CN108051773A - 基于盖式圆盘准则估计信源数目的epuma方法 - Google Patents

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CN108051773A CN201711136675.9A CN201711136675A CN108051773A CN 108051773 A CN108051773 A CN 108051773A CN 201711136675 A CN201711136675 A CN 201711136675A CN 108051773 A CN108051773 A CN 108051773A
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张琪
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Abstract

本发明公开了一种基于盖式圆盘准则（Gerschgorin Disk Estimator,GDE）估计信源数目的改进EPUMA（Enhanced principal‑singular‑vector utilization for modal analysis）算法，该发明针对信源数目未知的问题，利用盖式圆盘准则更准确、更有效的估计信源数目，进而通过EPUMA算法进行波达方向（Direction of arrival,DOA）估计。仿真实验结果表明，该算法无需进行空间平滑，能够准确估计处目标的DOA信息，且分辨率更高，精度更准确。

Description

基于盖式圆盘准则估计信源数目的EPUMA方法
技术领域
本发明涉及阵列信号角度估计领域，具体涉及一种基于盖式圆盘准则估计信源数目的EPUMA方法。
背景技术
波达方向(DOA)估计是现代阵列信号处理中的研究热点之一，被广泛应用于移动通信、雷达、声呐、生物医学以及地震勘察等军事和民用等领域。目前国内外学者已经研究了许多经典的超分辨DOA估计算法，但这些算法一般都在理想环境下提出的。实际应用中，由于人为干扰以及多径传播的影响，空间中存在相干信源，经典的DOA估计算法不能有效估计相干信源的波达方向。在相干信号的情况下，相邻信源DOA分辨率会进一步下降，同时未知信源数目问题也亟需解决。
对比传统的MUSIC算法，利用MUSIC-Group Delay算法进行相邻相干信号源的DOA估计虽然能取得较高的空间分辨率，但是前后向空间平滑算法也会导致阵列孔径变小，空域自由度降低，信源DOA分辨率下降。近年来，国内外科研人员提出了PUMA算法，该方法不需要进行空间平滑处理，就可以估计出相干信源的DOA。然而在信噪比和样本数都较低的情况下，信号子空间估计无法准确估计信源DOA，PUMA算法会出现异常值，当信源高度相干时，分辨率急剧下降，PUMA算法已无法满足应用需求。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是针对背景技术中所涉及到的缺陷，提供一种基于盖式圆盘准则(Gerschgorin Disk Estimator,GDE)估计信源数目的EPUMA(Enhancedprincipal-singular-vector utilization for modal analysis)方法，能够准确估计相干信源DOA信息，同时提高空间分辨率。
本发明为解决上述技术问题采用以下技术方案：
基于盖式圆盘准则估计信源数目的EPUMA方法，包括如下步骤：
步骤1)，令有K个远场窄带信号入射到由M个阵元构成的均匀直线阵列中，阵列接收信号的矢量形式为X(t)＝AS(t)+N(t)，其中，X(t)＝[x1(t),x2(t),...,xM(t)]T，xm(t)表示第m个阵元在第t个时刻接收的信号，S(t)＝[s1(t),s2(t),...,sK(t)]T表示K个空间信号张成的K×1维矢量，sk(t)为第k个空间信号在t时刻接收的信号，N(t)表示M×1维接收的噪声矢量，A表示M×K维阵列天线的导向矢量，且A＝[a(θ1)…a(θK)]，θk表示第k个远场信号的入射角，υ为载波波长，d为阵元间距；
则阵列数据的协方差矩阵为R＝E[X(t)X(t)H]＝ARsAH+σ2I，其中，E[]为求均值公式，Rs是信号的协方差矩阵，σ2是噪声功率，I是单位矩阵；
步骤2)，通过计算信号部分的盖尔圆个数估计信号源数目，得到盖式圆盘准则；
步骤2.1)，将阵列的协方差R用分块矩阵表示如下：
其中，R1是由R的前M-1行和前M-1列构成的(M-1)×(M-1)维矩阵，r是阵列的协方差矩阵R的第M列的前M-1个元素构成的列向量，即：r＝[r1M,r2M,…,r(M-1)M]H；
步骤2.2)，R1的特征分解为R1＝U1D1U1 H，U1＝[u1',u2',…uM-1']是由R1的特征向量构成的(M-1)×(M-1)维的酉矩阵，D1＝diag(λ1',λ2',…,λM-1')是由R1的特征值构成的对角阵，特征值满足λ1'≥λ2'≥…≥λM-1'；
步骤2.3)，利用U1构造重要酉矩阵U：
步骤2.4)，利用矩阵U对阵列协方差矩阵R进行酉变换后的矩阵为：
式中，A1是A的前(M-1)行构成的(M-1)×M维的矩阵，a'm是阵列导向矢量A的第m行对应的行向量；
步骤2.5)，前(M-1)个盖尔圆(O1,O2,…,OM-1)的半径为：
当i＝K+1,K+2,…,M-1时ρi＝0，而当i＝1,2,…,K时ρi≠0；
步骤2.6)，根据以下公式计算得到盖式圆盘准则：
其中，L是快拍数，D(L)是关于L的递减函数，且值在0和1之间；
GDE(d)是GDE(k)(k＝1,2,…,M-1)中的第一个负值，估计信源数目
步骤3)，根据已估计的信源数目估计信源DOA；
步骤3.1)，对阵列数据的协方差矩阵R进行特征值分解，得到：
R＝UΛUH
其中，U＝[u1…uM]为特征向量，Λ＝diag(λ1…λM)是特征值，代表信号特征向量，代表噪声特征向量；
步骤3.2)，利用EPUMA算法估计信源DOA，根据线性预测原理得到：
其中，是线性预测系数，
Toeplitz(a,b)代表托普利茨矩阵，a表示该矩阵的第一列，b表示第一行，表示克罗内克积，表示伪逆；
步骤3.3)，根据求得其中，
步骤3.4)，根据以下公式计算出
步骤4)，根据二阶DOA选择策略获得最终DOA角度：
步骤4.1)，根据盖式圆盘准则估计信源数目为利用EPUMA算法求出个DOA角度；
步骤4.2)，把个DOA角度分成个子集，每个子集中有个不同的DOA角度，并将这G个子集分别用Θ1,…,ΘG表示；
步骤4.3)，将每个A(Θi)带入代价函数L(Θ)＝tr((IM-A(Θ)(AH(Θ)A(Θ))-1AH(Θ))R)，求出L(Θ)最小值对应的角度，其中，tr是求迹，IM是单位矩阵，A(Θ)是指G个DOA角度对应的导向矢量；
步骤4.4)，将L(Θ)最小值对应的角度作为结果输出。
本发明采用以上技术方案与现有技术相比，具有以下技术效果：
本发明将能够估计信号源数目的盖式圆盘准则引入到DOA的估计中，进一步研究了基于信源数目预估计的EPUMA方法，该方法利用盖式圆盘准则估计信源个数，接着用EPUMA算法进行DOA估计，能够准确估计相干信源DOA信息，同时提高空间分辨率，精度更准确。
附图说明
图1为本发明信号处理流程图；
图2为均匀线阵的信号模型；
图3为信源非相干时，盖式圆盘准则的信源数目估计图；
图4为信源相干时，盖式圆盘准则的信源数目估计图；
图5为非相干时，PUMA算法与G-EPUMA算法均方根误差与SNR之间变化关系图；
图6为相干时，PUMA算法与G-EPUMA算法均方根误差与SNR之间变化关系图；
图7为信源非相干时，PUMA算法与G-EPUMA算法均方根误差与快拍数之间变化关系图；
图8为信源相干时，PUMA算法与G-EPUMA算法均方根误差与快拍数之间变化关系图；
图9为信源非相干时，PUMA算法与G-EPUMA算法均方根误差与阵元个数之间变化关系图；
图10为信源相干时，PUMA算法与G-EPUMA算法均方根误差与阵元个数之间变化关系图；
图11为相关系数为0.5时，PUMA算法与G-EPUMA算法均方根误差与SNR之间变化关系图；
图12为相关系数为0.95时，PUMA算法与G-EPUMA算法均方根误差与SNR之间变化关系图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明的技术方案做进一步的详细说明：
如图1所示，本发明公开了一种基于盖式圆盘准则估计信源数目的EPUMA方法，包含以下步骤：
步骤一、假设有K个远场窄带信号入射到由M个阵元构成的均匀直线阵列中，如图2，则阵列接收信号的矢量形式为
X(t)＝AS(t)+N(t),
其中，X(t)＝[x1(t),x2(t),...,xM(t)]T，xm(t)表示第m个阵元在第t个时刻接收的信号，S(t)＝[s1(t),s2(t),...,sK(t)]T表示K个空间信号张成的K×1维矢量，sk(t)为第k个空间信号在t时刻接收的信号，N(t)表示M×1维接收的噪声矢量，A表示M×K维阵列天线的导向矢量，且A＝[a(θ1)…a(θK)]，θk表示第k个远场信号的入射角，υ为载波波长，d为阵元间距；
则阵列数据的协方差矩阵为
R＝E[X(t)X(t)H]＝ARsAH+σ2I
其中，E[]为求均值公式，Rs是信号的协方差矩阵，σ2是噪声功率，I是单位矩阵；
步骤二、将阵列的协方差R用分块矩阵表示如下:
其中，R1是由R的前M-1行和前M-1列构成的(M-1)×(M-1)维矩阵，r是阵列的协方差矩阵R的第M列的前M-1个元素构成的列向量，即：r＝[r1M,r2M,…,r(M-1)M]H；
R1的特征分解为
R1＝U1D1U1 H,
U1＝[u1',u2',…uM-1']是由R1的特征向量构成的(M-1)×(M-1)维的酉矩阵，D1＝diag(λ1',λ2',…,λM-1')是由R1的特征值构成的对角阵，特征值满足λ1'≥λ2'≥…≥λM-1'；
利用U1构造重要酉矩阵U：
利用矩阵U对阵列协方差矩阵R进行酉变换后的矩阵为：
式中，A1是A的前(M-1)行构成的(M-1)×M维的矩阵，a'm是阵列导向矢量A的第m行对应的行向量。由上式可以看出，前(M-1)个盖尔圆(O1,O2,…,OM-1)的半径为：
因为是协方差矩阵R1的噪声特征向量，与矩阵A1的列向量相正交，所以当i＝K+1,K+2,…,M-1时ρi＝0，而当i＝1,2,…,K时ρi≠0。
由上述分析可知，这些盖尔圆被分成半径为零的盖尔圆和半径不为零的盖尔圆。半径不为零的部分是信号部分，而半径为零的部分则是噪声部分。通过计算信号部分的盖尔圆个数估计信号源数目，最终得到的盖式圆盘准则如下：
其中，L是快拍数，D(L)是关于L的递减函数，且值在0和1之间。GDE(d)是GDE(k)(k＝1,2,…,M-1)中的第一个负值，估计信源数目
步骤三、对阵列数据的协方差矩阵R进行特征值分解，得到：
R＝UΛUH
其中，U＝[u1…uM]为特征向量，Λ＝diag(λ1…λM)是特征值，代表信号特征向量，代表噪声特征向量。
利用EPUMA算法估计信源DOA，根据线性预测原理可得：
其中，是线性预测系数，并且，
其中，Toeplitz(a,b)代表托普利茨矩阵，a表示该矩阵的第一列，b表示第一行，表示克罗内克积，表示伪逆。
根据上述公式重复迭代2-3次后得到然后根据求得其中，最后可计算出：
步骤四、二阶DOA选择策略。根据于盖式圆盘准则估计信源数目为EPUMA算法求出个DOA角度，再把个DOA角度分成个子集，每个子集中有个不同的DOA角度，将这G种组合方法分别用Θ1,…,ΘG表示。
将每个A(Θi)带入代价函数：
L(Θ)＝tr((IM-A(Θ)(AH(Θ)A(Θ))-1AH(Θ))R)
其中，tr是求迹，IM是单位矩阵，A(Θ)是指G个DOA角度对应的导向矢量。
最终得到的一组DOA角度就是L(Θ)最小值对应的角度。
下面通过计算机仿真验证本章算法的有效性。本次仿真基于均匀线阵(ULA)，系统噪声建模为高斯白噪声，阵元间距为半波长，且均基于1000次独立蒙特卡洛实验。系统仿真参数如表1所示。
表1系统仿真参数
参数名称 参数数值
阵元数(M) 10
目标方位角(θ) [1°8°35°]
快拍数(N) 50
信噪比(SNR) 10dB
图3、图4分别是在信源非相干和相干条件下，用盖式圆盘估计信源数目的结果。根据盖式圆盘准则，GDE(d)是GDE(k)(k＝1,2,…,M-1)中的第一个负值，则信源数目从图3、图4中可以看出，当k＝4时，GDE(d)首次小于0，而且在k＞4时，GDE(d)趋于平稳，此时，具体的信源数目为3。所以，不管信源相干与否，基于盖式圆盘估计信源方法均能准确的估计信号源数目。
表2、表3分别为信噪比变化时和快拍数变化时PUMA算法与G-EPUMA算法的DOA估计。由表2可以看出，快拍数为50，随着信噪比的逐渐增加，这两种算法所估计的目标方位角越来越接近所估计的目标方位角。而在信噪比相同时，EPUMA算法比PUMA算法估计的更加精确。由表3可以看出，在不同快拍数的情况下，假设信噪比为10dB时，随着快拍数的逐渐增加，这两种算法的准确度都随之提高，而在快拍数相同时，G-EPUMA算法比PUMA算法的估计效果好。
表2信噪比变化时PUMA算法与G-EPUMA算法的DOA估计
表3快拍数变化时PUMA算法与G-EPUMA算法的DOA估计
图5～图12为相干条件下和非相干条件下PUMA算法和G-EPUMA算法在不同条件下误差的对比图，其结果均表明，基于信源数目预估计的EPUMA方法的分辨率更高，精度更准确。
本技术领域技术人员可以理解的是，除非另外定义，这里使用的所有术语(包括技术术语和科学术语)具有与本发明所属领域中的普通技术人员的一般理解相同的意义。还应该理解的是，诸如通用字典中定义的那些术语应该被理解为具有与现有技术的上下文中的意义一致的意义，并且除非像这里一样定义，不会用理想化或过于正式的含义来解释。
以上所述的具体实施方式，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施方式而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.基于盖式圆盘准则估计信源数目的EPUMA方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1)，令有K个远场窄带信号入射到由M个阵元构成的均匀直线阵列中，阵列接收信号的矢量形式为X(t)＝AS(t)+N(t)，其中，X(t)＝[x1(t),x2(t),...,xM(t)]T，xm(t)表示第m个阵元在第t个时刻接收的信号，S(t)＝[s1(t),s2(t),...,sK(t)]T表示K个空间信号张成的K×1维矢量，sk(t)为第k个空间信号在t时刻接收的信号，N(t)表示M×1维接收的噪声矢量，A表示M×K维阵列天线的导向矢量，且A＝[a(θ1)…a(θK)]，θk表示第k个远场信号的入射角，υ为载波波长，d为阵元间距；
则阵列数据的协方差矩阵为R＝E[X(t)X(t)H]＝ARsAH+σ2I，其中，E[]为求均值公式，Rs是信号的协方差矩阵，σ2是噪声功率，I是单位矩阵；
步骤2)，通过计算信号部分的盖尔圆个数估计信号源数目，得到盖式圆盘准则；
步骤2.1)，将阵列的协方差R用分块矩阵表示如下：
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其中，R1是由R的前M-1行和前M-1列构成的(M-1)×(M-1)维矩阵，r是阵列的协方差矩阵R的第M列的前M-1个元素构成的列向量，即：r＝[r1M,r2M,…,r(M-1)M]H；
步骤2.2)，R1的特征分解为R1＝U1D1U1 H，U1＝[u1',u2',…uM-1']是由R1的特征向量构成的(M-1)×(M-1)维的酉矩阵，D1＝diag(λ1',λ2',…,λM-1')是由R1的特征值构成的对角阵，特征值满足λ1'≥λ2'≥…≥λM-1'；
步骤2.3)，利用U1构造重要酉矩阵U：
<mrow> <mi>U</mi> <mo>=</mo> <mfenced open = "(" close = ")"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mi>U</mi> <mn>1</mn> </msub> </mtd> <mtd> <mn>0</mn> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msup> <mn>0</mn> <mi>T</mi> </msup> </mtd> <mtd> <mn>1</mn> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow>
步骤2.4)，利用矩阵U对阵列协方差矩阵R进行酉变换后的矩阵为：
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式中，A1是A的前(M-1)行构成的(M-1)×M维的矩阵，a'm是阵列导向矢量A的第m行对应的行向量；
步骤2.5)，前(M-1)个盖尔圆(O1,O2,…,OM-1)的半径为：
当i＝K+1,K+2,…,M-1时ρi＝0，而当i＝1,2,…,K时ρi≠0；
步骤2.6)，根据以下公式计算得到盖式圆盘准则：
<mrow> <mi>G</mi> <mi>D</mi> <mi>E</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>k</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>D</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>L</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <munderover> <mo>&amp;Sigma;</mo> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </munderover> <msub> <mi>r</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow>
其中，L是快拍数，D(L)是关于L的递减函数，且值在0和1之间；
GDE(d)是GDE(k)(k＝1,2,…,M-1)中的第一个负值，估计信源数目
步骤3)，根据已估计的信源数目估计信源DOA；
步骤3.1)，对阵列数据的协方差矩阵R进行特征值分解，得到：
R＝UΛUH
其中，U＝[u1…uM]为特征向量，Λ＝diag(λ1…λM)是特征值，代表信号特征向量，代表噪声特征向量；
步骤3.2)，利用EPUMA算法估计信源DOA，根据线性预测原理得到：
<mrow> <mover> <mi>c</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mi>H</mi> </msup> <mover> <mi>W</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mover> <mi>g</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> </mrow>
其中，是线性预测系数，
<mrow> <msub> <mover> <mi>F</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>P</mi> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>P</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>1</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>P</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>P</mi> </msub> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msub> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mo>.</mo> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mn>...</mn> </mtd> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mi>P</mi> </mrow> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>;</mo> <msub> <mover> <mi>g</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msup> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mrow> <mi>P</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mtd> <mtd> <mo>...</mo> </mtd> <mtd> <msub> <mrow> <mo>&amp;lsqb;</mo> <msub> <mi>u</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> <mi>M</mi> </msub> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mi>T</mi> </msup> <mo>;</mo> </mrow>
Toeplitz(a,b)代表托普利茨矩阵，a表示该矩阵的第一列，b表示第一行，表示克罗内克积，表示伪逆；
步骤3.3)，根据求得其中，
步骤3.4)，根据以下公式计算出
<mrow> <msub> <mover> <mi>&amp;theta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>q</mi> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mi>sin</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>&amp;upsi;</mi> <mo>&amp;angle;</mo> <msub> <mover> <mi>z</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>q</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> <mi>d</mi> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>q</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>P</mi> <mo>;</mo> </mrow>
步骤4)，根据二阶DOA选择策略获得最终DOA角度：
步骤4.1)，根据盖式圆盘准则估计信源数目为利用EPUMA算法求出个DOA角度；
步骤4.2)，把个DOA角度分成个子集，每个子集中有个不同的DOA角度，并将这G个子集分别用Θ1,…,ΘG表示；
步骤4.3)，将每个A(Θi)带入代价函数L(Θ)＝tr((IM-A(Θ)(AH(Θ)A(Θ))-1AH(Θ))R)，求出L(Θ)最小值对应的角度，其中，tr是求迹，IM是单位矩阵，A(Θ)是指G个DOA角度对应的导向矢量；
步骤4.4)，将L(Θ)最小值对应的角度作为结果输出。
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