CN112861388A - 一种基于正交设计的协作机器人全域结构优化设计方法 - Google Patents

一种基于正交设计的协作机器人全域结构优化设计方法 Download PDF

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CN112861388A CN201911169640.4A CN201911169640A CN112861388A CN 112861388 A CN112861388 A CN 112861388A CN 201911169640 A CN201911169640 A CN 201911169640A CN 112861388 A CN112861388 A CN 112861388A
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Abstract

本发明涉及协作机器人，具体地说是一种基于正交设计的协作机器人全域结构优化设计方法，步骤一：将机器人分成多个模块并等效为超单元；步骤二：获得各超单元自身坐标系下的刚度矩阵
Figure DDA0002288359780000011
和质量矩阵
Figure DDA0002288359780000012
步骤三：将超单元刚度矩阵
Figure DDA0002288359780000013
和质量矩阵
Figure DDA0002288359780000014
变换到整机坐标系下获得整机刚度矩阵K和质量刚度矩阵M；步骤四：建立机械臂的无阻尼自由振动方程，获得低阶固有频率；步骤五：确定优化目标；步骤六：确定优化参数最佳水平组合及各因素对机器人指标的影响程度；步骤七、获得各影响因素最优水平及其对实验结果影响的显著性，优先满足影响更加显著的因素，优化协作机器人结构。本发明能够实时、高效、高精度的获得机器人任意位姿下的的动态特性。

Description

一种基于正交设计的协作机器人全域结构优化设计方法
技术领域
本发明涉及协作机器人，具体地说是一种基于正交设计的协作机器人全域结构优化设计方法。
背景技术
现有技术中，工业机器人已得到广泛应用，而随着中国工业化进程的不断推进，市场对工业机器人的应用需求也在不断变化，比如要求实现机器人和人协作、安全性、易于装配等，这也催生了协作机器人的发展。
轻质、高负载自重比的设计理念使协作机器人引入了大量的柔性因素，对整机刚度及动态性能的提高带来了困难，进而影响静态和动态定位精度。结构优化设计可以在机器人设计阶段实施，通过提高低阶固有频率的方法从根本上提高整机刚度及动态性能，但目前机器人结构尺寸优化的方法主要分为有限元法和解析法，前者建模的工作量大，导致实时性较差，后者过程复杂，建模精度低，所以如何减少建模的工作量提高实时性，同时又能保证建模的精度是亟待解决的问题。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于正交设计的协作机器人全域结构优化设计方法，该方法克服了有限元法和振动试验法实时性差的缺点，能够实时、高效、高精度的获得机器人任意位姿下的的动态特性，并对协作机器人进行优化。
本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：
一种基于正交设计的协作机器人全域结构优化设计方法，包括如下步骤：
步骤一：将机器人拆分成多个独立的模块，并将各个模块等效为超单元；
步骤二：对模块模型简化，并采用有限元子结构法获得各超单元在自身坐标系下的刚度矩阵
Figure BDA0002288359760000011
和质量矩阵
Figure BDA0002288359760000012
步骤三：将步骤二中获得的超单元刚度矩阵
Figure BDA0002288359760000013
和质量矩阵
Figure BDA0002288359760000014
变换到整机坐标系下，并按照分块叠加原则获得整机刚度矩阵K和质量刚度矩阵M；
步骤四：建立机械臂的无阻尼自由振动方程，并代入步骤三中获得的刚度矩阵K和质量刚度矩阵M进行实时模态分析，获得协作机器人低阶固有频率；
步骤五：确定优化目标，将机器人质量与全域一阶固有频率之比并作为全域动态性能评价指标，也即优化目标；
步骤六：通过实验设计方法构建分析样本，对实验结果进行分析确定优化参数的最佳水平组合及各因素对机器人指标的影响程度；
步骤七、依据步骤五中的全域动态性能评价指标以及步骤六的分析结果，获得各影响因素的最优水平及其对实验结果影响的显著性，优先满足影响更加显著的影响因素，进而优化协作机器人结构。
步骤一中，将机器人整机模型拆分为多个相互独立的连杆模块和关节模块，并将每个模块等效为具有两个主节点的超单元，各模块对应的超单元依次串联组成机械臂的等效有限元模型。
步骤二中，先通过三维建模软件对模块三维几何模型进行简化，再通过有限元分析软件完成各模块有限元的建模、参数设定以及单元矩阵的提取，并使用四面体单元划分有限元模型，然后采用有限元子结构法提取各个超单元在自身坐标系下的的刚度矩阵
Figure BDA0002288359760000021
和质量矩阵
Figure BDA0002288359760000022
步骤三中：
步骤3.1、先建立机器人各模块自身坐标系，并推导各模块运动关系；
步骤3.2、推导机器人后一模块输入坐标系到前一模块输入坐标系的映射
Figure BDA0002288359760000023
Figure BDA0002288359760000024
上述式(1)中，
Figure BDA0002288359760000025
表示第i个模块输入坐标系到第i-1个模块输入坐标系的齐次变换矩阵，
Figure BDA0002288359760000026
表示第i个模块输入坐标系到第i-1个模块输入坐标系的旋转矩阵，[xi,yi,zi]分别表示第i个模块输入坐标系原点在第i-1个模块输入坐标系X,Y,Z三个方向的位置；
步骤3.3、推导第i(i>1)个超单元自身坐标系到整机坐标系的变换矩阵，超单元自身坐标系到整机坐标系(整机坐标系与基座输入坐标系重合)的映射通过各超单元变换矩阵连乘获得：
Figure BDA0002288359760000031
上式(2)中，
Figure BDA0002288359760000032
表示第i个超单元自身坐标系原点在整机坐标系中的位置，
Figure BDA0002288359760000033
为第i个超单元自身坐标系到整机坐标系的旋转矩阵；
步骤3.4、根据步骤3.3中超单元自身坐标系到整机坐标系的映射关系，获得第i个超单元到整机坐标系下的转换矩阵Si：
Figure BDA0002288359760000034
步骤3.5、将步骤二中获得的刚度矩阵
Figure BDA0002288359760000035
和质量矩阵
Figure BDA0002288359760000036
通过上述式(3)的转换矩阵Si变换获得整机坐标系下每个超单元的刚度矩阵和质量矩阵ki和mi：
Figure BDA0002288359760000037
Figure BDA0002288359760000038
步骤3.6、通过分块叠加原则形成整机刚度矩阵K和质量刚度矩阵M：
Figure BDA0002288359760000039
Figure BDA00022883597600000310
步骤四中，建立协作机器人无阻尼自由振动方程，方程表示为：
Figure BDA00022883597600000311
上式(8)中，
Figure BDA00022883597600000312
为节点加速度阵列，q为节点位移阵列；
将步骤三中获得整机刚度矩阵K和质量刚度矩阵M代入式(8)，获得协作机器人低阶固有频率。
步骤四中，由于自由振动分解为一系列简谐振动的叠加，因此所述式(8)的解设为：
q＝Φejωt (9)；
上述式(9)中：ω为简谐振动圆频率；Φ＝[φ1，φ2…φn]为节点振幅列向量；φi(i＝1，2…n)为自由度i方向上的振幅。
将式(9)代入式(8)并同时消去因子ejωt，可得：
(K-ω2M)·Φ＝0 (10)；
在进行边界条件设定后，将步骤三中获得的K、M代入公式(10)求解整机结构固有圆频率，进而获得固有频率，固有圆频率ωi(rad/s)与固有频率fi(Hz)的关系为：
ωi＝2πfi (11)。
步骤五中：
步骤5.1、通过在工作空间中选取五个位姿作为离散的设计输入，得到全域一阶固有频率性能指标(GFNFI)：
Figure BDA0002288359760000041
上述式(12)中，f1为机器人一阶固有频率，V表示机器人的工作空间体积，其中f1由步骤四获得且为机器人结构件尺寸优化变量的函数：
f1＝f(x1，x2…xi) (13)；
上述式(13)中，x1，x2…xi表示各结构件尺寸优化变量；
计算时，全域一阶固有频率性能指标通过离散方法获得：
Figure BDA0002288359760000042
上述式(14)中，m为离散点的数值，ΔVi表示机器人工作空间的微分体积，当ΔVi≡ΔV时，上式(14)变为：
Figure BDA0002288359760000043
上述式(15)中，f1 i表示第i个位姿的机器人一阶固有频率。
将机器人质量与全域一阶固有频率比(M/GF)作为全域动态性能评价指标，即优化目标：
Figure BDA0002288359760000044
上述式(16)中，M表示机器人质量。
步骤六中：
步骤6.1、构建正交试验表，通过正交实验表安排实验，对结构进行优化，均衡搭配各因素的各种水平；
步骤6.2、计算实验结果的极差，对实验结果进行极差分析；
步骤6.3、计算实验结果的方差，对实验结果进行方差分析，判断影响各个因素是否对实验结果存在显著性影响；
步骤七中，依据步骤六中的极差分析结果以及方差分析结果，并结合步骤五中获得的全域动态性能评价指标，获得各影响因素的最优水平及其对实验结果影响的显著性。
本发明的优点与积极效果为：
1、本发明结合有限元法和解析法，能够有效降低计算量，简化计算过程，从而能够实时、高效、高精度的获得机器人任意位姿下的动态特性，并对协作机器人进行优化。
2、本发明在机器人轻量化约束下，能够显著提高协作机器人的固有频率和全域动态性能。
3、本发明已针对一种协作机器人进行优化，优化后GFNFI指标提高了0.9Hz，机器人自重仅增加了0.18Kg，M/GF指标提高了9.89％，证明了本发明方法的有效性。
附图说明
图1为本发明方法的流程示意图，
图2为本发明涉及的机器人结构模型示意图，
图3为本发明涉及的机器人简化模型示意图，
图4为本发明涉及的机器人关节模块示意图，
图5为本发明涉及的机器人连杆模块示意图，
图6为模块等效模型示意图，
图7为超单元模型示意图，
图8为提取单元刚度和质量矩阵的关节模块有限元模型示意图。
图9为本发明的影响因素趋势图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详述。
如图1所示，本发明包括以下步骤：
步骤一：将机器人拆分成独立的连杆模块和关节模块，并将各个模块等效为超单元。
本步骤具体为：基于模块化设计理念的协作机器人，由于各关节和连杆模块的功能、机械接口、电气接口等相互独立，所以如图2～所示，机器人模型可以看作由若干相互独立的连杆模块和关节模块串联连接而成。在Solidworks三维建模软件中，机器人整机三维模型可以拆分为若干相互独立的连杆和关节三维模型，其中关节模块如图4所示，连杆模块如图5所示，每个模块都可以看作一个超单元，并如图6所示，可以采用结构质量点单元来模拟模块之间的约束关系，质量点单元分别位于模块的输入端和输出端中心，和端面上的节点通过多点约束(MPC)连接，如图7所示，将结构质量点单元定义为主节点，所以每一个模块都可以简化成具有两个主节点的超单元，其中位于输入端的主节点编号为1，位于输出端的主节点编号为2，主节点自由度对应于超单元自由度。诸多模块对应的超单元依次串联即可组成如图3所示的机械臂等效有限元模型，如图3所示七自由度机械臂可以等效为由15个超单元、16个主节点串联组成的有限元模型，其中E1～E15表示超单元，n1～n16表示整机有限元模型中的主节点。ki,mi分别表示单个超单元的刚度矩阵和质量矩阵，i表示超单元编号。
步骤二：采用Solidworks三维建模软件对模块三维几何模型进行简化，对模块刚度影响可以忽略的结构如倒角、圆角、螺钉孔等进行简化，并使用ANSYS有限元分析软件完成各模块建模、参数设定及单元矩阵提取，获得超单元在自身坐标系下的刚度矩阵
Figure BDA0002288359760000061
和质量矩阵
Figure BDA0002288359760000062
使用ANSYS有限元分析软件完成各模块有限元的建模、参数设定以及单元矩阵的提取时，使用四面体单元划分有限元模型，结构件之间的机械接口简化为刚性连接，对模块刚度影响可以忽略的元器件及结构件均简化为结构质量点，如制动器、电机等元件，与结构件刚性连接；支撑元件如电机轴承、十字交叉滚珠轴承等简化为具有质量的六维弹簧单元；传动元器件如谐波减速器等简化为具有质量的六维弹簧单元；使用MPC将模块输入和输出端面上的各节点与结构质量点单元刚性连接，结构质量点定义为超单元主节点。以关节模块为例，如图8所示为用于提取单元刚度和质量矩阵的关节模块有限元模型。
步骤三：将步骤二中获得的各个超单元刚度矩阵
Figure BDA0002288359760000063
和质量矩阵
Figure BDA0002288359760000064
变换到整机坐标系下，并按照分块叠加原则获得整机刚度矩阵K和质量刚度矩阵M。
本步骤过程具体为：
3.1、首先建立机器人各模块自身坐标系，采用Matlab数值分析软件推导各模块运动关系，在各模块的输入法兰定义输入坐标系{Oi1}，输出法兰定义输出坐标系{Oi2}用于描述各模块自身及相互之间的几何特征及运动特征。
3.2、然后推导机器人后一模块输入坐标系到前一模块输入坐标系的映射
Figure BDA0002288359760000071
Figure BDA0002288359760000072
上述式(1)中，
Figure BDA0002288359760000073
表示第i个模块输入坐标系到第i-1个模块输入坐标系的齐次变换矩阵，
Figure BDA0002288359760000074
表示第i个模块输入坐标系到第i-1个模块输入坐标系的旋转矩阵，[xi,yi,zi]分别表示第i个模块输入坐标系原点在第i-1个模块输入坐标系X,Y,Z三个方向的位置。
3.3、推导第i(i>1)个超单元自身坐标系到整机坐标系{O0}的变换矩阵。如图3所示的模型中，各模块输入坐标系到前一模块输入坐标系的映射分别为：
Figure BDA0002288359760000075
Figure BDA0002288359760000076
Figure BDA0002288359760000077
Figure BDA0002288359760000078
Figure BDA0002288359760000081
当第i个超单元为关节模块时，T为常数矩阵。当第i(i>1)个超单元为连杆模块时，T为关于关节运动变量的函数矩阵，超单元自身坐标系到整机坐标系(整机坐标系与基座输入坐标系重合)的映射可以通过各超单元变换矩阵连乘获得：
Figure BDA0002288359760000082
上式(2)中，
Figure BDA0002288359760000083
表示第i个超单元自身坐标系原点在整机坐标系中的位置，
Figure BDA0002288359760000084
为第i个超单元自身坐标系到整机坐标系的旋转矩阵。
3.4、根据3.3中超单元自身坐标系到整机坐标系的映射关系，获得第i个超单元到整机坐标系下的转换矩阵Si：
Figure BDA0002288359760000085
上述式(3)中，
Figure BDA0002288359760000086
为自身坐标系到整机坐标系的旋转矩阵。
上述式(3)的推导可根据参考文献《王新敏.ANSYS结构动力分析与应用[M].北京：人民交通出版社,2014.》获得。
3.5、采用Matlab数值分析软件将步骤二中获得的刚度矩阵
Figure BDA0002288359760000087
和质量矩阵
Figure BDA0002288359760000088
通过上述式(3)的转换矩阵Si变换获得整机坐标系下的每个单元的刚度矩阵和质量矩阵ki和mi：
Figure BDA0002288359760000089
Figure BDA00022883597600000810
上述式(4)和(5)中，Si称为转换矩阵，对于3D超单元，其为12×12的对角正交矩阵。
3.6、通过分块叠加原则形成整机刚度矩阵K和质量刚度矩阵M。
整机刚度矩阵K和质量矩阵M是按照单元位移编号和系统整体位移编号的关系进行叠加组装的。
Figure BDA0002288359760000091
Figure BDA0002288359760000092
依据图3所示的机器人模型的编号叠加获得整机刚度K和质量矩阵M为：
Figure BDA0002288359760000093
Figure BDA0002288359760000094
其中ki表示的是第i个超单元的单元刚度矩阵，按照上述式(6)，
Figure BDA0002288359760000095
同理，整机质量矩阵M与上述求解过程相同。
本步骤通过Matlab软件实现。
步骤四：通过建立机械臂的无阻尼自由振动方程计算协作机器人固有频率及振型，获得协作机器人低阶固有频率。
本步骤具体如下：
4.1、建立协作机器人无阻尼自由振动方程，方程可以表示为：
Figure BDA0002288359760000096
上式(8)中，
Figure BDA0002288359760000097
为节点加速度阵列，q为节点位移阵列。
上述式(8)根据参考文献“程丽,刘玉旺,骆海涛,等.165kg焊接机器人有限元模态分析[J].机械设计与制造,2012(1):147-149.”获得。
4.2、采用Matlab数值分析软件求解无阻尼自由振动方程。
由于协作机器人通过基座安装在工作台上，所以整机有限元模型的第一个主节点应施加固定约束，即主节点n1的节点位移为0,整机刚度矩阵和质量矩阵降阶为90×90矩阵，由于自由振动可分解为一系列简谐振动的叠加，因此式(8)的解可设为：
q＝Φejωt (9)；
上述式(9)中：ω为简谐振动圆频率；Φ＝[φ1，φ2…φn]为节点振幅列向量；φi(i＝1，2…n)为自由度i方向上的振幅。
将式(9)代入式(8)并同时消去因子ejωt，可得
(K-ω2M)·Φ＝0 (10)；
在进行边界条件设定后，将步骤三中的K、M代入公式(10)求解整机结构固有圆频率和模态振型，其中固有圆频率ωi(rad/s)与固有频率fi(Hz)的关系为：
ωi＝2πfi (11)。
本步骤通过Matlab软件实现。
步骤五：基于MATLAB数值分析软件，以M/GF指标为优化目标，确定连杆、关节等结构件尺寸优化变量，得到一个全域动态性能评价指标。
5.1、通过在工作空间中选取五个位姿作为离散的设计输入，得到全域一阶固有频率性能指标(GFNFI)：
Figure BDA0002288359760000101
上述式(12)中，f1为机器人一阶固有频率，V表示机器人的工作空间体积。
上述式(12)根据参考文献“Zhou,L.,and Bai,S.,2015,"A New Approach toDesign of a Lightweight Anthropomorphic Arm for Service Applications,"J MechRobot,7(3),031001.DOI:10.1115/1.4028292.和HU M W,WANG H G,PAN X A,etal.Optimal synthesis of pose repeatability for collaborative robots based onthe ISO 9283standard[J].Industrial Robot,2019”获得。
上述式(12)中，f1的求解由步骤四获得，且机器人固有频率是机器人连杆、关节等结构件尺寸优化变量的函数：
f1＝f(x1，x2…xi) (13)；
上述式(13)中，x1，x2…xi表示各结构件尺寸优化变量。
实际计算时，全域一阶固有频率性能指标可以通过离散方法获得：
Figure BDA0002288359760000111
上述式(14)中，m为离散点的数值，ΔVi表示机器人工作空间的微分体积，当ΔVi≡ΔV时，上式可以变成
Figure BDA0002288359760000112
上述式(15)中，f1 i表示第i个位姿的机器人一阶固有频率。
将机器人质量与全域一阶固有频率比(M/GF)作为全域动态性能评价指标，即优化目标：
Figure BDA0002288359760000113
上述式(16)中，M表示机器人质量。
步骤六：确认优化参数组合及各因素对机器人指标的影响程度。
本步骤具体为：
6.1、构建正交试验表，通过正交实验表安排实验，对结构进行优化，均衡搭配各因素的各种水平。
如图2所示，明确影响因素及其水平，选取各关节壁厚T1、T2、T3,各连杆壁厚T4～T11及关节3和关节5输入法兰到前一关节的位置L1和L2作为影响因素，每个影响因素选取三个水平即三个数值，根据影响因素的数量构建正交试验表，正交试验表的构建参考文献“李云雁,胡传荣.实验设计与数据处理[M].化学工业出版社,2005.”
设采用正交试验表Ln(rm)安排试验，因素数量为m，因素的水平数为r，每个水平试验次数为p，总试验次数为n＝rp，因素x在水平i的第j次试验结果为xij，根据图2所示因素构建的正交试验表如下表1所示。另外为实现全域动态性能优化，选择尽量多的关节角作为设计输入，进行实时模态分析，采用MATLAB数值分析软件求解机器人质量、GFNFI、M/GF等性能指标试验结果。
表1L27(313)正交试验表
Figure BDA0002288359760000121
6.2、计算实验结果的极差R，对实验结果进行极差分析。
在上表1任意一列上：
R＝max{K1，K2…Ki}-min{K1，K2…Ki}(i＝1，2…r) (17)；
其中：
Figure BDA0002288359760000131
上述式(18)表示影响因素x在水平i所对应的试验结果之和。若指标越大越好，应选取使指标更大的水平，若指标越小越好，应选取使指标更小的水平。
6.3、计算实验结果的方差，对实验结果进行方差分析，判断影响某个因素是否对实验结果存在显著性影响。
上述问题可以归结为如下检验假设：
H0:μ1＝μ2＝…＝μr
H1:μ1，μ2…μr不全相等
影响因素x在水平i的平均μi为
Figure BDA0002288359760000132
影响因素x的总平均
Figure BDA0002288359760000133
为
Figure BDA0002288359760000134
影响因素x样本的误差平方和SE为
Figure BDA0002288359760000135
影响因素x样本的效应平方和SA为
Figure BDA0002288359760000136
于是，F分布的统计检验量T为
Figure BDA0002288359760000137
设α为显著性水平，通常取α＝0.1。若统计量T≤Fα(r-1,n-r)，则表示有90％的把握接受H0,即影响因素x的变化对试验结果没有显著影响。反之，则表示影响因素x的变化对试验结果有显著影响。
上述极差及方差分析为数理统计领域公知技术，可参考文献“李云雁,胡传荣.实验设计与数据处理[M].化学工业出版社,2005.”。
步骤七、依据极差分析和方差分析结果，获得各影响因素的最优水平及其对实验结果影响的显著性，优先满足对实验结果有影响更加显著的影响因素。
根据上表1的正交试验表进行计算，计算结果、极差及方差分析结果见下表2。
表2L27(313)正交试验表
Figure BDA0002288359760000141
Figure BDA0002288359760000151
而各影响因素的水平对试验结果的影响结果M/GF如图9所示，其中图9中的横坐标为通过MATLAB软件计算的全域一阶固有频率比(M/GF)数值，也即步骤五中确定的优化目标，影响大小的判断由上表2获得，上表2中，Level数值越小代表优化参数对优化结果越大，而根据分析，各影响因素对实验结果影响由主到次的排序为：T8>T9>T6>L T13>T7。
通过图9可以选取各影响因素的最优水平，各影响因素的初始值和最优水平见下表3。
通过方差分析表明，对试验结果有显著性影响的是因素T8，所以在机器人质量约束下，应优先增加因素T8尺寸。
表3各影响因素最优水平及优化结果(mm)
Figure BDA0002288359760000152

Claims (9)

1.一种基于正交设计的协作机器人全域结构优化设计方法，其特征在于：包括如下步骤：
步骤一：将机器人拆分成多个独立的模块，并将各个模块等效为超单元；
步骤二：对模块模型简化，并采用有限元子结构法获得各超单元在自身坐标系下的刚度矩阵
Figure FDA0002288359750000013
和质量矩阵
Figure FDA0002288359750000011
步骤三：将步骤二中获得的超单元刚度矩阵
Figure FDA0002288359750000014
和质量矩阵
Figure FDA0002288359750000015
变换到整机坐标系下，并按照分块叠加原则获得整机刚度矩阵K和质量刚度矩阵M；
步骤四：建立机械臂的无阻尼自由振动方程，并代入步骤三中获得的刚度矩阵K和质量刚度矩阵M进行实时模态分析，获得协作机器人低阶固有频率；
步骤五：确定优化目标，将机器人质量与全域一阶固有频率之比并作为全域动态性能评价指标，也即优化目标；
步骤六：通过实验设计方法构建分析样本，对实验结果进行分析确定优化参数的最佳水平组合及各因素对机器人指标的影响程度；
步骤七、依据步骤五中的全域动态性能评价指标以及步骤六的分析结果，获得各影响因素的最优水平及其对实验结果影响的显著性，优先满足影响更加显著的影响因素，进而优化协作机器人结构。
2.根据权利要求1所述的基于正交设计的协作机器人全域结构优化设计方法，其特征在于：步骤一中，将机器人整机模型拆分为多个相互独立的连杆模块和关节模块，并将每个模块等效为具有两个主节点的超单元，各模块对应的超单元依次串联组成机械臂的等效有限元模型。
3.根据权利要求1所述的协作机器人实时模态分析方法，其特征在于：步骤二中，先通过三维建模软件对模块三维几何模型进行简化，再通过有限元分析软件完成各模块有限元的建模、参数设定以及单元矩阵的提取，并使用四面体单元划分有限元模型，然后采用有限元子结构法提取各个超单元在自身坐标系下的的刚度矩阵
Figure FDA0002288359750000016
和质量矩阵
Figure FDA0002288359750000012
4.根据权利要求1所述的协作机器人实时模态分析方法，其特征在于：步骤三中：
步骤3.1、先建立机器人各模块自身坐标系，并推导各模块运动关系；
步骤3.2、推导机器人后一模块输入坐标系到前一模块输入坐标系的映射
Figure FDA0002288359750000021
Figure FDA0002288359750000022
上述式(1)中，
Figure FDA0002288359750000023
表示第i个模块输入坐标系到第i-1个模块输入坐标系的齐次变换矩阵，
Figure FDA0002288359750000024
表示第i个模块输入坐标系到第i-1个模块输入坐标系的旋转矩阵，[xi,yi,zi]分别表示第i个模块输入坐标系原点在第i-1个模块输入坐标系X,Y,Z三个方向的位置；
步骤3.3、推导第i(i>1)个超单元自身坐标系到整机坐标系的变换矩阵，超单元自身坐标系到整机坐标系(整机坐标系与基座输入坐标系重合)的映射通过各超单元变换矩阵连乘获得：
Figure FDA0002288359750000025
上式(2)中，
Figure FDA0002288359750000026
表示第i个超单元自身坐标系原点在整机坐标系中的位置，
Figure FDA0002288359750000027
为第i个超单元自身坐标系到整机坐标系的旋转矩阵；
步骤3.4、根据步骤3.3中超单元自身坐标系到整机坐标系的映射关系，获得第i个超单元到整机坐标系下的转换矩阵Si：
Figure FDA0002288359750000028
步骤3.5、将步骤二中获得的刚度矩阵
Figure FDA0002288359750000029
和质量矩阵
Figure FDA00022883597500000210
通过上述式(3)的转换矩阵Si变换获得整机坐标系下每个超单元的刚度矩阵和质量矩阵ki和mi：
Figure FDA00022883597500000211
Figure FDA00022883597500000212
步骤3.6、通过分块叠加原则形成整机刚度矩阵K和质量刚度矩阵M：
Figure FDA0002288359750000031
Figure FDA0002288359750000032
5.根据权利要求1所述的协作机器人实时模态分析方法，其特征在于：步骤四中，建立协作机器人无阻尼自由振动方程，方程表示为：
Figure FDA0002288359750000033
上式(8)中，
Figure FDA0002288359750000034
为节点加速度阵列，q为节点位移阵列；
将步骤三中获得整机刚度矩阵K和质量刚度矩阵M代入式(8)，获得协作机器人低阶固有频率。
6.根据权利要求5所述的协作机器人实时模态分析方法，其特征在于：步骤四中，由于自由振动分解为一系列简谐振动的叠加，因此所述式(8)的解设为：
q＝Φejωt (9)；
上述式(9)中：ω为简谐振动圆频率；Φ＝[φ1，φ2…φn]为节点振幅列向量；φi(i＝1，2…n)为自由度i方向上的振幅。
将式(9)代入式(8)并同时消去因子ejωt，可得：
(K-ω2M)·Φ＝0 (10)；
在进行边界条件设定后，将步骤三中获得的K、M代入公式(10)求解整机结构固有圆频率，进而获得固有频率，固有圆频率ωi(rad/s)与固有频率fi(Hz)的关系为：
ωi＝2πfi (11)。
7.根据权利要求1所述的协作机器人实时模态分析方法，其特征在于：步骤五中：
步骤5.1、通过在工作空间中选取五个位姿作为离散的设计输入，得到全域一阶固有频率性能指标(GFNFI)：
Figure FDA0002288359750000035
上述式(12)中，f1为机器人一阶固有频率，V表示机器人的工作空间体积，其中f1由步骤四获得且为机器人结构件尺寸优化变量的函数：
f1＝f(x1，x2…xi) (13)；
上述式(13)中，x1，x2…xi表示各结构件尺寸优化变量；
计算时，全域一阶固有频率性能指标通过离散方法获得：
Figure FDA0002288359750000041
上述式(14)中，m为离散点的数值，ΔVi表示机器人工作空间的微分体积，当ΔVi≡ΔV时，上式(14)变为：
Figure FDA0002288359750000042
上述式(15)中，f1 i表示第i个位姿的机器人一阶固有频率。
将机器人质量与全域一阶固有频率比(M/GF)作为全域动态性能评价指标，即优化目标：
Figure FDA0002288359750000043
上述式(16)中，M表示机器人质量。
8.根据权利要求1所述的协作机器人实时模态分析方法，其特征在于：步骤六中：
步骤6.1、构建正交试验表，通过正交实验表安排实验，对结构进行优化，均衡搭配各因素的各种水平；
步骤6.2、计算实验结果的极差，对实验结果进行极差分析；
步骤6.3、计算实验结果的方差，对实验结果进行方差分析，判断影响各个因素是否对实验结果存在显著性影响。
9.根据权利要求8所述的协作机器人实时模态分析方法，其特征在于：步骤七中，依据步骤六中的极差分析结果以及方差分析结果，并结合步骤五中获得的全域动态性能评价指标，获得各影响因素的最优水平及其对实验结果影响的显著性。
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