CN113049425B - 一种采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，包括获取残留在试件表面的压痕实验轮廓快照，建立压痕轮廓快照矩阵，采用正交分解算法建立压痕轮廓快照的子空间，并在子空间中实现材料塑性力学参数与压痕轮廓快照子空间坐标的直接关联；通过在子空间中定义压痕实验轮廓快照与一系列仿真轮廓快照之间的差异容许值，依据差异容许值在材料参数区间的分布特征来获取被测试材料力学性能参数的识别结果。在材料参数识别时，使用了一系列预测所得压痕轮廓数据与压痕实验轮廓数据的直接对比，达到材料参数识别的目的，避免了大规模的数值迭代过程中可能的参数识别局部最优问题，方法效率更高，更可靠。

Description

一种采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法

技术领域

本发明属于材料塑性力学性能测试方法技术领域，具体涉及到一种采用球形压痕形貌来识别金属材料塑性力学参数的方法。

背景技术

深入了解材料的基本力学性能是进行材料力学建模、结构设计和材料成形工艺分析的前提。因此，如何准确获取材料的各项基本力学性能指标一直是材料性能测试领域所关注的热点问题。针对材料塑性力学性能的检测，现有常规力学实验方法多采用单轴拉伸/压缩测试。该种测试方法需要将试件按照一定的几何标准进行切割，而后采用破坏性拉伸或压缩过程来得到被测试材料的塑性性能参数。然而，这种常规实验方法的试件准备过程非常繁琐，且对材料的破坏性大，极易造成材料的浪费。此外，在航空航天制造领域，通常存在着一些几何形状异常复杂的结构件。对于这些材料而言，通常难以制备拉伸测试的标准试件，并且难以实现材料力学性能的在役检测。更为重要的是，现有单轴拉伸实验测试方法不便应用于役件材料的性能检测，也难以用于材料局部力学性能的测量。因此，常规的单轴拉伸力学测试方法存在很大的使用局限性，这通常导致材料塑性力学性能测试数据的不准确、不全面。

近些年，压痕测试方法由于其实验过程简便，实验方法灵活性强等优点，得到了材料性能检测领域的着重关注。在压痕测试中，通过将刚性压头压入被测试材料表面，获取在压痕作用下的材料变形力学响应特征，如：载荷-位移关系曲线和卸载残留压痕轮廓形貌。基于压痕实验中材料力学响应的测量，并结合一定的数学分析方法，能够得到被测试材料的力学性能参数。相比于单轴拉伸实验而言，压痕测试方法具有很多优点。一方面，压痕测试过程的试样准备简单，对试件破坏性小，且能够用于材料局部力学性能的检测。另一方面，压痕测试方法还可以用于获取材料在加工过程中力学性能演化的测量，也常常被用于评估服役状态下材料的力学性能。因此，压痕测试方法极大地拓展了常规力学测试技术的适用范围，具有重要研究意义。

2017年，A.R.Hosseinzadeh等(Determination of mechanical propertiesusing sharp macro-indentation method and genetic algorithm,Mechanics ofMaterials,114(2017)57-68)建立了一种仅依靠维氏压头加载获取的载荷-位移关系曲线来识别材料的弹塑性力学性能参数。该方法借助量纲分析来建立载荷-位移曲线特征参数与材料力学性能参数之间的关联，同时采用基因算法来优化求解被测试材料的力学性能。基于所建立的数值方法并结合Vickers压痕实验，A.R.Hosseinzadeh等成功识别出了几种不锈钢材料的弹塑性力学性能参数。

2019年，O.Iracheta等(A holistic inverse approach based on a multi-objective function optimisation model to recover elastic-plastic propertiesof materials from the depth-sensing indentation test,Journal of the Mechanicsand Physics of Solids,128(2019)1-20)在同时考虑Berkovich压痕轮廓形貌和载荷-位移关系曲线的情况下，建立了一种基于多目标迭代优化的材料弹塑性参数识别方法。在该方法中，仅当压痕载荷-位移关系曲线和残留压痕形貌均被考虑进参数识别的数值模型中时，才能够得到材料参数的唯一识别结果。并且，通过该方法识别所得材料性能参数与单轴测试结果吻合比较好。

尽管当前有很多学者提出了一些采用压痕实验来识别材料力学性能参数的方法。但是，现有这些方法多将压痕的载荷-位移关系曲线作为分析材料性能参数的主要依据，并普遍采用迭代优化的反向求解方法来获取被测试材料的力学性能参数。然而，一方面，压痕载荷-位移关系曲线的准确获取需要考虑到压痕加载过程中压头尖端和机架的变形，并合理确定压头与试件的接触零点。在压痕实验中，压头通常为变形体。在压痕加载中，压头尖端处于高应力集中状态，极易导致尖端的变形，从而影响到载荷-位移关系曲线初始接触点的准确测定。另一方面，现有诸多研究已经表明：当仅采用压痕载荷-位移关系曲线来识别材料的塑性力学性能参数时，可能导致识别结果非唯一。

此外，在基于压痕测试识别材料力学性能参数的研究中，多将参数识别构建为反问题的形式，并采用迭代优化算法进行参数识别的逆向求解。然而，迭代优化的参数识别过程往往需要涉及到目标函数梯度的大规模计算，这通常容易导致迭代计算的不收敛。并且，基于梯度优化的参数识别过程，仅能够得到材料性能参数的点估计结果，难以用于判断识别结果的唯一性以及在估计点周围材料性能的可信分布区间。

相比于压痕载荷-位移关系曲线和凸起/凹陷测量而言，采用残留在试件表面的整个压痕轮廓形貌来识别材料的性能参数有很多优点。一方面，在压痕作用下残留的整个压痕轮廓形貌包含着更多的材料变形响应信息，这有利于促进材料塑性参数识别结果的唯一性。另一方面，不需要在参数识别过程中引入额外的压痕凸起/凹陷测量，降低了实验测试的难度。此外，在基于压痕轮廓形貌识别材料的塑性力学性能参数时，有必要合理建立起压痕轮廓快照与材料塑性参数之间的有效关联。并且，通过直接量化压痕实验轮廓快照与一系列仿真轮廓快照之间的容许度，以达到参数识别的目的，避免一般优化计算过程中复杂的数值迭代过程。结合压痕实验轮廓快照与一系列仿真轮廓快照之间容许度的分布特征，有利于判断识别结果的唯一性和识别点周围材料性能的可信分布区间。

发明内容

为解决现有技术中存在的上述缺陷，本发明的目的在于提供一种采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，该方法实现了压痕轮廓快照与材料性能参数之间的有效关联，使用预测所得压痕轮廓数据与压痕实验轮廓数据的直接对比，达到材料参数识别的目的，避免了大规模的数值迭代过程可能的参数识别局部最优问题，本发明的参数识别计算方法效率更高，更可靠。

本发明是通过下述技术方案来实现的。

采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，包括：

将待测试金属试样表面抛光处理，进行球形压痕实验；

获取残留在试件表面的压痕实验轮廓快照S^exp；

依据Hollomon硬化法则，建立材料塑性参数的设计空间，开展一系列球形压痕有限元仿真，建立压痕轮廓快照矩阵S_w；

基于正交分解算法，建立平均轮廓快照

和中心轮廓快照矩阵S，对中心轮廓快照矩阵S进行奇异值分解；

采用正交基矩阵中正交向量的线性表示来重构压痕轮廓快照S_i，建立压痕轮廓快照子空间坐标矩阵α；

基于二次多项式基函数，建立压痕轮廓快照子空间坐标矩阵α与Hollomon硬化法则参数之间的关联；

(7)建立用于量化压痕实验轮廓快照与仿真轮廓快照之间差异容许值g(c)，在给定材料参数区间范围内，材料性能参数c_i所对应容许值g(c_i)趋近于1时，则表明该材料参数组合接近于识别所得材料性能参数值；

(8)依据差异容许值g(c)与Hollomon硬化法则参数c之间的关系，确定仿真轮廓与实验轮廓之间容许值在材料参数区间内的分布特征，进一步确定待识别金属材料的力学性能参数。

所述步骤(2)中，压痕轮廓快照表示为向量S_i，

且S_i∈R^m；其中，

为压痕轮廓的垂直位移序列值，R表示实数的集合，m表示压痕轮廓快照向量的维数。

进一步，分别给出Hollomon硬化法则、压痕轮廓快照矩阵S_w表示、平均轮廓快照

表示、中心轮廓快照矩阵S表示、对中心轮廓快照矩阵S进行奇异值分解表示、基于正交向量的线性组合压痕轮廓快照S_i表示形式。

进一步，基于二次多项式基函数建立压痕轮廓快照子空间坐标矩阵α与Hollomon硬化法则参数c之间的关联，具体步骤包括：

(1)定义矩阵β为子空间坐标矩阵α的转置，β_i表示矩阵β的第i列，对应于矩阵α的第i行，a为拟合参数矩阵，aⁱ为矩阵a的第i列；k为二次多项式基函数，且k＝[x²,y²,xy,x,y,1]；其中，参数x和y分别表示Hollomon硬化法则参数σ_y和n；

(2)依据多项式基函数拟合原理，将多项式基函数表示为基矩阵K_b，则

表示基矩阵K_b中的任意第i行，且

(3)则确定压痕轮廓快照子空间坐标向量α_i与材料性能参数c_i之间直接关联满足关系式；

(4)拟合参数矩阵a的每一列aⁱ关系式。

进一步，采用差异容许值g(c)来量化压痕实验轮廓快照子空间坐标α^exp与压痕轮廓快照子空间坐标向量α_i之间的差异。

本发明方法具体涉及到采用正交分解算法建立压痕轮廓快照的子空间，并在子空间中实现材料塑性力学参数与压痕轮廓快照子空间坐标的直接关联；通过在子空间中定义压痕实验轮廓快照与一系列仿真轮廓快照之间的容许度，依据容许度值在材料参数区间的分布特征来获取被测试材料力学性能参数的识别结果；并且，依据容许度的分布特征来判断识别结果的唯一性。在使用过程中，通过将激光共聚焦显微测试所得球形压痕的轮廓快照带入到所建立的参数识别数值模型中就能够直接得到被测试材料的塑性力学性能参数。

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下有益效果：

(1)本发明首先基于正交分解算法建立了压痕高维轮廓数据的低维子空间表示，能够有效捕捉压痕形貌变形的主要特征，并与材料性能参数进行唯一对应。并且，基于所建立方法实现了压痕轮廓快照与材料性能参数之间的有效关联，避免了原有材料性能识别中大规模的迭代有限元仿真计算过程，降低了参数识别计算代价，提高了数值计算的效率。

(2)本发明在进行材料参数识别时，使用了一系列预测所得压痕轮廓数据与压痕实验轮廓数据的直接对比，以容许度的形式来量化表示预测所得轮廓快照与实验轮廓快照的差异，达到材料参数识别的目的。与现有基于梯度优化计算的方法而言，避免了大规模的数值迭代过程，规避了迭代计算中可能的参数识别局部最优问题，本发明的参数识别计算方法效率更高，更可靠。

(3)针对钣金材料Hollomon硬化模型参数的实验测量，现有实验方法依赖于单轴拉伸/压缩实验过程。然而，常规的单轴拉伸/压缩实验需要繁琐的试件切割加工过程，不可避免地造成材料的极大破坏、浪费。并且，常规的拉伸/压缩测试很难用于小试样、局部力学性能的检测，难以实现服役材料力学性能的原位测量。本发明采用压痕实验来获取金属材料的拉伸性能，有效避免了对试件繁琐的切割加工过程，并且能够具有应用于金属材料局部性能的检测以及在役件性能测量的潜力。

附图说明

此处所说明的附图用来提供对本发明的进一步理解，构成本申请的一部分，并不构成对本发明的不当限定，在附图中：

图1为在球形压痕加载下的压入测试模型；

图2为2099-T83铝锂合金材料在球形压痕作用下的三维压痕形貌和相应的二维压痕轮廓快照；

图3为所建立的球形压痕有限元仿真数值模型；

图4为2099-T83铝锂合金材料的单轴拉伸曲线和采用Hollomon硬化法则拟合所得应力应变曲线；

图5为进行材料塑性参数识别的流程图；

图6为采用本发明识别2099-T83铝锂合金材料塑性参数的识别结果；

图7为在给定材料参数区间内几个不同容许度值的等值线分布情况。

具体实施方式

下面将结合附图以及应用于2099-T83铝锂合金材料的具体实施例来详细说明本发明，在此本发明的示意性实施例以及说明用来解释本发明，但并不作为对本发明的限定。

本发明采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，包括：

步骤1：将待测试金属试样的表面进行抛光处理，开展球形压痕实验。球形压痕实验在布氏硬度计下进行，加载方式为载荷控制模式。

步骤2：压头卸载后，将在试件表面残留下球形压痕的轮廓形貌，采用激光共聚焦显微测试来获取残留在试件表面压痕轮廓快照S^exp的实验数据。压痕轮廓快照表示为向量S_i，

且S_i∈R^m。其中，

为压痕轮廓的垂直位移序列值，R表示实数的集合，m表示压痕轮廓快照向量的维数。

步骤3：依据Hollomon硬化法则，建立材料塑性参数的设计空间，开展一系列球形压痕有限元仿真，建立压痕轮廓快照矩阵S_w。

Hollomon硬化法则表示为：

其中，E为弹性模量；σ_y为屈服应力；n为硬化指数；σ为拉伸应力，ε为拉伸应变，ε_y为屈服应变。

压痕轮廓快照矩阵S_w表示为：

S_w＝[S₁,S₂,...,S_N]

其中，S_w∈R^m×N，N为设计空间中材料参数组合的个数；轮廓快照向量S_i是对应于第i个材料参数组合c_i的有限元仿真得到；c_i表示Hollomon硬化法则参数，且c_i∈R^l，l表示Hollomon硬化法则中塑性参数的个数。

步骤4：基于正交分解算法，建立平均轮廓快照

中心轮廓快照矩阵S，对中心轮廓快照矩阵S进行奇异值分解。

平均轮廓快照

表示为：

中心轮廓快照矩阵S表示为：

对中心轮廓快照矩阵S进行奇异值分解,表示为：

S＝UDV^T

其中，U为正交基矩阵，表示为U＝[U₁,U₂,...,U_N]。U₁,U₂,...,U_N分别为N个正交向量；D为对角矩阵，包含着协方差矩阵SS^T的特征值；V为酉矩阵，V^T表示矩阵V的转置；其中，VV^T＝I，且I为单位矩阵。

步骤5：采用正交基矩阵中正交向量的线性表示来重构压痕轮廓快照S_i，建立压痕轮廓快照子空间坐标矩阵。

采用正交向量的线性表示重构压痕轮廓快照S_i，表示为：

其中，向量α_i表示压痕轮廓快照S_i在正交基矩阵U下的线性表示系数，也称为压痕轮廓快照的子空间坐标向量，

表示向量α_i中的任意第j个值。α为压痕轮廓快照子空间坐标矩阵，且α＝[α₁,α₂,...,α_N]。

步骤6：基于二次多项式基函数建立压痕轮廓快照子空间坐标矩阵α与Hollomon硬化法则参数c之间的关联，具体步骤包括：

(1)定义矩阵β为子空间坐标矩阵α的转置，表示为β＝α^T；a为拟合参数矩阵，aⁱ为矩阵a的第i列；k为二次多项式基函数，且k＝[x²,y²,xy,x,y,1]；其中，参数x和y分别表示Hollomon硬化法则参数屈服应力σ_y和硬化指数n；

(2)依据多项式基函数拟合原理，将多项式基函数表示为基矩阵K_b，则

表示基矩阵K_b中的任意第i行，且

(3)则压痕轮廓快照子空间坐标向量α_i与材料性能参数c_i之间的直接关联满足关系式：

β_i(c_i)＝K_b(c_i)aⁱ

其中，β_i表示矩阵β的第i列，对应于矩阵α的第i行；

拟合参数矩阵a的每一列aⁱ可以通过如下关系式得到：

其中，

表示矩阵

的逆矩阵，下标i表示拟合关系式对应于材料参数设计空间中的第i个材料性能参数c_i。

步骤7：建立用于量化压痕实验轮廓快照与仿真轮廓快照之间差异容许值g(c)，在给定材料参数区间范围内，材料性能参数c_i所对应容许值g(c_i)趋近于1时，则表明该材料参数组合接近于识别所得材料性能参数值。依据差异容许值g(c)与Hollomon硬化法则参数c之间的关系，可以确定仿真轮廓与实验轮廓之间容许度在材料参数区间内的分布特征，基于此进一步确定待识别金属材料的力学性能参数。

采用差异容许值g(c)来量化压痕实验轮廓快照子空间坐标α^exp与压痕轮廓快照子空间坐标向量α_i之间的差异，表示为：

其中，α(c_i)表示对应于材料参数c_i的压痕轮廓快照S_i的子空间坐标，α^exp表示压痕实验轮廓快照S^exp的子空间坐标，||·||表示运算符2-范数，

是压痕实验轮廓快照子空间坐标向量的平均值，e_N为单位对角矩阵。

下面通过具体实施例来进一步说明本发明方法的效果。

第一步：参阅图1和图2，对2099-T83铝锂合金材料开展球形压痕实验，图中，1为球形压头，2为试件，3为材料坐标。通过激光共聚焦显微测试来获取残留在试件表面的压痕轮廓形貌实验数据，通过B样条曲线拟合压痕轮廓快照，以平滑压痕轮廓实验数据，降低实验误差扰动。表1中所示为采用Hollomon硬化法则拟合所得2099-T83铝锂合金材料的单轴拉伸塑性性能参数。

表1采用Hollomon硬化法则拟合所得2099-T83铝锂合金的单轴性能参数

第二步：参阅图3和图4，在给定材料塑性参数区间内开展大量的球形压痕有限元仿真，获取压痕轮廓快照矩阵S_w。所选取的材料塑性参数计算区间为280MPa≤σ_y≤460MPa，0.005≤n≤0.125。铝锂合金的弹性模量假定为已知量，取定值为77.7GPa。通过在给定材料塑性参数区间内开展大量的球形压痕有限元仿真，建立压痕轮廓快照矩阵S_w。

第三步：参阅图5，基于POD算法结合压痕轮廓快照矩阵S_w，分别计算平均轮廓快照

计算中心轮廓快照矩阵S,计算压痕轮廓快照子空间坐标矩阵α。基于此，建立压痕轮廓快照子空间坐标矩阵α与材料塑性性能参数之间的直接关联。进一步，计算容许度g(c)与材料参数c之间的关系表达。

第四步：参阅图5、图6和图7，依据差异容许值g(c)与材料塑性参数之间的直接关联，在给定区间内求解差异容许值g(c)的分布，将差异容许值g(c)最接近与1的材料塑性参数组合视为识别所得被测试材料塑性性能参数值。依据差异容许值g(c)在材料参数区间的等值线分布，可以进一步判断识别结果的唯一性以及所识别材料参数的分布区间。采用本发明识别所得2099-T83铝锂合金塑性性能参数结果如表2中所示。

表2 2099-T83铝锂合金塑性性能参数的单轴结果与压痕测试结果的对比

结合表2中采用本发明识别所得2099-T83铝锂合金塑性性能参数与单轴拉伸实验参数之间的对比可以得到如下结论：(1)采用本发明识别所得材料塑性性能参数准确度高，与单轴拉伸实验的误差非常小；(2)本发明实施过程简单，将压痕轮廓形貌作为获取材料塑性性能参数的实验测量，避免了原有常规拉伸实验繁琐的准备过程，实验难度低，且易于执行；(3)本发明在进行材料塑性性能参数识别时，不需要大量的数值优化迭代计算过程，能够依据容许度值的分布快速得到被测试材料的性能参数，识别结果可靠度高。

本发明并不局限于上述实施例，在本发明公开的技术方案的基础上，本领域的技术人员根据所公开的技术内容，不需要创造性的劳动就可以对其中的一些技术特征作出一些替换和变形，这些替换和变形均在本发明的保护范围内。

Claims (8)

1.一种采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，其特征在于，包括以下步骤：

将待测试金属试样表面抛光处理，进行球形压痕实验；

获取残留在试件表面的压痕实验轮廓快照S^exp；

依据Hollomon硬化法则，建立材料塑性参数的设计空间，开展一系列球形压痕有限元仿真，建立压痕轮廓快照矩阵S_w；

基于正交分解算法，建立平均轮廓快照S和中心轮廓快照矩阵S，对中心轮廓快照矩阵S进行奇异值分解；

采用正交基矩阵中正交向量的线性表示来重构压痕轮廓快照S_i，建立压痕轮廓快照子空间坐标矩阵α；

基于二次多项式基函数，建立压痕轮廓快照子空间坐标矩阵α与Hollomon硬化法则参数之间的关联；

建立用于量化压痕实验轮廓快照与仿真轮廓快照之间的差异容许值g(c)，在给定材料参数区间范围内，材料性能参数c_i所对应容许值g(c_i)趋近于1时，则表明该材料参数组合接近于识别所得材料性能参数值；

依据差异容许值g(c)与Hollomon硬化法则参数c之间的关系，确定仿真轮廓与实验轮廓之间容许值在材料参数区间内的分布特征，进一步确定待识别金属材料的力学性能参数；

采用差异容许值g(c)来量化压痕实验轮廓快照子空间坐标α^exp与压痕轮廓快照子空间坐标向量α_i之间的差异，表示为：

其中，N为用于压痕仿真的材料参数组合的个数，α(c_i)表示对应于材料参数c_i的压痕轮廓快照S_i的子空间坐标，α^exp表示压痕实验轮廓快照S^exp的子空间坐标，||·||表示运算符2-范数，

是压痕实验轮廓快照子空间坐标向量的平均值，e_N为单位对角矩阵。

2.根据权利要求1所述的采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，其特征在于，压痕轮廓快照表示为向量S_i，

且S_i∈R^m；其中，

为压痕轮廓的垂直位移序列值，R表示实数的集合，m表示压痕轮廓快照向量的维数。

3.根据权利要求1所述的采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，其特征在于，Hollomon硬化法则表示为：

其中，E为弹性模量；σ_y和n分别为屈服应力和硬化指数；σ为拉伸应力，ε为拉伸应变，ε_y为屈服应变。

4.根据权利要求1所述的采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，其特征在于，压痕轮廓快照矩阵S_w表示为：

S_w＝[S₁,S₂,...,S_N]

其中，S_w∈R^m×N，N为用于压痕仿真的材料参数组合的个数，m为压痕轮廓快照向量的维数。

5.根据权利要求4所述的采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，其特征在于，平均轮廓快照

表示为：

中心轮廓快照矩阵S表示为：

6.根据权利要求1所述的采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，其特征在于，对中心轮廓快照矩阵S进行奇异值分解,表示为：

S＝UDV^T

其中，U为正交基矩阵，表示为U＝[U₁,U₂,...,U_N]，U₁,U₂,...,U_N分别为N个正交向量，D为对角矩阵，V为酉矩阵，V^T表示矩阵V的转置。

7.根据权利要求6所述的采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，其特征在于，基于正交向量的线性组合，将压痕轮廓快照S_i表示为：

其中，α_i表示压痕轮廓快照子空间坐标向量，

表示向量α_i中的任意第j个值。

8.根据权利要求1所述的采用球形压痕形貌识别金属材料塑性力学参数的方法，其特征在于，基于二次多项式基函数建立压痕轮廓快照子空间坐标矩阵α与Hollomon硬化法则参数c之间的关联，具体步骤包括：

(1)定义矩阵β为子空间坐标矩阵α的转置，表示为β＝α^T；a为拟合参数矩阵，aⁱ为矩阵a的第i列；k为二次多项式基函数，且k＝[x²,y²,xy,x,y,1]；其中，参数x和y分别表示Hollomon硬化法则参数屈服应力σ_y和硬化指数n；

(2)依据多项式基函数拟合原理，将二次多项式基函数表示为基矩阵K_b，则

表示基矩阵K_b中的任意第i行，且

(3)则压痕轮廓快照子空间坐标向量α_i与材料性能参数c_i之间的直接关联满足关系式：

β_i(c_i)＝K_b(c_i)aⁱ

其中，β_i表示矩阵β的第i列，对应于矩阵α的第i行；

(4)拟合参数矩阵a的每一列aⁱ可以通过如下关系式得到：

其中，

表示矩阵

的逆矩阵，下标i表示拟合关系式对应于材料参数设计空间中的第i个材料性能参数c_i。

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