CN107860671A - 一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置和方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，包括从上而下依次连接的伺服电机、压力推进器和横板，压力推进器内设有压杆，压杆由伺服电机驱动，压杆穿过横板和压力传感器，下端设有压杆底板，压杆底板下部依次连接压头基座、压头连杆以及压头，横板四角通过侧板连接磁性压台，伺服电机和压力传感器连接计算机，通过得到载荷‑位移曲线计算得到屈服强度和应变硬化指数。本发明通过计算机控制电机使其输出位移能够准确跟踪和重现输入位移，实现对被测待检测对象的无损和微损测量，以压痕过程中的载荷和深度作为响应值，采用微载荷连续压痕法表征金属材料力学性能。
Description
技术领域
本发明涉及一种测量金属材料力学性能的装置，具体来说是一种采用压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置和方法。
背景技术
在石油、化工、核电、航空等领域广泛应用承压设备，而这些设备常常在腐蚀介质，高温高压等复杂环境中服役，其材料经常会发生腐蚀、蠕变、疲劳、开裂等现象，很容易发生安全事故。近年来，人们对承压设备的安全性和可靠性尤为关注，其核心是如何准确预测承压设备的剩余寿命，其关键是掌握材料真实的力学性能，包括金属材料的屈服强度和应变硬化指数等影响材料应力应变的重要指标。因此，准确确定金属材料的屈服强度和应变硬化指数在工程上有着重要的意义。
材料的机械性能测试方法大致分为常规力学性能测试和无损或微损测试方法。常规材料力学性能测试方法的相关理论已经非常成熟，也有成熟的测试标准与设备。但是常规力学性能测试有其局限性，测试时需取样，属于破坏性试验。对于在役设备，往往无法满足取样要求，无法实施现场测量。无损测试(Non-destructive Testing，NDT)是在不损伤被测材料的情况下，对材料的表面或内部缺陷检测。微损测试方法(Micro-destructiveTesting)是指对被测材料产生轻微损伤的测试方法。由于无损或微损测试方法具有非破坏性的优点，吸引了很多研究者在此方面探索。目前主要方法有微型剪切试验法、小冲杆试验法、非线性超声试验法等。微型剪切试验法主要适于测量材料焊接热影响区的力学性能，它通过材料性能梯度曲线连续地表征整个焊接接头的强度以及塑性分布。小冲杆试验属于微损测试，但仍需在设备上切取薄片试样，对在役设备有一定的损伤。超声无损测试技术主要利用超声波与试件相互作用所产生的反射波和其他类型的波进行材料性能测试，但是采用非线性超声测试法的试验数据还很少，还未能找到可以广泛适用的普遍规律。而一种新的无损方法压痕实验法可以很好地解决上述方法中的问题，压痕法将一定形状的压头压入被测材料，通过压痕响应值来预测材料的力学性能，该方法具有操作方便，效率高，测量准确等特点。由于压入深度为纳米级别，对材料可以认为是无损测量，而且该方法可以实现在线测量。
发明内容
发明目的：本发明所要解决的技术问题是针对现有技术的不足，提供一种能够用于在线测量材料力学性能，真实表征金属材料屈服强度和应变硬化指数等材料力学性能的装置及其方法。
为了解决上述技术问题，本发明公开了一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，包括从上而下依次连接的伺服电机、压力推进器和横板；所述压力推进器内设有压杆，压杆由伺服电机驱动；所述压杆穿过横板和压力传感器，下端设有压杆底板；所述压杆底板下部依次连接压头基座、压头连杆以及压头；所述横板四角通过立柱连接磁性压台；所述伺服电机和压力传感器连接计算机。所述伺服电机提供实验所需加载载荷，伺服电机由计算机控制，在自动控制系统中，伺服电机作为执行元件，它会把从计算机发出的电信号转换成电动机轴上的角速度输出，作为一个反馈控制系统，当被控制量为机械位移时，其输出的机械位移可以准确跟踪或者复现输入的位移，从而实现对实验加载位移的控制。伺服电机通过轴向位移施加载荷，并通过压力推进器内的压杆进行传递，最终作用于压头，该组成部分是可以直接在市场上购买。
其中，所述压杆底板下部开设有两个以上的螺纹孔，用以连接压头基座，在压头基座上顶板上同样开设与压杆底板相配合的螺纹孔，并且对压杆底板的下表面和压头基座顶板的上表面进行精加工，保证其平整度，并通过数个螺栓连接、加固，避免产生机械间隙影响实验精度。
所述压头基座下端开设与压头连杆相配合的螺纹孔，使压头连杆和压头基座通过螺纹旋合在一起。
所述压头为金刚石制成的球形压头，其弹性模量远大于被测材料的弹性模量，可以认为在加载过程中，压头是不变形的，采用球压头可以很好地反映加载过程中的载荷和位移关系。
所述伺服电机上部设有一后轴，通过旋转后轴能够改变压力推进器下部的压杆的伸缩长度，从而调节压头的高度。
所述伺服电机采用步进电动机驱动，最大载荷力为390N，冲程为30mm。
所述压力推进器为一减速机，在伺服电机的驱动下，控制压头每次下降距离相等。
所述横板为正方形，这样有利于加工和装配。在横板中心开圆孔，使压力传感器穿过横板，并在圆孔四周开设与压力推进器相配合的螺纹孔，并由固定螺栓加以固定连接。此外，在横板四个角开设孔，通过立柱连接固定磁性压台。
所述侧板上开有方形的窗口，其特点便于观察被测待检测对象。实验前，通过后轴调节压头与待检测对象的距离，尽量靠近待检测对象但不能接触，窗口的设计有利于观察压头与被测待检测对象的距离，避免产生预接触力。进一步的，所述侧板上开有V形的窗口，用于测量表面为曲面的待检测对象或结构，实验时将其置于两侧板的V形窗口上，可以起到限位的作用。
采用上述装置通过压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的方法，包括如下步骤：
步骤一：清除被测待检测对象表面杂质，对其打磨，抛光以使被测待检测对象表面平整光滑；
步骤二：将待检测对象放在磁性压台上，调整待检测对象位置，使其处于压头正下方，打开磁性压台的开关，使待检测对象固定；
步骤三：调节后轴，使压头靠近待检测对象，但不要接触；
步骤四：将装置连接计算机，在配套的计算机软件上输入材料的弹性模量E，并设置实验中伺服电机每次驱动的距离，实验加载的总压痕深度；
步骤五：伺服电机根据计算机发出的电信号，开始加载，在完成第一次设定的驱动距离后，开始卸载，然后再加载，再卸载，压力传感器记录加载过程中的加载载荷，并将信号传递给计算机，当压入深度达到设定的总压痕深度时，停止加载；
步骤六：计算机根据设定的每次驱动距离和压力传感器记录的载荷信号，得到载荷-位移曲线；
步骤七：将装置与计算机断开连接，通过后轴将压头调节到最高位置，关闭磁性压台的开关，取下被测待检测对象，完成实验；
步骤八：根据得到的载荷-位移曲线计算得到材料的屈服强度σy和应变硬化指数n。
其中，步骤八采用如下步骤计算得到屈服强度σy和应变硬化指数n：
步骤a：将压入载荷Pg表达为几个基本参数组成的函数式，根据Π定理确定加载过程中压痕响应系数和材料参数的无量纲函数П1表达式：
式中：E*为有效弹性模量；σy为屈服强度值；hg为压入深度；n为应变硬化指数；
其中E*由式表达，E为被测材料的弹性模量，v为被测材料的泊松比，Ei为压头的弹性模量，vi为压头的泊松比。由于压头为金刚石材料，其弹性模量很大，所以可认为有效弹性模量E*和弹性模量E值近似相等。
步骤b：判断待测金属材料的弹性模量E是否为已知，如果为已知则直接使用已知的数据，直接进行下一步的计算；如果弹性模量E未知，则采用Oliver-Pharr的方法，根据步骤六获得的载荷-深度曲线计算弹性模量，然后再进行下一步的计算；
步骤c：在给定的压入深度hg下，存在一个应变值使得步骤一中无量纲函数式(1)中的π1值与E*/y相关，与应变硬化指数n无关，将该应变值定义为表观应变值εr，表观应变εr对应的应力为表观应力σr，此时，(1)式可由新的无量纲函数П2表达，如下：
不同深度下对应的表观应变值εr不同，对不同深度下获得的表观应变值εr用三次多项式进行拟合：
式中：R为球型压头的半径；
步骤d：在某一固定深度hg/R下，当表观应变值εr确定后，将载荷-深度曲线和材料的力学参数之间所对应的各离散点进行拟合，得到该深度hg/R下的无量纲函数π2的表达式：
步骤e：根据获得的载荷-深度曲线上两组深度(hg1/R、hg2/R)，由式(3)求得对应深度下的表观应变值(εr1(hg1/R)、εr2(hg1/R))，由无量纲函数式(4)求得对应深度下的表观应力值(σr1(hg1/R)、σr2(hg1/R))；根据所分析的材料在均匀塑性阶段的应变硬化行为由Ludwik或Hollomon方程来描述，其本构关系为：
式中：σr为表观应力，εr为表观应变；
将两组表观应变值(εr1(hg1/R)、εr2(hg1/R))和表观应力值(σr1(hg1/R)、σr2(hg1/R))代入到式(5)中，从而可以获得材料的屈服强度σy和应变硬化指数n。
有益效果：
1、本申请装置通过压头连杆和压头基座装载压头，测量压痕过程中压头损伤可以直接进行更换，且压头采用球形结构，相比于锥形压头更精确。
2、本申请装置采用伺服电机进行驱动加载，通过计算机可以很好的控制电机使其输出位移能够准确跟踪和重现输入位移，实现对被测待检测对象的无损和微损测量，通过对待检测对象的一次安装便得到多组不同压入深度的实验数据，无需重新安装定位测量，大大提高实验工作效率。
3、本申请方法基于量纲分析原理，以压痕过程中的载荷和深度作为响应值，采用微载荷连续压痕法表征金属材料力学性能，避开了压入过程中接触面积无法准确表示的难题；同时，该方法引入了表观应变，可以得到准确的无量纲函数表达式，其计算结果的精度也得到提高。
附图说明
下面结合附图和具体实施方式对本发明做更进一步的具体说明，本发明的上述和/或其他方面的优点将会变得更加清楚。
图1为本发明压痕法测量金属材料屈服强度和硬化参数装置的主视结构示意图；
图2为本发明压痕法测量金属材料屈服强度和硬化参数装置的立体结构示意图；
图3为实验连续加载过程的载荷-位移曲线；
图4为被测金属材料应力应变曲线模型；
图5a和图5b为hg/R＝0.07的不同应变值对应的无量纲函数；
图6为不同hg/R对应的表征应变；
图7为本发明实验数据计算流程图；
图8a和图8b分别为材料SUS304和SK4计算所得的应力应变曲线与实验所得应力应变曲线对比图。
图9a和9b分别是实施例1和实施例3中侧板的侧视示意图。
具体实施方式
实施例1
如图1和图2所示，该压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置包括从上而下依次连接的伺服电机2、压力推进器5和横板7，伺服电机2与压力推进器5通过连接螺栓3连接，压力推进器5和横板7通过固定螺栓6；压力推进器5内设有压杆10，通过伺服电机2进行驱动，伺服电机2上端设有一后轴1，压杆10穿过横板7和压力传感器9，下端设有压杆底板11，压杆底板11通过下部开设四个螺纹孔连接压头基座12，压头基座12下端螺纹旋接压头连杆13，压头连杆13下端固定有一金刚石压头14，横板7四角开孔，通过侧板4连接磁性压台8。
该装置伺服电机2的型号为PH-554NB，采用步进电动机驱动，含后轴1，冲程为30mm，最大压入载荷为390N，压力推进器5型号为LAH-46-3002-F-PB，在伺服电机2驱动下每次下压深度精度可达到5μm。
采用该装置通过压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数，具体包括如下步骤：步骤一：清除被测待检测对象表面杂质，对其打磨，抛光以使被测待检测对象表面平整光滑；
步骤二：将待检测对象放在磁性压台8上，调整待检测对象位置，使其处于压头14正下方，打开磁性压台8的开关，使待检测对象固定；
步骤三：调节后轴1，使压头14靠近待检测对象，但不要接触；
步骤四：将装置连接计算机，在配套的计算机软件AIS3000上输入材料的弹性模量E，并设置实验中伺服电机2每次驱动的距离，实验加载的总压痕深度；
步骤五：伺服电机2根据计算机发出的电信号，开始加载，在完成第一次设定的驱动距离后，开始卸载，然后再加载，再卸载，压力传感器9记录加载过程中的加载载荷，并将信号传递给计算机，当压入深度达到设定的总压痕深度时，停止加载；
步骤六：计算机根据设定的每次驱动距离和压力传感器9记录的载荷信号，得到载荷-位移曲线；
步骤七：将装置与计算机断开连接，通过后轴1将压头14调节到最高位置，关闭磁性压台8的开关，取下被测待检测对象，完成实验；
步骤八：根据得到的载荷-位移曲线计算得到材料的屈服强度σy和应变硬化指数n。
如图3所示，为实验微载荷连续压痕加载过程中典型的载荷-位移曲线，其横坐标为压入深度，最大压入深度为0.05mm。研究发现，下压深度超过0.08mm时摩擦会对实验结果造成影响，而在在该实验中不需要考虑摩擦影响。该装置电机每次驱动下压深度精度可达到5μm，纵坐标为加载过程中压头下压载荷值，最大压入载荷为390N。
微载荷连续压痕法确定金属材料的力学性能参数，首先对压痕压入过程的响应值和被压材料的力学参数进行量纲分析，建立对应的无量纲函数；然后应用ABAQUS有限元分析软件，采用直径为1mm的金刚石球压头对常用的45种已知参数的金属材料进行压痕模拟实验。金属材料应力应变力学模型为：
ε＝εy+εp (7)
当σ＞σy时，应力σ也可表示成：
式中：σy为初始屈服强度；ε为总应变；εy为初始屈服应变；εp为塑性应变；E为弹性模量；K为强度系数。引入表观应变εr和表观应力σr，式(3)可变为：
应力应变曲线模型如图4所示，金属材料的力学性能如表1：
模拟实验后，对载荷-深度数据进行处理，可以得到不同深度下对应的表观应变。根据Π定理确定加载过程中压痕响应系数和材料参数的无量纲函数П1表达式：
式中：E*为有效弹性模量，其值用被测材料的弹性模量E代替；σy为屈服强度值；hg为压入载荷Pg时对应的压入深度；n为应变硬化指数；
表1
以hg/R＝0.07为例来阐述表观应变的确定方法，图5a和5b为压痕深度hg/R＝0.07时，不同的应变值对无量纲函数π1值的影响，可以看出当εr＝0.0309时，45种不同金属材料的无量纲函数π1值趋于一条曲线，与应变硬化率n无关。因此，应变值εr＝0.0309即为hg/R＝0.07时对应的表观应变。对图5a中各点进行拟合，此时，(1)式可由新的hg/R＝0.07时无量纲函数П2表达，其中表观应变εr对应的应力为表观应力σr：
对材料进行10次压入模拟，每次间隔距离均为0.005mm，可获得10次不同深度下对应的表观应变。对不同深度下获得表观应变值用三次多项式进行拟合，得到表达式(3)，函数曲线如图6所示。
式中，
得到不同深度下对应的表观应变后，对各离散点线性拟合，可以得到无量纲函数π2的表达式(4)在不同深度下的系数，见表2。
表2
实施例2
对已知弹塑性参数的新材料进行实验验证：
两种材料SUS304和SK4进行模拟压入实验获得载荷-深度曲线，见图8a和图8b。选取两个最大压痕深度为hg1/R＝0.04和hg2/R＝0.06时的载荷-深度数据，代入到实施例1中得到对应的表观应变。由实施例1中确定的对应无量纲函数的系数，可以得到其对应的两个表观应力，最后代入到力学模型(5)中，计算出其材料的屈服强度σy和应变硬化指数n，所获得屈服强度及应变硬化指数结果与原材料的真实数据结果对比，见表3，其最大误差不超过7％。
表3
实施例3
在实施例1的基础上，将侧板4上设一V形的窗口，如图9a和9b所示，图9a是实施例1中侧板开有方形的窗口，图9b开设V形的窗口。通过该V形窗口，可以将管道等表面为曲面的待检测对象放置在两侧板的V形窗口上，从而对待检测对象起到限位的作用，在压头下压过程中，不会出现移动。
本发明提供了一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置和方法的思路及方法，具体实现该技术方案的方法和途径很多，以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进和润饰，这些改进和润饰也应视为本发明的保护范围。本实施例中未明确的各组成部分均可用现有技术加以实现。
Claims (10)
1.一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，其特征在于，包括从上而下依次连接的伺服电机(2)、压力推进器(5)和横板(7)；所述压力推进器(5)内设有压杆(10)，压杆(10)由伺服电机(2)驱动；所述压杆(10)穿过横板(7)和压力传感器(9)，下端设有压杆底板(11)；所述压杆底板(11)下部依次连接压头基座(12)、压头连杆(13)以及压头(14)；所述横板(7)四角通过侧板(4)连接磁性压台(8)；所述伺服电机(2)和压力传感器(9)连接计算机。
2.根据权利要求1所述的一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，其特征在于，所述压杆底板(11)下部开设有两个以上的螺纹孔，用以连接压头基座(12)。
3.根据权利要求2所述的一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，其特征在于，所述压头基座(12)下端开设与压头连杆(13)相配合的螺纹孔。
4.根据权利要求3所述的一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，其特征在于，所述压头(14)为金刚石制成的球形压头。
5.根据权利要求4所述的一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，其特征在于，所述伺服电机(2)上部设有一后轴(1)，通过旋转后轴(1)能够改变压力推进器(5)下部的压杆(10)的伸缩长度，从而调节压头(14)的高度。
6.根据权利要求5所述的一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，其特征在于，所述伺服电机(2)采用步进电动机驱动，所述压力推进器(5)为一减速机，在伺服电机(2)的驱动下，控制压头(14)每次下降距离相等。
7.根据权利要求1～6中任意一项所述的一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，其特征在于，所述侧板(4)上开有方形的窗口。
8.根据权利要求1～6中任意一项所述的一种压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的装置，其特征在于，所述侧板(4)上开有V形的窗口。
9.权利要求1所述装置采用压痕法测量金属材料屈服强度和应变硬化指数的方法，包括如下步骤：
步骤一：将待检测对象放在磁性压台(8)上，调整待检测对象位置，使其处于压头(14)正下方并固定；
步骤二：调节后轴(1)，使压头(14)靠近待检测对象，但不要接触；
步骤三：设置伺服电机(2)每次驱动的距离和实验加载的总压痕深度；
步骤四：伺服电机(2)根据设置进行加载，压力传感器(9)记录加载过程中的加载载荷，并将信号传递给计算机，当压入深度达到设定的总压痕深度时，停止加载；
步骤五：根据设定的每次驱动距离和压力传感器(9)记录的载荷信号，得到载荷-位移曲线；
步骤六：根据得到的载荷-位移曲线计算得到材料的屈服强度σy和应变硬化指数n。
10.根据权利要求9所述的方法，其特征在于，步骤六采用如下步骤计算得到屈服强度σy和应变硬化指数n：
步骤a：将压入载荷Pg表达为几个基本参数组成的函数式，根据Π定理确定加载过程中压痕响应系数和材料参数的无量纲函数П1表达式：
<mrow>
<msub>
<mi>P</mi>
<mi>g</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<msubsup>
<mi>h</mi>
<mi>g</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>&CenterDot;</mo>
<msub>
<mi>&pi;</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msup>
<mi>E</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>n</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：E*为有效弹性模量，其值用被测材料的弹性模量E代替；σy为屈服强度值；hg为压入载荷Pg时对应的压入深度；n为应变硬化指数；
步骤b：判断待测金属材料的弹性模量E是否为已知，如果为已知则直接使用已知的数据，直接进行下一步的计算；如果弹性模量E未知，则采用Oliver-Pharr的方法，根据步骤五获得的载荷-深度曲线计算弹性模量，然后再进行下一步的计算；
步骤c：在给定的压入深度hg下，存在一个应变值使得步骤一中无量纲函数式(1)中的π1值与E*/σy相关，与应变硬化指数n无关，将该应变值定义为表观应变值εr，表观应变εr对应的应力为表观应力σr，此时，(1)式可由新的无量纲函数П2表达，如下：
<mrow>
<msub>
<mi>P</mi>
<mi>g</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<msubsup>
<mi>h</mi>
<mi>g</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
<mo>&CenterDot;</mo>
<msub>
<mi>&pi;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msup>
<mi>E</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>2</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
由于不同深度下对应的表观应变值εr不同，对不同深度下获得的表观应变值εr用三次多项式进行拟合：
<mrow>
<msub>
<mi>&epsiv;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>h</mi>
<mi>g</mi>
</msub>
<mi>R</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>h</mi>
<mi>g</mi>
</msub>
<mi>R</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>3</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>h</mi>
<mi>g</mi>
</msub>
<mi>R</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>h</mi>
<mi>g</mi>
</msub>
<mi>R</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：R为球型压头的半径；
步骤d：在某一固定深度hg/R下，当表观应变值εr确定后，将载荷-深度曲线和材料的力学参数之间所对应的各离散点进行拟合，得到该深度hg/R下的无量纲函数π2的表达式：
<mrow>
<msub>
<mi>&pi;</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msup>
<mi>E</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msub>
<mi>P</mi>
<mi>g</mi>
</msub>
<mrow>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<msubsup>
<mi>h</mi>
<mi>g</mi>
<mn>2</mn>
</msubsup>
</mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>b</mi>
<mn>1</mn>
</msub>
<msup>
<mi>ln</mi>
<mn>3</mn>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msup>
<mi>E</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>b</mi>
<mn>2</mn>
</msub>
<msup>
<mi>ln</mi>
<mn>2</mn>
</msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msup>
<mi>E</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>b</mi>
<mn>3</mn>
</msub>
<mi>l</mi>
<mi>n</mi>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msup>
<mi>E</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>+</mo>
<msub>
<mi>b</mi>
<mn>4</mn>
</msub>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>4</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
步骤e：根据获得的载荷-深度曲线上两组深度(hg1/R、hg2/R)，由式(3)求得对应深度下的表观应变值(εr1(hg1/R)、εr2(hg1/R))，由无量纲函数式(4)求得对应深度下的表观应力值(σr1(hg1/R)、σr2(hg1/R))；根据所分析的材料在均匀塑性阶段的应变硬化行为由本构关系表示为：
<mrow>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<msup>
<mi>E</mi>
<mo>*</mo>
</msup>
<msub>
<mi>&sigma;</mi>
<mi>y</mi>
</msub>
</mfrac>
<msub>
<mi>&epsiv;</mi>
<mi>r</mi>
</msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mo>-</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mn>5</mn>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
式中：σr为表观应力，εr为表观应变；
将两组表观应变值(εr1(hg1/R)、εr2(hg1/R))和表观应力值(σr1(hg1/R)、σr2(hg1/R))代入到式(5)中，从而获得材料的屈服强度σy和应变硬化指数n。
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