CN108733629B - 一种求解闭链机构的雅可比矩阵的方法 - Google Patents

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Abstract

本发明为一种新型的求解闭链机构的雅可比矩阵的方法，该方法的步骤是：第一步、依据封闭矢量法，建立机构的运动学模型，求解出机构中建立运动学模型所需的必要节点的坐标；第二步、将雅可比矩阵写成偏导的形式；第三步、依据多元函数求导和第一步中必要节点的坐标，将第二步中雅可比矩阵的每个元素表示为多个矩阵相乘的形式；第四步、求解第三步中的每个相乘的矩阵中的元素，并分别用相关坐标参数表达出来；第五步、将机构的雅可比矩阵进行整理，将整个雅可比矩阵表示成多个矩阵相乘的形式，每个矩阵的元素对应第三步中的相应矩阵。该方法适合用于求解闭链机构，可将雅可比矩阵中相同的公式一个个的择出来，避免重复计算，显著降低了计算量。

Description

一种求解闭链机构的雅可比矩阵的方法
技术领域
本发明涉及闭链机构运动学领域，具体涉及一种新型的求解闭链机构的雅可比矩阵的方法。
背景技术
随着科技的发展和工程的需要，一些新型的复杂的机构不断的被发明出来在工程中应用，随着构型的复杂，其雅可比矩阵的求解也越来越复杂，计算越来越繁琐。为了有效减少计算的复杂程度，发明了一种新型求解雅可比矩阵的方法。由于现在智能控制计算量大，所以此方法在控制领域也很有意义。
雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，定义为输入空间到操作空间之间速度的广义传动比，是机构的一个重要参数，机构的刚度，灵巧性，奇异位形，各向同性等都需要由雅可比矩阵推导，雅可比矩阵还是机器人控制的重要基础。
闭链机构常用的求解雅可比矩阵的方法是求导法，该方法在求得机构的位置正解或者反解之后，直接让其对时间求一阶导数，即可求得机构的雅可比矩阵，不足之处在于当遇到复杂机构时，计算十分复杂，容易算错，且公式整理较困难。
发明内容
针对现有技术的不足，本发明拟解决的技术问题是：提供一种新型的求解闭链机构的雅可比矩阵的方法。该方法适合用于求解闭链机构，可将雅可比矩阵中相同的公式一个个的择出来，条理清晰，避免重复计算，显著降低了计算量。
本发明解决所述技术问题采用的技术方案是：提供一种新型的求解闭链机构的雅可比矩阵的方法，该方法的步骤是：
第一步、依据封闭矢量法，建立机构的运动学模型，求解出机构中建立运动学模型所需的必要节点的坐标；
第二步、将雅可比矩阵写成偏导的形式；
第三步、依据多元函数求导和第一步中必要节点的坐标，将第二步中雅可比矩阵的每个元素表示为多个矩阵相乘的形式；
第四步、求解第三步中的每个相乘的矩阵中的元素，并分别用相关坐标参数表达出来；
第五步、将机构的雅可比矩阵进行整理，将整个雅可比矩阵表示成多个矩阵相乘的形式，每个矩阵的元素对应第三步中的相应矩阵。
与现有技术相比，本发明的有益效果是：
本发明方法按照第一步的求解顺序将雅可比矩阵中的元素写成矩阵相乘的形式，再将雅可比矩阵整体表达成几个矩阵相乘的形式，求解雅可比矩阵，该方法可应用于所有闭链机构，适用于驱动运动副为移动副的机构和比较复杂的机构，该方法的数学基础是多元函数求导和矩阵乘法，计算相对容易，且能避免重复计算，效率更高。
附图说明
图1为steward机构的结构简图；
图2为图1的俯视图。
具体实施方式
下面结合实施例及附图进一步解释本发明，但并不以此作为对本申请保护范围的限定。
本发明新型的求解闭链机构的雅可比矩阵的方法，该方法的步骤是：
第一步、依据封闭矢量法，建立机构的运动学模型(解析解)，求解出机构中建立运动学模型所需的必要节点的坐标；
第二步、将雅可比矩阵写成偏导的形式；
第三步、依据多元函数求导和第一步中必要节点的坐标，将第二步中雅可比矩阵的每个元素表示为多个矩阵相乘的形式；
第四步、求解第三步中的每个相乘的矩阵中的元素，并分别用相关坐标参数表达出来；
第五步、将机构的雅可比矩阵进行整理，将整个雅可比矩阵表示成多个矩阵相乘的形式，每个矩阵的元素对应第三步中的相应矩阵。
在实际使用雅可比矩阵时，将第四步求出的相关参数表达式带入第五步中的多个矩阵相乘的雅可比矩阵中，可以求出雅可比矩阵的最终表达式。
本发明方法中运动学模型的建立，求解必要节点坐标的过程、将雅可比矩阵写成偏导形式都是本领域所公知的。
下面以steward机构为例求解雅可比矩阵。
图1和图2是6/6型steward机构示意图，该机构由上下两个相似的半规则六边形b1b2b3b4b5b6和c1c2c3c4c5c6通过六个分支相连而成。b1b2b3b4b5b6围成的六边形为上平台，c1c2c3c4c5c6围成的六边形为下平台，机构中每个分支通过球铰链与上、下平台相连，中间由六个移动副驱动从而改变各分支中杆的长度，使得动平台(上平台)在三维空间中的位置和姿态发生变化。静系原点定在静平台(下平台)中心，动系原点定在动平台中心，建立动系O0-x0y0z0，静系O-xyz，具体建系方法见《六自由度并联机器人奇异位形的研究》第64,65页(曹毅.六自由度并联机器人奇异位形的研究[D].燕山大学,2006)。
求解步骤如下：
1、求解运动学反解，动系姿态用z(φ)-y(θ)-z(ψ)欧拉角表示，设定静平台的各坐标点为已知，对每条支链的求解，以第一条支链为例求解。b1点、c1点坐标分别用式(1)、式(2)表示：
Figure BDA0001684786900000021
Figure BDA0001684786900000022
其中，Ra为定平台外接圆半径；Rb为动平台外接圆半径；XYZ分别为动平台中心点O0在 O-xyz坐标系下的对应坐标；β为长边c1c2和b4b5所对应的中心角；
反解公式为式(3)，在此公式中，c1点坐标(c1x、c1y、c1z)已是一个定值，b1点坐标(b1x、b1y、b1z)是关于动平台位姿的函数。z(φ)-y(θ)-z(ψ)欧拉角：用于描述动平台的姿态。具体含义是：将O-xyz坐标系先沿z轴旋转φ度，再沿新坐标系的y轴旋转θ度，最后再以新得到的坐标系旋转ψ度，可得到O0-x0y0z0坐标系；三次旋转的方向均满足右手定则。右手定则：伸出右手，大拇指方向与坐标轴方向相同，同时四指弯曲，四指的指向即为角度转动的正方向。
Figure BDA0001684786900000031
建立运动学模型的求解顺序：求解过程中，机构的点比较多，要一个一个的、有顺序的求出。以本实施例中的Stewart机构为例，建立运动学模型的顺序：首先已知动平台的位姿，再求出b1点坐标，c1点是已知的，再求出b1c1距离，即l1。第三步才能有这个式子
Figure BDA0001684786900000032
Figure BDA0001684786900000033
2、机构的输出速度与输入速度之间的关系通过式(4)表示，式中
Figure BDA0001684786900000034
为雅可比矩阵，该雅可比矩阵表示成偏导形式，
Figure BDA0001684786900000035
3、将雅可比矩阵中的每个元素写成多个矩阵相乘的形式，然后求出每个元素的相关参数表达式，以第一个元素为例应用多元函数求导进行求解，第一个元素写成两个矩阵相乘的形式，见式(5)，式(5)也可以简写为式(6)：
Figure BDA0001684786900000036
Figure BDA0001684786900000037
4、利用第一步求得的相关节点的表达式，求出式(5)中每个矩阵中的每个元素的相关参数表达式，结果为式(7)、式(8)：
Figure BDA0001684786900000038
Figure BDA0001684786900000039
5、将雅可比矩阵中的所有元素按照式(6)的形式表示，再根据矩阵相乘的方法将雅可比矩阵整体重新整理成多个矩阵相乘的形式，本实施例中整理成两个矩阵相乘的形式，即J＝AB，矩阵A和B中的每个元素都可以用第四步中的相应的相关参数表达式表示出来。
其中，J为雅可比矩阵，
Figure BDA0001684786900000041
Figure BDA0001684786900000042
本实施例方法可将雅可比矩阵中相同的公式一个个的择出来(即对角矩阵A中的元素)，条理清晰，如果按照传统的求导法，会重复计算，从而增加计算量(例如，例子中的
Figure BDA0001684786900000043
如果用传统的求导法，要求解6次，而用这种方法只需要求解一次)。
本发明未述及之处适用于现有技术。

Claims (1)

1.一种求解闭链机构的雅可比矩阵的方法，该方法的步骤是：
第一步、依据封闭矢量法，建立机构的运动学模型，求解出机构中建立运动学模型所需的节点的坐标；
第二步、将雅可比矩阵写成偏导的形式；
第三步、依据多元函数求导和第一步中节点的坐标，将第二步中雅可比矩阵的每个元素表示为多个矩阵相乘的形式；
第四步、求解第三步中的每个相乘的矩阵中的元素，并分别用坐标参数表达元素；
第五步、将机构的雅可比矩阵进行整理，将整个雅可比矩阵表示成多个矩阵相乘的形式，每个矩阵的元素对应第三步中的相应矩阵；所述闭链机构为steward机构；
steward机构的雅可比矩阵中的所有元素按照式(6)的形式表示，再根据矩阵相乘的方法将雅可比矩阵整体重新整理成两个矩阵相乘的形式，即J＝AB，矩阵A和B中的每个元素都用第四步中相应的参数表达式表示出来；
Figure FDA0003498557260000011
其中，J为雅可比矩阵，
Figure FDA0003498557260000012
Figure FDA0003498557260000013
b1b2b3b4b5b6为上平台的六个顶点，c1c2c3c4c5c6为下平台的六个顶点，上平台为动平台，下平台为静平台；XYZ分别为动平台中心点O0在O-xyz坐标系下的对应坐标；φ、θ、ψ为动平台坐标系相对于机构的定坐标系的欧拉角，定义是：z(φ)-y(θ)-z(ψ)欧拉角：用于描述动平台的姿态，具体含义是：将O-xyz坐标系先沿z轴旋转φ度，再沿新坐标系的y轴旋转θ度，最后再以新得到的坐标系旋转ψ度，可得到O0-x0y0z0坐标系；三次旋转的方向均满足右手定则；l为Stewart机构单个支链的上下铰点的距离，其中l1为b1c1距离，l2为b2c2距离，l3为b3c3距离，l4为b4c4距离，l5为b5c5距离，l6为b6c6距离。
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Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN103500367A (zh) * 2013-10-08 2014-01-08 北京理工大学 基于区间分析的3-prs并联机器人的定位精度优化方法
CN106055519A (zh) * 2016-05-27 2016-10-26 盐城工学院 一种Stewart并联机构的奇异性分析方法

Family Cites Families (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US7217266B2 (en) * 2001-05-30 2007-05-15 Anderson R Rox Apparatus and method for laser treatment with spectroscopic feedback

Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN103500367A (zh) * 2013-10-08 2014-01-08 北京理工大学 基于区间分析的3-prs并联机器人的定位精度优化方法
CN106055519A (zh) * 2016-05-27 2016-10-26 盐城工学院 一种Stewart并联机构的奇异性分析方法

Non-Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
Generalized coordinate partitioning for complex mechanisms based on kinematic substructuring;Kristopher T.Wehage等;《Mechanism and Machine Theory》;20151231;第92卷;第464-483页 *
一种微型3-PSP并联机构的运动学、雅克比矩阵及运动奇异性分析;谢哲东等;《中国农机化学报》;20161130;第37卷(第11期);第116-122页 *

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