CN107957683B

CN107957683B - 一种具有输入约束的网络化倒立摆系统的时延补偿方法

Info

Publication number: CN107957683B
Application number: CN201711081656.0A
Authority: CN
Inventors: 俞立; 李同祥; 刘安东; 张文安; 宋文华; 吴言穗; 王瑶为
Original assignee: Zhejiang University of Technology ZJUT
Current assignee: Zhejiang University of Technology ZJUT
Priority date: 2017-11-07
Filing date: 2017-11-07
Publication date: 2020-12-01
Anticipated expiration: 2037-11-07
Also published as: CN107957683A

Abstract

一种具有输入约束的网络化倒立摆系统的时延补偿方法，该方法首先获取所述倒立摆系统的状态空间方程；基于得到状态空间方程建立网络化倒立摆控制系统的离散切换系统模型；最后设计一个满足输入约束的状态反馈控制器，使得网络化倒立摆控制系统指数稳定。该方法不仅解决了网络化控制系统中的时延补偿问题，同时解决了实际系统中存在的输入约束问题，实现了具有输入约束的网络化倒立摆系统的稳摆控制，但本发明不只局限于此实例，其结果对实际中的网络化控制系统具有重要的参考意义。

Description

一种具有输入约束的网络化倒立摆系统的时延补偿方法

技术领域

本发明涉及网络化倒立摆控制技术领域，尤其涉及的是一种具有输入约束的网络化倒立摆系统的时延补偿方法。

背景技术

自倒立摆控制系统出现以来，由于其高阶次、多变量、非线性、强耦合和不稳定等特点引起了大量专家学者的兴趣，成为控制领域的研究热点。倒立摆系统可以被认为是一类重心在上、支点在下的被控对象，许多工业系统中的控制问题都可以抽象为倒立摆的稳定控制问题。因此，倒立摆控制系统的研究具有重要的理论和实践意义。网络化倒立摆控制系统不同于传统的点对点控制的倒立摆系统，其传感器、控制器和执行器之间的信息都是通过通信网络传输，是一类典型的网络化控制系统平台。许多实际的网络化控制系统中的控制问题，都可以抽象为网络化倒立摆系统的稳定控制问题。因此，研究网络化倒立摆系统中的控制问题对工业中的网络化控制系统有着重要的参考意义。

目前，实现网络化倒立摆控制系统的稳摆控制主要存在以下难点：1)、倒立摆本身是一种高阶次、多变量、非线性、强耦合和不稳定的快变系统，另外，由于网络的引入，时延问题使得倒立摆更加难以控制。2)、在网络化倒立摆系统中通常存在输入约束问题，如果在控制器设计时不考虑输入约束问题，那么控制算法就难以实现期望的系统性能，甚至难以实现倒立摆的稳摆控制。

针对上述网络化控制系统中的时延问题，现有文献已经提出了一些解决方法，主要包括以下几类：1)、不确定系统方法。其基本思想是将时延分解为均值部分和不确定部分，将网络化控制系统建模为范数有界的不确定系统，从而可以利用不确定系统的方法进行系统分析与设计。但是此方法存在一定的保守性，特别是在时延的变化范围较大时尤其明显。2)、随机系统方法。其基本思想是假设时延服从马尔科夫分布或者某已知的分布律，从而可以使用随机系统方法进行系统分析与设计。但是在许多实际网络中，时延的概率分布往往难以获得或者时延不服从某个特定的概率分布，在这种情况下随机系统方法往往难以实现期望的系统性能。3)、时滞系统方法。其基本思想是将网络化控制系统描述为输入时滞系统或者采样控制系统，进而时滞依赖分析和设计方法给出系统的分析和设计结果。但是该方法给出的最大允许时延上界的分析结果具有较大的保守性。特别地，针对时变短时延问题，Zhang W等在文献(A switched system approach to networked controlsystems with time-varying delays)中提出了一种切换系统处理方法。其基本思想是引入一种特殊的时间触发的执行器，其读取缓冲区的频率高于采样频率，此时时变的时延被转化为几个特定的值。进而网络化控制系统被建模为离散切换系统模型，从而可以利用切换系统方法进行系统分析与设计。该方法在解决时延引起的指数时变项的同时有效的降低了保守性。综上所述，切换系统方法更加适用于解决网络化倒立摆系统的控制问题，但是，目前该方法仅停留在理论仿真阶段，缺乏有效的实验验证，并且该方法没有考虑实际系统中的输入约束问题。在实际的网络化控制系统中通常存在执行器饱和等实际问题，如果在设计控制器时不考虑这类输入约束问题，控制算法往往难以实现期望的系统性能。因此解决实际系统中的输入约束问题并且对控制算法进行实验验证具有重要的实践意义。

发明内容

为了解决现有网络化倒立摆控制系统中的输入约束和时延补偿问题，本发明提供了一种具有输入约束的网络化倒立摆系统的时延补偿方法，以实现对网络化倒立摆控制系统的稳摆控制。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种具有输入约束的网络化倒立摆系统的时延补偿方法，包括以下步骤：

步骤1)应用牛顿—欧拉方法建立倒立摆控制系统运动学模型，然后，对其进行线性化并化简，得到状态空间方程如下：

其中，

为倒立摆系统的状态量；p为小车的位移，

小车的速度，φ为摆杆与竖直向上方向的夹角，

为摆杆角速度；y(t)为系统输出；

为控制输入，

为系统矩阵，

为输入矩阵，

为输出矩阵；g为重力加速度，l为摆杆转动轴心到摆杆质心的长度；

步骤2)根据连续系统离散化方法，并考虑网络诱导时延的影响，得到离散的切换系统模型如下：

x(k+1)＝Ax(k)+B_0σ(k)·u(k)+B_1σ(k)·u(k-1) (2)

其中，

T为系统采样周期，执行器读取缓冲区的周期为T₀＝T/N，N为有限正整数；n₀(k)和n₁(k)满足以下条件：

其中，Z₀为集合{0,1,…,N}，n₀(k)T₀和n₁(k)T₀分别代表u(k)和u(k-1)在周期[kT(k+1)T]内作用在被控对象上的时间；σ(k)∈Z₀是切换信号，其取值由映射

[n₁(k)n₀(k)]→σ(k)确定，

为二维实数空间，

为一维实数空间，如下：

步骤3)设计形如u(k)＝Kx(k)的状态反馈控制器，得到闭环网络化控制系统模型如下：

x(k+1)＝(A+B_0σ(k)K)x(k)+B_1σ(k)Kx(k-1) (5)其中，K为状态反馈增益矩阵，系统初始状态满足以下条件：

其中，U为给定常数矩阵，x(-i)为i＝0,1时的状态量，v_i为与状态量x(-i)同维数的向量；

步骤4)考虑实际系统中存在输入约束：

其中，u_i为系统的第i个控制分量，

为已知的常数；

满足输入约束(7)并且使得闭环系统(5)指数稳定的状态反馈控制器通过求解以下线性矩阵不等式LMI得到：

其中λ和μ为给定的正标量，并且满足λ＜1、μ≥1和λ＜μ^-1/2，通过求解以上LMI得到矩阵α，R_j，S_j，V，X，那么控制器u(k)＝VX^-1x(k)满足约束条件(7)，并且使得闭环系统(5)指数稳定并具有指数衰减率ρ＝λμ^1/2。

本发明的有益效果主要表现在：本发明设计了一种具有输入约束的网络化倒立摆系统的时延补偿方法。由于网络化倒立摆控制系统中存在时变短时延问题，传统的点对点的控制算法已经不再适用，本发明针对时变短时延问题，利用切换系统方法有效的解决了时延补偿问题，考虑在实际系统中存在输入约束问题，该方法设计了满足输入约束的状态反馈控制器，实现了网络化倒立摆系统的稳摆控制，并且具有较好的控制效果。

附图说明

图1是网络化倒立摆控制系统平台结构示意图。

图2是倒立摆结构示意图。

图3是网络化控制系统的时序图。

图4是网络化倒立摆控制系统实验结果。

图5是实时的网络诱导时延分布图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清晰，下面结合附图和实际实验对本发明的技术方案做进一步描述。

参照图1～图5，一种具有输入约束的网络化倒立摆系统的时延补偿方法，网络化倒立摆控制系统平台结构图如图1所示，首先根据所获取的倒立摆的状态空间方程建立网络化倒立摆的离散切换系统模型，根据所得到的网络化倒立摆的离散切换系统模型设计满足输入约束的状态反馈控制器，使得网络化倒立摆控制系统指数稳定。

所述具有输入约束的网络化倒立摆系统的时延补偿方法包括以下步骤：

步骤1)如图2所示，对于直线一级倒立摆系统，在忽略各种摩擦力和空气阻力之后，它可以抽象成小车和均匀赶组成的系统，是一个典型的运动的刚体系统，可以应用牛顿—欧拉方法建立其运动学模型：

其中，小车的质量为M＝1.096kg，摆杆的质量为m＝0.109kg，小车的摩擦系数为b＝0.1N/m/sec，摆杆转动轴心到摆杆质心的长度为l＝0.25m，摆杆的惯量为I＝0.00223kg*m²，重力加速度为g＝9.8m/s²，F为小车受到的力，x为小车的位置，θ为摆杆与竖直向下方向的夹角，N和P分别为小车与摆杆相互作用力的水平和竖直方向的分量；

设θ＝π+φ，其中φ为摆杆与竖直向上方向的夹角，单位是弧度。假设φ<<1，对式(13)进行线性化处理并化简，得：

根据式(14)，得到倒立摆的状态空间方程如下：

其中，

为倒立摆系统的状态量；p为小车的位移，

小车的速度，φ为摆杆与竖直向上方向的夹角，

为摆杆角速度；y(t)为系统输出；

为控制输入，倒立摆的系统矩阵

输入矩阵

输出矩阵

另外，针对系统的第四个状态量角速度，可以通过简单的差分法求得，亦可设计状态观测器得到。

步骤2)设置网络化倒立摆系统的采样周期T＝10ms，N＝10，那么时间触发的执行器的工作周期T₀＝1ms，则有

其中，Z₀:＝{0,1,…,10}；

根据连续系统离散化方法，并考虑网络诱导时延的影响，得到离散的切换系统模型如下：

x(k+1)＝Ax(k)+B_0σ(k)·u(k)+B_1σ(k)·u(k-1) (3)

其中，

σ(k)∈Z₀是切换信号，其取值可由映射

[n₁(k) n₀(k)]→σ(k)确定，

为二维实数空间，

为一维实数空间，如下：

步骤3)考虑形如u(k)＝Kx(k)的状态反馈控制器，则由式(3)得闭环网络化控制系统模型：

x(k+1)＝(A+B_0σ(k)K)x(k)+B_1σ(k)Kx(k-1) (5)系统初始状态满足以下条件

其中，U为已知常数矩阵，x(-i)为i＝0,1时的状态量，v_i为与状态量x同维数的向量；

步骤4)考虑实际系统中存在输入约束：

其中，u_i为系统的第i个控制分量，

为已知的常数。

其中λ和μ为正标量，并且满足λ＜1、μ≥1和λ＜μ^-1/2，通过求解以上LMI得到矩阵α，R_j，S_j，V，X，那么控制器u(k)＝VX^-1x(k)满足约束条件(7)，并且使得闭环系统(5)指数稳定并具有指数衰减率ρ＝λμ^1/2；

进一步，在步骤4)中，λ和μ的存在一个可行范围，其中最小的λ和μ通过求解以下一维搜索算法得到，过程如下：

4.1、选取一个较大的λ，使得式(8)有可行解；

4.2、令λ＝λ-Δλ，其中Δλ为搜索步长，验证式(8)是否有可行解；

4.3、如果式(8)有可行解，返回步骤2；否则，λ^*＝λ+Δλ为一维搜索的最小值；

4.4、选取一个较大的μ和λ^*，使得线性矩阵不等式(8)和(9)有可行解；

4.5、令μ＝μ-Δμ，其中Δμ为搜索步长，验证式(8)和(9)是否有可行解；

4.6、如果式(8)和(9)有可行解，返回步骤4.5；否则，μ^*＝μ+Δμ为一维搜索的最小值；

以上一维搜索求出的参数λ^*和μ^*进一步给出了λ和μ的可行范围，结合步骤4)中的λ和μ的范围可知：λ^*≤λ＜1，μ≥μ^*，λ＜μ^-1/2；在实际应用时，可以在可行范围内选择一组λ和μ，利用matlab中的LMI工具箱求解出相应的控制器参数。

已知网络化倒立摆控制系统中存在输入约束

-15m/s²≤u≤15m/s² (15)

在如图1所示的网络化倒立摆控制系统中存在0～4ms的网络诱导时延，所以设置最大网络诱导时延

令Δλ＝0.01，Δμ＝0.001，通过求解上述一维搜索算法可以得到λ^*＝0.95，μ^*＝1.001。那么λ和μ的可行范围是0.95≤λ＜1，μ≥1.001，λ＜μ^-1/2；在可行范围内选取λ＝0.995，μ＝1.005，U＝diag{0.18,0.18,0.18,0.18}，利用matlab中的LMI工具箱求解步骤4)中的优化问题，可得状态反馈控制器增益为：

K＝[2.4826 5.9141 -74.2790 -13.6987] (16)

那么控制器u(k)＝Kx(k)可以使得网络化倒立摆系统指数稳定，并且指数衰减率为ρ＜λμ^-1/2＝0.9925。

网络化倒立摆控制系统的实验结果如图4所示，时延的分布如图5所示。从实验结果可以看出，本发明的方法可以实现网络化倒立摆的稳摆控制，并且控制输入满足输入约束。

以上阐述的是本发明在网络化倒立摆控制系统表现出的良好的控制效果。需要指出的是，本发明不只局限于上述实例，其结果对实际中的网络化控制系统具有重要的参考意义，以本发明的方法为基础，稍加改进即可应用到更多的网络化控制系统中。