CN110244561B - 一种基于干扰观测器的二级倒立摆自适应滑模控制方法 - Google Patents

一种基于干扰观测器的二级倒立摆自适应滑模控制方法 Download PDF

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CN110244561B CN201910501117.0A CN201910501117A CN110244561B CN 110244561 B CN110244561 B CN 110244561B CN 201910501117 A CN201910501117 A CN 201910501117A CN 110244561 B CN110244561 B CN 110244561B
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    • G05B13/02—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric
    • G05B13/04—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators
    • G05B13/042—Adaptive control systems, i.e. systems automatically adjusting themselves to have a performance which is optimum according to some preassigned criterion electric involving the use of models or simulators in which a parameter or coefficient is automatically adjusted to optimise the performance

Abstract

本发明提供了一种基于干扰观测器的二级倒立摆自适应滑模控制方法。该方法针对存在外部扰动的二级倒立摆系统稳定控制问题，首先根据拉格朗日方程建立二级倒立摆系统的微分方程，并在平衡位置附近进行线性化处理，推导出带有外部扰动的线性状态方程和输出方程。然后设计滑动模态，并利用非线性干扰观测器对滑动模态中的系统未知模型进行补偿，使得控制器的设计无需知道系统的结构和参数，并考虑到观测器的估计误差界限未知，在控制器中设计自适应律对未知估计进行调节。同时采用LMI求解滑模参数，并利用sigmoid函数代替控制器中的符号函数，消除抖振现象。

Description

一种基于干扰观测器的二级倒立摆自适应滑模控制方法
技术领域
本发明涉及一种运动控制器设计方法，特别涉及一种基于干扰观测器的二级倒立摆自适应滑模控制方法，属于控制科学与控制工程领域。
背景技术
倒立摆是控制系统理论研究的一个具有挑战性的问题。它是一个强耦合、不稳定和欠驱动的非线性机械系统，被视为开发和研究与鲁棒系统相关的思想的基准。它具有广泛的工业应用，例如两轮自平衡车辆、火箭、导弹、智能机器人和其他欠驱动非线性系统。滑模控制是一种用于处理存在不确定性和干扰的复杂系统的鲁棒控制技术。但是，滑模控制需要依赖系统的数学模型来建立鲁棒控制律。而未知的外部干扰和系统的不确定性，会导致系统实际模型和建立的数学模型之间存在差异。近几年来，为了避免系统模型未知和外部扰动问题，基于扰动观测器的控制方法被提出。但多数扰动观测器都存在扰动的估计效果完全依赖于对扰动先验知识的了解的缺点,而实际中很难获得扰动的先验知识。同时，未考虑观测器的估计误差对系统带来的影响。
发明内容
本发明的技术解决问题是：针对带有不确定性和外部扰动的二级倒立摆系统稳定问题，滑模控制需要依赖系统的数学模型，且多数扰动观测器都存在扰动的估计效果完全依赖于对扰动先验知识的了解的缺点,同时，未控制过程中未考虑观测器的估计误差对系统带来的影响。提供一种基于干扰观测器的二级倒立摆自适应滑模控制方法，使得控制器的设计无需知道系统的结构和参数，并且自适应调节估计误差的影响。
本发明的技术解决方案为：一种基于干扰观测器的二级倒立摆自适应滑模控制方法。首先根据拉格朗日方程建立二级倒立摆系统的微分方程，并在平衡位置附近进行线性化处理，推导出带有外部扰动的线性状态方程和输出方程。然后设计滑动模态，并利用非线性干扰观测器对滑动模态中的系统未知模型进行补偿，使得控制器的设计无需知道系统的结构和参数，并考虑到观测器的估计误差界限未知，在控制器中设计自适应律对未知估计进行调节。同时采用LMI求解滑模参数，并利用sigmoid函数代替控制器中的符号函数，消除抖振现象。具体实施步骤如下：
1)根据拉格朗日方程建立二级倒立摆系统的微分方程：
Figure BDA0002090256710000011
式中，x为小车的位置，θ1和θ2分别为摆杆的上下摆角，由于实际控制过程中的θ1和θ2值很小，不失一般性在平衡位置对上式进行线性化处理可得：
Figure BDA0002090256710000012
将上式进一步变换，并考虑控制干扰的直线二级倒立摆系统状态方程和输出方程如下所示：
Figure BDA0002090256710000021
式中，d为系统控制扰动，矩阵A,B,C,D如下所示：
Figure BDA0002090256710000022
其中：
Figure BDA0002090256710000023
Figure BDA0002090256710000024
Figure BDA0002090256710000025
Figure BDA0002090256710000026
Figure BDA0002090256710000027
Figure BDA0002090256710000028
Figure BDA0002090256710000029
2)根据二级倒立摆系统的状态空间表达式，定义滑模函数为：
s＝BTPX
式中，P为6×6阶的正定矩阵，考虑控制扰动的情况下，对滑模面s求导：
Figure BDA00020902567100000210
式中，f＝BTPAX+BTPBd，b＝BTPB，由于f+(b-1)u中控制输入u存在，会导致代数环问题，利用低通滤波器，上式可写成：
Figure BDA00020902567100000212
式中，uf＝BL(s)u为低通滤波器的输出信号，避免代数环问题，BL(s)为低通滤波器，ΔG＝(b-1)u-(b-1)uf，然后设计一种双曲正切非线性干扰观测器，对系统的未知模型进行处理，将函数f+(b-1)uf定义为系统的干扰项D，设计如下非线性干扰观测器：
Figure BDA00020902567100000211
式中，
Figure BDA0002090256710000031
和
Figure BDA0002090256710000032
分别为D和s的估计值，R1,a1,a2,b1,b2为正实数，当T＞0时有：
Figure BDA0002090256710000033
因此，
Figure BDA0002090256710000034
从而可得
Figure BDA0002090256710000035
Figure BDA0002090256710000036
式中，μ为估计误差，设计如下控制器：
Figure BDA0002090256710000037
考虑到系统控制存在的估计误差，设计自适应律对其进行调整控制器设计为如下形式：
Figure BDA0002090256710000038
式中，
Figure BDA0002090256710000039
是η的估计值，且满足
Figure BDA00020902567100000310
从上述控制器可知，控制器的设计无需知道系统的结构和参数。
3)为了求解滑模面中的对称正定矩阵P，将控制律写成如下形式：
u＝-KX+v
式中，v＝KX+u，则上式可变为：
Figure BDA00020902567100000311
式中，
Figure BDA00020902567100000312
为了确保闭环系统稳定，设计适当的K使得
Figure BDA00020902567100000313
为Hurwitz，取李亚普洛夫函数：
V2＝XTPX
对上式求关于时间导数可得：
Figure BDA00020902567100000314
由定理1的分析可知，存在t≥t0，s＝BTPX＝0成立，即sT＝XTPB＝0成立，则上式可变成：
Figure BDA00020902567100000315
因此，为了确保
Figure BDA00020902567100000316
只需满足
Figure BDA00020902567100000317
即可，在
Figure BDA00020902567100000318
的左右两边都乘以P-1可得：
Figure BDA00020902567100000319
定义x＝P-1，上述不等式可变为：
Figure BDA00020902567100000320
定义L＝Kx，则上述不等式变为：
Figure BDA00020902567100000321
为了确保矩阵P为对称正定矩阵，需满足：
P＝PT＞0或x＝xT
结合上述不等式，利用matlab的LMI工具箱求解P矩阵，并采用Sigmoid函数替代控制器中的符号函数，其表达式如下所示：
Figure BDA00020902567100000322
式中，a＞0，其大小影响Sigmoid函数的收敛速度，因此，系统的控制律变为：
Figure BDA0002090256710000041
与现有技术相比，本发明的优点在于：本发明根据拉格朗日方程建立了带有不确定性和外部扰动的二级倒立摆系统状态方程。提出了一种基于双曲正切跟踪微分器,设计双曲正切非线性干扰观测器，克服了扰动先验知识的缺点,并且结构简单,对扰动的估计效果优秀，利用所设计的非线性干扰观测器对滑动模态中的系统未知模型进行补偿，使得控制器的设计无需知道系统的结构和参数。同时，对系统控制存在的估计误差设计自适应律对其进行调整，增强系统的鲁棒性。并且，采用LMI求解滑模参数，并利用sigmoid函数代替控制器中的符号函数，消除滑模抖振现象。
附图说明
图1为系统控制框图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明进一步说明。
如图1所示，本发明具体实现步骤如下：
1)根据拉格朗日方程建立二级倒立摆系统的微分方程：
Figure BDA0002090256710000042
式中，x为小车的位置，θ1和θ2分别为摆杆的上下摆角，由于实际控制过程中的θ1和θ2值很小，不失一般性在平衡位置对上式进行线性化处理可得：
Figure BDA0002090256710000043
将上式进一步变换，并考虑控制干扰的直线二级倒立摆系统状态方程和输出方程如下所示：
Figure BDA0002090256710000044
式中，d为系统控制扰动，矩阵A,B,C,D如下所示：
Figure BDA0002090256710000045
其中：
Figure BDA0002090256710000051
Figure BDA0002090256710000052
Figure BDA0002090256710000053
Figure BDA0002090256710000054
Figure BDA0002090256710000055
Figure BDA0002090256710000056
Figure BDA0002090256710000057
2)根据二级倒立摆系统的状态空间表达式，定义滑模函数为：
s＝BTPX
式中，P为6×6阶的正定矩阵，考虑控制扰动的情况下，对滑模面s求导：
Figure BDA0002090256710000058
式中，f＝BTPAX+BTPBd，b＝BTPB，由于f+(b-1)u中控制输入u存在，会导致代数环问题，利用低通滤波器，上式可写成：
Figure BDA0002090256710000059
式中，uf＝BL(s)u为低通滤波器的输出信号，避免代数环问题，BL(s)为低通滤波器，ΔG＝(b-1)u-(b-1)uf，然后设计一种双曲正切非线性干扰观测器，对系统的未知模型进行处理，将函数f+(b-1)uf定义为系统的干扰项D，设计如下非线性干扰观测器：
Figure BDA00020902567100000510
式中，
Figure BDA00020902567100000511
和
Figure BDA00020902567100000512
分别为D和s的估计值，R1,a1,a2,b1,b2为正实数，当T＞0时有：
Figure BDA00020902567100000513
因此，
Figure BDA00020902567100000514
从而可得
Figure BDA00020902567100000515
Figure BDA00020902567100000516
式中，μ为估计误差，设计如下控制器：
Figure BDA00020902567100000517
考虑到系统控制存在的估计误差，设计自适应律对其进行调整控制器设计为如下形式：
Figure BDA0002090256710000061
式中，
Figure BDA0002090256710000062
是η的估计值，且满足
Figure BDA0002090256710000063
从上述控制器可知，控制器的设计无需知道系统的结构和参数。
3)为了求解滑模面中的对称正定矩阵P，将控制律写成如下形式：
u＝-KX+v
式中，v＝KX+u，则上式可变为：
Figure BDA0002090256710000064
式中，
Figure BDA0002090256710000065
为了确保闭环系统稳定，设计适当的K使得
Figure BDA0002090256710000066
为Hurwitz，取李亚普洛夫函数：
V2＝XTPX
对上式求关于时间导数可得：
Figure BDA0002090256710000067
由定理1的分析可知，存在t≥t0，s＝BTPX＝0成立，即sT＝XTPB＝0成立，则上式可变成：
Figure BDA0002090256710000068
因此，为了确保
Figure BDA0002090256710000069
只需满足
Figure BDA00020902567100000610
即可，在
Figure BDA00020902567100000611
的左右两边都乘以P-1可得：
Figure BDA00020902567100000612
定义x＝P-1，上述不等式可变为：
Figure BDA00020902567100000613
定义L＝Kx，则上述不等式变为：
Figure BDA00020902567100000614
为了确保矩阵P为对称正定矩阵，需满足：
P＝PT＞0或x＝xT
结合上述不等式，利用matlab的LMI工具箱求解P矩阵，并采用Sigmoid函数替代控制器中的符号函数，其表达式如下所示：
Figure BDA00020902567100000615
式中，a＞0，其大小影响Sigmoid函数的收敛速度，因此，系统的控制律变为：
Figure BDA00020902567100000616
本发明说明书中未作详细说明部分属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (1)

1.一种基于非线性干扰观测器的二级倒立摆自适应滑模控制方法，其特征在于，步骤如下：
1)根据拉格朗日方程建立二级倒立摆系统的微分方程：
Figure FDA0003751093580000011
式中，x为小车的位置，θ1和θ2分别为摆杆的上下摆角，由于实际控制过程中的θ1和θ2值很小，不失一般性在平衡位置对上式进行线性化处理可得：
Figure FDA0003751093580000012
将上式进一步变换，并考虑控制干扰的直线二级倒立摆系统状态方程和输出方程如下所示：
Figure FDA0003751093580000013
式中，d为系统控制扰动，矩阵A,B,C,D如下所示：
Figure FDA0003751093580000014
其中：
Figure FDA0003751093580000015
Figure FDA0003751093580000016
Figure FDA0003751093580000017
Figure FDA0003751093580000018
Figure FDA0003751093580000019
Figure FDA00037510935800000110
Figure FDA00037510935800000111
2)根据二级倒立摆系统的状态空间表达式，定义滑模函数为：
s＝BTPX
式中，P为6×6阶的正定矩阵，X为系统状态， 考虑控制扰动的情况下，对滑模面s求导：
Figure FDA0003751093580000021
式中，d为系统控制扰动；f＝BTPAX+BTPBd，b＝BTPB，由于f+(b-1)u中控制输入u存在，会导致代数环问题，利用低通滤波器，上式可写成：
Figure FDA0003751093580000022
式中，uf＝BL(s)u为低通滤波器的输出信号，避免代数环问题，BL(s)为低通滤波器，ΔG＝(b-1)u-(b-1)uf，然后设计一种双曲正切非线性干扰观测器，对系统的未知模型进行处理，将函数f+(b-1)uf定义为系统的干扰项D，设计如下非线性干扰观测器：
Figure FDA0003751093580000023
式中，
Figure FDA0003751093580000024
和
Figure FDA0003751093580000025
分别为D和s的估计值，R1,a1,a2,b1,b2为正实数，当T＞0时有：
Figure FDA0003751093580000026
因此，
Figure FDA0003751093580000027
从而可得
Figure FDA0003751093580000028
Figure FDA0003751093580000029
式中，μ为估计误差，设计如下控制器：
Figure FDA00037510935800000210
考虑到系统控制存在的估计误差，设计自适应律对其进行调整控制器设计为如下形式：
Figure FDA00037510935800000211
式中，
Figure FDA00037510935800000212
是η的估计值，且满足
Figure FDA00037510935800000213
从上述控制器可知，控制器的设计无需知道系统的结构和参数，
3)为了求解滑模面中的对称正定矩阵P，将控制律写成如下形式：
u＝-KX+v
式中，K为增益矩阵，v＝KX+u，则上式可变为：
Figure FDA00037510935800000214
式中，A和B分别为系统的状态矩阵和控制矩阵；d为系统控制扰动；
Figure FDA00037510935800000215
为了确保闭环系统稳定，设计适当的K使得
Figure FDA00037510935800000216
为Hurwitz，取李亚普洛夫函数：
V2＝XTPX
对上式求关于时间导数可得：
Figure FDA0003751093580000031
当t≥t0，s＝BTPX＝0成立，即sT＝XTPB＝0成立，则上式可变成：
Figure FDA0003751093580000032
因此，为了确保
Figure FDA0003751093580000033
只需满足
Figure FDA0003751093580000034
即可，在
Figure FDA0003751093580000035
的左右两边都乘以P-1可得：
Figure FDA0003751093580000036
定义x＝P-1，上述不等式可变为：
Figure FDA0003751093580000037
定义L＝Kx，则上述不等式变为：
Figure FDA00037510935800000310
为了确保矩阵P为对称正定矩阵，需满足：
P＝PT＞0或x＝xT
结合上述不等式，利用matlab的LMI工具箱求解P矩阵，并采用Sigmoid函数替代控制器中的符号函数，其表达式如下所示：
Figure FDA0003751093580000038
式中，a＞0，其大小影响Sigmoid函数的收敛速度，因此，系统的控制律变为：
Figure FDA0003751093580000039
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