CN112909924B - 运行和控制参数的新能源电力系统小干扰稳定域获取方法 - Google Patents
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Abstract
本发明具体涉及一种运行和控制参数组合空间的新能源电力系统小干扰稳定域构建方法。针对新能源电力系统小干扰稳定域构建中计算效率低，难以在线应用的问题，本发明创造性地将圆盘定理应用于新能源电力系统的含参数回率矩阵(其元素是待求主导运行参数、控制参数和角频率的函数)，快速估计其特征值分布范围并依据广义奈奎斯法的小干扰稳定判据，作为反问题，反演出在所有频率下能够稳定运行的电力系统运行参数和控制器参数组合的范围即参数空间的小干扰稳定域；进一步，基于最优相似变换提出一种分步优化的稳定域扩展方法，有效降低该稳定域的保守性。该参数空间的小干扰稳定域构建方法具有计算效率高，保守性较小的特点，适于在线应用。
Description
技术领域
本发明涉及一种运行和控制参数组合空间的新能源电力系统小干扰稳定域获取方法。
背景技术
在大规模新能源并网发电、直流输送的时代背景下，一类与电力电子变换器控制作用紧密联系的次/超同步振荡问题即次/超同步控制相互作用(SSCI)已受到广泛关注。新能源电力系统中的控制器参数和系统运行参数的不匹配可能会诱发系统的次/超同步振荡，因此有必要进行参数优化或者建立参数稳定域评价控制器参数和运行参数的合理性。虽然通过参数优化可以提高系统稳定性，但是优化方法计算效率低，常见于离线应用。参数稳定域便于在线应用，可快速而直观地判断运行参数和控制参数及其组合对系统稳定状态的影响，对参数的合理选取提供指导，保障系统安全稳定运行。
SSCI属于小干扰稳定范畴，小干扰稳定性分析方法主要分为状态空间法和阻抗分析法。状态空间法基于系统状态矩阵进行小干扰稳定分析，具有理论严密、概念清晰的优点，但是对于实际复杂电网而言，状态矩阵的维数会受到电网规模的影响而增加，因此会导致计算量急剧增加。阻抗矩阵维数较低，分析计算较为简便，因此阻抗分析法更适用于大量电力电子器件接入的新能源电力系统的小干扰稳定分析。
基于阻抗分析法的小干扰稳定分析又可以具体分为特征值计算法和广义奈奎斯特法，特征值分析法能够精确计算出任一确定参数下电力系统中所关注振荡模式的阻尼和频率，但是在系统中存在多台换流器情况下总阻抗矩阵形式较为复杂，难于计算其极点。广义奈奎斯特法是是根据电力系统的变流器侧阻抗和电网侧阻抗形成的开环传递函数(开环传递函数的矩阵形式即为回率矩阵)是否满足广义奈奎斯特判据来判断系统稳定性。进一步，结合盖尔圆盘定理(以下简称圆盘定理)，对回率矩阵的根轨迹范围进行估计并判断其是否在稳定范围内，即可判断其稳定性，此方法虽然计算效率高，但是仅能判断确定运行参数和控制参数组合下某一固定频率下的系统稳定性，要分析不同运行参数和控制参数组合下某一频段的系统稳定性会使得计算量大幅提升，不便于在线应用，且通过此方法进行稳定性判别具有较大的保守性。
发明内容
为解决以上问题，本方法将角频率作为影响振荡模式的考虑因素之一，形成新能源电力系统的含参数回率矩阵(其元素是待求主导运行参数、控制参数和角频率的函数)，基于圆盘定理快速估计特征值分布范围并依据广义奈奎斯法的小干扰稳定判据，作为反问题，反演出在所有频率下能够稳定运行的电力系统运行参数和控制器参数组合的范围即参数空间的小干扰稳定域(以下简称运行参数稳定域)；进一步，针对该稳定域的保守性，基于最优相似变换提出一种分步优化的稳定域扩展方法，有效降低该稳定域的保守性。该参数空间的小干扰稳定域构建方法具有计算效率高，保守性较小的特点，适于在线应用。最后通过算例对该方法的有效性和优越性进行了验证。
本发明结合工程实际，可适应于新能源发电场站大量馈入电网背景下电力电子变换器的控制参数、电力系统运行参数的合理选取。
本发明的技术方案如下：
一种运行和控制参数组合空间的新能源电力系统小干扰稳定域构建方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，在并网点电压ua、ub、uc信号中叠加扰动，推导交流侧电流i1a、i1b、i1c的响应，求输出电压和输出电流响应之比，即为逆变器等效输出阻抗，并取逆得到逆变器侧的导纳矩阵Yoc(s)；公共耦合点处的网侧阻抗常等效为感性阻抗Zg(s)＝Rg+sLg。因此可表示为在给定控制参数条件下的电力系统阻抗模型，即含参数变量的电力系统阻抗模型，其中包含变换器侧的导纳矩阵Yoc(s)和电网侧阻抗矩阵Zg(s)。
步骤2，根据以下计算公式形成包含控制参数的电力系统回率矩阵L(s)：
其中，Ldd(s)为电力系统回率矩阵中d轴分量，Lqq(s)为q轴分量，Ldq(s)和Lqd(s)为d、q轴分量耦合部分，s为拉普拉斯算子。
步骤3，求取电力系统运行参数基本稳定域，对含控制参数的回率矩阵结合圆盘定理估计特征值分布范围，进而依据广义奈奎斯稳定特判据即可建立满足稳定性约束条件的运行参数基本稳定域。
步骤4，根据运行参数基本稳定域进行扩展的运行参数扩展稳定域。
定义最优相似变换矩阵为D1＝diag(β1,β2)，β1、β2为正实数，根据以下公式求得矩阵L1(s)：
变换后的矩阵L1(s)对角元素不变，非对角元素改变，对应盖尔圆盘圆心不变，半径改变。因此通过求解合适的相似变换矩阵，可以使得盖尔圆盘远离α＝-1线，使得运行参数稳定域保守性减小。
在步骤3中所求的基本稳定域边界上选取参数组合(m1,n1)，逆映射到三维空间后取边界点坐标得到w1，得到三维空间对应坐标(m1,n1,w1)。在此参数组合下，设有2阶对角阵D1、D2，其对角元素皆为正实数，求令圆心为Ldd的盖尔圆盘一离稳定范围边界距离d1最大化的最优相似变换矩阵D1，接着对含参回率矩阵L(m,n,jw)进行最优相似变换得到扩展回率矩阵L1，进一步求解含参扩展回率矩阵L1中盖尔圆盘一的稳定约束条件，得到三维区域一；然后在(m1,n1,w1)参数组合下针对圆心为Lqq的盖尔圆盘二重复上述过程，得到对应的最优相似变换矩阵D2和L2，求解L2中盖尔圆盘二的稳定约束条件得到三维区域二，取这两个三维区域的交集再投影到m-n二维平面上，即为扩展后的运行参数扩展稳定域。
在上述的一种运行和控制参数组合空间的新能源电力系统小干扰稳定域构建方法，步骤3中，由于电网和逆变器都开环稳定，那么逆变器阻抗矩阵Zoc(s)和电网侧阻抗矩阵Zg(s)在s域右半平面都无极点，Zoc(s)是Yoc(s)的逆矩阵，依据广义奈奎斯稳定特判据只需保证回率矩阵L(s)的所有频率下特征值λ＝α+jw都分布在α＝-1的右边，则能够保证根轨迹环绕(-1,j0)，从而保证了系统的稳定性。
令s＝jw，根据圆盘定理，回率矩阵L(jw)的全部特征值都位于其相应的盖尔圆盘内，圆盘的圆心为L(jw)的对角元素，圆盘的半径为L(jw)的非对角元素绝对值之和。因此，只需保证回率矩阵L(jw)对应的盖尔圆盘在任何频率下都位于α＝-1的右侧，则可以保证所有特征值都位于稳定范围，即L(jw)的根轨迹不会经过(-1,j0)，系统满足广义奈奎斯特稳定判据，此即系统稳定的充分条件。
定义需要构建运行参数稳定域的参数变量为m和n，稳定性约束条件表示为：
式中，Re为取实部操作，m,n为用于构建运行参数稳定域的参数变量，j为虚数单位，w为频率。
根据以上两个约束可以求得分别满足某一条件的关于m-n-w三维空间中的两个三维区域，这两个三维区域的交集投影到m-n坐标轴上得到关于m-n平面的二维区域，此二维区域内的参数组合在所有角频率w下都能够保证回率矩阵L(s)的特征根轨迹在α＝-1的右侧，即系统稳定，因此该二维区域即为关于参数m-n的基本稳定域。当m和n为电力系统的运行参数及控制参数时，该基本稳定域称为运行参数基本稳定域。
在上述的一种运行和控制参数组合空间的新能源电力系统小干扰稳定域构建方法，步骤4中构建最优相似变换矩阵D1、D2的优化模型如下：
(1)优化变量：
优化变量为正实数β1,β2,β3,β4，分别为最优相似变换矩阵的对角元素，最优相似变换矩阵D1＝diag(β1,β2)、D2＝diag(β3,β4)。
(2)优化目标：
将参数组合(m1,n1,w1)代入含参回率矩阵L(m,n,jw)，令盖尔圆盘一和2分别到α＝-1的距离尽可能最大化，表示为：
(3)约束条件：
经过最优相似变换后的盖尔圆盘一和二不得越过稳定边界，且β1,β2,β3,β4都为正实数。约束条件可表示为：
对于上述线性约束的优化规划问题，可通过调用MATLAB优化工具箱、CPLEX等求解。
求解由上述公式(4-6)构成的优化模型可以得到满足要求的最优变换矩阵D1、D2。如公式(3)所示将D1、D1的逆矩阵和含参回率矩阵L(s)相乘，即可得到扩展回率矩阵L1(s)，求解公式(7)可以得到三维区域一：
Re(L1dd(m,n,jw))-|L1dq(m,n,jw)|＞-1 (7)
对矩阵D2重复上述过程，得到扩展回率矩阵L2(s)，求解公式(8)可得到三维区域二：
Re(L2qq(m,n,jw))-|L2qd(m,n,jw)|＞-1 (8)
对三维区域一、二进行取交集操作并将其投影到m-n的二维平面即得到运行参数扩展稳定域。
因此，本发明具有如下优点：
本发明提出的方法，由于大大减少了特征值计算，在获取效率上，较逐点特征值计算获取稳定域有较大优势，有在线应用的潜力，来实现对次/超同步振荡的预防和抑制；将运行参数和控制器参数共同当做获取稳定域的变量，既对控制器参数的选取提供了参考，也为运行调度人员在系统运行状态选择上提供指导。
附图说明
附图1是PMSG通过逆变器接入电网示意图。
附图2是Ki1-I-w三维基本稳定域。
附图3是Ki1-I基本稳定域。
附图4是Ki1-I扩展稳定域。
附图5是稳定域对比图。
具体实施方式
下面通过实施例，并结合附图，对本发明的技术方案作具体说明。
首先介绍本发明的方法原理，本发明涉及一种运行和控制参数组合空间的新能源电力系统小干扰稳定域构建方法，以一台直驱风电机组(permanent magnet synchronousgenerator，PMSG)通过逆变器接入弱电网为例，其中涉及到的逆变器控制参数有电流控制器比例增益Kp1、积分增益Ki1，解耦系数Kd，锁相环比例增益KpPLL、积分增益KiPLL，逆变器端口输出电压恒定，运行参数为逆变器输出电流I，结构参数有网侧滤波电容C、滤波电感L。上述参数取值范围由厂家和电网实际运行状态给出。
具体包括以下步骤：
步骤1，在以上参数条件下求解电力系统阻抗模型，得到变换器(即逆变器)侧的导纳矩阵Yoc(s)和电网侧阻抗矩阵Zg(s)。
步骤2，根据以下计算公式形成电力系统的回率矩阵L(s)：
步骤3，求取电力系统运行参数基本稳定域，对上述含参数回率矩阵结合圆盘定理估计特征值分布范围，进而依据广义奈奎斯稳定特判据即可建立满足如下稳定性约束条件的运行参数基本稳定域。
由于电网和逆变器都开环稳定，那么逆变器阻抗矩阵Zoc(s)(Yoc(s)的逆矩阵)和电网侧阻抗矩阵Zg(s)在s域右半平面都无极点，因此依据广义奈奎斯稳定特判据只需保证回率矩阵L(s)的所有频率下特征值λ＝α+jw都分布在α＝-1的右边，则可以保证根轨迹环绕(-1,j0)，从而保证了系统的稳定性。
令s＝jw，根据圆盘定理，回率矩阵L(jw)的全部特征值都位于其相应的盖尔圆盘内，圆盘的圆心为L(jw)的对角元素，圆盘的半径为L(jw)的非对角元素绝对值之和。因此，只需保证回率矩阵L(jw)对应的盖尔圆盘在任何频率下都位于α＝-1的右侧，则可以保证所有特征值都位于稳定范围，即L(jw)的根轨迹不会经过(-1,j0)，系统满足广义奈奎斯特稳定判据，此即系统稳定的充分条件。
假设需要构建运行参数稳定域的参数变量为m和n，上述稳定性约束条件可以表示为：
式中，Re为取实部操作。
根据以上两个约束可以求得分别满足某一条件的关于m-n-w三维空间中的两个三维区域，这两个三维区域的交集投影到m-n坐标轴上得到关于m-n平面的二维区域，此二维区域内的参数组合在所有角频率w下都能够保证回率矩阵L(s)的特征根轨迹在α＝-1的右侧，即系统稳定，因此该二维区域即为关于参数m-n的基本稳定域。当m和n为电力系统的运行参数及控制参数时，该基本稳定域称为运行参数基本稳定域(以下简称基本稳定域)。
步骤4，根据运行参数基本稳定域进行扩展的运行参数扩展稳定域。
设最优相似变换矩阵为D1＝diag(β1,β2)，β1、β2为正实数，根据以下公式求得矩阵L1(s)：
变换后的矩阵L1(s)对角元素不变，非对角元素改变，对应盖尔圆盘圆心不变，半径改变。因此通过求解合适的相似变换矩阵，可以使得盖尔圆盘远离α＝-1线，使得运行参数稳定域保守性减小。
在步骤3中所求的基本稳定域边界上选取参数组合(m1,n1)，逆映射到三维空间后取边界点坐标得到w1，得到三维空间对应坐标(m1,n1,w1)。在此参数组合下，设有2阶对角阵D1、D2，其对角元素皆为正实数，求令圆心为Ldd的盖尔圆盘(称其为盖尔圆盘1)离稳定范围边界距离d1最大化的最优相似变换矩阵D1，接着对含参回率矩阵L(m,n,jw)进行最优相似变换得到扩展回率矩阵L1，进一步求解含参扩展回率矩阵L1中盖尔圆盘1的稳定约束条件(即公式(2)中的上式)，得到三维区域1；然后在(m1,n1,w1)参数组合下针对圆心为Lqq的盖尔圆盘(称其为盖尔圆盘2)重复上述过程，得到对应的最优相似变换矩阵D2和L2，求解L2中盖尔圆盘2的稳定约束条件(即公式(2)中的下式)得到三维区域2，取这两个三维区域的交集再投影到m-n二维平面上，即为扩展后的运行参数稳定域(即运行参数扩展稳定域)。
步骤4中构建最优相似变换矩阵D1、D2的优化模型如下：
(1)优化变量：
优化变量为正实数β1,β2,β3,β4，分别为最优相似变换矩阵的对角元素，最优相似变换矩阵D1＝diag(β1,β2)、D2＝diag(β3,β4)。
(2)优化目标：
将参数组合(m1,n1,w1)代入含参回率矩阵L(m,n,jw)，令盖尔圆盘1和2分别到α＝-1的距离尽可能最大化，表示为：
(3)约束条件：
经过最优相似变换后的盖尔圆盘1和2不得越过稳定边界，且β1,β2,β3,β4都为正实数。约束条件可表示为：
对于上述线性约束的优化规划问题，可通过调用MATLAB优化工具箱、CPLEX等求解。
求解上述优化模型可以得到满足要求的最优变换矩阵D1、D2。如公式(3)所示将D1、D1的逆矩阵和含参回率矩阵L(s)相乘，即可得到扩展回率矩阵L1(s)，求解公式(7)可以得到三维区域1：
Re(L1dd(m,n,jw))-|L1dq(m,n,jw)|＞-1 (7)
对矩阵D2重复上述过程，得到扩展回率矩阵L2(s)，求解公式(8)可得到三维区域2：
Re(L2qq(m,n,jw))-|L2qd(m,n,jw)|＞-1 (8)
对三维区域1、2进行取交集操作并将其投影到m-n的二维平面即得到运行参数扩展稳定域(以下简称扩展稳定域)。
实施例：
以PMSG通过逆变器接入弱电网为例，其模型如附图1所示。
逆变器额定输出功率为1.5MW，接入电网电压等级为690V，其他初始参数见表1。
表1逆变器并网初始参数
根据算例系统阻抗矩阵的特征值计算结果判断算例系统的小干扰稳定性并分析系统的振荡模式，如表2所示。对系统运作参数和控制参数进行根轨迹灵敏度分析，发现Kp1、Ki1、KiPLL和逆变器输出电流I对系统23.525HZ的次同步振荡模式(SSO)影响较大，因此以上参数为主导运行参数和控制参数。从中选择Ki1和I作为变量构建稳定域。
表2振荡模态
1.根据变换器(即逆变器)侧导纳矩阵和电网侧阻抗矩阵形成本算例系统的含参回率矩阵L(s)，由于其中包含了变量Ki1和I以及角频率w，因此该回率矩阵表示为L(Ki1,I,w)。
2.构建基本稳定域。以下公式为稳定约束条件：
求解公式(9)，反演求得由Ki1、I和角频率w所张成的三维区域，如图2所示，为展示方便，只展示角频率w在[0,200π]之间的三维图形。红色区域为满足公式(9)中上式表征约束条件的三维区域，蓝色区域为满足公式(9)中下式表征约束条件的三维区域，将这两个三维区域交集映射到Ki1-I平面上，可以得到图3，图中空白区域即为基本稳定域，基本稳定域的范围大约在I∈[0,600]，Ki1∈[500,1000]之间(理论上Ki1取值范围可以更大，为方便展示本节取其上限为1000)。
3.构建扩展稳定域
为降低保守性，根据步骤4所述方法，对运行参数I增大方向上的基本稳定域进行扩展。取基本稳定域在该方向上一个临近边界的参数组合，在三维空间中的坐标为Ki1＝800，I＝550，w＝147，在此参数组合下，回率矩阵L为：
求解步骤4中所提的分步优化模型，得到最优相似变换矩阵D1、D2，其中
进一步得到相应的含参扩展回率矩阵L1(s)、L2(s)。求解其对应的稳定约束条件，获得相应的三维区域，取这两个三维区域的交集再投影到二维平面上获得扩展稳定域，如图4中空白区域所示。可以发现，扩展稳定域的范围大约在I∈[0,1750]，Ki1∈[450,1000]之间，即稳定域得到了有效扩展，大幅度降低了保守性。
此处给出算例系统阻抗矩阵特征值逐点计算得到的参数稳定域(即准确的参数稳定域)、扩展稳定域、基本稳定域对比图，如附图5所示。粗实线和坐标轴包围部分为特征值逐点计算得到的稳定域，细实线和坐标轴包围区域为扩展稳定域，虚线和坐标轴包围部分为基本稳定域。可见本方法得到的基本和扩展稳定域是位于逐点计算稳定域内的，由于逐点计算稳定域是准确的，所以本方法所构建的稳定域可以确保稳定性；且扩展稳定域范围明显大于基本稳定域，说明其保守性大幅降低，具有在线应用的潜力。记特征值逐点计算法为方法1，扩展稳定域构建方法为方法2。比较两种方法在参数抽样间隔为1时的计算耗时，计算耗时对比如表3所示(计算条件为：CPU为Intel Core i5-4590，主频为3.30GHz，内存为8.00GB，操作系统为Windows7，软件平台为Matlab R2014a)。表3表明扩展稳定域构建方法比特征值逐点计算法相比具有高得多的计算效率，适合在线应用。
表3参数抽样间隔为1时计算耗时对比
本文中所描述的具体实施例仅仅是对本发明精神作举例说明。本发明所属技术领域的技术人员可以对所描述的具体实施例做各种各样的修改或补充或采用类似的方式替代，但并不会偏离本发明的精神或者超越所附权利要求书所定义的范围。
Claims (3)
1.一种运行和控制参数的新能源电力系统小干扰稳定域获取方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，在并网点电压u a、u b、u c信号中叠加扰动，推导交流侧电流i 1a 、i 1b 、i 1c的响应，求输出电压和输出电流响应之比，即为逆变器等效输出阻抗，并取逆得到逆变器侧的导纳矩阵Y oc (s);公共耦合点处的网侧阻抗常等效为感性阻抗
；因此可表示为在给定控制参数条件下的电力系统阻抗模型，即含参数变量的电力系统阻抗模型，得到变换器侧的导纳矩阵Y oc (s)和电网侧阻抗矩阵Z g (s)；
步骤2，根据以下计算公式形成包含控制参数的电力系统回率矩阵L(s)：
其中，Ldd(s)为电力系统回率矩阵中d轴分量，Lqq(s) 为q轴分量，Ldq(s) 和Lqd(s) 为d、q轴分量耦合部分，s为拉普拉斯算子；
步骤3，求取电力系统运行参数基本稳定域，对含控制参数的回率矩阵结合圆盘定理估计特征值分布范围，进而依据广义奈奎斯稳定特判据即可建立满足稳定性约束条件的运行参数基本稳定域；
步骤4，根据运行参数基本稳定域进行扩展的运行参数扩展稳定域；
定义最优相似变换矩阵为
，
为正实数，根据以下公式求得矩阵L 1 (s)：
变换后的矩阵L 1 (s)对角元素不变，非对角元素改变，对应盖尔圆盘圆心不变，半径改变；因此通过求解相似变换矩阵，使得盖尔圆盘远离
线，使得运行参数稳定域保守性减小；
在步骤3中所求的基本稳定域边界上选取参数组合(m1,n1），逆映射到三维空间后取边界点坐标得到w1，得到三维空间对应坐标(m1,n1,w1)；在此参数组合下，设有2阶对角阵D 1、D 2，其对角元素皆为正实数，求令圆心为L dd的盖尔圆盘一离稳定范围边界距离d1最大化的最优相似变换矩阵D 1，接着对含参回率矩阵L(m,n,jw)进行最优相似变换得到扩展回率矩阵L 1，进一步求解含参扩展回率矩阵L 1中盖尔圆盘一的稳定约束条件，得到三维区域一；然后在(m1,n1,w1)参数组合下针对圆心为L qq的盖尔圆盘二重复上述过程，得到对应的最优相似变换矩阵D 2和L 2，求解L 2中盖尔圆盘二的稳定约束条件得到三维区域二，取这两个三维区域的交集再投影到m-n二维平面上，即为扩展后的运行参数扩展稳定域。
2.根据权利要求1所述的运行和控制参数的新能源电力系统小干扰稳定域获取方法，其特征在于，步骤3中，由于电网和逆变器都开环稳定，那么逆变器阻抗矩阵Z oc (s)和电网侧阻抗矩阵Z g (s)在s域右半平面都无极点，Z oc (s)是Y oc (s)的逆矩阵，依据广义奈奎斯稳定特判据只需保证回率矩阵L(s)的所有频率下特征值
都分布在
的右边，则能够保证根轨迹环绕(-1,j0)，从而保证了系统的稳定性；
令s=jw，根据圆盘定理，回率矩阵L(jw)的全部特征值都位于其相应的盖尔圆盘内，圆盘的圆心为L(jw)的对角元素，圆盘的半径为L(jw)的非对角元素绝对值之和；因此，只需保证回率矩阵L(jw)对应的盖尔圆盘在任何频率下都位于
的右侧，则保证所有特征值都位于稳定范围，即L(jw)的根轨迹不会经过(-1,j0)，系统满足广义奈奎斯特稳定判据，此即系统稳定的充分条件；
定义需要构建运行参数稳定域的参数变量为m和n，稳定性约束条件表示为：
式中，Re为取实部操作，m,n为用于构建运行参数稳定域的参数变量，j为虚数单位，w为频率；
根据以上两个约束求得分别满足某一条件的关于m-n-w三维空间中的两个三维区域，这两个三维区域的交集投影到m-n坐标轴上得到关于m-n平面的二维区域，此二维区域内的参数组合在所有角频率w下都能够保证回率矩阵L(s)的特征根轨迹在
的右侧，即系统稳定，因此该二维区域即为关于参数m-n的基本稳定域；当m和n为电力系统的运行参数及控制参数时，该基本稳定域称为运行参数基本稳定域。
3.根据权利要求1所述的运行和控制参数的新能源电力系统小干扰稳定域获取方法，其特征在于，步骤4中构建最优相似变换矩阵D 1、D 2的优化模型如下：
（1）优化变量：
优化变量为正实数
，分别为最优相似变换矩阵的对角元素，最优相似变换矩阵
、
；
（2）优化目标：
将参数组合(m1,n1,w1)代入含参回率矩阵L(m,n,jw)，令盖尔圆盘一和二分别到
的距离最大化，表示为：
（3）约束条件：
经过最优相似变换后的圆盘一和二不得越过稳定边界，且
都为正实数；约束条件可表示为：
求解优化模型得到满足要求的最优变换矩阵D 1、D 2；公式(3)所示将D 1、D 1的逆矩阵和含参回率矩阵L(s)相乘，即得到扩展回率矩阵L 1 (s)，求解公式(7)得到三维区域一：
对矩阵D 2重复上述过程，得到扩展回率矩阵L 2 (s)，求解公式(8)可得到三维区域二：
对三维区域一、二进行取交集操作并将其投影到m-n的二维平面即得到运行参数扩展稳定域。
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