CN107336231A - 六自由度并联平台结构参数优化方法 - Google Patents

六自由度并联平台结构参数优化方法 Download PDF

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Abstract

一种六自由度并联平台结构参数优化方法，基于多目标‑多约束算法，首先对并联平台的工作空间和灵巧度进行分析，以并联平台的工作空间大小和灵巧度指标为目标，分析平台参数优化的约束条件，最后，基于蒙特卡洛方法设计了参数优化方法的过程，并由此得到综合工作空间大小和灵巧度的六自由度并联平台最优结构参数。该方法可以简单、直观地描述六自由度并联平台工作空间的大小与灵巧度；明确了六自由度并联平台在结构参数选择与优化过程中约束条件，提出了面向六自由度并联平台参数优化的多目标‑多约束算法，可进行结构参数的优化；给出了使用蒙特卡洛方法结构参数优化过程，可使六自由度并联平台得到综合工作空间与灵巧度的最优结构参数。

Description

六自由度并联平台结构参数优化方法
技术领域
本发明涉及一种六自由度并联平台结构参数优化方法，使用该方法，可使六自由度并联平台获得综合工作空间大小和灵巧度的最优结构参数，属于六自由度并联平台结构参数优化领域。
背景技术
六自由度并联平台是一种应用广泛的并联机构，由静平台、动平台以及铰接在静平台和动平台之间的变长杆件构成，能够实现动平台在空间中六自由度的运动，包括三自由度的平移和三自由度的旋转。并联平台能够应用于多个领域，如卫星定位、并联机床、运动模拟、医疗机械、制造设备等，具有广阔的前景。随着制造业水平和机器人技术的提高，对工作平台运动位姿的精度、快速响应能力等技术要求也不断提高。
并联平台的结构参数对其工作空间和灵巧度指标都有重要的影响，因而并联平台的结构参数选取的是否合理决定了其工作性能的优劣。并联平台的工作空间表示其动平台末端所能达到的位姿，工作空间越大，平台的运动范围越大。并联平台的灵巧度指标表示平台输入与输出速度的传递关系，以雅克比矩阵的条件数作为该指标，雅克比矩阵的条件数越小，平台的控制精度越高。因而，综合考虑并联平台的工作空间与灵巧度指标以进行六自由度并联平台的结构参数优化，对提高六自由度并联平台的运动性能具有重要的意义。
然而，对于并联平台的结构优化，现有的方法大多采用单目标优化方法，不能综合考虑并联平台的运动空间大小与灵巧度。例如，基于工作空间的目标优化往往导致平台的灵巧度较小，而基于灵巧度的目标优化得到的并联平台的工作空间较小。
目前，尚缺乏系统而具体的六自由度并联平台的结构参数优化方法。
发明内容
针对现有并联平台的结构优化技术存在的不能综合考虑并联平台的运动空间大小与灵巧度的不足，本发明提供一种基于多目标-多约束算法的六自由度并联平台结构参数优化方法，利用该方法可得到综合工作空间大小和灵巧度的六自由度并联平台最优结构参数。
本发明的六自由度并联平台结构参数优化方法，基于多目标-多约束算法，首先对并联平台的工作空间和灵巧度进行分析，以并联平台的工作空间大小和灵巧度指标为目标，分析平台参数优化的约束条件，最后，基于蒙特卡洛方法设计了参数优化方法的过程，并由此得到综合工作空间大小和灵巧度的六自由度并联平台最优结构参数。
具体包括以下步骤：
(1)确定六自由度并联平台动平台工作空间大小的评价函数；
(2)确定六自由度并联平台灵巧度的评价函数；
(3)构建由六自由度并联平台工作空间大小及灵巧度评价函数组成的结构参数优化目标函数，以使并联平台能够获得最大的工作空间和最优的灵巧度指标；
(4)确定六自由度并联平台结构参数优化的约束条件，包括奇异性约束、运动副铰链转角转动范围限制、变长杆件之间的干涉以及变长杆件行程的约束；
(5)建立面向结构参数优化的多目标-多约束算法；
(6)设计基于蒙特卡洛方法结构参数的优化过程，并由此得到六自由度并联平台的最优结构参数。
所述步骤(1)确定六自由度并联平台动平台工作空间大小的具体过程为：
并联平台的工作空间坐标系中，纵坐标为俯仰角α，底平面由横滚角β和偏转角γ构成；
首先，根据平台的结构初步估计工作空间中俯仰角α的运动范围，作为俯仰角α的搜索范围；然后用n个(n≥1)平行于底平面的平面将俯仰角α的运动范围平分；最后，在每个平行于底平面的平面内分别搜索满足奇异性约束、运动副铰链转角转动范围约束、变长杆件的干涉约束和变长杆件行程约束的点，所得到的点的集合的边界就是当并联平台的处于当前俯仰角时并联平台的运动范围；
假设每个位于运动范围内的点所占用区域的面积为单位1；分别计算每个平行于底面的平面上位于工作空间范围内的单位面积的个数，即为并联平台在这个俯仰角时运动范围的面积Vi，i＝1，2，......n，n≥1；
将所有俯仰角平面(平行于底面(β-γ面)的平面)中包含于运动范围内的单位面积相加，即为并联平台整个工作空间的面积V：
上式即为并联平台工作空间大小的定量分析结果。
所述步骤(2)确定六自由度并联平台灵巧度的过程是；
灵巧度用来衡量并联平台处于某一位姿下的可控性，其值用雅克比矩阵的条件数来表示；矩阵的条件数等于矩阵的范数与矩阵逆的范数的乘积，采用Frobenius范数；并联平台雅克比矩阵的条件数为：
其中，tr()为矩阵的迹，C为雅克比矩阵的条件数，并作为衡量并联平台灵巧度的指标，该值越小，并联平台的灵巧度越高，控制性能越好；I为并联平台的雅克比，力雅克比JT为并联平台雅克比的转置；
并联平台的平均灵巧度是指其在工作空间内所有位姿下的灵巧度平均值，如下式所示：
其中，n为并联平台工作空间点的数目(使用并联平台工作空间的分析方法确定)，Caver为平均灵巧度指标，Ci为并联平台处于工作空间内某一位姿时的灵巧度指标。
所述步骤(3)中构建结构参数优化的目标函数的过程是：
对平台工作空间指标和灵巧度指标进行归一化处理，如下式：
其中，C01和V01分别为并联平台灵巧度和工作空间的归一化指标，取值范围均为[0，1]；Cavermax为所有灵巧度指标的最大值，Cavermin为所有灵巧度指标的最小值，Vmax为工作空间指标的最大值，Vmin为工作空间指标的最小值；Caver和V分别为并联平台的平均灵巧度和工作空间指标；
对已归一化的指标C01和V01建立目标函数，如下式：
ε＝kcC01+kvV01，
其中，kc为灵巧度加权因子，0＜kc＜1，kv为工作空间加权因子，0＜kv＜1，且kc+kv＝1；ε为结构参数选型指标，取值范围为[0，1]，且该值越接近1，并联平台综合性能越好。
所述步骤(4)中的奇异性约束、运动副铰链转角转动范围限制、变长杆件的干涉以及变长杆件行程的约束分别为：
①奇异性约束：
当并联平台的雅克比矩阵J的行列式等于零(矩阵不满秩)时，并联平台处于奇异位置，无法对该平台进行有效的控制，因此必须满足雅克比矩阵J的行列式不等于零，即|J|≠0；
②运动副铰链转角转动范围限制：
在并联平台的静平台坐标系{O0}中，0n0i和0n1i分别为静平台和动平台平面的垂线向量，0li为沿杆件i方向的向量，通过下式计算出静平台和动平台杆件i的铰链转角的大小：
其中，θ0i为杆件i与动平台铰链转角大小，θ1i为杆件i与静平台铰链转角大小；θ0i和θ1i的大小满足铰链转角转动范围限制，其数学形式如下式：
θ0min＜θ0i＜θ0max，
θ1min＜θ1i＜θ1max；
③变长杆件之间的干涉：
对于任何平行于并联平台静平台的切面内，两杆件中心PL1和PL2的距离d，用下式表示：
其中PL1的坐标为(xPL1，yPL1，zPL1)，PL2的坐标为(xPL2，yPL2，zPL2)；
设两杆件中心点的最短距离为dmin，对于任何平行于并联平台的静平台的平面内，均满足关系d＞dmin时，视为不发生干涉，参数dmin大于杆件直径；
对六个杆件分别两两比较，确定整个并联平台是否发生干涉。
④变长杆件行程的约束：
杆长行程的约束用以下数学表达式：
Lmin＜Li＜Lmax，i＝1，２，...，6，
其中，Li为第i个杆件的杆长，Lmin为杆件的最小杆长，Lmax为杆件的最大杆长；已知平台位姿，经过逆运动学计算得到平台的杆长，杆件的最小杆长和最大杆长根据杆件驱动机构的最大行程确定。
所述步骤(5)建立的面向结构参数优化的多目标-多约束算法表达式为：
以上格式自上至下依次为:构建结构参数优化的目标函数，奇异性约束表达式，运动副铰链转角转动范围限制表达式，变长杆件之间的干涉表达式，杆长行程的约束表达式。
根据多目标-多约束算法，得到每一组结构参数下的选型指标ε，当ε为最大值时，其对应的结构参数即为选定的最优结构参数。
所述步骤(6)中基于蒙特卡洛方法设计的并联平台结构参数优化的步骤如下：
(1)确定并联平台待优化的结构参数静平台半径R0、动平台半径R1、静平台和动平台之间的高度H、两相邻铰链点的短边所对夹角alpha和两相邻铰链点的长边所对夹角beta的取值范围，如下式，并设定运行步数(步数>0)：
(2)利用随机数法得到并联平台的结构参数R0，R1，H，alpha，beta，如下式：
其中，函数rand()为区间[0，1]内的随机浮点数；
(3)根据并联平台生成的结构参数，计算其正逆运动学及雅克比矩阵；
(4)基于多目标-多约束结构参数优化算法，计算选型指标ε；
(5)返回第二步并不断循环计算，直至完成设定的运行步数；
(6)比较结构参数选型指标ε，选取最大值，此时所得到的并联平台结构参数即为所求。
本发明具有以下特点：
(1)通过使用给出的六自由度并联平台工作空间体积与灵巧度的分析方法，可以简单、直观地描述六自由度并联平台工作空间的大小与灵巧度；
(2)明确了六自由度并联平台在结构参数选择与优化过程中约束条件，为六自由度并联平台最优结构参数的获取奠定了坚实的基础；
(3)提出了面向六自由度并联平台参数优化的多目标-多约束算法，借助此，可进行结构参数的优化；
(4)给出了使用蒙特卡洛方法结构参数优化过程，可使六自由度并联平台得到综合工作空间与灵巧度的最优结构参数。
附图说明
图1是六自由度并联平台模型图。
图2是六自由度并联平台简化结构示意图与坐标系。
图3是并联平台工作空间的坐标系。
图4是并联平台工作空间的一个切面示意图。
图5是并联平台工作空间体积计算中单位面积的定义示意图。
图6是运动副铰链的偏转角示意图。
图7是单驱动杆件与上下平台向量示意图
图8是并联平台干涉计算示意图。
图9是并联平台的杆件及其在某一切面上的截面示意图。
图10是基于蒙特卡洛法的并联平台结构参数优化流程图。
具体实施方式
以如图1所示的六自由度并联平台为例，对本发明六自由度并联平台结构参数优化方法作详细描述。
1.并联平台工作空间分析
图2给出了六自由度并联平台的简化结构示意图。静平台与变长杆件之间的铰链点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6表示，动平台与变长杆件之间的铰链点依次用B1、B2、B3、B4、B5、B6表示。在并联平台的静平台和动平台的质心原点处分别建立坐标系{O0}和坐标系{O1}。坐标系{O0}的原点O0为静平台的中心点，其x轴和y轴均位于静平台平面内，且x轴所在直线经过铰链点A1和A2连线的中点，其z轴指向重力的反方向；坐标系{O1}的原点O1为动平台的中心点，其x轴和y轴均位于动平台平面内，且x轴所在直线经过铰链点B1和B2连线的中点，其z轴方向垂直动平台平面向上。
由于并联平台的结构特点，使得其工作空间的复杂度远大于串联机构的复杂度。完整意义上并联平台的工作空间具有六个维度，包括动平台的位置和姿态，因此无法用三维立体图形直观的表示。本发明考虑并联平台的动平台在某一定点姿态控制，固定坐标系{O1}中动平台的位置坐标，使其工作空间减少至三个维度，实现三维图形直观表示工作空间。
图3中所示的坐标系为并联平台的工作空间坐标系，纵坐标为俯仰角(α)，底平面由横滚角(β)和偏转角(γ)构成。
首先，根据平台的结构初步估计工作空间中俯仰角的运动范围(-δ≤α≤+δ)，作为俯仰角(α)的搜索范围；然后，用n个(n≥1)平行于底面(β-γ面)的平面(如图3所示)将俯仰角的运动范围平分；最后，在每个平面内分别按照一定的步长(步长>0)搜索满足机构约束的点，所得到的点的集合的边界(如图4所示)即是当并联平台的处于当前俯仰角时并联平台的运动范围。
由于在每个平行于底面(β-γ面)的平面上，横滚角(β)和偏转角(γ)的运动范围是不规则的，因而，在搜索步长相同的情况下，为方便有效地表示工作空间的某个切面中工作范围的面积，假设每个位于运动范围内的点所占用区域的面积为单位1，如图5所示。
分别计算每个平行于底面(β-γ面)的平面上位于工作空间范围内的单位面积(点)的个数，即为并联平台在这个俯仰角时，运动范围的面积，即Vi，且(i＝1，2，...，n)。
将所有俯仰角平面(平行于底面(β-γ面)的平面)中包含于运动范围内的单位面积相加，即为并联平台整个工作空间的面积V:
式(1)即为并联平台工作空间大小的定量分析结果。
2.并联平台的灵巧度分析
并联平台的雅克比矩阵表示其关节空间与末端操作空间的速度映射关系，当平台处于奇异位姿时，雅克比矩阵不满秩，且行列式等于0。处于奇异位姿的并联平台具有不可控自由度，其运动情况也将处于未知的状态；当平台处于距离奇异位姿较近的位姿时，平台驱动杆微小的位移改变会导致动平台较大的位姿变化，驱动杆运动误差被放大，平台的控制难度会增大，相应的控制精度则会降低。因此，在实际控制中，要避免并联平台处于奇异位姿或者距离奇异位姿较近位置。灵巧度可以用来衡量并联机构处于某一位姿下的可控性，其值可以用雅克比矩阵的条件数来表示。
矩阵的条件数等于矩阵的范数与矩阵逆的范数的乘积，本发明采用Frobenius范数。如式(2)所示，得到的并联平台雅克比矩阵的条件数为：
其中，tr()为矩阵的迹，C为雅克比矩阵的条件数，并作为衡量并联平台灵巧度的指标，该值越小，并联平台的灵巧度越高，控制性能越好，J为并联平台的雅克比，力雅克比JT为并联平台雅克比的转置；
并联平台的平均灵巧度是指其在工作空间内所有位姿下的灵巧度平均值，如式(3)所示。
其中，n为并联平台工作空间点的数目，Caver为平均灵巧度指标，Ci为并联平台处于工作空间内某一位姿时的灵巧度指标。
3.基于多目标-多约束的并联平台结构参数优化
在解决实际问题过程中，为了实现任务目标不仅要设计合适的机构，还要选择合适的结构参数，以使并联平台具有最优的运动性能。结构参数的选定是并联平台设计的基础，设计以最优性能为目标的结构参数优化方法，可以得到并联平台设计所需要的结构参数。现有的并联平台结构优化方法大都采用单目标优化方法，无法综合考虑其性能表现。因此，本发明以并联平台的工作空间和灵巧度为优化目标，设计了一种基于多目标-多约束的并联平台结构参数优化方法。
(1)结构参数优化的目标函数
并联平台的工作空间和灵巧度分别决定了其运动性能和控制性能。本发明给出的并联平台的结构参数优化方法实现了两个目标：并联平台尽可能获得最大工作空间，并联平台的灵巧度指标达到最优。为了实现这两个目标，本发明对并联平台的工作空间和灵巧度指标分别建立目标函数。
并联平台的工作空间和灵巧度指标量纲不同，需要对其进行归一化处理。对平台工作空间指标和灵巧度指标进行归一化处理的方法，如式(4)和式(5)所示。
其中，C01和V01分别为并联平台灵巧度和工作空间的归一化指标，取值范围均为[0，1]。Cavermax为所有灵巧度指标的最大值，Cavermin为灵巧度指标的最小值，Vmax为工作空间指标的最大值，Vmin为工作空间指标的最小值。Caver，V分别为并联平台的平均灵巧度和工作空间指标。
为了使设计的并联平台能够过获得最大的工作空间和最优的灵巧度指标，对已归一化的指标C01和V01建立目标函数，如式(6)所示。
ε＝kcC01+kvV01 (6)
其中，kc为灵巧度加权因子，0＜kc＜1，kv为工作空间加权因子，0＜kv＜1，且kc+kv＝1。ε为结构参数选型指标，其取值范围为[0，1]，且该值越接近1，并联平台综合性能越好。
(2)结构参数优化的约束条件
并联平台受到四个因素的约束：奇异性约束、运动副铰链转角转动范围约束、变长杆件的干涉约束和变长杆件行程的约束。下面将分别介绍这四种约束条件。
A.奇异性约束
并联平台的奇异性意味着当平台处于某一特定位姿时，其自身的自由度可能会发生瞬间变化，此时并联平台暂时获得一个或多个不可控自由度。因此，在设计和应用并联平台时应当避免平台位姿处于奇异性位置，防止平台发生失控。
如式(7)所示，当并联平台的雅克比矩阵的行列式等于零(矩阵不满秩)时，平台处于奇异位置，已有的控制算法无法对该平台进行有效的控制。
|J|＝0 (7)
B.运动副铰链转角转动范围限制
并联平台的六个变长杆件分别通过虎克铰链与动平台连接，球铰链与静平台连接。假设，平台运动过程中，运动副铰链会产生偏转角，如图6所示。驱动杆件同动、静平台之间无论采用哪种铰链连接，其转角的转动范围都是有限制的。
如图7，在坐标系{O0}中，0n0i和0n1i分别为静平台和动平台平面的垂线向量，0li为沿杆件i方向的向量，通过式(8)和式(9)可以计算出静平台和动平台杆件i的铰链转角的大小。
其中，θ0i为杆件i与动平台铰链转角大小，θ1i为杆件i与静平台铰链转角大小。θ0i和θ1i的大小满足铰链转角转动范围限制，其数学形式如式(10)和式(11)所示。
θ0min＜θ0i＜θ0max (10)
θ1min＜θ1i＜θ1max (11)
C.变长杆件之间的干涉
并联平台各个变长杆件之间的干涉会影响其工作空间。由于变长杆件模块经过铰链与上下两个平台相连接，因此杆件模块不会和上下平台产生干涉，只需要确定6个杆件之间的干涉情况。
本部分给出了判断两个杆件之间是否发生干涉的方法。如图9所示，在坐标系{O0}中，杆件L1与静平台和动平台的铰链点分别为AL1(xA1，yA1，zA1)和BL1(xB1，yB1，zB1)，杆件L2与静平台和动平台的铰链点分别为AL2(xA2，yA2，zA2)和BL2(xB1，yB1，zB1)。
首先，计算两个杆件与动平台的铰链点z轴坐标的最小值H，如式(12)所示，杆件L1和L2的干涉只能发生在高度为(0～H)的区间中。
H＝min(zB1，zB2) (12)
在0～H的范围内，以ΔH为步长，选取n(n＝H/ΔH)个平行于静平台的平面，其表达式如式(13)所示。
根据两杆件与上下平台的铰链点AL1、BL1、AL2和BL2可以确定杆件L1和L2在坐标系{O0}中的直线方程，如式(14)和(15)所示。
如图9所示，在某一切面下，杆件L1和L2中心位置与该平面的交点为PL1和PL2。联立式(13)、(14)和(15)，可以计算出PL1和PL2的坐标。
两杆件中心PL1和PL2的距离d，可以用式(16)表示。
其中PL1的坐标为(xPL1，yPL1，zPL1)，PL2的坐标为(xPL2，yPL2，zPL2)。
设两杆件中心点的最短距离为dmin，对于选取的n个面，均满足关系d＞dmin时，可以视为不发生干涉。dmin参数一般选择比杆件直径略大的值，这样可以确保两杆件之间不发生干涉。
本发明依据两个杆件判断干涉的方法，对六个杆件分别两两比较，确定整个并联平台是否发生干涉。
D.变长杆件行程的约束
并联平台位姿的变化通过控制杆件模块的长度变化来实现，每个杆件的长度都存在最大长度和最小长度的限制。因此，杆长行程的约束也是并联平台的约束条件之一，其数学表达形式如式(17)所示。
Lmin＜Li＜Lmax(i＝1，2，...，6) (17)
其中，Li为第i个杆件的杆长，Lmin为杆件的最小杆长，Lmax为杆件的最大杆长。已知平台位姿，经过逆运动学计算得到平台的杆长，杆件的最小杆长和最大杆长根据杆件直线驱动缸的最大行程确定。
(3)多目标-多约束算法表达式
根据式(4)至(17)，可以得到评价并联平台结构参数的多目标-多约束算法的表达式，如式(18)所示。
根据多目标-多约束算法，可以得到每一组结构参数下的选型指标ε，当ε为最大值时，其对应的结构参数即为选定的最优结构参数。
4.基于蒙特卡洛方法结构参数优化过程
对并联平台的结构参数寻优，是借助蒙特卡洛方法错误！未找到引用源。实现的。蒙特卡洛方法也被称为统计模拟方法，是一种采用随机抽样的方式解决数学问题的方法。在进行蒙特卡洛优化过程之前，需要确定待优化的结构参数，包括静平台半径R0，动平台半径R1，上下平台间(静平台和动平台之间)的高度H以及两相邻铰链点的短边所对夹角alpha和长边所对夹角beta。由于铰链点的两个夹角alpha和beta满足式(19)的关系，因此，需要优化的结构参数为R0，R1，H，alpha，确定了这四个参数，就可以确定并联平台的结构尺寸。
基于蒙特卡洛法设计的并联平台结构参数优化的主要步骤如下:
(1)确定并联平台待优化的结构参数R0、R1、H和alpha的取值范围，如式(20)所示，并设定程序运行步数。
(2)利用随机数法得到并联平台的结构参数R0，R1，H，alpha和beta，如式(21)所示。
其中，函数rand()为区间[0，1]内的随机浮点数。
(3)根据并联平台生成的结构参数，计算其正逆运动学及雅克比矩阵。
(4)基于提出的多目标-多约束结构参数优化算法，计算选型指标ε。
(5)返回第二步并不断循环计算，直至完成程序设定的运行步数。
(6)比较结构参数选型指标ε，选取最大值，此时所得到的并联平台结构参数即为所求。
由蒙特卡洛方法的结构参数优化的步骤可以得到其程序设计的流程图，如图10所示。
设定蒙特卡洛方法程序运行步数为5000，基于该方法得到并联平台的主要参数R0，R1，H，alpha如表1所示，当灵巧度指标Caver和工作空间V指标分别为13.8853和69003时，结构参数选型指标ε达到最优。
表1 优化后的平台结构参数

Claims (7)

1.一种六自由度并联平台结构参数优化方法，其特征是，包括以下步骤：
(1)确定六自由度并联平台动平台工作空间大小；
(2)确定六自由度并联平台灵巧度；
(3)构建由六自由度并联平台工作空间大小及灵巧度评价函数组成的结构参数优化目标函数；使并联平台能够获得最大的工作空间和最优的灵巧度指标；
(4)确定六自由度并联平台结构参数优化的约束条件，包括奇异性约束、运动副铰链转角转动范围限制、变长杆件之间的干涉以及变长杆件行程的约束；
(5)建立面向结构参数优化的多目标-多约束算法；
(6)设计基于蒙特卡洛方法结构参数的优化过程，并由此得到六自由度并联平台的结构参数优化方法。
2.根据权利要求1所述的六自由度并联平台结构参数优化方法，其特征是，所述步骤(1)确定六自由度并联平台动平台工作空间大小的具体过程为：
并联平台的工作空间坐标系中，纵坐标为俯仰角α，底平面由横滚角β和偏转角γ构成；
首先，根据平台的结构初步估计工作空间中俯仰角α的运动范围，作为俯仰角α的搜索范围；然后用n个平行于底平面的平面将俯仰角α的运动范围平分；最后，在每个平行于底平面的平面内分别搜索满足奇异性约束、运动副铰链转角转动范围约束、变长杆件的干涉约束和变长杆件行程约束的点，所得到的点的集合的边界就是当并联平台的处于当前俯仰角时并联平台的运动范围；
假设每个位于运动范围内的点所占用区域的面积为单位1；分别计算每个平行于底面的平面上位于工作空间范围内的单位面积的个数，即为并联平台在这个俯仰角时运动范围的面积Vi，i＝1，2，......n，n≥1；
将所有俯仰角平面中包含于运动范围内的单位面积相加，即为并联平台整个工作空间的面积V：
<mrow> <mi>V</mi> <mo>=</mo> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>0</mn> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>V</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow>
上式即为并联平台工作空间大小的定量分析结果。
3.根据权利要求1所述的六自由度并联平台结构参数优化方法，其特征是，所述步骤(2)确定六自由度并联平台灵巧度的过程是；
灵巧度用来衡量并联平台处于某一位姿下的可控性，其值用雅克比矩阵的条件数来表示；矩阵的条件数等于矩阵的范数与矩阵逆的范数的乘积，采用Frobenius范数；并联平台雅克比矩阵的条件数为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>J</mi> <mi>T</mi> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <mi>J</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msqrt> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>T</mi> </mrow> </msup> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msup> <mi>J</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msqrt> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> </mrow>
其中，tr()为矩阵的迹，C为雅克比矩阵的条件数，并作为衡量并联平台灵巧度的指标，该值越小，并联平台的灵巧度越高，控制性能越好；J为并联平台的雅克比，力雅克比JT为并联平台雅克比的转置；
并联平台的平均灵巧度是指其在工作空间内所有位姿下的灵巧度平均值，如下式所示：
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msubsup> <mi>&amp;Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mi>n</mi> </mrow> </msubsup> <msub> <mi>C</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mi>n</mi> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
其中，n为并联平台工作空间点的数目(使用并联平台工作空间的分析方法确定)，Caver为平均灵巧度指标，Ci为并联平台处于工作空间内某一位姿时的灵巧度指标。
4.根据权利要求1所述的六自由度并联平台结构参数优化方法，其特征是，所述步骤(3)中构建结构参数优化的目标函数的过程是：
对平台工作空间指标和灵巧度指标进行归一化处理，如下式：
<mrow> <msub> <mi>V</mi> <mn>01</mn> </msub> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mi>V</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>V</mi> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>C</mi> <mn>01</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>m</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>C</mi> <mrow> <mi>a</mi> <mi>v</mi> <mi>e</mi> <mi>r</mi> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
其中，C01和V01分别为并联平台灵巧度和工作空间的归一化指标，取值范围均为[0，1]；Cavermax为所有灵巧度指标的最大值，Cavermin为所有灵巧度指标的最小值，Vmax为工作空间指标的最大值，Vmin为工作空间指标的最小值；Caver和V分别为并联平台的平均灵巧度和工作空间指标；
对已归一化的指标C01和V01建立目标函数，如下式：
ε＝kcC01+kvV01，
其中，kc为灵巧度加权因子，0＜kc＜1，kv为工作空间加权因子，0＜kv＜1，且kc+kv＝1；ε为结构参数选型指标，取值范围为[0，1]，且该值越接近1，并联平台综合性能越好。
5.根据权利要求1所述的六自由度并联平台结构参数优化方法，其特征是，所述步骤(4)中的奇异性约束、运动副铰链转角转动范围限制、变长杆件的干涉以及变长杆件行程的约束分别为：
①奇异性约束：
当并联平台的雅克比矩阵J的行列式等于零时，并联平台处于奇异位置，无法对该平台进行有效的控制，因此必须满足雅克比矩阵J的行列式不等于零，即|J|≠0；
②运动副铰链转角转动范围限制：
在并联平台的静平台坐标系{O0}中，0n0i和0n1i分别为静平台和动平台平面的垂线向量，0li为沿杆件i方向的向量，通过式下式计算出静平台和动平台杆件i的铰链转角的大小：
<mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>arccos</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mmultiscripts> <mi>n</mi> <mn>0</mn> </mmultiscripts> <mrow> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mmultiscripts> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </mmultiscripts> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mmultiscripts> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </mmultiscripts> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <mi>arccos</mi> <mfrac> <mrow> <msub> <mmultiscripts> <mi>n</mi> <mn>0</mn> </mmultiscripts> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&amp;CenterDot;</mo> <msub> <mmultiscripts> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </mmultiscripts> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mrow> <mo>|</mo> <msub> <mmultiscripts> <mi>l</mi> <mn>0</mn> </mmultiscripts> <mi>i</mi> </msub> <mo>|</mo> </mrow> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
其中，θ0i为杆件i与动平台铰链转角大小，θ1i为杆件i与静平台铰链转角大小；θ0i和θ1i的大小满足铰链转角转动范围限制，其数学形式如下式：
θ0min＜θ0i＜θ0max，
θ1min＜θ1i＜θ1max；
③变长杆件之间的干涉：
对于任何平行于并联平台静平台的切面内，两杆件中心PL1和PL2的距离d，用下式表示：
<mrow> <mi>d</mi> <mo>=</mo> <msqrt> <mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>x</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> <mo>+</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>L</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>z</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>L</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </msqrt> <mo>,</mo> </mrow> 2
其中PL1的坐标为(xPL1，yPL1，zPL1)，PL2的坐标为(xPL2，yPL2，zPL2)；
设两杆件中心点的最短距离为dmin，对于任何平行于并联平台的静平台的平面内，均满足关系d＞dmin时，视为不发生干涉，参数dmin大于杆件直径；
对六个杆件分别两两比较，确定整个并联平台是否发生干涉。
④变长杆件行程的约束：
杆长行程的约束用以下数学表达式：
Lmin＜Li＜Lmax，i＝1，2，...，6，
其中，Li为第i个杆件的杆长，Lmin为杆件的最小杆长，Lmax为杆件的最大杆长；已知平台位姿，经过逆运动学计算得到平台的杆长，杆件的最小杆长和最大杆长根据杆件驱动机构的最大行程确定。
6.根据权利要求1所述的六自由度并联平台结构参数优化方法，其特征是，所述步骤(5)建立的面向结构参数优化的多目标-多约束算法表达式为：
<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>M</mi> <mi>a</mi> <mi>x</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mo>=</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>C</mi> <mn>01</mn> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>V</mi> <mn>01</mn> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mi>u</mi> <mi>b</mi> <mi>j</mi> <mi>e</mi> <mi>c</mi> <mi>t</mi> <mi> </mi> <mi>t</mi> <mi>o</mi> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mi>J</mi> <mo>|</mo> <mo>&amp;NotEqual;</mo> <mn>0</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>min</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>0</mn> <mi>max</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>min</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>i</mi> </mrow> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>&amp;theta;</mi> <mrow> <mn>1</mn> <mi>max</mi> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>d</mi> <mo>&gt;</mo> <msub> <mi>d</mi> <mi>min</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow></mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <msub> <mi>L</mi> <mi>min</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>&lt;</mo> <msub> <mi>L</mi> <mi>max</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mn>6</mn> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> </mrow>
以上格式自上至下依次为:构建结构参数优化的目标函数，奇异性约束表达式，运动副铰链转角转动范围限制表达式，变长杆件之间的干涉表达式，杆长行程的约束表达式。
7.根据权利要求1所述的六自由度并联平台结构参数优化方法，其特征是，所述步骤(6)中基于蒙特卡洛方法设计的并联平台结构参数优化的步骤如下：
(1)确定并联平台待优化的结构参数静平台半径R0、动平台半径R1、静平台和动平台之间的高度H、两相邻铰链点的短边所对夹角alpha和两相邻铰链点的长边所对夹角beta的取值范围，如下式，并设定运行步数：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0.15</mn> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0.5</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0.15</mn> <mo>&amp;le;</mo> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>&amp;le;</mo> <mn>0.5</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0.5</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>H</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mn>1.5</mn> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mn>0</mn> <mo>&amp;le;</mo> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>p</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mo>&amp;le;</mo> <mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mn>3</mn> </mfrac> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow>
<mrow> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>p</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mo>+</mo> <mi>b</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>,</mo> </mrow>
(2)利用随机数法得到并联平台的结构参数R0，R1，H，alpha，beta，如下式：
<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>0</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0.15</mn> <mo>+</mo> <mn>0.35</mn> <mo>&amp;times;</mo> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>R</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>=</mo> <mn>0.15</mn> <mo>+</mo> <mn>0.35</mn> <mo>&amp;times;</mo> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>H</mi> <mo>=</mo> <mn>0.50</mn> <mo>+</mo> <mn>1.00</mn> <mo>&amp;times;</mo> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>p</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mi>&amp;pi;</mi> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>&amp;times;</mo> <mi>r</mi> <mi>a</mi> <mi>n</mi> <mi>d</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>b</mi> <mi>e</mi> <mi>t</mi> <mi>a</mi> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>&amp;pi;</mi> </mrow> <mn>3</mn> </mfrac> <mo>-</mo> <mi>a</mi> <mi>l</mi> <mi>p</mi> <mi>h</mi> <mi>a</mi> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> </mrow> 3
其中，函数rand()为区间[0，1]内的随机浮点数；
(3)根据并联平台生成的结构参数，计算其正逆运动学及雅克比矩阵；
(4)基于多目标-多约束结构参数优化算法，计算选型指标ε；
(5)返回第二步并不断循环计算，直至完成设定的运行步数；
(6)比较结构参数选型指标ε，选取最大值，此时所得到的并联平台结构参数即为所求。
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