CN113325861A - 一种非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法 - Google Patents

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CN113325861A CN202110613502.1A CN202110613502A CN113325861A CN 113325861 A CN113325861 A CN 113325861A CN 202110613502 A CN202110613502 A CN 202110613502A CN 113325861 A CN113325861 A CN 113325861A
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Abstract

本发明公开了一种非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，包含：S1、基于无人机安装的陀螺仪等传感器测量得到的包括滚转角、俯仰角和偏航角的姿态数据，引入四旋翼无人机姿态控制系统的拉格朗日系统模型，结合误差变量，得到误差动力学模型；S2、根据步骤S1的数据，生成非奇异预设时间控制器；S3、基于所述非奇异预设时间控制器，控制四旋翼无人机姿态在预设时间内跟踪上期望姿态。其优点是：该方法基于反馈控制技术，通过预设时间控制概念生成非奇异预设时间控制器，保证存在外部干扰情况下四旋翼无人机的姿态误差能在预设时间内收敛到原点的一个邻域内，实现高精度的姿态跟踪。

Description

一种非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法
技术领域
本发明涉及四旋翼无人机姿态系统姿态跟踪控制领域，具体涉及一种四旋翼无人机姿态控制系统非奇异预设时间姿态跟踪控制方法。
背景技术
四旋翼无人机因其优良的性能迅速获得了各界的关注，成为研究的热点。与固定翼无人机相比，它具有可垂直起降、空中悬停的优点；与单旋翼无人直升机相比，它具有机械结构更简单、安全性更好且制造成本更低的优点。因此，近年来四旋翼无人机在植保、编队表演、森林灭火以及物流配送等领域应用。但由于四旋翼无人机控制系统是一个典型的非线性系统，且在飞行环境中总会存在风力等干扰，因此，对四旋翼无人机快速、稳定的轨迹跟踪控制方法的研究越来越受到广大学者的关注。
由于传统的控制算法仅能保证系统的渐进稳定性或指数稳定性，即随着时间趋于无穷系统的状态误差趋于原点，有限/固定时间控制方案近年来被广泛研究。申请公布号CN111026160 A的发明专利设计了一种基于扰动估计信息的固定时间轨迹跟踪控制方案，保证无人机的角度、角速度误差以及位置、速度误差均在固定时间内收敛到0。虽然相比传统的控制方案在稳定速度、稳定精度方面有了很大的提高，但有限/固定时间控制方案仅能估计收敛时间的上界，换而言之，其所估计的收敛时间总是长于系统真正的收敛时间的。针对此问题，【Yongduan Song,Yujuan Wang,John Holloway,Miroslav Krstic.Time-varyingfeedback for regulation of normal-form nonlinear systems in prescribed finitetime.Automatica,83:243-251,09 2017】提出了预设时间控制的概念，保证系统在存在匹配不确定项的情况下在预设的时间内达到稳定，且在该时间点收敛到0。但作者提到当系统状态存在测量噪声时即系统测量的状态信息有偏差时，系统会出现奇异问题。同时，由于实际控制系统中采样周期不可能设置无限小，因此仅能保证系统状态误差收敛到原点的一个邻域内，故系统仍会出现奇异问题。
综上所述，四旋翼无人机在执行某些精确的任务时需要在指定的时刻跟踪上期望的轨迹，但现有的有限/固定时间控制方案无法保证该控制目标。因此研究预设时间控制显得尤为重要。而在实际控制系统中，解决存在测量误差或由于系统自身限制导致的奇异问题可以保证系统的安全性和可靠性。从长远来看，研究该问题具有重要的理论意义和实际应用价值。
发明内容
本发明的目的在于提供一种非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，基于反馈控制技术，通过预设时间控制的概念设计非奇异预设时间控制器，保证存在外部干扰情况下四旋翼无人机的姿态误差能在预设时间内收敛到原点的一个邻域内，实现高精度的姿态跟踪。本发明的控制方法可主要应用在使用四旋翼无人机完成高危、限时任务的场合，如编队表演、森林灭火、快递配送等任务中的路径精确跟踪。
为了达到上述目的，本发明通过以下技术方案实现：
一种非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，包含：
S1、基于四旋翼无人机的三自由度姿态数据，引入四旋翼无人机姿态控制系统的拉格朗日系统模型，结合误差变量，得到误差动力学模型；
S2、根据步骤S1的数据，基于预设时间控制概念生成非奇异预设时间控制器；
S3、基于所述非奇异预设时间控制器，控制四旋翼无人机姿态在预设时间内跟踪上期望姿态。
可选的，所述步骤S1具体包含：
所述四旋翼无人机的三自由度姿态数据包含滚转角φ、俯仰角θ和偏航角ψ，
引入四旋翼无人机姿态控制系统的拉格朗日系统模型为：
Figure BDA0003097002660000021
其中Θ＝[φ,θ,ψ]T∈R3表示四旋翼无人机的位置和姿态向量，
Figure BDA0003097002660000022
是作用在滚转、俯仰、偏航通道上的控制力矩，它由四旋翼无人机的四个电机带动旋翼旋转提供的升力所合成；若令ω1，ω2，ω3，ω4分别表示四个电机的转速，那么相应的控制力以及控制力矩可由
Figure BDA0003097002660000031
和
Figure BDA0003097002660000032
求得，其中
Figure BDA0003097002660000033
和
Figure BDA0003097002660000034
与空气密度、螺旋桨半径、叶片数量以及叶片的几何形状、升力和阻力系数有关，每个姿态通道上的控制力矩可由如下公式求得
Figure BDA0003097002660000035
其中，l表示各电机到四旋翼无人机质心的距离。
Figure BDA0003097002660000036
表示四旋翼无人机在飞行过程中受到的有界的外部干扰，且其中每一项分别作用在姿态系统的三个通道上；
Figure BDA0003097002660000037
是一个对称矩阵，其定义为：
Figure BDA0003097002660000038
其中J11＝I，J13＝-I11Sθ，J22＝I22C2φ+I33S2φ，J23＝(I22-I33)CφSφCθ，J33＝I11S2θ+I22S2φC2θ+I33C2φC2θ；C·和S·分别被定义为
Figure BDA0003097002660000039
和
Figure BDA00030970026600000310
Ijj(j＝1,2,3)表示惯性矩；矩阵
Figure BDA00030970026600000311
定义为
Figure BDA00030970026600000312
其中，
c11＝0
Figure BDA00030970026600000313
Figure BDA00030970026600000314
Figure BDA00030970026600000315
c22＝(I33-I22)φCφSφ
Figure BDA00030970026600000316
Figure BDA00030970026600000317
Figure BDA00030970026600000318
Figure BDA0003097002660000041
Figure BDA0003097002660000042
定义Θd为期望的跟踪信号，则跟踪误差Θe可定义为Θe＝Θ-Θd，令辅助变量x1和x2，x1＝Θe，
Figure BDA0003097002660000043
那么四旋翼无人机姿态系统被转换为如下误差子系统，
Figure BDA0003097002660000044
其中，Δ表示四旋翼无人机的传感器正常工作时存在的测量误差。
可选的，引入一个分段时变函数μ1以保证系统状态误差在预设时间内达到稳定，
Figure BDA0003097002660000045
其中，t0表示系统的初始时间，T1为指定的收敛时间即预设时间，T1＞0，t1为常数且满足t0＜t1＜t0+T1，μ1(0)＝1，κ1＝2(t0+T1-t1)/πχ1，χ1是一个正的小常数。
可选的，所述步骤S2包含：
基于步骤S1的数据，基于预设时间控制概念生成非奇异预设时间控制器为：
Figure BDA0003097002660000046
其中，仿真中的控制参数k1为大于0的常数，
Figure BDA0003097002660000047
Figure BDA0003097002660000048
其中，m，k为大于0的常数；
令w1＝μx1，w2＝dw1/dt，其中，
Figure BDA0003097002660000049
定义一个新的辅助变量z，
z＝w2+kw1 (7)
即w2＝-kw1+z (8)
而根据公式(6)，可以得到
Figure BDA0003097002660000051
其中，
Figure BDA0003097002660000052
可选的，所述步骤S2还包含：
分析四旋翼无人机姿态控制系统状态是否在预设的时间内收敛到一个界内。
可选的，所述步骤S2中，
采用Lyapuonv稳定性理论分析四旋翼无人机姿态控制系统状态是否在预设的时间内收敛到一个界内。
可选的，根据设计正定的Lyapunov函数V＝zTz/2，对其求导可得
Figure BDA0003097002660000053
进一步化简可得到
Figure BDA0003097002660000054
其中，
Figure BDA0003097002660000055
进一步可得
Figure BDA0003097002660000056
其中，
Figure BDA0003097002660000057
再根据线性系统(7)定义，有
Figure BDA0003097002660000058
令
Figure BDA0003097002660000059
结合公式(12)和公式(13)，可得
Figure BDA00030970026600000510
因为不等式(14)括号内的各项均从t0开始衰减，因此存在正常数M1，δ1，γ1使得
Figure BDA0003097002660000061
再根据
Figure BDA0003097002660000062
和w的定义，有
Figure BDA0003097002660000063
Figure BDA0003097002660000064
故可推导出
Figure BDA0003097002660000065
其中，γ2定义为
Figure BDA0003097002660000066
根据分段时变函数μ1的定义，需要对公式(18)进行分类讨论：
当||x1||＞χ1时，系统状态误差x(t)将逐渐向0衰减；
当||x1||≤χ1时，因为v是减函数，故有
Figure BDA0003097002660000067
在外部干扰τd有界的情况下，可知系统状态误差会收敛到原点的一个邻域内。
本发明与现有技术相比具有以下优点：
本发明提高了一种非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，其基于反馈控制技术，通过预设时间控制的概念设计非奇异预设时间控制器，保证存在外部干扰情况下四旋翼无人机的姿态误差能在预设时间内收敛到原点的一个邻域内，解决了现有的预设时间控制的类奇异性问题，实现高精度的姿态跟踪。
进一步的，本发明的非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法与现有的控制方案相比优点在于：1)本发明引入正弦函数设计一组分段时变函数，可以有效防止奇异问题的出现；2)本发明的非奇异预设时间控制器保证了系统状态误差在预设时间内收敛到原点的一个邻域内，且收敛到此邻域的时刻是用户根据实际控制需求灵活设定的；3)本发明提出的非奇异预设时间控制器设计方法不仅适用于四旋翼无人机姿态跟踪控制，且同样适用于其他二阶系统；4)本发明的控制方法使系统的追踪误差可以在用户指定的收敛时间内收敛，提高了控制器的灵活性，增大其应用范围。
附图说明
图1为本发明的一种四旋翼无人机非奇异预设时间姿态跟踪控制方法示意图；
图2为本发明的四旋翼无人机姿态轨迹跟踪误差x1示意图；
图3为本发明的四旋翼无人机姿态轨迹跟踪误差x2示意图；
图4为本发明的四旋翼无人机姿态轨迹跟踪的力矩图；
图5为本发明的分段时变函数μ1示意图。
具体实施方式
下面详细说明本发明的具体实施，有必要在此指出的是，以下实施只是用于本发明的进一步说明，不能理解为对本发明保护范围的限制，该领域技术熟练人员根据上述本发明内容对本发明做出的一些非本质的改进和调整，仍然属于本发明的保护范围。
四旋翼无人机姿态跟踪控制领域中，如何保证其姿态的快速跟踪一直是该领域的热点问题。但现有的有限/固定时间控制方案仅能估计收敛时间的上界，换而言之，该方案估计的收敛时间的上界总是大于系统真实的收敛时间的。同时，在外部干扰以及不确定性因素的影响下，如何保证四旋翼无人机姿态跟踪控制系统的鲁棒性和稳定性也是当前研究的一个难点。为此本发明提供一种四旋翼无人机非奇异预设时间姿态跟踪控制方法。本发明提供了一种四旋翼无人机非奇异预设时间姿态跟踪控制方法，该方法包括以下步骤：
如图1所示，S1、基于四旋翼无人机携带的陀螺仪等姿态传感器测量得到的包括俯仰角θ、滚转角φ以及偏航角ψ的三自由度姿态数据，引入四旋翼无人机姿态控制系统的拉格朗日系统模型，结合误差变量，得到误差动力学模型。
所述步骤S1具体包含：
引入四旋翼无人机姿态控制系统的拉格朗日系统模型为：
Figure BDA0003097002660000081
其中Θ＝[φ,θ,ψ]T∈R3表示四旋翼无人机的位置和姿态向量，
Figure BDA0003097002660000082
是作用在滚转、俯仰、偏航通道上的控制力矩，它由四旋翼无人机的四个电机带动旋翼旋转提供的升力所合成；若令ω1，ω2，ω3，ω4分别表示四个电机的转速，那么相应的控制力以及控制力矩可由
Figure BDA0003097002660000083
和
Figure BDA0003097002660000084
求得，其中
Figure BDA0003097002660000085
和
Figure BDA0003097002660000086
与空气密度、螺旋桨半径、叶片数量以及叶片的几何形状、升力和阻力系数有关，此时，每个姿态通道上的控制力矩可由如下公式求得
Figure BDA0003097002660000087
其中，l表示各电机到四旋翼无人机质心的距离。
Figure BDA0003097002660000088
表示四旋翼无人机在飞行过程中受到的风等有界的外部干扰，且其中每一项分别作用在姿态系统的三个通道上。
Figure BDA00030970026600000815
是一个对称矩阵，其定义为：
Figure BDA00030970026600000810
其中J11＝I，J13＝-I11Sθ，J22＝I22C2φ+I33S2φ，J23＝(I22-I33)CφSφCθ，J33＝I11S2θ+I22S2φC2θ+I33C2φC2θ；C·和S·分别被定义为
Figure BDA00030970026600000811
和
Figure BDA00030970026600000812
Ijj(j＝1,2,3)表示惯性矩；矩阵
Figure BDA00030970026600000813
定义为
Figure BDA00030970026600000814
其中，
c11＝0
Figure BDA0003097002660000091
Figure BDA0003097002660000092
Figure BDA0003097002660000093
c22＝(I33-I22)φCφSφ
Figure BDA0003097002660000094
Figure BDA0003097002660000095
Figure BDA0003097002660000096
Figure BDA0003097002660000097
进一步的，定义Θd为期望的跟踪信号，则跟踪误差Θe可定义为Θe＝Θ-Θd，令误差辅助变量x1和x2，x1＝Θe，
Figure BDA0003097002660000098
(x1和x2都是跟踪误差，其中x2是x1的导数(因为这是一个二阶系统)，可理解为x1表示角度，x2表示角速度，即角度的变化率)，那么四旋翼无人机姿态系统被转换为如下误差子系统即非线性误差动力学模型，
Figure BDA0003097002660000099
其中，Δ表示四旋翼无人机的传感器正常工作时存在的测量误差，本实施例的仿真中，Δi＝0.001rand(1+3sin(2π/(100rand)t))/4，其中rand∈(0,1)是一个随机函数。
引入一个分段时变函数μ1以保证系统状态误差在预设时间T1内达到稳定(请见图5)，
Figure BDA00030970026600000910
采用上述分段时变函数μ1将非线性误差动力学模型转换为线性模型。
其中，t0表示系统的初始时间(t0一般认为是即无人机控制系统启动时间为时间起始点)，T1为指定的收敛时间即预设时间，T1＞0，t1为常数且满足t0＜t1＜t0+T1，μ1(0)＝1，κ1＝2(t0+T1-t1)/πχ1，χ1是一个正的小常数。在本实施例的仿真中，预设时间T1＝5s，t1＝0.5s，μ1(t0)＝1，χ1＝0.001。
S2、根据步骤S1的数据，基于预设时间控制概念生成非奇异预设时间控制器，分析四旋翼无人机姿态控制系统状态是否在预设的时间内收敛到一个界内。
具体地，所述步骤S2包含：基于步骤S1的数据，针对四旋翼无人机姿态控制系统基于预设时间控制概念生成非奇异预设时间控制器为：
Figure BDA0003097002660000101
其中，仿真中的控制参数k1为大于0的常数，
Figure BDA0003097002660000102
Figure BDA0003097002660000103
其中，m为大于0的常数，k是一个常数且满足k＞0；在本实施例中，k1＝0.1，m＝2，k＝0.1。
令w1＝μx1，w2＝dw1/dt，其中，
Figure BDA0003097002660000104
定义一个新的辅助变量z，
z＝w2+kw1 (7)
即w2＝-kw1+z (8)
而根据公式(6)，可以得到
Figure BDA0003097002660000105
其中，
Figure BDA0003097002660000106
进一步的，所述步骤S2中，采用Lyapuonv稳定性理论分析四旋翼无人机姿态控制系统状态是否在预设的时间内收敛到一个界内。
具体地，根据设计正定的Lyapunov函数V＝zTz/2，对其求导可得
Figure BDA0003097002660000107
其中，
Figure BDA0003097002660000111
由μ1和Δ的定义可知L1是有界的。
进一步化简可得到
Figure BDA0003097002660000112
其中，
Figure BDA0003097002660000113
L2＝(L1+||d||)2。
进一步可得
Figure BDA0003097002660000114
其中，
Figure BDA0003097002660000115
再根据线性系统(7)定义，有
Figure BDA0003097002660000116
令
Figure BDA0003097002660000117
结合公式(12)和公式(13)，可得
Figure BDA0003097002660000118
因为不等式(14)括号内的各项均从t0开始衰减，因此存在正常数M1，δ1，γ1使得
Figure BDA0003097002660000119
再根据
Figure BDA00030970026600001110
和w的定义，有
Figure BDA00030970026600001111
Figure BDA00030970026600001112
故可推导出
Figure BDA00030970026600001113
其中，γ2定义为
Figure BDA0003097002660000121
根据分段时变函数μ1的定义，需要对公式(18)进行分类讨论：
当||x1||＞χ1时，系统状态误差x(t)将逐渐向0衰减；
当||x1||≤χ1时，因为v是减函数，故有
Figure BDA0003097002660000122
在外部干扰τd有界的情况下，可知系统状态误差会收敛到原点的一个邻域内。
S3、基于所述非奇异预设时间控制器，在四旋翼无人机姿态控制系统存在外部干扰和测量误差的情况下，控制四旋翼无人机姿态在预设时间内跟踪上期望姿态。
在本发明的非奇异预设时间控制器的作用下，四旋翼无人机姿态控制系统将在预设时间T1内收敛到原点的一个邻域内。在本实施例中，如仿真图2和图3所示，四旋翼无人机姿态跟踪误差x1和x2在预设时间4.5s内即可收敛到原点的一个邻域内，且在4.5s到5s这个时间段一直保持在该邻域内。仿真图4所示的力矩图显示本发明设计的控制器不存在奇异问题，且该控制力矩的大小是适合应用于四旋翼无人机的。如仿真图5所示，分段时变函数μ1在时间趋近5s时会趋近一个常数，该图进一步说明本发明的非奇异预设时间控制器不存在奇异问题。故可以发现使用本发明提出的非奇异预设时间姿态跟踪控制律可以在预设时间内有效的完成姿态跟踪任务。
综上所述，本发明的一种四旋翼无人机非奇异预设时间姿态跟踪控制方法，基于反馈控制技术，通过预设时间控制的概念设计非奇异预设时间控制器，保证存在外部干扰和测量误差情况下四旋翼无人机的姿态误差能在预设时间内收敛到原点的一个邻域内，实现高精度的姿态跟踪。
尽管本发明的内容已经通过上述优选实施例作了详细介绍，但应当认识到上述的描述不应被认为是对本发明的限制。在本领域技术人员阅读了上述内容后，对于本发明的多种修改和替代都将是显而易见的。因此，本发明的保护范围应由所附的权利要求来限定。

Claims (7)

1.一种非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，其特征在于，包含：
S1、基于四旋翼无人机的三自由度姿态数据，引入四旋翼无人机姿态控制系统的拉格朗日系统模型，结合误差变量，得到误差动力学模型；
S2、根据步骤S1的数据，基于预设时间控制概念生成非奇异预设时间控制器；
S3、基于所述非奇异预设时间控制器，控制四旋翼无人机姿态在预设时间内跟踪上期望姿态。
2.如权利要求1所述的非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤S1具体包含：
所述四旋翼无人机的三自由度姿态数据包含滚转角φ、俯仰角θ和偏航角ψ，
引入四旋翼无人机姿态控制系统的拉格朗日系统模型为：
Figure FDA0003097002650000011
其中
Figure FDA0003097002650000012
表示四旋翼无人机的位置和姿态向量，
Figure FDA0003097002650000013
是作用在滚转、俯仰、偏航通道上的控制力矩，它由四旋翼无人机的四个电机带动旋翼旋转提供的升力所合成；若令ω1，ω2，ω3，ω4分别表示四个电机的转速，那么相应的控制力以及控制力矩可由
Figure FDA0003097002650000014
和
Figure FDA0003097002650000015
求得，其中
Figure FDA0003097002650000016
和
Figure FDA0003097002650000017
与空气密度、螺旋桨半径、叶片数量以及叶片的几何形状、升力和阻力系数有关，每个姿态通道上的控制力矩可由如下公式求得
Figure FDA0003097002650000018
其中，l表示各电机到四旋翼无人机质心的距离；
Figure FDA0003097002650000019
表示四旋翼无人机在飞行过程中受到的有界的外部干扰，且其中每一项分别作用在姿态系统的三个通道上；
Figure FDA00030970026500000110
是一个对称矩阵，其定义为：
Figure FDA0003097002650000021
其中J11＝I，J13＝-I11Sθ，J22＝I22C2φ+I33S2φ，J23＝(I22-I33)CφSφCθ，J33＝I11S2θ+I22S2φC2θ+I33C2φC2θ；C·和S·分别被定义为
Figure FDA0003097002650000022
和
Figure FDA0003097002650000023
Ijj(j＝1,2,3)表示惯性矩；矩阵
Figure FDA0003097002650000024
定义为
Figure FDA0003097002650000025
其中，
c11＝0
Figure FDA0003097002650000026
Figure FDA0003097002650000027
Figure FDA0003097002650000028
c22＝(I33-I22)φCφSφ
Figure FDA0003097002650000029
Figure FDA00030970026500000210
Figure FDA00030970026500000211
Figure FDA00030970026500000212
定义Θd为期望的跟踪信号，则跟踪误差Θe可定义为Θe＝Θ-Θd，令辅助变量x1和x2，x1＝Θe，
Figure FDA00030970026500000213
那么四旋翼无人机姿态系统被转换为如下误差子系统，
Figure FDA00030970026500000214
其中，Δ表示四旋翼无人机的传感器正常工作时存在的测量误差。
3.如权利要求2所述的非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，其特征在于，引入一个分段时变函数μ1以保证系统状态误差在预设时间内达到稳定，
Figure FDA0003097002650000031
其中，t0表示系统的初始时间，T1为指定的收敛时间即预设时间，T1＞0，t1为常数且满足t0＜t1＜t0+T1，μ1(0)＝1，κ1＝2(t0+T1-t1)/πχ1，χ1是一个正的小常数。
4.如权利要求3所述的非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤S2包含：
基于步骤S1的数据，基于预设时间控制概念生成非奇异预设时间控制器为：
Figure FDA0003097002650000032
其中，仿真中的控制参数k1为大于0的常数，
Figure FDA0003097002650000033
Figure FDA0003097002650000034
其中，m，k为大于0的常数；
令w1＝μx1，w2＝dw1/dt，其中，
Figure FDA0003097002650000035
定义一个新的辅助变量z，
z＝w2+kw1 (7)
即w2＝-kw1+z (8)
而根据公式(6)，可以得到
Figure FDA0003097002650000036
其中，
Figure FDA0003097002650000037
5.如权利要求1所述的非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤S2还包含：
分析四旋翼无人机姿态控制系统状态是否在预设的时间内收敛到一个界内。
6.如权利要求5所述的非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤S2中，
采用Lyapuonv稳定性理论分析四旋翼无人机姿态控制系统状态是否在预设的时间内收敛到一个界内。
7.如权利要求6所述的非奇异预设时间四旋翼无人机姿态跟踪控制方法，其特征在于，
根据设计正定的Lyapunov函数V＝zTz/2，对其求导可得
Figure FDA0003097002650000041
进一步化简可得到
Figure FDA0003097002650000042
其中，
Figure FDA0003097002650000043
进一步可得
Figure FDA0003097002650000044
其中，
Figure FDA0003097002650000045
再根据线性系统(7)定义，有
Figure FDA0003097002650000046
令
Figure FDA0003097002650000047
结合公式(12)和公式(13)，可得
Figure FDA0003097002650000048
因为不等式(14)括号内的各项均从t0开始衰减，因此存在正常数M1，δ1，γ1使得
Figure FDA0003097002650000049
再根据
Figure FDA00030970026500000410
和w的定义，有
Figure FDA0003097002650000051
Figure FDA0003097002650000052
故可推导出
Figure FDA0003097002650000053
其中，γ2定义为
Figure FDA0003097002650000054
根据分段时变函数μ1的定义，需要对公式(18)进行分类讨论：
当||x1||＞χ1时，系统状态误差x(t)将逐渐向0衰减；
当||x1||≤χ1时，因为v是减函数，故有
Figure FDA0003097002650000055
在外部干扰τd有界的情况下，可知系统状态误差会收敛到原点的一个邻域内。
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