CN112925194A - 一种面向次/超同步振荡防控的控制器参数稳定域扩展方法 - Google Patents

Abstract

本发明具体涉及一种面向次/超同步振荡防控的控制器参数稳定域扩展方法，本发明创造性地将扩展圆盘定理应用于新能源电力系统含参数的状态矩阵(其元素为含待求主导控制器参数的函数)，依据稳定裕度评估指标提出相似变换矩阵的优化模型，求解后能够缩小特征值估计范围，进一步根据李雅普诺夫稳定判据作为反问题反演出扩展后的控制器参数稳定域，降低控制器参数稳定域的保守性。该控制器参数稳定域扩展方法具有计算效率高且保守性较小的特点，适于在线工程应用。本发明结合工程实际，可适应于新能源发电场站大量馈入电网背景下电力电子变换器控制参数的合理选取和在线刷新。

Description

一种面向次/超同步振荡防控的控制器参数稳定域扩展方法

技术领域

本发明涉及一种面向次/超同步振荡防控的基于扩展圆盘定理的控制器参数稳定域扩展方法。

背景技术

随着智能电网的快速发展，大规模新能源发电场站并网及大量电力电子装备在电网中应用，次同步控制相互作用(SSCI)引起的次超同步振荡问题严重影响了电力系统的安全稳定运行。已有研究分析了不同控制器参数对系统振荡模式的影响机理，发现振荡模式间存在阻尼耦合现象，提出源端和网端不同控制器参数的不匹配可能会诱发系统的次/超同步振荡，有必要进行参数优化或者建立参数稳定域评价控制器参数组合的合理性。

建立控制器参数稳定域可快速而直观地判断当前运行方式下电源侧和电网侧控制器参数组合的匹配性，便于电网调度或规划工作人员对该运行方式下控制器参数匹配状况进行快速评估和预警，以便针对潜在的次/超同步振荡风险采取预防措施。

现阶段基于状态空间法进行参数空间小干扰稳定域的构建方法主要分为特征值逐点计算和特征值估计两种方法。特征值逐点计算法通过对某一运行方式和确定的控制器参数组合下的系统状态矩阵进行特征值计算，依据稳定判据判别系统在此条件下的小干扰稳定性；进而遍历不同的控制器参数组合重复此过程，寻找相应频段的参数稳定域边界。待分析频段的大小和控制器参数组合的采样步长均会影响特征值逐点计算法的应用效果，为保证参数稳定域的准确性，需要对控制器参数组合密集采样，对于大规模新能源电力系统而言计算量非常大，难以在线应用。特征值估计法通过盖尔圆盘定理对系统状态矩阵特征值所在范围进行估计，进而结合李雅普诺夫稳定条件构建参数稳定域，可避免海量的特征值计算从而大幅度提升参数稳定域的构建效率，以适应在线应用的需要。然而，该方法所构建的参数稳定域是依据系统小干扰稳定性的充分条件进行反演的，在具有较高构建效率的同时不可避免存在较大的保守性，同样难以满足在线工程应用的需要。

发明内容

为了解决上述问题，本发明提出了一种面向次/超同步振荡防控的控制器参数稳定域扩展方法。针对基于基本圆盘定理构建的新能源电力系统小干扰稳定域保守性较大，难以在线工程应用的问题，本发明创造性地将扩展圆盘定理应用于新能源电力系统含参数的状态矩阵(其元素为含待求主导控制器参数的函数)，依据稳定裕度评估指标提出相似变换矩阵的优化模型，求解后能够缩小特征值估计范围，进一步根据李雅普诺夫稳定判据作为反问题反演出扩展后的控制器参数稳定域，降低控制器参数稳定域的保守性。该控制器参数稳定域扩展方法具有计算效率高且保守性较小的特点，适于在线工程应用。

本发明结合工程实际，可适应于新能源发电场站大量并网背景下根据当前运行方式合理选取和在线刷新电力电子变换器控制器参数的需要。

本发明的技术方案如下：

一种应用于次/超同步振荡的控制器参数稳定域扩展方法，其特征在于，具体包括以下步骤：

步骤1，根据已有的系统含控制器参数的状态矩阵A，其中，A＝(a_ij)_n×n为系统状态向量的集合，状态矩阵的维数n等同于状态的维数，也等同于系统状态变量的个数。根据基本圆盘定理，对系统的状态矩阵特征值分布范围进行估计，即使矩阵A∈C^n×n的n个特征值都在n个盖尔圆盘的并集中，即λ_i∈G_i，λ_i为A的特征值，i＝1,···,n

称复平面上的圆域为：

G_i＝{z||z-a_ii|≤R_i,z∈C} (i＝1,2,…,n) (2)

其中，R_i为：

其中，G_i为矩阵A的第i个Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。盖尔圆盘G_i的圆心为第i行对角元素a_ii；R_i为盖尔圆盘G_i的半径，数值上为状态矩阵第i行非对角元素绝对值的和。

步骤2，根据李雅普诺夫稳定判据结合上述基本圆盘定理得到的特征值估计范围，作为逆过程得到系统稳定约束条件并求解得到控制器参数的稳定边界，即构建出基本参数稳定域。

步骤3，在基本稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合，应用基本圆盘定理，根据圆盘到虚轴的距离，计算参数稳定裕度评估指标，对控制器参数的稳定裕度进行量化评估。

步骤4，以相似变换矩阵元素为优化变量，以步骤3中参数组合的稳定裕度评估指标最大化作为目标函数，以李雅普诺夫判据与圆盘定理结合的稳定约束为约束条件，建立用于求解应用于扩展圆盘定理的相似变换矩阵元素的优化模型，求解该模型获得最优相似变换矩阵。进而基于最优相似变换和扩展圆盘定理，对基本稳定域进行扩展，具体包括：

确保扩展矩阵C的∑Δd比矩阵A的∑Δd大，构建最优相似变换矩阵V的优化模型：

(1)优化变量：

优化模型的优化变量为β₁,β₂,......β_n。

(2)目标函数：

对于在基本稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合(a1，b1)，由状态矩阵A进行相似变换得到含优化变量β₁,β₂,......β_n的扩展矩阵C，令其盖尔圆盘距离虚轴总距离∑Δd最大化，即最大化该参数组合的稳定裕度评估指标F作为目标函数：

(3)约束条件：

经过最优相似变换后矩阵C的所有盖尔圆盘边界不得越过复平面虚轴，且β₁,β₂,......β_n都为正实数。约束条件表示为：

上述优化模型是线性约束的优化规划问题，可通过调用MATLAB优化工具箱、CPLEX等求解。求解上述优化模型获得最优解β_1op,β_2op,......,β_nop，进而得到对应的最优扩展矩阵C。

步骤5，根据步骤4求解得到的最优相似变换矩阵，对状态矩阵A进行变换得到对应的最优扩展矩阵C以优化盖尔圆盘的尺寸，进一步精确特征值估计的范围。对最优扩展矩阵C实施步骤3来构建扩展后的参数稳定域，实现对基本稳定域的有效扩展，降低参数稳定域的保守性。具体包括：根据最优相似变换矩阵对状态矩阵A进行变换，此时盖尔圆盘定理的应用对象从状态矩阵A转换成最优扩展矩阵C，各盖尔圆盘与虚轴的距离发生变化，盖尔圆盘边缘与虚轴的总距离∑Δd也随之改变。在相同的参数组合下，最优扩展矩阵C的∑Δd比矩阵A的∑Δd更大，即基于C矩阵所构建的扩展参数稳定域比基于矩阵A所构建的基本参数稳定域范围更广，通过多次在扩展参数稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合重复上述步骤1-步骤5，不断扩展参数稳定域边界，直至其快速逼近精确的参数稳定域边界。

在上述的一种应用于次/超同步振荡的控制器参数稳定域扩展方法，步骤2中，基于以下判据

李雅普诺夫稳定判据：对于线性定常系统

状态矩阵A的全部特征值都具有负实部，则系统是稳定的。

根据基本圆盘定理，当状态矩阵的所有圆盘均位于虚轴左侧时，对应的系统显然满足李雅普诺夫稳定条件。如果状态矩阵元素为控制参数的函数，则可根据圆盘定理结合李雅普诺夫稳定条件获得控制参数的稳定边界，即得到相应的参数稳定域。

根据基本圆盘定理得到稳定域需要满足以下两个约束：

约束条件a)：状态矩阵A的圆盘圆心全部在虚轴左侧，即：

Re(a_ii)＜0,i＝1～n (4)

Re为取实部操作，a_ii为A的第i个对角线元素，Re(a_ii)即为第i个圆盘圆心实部，n为矩阵维度。

约束条件b)：状态矩阵A的圆盘圆心到虚轴的距离大于相对应的圆盘半径，即：

其中，R_i为第i个圆盘的半径。

根据上述(4)(5)两个约束条件，稳定域边界表达式可通过对上述两式同取等号得到，求解出状态矩阵所含控制参数的稳定边界，即构建出基本参数稳定域。

在上述的一种应用于次/超同步振荡的控制器参数稳定域扩展方法，步骤3中，对基本稳定域进行参数稳定裕度评估。选取基本稳定域内任意参数组合(a,b)，此时对系数状态矩阵A应用基本圆盘定理，在复平面上得到对应的n个盖尔圆盘。因为此参数组合下系统是稳定的，所以n个盖尔圆盘都位于虚轴左侧，其中第i个圆盘距离虚轴的距离Δd_i可以表示如下：

所有Δd_i的和值表示所有盖尔圆盘与虚轴距离之和，设为∑Δd:

∑Δd＝Δd₁+Δd₂+......+Δd_n (7)

其中，Δd₁,Δd₂,......,Δd_n分别表示n个盖尔圆盘到虚轴的距离。

∑Δd越大，说明所有盖尔圆盘距离虚轴较远，特征值都远离虚轴，该参数组合下系统稳定裕度越大。∑Δd越小，说明有特征值距离虚轴较近，系统稳定裕度较小，即控制参数组合的稳定裕度可以通过∑Δd来反映。为更直观、清晰的表示稳定裕度，对∑Δd进行归一化处理：设初始参数组合(a0,b0)处的∑Δd为∑Δd₀，定义控制器参数(a,b)处的稳定裕度评估指标为：

稳定裕度评估指标F越大，则说明当前控制器参数组合距离稳定域边界较远，系统较稳定；反之，F越小则说明当前控制器参数组合靠近稳定边界，系统稳定性较差。通过指标F来评价控制器参数组合下的系统稳定裕度具有计算简单、物理意义明确的优点；尤其对于多维坐标空间中的参数稳定域，其边界的具体数学表达式非常复杂的情况下，该指标能清晰直观地展示系统的稳定裕度。

在上述的一种应用于次/超同步振荡的控制器参数稳定域扩展方法，步骤4中，针对状态矩阵A，选取一组正实数β₁,β₂......β_n，设有对角阵V＝diag(β₁,β₂,......β_n)，则存在与A矩阵相似的矩阵:

C＝V^-1AV (9)

命名矩阵C为扩展矩阵，C矩阵与A矩阵具有一致的特征值，(9)即为相似变换。因此，经相似变换后，矩阵A的所有特征值λ₁,λ₂,......λ_n均落在以下复平面区域中：

对于矩阵A采用不同的β₁,β₂,......β_n进行相似变换后，矩阵特征值和圆盘圆心不会改变，只会使得圆盘半径改变。因此通过构造相似变换矩阵V缩放圆盘，根据需要调整特征值估计的范围，此即为扩展圆盘定理；

由(10)可知，扩展矩阵C的第i个盖尔圆盘到虚轴的距离表示如下：

其中，c_ii表示扩展矩阵C的第i个盖尔圆盘的圆心。

矩阵A经过相似变换成扩展矩阵C后，各盖尔圆盘与虚轴的距离发生变化，因此盖尔圆盘边缘与虚轴的总距离∑Δd也随之改变。若在相同的参数组合下，扩展矩阵C的∑Δd比原矩阵A的∑Δd更大，则可以认为基于C矩阵所构建的参数稳定域比基于矩阵A所构建的参数稳定域范围更广，基本稳定域的边界得到了扩展，降低了参数稳定域的保守性。

因此，本发明具有如下优点：与应用盖尔圆盘定理构建的基本参数稳定域相比，本发明的优点在于提出求解应用扩展圆盘定理的相似变换矩阵的数学模型，使得扩展圆盘定理对状态矩阵的特征值估计更为精确，构建的扩展稳定域范围更广，从而降低了参数稳定域的保守性。

附图说明

图1为基本圆盘与虚轴距离物理意义示意图。

图2为扩展圆盘与虚轴距离物理意义示意图。

图3为本发明实施例的直驱风电场经VSC-HVDC并网外送的系统模型图。

图4为本发明实施例的h_p3-b_p1平面基本参数稳定域示意图。

图5为本发明实施例的h_p3-b_p1平面基本参数稳定域放大图。

图6为本发明实施例的h_p3-b_p1平面扩展参数稳定域示意图。

图7为本发明实施例的h_p3-b_p1平面基本参数稳定域和扩展参数稳定域对比图。

具体实施方式

下面根据实施例，并结合附图，对本发明的技术方案作具体说明。

首先介绍本发明的方法原理，本发明包括一种应用于次/超同步振荡的控制器参数稳定域扩展方法，具体包括以下步骤：

步骤1，根据基本圆盘定理，对含控制器参数的系统的状态矩阵A特征值分布范围进行估计。

设有状态矩阵A：

A＝(a_ij)_n×n (1)

称复平面上的圆域为：

G_i＝{z||z-a_ii|≤R_i,z∈C} (i＝1,2,…,n) (2)

其中，R_i为：

其中，G_i为矩阵A的第i个Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘。盖尔圆盘G_i的圆心为第i行对角元素a_ii；R_i为盖尔圆盘G_i的半径，数值上为状态矩阵第i行非对角元素绝对值的和。

基本圆盘定理：矩阵A∈C^n×n的n个特征值都在它的n个盖尔圆盘的并集中，即λ_i∈G_i，λ_i为A的特征值，i＝1,···,n。简称此定理为基本圆盘定理。因此根据基本盖尔圆盘定理，可以对状态矩阵特征值分布范围进行估计。

步骤2，根据李雅普诺夫稳定判据结合上述基本圆盘定理得到的特征值估计范围，作为逆过程得到系统稳定约束条件并求解得到控制器参数的稳定边界，即构建出基本参数稳定域。

李雅普诺夫稳定判据：对于线性定常系统

状态矩阵A的全部特征值都具有负实部，则系统是稳定的。

根据基本圆盘定理，当状态矩阵的所有圆盘均位于虚轴左侧时，对应的系统显然满足李雅普诺夫稳定条件。如果状态矩阵元素为控制参数的函数，则可根据圆盘定理结合李雅普诺夫稳定条件获得控制参数的稳定边界，即得到相应的参数稳定域。

根据基本圆盘定理得到稳定域需要满足以下两个约束：

约束条件a)：状态矩阵A的圆盘圆心全部在虚轴左侧，即：

Re(a_ii)＜0,i＝1～n (4)

Re为取实部操作，a_ii为A的第i个对角线元素，Re(a_ii)即为第i个圆盘圆心实部，n为矩阵维度。

约束条件b)：状态矩阵A的圆盘圆心到虚轴的距离大于相对应的圆盘半径，即：

其中，R_i为第i个圆盘的半径。

根据上述(4)(5)两个约束条件，稳定域边界表达式可通过对上述两式同取等号得到，求解出状态矩阵所含控制参数的稳定边界，即构建出基本参数稳定域(以下简称基本稳定域)。

因为基本稳定域构建过程的基础是状态矩阵对应圆盘都落在虚轴左侧而不是特征值都落在虚轴左侧，所以基本稳定域在具有很高构建效率的同时也不可避免存在较大的保守性。

步骤3，在基本稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合，应用基本圆盘定理，根据圆盘到虚轴的距离，计算参数稳定裕度评估指标，对控制器参数的稳定裕度进行量化评估。

对上述基本稳定域进行参数稳定裕度评估。选取基本稳定域内任意参数组合(a,b)，此时对系数状态矩阵A应用基本圆盘定理，可以在复平面上得到对应的n个盖尔圆盘。因为此参数组合下系统是稳定的，所以n个盖尔圆盘都位于虚轴左侧，其中第i个圆盘距离虚轴的距离Δd_i可以表示如下，其物理意义如图1所示：

所有Δd_i的和值表示所有盖尔圆盘与虚轴距离之和，设为∑Δd:

∑Δd＝Δd₁+Δd₂+......+Δd_n (7)

其中，Δd₁,Δd₂,......,Δd_n分别表示n个盖尔圆盘到虚轴的距离。

∑Δd越大，说明所有盖尔圆盘距离虚轴较远，特征值都远离虚轴，该参数组合下系统稳定裕度越大。∑Δd越小，说明有特征值距离虚轴较近，系统稳定裕度较小，即控制参数组合的稳定裕度可以通过∑Δd来反映。为更直观、清晰的表示稳定裕度，对∑Δd进行归一化处理：设初始参数组合(a0,b0)处的∑Δd为∑Δd₀，定义控制器参数(a,b)处的稳定裕度评估指标为：

稳定裕度评估指标F越大，则说明当前控制器参数组合距离稳定域边界较远，系统较稳定；反之，F越小则说明当前控制器参数组合靠近稳定边界，系统稳定性较差。通过指标F来评价控制器参数组合下的系统稳定裕度具有计算简单、物理意义明确的优点；尤其对于多维坐标空间中的参数稳定域，其边界的具体数学表达式非常复杂的情况下，该指标能清晰直观地展示系统的稳定裕度。

步骤4，以相似变换矩阵元素为优化变量，以步骤4中参数组合的稳定裕度评估指标最大化作为目标函数，以李雅普诺夫判据与圆盘定理结合的稳定约束为约束条件，建立用于求解应用于扩展圆盘定理的相似变换矩阵元素的优化模型，求解该模型获得最优相似变换矩阵。进而基于最优相似变换和扩展圆盘定理，对基本稳定域进行扩展，具体而言：

针对状态矩阵A，选取一组正实数β₁,β₂......β_n，设有对角阵V＝diag(β₁,β₂,......β_n)，则存在与A矩阵相似的矩阵:

C＝V^-1AV (9)

命名矩阵C为扩展矩阵，C矩阵与A矩阵具有一致的特征值，(9)即为相似变换。因此，经相似变换后，矩阵A的所有特征值λ₁,λ₂,......λ_n均落在以下复平面区域中：

对于矩阵A采用不同的β₁,β₂,......β_n进行相似变换后，矩阵特征值和圆盘圆心不会改变，只会使得圆盘半径改变。因此通过构造合适的相似变换矩阵V灵活地缩放圆盘，可以根据需要调整特征值估计的范围，此即为扩展圆盘定理，其作用如图2表述。图2中实线圆盘为相似变换前的圆盘，即采用基本圆盘定理所得，而虚线圆盘则为经矩阵相似变换后得到的扩展圆盘，为矩阵C的盖尔圆盘。矩阵似变换使得不同圆盘的半径有缩有放，部分圆盘远离虚轴，另一部分圆盘则会靠近虚轴，但无论圆盘半径如何变化，矩阵C的盖尔圆盘始终包含矩阵A的特征值。

由(10)可知，扩展矩阵C的第i个盖尔圆盘到虚轴的距离可以表示如下：

其中，c_ii表示扩展矩阵C的第i个盖尔圆盘的圆心。

矩阵A经过相似变换成扩展矩阵C后，各盖尔圆盘与虚轴的距离发生变化，因此盖尔圆盘边缘与虚轴的总距离∑Δd也随之改变。若在相同的参数组合下，扩展矩阵C的∑Δd比原矩阵A的∑Δd更大，则可以认为基于C矩阵所构建的参数稳定域比基于矩阵A所构建的参数稳定域范围更广，基本稳定域的边界得到了扩展，降低了参数稳定域的保守性。

因此，为了确保扩展矩阵C的∑Δd比矩阵A的∑Δd更大，可构建最优相似变换矩阵V的优化模型：

(1)优化变量：

优化模型的优化变量为β₁,β₂,......β_n。

(2)目标函数：

对于在基本稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合(a1，b1)，由状态矩阵A进行相似变换得到含优化变量β₁,β₂,......β_n的扩展矩阵C，令其盖尔圆盘距离虚轴总距离∑Δd最大化，即最大化该参数组合的稳定裕度评估指标F作为目标函数：

(3)约束条件：

经过最优相似变换后矩阵C的所有盖尔圆盘边界不得越过复平面虚轴，且β₁,β₂,......β_n都为正实数。约束条件表示为：

上述优化模型是线性约束的优化规划问题，可通过调用MATLAB优化工具箱、CPLEX等求解。求解上述优化模型获得最优解β_1op,β_2op,......,β_nop，进而得到对应的最优扩展矩阵C。

步骤5，根据步骤4求解得到的最优相似变换矩阵，对状态矩阵A进行变换得到对应的最优扩展矩阵C以优化盖尔圆盘的尺寸，进一步精确特征值估计的范围。对最优扩展矩阵C实施步骤2来构建扩展后的参数稳定域，实现对基本稳定域的有效扩展，降低参数稳定域的保守性。具体而言：

根据最优相似变换矩阵对状态矩阵A进行变换，此时盖尔圆盘定理的应用对象从状态矩阵A转换成最优扩展矩阵C，各盖尔圆盘与虚轴的距离发生变化，盖尔圆盘边缘与虚轴的总距离∑Δd也随之改变。在相同的参数组合下，最优扩展矩阵C的∑Δd比矩阵A的∑Δd更大，即基于C矩阵所构建的扩展参数稳定域比基于矩阵A所构建的基本参数稳定域范围更广，基本稳定域的边界得到了有效扩展，降低了参数稳定域的保守性。进一步，通过多次在扩展参数稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合重复上述步骤1-步骤5，可以不断扩展参数稳定域边界，直至其快速逼近精确的参数稳定域边界。

下面介绍采用上述方法的具体实施例：

以直驱风电场经VSC-HVDC并网外送系统为例，其中涉及到的直驱风电机组换流控制器参数如下：D-PMSG换流控制器机侧参数k_p1,k_i1,k_p2,k_i2,k_p3,k_i3，电网侧参数h_p1,h_i1,h_p2,h_i2,h_p3,h_i3；VSC-HVDC换流器送端控制器参数b_i1,b_p2,b_i2,b_p3,b_i3,b_p4,b_i4；受端控制器参数c_p1,c_i1,c_p2,c_i2,c_p3,c_i3,c_p4,c_i4。下标p和i分别代表控制器参数的比例增益和积分增益。上述参数取值范围由厂家和电网实际运行状态给出。

系统拓扑如图3所示，以1台“0.69kV,12MW”的直驱风电机组(D-PMSG)代表直驱风电场，其中D-PMSG换流控制器和高压直流(VSC-HVDC)换流控制器参数见表1、2，直驱风电机组的网侧控制器的q轴比例系数h_p3，VSC-HVDC的送端控制器的d轴外环比例系数b_p1同时影响着13.24Hz的SSO模式与59.38Hz的SupSO模式，调节这两个控制器参数会对相互耦合振荡模式的动态性能产生复杂的影响。因此，从影响耦合模式性能的主导控制器参数中选取直驱风电机组的网侧控制器q轴比例系数h_p3、VSC-HVDC的送端控制器d轴外环比例系数b_p1作为变量构建参数稳定域，可以为控制器参数的合理选取和在线刷新提供指导。

表1D-PMSG换流控制器参数取值说明

表2VSC-HVDC换流控制器参数取值说明

根据步骤1，其状态变量为X＝[Δi_q,Δu_dc,Δi_sd,Δi_sq,Δw₃,Δx₁,Δx₃,Δy₄]^T，包含上述两个控制参数的含参状态矩阵A如表3所示：

表3 8*8状态矩阵A中h_p3和b_p1的函数关系

应用基本圆盘定理，对上述含参系统状态矩阵的特征值分布范围进行估计。

根据步骤2，根据李雅普诺夫稳定判据结合基本圆盘定理得到的特征值估计范围，作为逆过程得到系统稳定约束条件，并反演出控制器参数的稳定边界，即基本稳定域。求得在h_p3-b_p1为坐标轴张成的二维平面中基本稳定域如图4中阴影部分所示。图4中黑色实线代表满足约束条件a的参数组合的集合边界，黑色虚线代表满足约束条件b的参数组合的集合边界。所有约束各自反演获得满足约束条件的参数组合的集合边界，这些集合边界所包围区域的交集构成了基本稳定域，即图4中的阴影区域。

根据步骤3，在基本稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合，应用基本圆盘定理，根据盖尔圆盘到虚轴的距离，计算参数稳定裕度评估指标，对控制器参数的稳定裕度进行量化评估。

以上述基本稳定域为例进行稳定裕度评估指标的计算说明。稳定域内选点如图5所示。首先计算初始参数组合1为h_p3＝1.1、b_p1＝0.2处的稳定裕度，计算得到此时盖尔圆盘到虚轴总距离∑Δd＝2167.2，稳定裕度评价指标F＝1；再取一组稳定域边界附近的参数组合2为h_p3＝2.2、b_p1＝0.2，计算此时的盖尔圆盘到虚轴总距离∑Δd＝949.4，稳定裕度评价指标F＝0.438，与参数组合1相比稳定裕度评估指标要小。从图5可以看出，参数组合2与参数组合1相比更接近稳定域边界，稳定裕度较小，因此验证了稳定裕度评估指标的有效性。

根据步骤4，建立相似变换矩阵的优化模型，以相似变换矩阵元素为优化变量，以最大化步骤3中参数组合2的稳定裕度评估指标作为目标函数，以李雅普诺夫与盖尔圆盘定理结合的稳定约束为约束条件，求解该模型获得最优相似变换矩阵。

选取基本稳定域边界附近的参数组合hp3＝2.2、bp1＝0.2(即步骤4中的参数组合2)，应用公式(9)，得到含变量β₁,β₂,......,β_n的扩展矩阵C，通过公式(11)计算扩展矩阵C的第i个盖尔圆盘到虚轴的距离继而求得稳定裕度评价指标∑Δd。

以β₁,β₂,......,β_n为优化变量，以该参数组合的稳定裕度评估指标F作为目标函数，如式(12)所示。以盖尔圆盘不得越过复平面虚轴且β₁,β₂,......β_n都为正实数为约束条件，如式(13)所示。求解该优化模型得到最优相似变换矩阵V为：

V＝diag(2.03,3.14,3.14,1.12×10^-7,1.16×10^-7,1.81,1.81,1.08)

此时：

对比参数组合2的稳定裕度评价指标F有了明显提升。

根据步骤5，基于此相似变换矩阵对状态矩阵进行变换，以优化盖尔圆盘的尺寸进一步精确特征值估计范围，进而获得扩展后的参数稳定域，实现对基本稳定域的有效扩展，降低基本稳定域的保守性。将最优相似变换矩阵V代入公式(9)，得到含参的扩展矩阵C，由扩展矩阵C构建得到的扩展稳定域如图6中阴影部分所示。图7中比较了基本稳定域与扩展稳定域的范围，阴影部分为基本稳定域，黑色实线包围的空白部分为扩展后的稳定域。可以看出，扩展稳定域范围明显增加且完全包围基本稳定域，说明本发明所构建的扩展稳定域能够高效地减小基本稳定域的保守性,满足在线工程应用的需要。

本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。

Claims (4)

1.一种应用于次/超同步振荡的控制器参数稳定域扩展方法，其特征在于，具体包括以下步骤：

步骤1，根据已有的系统含控制器参数的状态矩阵A，其中，A＝(a_ij)_n×n为系统状态向量的集合，状态矩阵的维数n等同于状态的维数，也等同于系统状态变量的个数；根据基本圆盘定理，对系统的状态矩阵特征值分布范围进行估计，即使矩阵A∈C^n×n的n个特征值都在n个盖尔圆盘的并集中，即λ_i∈G_i，λ_i为A的特征值，i＝1,···,n

称复平面上的圆域为：

G_i＝{z||z-a_ii|≤R_i,z∈C} (i＝1,2,…,n) (2)

其中，R_i为：

其中，G_i为矩阵A的第i个Gerschgorin圆盘，简称盖尔圆盘；盖尔圆盘G_i的圆心为第i行对角元素a_ii；R_i为盖尔圆盘G_i的半径，数值上为状态矩阵第i行非对角元素绝对值的和；

步骤2，根据李雅普诺夫稳定判据结合上述基本圆盘定理得到的特征值估计范围，作为逆过程得到系统稳定约束条件并求解得到控制器参数的稳定边界，即构建出基本参数稳定域；

步骤3，在基本稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合，应用基本圆盘定理，根据圆盘到虚轴的距离，计算参数稳定裕度评估指标，对控制器参数的稳定裕度进行量化评估；

步骤4，以相似变换矩阵元素为优化变量，以步骤3中参数组合的稳定裕度评估指标最大化作为目标函数，以李雅普诺夫判据与圆盘定理结合的稳定约束为约束条件，建立用于求解应用于扩展圆盘定理的相似变换矩阵元素的优化模型，求解该模型获得最优相似变换矩阵；进而基于最优相似变换和扩展圆盘定理，对基本稳定域进行扩展，具体包括：

确保扩展矩阵C的∑Δd比矩阵A的∑Δd大，构建最优相似变换矩阵V的优化模型：

(1)优化变量：

优化模型的优化变量为β₁,β₂,......β_n；

(2)目标函数：

对于在基本稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合(a1，b1)，由状态矩阵A进行相似变换得到含优化变量β₁,β₂,......β_n的扩展矩阵C，令其盖尔圆盘距离虚轴总距离∑Δd最大化，即最大化该参数组合的稳定裕度评估指标F作为目标函数：

(3)约束条件：

经过最优相似变换后矩阵C的所有盖尔圆盘边界不得越过复平面虚轴，且β₁,β₂,......β_n都为正实数；约束条件表示为：

求解优化模型获得最优解β_1op,β_2op,......,β_nop，进而得到对应的最优扩展矩阵C；

步骤5，根据步骤4求解得到的最优相似变换矩阵，对状态矩阵A进行变换得到对应的最优扩展矩阵C以优化盖尔圆盘的尺寸，进一步精确特征值估计的范围；对最优扩展矩阵C实施步骤3来构建扩展后的参数稳定域，实现对基本稳定域的有效扩展，降低参数稳定域的保守性；具体包括：根据最优相似变换矩阵对状态矩阵A进行变换，此时盖尔圆盘定理的应用对象从状态矩阵A转换成最优扩展矩阵C，各盖尔圆盘与虚轴的距离发生变化，盖尔圆盘边缘与虚轴的总距离∑Δd也随之改变；在相同的参数组合下，最优扩展矩阵C的∑Δd比矩阵A的∑Δd更大，即基于C矩阵所构建的扩展参数稳定域比基于矩阵A所构建的基本参数稳定域范围更广，通过多次在扩展参数稳定域待扩展方向的边界附近选取参数组合重复上述步骤1-步骤5，不断扩展参数稳定域边界，直至其快速逼近精确的参数稳定域边界。

2.根据权利要求1所述的一种应用于次/超同步振荡的控制器参数稳定域扩展方法，其特征在于，步骤2中，基于以下判据

李雅普诺夫稳定判据：对于线性定常系统

状态矩阵A的全部特征值都具有负实部，则系统是稳定的；

根据基本圆盘定理，当状态矩阵的所有圆盘均位于虚轴左侧时，对应的系统显然满足李雅普诺夫稳定条件；如果状态矩阵元素为控制参数的函数，则可根据圆盘定理结合李雅普诺夫稳定条件获得控制参数的稳定边界，即得到相应的参数稳定域；

根据基本圆盘定理得到稳定域需要满足以下两个约束：

约束条件a：状态矩阵A的圆盘圆心全部在虚轴左侧，即：

Re(a_ii)＜0,i＝1～n (4)

Re为取实部操作，a_ii为A的第i个对角线元素，Re(a_ii)即为第i个圆盘圆心实部，n为矩阵维度；

约束条件b：状态矩阵A的圆盘圆心到虚轴的距离大于相对应的圆盘半径，即：

其中，R_i为第i个圆盘的半径；

根据约束条件a和约束条件b，稳定域边界表达式可通过对上述两式同取等号得到，求解出状态矩阵所含控制参数的稳定边界，即构建出基本参数稳定域。

3.根据权利要求1所述的一种应用于次/超同步振荡的控制器参数稳定域扩展方法，其特征在于，步骤3中，对基本稳定域进行参数稳定裕度评估；选取基本稳定域内任意参数组合(a,b)，此时对系数状态矩阵A应用基本圆盘定理，在复平面上得到对应的n个盖尔圆盘；因为此参数组合下系统是稳定的，所以n个盖尔圆盘都位于虚轴左侧，其中第i个圆盘距离虚轴的距离Δd_i可以表示如下：

所有Δd_i的和值表示所有盖尔圆盘与虚轴距离之和，设为∑Δd:

∑Δd＝Δd₁+Δd₂+......+Δd_n (7)

其中，Δd₁,Δd₂,......,Δd_n分别表示n个盖尔圆盘到虚轴的距离；

∑Δd越大，说明所有盖尔圆盘距离虚轴较远，特征值都远离虚轴，该参数组合下系统稳定裕度越大；∑Δd越小，说明有特征值距离虚轴较近，系统稳定裕度较小，即控制参数组合的稳定裕度可以通过∑Δd来反映；为更直观、清晰的表示稳定裕度，对∑Δd进行归一化处理：设初始参数组合(a0,b0)处的∑Δd为∑Δd₀，定义控制器参数(a,b)处的稳定裕度评估指标为：

稳定裕度评估指标F越大，则说明当前控制器参数组合距离稳定域边界较远，系统较稳定；反之，F越小则说明当前控制器参数组合靠近稳定边界，系统稳定性较差；通过指标F来评价控制器参数组合下的系统稳定裕度具有计算简单、物理意义明确的优点；尤其对于多维坐标空间中的参数稳定域，其边界的具体数学表达式非常复杂的情况下，该指标能清晰直观地展示系统的稳定裕度。

4.根据权利要求1所述的一种应用于次/超同步振荡的控制器参数稳定域扩展方法，其特征在于，步骤4中，针对状态矩阵A，选取一组正实数β₁,β₂......β_n，设有对角阵V＝diag(β₁,β₂,......β_n)，则存在与A矩阵相似的矩阵:

C＝V^-1AV (9)

命名矩阵C为扩展矩阵，C矩阵与A矩阵具有一致的特征值，(9)即为相似变换；因此，经相似变换后，矩阵A的所有特征值λ₁,λ₂,......λ_n均落在以下复平面区域中：

对于矩阵A采用不同的β₁,β₂,......β_n进行相似变换后，矩阵特征值和圆盘圆心不会改变，只会使得圆盘半径改变；因此通过构造相似变换矩阵V缩放圆盘，根据需要调整特征值估计的范围，此即为扩展圆盘定理；

由(10)可知，扩展矩阵C的第i个盖尔圆盘到虚轴的距离表示如下：

其中，c_ii表示扩展矩阵C的第i个盖尔圆盘的圆心；

矩阵A经过相似变换成扩展矩阵C后，各盖尔圆盘与虚轴的距离发生变化，因此盖尔圆盘边缘与虚轴的总距离∑Δd也随之改变；若在相同的参数组合下，扩展矩阵C的∑Δd比原矩阵A的∑Δd更大，则可以认为基于C矩阵所构建的参数稳定域比基于矩阵A所构建的参数稳定域范围更广，基本稳定域的边界得到了扩展，降低了参数稳定域的保守性。

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