CN113177295B - 一种地铁网络列车时刻表快速编制方法 - Google Patents

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Abstract

本发明属于城市轨道交通控制技术领域，涉及一种地铁网络列车时刻表快速编制方法，包括：S1：设置目标地铁网络的基础参数；S2：设置各线路区间的运行时间、停站时间、发车间隔和旅行时间的范围；采集现实数据，设置各换乘车站站台间的换乘走行时间；S3：采集地铁网络的客流信息；S4：采用广义Benders分解算法进行编制；S5：获得大型地铁网络的协同优化列车时刻表和线路间列车接续情况。本发明采用广义Benders分解算法将原问题分解为更易求解的子问题和主问题，具有较好的求解效率，且能够最大程度减少乘客等待时间，提高地铁系统的换乘效率和服务水平。

Description

一种地铁网络列车时刻表快速编制方法
技术领域
本发明属于城市轨道交通控制技术领域，涉及一种地铁网络列车时刻表快速编制方法，尤其涉及一种地铁网络下基于广义Benders分解算法的地铁网络列车时刻表快速编制计算方法。
背景技术
随着全世界城市化和机动化进程的加剧，城市中交通拥堵、意外事故和尾气排放所引起的交通污染等问题越来越严重。为缓解城市交通拥堵，倡导低碳环保出行，优先发展城市公共交通已成为国内外广泛采用的重要举措。作为公共交通的重要组成部分，城市轨道交通具有运量大、速度快、节能环保和准时可靠等特点，而受到各大城市的青睐。随着居民出行的急剧增加和出行需求的多样化，在城市轨道交通网络中的乘客为完成出行，往往从起始点到目的地，有时需要完成一次(或多次)不同线路之间的接驳转运，即换乘。对城市轨道交通换乘站来说，换乘客流比例较高，而换乘效率直接影响乘客出行时间和乘客对地铁系统服务水平的满意度。高质量的换乘可以减少出行时间，增强地铁的吸引力，而不合理的换乘则对出行的便捷性、舒适性和出行需求产生不利影响。随着北京和上海等城市轨道交通网络的快速扩大，网络运营提高了地铁的可达性和覆盖范围，同时也存在大量的换乘客流需求。如果线路间列车运行计划不相互协调，会给乘客换乘带来不便，从而产生较长的等待时间，降低换乘的衔接性和流畅性。因此，研究地铁网络中列车衔接和时刻表优化问题，对地铁运营管理具有重要的指导作用和现实意义。
列车时刻表优化是轨道交通网络运营管理的重要组成部分，通过调整线路上列车的到发时间等，使不同线路上的列车同步到达换乘站，或换乘乘客下车后走行至换乘站台赶上接续列车。通过优化后的时刻表，乘客可以体验无缝换乘衔接和良好的地铁系统服务水平，从而实现换乘乘客和进站乘客等待时间的最小化。
面对具有大量线路、车站和列车的大规模地铁网络，往往需要较长的求解时间来编制时刻表。而在城市轨道交通运营中，由于工作日、节假日、大型活动和疫情爆发期间的客流特性不同，需根据历史或预测的客流特征来编制新时刻表，这给地铁运营公司带来了巨大的计算负担。因此，针对大规模地铁网络的列车时刻表编制问题提出一种计算效率高的优化算法是很有必要的。
本发明提供一种地铁网络列车时刻表快速编制计算方法，以期最大程度减少换乘乘客和进站乘客的总等待时间，并提高线路间换乘效率和客运服务水平。
发明内容
面对大规模地铁网络问题时计算负荷大的情况，本发明公开了一种新的基于广义Benders分解算法的时刻表快速编制计算方法，通过在合理范围内调整两列接续列车的到发时间，从而达到快速计算得到协同优化的时刻表，最大程度减少进站乘客和换乘乘客等待时间的目标。
为了解决上述问题，本发明提出一种基于广义Benders分解算法的地铁网络列车时刻表快速编制方法，具体技术方案如下：
一种地铁网络列车时刻表快速编制方法，包括以下步骤：
S1：设置目标地铁网络的基础参数；
所述基础参数包括：线路数量、每条线路的车站数和目标地铁网络中不同线路间换乘车站情况等；
S2：设置各线路区间的运行时间、停站时间、发车间隔和旅行时间的范围；
采集现实数据，设置各换乘车站站台间的换乘走行时间；
S3：采集地铁网络的客流信息；
所述地铁网络的客流信息包括：换乘车站的换乘乘客人数和进站的乘客人数；
S4：为了快速编制大规模地铁网络列车时刻表，采用广义Benders分解算法进行编制，具体包括以下步骤：
S41：给定计划列车数量和时域；
S42：根据目标大型地铁网络(即大规模地铁网络)相关参数和客流信息等，建立时刻表协同优化模型；
S43：利用广义Benders分解算法，将步骤S42构建的时刻表协同优化模型，分解为容易求解的子问题和主问题，并迭代求解子问题和主问题，直至收敛至最优解；
S5：由步骤S4得到最优解，获得大型地铁网络的协同优化列车时刻表和线路间列车接续情况。
在上述技术方案的基础上，步骤S42的具体步骤如下：
S421、构建时刻表线性约束：
利用公式(1)得到各线路上每列车到达各车站的时间，利用公式(2)得到各线路上每列车离开各车站的时间，
其中：i是列车标号；s是车站标号；m是线路标号；M表示：目标大型地铁网络中所有线路标号的集合；Sm表示：目标大型地铁网络中线路m中所有车站标号的集合；Nm表示：目标大型地铁网络中线路m中所有列车标号的集合；表示：在线路m上，列车i到达车站s的时间；/>表示：在线路m上，列车i离开车站s-1的时间；/>表示：在线路m上，列车i从车站s-1到车站s的运行时间；/>表示：在线路m上，列车i离开车站s的时间；/>表示：在线路m上，列车i在车站s的停站时间；
为满足运营需求，同一车站内两列相邻列车间的发车间隔时间需要满足如式(3)所述约束，
其中，和/>分别是线路m上车站s所规定的两列相邻列车间最小发车间隔时间和最大发车间隔时间；
为保证列车i从离开起始站到到达终点站的时间在合理的总旅行时间内，列车i的总旅行时间需要满足如式(4)所述约束，
其中，是线路m上列车i到达终点站的时间；/>是线路m上列车i离开起始站的时间；/>和/>分别是线路m上规定的最小旅行时间和最大旅行时间；
考虑到运营安全和服务水平，线路m上列车i在车站s的停站时间需要满足如式(5)所述约束，从车站s到车站s+1的运行时间/>需要满足如式(6)所述约束，
其中：和/>分别是线路m上车站s规定的最小和最大停站时间；/>和/>分别是线路m上车站s规定的最小和最大区间运行时间；
为保证所有列车在计划周期H内完成行程，是线路m上最后一列车到达终点站的时间，需满足如式(7)所述约束：
S422、计算换乘等待时间线性约束：
线路m和线路m′交汇于s站，若在换乘站s实现线路m至线路m′的换乘，则需要满足乘客乘坐线路m′上列车i′到达后，换乘走行至线路m的换乘站台时，列车还未驶离换乘站s；
为准确表示列车在换乘站的接续，引入0-1变量满足如式(8)所述约束，
其中，M是足够大的正数，是在换乘站内两条线路站台间的走行时间；T是目标大型地铁网络中所有换乘站的集合，例如：s是线路m′到m的换乘站；注意，如果/>那么/>意味着线路m′上列车i′到达换乘站s足够早，而线路m上接续列车i离开足够晚，则列车i从时间上来看能够接续成功；如果/>那么/>这时情况则相反，/>是乘客从线路m′上的列车i′到达换乘站s后最早能够换乘成功的时间，而/>是线路m上接续列车i的发车时间；
基于对的定义，引出/>满足如式(9)所述约束，
其中，基于所有乘客都将登上第一列接续列车的假设，表示两条相交线路在换乘站实际的列车衔接情况；如果线路m上的列车i，而不是列车i-1，是线路m′上列车i′的第一列接续列车，则得到/>因此，由式(9)分别推出
根据上述约束，如果线路m上的列车i是线路m′上列车i′的第一列接续列车，则和/>满足式(10)，
换乘站s内在两列车间换乘乘客的等待时间计算如约束式(11)所示，如果线路m′上的列车i′成功接续线路m上列车i，则换乘等待时间为列车i′到其他列车的换乘等待时间则为0，
S423、最小化乘客等待时间的目标函数：
为了最小化乘客的等待时间，所述等待时间包括：换乘乘客和从地铁网络外进入车站乘客的等待时间，构建目标函数如式(12)所示，
其中，是相交线路m′和m上列车i′和i在换乘站s的换乘需求，/>是进入车站s等待线路m上列车i的平均乘客到达率；目标函数中的第一项表示所有换乘乘客的等待时间，而第二项表示从地铁网络外进入车站乘客的等待时间；因最大程度减少换乘等待时间会增加列车的衔接数量，延长停站时间和发车间隔时间，从而影响不需要换乘乘客的出行体验；预先给定的权重ρ1和ρ2可以平衡换乘乘客和进入车站乘客的等待时间；
S424、建立时刻表协同优化模型：
结合上述目标函数和约束，构建时刻表协同优化模型如式(13)所示，
上述时刻表协同优化模型是一个混合整数非线性规划问题，称为：时刻表编制问题，其约束是线性的，而目标函数是非线性的。
在上述技术方案的基础上，包含大量0-1变量的混合整数非线性规划问题较复杂，难以在较短时间内求解包含大量线路、车站的大规模地铁网络问题。为减轻大规模问题的计算负担，提出：以广义Benders分解算法来代替传统的集中式求解方法。
基于广义Benders分解算法将步骤S42构建的时刻表编制问题分为两部分：子问题(SP)和主问题(MP)；将一些复杂变量特别是整数变量暂时固定为给定值，剩余部分称为子问题较容易解决；如果子问题不可行，则需要引入松弛变量，使得子问题可行；然后将子问题求解出的其他决策变量值和对偶变量值构建Benders割，而迭代增加的Benders割和时刻表编制问题中仅涉及复杂变量的约束构成主问题，优化求解复杂变量；最后，将主问题求出的复杂变量值代入子问题再次求解，重复以上过程直至收敛至最优解；
所述Benders割包括：可行割和最优割；
Benders割函数包括：可行割函数和最优割函数。
在上述技术方案的基础上，所述步骤S43具体包括以下步骤：
S431、推导与求解子问题：
根据广义Benders分解算法，在时刻表协同优化模型，即式(13)中，定义两列车是否可以衔接的0-1决策变量作为被赋值的复杂变量，求解子问题得到其他决策变量和/>
首先，将全部设为0或者根据原始时刻表的列车衔接设置初始值/>但固定值可能会导致子问题不可行，故将人工变量/>和/>引入式(8)所示的耦合约束以及目标罚函数来使其可行，而不改变最优解。构建子问题如式(14)所示，
其中，如果对子问题可行，则/>固定/>后，我们得到的混合整数非线性规划子问题远比原始的混合整数非线性规划问题容易处理，通过运用Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件得到对偶变量值，式(14)中加粗的/>和分别是对应约束的对偶变量，将对偶变量作为对偶乘子建立拉格朗日对偶问题；对偶变量的定义域取决于其相关约束的性质；比如/>R代表实数。
然后，结合子问题求出的最优值和/>等，求解下列方程组(15)得到上述对偶变量值，式(14)运用KKT条件后得到方程组(15)，
因整数变量固定后，子问题是原问题的限制问题，故其目标函数的最优值是原问题的上限。最后，将第k次迭代的子问题的目标函数值写作Zk，其中，k＝1，2，...，K；K是最大迭代次数，构建上限UBk如式(16)所示，
UBk＝Zk，k＝1，...，K (16)；
S432、构建Benders割函数和主问题：
一些整数变量的给定值可能对耦合约束(8)不可行，从而使得子问题不可行，因此需基于实际情况，向主问题加入防止问题不可行且不改变最优解的可行割。给定以及子问题中求得的对偶乘子，构建Benders割函数如下，其中可行割函数如式(17)和最优割函数如式(18)，
将所有的Benders割一起构成主问题，主问题的目的在于：通过求解最小化μ(即使得μ最小)；在分解算法的k次迭代中，如果子问题不可行(即式(14)中的人工变量和/>不等于0)，将新的可行割/>加进主问题中；如果子问题能求得最优解(即式(14)中的人工变量/>和/>等于0)，将新的最优割/>加进主问题中；可行割和最优割的数量随着每次迭代而增加，因此，构建包括Kf个可行割和Kp个最优割的主问题如式(19)所示，
其中，Kf+Kp＝K，且μ是标量，其界限考虑实际情况给出，这里没有设置其下限。
应注意，主问题是原问题的松弛问题，它从下接近原问题的目标函数。因此，对第k次迭代，式(19)的目标函数值是原问题目标函数的下界，如式(20)所示，
LBk＝μk，k＝1，...，K (20)
S433、基于广义Benders分解算法求解，具体步骤如下：
第一步：初始化，设置迭代计数k＝1和容差值ε，将整数变量赋初值/>
第二步：求解子问题：
如果固定后，子问题可行，那么求解子问题得到目标函数值Zk、决策变量和对偶变量/>否则，如果固定/>后，子问题不可行，则通过求解松弛子问题得到子问题的解，更新UBk；
第三步：生成Benders割：利用子问题的解，如果子问题不可行，按公式(17)生成可行割将新的可行割/>加进主问题中；如果子问题能求得最优解，按公式(18)生成最优割/>将新的最优割/>加进主问题中；
第四步：求解主问题；
求解式(19)，得到μk和整数变量的新解更新LBk；
第五步：检查收敛：
计算上界UBk和下界LBk，如果UBk-LBk≤ε，则算法终止；否则迭代计数k←k+1，继续第二-五步。
在上述技术方案的基础上，在所述广义Benders分解算法中，当一些复杂决策变量固定时，有下列三种情况：
①子问题可行且有界，只有一个最优解，将最优割加至主问题；
②子问题可行但无界，因原问题也无界，故算法停止(Geoffrion，1972)；
③子问题不可行，将可行割加至主问题。
在上述技术方案的基础上，如果子问题不可行是指：式(14)中的人工变量和不等于0；如果子问题能求得最优解是指：式(14)中的人工变量/>和/>等于0。
本发明的有益技术效果如下：
本发明通过历史或预测的客流信息，针对具有较多线路和车站的大规模地铁网络，提出了一种地铁网络列车时刻表快速编制方法，通过调整列车的到发时间来优化列车间衔接情况，采用广义Benders分解算法将原问题分解为更易求解的子问题和主问题，具有较好的求解效率，且能够最大程度减少乘客等待时间，提高地铁系统的换乘效率和服务水平。
附图说明
本发明有如下附图：
图1示出本发明提供的城市地铁线路示意图。
具体实施方式
为了更清楚地说明本发明，下面结合优选实例和附图对本发明做进一步的说明。附图中相似的部件以相同的附图标记进行表示。本领域技术人员应当理解，下面所具体描述的内容是说明性的，而非限制性的，不应以此限制本发明的保护范围。
为证明所提出的模型和求解方法的实用性，我们对实际大型地铁网络进行试验。图1中的网络是北京地铁网络的一部分，包括15条运营线和51个换乘站，其运行方向在图中用箭头标记。
试验考虑的规划周期是早上8点至10点，共150列车从线路首站发出，每条线10列车。每条线的发车间隔时间的上下限列在了表1中，每个车站的列车停站时间是[10，60]s。相邻车站间的列车运行时间是[120，300]s。另外，根据北京地铁网络实际运营数据设置相交线路m和m′在换乘站s的换乘走行时间根据北京地铁网络的工作日实际客流记录，设置乘客需求。而目标函数中的权重系数设为ρ1＝1，ρ2＝0.2。
表1试验的北京地铁网络中每条线的发车间隔的上下限列表
首先，我们尝试用CPLEX求解器直接求解，但没有得到一个可接受的解。而运用Benders分解算法的情况下，目标函数值为4.82×106s，换乘等待时间为2.13×106s，进站乘客等待时间为2.69×106s。CPU的运行时间是395s，远比CPLEX求解器的计算时间短。计算得到对比表2，利用所提出模型优化时刻表前后的结果。目标函数值，换乘等待时间和进站乘客等待时间均得到显著改善，最明显的是与优化前相比，乘客换乘等待时间降低了20.52％。通过轻微调整列车的到发时间和衔接情况，乘客总等待时间明显减少。
表2列车时刻表优化前后的结果对比表
目标函数(s) 换乘等待时间(s) 进站乘客等待时间(s)
优化前 5.67×106 2.68×106 2.99×106
优化后 4.82×106 2.13×106 2.69×106
提升 14.99％ 20.52％ 10.03％
特别地，表2展示了地铁网络中所有换乘车站的换乘等待时间和相应的改进之处。计算优化前后每个换乘车站上10列车的总换乘等待时间的偏差作为每个换乘节点的改进之处。譬如，从1号线至2号线的建国门站换乘节点在优化前后的换乘等待时间分别为23650s和10240s，故其提升了13410s。而少量换乘节点上换乘等待时间的增加，可以减少整个地铁网络上总的乘客换乘等待时间。因为每条线上每列车在首站发车时间的限制，共有8个换乘节点在规划周期内不能接续成功，一些线路上在前几列车里的乘客可能会等待较长时间。
综上，本发明公开的基于广义Benders分解算法的城市轨道交通列车时刻表快速编制方法，构建了一种考虑列车衔接的时刻表协同优化模型，并运用Benders分解算法将原模型分解为容易求解的子问题和主问题两部分，从而能够快速求解得到协调优化后的列车时刻表，最大程度减少换乘乘客和进站乘客的等待时间，大大提高运营服务水平和乘客出行满意度。
显然，本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所做的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定，对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动，这里无法对所有的实施方式予以穷举，凡是属于本发明的技术方案所引申出的显而易见的变化或变动仍处于本发明的保护范围之列。
本说明书中未做详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。

Claims (5)

1.一种地铁网络列车时刻表快速编制方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1：设置目标地铁网络的基础参数；
所述基础参数包括：线路数量、每条线路的车站数和目标地铁网络中不同线路间换乘车站情况；
S2：设置各线路区间的运行时间、停站时间、发车间隔和旅行时间的范围；
采集现实数据，设置各换乘车站站台间的换乘走行时间；
S3：采集地铁网络的客流信息；
所述地铁网络的客流信息包括：换乘车站的换乘乘客人数和进站的乘客人数；
S4：采用广义Benders分解算法进行编制，具体包括以下步骤：
S41：给定计划列车数量和时域；
S42：根据目标大型地铁网络相关参数和客流信息，建立时刻表协同优化模型；
S43：利用广义Benders分解算法，将步骤S42构建的时刻表协同优化模型，分解为子问题和主问题，并迭代求解子问题和主问题，直至收敛至最优解；
S5：由步骤S4得到最优解，获得大型地铁网络的协同优化列车时刻表和线路间列车接续情况；
步骤S42的具体步骤如下：
S421、构建时刻表线性约束：
利用公式(1)得到各线路上每列车到达各车站的时间，利用公式(2)得到各线路上每列车离开各车站的时间，
其中：i是列车标号；s是车站标号；m是线路标号；M表示：目标大型地铁网络中所有线路标号的集合；Sm表示：目标大型地铁网络中线路m中所有车站标号的集合；Nm表示：目标大型地铁网络中线路m中所有列车标号的集合；表示：在线路m上，列车i到达车站s的时间；表示：在线路m上，列车i离开车站s-1的时间；/>表示：在线路m上，列车i从车站s-1到车站s的运行时间；/>表示：在线路m上，列车i离开车站s的时间；/>表示：在线路m上，列车i在车站s的停站时间；
为满足运营需求，同一车站内两列相邻列车间的发车间隔时间需要满足如式(3)约束，
其中，和/>分别是线路m上车站s所规定的两列相邻列车间最小发车间隔时间和最大发车间隔时间；
为保证列车i从离开起始站到到达终点站的时间在合理的总旅行时间内，列车i的总旅行时间需要满足如式(4)约束，
其中，是线路m上列车i到达终点站的时间；/>是线路m上列车i离开起始站的时间；/>和/>分别是线路m上规定的最小旅行时间和最大旅行时间；
考虑到运营安全和服务水平，线路m上列车i在车站s的停站时间需要满足如式(5)约束，从车站s到车站s+1的运行时间/>需要满足如式(6)约束，
其中：和/>分别是线路m上车站s规定的最小和最大停站时间；/>和/>分别是线路m上车站s规定的最小和最大区间运行时间；
为保证所有列车在计划周期H内完成行程，是线路m上最后一列车到达终点站的时间，需满足如式(7)约束：
S422、计算换乘等待时间线性约束：
线路m和线路m'交汇于s站，若在换乘站s实现线路m至线路m'的换乘，则需要满足乘客乘坐线路m'上列车i'到达后，换乘走行至线路m的换乘站台时，列车还未驶离换乘站s；
为准确表示列车在换乘站的接续，引入0-1变量满足如式(8)约束，
其中，M是足够大的正数，是在换乘站内两条线路站台间的走行时间；T是目标大型地铁网络中所有换乘站的集合；如果/>那么/>意味着线路m'上列车i'到达换乘站s早，而线路m上接续列车i离开晚，则列车i从时间上来看能够接续成功；如果/>那么/>这时情况则相反，/>是乘客从线路m'上的列车i'到达换乘站s后最早能够换乘成功的时间，而/>是线路m上接续列车i的发车时间；
基于对的定义，引出/>满足如式(9)约束，
其中，基于所有乘客都将登上第一列接续列车的假设，表示两条相交线路在换乘站实际的列车衔接情况；如果线路m上的列车i，而不是列车i-1，是线路m'上列车i'的第一列接续列车，则得到/>因此，由式(9)分别推出
根据上述式(9)约束，如果线路m上的列车i是线路m'上列车i'的第一列接续列车，则和/>满足式(10)，
换乘站s内在两列车间换乘乘客的等待时间计算如约束式(11)所示，如果线路m'上的列车i'成功接续线路m上列车i，则换乘等待时间为列车i'到其他列车的换乘等待时间则为0，
S423、最小化乘客等待时间的目标函数：
为了最小化乘客的等待时间，所述等待时间包括：换乘乘客和从地铁网络外进入车站乘客的等待时间，构建目标函数如式(12)所示，
其中，是相交线路m'和m上列车i'和i在换乘站s的换乘需求，/>是进入车站s等待线路m上列车i的平均乘客到达率；目标函数中的第一项表示所有换乘乘客的等待时间，而第二项表示从地铁网络外进入车站乘客的等待时间；因最大程度减少换乘等待时间会增加列车的衔接数量，延长停站时间和发车间隔时间，从而影响不需要换乘乘客的出行体验；预先给定的权重ρ1和ρ2平衡换乘乘客和进入车站乘客的等待时间；
S424、建立时刻表协同优化模型：
结合上述目标函数和约束，构建时刻表协同优化模型如式(13)所示，
上述时刻表协同优化模型是一个混合整数非线性规划问题，称为：时刻表编制问题，其约束是线性的，而目标函数是非线性的。
2.如权利要求1所述的地铁网络列车时刻表快速编制方法，其特征在于：基于广义Benders分解算法将步骤S42构建的时刻表编制问题分为两部分：子问题和主问题；将整数变量暂时固定为给定值，剩余部分称为子问题；如果子问题不可行，则引入松弛变量，使得子问题可行；然后将子问题求解出的其他决策变量值和对偶变量值构建Benders割，而迭代增加的Benders割和时刻表编制问题中仅涉及复杂变量的约束构成主问题，优化求解复杂变量；最后，将主问题求出的复杂变量值代入子问题再次求解，重复以上过程直至收敛至最优解；
所述Benders割包括：可行割和最优割；
Benders割函数包括：可行割函数和最优割函数。
3.如权利要求2所述的地铁网络列车时刻表快速编制方法，其特征在于：所述步骤S43具体包括以下步骤：
S431、推导与求解子问题：
根据广义Benders分解算法，在时刻表协同优化模型中，定义两列车是否衔接的0-1决策变量作为被赋值的复杂变量，求解子问题得到其他决策变量/>和
首先，将全部设为0或者根据原始时刻表的列车衔接设置初始值/>将人工变量/>和/>引入式(8)所示的耦合约束以及目标罚函数，构建子问题如式(14)所示，
其中，如果对子问题可行，则/>通过运用Karush-Kuhn-Tucker条件得到对偶变量值，式(14)中加粗的/> 和/>分别是对应约束的对偶变量，将对偶变量作为对偶乘子建立拉格朗日对偶问题；对偶变量的定义域取决于其相关约束的性质；
然后，结合子问题求出的最优值和/>，求解下列方程组(15)得到上述对偶变量值，
最后，将第k次迭代的子问题的目标函数值写作Zk，其中，k＝1,2,…,K；K是最大迭代次数，构建上限UBk如式(16)所示，
UBk＝Zk,k＝1,...,K (16)；
S432、构建Benders割函数和主问题：
给定以及子问题中求得的对偶乘子，构建Benders割函数如下，其中可行割函数如式(17)和最优割函数如式(18)，
将所有的Benders割一起构成主问题，主问题的目的在于：通过求解最小化μ；在k次迭代中，如果子问题不可行，将新的可行割/>加进主问题中；如果子问题能求得最优解，将新的最优割/>加进主问题中；可行割和最优割的数量随着每次迭代而增加，因此，构建包括Kf个可行割和Kp个最优割的主问题如式(19)所示，
其中，Kf+Kp＝K，且μ是标量；
对第k次迭代，式(19)的目标函数值是原问题目标函数的下界，如式(20)所示，
LBk＝μk,k＝1,...,K (20)
S433、基于广义Benders分解算法求解，具体步骤如下：
第一步：初始化，设置迭代计数k＝1和容差值ε，将整数变量赋初值/>
第二步：求解子问题：
如果固定后，子问题可行，那么求解子问题得到目标函数值Zk、决策变量和对偶变量/>否则，如果固定/>后，子问题不可行，则通过求解松弛子问题得到子问题的解，更新UBk；
第三步：生成Benders割：利用子问题的解，如果子问题不可行，按公式(17)生成可行割将新的可行割/>加进主问题中；如果子问题能求得最优解，按公式(18)生成最优割/>将新的最优割/>加进主问题中；
第四步：求解主问题；
求解式(19)，得到μk和整数变量的新解更新LBk；
第五步：检查收敛：
计算上界UBk和下界LBk，如果UBk-LBk≤ε，则算法终止；否则迭代计数k←k+1，继续第二-五步。
4.如权利要求3所述的地铁网络列车时刻表快速编制方法，其特征在于：在所述广义Benders分解算法中，当复杂决策变量固定时，有下列三种情况：
①子问题可行且有界，只有一个最优解，将最优割加至主问题；
②子问题可行但无界，因原问题也无界，故算法停止；
③子问题不可行，将可行割加至主问题。
5.如权利要求4所述的地铁网络列车时刻表快速编制方法，其特征在于：如果子问题不可行是指：式(14)中的人工变量和/>不等于0；如果子问题能求得最优解是指：式(14)中的人工变量/>和/>等于0。
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