杆2的质量，m₃为两摆杆中间连接块的质量，M_x、M_y分别为X方向和Y方向平台运动部分以及摆体支座质量。具体取值为：l₁＝0.2(m)，l₂＝0.55(m)，m₁＝0.06(kg)，m₂＝0.13(kg)，m₃＝0.27(kg)，)重力加速度g＝9.8m/s²。

本发明实施例采用分析动力学的Lagrange方程建立倒立摆系统的微分方程。具体可以参考宋君烈,肖军,徐心和.倒立摆系统的Lagrange方程建模与模糊控制[J].东北大学学报：自然科学版,2002,23(4):333-337.(SongJunlie,XiaoJun,XuXinhe.ModelingandControlMethodoftheInvertedPendulumSystem[J].JournalofNortheasternUniversity(NaturalScience),2002,23(4):333-337.)。

由Lagrange算子

$L(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})=T(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})-V(q,\stackrel{\&CenterDot;}{q})---\left(1\right)$

公式(1)中q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V是系统的势能，由广义坐标q和L，Lagrange方程可以表示为：

$\frac{d}{dt}\frac{\&part;L}{\&part;{\stackrel{\&CenterDot;}{q}}_i}-\frac{\&part;L}{\&part;q_i}={\mathrm{\&tau;}}_i---\left(2\right)$

公式(2)中i为系统变量标号i＝1，2，…，n，q＝{q₁，q₂，q₃…}称为广义变量，τ_i为系统沿该广义坐标方向上的广义外力；

对于平面二级倒立摆，在平衡位置进行泰勒级数展开并线性化，带入各参数数值，可计算出在x、y方向解耦的状态方程：

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_x=A_x{X}_x+B_x{u}_x\\ Y_x=C_x{X}_x\end{array}\right.---\left(3\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\stackrel{\&CenterDot;}{X}}_y=A_y{X}_y+B_y{u}_y\\ Y_y=C_y{X}_y\end{array}\right.---\left(4\right)$

其中x，y方向的控制作用分别为状态变量为：

$X_x={\&lsqb;x,{\mathrm{\&alpha;}}_1,{\mathrm{\&alpha;}}_2,\stackrel{\&CenterDot;}{x},{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_1,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&alpha;}}}_2\&rsqb;}^T$

$X_y={\&lsqb;y,{\mathrm{\&beta;}}_1,{\mathrm{\&beta;}}_2,\stackrel{\&CenterDot;}{y},{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_1,{\stackrel{\&CenterDot;}{\mathrm{\&beta;}}}_2\&rsqb;}^T$

$A_x=\left(\begin{array}{cccccc}0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 50.2235& -14.7272& 0& 0& 0\\ 0& -50.8908& 49.4875& 0& 0& 0\end{array}\right),$

$B_x=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ -5.1248\\ 5.1929\end{array}\right),$

C_x＝diag(1,1,1,1,1,1)，

A_y＝A_x，B_y＝B_x，C_y＝C_x

从前述的状态方程可以看出，对于平面二级倒立摆，在线性化之后X方向和Y方向已经解耦，可分别进行控制。

本发明实施例中提出了一种生成自适应滑模控制器的方法，包括：

步骤1、针对具有不确定项的线性定常系统：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax+Bu+d\left(t\right)---\left(5\right)$

其中x∈Rⁿ，u∈R，d(t)为未知干扰，||d(t)||≤D，CB非奇；其中切换函数为s＝Cx，则指数趋近律

步骤2、生成滑模控制律

u＝-(CB)^-1[CAx+Cd+kCx+u_sw](6)

其中切换控制u_sw＝εsgn(s),ε>0；

根据公式(5)和公式(6)，可以获得

步骤3、利用模糊系统逼近切换控制εsgn(s)，在d未知时来应用控制律式(6)。

其中，所述步骤3具体包括：

步骤31、生成模糊系统的模糊规则，其中所述模糊系统由IF-TNEN形式的模糊规则构成：

$\begin{array}{ccccccccccccc}{R}^{\left(j\right)}:& IF& x_1& is& A_1^j& and\mathrm{...}and& x_n& is& A_n^j& THEN& y& is& B^j\end{array};$

步骤32、采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，则模糊系统的输出为：

$y\left(x\right)=\frac{\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{y}^j\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\right(x_i\left)\right)}{\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\right(x_i\left)\right)}---\left(7\right)$

其中为x_i的隶属函数；

步骤33、设模糊隶属度函数为p_i,q_i分别表示隶属度函数的矩心和宽度；

步骤34、其中引入向量ξ(x)，ξ(x)＝[ξ¹(x)…ξ^m(x)]^T，θ＝[y¹…y^m]^T，则式(7)可变为：

y(x)＝θ^Tξ(x)(8)

$\mathrm{\&xi;}\left(x\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\left(x_i\right)}{\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\right(x_i\left)\right)}---\left(9\right)$

设y^*(x)＝θ^*Tξ(x)是y(x)的最佳逼近，一定存在一个正数c₀满足：

y(x)＝y^*(x)+δ(X)

${\mathrm{\&theta;}}^{*}=\arg \underset{\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{min}\left\{\underset{x\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_x}{sup}\right|y\left(x\right)-{\mathrm{\&theta;}}^{*T}\mathrm{\&xi;}\left(x\right)\left|\right\}---\left(10\right)$

其中，|δ(x)|<c₀，δ(x)是最佳逼近误差，Ω_θ＝{θ:||θ||≤M_θ},Ω_x＝{x:|x|≤M_x}，M_θ,M_x是设计常数。

采用乘积推理机、单值模糊器、中心平均解模糊器和高斯隶属函数的模糊系统的输出为则控制律为：

$u=-{\left(CB\right)}^{-1}(CAx+kcx+\hat{h})---\left(11\right)$

$\hat{h}(s,{\mathrm{\&theta;}}_h)={\mathrm{\&theta;}}_h^T\mathrm{\&phi;}\left(s\right)$

为形如式(7)的模糊系统输出，φ(s)为式(9)形式的模糊向量，根据自适应律变化。

具体可以参考：WaiRJ,LinCM,HsuCF.Adaptivefuzzyslidingmodecontrolforelectricalservodrive[J].FuzzySetsandsystems,2004,143:290-310.

设

$\hat{h}(s,{\mathrm{\&theta;}}_h^{*})=\mathrm{\&mu;}\mathrm{sgn}\left(s\right)---\left(12\right)$

其中μ＝||C||D+ε，ε≥0，(||d(t)||≤D)

设自适应律为r₁>0,定义最佳参数为

${{\mathrm{\&theta;}}_h}^{*}=\arg \underset{{\mathrm{\&theta;}}_h\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_h}{min}\left\{sup\right|h(s,\underset{x\&Element;R^n}{{\mathrm{\&theta;}}_h})-u_{sw}\left|\right\}---\left(13\right)$

其中Ω_n为θ_h的集合。

令则

定义Lyapunov函数为

由式(14)、(15)可得

由μ＝||C||D+ε，令则

由此可知，自适应模糊滑模控制器满足滑模到达条件，设计的控制器也是渐进稳定的，可以实现倒立摆的稳定控制。

为了证明本发明实施例的自适应滑模控制器的有效性，以下经过仿真实现来进行说明。

参考：HuangSJ,LinWC.Adaptivefuzzycontrollerwithslidingsurfaceforvehiclesuspensioncontrol[J].IEEETransonFuzzySystems.2003,11(4):550-559.

以X方向的状态方程为例设计控制器，Y方向采用同样的控制算法。先设计切换矩阵C当加权矩阵Q＝diag[200,300,400,1,1,1]，R＝1时，LQR状态反馈增益矩阵K＝[14.14，76.03，191.54，15.77，29.53，33.03]。

由于(A_x,B_x)可控，先把系统化为简约型，取线性变换y＝Tx，其中

系统变成了此时可求出切换矩阵C＝[14.142162.010687.413013.415118.047915.4204]。

指数趋近律控制的参数k主要影响系统向滑模面的趋近速度，k越大，系统趋向滑模面的速度越快。当系统的运动点距离切换面较远时，即较大时，k取得越大，系统的快速性越好，当系统接近切换面较小时，k取得越小，可以避免系统产生抖振，以此原则设计模糊规则，控制趋近速度参数k，使系统具有快速性好，同时削弱抖振，以作为输入，k作为输出，设计单输入单输出模糊系统，系统的输入和输出的模糊集分别为：dk＝{NBNMZEPMPB}，输入输出隶属函数采用三角形。解模糊采用重心法。

模糊规则如下：

$\left.\begin{array}{cccccccc}{R}_1:IF& s\stackrel{\&CenterDot;}{s}& is& PB& THEN& dk& is& PB\\ R_2:IF& s\stackrel{\&CenterDot;}{s}& is& PM& THEN& dk& is& PM\\ R_3:IF& s\stackrel{\&CenterDot;}{s}& is& ZE& THEN& dk& is& ZE\\ R_4:IF& s\stackrel{\&CenterDot;}{s}& is& NM& THEN& dk& is& NM\\ R_5:IF& s\stackrel{\&CenterDot;}{s}& is& NB& THEN& dk& is& NB\end{array}\right\}$

采用积分法对k的上界进行估计：其中M为比例系数，M>0。

取5种隶属函数对切换项进行模糊化。

μ_NM(s)＝exp[-((s+π/6)/(π/24))²]，μ_NS(s)＝exp[-((s+π/12)/(π/24))²]，

μ_ZO(s)＝exp[-(s/(π/24))²]，μ_PS(s)＝exp[-((s-π/12)/(π/24))²]，

μ_PM(s)＝exp[-((s-π/6)/(π/24))²]。

模糊规则数为5.在SIMULINK下建立仿真模型图，根据自适应模糊滑模控制器设计方法编写相应的S函数，并在不同条件下进行仿真实验。

对本发明实施例的仿真结果进行分析可知：

当系统初始状态为零，选取自适应参数r₁＝10，M＝400，控制律采用公式(11)，当干扰取[0.8,0.1,0,0,0,0]，其状态变量仿真结果如图2所示，其控制量u的变化如图3所示，其局部放大图如图4所示。

由以上仿真结果可知，自适应模糊滑模控制器可使倒立摆在2s左右达到平衡，即使干扰较大，对系统的影响也很小，并且振荡和超调较小，系统的快速性、稳定性很好，同时大大减弱了抖振。

当倒立摆系统的参数发生变化时，即参数摄动时进行试验，矩阵状态矩阵A_x的某个元素值增3，取干扰为[0,0.1,0,0,0,0]时，其状态变量仿真结果如图5所示，其控制量u的变化如图6所示，其局部放大图如图7所示。

由图可知，当系统参数发生变化，自适应模糊滑模控制器依然能使倒立摆保持平衡，基本上在2s之内就稳定了，但是因系统同时受到干扰和摄动影响，振荡还是比无参数摄动时偏大，系统的快速性、稳定性则未受影响，验证了系统对参数摄动具有不变性。

另外，在上述实施例中，在均匀摆杆和均匀摆杆的表面喷涂抗腐蚀的涂层，涂层包括粘结底层和抗氧化表面层。

粘结底层制备方法为：采用重量成分：镍3份，钼5份，铝8份，二氧化硅1份，氧化硼1份，钴2份，铬1份，钒1份的合金粉末，用市面上常见的等离子喷涂机(例如普莱克斯-7700型等离子喷涂机)喷涂，涂层厚度0.1mm。

抗氧化面层制备方法为：钼6份，铬5份，硅7份，铁3份，镍2份，铝1份，碳0.02份，磷0.01份，钴1份，二氧化硅2份，氧化铝1份，钇3份，钨2份，钒2份的合金粉末，用市面上常见的等离子喷涂机(例如普莱克斯-7700型等离子喷涂机)喷涂，涂层厚度0.2mm。

由于在喷嘴表面喷涂了抗腐蚀涂层，使得喷嘴具有强大的抗腐蚀、抗氧化、抗磨损和耐高温的能力，长期使用不会生锈，在恶劣的工作环境中保持稳定，实验表明，可以使用35年以上，涂层粘结强度为39兆帕，涂层的表面洛氏15N硬度为85。

以上所述是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明所述原理的前提下，还可以作出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法，其特征在于，包括：

步骤1、针对有不确定性项的线性定常系统生成滑模控制律；

步骤2、针对不确定性项，采用模糊系统逼近切换控制εsgn(s)。

2.根据权利要求1所述的不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法，其特征在于，所述步骤1具体为：

对有不确定项的线性定常系统：

$\stackrel{\&CenterDot;}{x}=Ax+Bu+d\left(t\right)---\left(5\right)$

其中x∈Rⁿ，u∈R，d(t)为未知干扰，||d(t)||≤D，CB非奇；

定义切换函数为s＝Cx，则取指数趋近律则滑模控制律可设计为

u＝-(CB)^-1[CAx+Cd+kCx+u_sw](6)

其中切换控制u_sw＝εsgn(s),ε>0；

由式(5)和(6)可得

$s\&CenterDot;\stackrel{\&CenterDot;}{s}=-{\mathrm{ks}}^2-\mathrm{\&epsiv;}\left|s\right|<0.$

3.根据权利要求2所述的不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法，其特征在于，所述步骤2为：

针对公式(6)中的d未知时，采用模糊系统逼近切换控制εsgn(s)。

4.根据权利要求2所述的不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法，其特征在于，其中所述步骤2具体包括：

步骤21、设模糊系统由IF-TNEN形式的模糊规则构成：

$\begin{array}{ccccccccccccc}{R}^{\left(j\right)}:& IF& x_1& is& A_1^j& and...and& x_n& is& A_n^j& THEN& y& is& B^j\end{array}$

步骤22、采用乘积推理机、单值模糊器和中心平均解模糊器，则模糊系统的输出为：

$y\left(x\right)=\frac{\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}{y}^j\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\right(x_i\left)\right)}{\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\right(x_i\left)\right)}---\left(7\right)$

其中为x_i的隶属函数；

其中模糊隶属度函数为p_i,q_i分别表示隶属度函数的矩心和宽度；

步骤23、引入向量ξ(x)，ξ(x)＝[ξ¹(x)…ξ^m(x)]^T，θ＝[y¹…y^m]^T，则式(7)可变为：

y(x)＝θ^Tξ(x)(8)

$\mathrm{\&xi;}\left(x\right)=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\left(x_i\right)}{\underset{j=1}{\overset{m}{\&Sigma;}}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\&Pi;}}{\mathrm{\&mu;}}_{A_i^j}\right(x_i\left)\right)}---\left(9\right)$

步骤24、设y^*(x)＝θ^*Τξ(x)是y(x)的最佳逼近，由于存在一个正数c₀满足：

y(x)＝y^*(x)+δ(X)

${\mathrm{\&theta;}}^{*}=\arg \underset{\mathrm{\&theta;}\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_{\mathrm{\&theta;}}}{min}\left\{\underset{x\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_x}{sup}\right|y\left(x\right)-{\mathrm{\&theta;}}^{*T}\mathrm{\&xi;}\left(x\right)\left|\right\}---\left(10\right)$

其中，|δ(x)|<c₀，δ(x)是最佳逼近误差，Ω_θ＝{θ:||θ||≤M_θ},Ω_x＝{x:|x|≤M_x}，M_θ,M_x是设计常数；

步骤25、采用乘积推理机、单值模糊器、中心平均解模糊器和高斯隶属函数的模糊系统的输出为则控制律为：

$u=-{\left(CB\right)}^{-1}(CAx+kCx+\hat{h})---\left(11\right)$

$\hat{h}(s,{\mathrm{\&theta;}}_h)={\mathrm{\&theta;}}_h^T\mathrm{\&phi;}\left(s\right)$

为形如式(7)的模糊系统输出，φ(s)为式(9)形式的模糊向量，根据自适应律变化；

步骤26、根据

$\hat{h}(s,{\mathrm{\&theta;}}_h^{*})=\mathrm{\&mu;}\mathrm{sgn}\left(s\right)---\left(12\right)$

其中μ＝||C||D+ε，ε≥0，(||d(t)||≤D)

设自适应律为r₁>0,定义最佳参数为

${{\mathrm{\&theta;}}_h}^{*}=\arg \underset{{\mathrm{\&theta;}}_h\&Element;{\mathrm{\&Omega;}}_h}{min}\left\{sup\right|\hat{h}(s,\underset{x\&Element;R^n}{{\mathrm{\&theta;}}_h})-u_{sw}\left|\right\}---\left(13\right)$

其中Ω_n为θ_h的集合。

令则

定义Lyapunov函数为

由式(14)、(15)可得

由μ＝||C||D+ε，令则

5.根据权利要求1所述的不确定性平面倒立摆系统的自适应滑模控制器生成方法，其特征在于，所述的不确定性平面倒立摆系统包括两根均匀摆杆，在所述两根均匀摆杆的表面喷涂抗腐蚀的涂层，该涂层包括粘结底层和抗氧化表面层；

所述粘结底层制备方法为：采用镍3份，钼5份，铝8份，二氧化硅1份，氧化硼1份，钴2份，铬1份，钒1份的合金粉末，用等离子喷涂机喷涂，涂层厚度0.1mm；

所述抗氧化面层制备方法为：采用钼6份，铬5份，硅7份，铁3份，镍2份，铝1份，碳0.02份，磷0.01份，钴1份，二氧化硅2份，氧化铝1份，钇3份，钨2份，钒2份的合金粉末，用等离子喷涂机喷涂，涂层厚度0.2mm。