CN103500367A - 基于区间分析的3-prs并联机器人的定位精度优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种基于区间分析的3-PRS并联机器人的定位精度优化方法，有效地解决3-PRS并联机器人的定位精度优化设计问题,避免了传统优化算法难以选取权值和易于陷入局部极小的问题。步骤一、奇异性和定位精度区间分析与数学建模，设计定位精度算子；步骤二、基于区间分析的定位精度优化：在步骤一的基础上，对机构绕Z轴转角

分析处理，减少优化设计的计算时间；步骤三、区间分析简化设计，形成3-PRS并联机器人定位精度优化算法，得到基于区间分析的双重循环算法，进而求解出3-PRS并联机器人在给定的工作空间中运动时满足奇异性和定位精度要求的几何设计参数的优化解区间。

Description

基于区间分析的3-PRS并联机器人的定位精度优化方法

技术领域

本发明涉及一种基于区间分析的3-PRS并联机器人的定位精度优化方法，属于智能机器人技术领域。 

背景技术

机器人技术的发展与应用极大地改变了人类的生产和生活方式。利用机器人不仅能够迅速而准确地完成枯燥的重复性工作，而且能够在危险、恶劣环境下安全可靠地完成许多复杂操作，可以大大减轻人们的劳动强度，提高劳动生产率，改善产品质量。作为一种具有闭链结构的先进机器人，并联机器人在机构学上具有运动惯性低、负载能力强、刚度大等优点，这恰恰弥补了传统工业机器人在这些方面的不足，使得并联机器人成为一个潜在的高速度、高精度运动平台。 

近30年来，研究人员在并联机器人的机构设计、运动学求解与分析、运动学标定、动力学与控制等方面做了大量的研究工作，并联机器人也逐渐成为机器人领域的研究与应用热点，其中，大多数标志性的研究工作都是针对六自由度并联机器人进行的。然而并非所有的应用场合都需要全部的六自由度运动，在某些应用中（如大型望远镜，机械加工等）低自由度就已足够。相对于六自由度（6-PRS）并联机器人机械结构复杂、机构约束多、运动学方程难于求解等问题，三自由度（3-PRS）并联机器人以驱动器少，机械结构简单，建造维护费用低，控制器设计容易等优点日益引起人们的关注，成为并联机器人领域的一个新的研究热点。 

3-PRS并联机器人的独立运动建立在并联机构的机械设计基础之上，其机械结构主要由定平台、动平台和连接两个平台之间的运动铰链组成。动平台和定 平台呈上下分布，并联机器人自由度的多少和运动铰链的数量有直接的关系。在实际条件下，由于存在有加工、安装等误差，3-PRS并联机器人除了在期望的三维自由度上做独立运动以外，还在其余自由度上有非独立的、依赖于三维独立运动而存在的附加运动，称为“寄生运动”。在某些场合（大型望远镜调节装置），过大的寄生运动会对并联机器人的控制定位精度和承载能力产生负面影响，因此，在对3-PRS并联机器人进行定位精度优化设计时应在合理范围内充分考虑寄生运动的影响。 

在机构的可达工作空间范围内，存在很多特殊的位置，它们的存在会严重影响机构的正常运行。也就是在这些位置，机构会出现意想不到的情况，如上平台失去平衡，驱动关节锁死无法继续运动，或者自由度发生改变，致使机构损害，严重的还可能因机构受力过大导致无法正常工作。这些影响机构正常运作的现象，叫做奇异位形或特殊位形（有时直接称为奇异）。并联机构在奇异位形附近时，会发生意想不到的对机构的损害，因此在实际应用中，应对并联机构的奇异点进行分析并将其排除在工作空间之外。 

空间实体位置信息（通常为坐标）与其真实位置之间的接近程度称为定位精度。对于并联机构，就是其实际位姿与标准位姿之间的接近程度。接近程度越小，说明定位精度越高，这是机械加工精度得以保证的前提。定位精度受到很多因素的影响，如制作、安装误差、传动系统的误差等。 

目前，有关3-PRS并联机器人定位精度优化设计的研究并不系统和全面，在可操作性和普适性方面还有局限性。由于并联机器人的结构优化设计通常是一个多目标优化问题，需要同时满足工作空间、刚性、灵活性、奇异性、定位精度等性能目标约束，而奇异性和定位精度是准确控制3-PRS并联机器人稳定工作的重要保障。 

发明内容

针对目前方法所存在的主要问题，本发明提出一种基于区间分析的3-PRS并联机器人的定位精度优化方法，有效地解决3-PRS并联机器人的定位精度优化设计问题,避免了传统优化算法难以选取权值和易于陷入局部极小的问题，以3-PRS并联机器人的奇异性和定位精度为优化目标，以具有增量式和开放式结构的优化算法为手段，通过一系列的区间运算最终给出满足设计要求的几何设计参数的优化解区间。 

本发明的目的主要通过下述技术方案实现的： 

一种基于区间分析的3-PRS并联机器人定位精度优化方法，包括以下步骤： 

步骤一、奇异性和定位精度区间分析与数学建模：首先确定平台结构的参数，进而建立数学模型，包括工作空间的建模，工作空间由位姿空间和姿态空间组成，通过六维向量和运动学的约束关系，得到选择矩阵T和工作空间的约束公式；寄生运动约束方程的建模，求出寄生运动与独立运动之间的关系；奇异性及定位精度的建模，即限制性雅克比矩阵的数学建模，建立反应驱动输入和独立自由运动之间的速度映射关系的雅克比逆矩阵，将寄生运动速度映射到独立运动速度空间，设计定位精度算子； 

步骤二、基于区间分析的定位精度优化：在步骤一的基础上，对机构绕Z轴转角

分析处理，由于

只和ψ与θ有关，取ψ与θ在区间内变化，通过matlab仿真观察

的变化情况，并通过并联机器人的正运动学解来求出

的实际区间值，观察比较数量级，得出在复杂的限制性雅克比逆阵元素的计算中，将关于

的部分忽略掉；对限制性雅可比逆阵J_c ^-1的去分母变形，由于简化形式雅克比逆阵J_cs ^-1元素中姿态变量出现次数应该少于J_c ^-1，通过J_cs ^-1(P,Q)＝D^-1J_c ^-1(P,Q)消去J_c ^-1中元素的分母，其中P,Q'为参数区间；便于减少优化设计的计算时间； 

步骤三、区间分析简化设计：通过以上两个步骤，形成3-PRS并联机器人定位精度优化算法，通过融合单调性的改进区间算法对优化算法进行简化和改进，即求得函数导数的解析表达式，如果在区间上不变号，则函数在此区间具有单调性，通过求取函数在自变量端点处的函数值即可确定最值；通过2B、3B缩减算法对优化算法进行简化和改进，利用函数等式两边区间的相容性实现区间缩减，得到基于区间分析的双重循环算法，进而求解出3-PRS并联机器人在给定的工作空间中运动时满足奇异性和定位精度要求的几何设计参数的优化解区间。 

步骤一所述的确定平台结构的参数包括上下平台各关节铰链连接点的位置安排分布，杆长的上下限；同时根据组件间的干涉约束、机构整体的对称性、期望工作空间的最大行程来确定几何参数的初始取值区间；对3-PRS并联机器人的奇异性进行区间分析，即判断有无奇异位形，并通过参数设计保证不存在奇异位形；对3-PRS并联机器人的定位精度进行区间分析，通过分析影响机构定位精度的因素研究机构的期望运动与定位精度之间的关系，进而设计参数保证定位精度。 

本发明的有益效果： 

本发明以3-PRS并联机器人为研究对象，以奇异性和定位精度为优化目标，基于区间分析方法对其几何参数进行优化设计，所提出的基于区间分析的优化设计方法兼备新颖性和高效性。该方法在对3-PRS并联机器人的重要性能指标——奇异性和定位精度进行了深入分析和数学建模，通过巧妙运用逆映射法则、代数式形式转换、区间单调性原理、区间缩减算法等手段，合理、有效地简化了数学模型和区间算法，提高了定位精度优化设计的计算效率。 

本发明可以根据给定的几何参数初始区间，快速求解出满足奇异性和定位精度要求的几何参数区间，理想地解决3-PRS并联机器人的定位精度优化设计 问题，方法本身不依赖于过多的数学技巧，易于掌握，实用性强，优化效果显著，具有普遍的适用性和优良的移植性。 

本发明在机器人领域首先表现为可以解决3-PRS并联机器人以定位精度为核心的几何设计参数优化设计问题，为多冲突目标协同优化奠定基础，拓展了区间分析的应用范围，同时也为机器人的多目标障碍规避，路径规划，干涉检查，多机器人的编组与任务分配等典型优化决策问题中的提供解决思路。 

附图说明

图1—基于区间分析的3-PRS并联机器人的定位精度优化设计流程； 

图2—3-PRS并联机器人结构参数示意图； 

图3—3-PRS并联机器人单关节支链向量示意图； 

图4—主动移动副伸缩示意图； 

图5—单调性改进算法流程图； 

图6—hansen优化法流程图； 

图7—基于区间分析的双重循环算法流程图； 

图2中：1—运动平台；2—球铰；3—旋转副；4—主动移动副；5—基平台；6—移动连杆；7—定长连杆。 

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明做进一步说明： 

为了详细介绍本发明，首先介绍本发明中所述的3-PRS并联机器人及其独立运动和寄生运动。 

要确定一个刚体在空间的位置，不仅需要三个位置信息，还需要另外三个姿态信息。所以，要完全表达一个刚体在空间的信息需要一个六维向量。这就意味着需要六个元素才能完全确定刚体的位置和姿态。这样，才可以表征空间刚体的位置和状态信息。这就是空间刚体需要六个自由度的原因。 

同样，对于空间机构，如一个杆件（刚体），在空间上完全没有约束，那么它可以在3个正交方向上平动，还可以以三个正交方向为轴进行转动，那么就有6个自由度。 

下式为常用的Kutzbach机构自由度计算公式： 

$F=b(n-j-1)+\underset{i=1}{\overset{j}{\mathrm{\Σ}}}{f}_i---\left(1\right)$

式中b为机构在空间运动的独立参数（空间机构b取6；平面或球面机构b取3）；n为包含机架的机构杆件数；j为机构中的运动副数；f_i为第i个运动副的自由度数；F为机构的自由度数。对于本文的机构来说，b=6，n=8，j=9，i=3，对于移动副自由度为1，转动副自由度为1，球面副自由度为3。代入自由度计算公式(1)，有 

F＝6(8-9-1)+3(1+1+3)＝3            (2) 

此为确定本发明中研究对象自由度数的依据，另外，从驱动滑块的固定导轨的空间布置情况来看，本发明中3-PRS并联机器人的驱动滑块固定导轨是沿竖直方向布置的，其机械结构及参数如图2所示。运动平台的a₁',a₂',a₃'球铰链点均匀分布在以r为半径的圆上，基平台的b₁,b₂,b₃均匀分布在以R为半径的圆上。移动副（驱动关节）分别在b₁,b₂,b₃与基平台相连，并且垂直于基平台。3-PRS并联机器人通过三个滑动关节驱动，来达到最终控制运动平台在一定工作空间内运动的目的，其本质为一种杆长可变的桁架。 

一般情况下，真正的三自由度机构通常只能在理论上实现。由于存在有加工、安装等误差，3-PRS并联机器人除了在期望的三维自由度上做独立运动以外，还在其余三维自由度上有非独立的运动。这种依赖于三维独立运动而存在的附加运动称为“寄生运动”。寄生运动是低自由度并联机器人所特有的性质。 

为了详细介绍本发明，以下详细阐述基于区间分析的3-PRS并联机器人的定位精度优化设计。 

设计过程如图1所示，大致分为三个步骤：分析与建模、定位精度优化和区间算法简化。针对奇异性和定位精度设计目标，采用基于区间分析的3-PRS并联机器人定位精度优化设计方法对几何设计参数进行优化，可以得到若干组可行解区间。 

1.分析与建模 

奇异性分析是在规定的工作空间内判断是否存在奇异位形，并寻找设计参数保证所设计的机构在规定的工作空间内没有奇异。奇异性分析是机器人设计中最困难的任务，对于并联机器人而言，由于其复杂的闭链机械结构和不规则的工作空间，这一问题就显得格外艰巨。定位精度分析是通过分析影响机构定位精度的各种因素，如制作、安装误差、传动系统的误差等，进而研究机构的期望运动与定位精度之间的关系，并寻找设计参数保证所设计的机构在规定的工作空间内按照定位精度的要求运动。 

对3-PRS并联机器人特殊运动学性质进行深入研究并建立数学模型是优化设计的必要前提。以下介绍3-PRS并联机器人运动模型、设计目标的数学建模过程。 

1)确定3-PRS并联机器人所需优化的几何设计参数及初始范围 

由于3-PRS并联机器人是通过杆长的变化实现活动平台的位置和姿态的改变，故一般情况下确定平台结构的参数为：上下平台各关节铰链连接点的位置安排分布，杆长的上下限。如图2所示，3-PRS并联机器人所需要进行优化设计的几何参数包括： 

R,r：上，下平台半径，即驱动关节所在圆的半径 

α,β：驱动关节铰链的安装角度与X轴的夹角 

s：驱动关节的杆长ρ的最大伸长量 

l：固定杆的长度 

根据实际物理意义和几何尺寸约束，以上几何设计参数的初始范围选取为： 

R∈[500,550]，r∈[130,180]， 

α∈[100,140]，β∈[-140,-100]， 

l∈[500,1000]，s∈[1400,2000]。 

几何参数的设计要求如下： 

独立运动{z,ψ,θ}的工作空间：在z轴方向上，运动平台1在标称高度z_n上下±250mm范围内运动，即z＝z_n±250mm，其中标称高度z_n是指当所有主动移动副4都处于中间长度时运动平台1所处的高度；运动平台1绕自身x轴，y轴的的转角ψ,θ在±10度范围内转动，即-10°≤ψ,θ≤10°。 

定位精度设计要求：在线性驱动关节的误差为10μm的条件下，运动平台1在整个工作空间内运行时的独立运动z的定位精度z_e＜1.5mm，绕x轴，y轴的转角ψ,θ的定位精度ψ_e＜0.05rad，θ_e＜0.05rad。 

2)3-PRS并联机器人工作空间、运动特性建模 

假设3-PRS并联机器人所期望的工作空间为W，工作空间由位移空间和姿态空间组成。期望的姿态运动为绕X轴，Y轴的转角ψ,θ，期望的位移运动用Z轴方向的坐标z表示；寄生运动为上平台沿X，Y轴的位移坐标x，y和绕Z轴转角φ。因此，定义q'＝[z,ψ,θ]为三维期望的独立自由度，而为三维受限寄生运动，总体上需要用六维向量来描述上平台的运动q＝[x,y,z,ψ,θ,φ]。实际中，3-PRS并联机器人可达的工作空间是由来ρ_i（驱动关节的杆长）定义的。 

如图3所示，定长连杆7的长度l满足： 

$l=\sqrt{{d_x}^2+{d_y}^2+{(d_z-{\mathrm{\ρ}}_i)}^2}---\left(3\right)$

则主动移动关节的长度可由下式定义： 

${\mathrm{\ρ}}_i=d_z-\sqrt{l^2-{d_x}^2-{d_y}^2}---\left(4\right)$

当给定运动平台的某个位姿，可根据逆向运动学建立工作空间约束： 

ρ_min≤ρ_i≤ρ_max           (5) 

如果上式成立，则该位姿就属于并联机器人可达的工作空间；如果不成立，则该位姿不属于并联机器人的工作空间。在实际的运用中，杆长ρ_i和线性主动移动副4的最大伸长长度s之间的相互转换关系如图4所示： 

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\ρ}}_{\min }=50\\ {\mathrm{\ρ}}_{\max }={\mathrm{\ρ}}_{\min }+s\end{array}\right.---\left(6\right)$

在逆运动学公式(5)中，变量x,y,

不是独立变量，必须依赖独立运动变量z,ψ,θ而存在，其内在的约束关系由寄生运动建模给出。经过一系列推导而建立的计生运动模型描述了寄生运动

与独立运动q'＝[z,ψ,θ]之间的关系，即满足如下的约束关系式： 

其中： 

$\begin{array}{c}V=(\cos \mathrm{\α}-\cos \mathrm{\β})(\cos \mathrm{\θ}-\cos \mathrm{\ψ})+\\ (\sin \mathrm{\α}-\sin \mathrm{\β})\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\ψ}\end{array}---\left(10\right)$

$\begin{array}{c}S=(\cos \mathrm{\α}-\cos \mathrm{\β})\sin \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\ψ}-\\ (\sin \mathrm{\α}-\sin \mathrm{\β})\cos \mathrm{\θ}+\\ (\frac{\cos \mathrm{\β}-1}{\tan \mathrm{\β}}-\frac{\cos \mathrm{\α}-1}{\tan \mathrm{\α}})\cos \mathrm{\ψ}\end{array}---\left(11\right)$

由寄生运动约束关系式可以看出，当给定上平台位姿时，寄生运动只与独立运动[ψ,θ]有关，而与独立运动z无关。 

3)3-PRS并联机器人定位精度及奇异性建模 

定位精度的数学建模即限制性雅可比逆阵的数学建模，主要是建立反应驱动输入和独立自由运动之间的速度映射关系的雅可比逆阵，将寄生运动速度映射到独立运动速度空间。 

由逆向运动学公式可知，对(5)式求导可以得到如下传统定义方式下的雅可比逆阵： 

其中，J^-1为长方形矩阵，不方便进行分析与计算。考虑到寄生运动x,y,为非独立运动，因此必须根据寄生运动约束方程建立寄生运动速度与独立运动速度之间的映射关系，通过引入包含寄生运动速度约束的雅可比矩阵得到驱动速 度

与自由运动速度

之间的直接映射关系。 

根据寄生运动约束关系式，对式(7)-(9)求导可以得到 

其中，J'反映了寄生运动速度的约束关系， ${\stackrel{\·}{q}}^{\′}={\left[\begin{array}{ccc}\stackrel{\·}{z}& \stackrel{\·}{\mathrm{\ψ}}& \stackrel{\·}{\mathrm{\θ}}\end{array}\right]}^T$ 为独立运动速度。 

综合(12)和(13)两式可得: 

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ρ}}=J^{-1}{J}^{\′}{\stackrel{\·}{q}}^{\′}={J_c}^{-1}{\stackrel{\·}{q}}^{\′}---\left(14\right)$

其中，J_c ^-1＝J^-1J'为考虑了寄生运动速度约束的3×3的方阵，J_c ^-1被称为限制性雅可比逆阵。J_c ^-1已经内含了寄生运动的约束关系，可以直接反映驱动输入和独立自由度运动之间的速度映射关系。J_c ^-1为一个满秩的方阵，可以方便地计算特征值和行列式，因此限制性雅可比逆矩J_c ^-1可以用来分析低自由度机构的奇异性和精度。 

4)奇异性分析和定位精度分析 

本发明中对于奇异性的定位精度的分析，主要集中在利用区间算法判断雅可比矩阵元素的变化范围以及行列式的正负性质。 

3-PRS并联机器人运动平台1的定位精度Δq'受到误差向量ΔΘ的影响，误差ΔΘ包括驱动关节的测量误差，球铰2的定位安装误差等等。通常这些误差都非常小，所以可以采用近似线性关系，得到下式 

Δq'＝J_c(p,q')ΔΘ         (15) 

其中，q'是运动平台1自由运动位姿向量，p是并联操纵器几何设计参数。完整的ΔΘ向量包含许多误差因素，但其中驱动关节的测量误差对平台的定位误差影响最大，因此本发明将忽略其他因素，得到： 

Δq'＝J_c(p,q')Δρ           (16) 

其中J_c(p,q')是n×n的正向雅可比矩阵。需要注意的是，并联机器人的正向雅可比矩阵J_c(p,q')难以获得，但其逆阵J_c ^-1可以获得且需满足： 

Δρ＝J_c ^-1(p,q')Δq'          (17) 

根据有关限制性雅可比逆阵的知识，对比式(14)和式(17)可知J_c ^-1(p,q')即为限制性雅可比逆阵： 

J_c ^-1(p,q')＝J_c ^-1          (18) 

因此J_c ^-1对于分析低自由度机器人的奇异性十分重要，|J_c ^-1|＝0表明系统进入奇异位形。 

本发明对定位精度分析的目的是当存在驱动关节的测量误差Δρ时，期望运动平台1定位误差满足Δq'＜e。同时期望所设计的操纵器在整个工作空间内没有奇异位形。 

a.奇异性分析 

现有研究通常是通过计算行列式|J_c ^-1|来研究奇异性的。然而当给定期望的工作空间和几何参数时，J_c ^-1的解析式虽然可以获得，但并联机器人的|J_c ^-1|解析计算却过于复杂，以至于难以采用，无法完成奇异性分析，因此行列式|J_c ^-1|的 解析计算成为奇异性分析的最大障碍。本发明将采用区间分析法解决这一问题，设计一个高效的奇异性分析策略，通过研究一系列矩阵的正则性来分析奇异性，从而避免计算区间矩阵J_I ^-1的行列式。 

定理1：定义H为n维向量h的集合，n维向量h中的元素只能取1或－1。J_i,j ^-1是矩阵J^-1中(i,j)元素，[J_i,j ^-1]的区间运算结果为

给定集合H中的任意两个向量u,v，定义A^u,v为一系列矩阵的集合，A^u,v中矩阵的元素

为： 

$A_{i,j}^{u,v}=\stackrel{\‾}{a_{\mathrm{ij}}}\mathrm{if}{u}_i\·v_j=-1,A_{i,j}^{u,v}=\underset{\‾}{a_{\mathrm{ij}}}\mathrm{if}{u}_i\·v_j=1$

对于n×n维区间矩阵可以得到包含2^2n-1个矩阵的集合A^u,v，如果所有这些矩阵的行列式具有相同的正负符号，则所有矩阵的A'都是正则的，其中矩阵A'中的元素值都在区间[J_i,j ^-1]范围内取值。 

由定理1可知，对于并联机器人的3×3矩阵J_c ^-1，可以由32个矩阵组成矩阵集合A^u,v，如果A^u,v中的所有矩阵的行列式都具有相同的正负符号，则元素在区间[J_i,j ^-1]内取值所有矩阵A'都是正则的。 

基于此定理，本课题拟在整个工作空间内分析并联机器人的奇异性，其目的是设计出在期望的工作空间内不含奇异点的优化机构。 

为了提高精度，消除“过估计”效应，可以首先进行矩阵预处理。对区间矩阵乘以其“中值矩阵”的逆阵K。“中值矩阵”的元素为区间矩阵中对应区间元素的中值。预处理的目的是为了使矩阵S＝KJ_c ^-1趋向于一个单位阵，这就使得行列式|S|＝|K||J_c ^-1|的计算具有最小的“过估计”效应。在预处理过程中，同样需要采用一些技巧来降低“过估计”效应。具体算法是首先得到J_c ^-1的解析表达式，再用k_i,j表示逆中值矩阵K中的元素，进而可以计算S＝KJ_c ^-1的解析表达式，然后 将k_i,j的数值代入解析表达式S。采用解析式的推演可以避免计算过程中“过估计”效应的累加。 

在限制性雅可比逆阵J_c ^-1的解析式中包含有

（下平台固定铰链的坐标）和

(上平台铰链坐标)。A_i是上平台运动坐标的函数，因此考虑几何参数和工作空间的取值范围，使用区间分析法就可以获得A_i的区间变化范围[A]_i。定义

是考虑平台运动范围和几何参数而得到的限制性雅可比逆阵。由定理1可以得到引理1。 

引理1：令J^*为矩阵J_c ^-1中选取A_i为区间[A]_i上各个顶点进行组合而得到的一系列矩阵，如果J^*中所有矩阵的行列式都具有相同的正负符号，则

所包含的所有矩阵都是正则的。 

引理1表明，利用区间分析法，仅仅考虑动平台铰链在各个极限位置上的奇异性就可以判断并联机器人在整个工作空间上的奇异性。 

可以基于上述思想，设计奇异性分析算子F_s(P,Q')，F_s(P,Q')将计算J_c ^-1在每个动平台铰链极限位置时的矩阵J^*，由于P是设计参数区间，因此F_s(P,Q')将返回 

●－1。如果存在某个i或j，

这时对于P中包含的任何设计参数，在某个铰链极限位姿上不能保证J_c ^-1是正则的。 

●1。如果对于所有i,j，

且这时对于任何中包含在P中的设计参数，都可以保证在整个工作空间上J_c ^-1是正则的。 

●否则返回0。 

利用算子F_s(P,Q')可以得到类似的优化算法，设计出在整个工作空间内没有奇异位形的并联机构。优化设计参数同样是可以以区间形式给出，亦记为满足奇异性设计要求的FPBs(Feasible Parameter Boxes)。 

b.定位精度分析 

由前面的分析可以看出，式(18)的右边部分是一个3行一列的向量，称其个元素为定位精度的表征值，可以被表达成r,R,α,β,l,ψ,θ的式子，且与沿Z轴的移动z无关。也就是说，寄生运动与期望运动中的ψ,θ有关，与设计参数中的r,R,α,β有关。下面研究期望运动与定位精度的关系。 

由分析知，定位精度的表征值与期望运动ψ,θ的关系即可。这里所采用的3-PRS并联机器人的几何参数为：上平台半径：r＝1m，下平台半径：R＝1.5m，固定关节长度：l＝1m，驱动关节铰链安装角度：α＝120deg，β＝-120deg，期望运动ψ,θ的范围：-0.2rad～0.2rad。 

根据建立的数学模型，由MATLAB仿真可以得到三个表征值与两个期望运动之间的关系。在限定的期望运动范围内，精度表征值和独立运动之间呈现出一定的对称性，这是由3-PRS并联机器人的机械结构的对称性所决定的。值得注意的是，当独立运动ψ,θ为零时，精度的表征值并不为零，这与寄生运动不同。同时，在限定的期望运动范围内，精度表征值的最小点和最大点均出现在边界上。 

2.定位精度优化 

在定位精度优化设计的过程中，本发明避开了形式过于复杂的雅可比矩阵，巧妙利用逆映射法则，通过分析限制性雅可比逆阵、机构的约束特性和区间分析表达式形式，对定位精度算子F_a(P,Q')进行了简化，主要包括对机构绕Z轴转 角

的分析处理和对限制性雅可比逆阵的去分母变形。 

1)限制性雅可比逆阵分析 

假设X_a代表可以描述期望n自由度的末端执行器的广义坐标系的参数，而X表示描述所有姿态（位移和旋转）的参数。同时假设在X的参数选择上，没有任何限制。 

末端执行器的表示矩阵W由位移向量V和旋转角度向量Ω组成，而限制性矩阵W_a定义为矩阵W相对n自由度机器人的映射。众所周知机器人至少有两个旋转自由度。W并不是X的导数，因为没有导数对应角速度的姿态的表达。然而，存在两个矩阵H和K，满足： 

$W=K\stackrel{\·}{X}\stackrel{\·}{X}=\mathrm{KW}---\left(19\right)$

机器人的内部参数可能由一系列描述几个或者所有非驱动关节的参数表示。这些参数被重组，由关节向量Θ表示。通常的雅可比矩阵J_k的定义都包括关节向量Θ_a，Θ_a是驱动关节的映射并基于驱动关节向量

和限制性矩阵W_a的线性关系： 

$W_a=J_k{\stackrel{\·}{\mathrm{\Θ}}}_a---\left(20\right)$

对于非冗余机器人，J_k为一方阵，称为机器人的雅可比矩阵。而并联机器人一个特性就是可以方便的得到J_k ^-1的解析式，但通常J_k的却几乎无法获得。要计算逆运动学雅可比矩阵，可以使用速度分析或运动闭环方程，其大体形式如下： 

E(X_a,Θ_a)＝0            (21) 

如前假设，机器人没有冗余度，并且当驱动器锁定时，灵活度为0，就一定 会有n个这样的方程。通过对系统求导，可以得到： 

$\frac{\∂E}{\∂{\mathrm{\Θ}}_a}{\stackrel{\·}{\mathrm{\Θ}}}_a+\frac{\∂E}{\∂X_a}{\stackrel{\·}{X}}_a=U_k{\stackrel{\·}{\mathrm{\Θ}}}_a+V_a{\stackrel{\·}{X}}_a=0---\left(22\right)$

使用上面的式子(20)，并且假设U_k为非奇异，可以得到： 

${J_k}^{-1}=-U_k^{-1}{V}_a{K}_a{W}_a---\left(23\right)$

低自由度并联机构的雅可比矩阵是低自由度并联机构的重要性能指标之一，它反映了机构的驱动输入速度到输出速度的映射。当然，还有其他雅可比矩阵和雅可比逆阵的求法，但是上述为最基础的方法。根据机构的不同，雅可比矩阵的计算方法也不尽相同。 

由限制性雅可比逆阵建模部分可得 

${J_c}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{J}_{11}& J_{12}& J_{13}\\ J_{21}& J_{22}& J_{23}\\ J_{31}& J_{32}& J_{33}\end{array}\right]---\left(24\right)$

其中， 

由寄生运动组式(7)-(9)可看出，寄生运动与z无关，又由杆长公式(4)进而有 

J₁₁＝J₂₁＝J₃₁＝1          (25) 

但是限制性雅可比逆阵的另外6个元素十分复杂，而且都是分式的形式。因此，这个3*3的限制性雅可比逆阵的元素计算都非常复杂，加之数学模型中变量较多，直接运算的可能性较低，需要寻找简化的方法。 

通常，对于雅可比矩阵矩阵的计算方法有三种三点法，微分法和螺旋法。传统的针对精度的少自由度雅可比逆阵分析方法一般为通过求出雅可比逆阵的特征值的表达式，用特征值来表征误差被放大的倍数，再用不同的方法寻找特征值最小化的对应参数。但是此种方法因为计算量过大，而且表征的实际效果很一般。下面针对本发明中所运用的特殊数学工具区间分析提出一些可以简化的矩阵的策略，以简化最终的优化算法。 

2)定位精度算子简化 

a.

(phi)分析 

phi是寄生运动之一，计算表达式如式(7)所示。可以看出，其式子非常复杂，且为分式形式。这样，当其求导后计算起来将更为复杂，会严重影响区间运算的时间并产生过估计效应，影响运算精度。通过对寄生运动分析可知，当α＝-β时，整个工作空间上的寄生运动会达到相对较小的幅值。由于phi和z无关，所以phi只和psi和theta有关。下面取psi和theta在（-10,10）度之间变化，alpha和beta分别为120和-120度时，phi的变化范围图，其中点数为300*300。 

在弧度精度取值为0.001的情况下，寄生运动phi的幅值在大部分情况为0， 除了当psi为某个值时。这个值对于整个域来说并不连续，所以phi对这两个变量的导数可以做0处理。注意这里的0只是在某个区间运算允许精度条件下的近似取值，它只是表明phi的变化很微小，并不表示phi为0。 

此时限制性雅可比逆阵可简化为 

${J_c}^{-1}=\left[\begin{array}{c}1,\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_1}{\∂x}\·\frac{\∂x}{\∂\mathrm{\ψ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_1}{\∂y}\·\frac{\∂y}{\∂\mathrm{\ψ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_1}{\∂\mathrm{\ψ}},\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_1}{\∂x}\·\frac{\∂x}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_1}{\∂y}\·\frac{\∂y}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_1}{\∂\mathrm{\θ}}\\ 1,\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_2}{\∂x}\·\frac{\∂x}{\∂\mathrm{\ψ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_2}{\∂y}\·\frac{\∂y}{\∂\mathrm{\ψ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_2}{\∂\mathrm{\ψ}},\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_2}{\∂x}\·\frac{\∂x}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_2}{\∂y}\·\frac{\∂y}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_2}{\∂\mathrm{\θ}}\\ 1,\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_3}{\∂x}\·\frac{\∂x}{\∂\mathrm{\ψ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_3}{\∂y}\·\frac{\∂y}{\∂\mathrm{\ψ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_3}{\∂\mathrm{\ψ}},\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_3}{\∂x}\·\frac{\∂x}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_3}{\∂y}\·\frac{\∂y}{\∂\mathrm{\θ}}+\frac{\∂{\mathrm{\ρ}}_3}{\∂\mathrm{\θ}}\end{array}\right]---\left(26\right)$

仅仅靠仿真并不能认定phi的取值可以达到足以忽略的地步。下面通过并联机器人的正运动学解来求出10组phi的实际区间值，结果如表1所示。 

表1phi实际采样结果 

由上表可以看出，设计参数区间几乎涵盖了初始设计参数的所有范围，区间大小也各有差异，而所得出的phi值始终在X*10^-3或者更小的数量级范围内取值。如果角度区间范围为20度，按照忽略区间的阈值取区间范围的0.5%来计算，对应度数的阈值为0.1度，对应的弧度阈值为0.0017，而这个阈值的数量级和phi的数量级相同。这样，完全可以在较复杂的限制性雅可比逆阵元素的计算中，将关于phi的部分忽略掉以简化运算。 

b.限制性雅可比逆阵去分母 

区间运算的实现高度依赖表达式形式，对于限制性雅可比逆阵各个复杂的 元素尤其如此。更准确的区间值将减少二分的次数，从而降低计算时间。为此，本发明采用了一种方法将限制性雅可比逆阵J_c ^-1转化为另一种形式的简化雅可比逆阵J_cs ^-1，从而降低计算时间，提高运算精度。 

由于所谓的依赖问题，一个表达式区间运算的质量严重依赖于计算过程中每个变量出现的次数。出现次数越少，区间运算的质量越高。因此，找到限制性雅可比逆阵J_c ^-1的简化形式是非常有必要的。对于简化形式雅可比逆阵J_cs ^-1，元素中姿态变量出现的次数应该少于J_c ^-1。一个好的方法是消去J_c ^-1中元素的分母。首先提取各元素分母，得到 

J_c ^-1(P,Q)＝D^-1J_cs ^-1(P,Q)           (27) 

其中，D＝diag(λ₁,λ₂,λ₃)为一个3*3的对角矩阵，其对角值分别为三个杆长计算公式中带根号的部分，如下： 

进一步，我们有 

DΔρ＝J_cs ^-1(P,Q)ΔQ        (28) 

即 

Δρ^*＝J_cs ^-1(P,Q)ΔQ         (29) 

其中，简化的雅可比逆阵的各个元素分别为： 

[1，1][2，1][3，1]分别为λ₁,λ₂,λ₃； 

[1，2]: 

[2，2]: 

[3，2]: 

[1，3]: 

[2，3]: 

[3，3]: 

经过这一步简化，将6个复杂的计算分担到9个元素上，并减少了分母极为复杂的除法运算，从而减少了变量的出现次数，进而减少了区间运算的时间。 

3.区间算法简化 

1)利用单调性改进算法 

为了降低“过估计”效应，需要改进区间运算，本发明通过检验函数在某个区间上的单调性来解析地获得函数精确的最大、最小值。 

首先利用Maple得到函数导数的解析表达式f(x)，当x在某个区间X上变化时，采用区间算法计算f'(x)，得到导数值的变化范围如果在某些区间上，导数区间运算的结果具有不变的正负符号，即

或

则该函数在此区间上必定具有某种单调性。此时，对函数的区间运算则可以转化为求取函数在自变量端点处的函数值，这样可以精确获得函数值的最大，最小值，避免了区间运算的“过估计”效应，提高区间运算的精度。需要注意的是这一算法是一个循环过程，需要对每个变量逐一采用。 

其应用于某一表达式f(x₁,x₂,...,x₆)的算法流程如图7所示。其中，hansen优化法更新上下界的过程如下：首先求取各个参数区间的中值向量，求出中值向量对应的表达式的区间值，并存储。然后求出表达式对应的导数向量，代入中值求出对应向量，再通过hansen优化公式即可求出最终需要的区间上下界。 

当单调性计算没有改变且个数少于原有的变量时，使用hansen优化法。Hansen优化法用于某一表达式f(x₁,x₂,...,x₆)的算法流程如图8所示。其中，hansen算式为： 

UU＝U+[P(j)-PP(j)]·g(j)            (30) 

通过此算法，可以将单调性应用于计算中，并大大减少区间计算时间，提高区间计算精度。 

2)2B、3B缩减算法 

区间的二划分是区间运算最常用的操作，变量的区间越宽，所需要的二划分操作就越多，其后果是不断产生新的子区间，这样会占用大量的运算时间。因此快速缩减区间范围，去除区间中与函数特性不相容的Null Space，对于减少区间划分次数，加速区间运算十分重要。本课题将采用2B和3B缩减算法来 改进区间运算。 

2B，3B算法都是利用函数等式两边区间的相容性来实现区间缩减的。其中2B算法是将一个等式方程改写为等式两边的变量相等的等式约束，然后分别对等式两边考察其变化区间的相容性，要满足等式约束则必须将不相容的区间舍去，这样就达到缩减变量区间的目的。 

3B算法是考察区间变量

内部的Null Space，令

是这一区间的中点。首先用

划分区间，x_i的取值范围被重新选取为

然后对函数进行区间运算，如果等式约束不能满足，则x_i的取值范围只能在

上选取，而

将被舍去。如果在

上等式满足，则选取

的中点为新的

重复此过程，直至等式约束不再满足（此时x_i的取值范围只能在

上选取），或者

的宽度小于ε。这样就完成了对x_i区间下界的缩减。同样方法，可以对区间的上界实现3B的缩减。3B算法可以大幅缩减变量的取值区间，提高区间运算精度。 

3)基于区间分析的双重循环算法 

根据上面的分析，就可以直接应用简化的限制性雅可比逆阵J_cs ^-1(P,Q')来进行精度分析，其中P,Q'都是参数区间。 

精度的设计要求为，当给定驱动关节的测量误差区间

时，期望上平台的定位误差小于某个给定固定阈值ΔX。令J_i,j ^-1为矩阵J_cs ^-1(P,Q')中第(i,j)元素的区间运算结果的绝对值。定义区间变量 

$U_i=\underset{k=1}{\overset{3}{\mathrm{\Σ}}}{J_{\mathrm{ik}}}^{-1}\mathrm{\Δ}\stackrel{\‾}{X_k}---\left(31\right)$

给出了确保上平台定位误差小于ΔX时，所允许的驱动关节最大误差的上 界。同理U _i 给出了驱动关节最大允许误差的下界。但是值得注意的是，由式(28)可知，应将

左乘对角矩阵，从而求出新的误差区间向量Δρ^*。F_a(P,Q')将返回三个值： 

●-1，若存在某个i，使得

这意味着对于P中包含的任意设计参数，Q'中包含的任意位姿参数，给定的测量精度不足以获得所期望的上平台最低定位精度； 

●1，如果对于所有的i，都有

这时对于任何中包含在P,Q'中参数，给定的测量精度可以保证获得期望的上平台定位精度，即平台定位误差小于ΔX； 

●否则返回0。 

算子F_a(P,Q')将得到一系列的参数区间P_i，P_i可以保证对于所有Q'_j内的位姿，F_a(P,Q')都可以返回1。需要注意的是，在计算过程中宽度过小的参数区间集合P_i将不予考虑，记为“被忽略集合”。当F_a(P,Q')返回-1时，相应的区间集合就被抛弃。当返回值为0时，无法确定相应区间集合是否满足精度条件，可进行进一步的二分，直到区间宽度小于规定阈值。 

以定位精度算子F_a(P,Q')为核心，可以设计出基于区间分析的双重循环算法。该算法的输入参数包括： 

L＝{P_i}：初始值为APBs(Allowed Parameter Boxes)的设计参数序列。 

S＝{Q'_i}：三维自由运动位姿参数的区间集合序列。 

ε，

分别为针对区间集合P_i和Q'_i最小宽度的阈值。 

在算法中，每次进行区间二分操作时，被划分的区间单元盒就产生两个新的子区间单元盒，并放置在区间集合序列的最后。基于区间分析的双重循环算法具体步骤如下： 

(1)Loop1： 

(a)if i＞n，则退出循环 

(b)if F_a(P_i,W)＝-1，then i＝i+1，跳转到Loop1(a) 

(c)if F_a(P_i,W)＝1，then将P_i存为FPB，i＝i+1，跳转到Loop1(a) 

(d)if a(P_i)＜ε，then将P_i忽略不考虑，i＝i+1，跳转到Loop1(a)，否则跳转至loop2。 

(2)Loop2： 

设定S＝{Q'₁＝W}，(W定义为整个工作空间)。j＝m＝1 

(a)if j＞m，then将P_i存为FPB，i＝i+1，跳转到Loop1(a) 

(b)if

then二分设计参数区间P_i，n＝n+2，i＝i+1，跳转到Loop1(a) 

(c)if F_a(P_i,Q'_j)＝-1，then P_i不可能是满足工作空间要求的FPBs，i＝i+1，跳转到Loop1(a) 

(d)if F_a(P_i,Q'_j)＝1，then j＝j+1，跳转到Loop2(a) 

(e)二分位姿参数区间Q'_j，j＝j+1，m＝m+2，跳转到Loop2(a)。 

(f)终止Loop2 

(3)终止Loop1 

上述以算子F_w(P,Q')为核心的双重循环算法可以确保获得几乎所有的、在整 个独立运动的工作空间内都能够满足定位精度设计要求的、且区间宽度大于ε的设计参数区间集合。这些区间集合被定义为满足定位精度要求的FPBs。此处需要特别注意的是区间最小允许宽度ε通常反映加工误差和加工定位精度，ε=2×加工误差。本项发明通过设定区间最小允许宽度ε引入加工误差，在设计的初始阶段就考虑后期加工误差对性能目标的影响。 

另外，由于本方法具有开放式的算法结构，并且能得到几乎所有满足定位精度设计要求的优化解，因此本方法可以解决新的优化目标（例如工作空间、寄生运动幅值等）不断扩充的问题。只要以前一个设计目标的全部优化结果为参数初值，就可以按照区间算法的步骤方便地对新提出的设计目标进行优化，这样就可以不断的满足用户可能随时提出的新的设计要求。 

以上所述的仅为本发明的较佳实施例而已，本发明不仅仅局限于上述实施例，凡在本发明的精神和原则之内所做的局部改动、等同替换、改进等均应包含在本发明的保护范围之内。 

Claims (2)

1.一种基于区间分析的3-PRS并联机器人定位精度优化方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、奇异性和定位精度区间分析与数学建模：首先确定平台结构的参数，进而建立数学模型，包括工作空间的建模，工作空间由位姿空间和姿态空间组成，通过六维向量和运动学的约束关系，得到选择矩阵T和工作空间的约束公式；寄生运动约束方程的建模，求出寄生运动与独立运动之间的关系；奇异性及定位精度的建模，即限制性雅克比矩阵的数学建模，建立反应驱动输入和独立自由运动之间的速度映射关系的雅克比逆矩阵，将寄生运动速度映射到独立运动速度空间，设计定位精度算子；

步骤二、基于区间分析的定位精度优化：在步骤一的基础上，对机构绕Z轴转角

分析处理，由于

只和ψ与θ有关，取ψ与θ在区间内变化，通过matlab仿真观察

的变化情况，并通过并联机器人的正运动学解来求出

的实际区间值，观察比较数量级，得出在复杂的限制性雅克比逆阵元素的计算中，将关于

的部分忽略掉；对限制性雅可比逆阵J_c ^-1的去分母变形，由于简化形式雅克比逆阵J_cs ^-1元素中姿态变量出现次数应该少于J_c ^-1，通过J_cs ^-1(P,Q)＝D^-1J_c ^-1(P,Q)消去J_c ^-1中元素的分母，其中P,Q'为参数区间；便于减少优化设计的计算时间；

步骤三、区间分析简化设计：通过以上两个步骤，形成3-PRS并联机器人定位精度优化算法，通过融合单调性的改进区间算法对优化算法进行简化和改进，即求得函数导数的解析表达式，如果在区间上不变号，则函数在此区间具有单调性，通过求取函数在自变量端点处的函数值即可确定最值；通过2B、3B缩减算法对优化算法进行简化和改进，利用函数等式两边区间的相容性实现区间缩减，得到基于区间分析的双重循环算法，进而求解出3-PRS并联机器人在给定的工作空间中运动时满足奇异性和定位精度要求的几何设计参数的优化解区间。

2.如权利要求1所述的一种基于区间分析的3-PRS并联机器人定位精度优化方法，其特征在于，步骤一所述的确定平台结构的参数包括上下平台各关节铰链连接点的位置安排分布，杆长的上下限；同时根据组件间的干涉约束、机构整体的对称性、期望工作空间的最大行程来确定几何参数的初始取值区间；对3-PRS并联机器人的奇异性进行区间分析，即判断有无奇异位形，并通过参数设计保证不存在奇异位形；对3-PRS并联机器人的定位精度进行区间分析，通过分析影响机构定位精度的因素研究机构的期望运动与定位精度之间的关系，进而设计参数保证定位精度。

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