CN112611498B - 基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法 - Google Patents

基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法 Download PDF

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CN112611498B CN201910882389.XA CN201910882389A CN112611498B CN 112611498 B CN112611498 B CN 112611498B CN 201910882389 A CN201910882389 A CN 201910882389A CN 112611498 B CN112611498 B CN 112611498B
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Abstract

基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，属于传感器测量技术领域。为了解决现有多维力传感器获得的多维力维间耦合大、精度低、传感器结构刚度小等问题。本发明建立局部坐标系统和全局坐标系统间的矢量变换关系矩阵，根据负载平台坐标系原点在局部坐标系下沿/绕测量轴线的局部变形位移获得可观测量，并计算负载平台在全局坐标系统下的变形位移，根据负载平台在全局坐标系统下的变形位移计算每个应变梁相应局部坐标原点在局部坐标系统下的所有局部变形位移，并根据每个应变梁在局部坐标系统下的局部变形位移计算每个应变梁在局部坐标系统下的局部广义力；通过求解线性方程组得到多维力传感器的多维力。主要用于多维力传感器的多维力获取。

Description

基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法
技术领域
本发明属于传感器测量技术领域，涉及多维力传感器力的获取方法。
背景技术
多维力传感器能检测力在空间作用的信息，其中典型的六维力传感器可以获取作用力在空间坐标系所形成的3个分力和3个力矩。在航天机械臂、航天对接、协作机器人、仿生机械、医疗辅助器械、步行机器人、风洞测力、航空航天发动机推力测试、螺旋桨推力测试、汽车碰撞测试、微创手术机器人、打磨抛光器械、搅拌摩擦焊、机床加工力测量等众多领域，六维力传感器发挥着重要作用，其获得的六维力的准确性直接影响着系统的工作性能和控制精度。
从六维力传感器结构上分析，六维力传感器主要可以分为整体弹性结构式，Stewart并联结构式，压电晶体式、无摩擦导轨式(气浮、磁悬浮)，柔性结构式等，其中商用小型六维力传感器和MEMS领域主要采用整体弹性结构式，包括三垂直筋、I型梁积木、双环、桶型、马尔蒂斯十字梁、八垂直筋、非径向三梁、E结构、T结构，双悬臂梁等结构。大型六维力传感器主要采用Stewart并联结构式及球支撑并联结构，压电晶体式主要有4、6、8组平面布置结构，用于高频动态测量领域，无摩擦导轨式由于结构体积太大应用极少，柔性结构式主要用于机械手指端抓取，精度很低。
整体弹性结构式一般采用柔性铰链或柔性平板结构代替物理铰链，其精度稍高，但结构刚度小，且由于柔性体部分的耦合影响，精度一般在2％～5％，且由于其结构刚度较低，一般还需增加安全结构(避免变形过大损坏)或采用橡胶填充以避免振动过大。Stewart并联结构式结构刚度较大，但由于采用了物理铰链，有较大的摩擦力影响，其精度很低，也有采用柔性铰链代替结构中的物理铰链的方式，但会造成结构刚度低，且柔性铰链中的耦合力矩也无法消除，精度同样不高。压电晶体式一般采用平面多组布置，每一组包含三个晶片分别测量三个轴向力，转矩由多组轴向力进行推算，测力频响较高，但测力精度较低，且由于电荷漂移不适合静态测量。
从六维力传感器所用敏感元件分析，主要采用的敏感元件有应变片式(电阻应变、半导体应变、光栅应变等)，压电晶体式、光学传感器式(三角光、共焦光、像散光等)和电学传感器式(电容、电感、电涡流等)。一般情况下，整体弹性结构传感器多采用应变片、光学传感器、电学传感器。压电晶体式传感器多采用多片叠加(一般为3片，分别测量相互垂直的3个轴向力)的压电晶体。Stewart式传感器敏感元件多采用应变片和压电晶体。
绝大多数整体弹性结构多维力传感器采用解耦矩阵进行六维力计算，解耦矩阵可以采用实验法或者有限元法获得，这种方法认为根据能量最小原理弹性结构体的某些部位的应变变形一定与六维力呈正比，但实际上这种假设经常存在较大误差。Stewart并联结构六维力传感器通常采用螺旋理论进行计算，这种计算假定所有并联机构的铰链部分为理想铰链，不存在任何摩擦力(力矩)，而在计算中被忽略的摩擦力(力矩)通常对结果产生非常大的影响，因而其精度很差。压电晶体结构六维力传感器通常将所有压电晶体布置在一个平面内，认为压电晶体内只承受3个方向的力，而忽略其上的力矩，这同样会导致很大的计算误差，且由于电荷衰减静态测量效果不好。
综上所述，现有六维力传感器在计算方法上都是对应变梁(或压电晶体)的某一些变形应力进行忽略，或者对机械铰链摩擦力进行忽略，进而将模型简化找到求解方法，这就导致其计算精度很差，具体表现为维间耦合(Crosstalk，Crosscoupling，Dimentionalcoupling，Class II error)非常大，为了解决该类问题而在某些维度采用了柔性非常大的结构，进而导致了传感器在某些维度的刚度又非常小，工作时稳定性很差，甚至必须采用大变形时保护结构，且即使刚度很小，维间耦合过大问题也难以根本解决，依然要高达2％～5％。
现有的商用六维力传感器制造商主要有ATI，JR3，AMTI，Kistler，HBM，Schunk，Sunrise Instruments(宇立)，ME，Optoforce(Onrobot)，Hypersen(海伯森)等，这些公司的产品基本上采用的也是上述的一些基本结构，其中以整体弹性式和压电晶体式为主，其传感器精度基本上都在2％～5％，由于计算方法限制，进而导致结构限制，很难进一步提高。
由于现有的六维力传感器精度很低且其刚度很小，在商用领域，除打磨、抛光、夹持、汽车碰撞试验、车轮力测量等所需传感器精度很低的情况外，几乎很难进行大规模商业应用，而上述的打磨、抛光、夹持等应用场合可以很容易地用气动、弹性等元器件进行替代，因此应用也不多。以需要高精度测力的协作力控机器人为例，当前真正的商品化力控机器人，例如iiwa，几乎都采用单轴力传感器进行替代，但由于机器人的每一个轴都需要采用一个单轴力传感器，造成机器人结构极其复杂，成本极高，且造成高速运动时惯性力解算极其困难。以需要高精度测力的医疗微创手术机器人为例，几乎所有操作医生均认为手术过程中的力反馈对操作者影响很大，但由于现有六维力传感器精度太低，因而其只在研究中有所应用，所有当前真正商用化的微创手术机器人，例如da Vinci，都放弃了采用六维力传感器而只采用图像传感器。
现有的三维力传感器，包括三个轴向力和平面内两个轴向力和一个转矩类型，以及其它多维力传感器(两维、四维、五维)同样存在精度不高的问题，解决最通用的空间六维力传感器及平面三维力传感器的高精度求解问题则可以通过忽略一些维度力的方法解决所有多维力传感器高精度求解问题。
发明内容
本发明为了解决现有多维力传感器获得的多维力精度低(主要是维间耦合过大)、传感器结构刚度小、计算过程太复杂实时性差等问题。
基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，包括以下步骤：
建立附着于支撑平台上的全局坐标系统oxyz；
外力作用下负载平台在全局坐标系统oxyz下产生位移
Figure BDA0002206269300000031
其中，
Figure BDA0002206269300000032
为全局坐标系oxyz下的直线位移；
Figure BDA0002206269300000033
为全局坐标系oxyz下的转角位移；
分别建立以应变梁与负载平台接触面中心为局部坐标系原点oi，附着于应变梁上的局部坐标系统oixiyizi；i表示应变梁的序号；
以应变梁与支撑平台接触面中心为局部坐标系原点
Figure BDA0002206269300000034
分别建立支撑平台局部坐标系统
Figure BDA0002206269300000035
根据应变梁和支撑平台的结构关系确定每个局部坐标系统与全局坐标系统的关系；
局部坐标系统中应变梁在力作用下产生变形位移，
Figure BDA0002206269300000036
其中
Figure BDA0002206269300000037
为局部坐标系oixiyizi下的直线位移；
Figure BDA0002206269300000038
为局部坐标系oixiyizi下的转角位移；根据应变梁的受力变形关系确定
Figure BDA0002206269300000039
和
Figure BDA00022062693000000310
根据应变梁上粘贴的应变片，或/和压电晶体作为应变梁，或/和负载平台和支撑平台之间设置的位移传感器，得到负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系下沿测量轴线的局部变形位移，称为可观测量；根据空间矢量变换利用所述的部分局部坐标系下的局部变形位移，即可观测量，计算出负载平台在全局坐标系统oxyz下产生位移
Figure BDA00022062693000000311
进而计算出所有应变梁局部坐标系下的局部位移
Figure BDA00022062693000000312
根据所述的得到的所有应变梁的
Figure BDA00022062693000000313
得到所有应变梁的局部广义力
Figure BDA00022062693000000314
其中
Figure BDA00022062693000000315
为局部坐标系oixiyizi下的力，
Figure BDA0002206269300000041
为局部坐标系oixiyizi下的力矩；
定义应变梁在局部坐标原点oi的柔度矩阵为
Figure BDA0002206269300000042
采用有限元分析的方法或者试验方法获得应变梁的在局部坐标原点oi的柔度矩阵
Figure BDA0002206269300000043
或者，采用Euler、Timoshenko或高阶现代梁理论，根据该应变梁的受力变形关系确定柔度矩阵
Figure BDA0002206269300000044
对于负载平台和支撑平台，将负载平台和支撑平台看做半弹性空间；定义负载平台在局部坐标原点oi的柔度矩阵为
Figure BDA0002206269300000045
定义支撑平台在支撑平台局部坐标原点
Figure BDA0002206269300000046
的柔度矩阵为
Figure BDA0002206269300000047
采用有限元分析的方法或试验方法获得柔度矩阵均
Figure BDA0002206269300000048
和
Figure BDA0002206269300000049
或者，采用Boussinesq、Mindlin或现代高阶半弹性空间理论推导确定柔性矩阵
Figure BDA00022062693000000410
和
Figure BDA00022062693000000411
的近似值；
将支撑平台对应的柔度矩阵
Figure BDA00022062693000000412
移动到点oi，根据在局部坐标oi处的柔度和矩阵
Figure BDA00022062693000000413
Figure BDA00022062693000000414
表示从局部坐标系
Figure BDA00022062693000000415
到局部坐标系oi的空间变换矩阵；进而获得柔度和矩阵的逆矩阵，即其刚度矩阵
Figure BDA00022062693000000416
将局部坐标系转换到全局坐标下得到全局坐标下刚度矩阵
Figure BDA00022062693000000417
Ti g表示从坐标系oixiyizi到坐标系oxyz(可简写为g)的空间变换矩阵；
则在全局坐标系下的原点处的所有应变梁、负载平台、支撑平台的刚度矩阵和为
Figure BDA00022062693000000418
全局坐标系下负载平台承受的外部合力为
Figure BDA00022062693000000419
全局坐标系下负载平台在承受外部力时的位移为
Figure BDA00022062693000000420
多维力是六维力时，包括三个力和三个力矩组成的广义力为
Figure BDA00022062693000000421
Figure BDA00022062693000000422
分别为在全局坐标系统g下作用在全局坐标系的原点o时x轴、y轴、z轴上的力；
Figure BDA00022062693000000423
分别为在全局坐标系统g下作用在全局坐标系的原点o时x轴、y轴、z轴上的力矩。包括三个位移变形和三个转角变形的广义位移变形为
Figure BDA00022062693000000424
Figure BDA00022062693000000425
分别为在全局坐标系统g下作用在全局坐标系的原点o时沿x轴、y轴、z轴的位移变形；
Figure BDA00022062693000000426
分别为在全局坐标系统g下作用在全局坐标系的原点o时绕x轴、y轴、z轴的转角变形。
广义力、广义位移变形和刚度矩阵的关系为
Figure BDA0002206269300000051
在多维力传感器实际测量时，由于刚度矩阵只与实际结构相关，事先已经得到；
测量出负载平台在外力作用下的的微位移，进而得到外部负载力，即多维力传感器获得的多维力，所述多维力包括三维力、六维力。
上述过程可以直接表达为：基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，包括以下步骤：
建立附着于支撑平台上的全局坐标系统；
分别建立基于应变梁和位移传感器的局部坐标系统，建立之后应变梁和位移传感器分别对应的局部坐标系统不随应变梁和位移传感器运动；
根据空间矢量变换法则建立局部坐标系统和全局坐标系统间的矢量变换关系矩阵，包括广义力变换关系、广义变形位移变换关系和位移传感器变换关系；
所述的广义力包括力和力矩，所述广义变形位移包括直线位移和转角位移；
多维力为六维力时，广义力包括3个力和3个力矩，广义变形位移包括3个直线位移和3个转角位移；多维力为平面三维力时，广义力包括2个力和1个力矩，广义变形位移包括2个直线位移和1个转角位移。
根据理论力学、材料力学和弹性力学建立局部坐标系统下的应变梁、支撑平台及负载平台的变形和受力的关系矩阵，即局部刚度矩阵和局部柔度矩阵；
根据应变梁上粘贴的应变片，或/和压电晶体作为应变梁，或/和负载平台和支撑平台之间设置的位移传感器，得到负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系下沿/绕测量轴线的局部变形位移，称为可观测量；
根据所述负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系沿/绕测量轴线的局部变形位移计算负载平台在全局坐标系统下的变形位移，包括三个直线位移和三个转角位移；
根据负载平台在全局坐标系统下的变形位移计算每个应变梁相应局部坐标原点在局部坐标系统下的所有局部变形位移，包括三个直线位移和三个转角位移；
根据每个应变梁在局部坐标系统下的局部变形位移计算每个应变梁在局部坐标系统下的局部广义力，包括三个力和三个转矩；
将所有应变梁在局部坐标系统下的局部广义力根据局部坐标系统和全局坐标系统间的矢量变换关系平移到全局坐标系统原点并求和，得到多维力传感器的多维力。
实际上上述过程也可以用进行调整，也能够作为多维力获取方法，即基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，包括以下步骤：
建立附着于支撑平台上的全局坐标系统；
分别建立基于应变梁和位移传感器的局部坐标系统，建立之后应变梁和位移传感器分别对应的局部坐标系统不随应变梁和位移传感器运动；
根据空间矢量变换法则建立局部坐标系统和全局坐标系统间的矢量变换关系矩阵，包括广义力变换关系、广义变形位移变换关系和位移传感器变换关系；
所述的广义力包括力和力矩，所述广义变形位移包括直线位移和转角位移；
多维力为六维力时，广义力包括3个力和3个力矩，广义变形位移包括3个直线位移和3个转角位移；多维力为平面三维力时，广义力包括2个力和1个力矩，广义变形位移包括2个直线位移和1个转角位移；
根据理论力学、材料力学和弹性力学建立局部坐标系统下的应变梁、支撑平台及负载平台的变形和受力的关系矩阵，即局部刚度矩阵和局部柔度矩阵；
根据空间矢量变换关系，将每个梁的局部刚度矩阵和柔度矩阵平移到全局坐标系统原点并求和，得到多维力传感器的全局刚度矩阵和柔度矩阵；
根据应变梁上粘贴的应变片，或/和压电晶体作为应变梁，或/和负载平台和支撑平台之间设置的位移传感器，得到负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系下沿/绕测量轴线的局部变形位移，称为可观测量；
根据所述负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系沿/绕测量轴线的局部变形位移计算负载平台在全局坐标系统下的广义变形位移，包括三个直线位移和三个转角位移；
由于广义力与广义变形位移直接呈现线性关系，即广义力等于全局刚度矩阵乘以广义变形位移，根据上述得到的全局刚度矩阵和广义变形位移即可得到多维力传感器的广义力。
本发明中的计算方法中的理论力学计算采用的是牛顿-欧拉原理，实际上采用例如螺旋理论(Screw theory)等也可以计算得到与本发明同样的计算方法，由于螺旋理论等实际上本质上也是基于牛顿-欧拉原理得到，推导方法本质上并无不同。
本发明的有益效果：
本发明可以极大地提高多维力传感器的测量精度，同时可以通过并联杆系(应变梁)方式有效地提高多/六维力传感器的结构刚度，另外由于本计算方法为求解线性方程组，其计算速度极快，可用于实时测量和反馈控制。
本发明的计算方法考虑到了应变梁的所有六维方向的变形及其应力及支撑平台和负载平台的六维弹性变形，进而从原理出发在计算方法上消除了传统计算方法中必然存在的维间耦合，基于该种方法，弹性敏感元件采用了两伪刚体间并联多根应变梁结构，避免了传统结构中弹性结构的耦合，令六维力传感器不但精度高，且结构刚度极大。传统结构中无论是整体弹性结构还是Stewart结构、压电晶体结构，其维间耦合一般都大于2％，而采用本发明，可以令维间耦合小于1‰，由于采用了冗余并联杆系结构，通过适当设计，可以非常容易令结构刚度很大，计算方法采用的是线性方程组求解，计算速度极快，适于实时得到测力结果。
本发明的计算方法最终表现为线性方程组求解，在保证计算精度高的情况下，计算速度极快，对多维力传感器的测量带宽没有任何影响。
附图说明
图1为并联杆系多维力传感器示意图，loading platform为负载平台，supportingplatform为支撑平台；
图2为传感器中的第i根梁局部坐标系统，图中strain gauge为应变片；
图3为梁局部坐标系统的形成及Coordinate Ma的建立方式；
图4为局部坐标系统中应变梁在力作用下的变形示意图；
图5为任意形状应变梁结构示意图；
图6为弹性半空间刚性平面受力示意图；
图7为刚度矩阵坐标示意图，图7(a)为弯梁，图7(b)为直梁；
图8为平面应变梁并联示意图；
图9为传感器沿测量轴线测量示意图，图9(a)为电容传感器测量负载平台位移示意图，图9(b)为三角光传感器测量负载平台位移示意图；
图10为位移传感器布置及坐标建立示意图，图10(a)为位移传感器的布置示意图；图10(b)为位移传感器坐标系的建立示意图；
图11为应变梁上设置应变片的示意图；
图12为应变片测量示意图，图12(a)为1、3应变片测量示意图，图12(b)为应变片2、4测量示意图；
图13为平面应变梁局部坐标系统中应变梁在力作用下的变形示意图；
图14为多维力传感器对应的局部坐标系和全局坐标系的力变换示意图；
图15为设计的平面8梁结构的三维力传感器；
图16为特定载荷下的应力云图；
图17为沿x，y轴的力和绕z轴的力矩；
图18为沿x，y轴的力和绕z轴的力矩误差；
图19为沿x，y轴的力和绕z轴的力矩随机误差；
图20为沿x，y轴的力和绕，z轴的力矩；
图21为沿x，y轴的力和绕z轴的力矩误差；
图22为沿x，y轴的力和绕z轴的力矩随机误差；
图23为采用压电晶体作为应变梁的平面三维力传感器；图23(a)为压电晶体沿自身轴线xi的受力示意图；图23(b)为压电晶体的预紧示意图；
图24为采用压电晶体作为应变梁的六维力传感器；
图25为采用电容传感器的平面三维力传感器；
图26为采用电容传感器的六维力传感器；图26(a)为整体示意图；图26(b)为电容传感器内部布置示意图。
图中中英文对照说明：
Loading platform:负载平台；Supporting platform:支撑平台；Strain gauge:应变片；Fixed on supporting platform:固定于支撑平台；Initial state:初始状态；Rotation about x/y/z:绕x/y/轴旋转；Transformation along x,y,z:沿x,y,z轴移动；Connection with loading platform:与负载平台连接；Displacement of loadingplatform:负载平台位移；Bending deformation by*:由*引起的弯曲变形；Sheardeformation by*:由*引起的剪切变形；View A:视图A；High stiffness along xi:沿xi轴高刚度；Low stiffness along xi:沿xi轴低刚度；Elastic half-space:弹性半空间；Rigidplane:刚性平面；Beam_i:梁_i；Local force rotation from local coordinate systemto global coordinate system:局部力从局部坐标系统到全局坐标系统的旋转；Forcestransformation from oi to o:力从oi到o的变换；Zone forces imposed on:力施加区域；The thickness of this structure:结构体厚度；Piezoelectrical crystal:压电晶体；Fixed and prestressed with bolts:采用螺栓固联并预紧；Differential capacitivesensor:差动电容传感器；
具体实施方式
具体实施方式一：
并联杆系多维力传感器，如图1所示，支撑平台和负载平台为刚体(实际应用中支撑平台和负载平台都是伪刚体，即变形量极小的近似刚体)，负载平台和支撑平台通过并联杆系(多根应变梁)连接，并联杆系中的应变梁作为弹性敏感元件；
在支撑平台和负载平台之间布置有测量两者之间微位移(由于应变梁变形导致)的微位移测量传感器，微位移测量传感器包括电学、光学位移传感器及其它非接触或微力接触传感器；电学位移传感器一般采用电容、电感、电涡流等类型电学传感器，光学位移传感器一般采用三角光、共焦光、像散光等类型光学传感器；
和/或，
在弹性敏感元件(应变梁)上粘贴有应变片(strain gauge)，应变片包括电阻应变片、半导体应变片和光学应变片(布拉格光栅FBG)等；
和/或，
采用压电晶体作为弹性敏感元件(应变梁)；
实际上就是，可以在支撑平台和负载平台之间布置微位移测量传感器，或者在弹性敏感元件上粘贴有应变片，或者采用压电晶体作为弹性敏感元件，或者三者结合。
具体实施方式二：
在说明本实施方式之前首先对本发明的空间矢量符号的表示形式进行说明，例如
Figure BDA0002206269300000094
Figure BDA0002206269300000095
每个参数的整体作为一个形式进行说明；
符号的主体表示空间矢量，Q表示包括力和力矩的广义力，F表示力，M表示力矩；Δ表示包括位移和转角变形的广义变形，ΔD表示位移变形，Δθ表示转角变形；r表示应变梁局部坐标系原点在全局坐标系下的与全局坐标系原点的距离，β表示应变梁局部坐标系绕全局坐标系三个轴的转角；
左上角的上角标代表坐标系统，左上角的上角标为g表示对应的参数为全局坐标系(oxyz)下的参数，左上角的上角标为i表示对应的参数为局部坐标系(oixiyizi)下的参数；
左下角的下角标代表矢量作用的点，左下角的下角标为o表示对应的矢量作用在全局坐标系(oxyz)的原点o，左下角的下角标为oi表示对应的矢量作用在局部坐标系(oixiyizi)的原点oi；
右上角的上角标为i表示施加者为第i根应变梁，g或者空白表示为全局量，即施加者为负载平台上的外力；
右下角的下角标代表矢量的方向，右下角的下角标为x表示沿着左上角坐标系中的x轴，如
Figure BDA0002206269300000091
中左上角为g则指沿着全局坐标系oxyz的x轴，如果左上角为i则指沿着局部坐标系oixiyizi的xi轴，同样，右下角的下角标为y表示沿着左上角坐标系中的y轴，右下角的下角标为z表示沿着左上角坐标系中的z轴，右下角标带有F和M是指变量由力或力矩引起，不带指由力和力矩共同作用引起，右下角的下角标空白表示xyz轴共同构成的矢量。
例如，
Figure BDA0002206269300000092
表示第i根梁，在全局坐标系统g(oxyz)下，作用于oi点，沿全局坐标系统x方向的力F；
Figure BDA0002206269300000093
表示第i根梁，在局部坐标系统i(oixiyizi)下，作用于oi点，在转矩M的作用下导致的沿该局部坐标系统zi方向的线性位移ΔD；
基于并联杆系多维力传感器获取多维力，本发明适用于实施方式一中的任何形式的多维力传感器结构。
基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，包括以下步骤：
首先建立各坐标系：
建立附着于支撑平台上的全局坐标系统，即该坐标系统固联于支撑平台不运动，但为了显示方便，一般将坐标系原点放置于负载平台受力部分中心o。如图2所示，图中全局坐标系为oxyz，简记为xyz；y轴与x轴垂直，z轴与平面y-x垂直；
建立表达应变梁局部変形的的局部坐标系统，图中局部坐标系为oixiyizi，简记为xiyizi，其中i表示第i根梁；以应变梁与负载平台接触面中心为局部坐标系原点oi；如图2所示，以应变梁中心线为局部坐标系xi轴，yi轴与xi轴垂直，且yi轴处于应变梁端面内，zi轴与平面yi-xi垂直，该局部坐标系统建立后即视为在全局坐标系统中固定，并不随应变梁变形而改变，其具体建立方式如下所述：
每个局部坐标系统与全局坐标系统的关系都可以用三个旋转角度和三个平移距离来表示，记为
Figure BDA0002206269300000101
和
Figure BDA0002206269300000102
如图3所示，图3表示每个局部坐标系统与全局坐标系统的关系确定的过程，即梁局部坐标系统的的建立方式；即：初始状态为局部坐标系与全局坐标系重合，先将应变梁相对初始位置绕x轴旋转
Figure BDA0002206269300000103
再绕y轴旋转
Figure BDA0002206269300000104
再绕z轴旋转
Figure BDA0002206269300000105
然后沿xyz轴分别平移
Figure BDA0002206269300000106
再将应变梁两端分别连接到负载平台和支撑平台上；当负载平台受力产生位移后，负载平台上与全局坐标系原点的重合点从o移动到o′；应变梁上与局部坐标系原点oi的重合点移动到oi′，本发明将这种局部坐标系统的建立方式称为Coordinate Ma；
局部坐标系统中应变梁在力作用下的变形示意图如图4所示；采用Euler梁时(也可采用Timoshenko梁或其它高阶梁)，根据应变梁的受力关系可知：
Figure BDA0002206269300000107
Figure BDA0002206269300000108
Figure BDA0002206269300000109
Figure BDA0002206269300000111
Figure BDA0002206269300000112
Figure BDA0002206269300000113
E为弹性模量，G为剪切模量；li是应变梁长度；Ai为应变梁横截面面积；
Figure BDA0002206269300000114
为绕y轴的惯性矩；
Figure BDA0002206269300000115
为绕z轴的惯性矩；
Figure BDA0002206269300000116
(其实就是
Figure BDA0002206269300000117
一般写为
Figure BDA0002206269300000118
)为绕x轴的惯性矩，即极惯性矩；
Figure BDA0002206269300000119
与上述空间矢量符号的表示形式是相同的，右下角的下角标代表矢量的方向，仍然是右下角的下角标为x表示沿着x轴，右下角的下角标为y表示沿着y轴，右下角的下角标为z表示沿着z轴；右下角的下角标中还出现其它参数就表示对应参数在相应轴上的量，例如右下角的下角标为Mz就表示由于M导致在z上的量。
应变梁在局部坐标原点oi的柔度矩阵定义为：
Figure BDA00022062693000001110
应变梁可以为任意形状应变梁(包括图7中弯梁)，如图5所示。对于任意形状的应变梁，可以采用有限元或试验方法获得应变梁的在局部坐标原点oi的柔度矩阵；对于等截面直杆应变梁，还可以根据前述的该应变梁受力变形关系，进一步根据Euler-Bernoulli梁理论将柔度矩阵(该矩阵也可以根据Timoshenko梁及其它现代梁理论获得)写为：
Figure BDA0002206269300000121
弹性半空间刚性平面受力示意图如图6所示，对于负载平台和支撑平台，可以将负载平台和支撑平台看做弹性半空间，其与应变梁连接处的柔度矩阵可以通过弹性半空间上的刚性平面受力位移变形关系得到；
负载平台在局部坐标原点oi的柔度矩阵定义为：
Figure BDA0002206269300000122
以应变梁与支撑平台接触面中心为局部坐标系原点
Figure BDA0002206269300000123
建立支撑平台局部坐标系统(与建立在应变梁与负载平台接触面中心的局部坐标系统相似)；支撑平台在支撑平台局部坐标原点
Figure BDA0002206269300000124
的柔度矩阵定义为：
Figure BDA0002206269300000125
可以采用有限元或试验方法获得柔度矩阵均
Figure BDA0002206269300000126
和
Figure BDA0002206269300000127
也可以采用Boussinesq和Mindlin等的弹性半空间理论推导该柔性矩阵近似值：
Figure BDA0002206269300000131
式中：E-弹性模量；μ-泊松比；A-刚性平面面积；Ip-刚性平面绕x轴极惯性矩；rp-刚性平面绕x轴极惯性半径；s-刚性平面沿z轴边长；w-刚性平面沿y轴边长；
应变梁对应的柔度矩阵
Figure BDA0002206269300000132
负载平台对应的柔度矩阵
Figure BDA0002206269300000133
支撑平台对应的柔度矩阵
Figure BDA0002206269300000134
均需要在点oi上进行处理，并对其求和；所以将支撑平台对应的柔度矩阵
Figure BDA0002206269300000135
移动到点oi；
为了后续统一理解，现将一种通用的空间矢量变换矩阵进行说明，说明中的两个坐标系统opxpypzp和oqxqyqzq为泛指，实际应用中可以用任意坐标系统替代：
Figure BDA0002206269300000136
为坐标系opxpypzp到坐标系oqxqyqzq的空间变换矩阵，其中op，xp，yp，zp分别表示坐标系opxpypzp的坐标原点，x轴，y轴和z轴，oq，xq，yq，zq分别表示坐标系oqxqyqzq的坐标原点，x轴，y轴和z轴，γ＝[γx,γy,γz]T为坐标系opxpypzp和坐标系oqxqyqzq在坐标系oqxqyqzq内绕x，y，z的空间夹角，d＝[dx,dy,dz]T为坐标系opxpypzp和坐标系oqxqyqzq坐标原点在坐标系oqxqyqzq内沿x，y，z的距离，其具体含义如下：
Rot(γ)＝Rot(z,γz)Rot(y,γy)Rot(x,γx) (13)
Rot()指空间旋转变换；其逆变换为：
RotT(γ)＝RotT(x,γ)RotT(y,γ)RotT(z,γ) (14)
Figure BDA0002206269300000141
代表矢量d＝[dx,dy,dz]T对应的反对称算子；该算子也可以看做叉乘算子，即力与力臂叉乘转换为力矩，及转速(微转角或转角差分)与转动半径叉乘转换为直线速度(微位移或位移差分)；
在具体应用
Figure BDA0002206269300000142
时，可以将opxpypzp和oqxqyqzq替换为其它具体的坐标系统，将γ替换为具体的两个坐标系统的夹角，将d替换为具体的两个坐标系统的原点距离即可，例如后面所述的
Figure BDA0002206269300000143
即为从梁与支撑平台相交处的坐标系
Figure BDA0002206269300000144
到梁与负载平台相交处的坐标系oixiyizi的空间变换，Ti g即为从梁与负载平台相交处的坐标系oixiyizi到全局坐标系统g的空间变换。
刚度矩阵变换坐标示意图如图7所示，图7(a)中梁为弯梁，图7(b)中梁为直梁；
在局部坐标oi处的柔度和矩阵
Figure BDA0002206269300000145
Figure BDA0002206269300000146
Figure BDA0002206269300000147
表示从局部坐标系
Figure BDA0002206269300000148
到局部坐标系oi的空间变换矩阵；
Figure BDA0002206269300000149
Figure BDA00022062693000001410
为两个局部坐标系oixiyizi和
Figure BDA00022062693000001411
的坐标轴夹角，
Figure BDA00022062693000001412
为两个局部坐标系oixiyizi和
Figure BDA00022062693000001413
的原点间距离；
当应变梁为直梁时，
Figure BDA00022062693000001414
Figure BDA00022062693000001415
代表矢量l＝[lx，ly，lz]T对应的反对称算子；
其中
Figure BDA00022062693000001416
代表两个局部坐标系oixiyizi和
Figure BDA00022062693000001417
原点在局部坐标系oixiyizi中的距离；后面所述的
Figure BDA00022062693000001418
变换都采用类似定义，将不再详述。
对于每一根应变梁i，在其局部坐标系原点的柔度矩阵都可以采用上述方法获得；
单根应变梁以及分别与负载平台、支撑平台连接处的柔度和矩阵的逆矩阵，即其刚度矩阵
Figure BDA00022062693000001419
局部坐标系转换到全局坐标下刚度矩阵的转换公式为：
Figure BDA0002206269300000151
Figure BDA0002206269300000152
Ti g表示从坐标系i到坐标系g的空间变换矩阵，坐标系i与坐标系g之间的夹角为βi，原点间距离为ri；
以图8所示的平面三维力传感器为例，在全局坐标系下的原点处的所有应变梁、负载平台、支撑平台的刚度矩阵和为
Figure BDA0002206269300000153
图1所示的空间六维力传感器与其完全一致；
全局坐标系下负载平台承受的外部广义力为
Figure BDA0002206269300000154
全局坐标系下负载平台在承受外部力时的位移为
Figure BDA0002206269300000155
力和位移、刚度的关系可以写为：
Figure BDA0002206269300000156
在多维力传感器实际测量时，由于刚度矩阵只与实际结构相关，所有结构参数事先已经得到，只要测量出负载平台在外力作用下的六个方向的微位移，即可以得到外部负载力六个分量的大小，即：只要通过支撑平台和负载平台之间布置的微位移测量传感器，和/或，弹性敏感元件上粘贴有的应变片，和/或，采用压电晶体作为敏感元件，测量得到负载平台在外力作用下的六个方向的微位移，即可以得到多维力传感器获得多维力，包括三维力，六维力及其它维度力。
本发明将该计算方法称为Principle Ma。
具体实施方式三：
本实施方式所述通过支撑平台和负载平台之间布置的微位移测量传感器测量负载平台在外力作用下的六个方向的微位移，具体过程如下：
负载平台位移的测量可以采用非接触电学位移传感器或光学位移传感器或者微力接触位移传感器：
如图9所示，图9(a)为电容传感器，只有xj轴上的位移对电容位移传感器有作用；图9(b)为三角光传感器，也只有xj轴上的位移对三角光位移传感器有作用；
如图10(a)和图10(b)所示，建立附着于位移传感器上的位移传感器局部坐标系统，位移传感器测量的发生位移的方向为局部坐标系统xj轴；每一个位移传感器都可以测量出沿位移传感器局部坐标系统xj轴的负载平台位移；
对于平面的三维力传感器而言，有3个位移传感器即可完全测量出负载平台的3个位移，当采用更多位移传感器时可以采用最小二乘法进行计算；
对于立体的六维力传感器而言，有6个位移传感器即可完全测量出负载平台的6个位移，当采用更多位移传感器时可以采用最小二乘法进行计算。
针对于六维力传感器而言，位移传感器在位移传感器局部坐标系下与在全局坐标系下的位移关系为：
Figure BDA0002206269300000161
其中，
Figure BDA0002206269300000162
Figure BDA0002206269300000163
表示从传感器局部坐标系j到全局坐标系g的空间变换矩阵，坐标系j与坐标系g之间的夹角为βj，原点间距离为rj；
上式是一种通用的表达，对于平面三维力和其它维度传感器(二维、四维、五维)而言，实际上只要做适度简化，其公式表达完全一致。
定义如下全局坐标系原点与位移传感器局部坐标系原点的位移协调关系矩阵为
Figure BDA0002206269300000164
其中的
Figure BDA0002206269300000165
可以由变换
Figure BDA0002206269300000166
确定，
Figure BDA0002206269300000167
可以由位移传感器测量得出；从而获得负载平台六个自由度的位移。
每一个传感器的全局坐标系下的位姿都可由
Figure BDA0002206269300000168
唯一确定，由于该类传感器绕自身x轴旋转并无意义，因此可视为
Figure BDA0002206269300000169
此时根据
Figure BDA00022062693000001610
即可以得出：
Figure BDA00022062693000001611
式中cβ表示cos(β)，sβ表示sin(β)；
公式(21)与公式(22)完全一致，由于公式(22)中的βj和rj都为已知参数，可见公式(21)中
Figure BDA00022062693000001612
都为已知参数。
针对于六维力传感器而言，想要获得六维力，可以同时设置至少六个位移传感器获得负载平台六个自由度的位移；
当位移传感器m＝6，即采用6个传感器时，
Figure BDA0002206269300000171
则可定义
Figure BDA0002206269300000172
Figure BDA0002206269300000173
Figure BDA0002206269300000174
则上述方程组可写为矩阵形式：
AΔvΔ＝BΔ (27)
AΔ为根据传感器全局坐标系下已知位姿参数确定的矩阵，BΔ为每一个传感器沿自身xj轴测得的位移量，vΔ为待求解的负载平台六自由度位移；
因此根据AΔvΔ＝BΔ，通过六个传感器测得的位移量即可获得负载平台六个自由度的位移。
如图26(a)和图26(b)为在支撑平台和负载平台之间布置有多个电容传感器的六维力传感器示意图。
针对于三维力传感器而言，如果在支撑平台和负载平台之间布置有多个电容传感器，如图25所示的平面三维力传感器，电容传感器的测量轴线为沿其局部坐标系统ojxjyjzj的xj轴，负载平台的位移可以通过多个电容传感器沿着每个自身测量轴线得到的测量量
Figure BDA0002206269300000175
经过计算得到；即，平面三维力传感器获得三维力的具体过程中，根据
Figure BDA0002206269300000176
进行计算，即采用公式(21)进行计算，现将公式(21)重新写在下面：
Figure BDA0002206269300000181
具体对于平面三维传感器可以写为：
Figure BDA0002206269300000182
当有3个以上的传感器时，则可以列出方程组，每一个
Figure BDA0002206269300000183
都可以由电容传感器直接测量得到，进而可以得到负载平台的总体位移
Figure BDA0002206269300000184
接下来的计算方法与前面所述的计算方法完全一致。
其他步骤与具体实施方式二相同。
具体实施方式四：
本实施方式所述通过弹性敏感元件上粘贴有的应变片测量负载平台在外力作用下的六个方向的微位移，具体过程如下：
采用应变片时，应变片对称粘贴于应变梁的四个(或者两个)侧面，如图11所示；
则应变梁沿其自身局部坐标系统的xi轴的拉伸力可以由以下差动电路获得，如图12(a)和图12(b)所示，其中E为参考电压，e为测量电压，可以只用应变片1、3或者应变片2、4求得应变梁沿xi的拉伸力
Figure BDA0002206269300000185
也可以同时采用应变片1、2、3、4求得，此时将1、3和2、4分别求得的力做平均值。
此时由于应变梁的柔度系数已知，沿xi轴的拉伸柔度系数为
Figure BDA0002206269300000186
E为弹性模量，Ai为应变梁横截面面积，li是应变梁长度；或者，采用有限元分析方法或者试验方式测量确定
Figure BDA0002206269300000187
则应变梁沿xi轴的拉伸(或压缩)变形为
Figure BDA0002206269300000188
如果将负载平台和支撑平台都视为刚体，则负载平台与支撑平台之间沿局部坐标系统xi轴的位移就可以视为等于上述应变梁沿xi轴的拉伸(或压缩)变形。
如果考虑负载平台和支撑平台的柔度，由于负载平台和支撑平台在xi轴柔度均为已知，即：
Figure BDA0002206269300000189
A为应变梁横截面面积，μ是泊松比；
则负载平台与支撑平台之间沿局部坐标系统xi轴的位移为：
Figure BDA00022062693000001810
上述的应变梁、负载平台和支撑平台的柔度系数也可以采用有限元或者试验方式测量的出。
上述方式就相当于将应变梁看做一个可以测量沿其自身局部坐标系统xi轴变形的传感器，与相应的电容传感器或者光学传感器测量的效果一致，接下来的计算则完全相同。
其他步骤与具体实施方式二相同。
具体实施方式五：
上面的分析中采用了空间变换矩阵简化符号
Figure BDA0002206269300000191
Ti g，
Figure BDA0002206269300000192
等，；
为了更清楚地说明计算方法，本实施方式给出一种平面的三维力获取的具体过程，在该过程中，将上述空间变换符号
Figure BDA0002206269300000193
Ti g，
Figure BDA0002206269300000194
等用具体公式写出。
平面的三维力传感器获得平面三维力的具体过程：
该传感器采用应变片作为变形测量元件，且负载平台和支撑平台都考虑为纯刚体。
针对于平面的的三维力传感器而言，多维力传感器中局部坐标系统中应变梁在力作用下的图4所示变形示意图简化为图13所示；
在局部坐标系xiyi下
Figure BDA0002206269300000195
E为弹性模量，Ai为应变梁横截面面积；
Figure BDA0002206269300000196
Ii为惯性矩；G为剪切模量；
Figure BDA0002206269300000197
Figure BDA0002206269300000198
那么，在局部坐标系xiyi和全局坐标系xy下的oi位移的关系为：
Figure BDA0002206269300000199
上述关系中的
Figure BDA00022062693000001910
以及公式中与
Figure BDA00022062693000001911
的叉乘关系即为
Figure BDA0002206269300000201
具体形式；
局部坐标系和全局坐标系的力示意图如图14所示；
在局部坐标系xiyi下和全局坐标系xy下的应变梁受到力的关系为
Figure BDA0002206269300000202
应变梁上的力从oi变换到全局坐标系的原点o，附加扭矩是
Figure BDA0002206269300000203
由应变梁i施加在点o上的扭矩为：
Figure BDA0002206269300000204
上面力的变换公式同样为采用Ti g变换的具体表达，与前述位移变换的表达完全一致。
因此，负载平台上的总力为
Figure BDA0002206269300000205
基于以上的公式，基本方程组可以写成
Figure BDA0002206269300000211
方程组中的变量是：
Figure BDA0002206269300000212
变量包括全局力
Figure BDA0002206269300000213
局部力
Figure BDA0002206269300000214
和全局位移
Figure BDA0002206269300000215
以应变梁n＝3为例，
Figure BDA0002206269300000216
视为观测变量，即可由粘贴于应变梁上的应变片测量得出，方程组(37)中有12个未知变量，即
Figure BDA0002206269300000217
线性方程系统可以写成
Av＝B (38)
其中，
Figure BDA0002206269300000221
Figure BDA0002206269300000222
其中，sβ＝sin(β)，cβ＝cos(β)；
观察线性方程系统Av＝B，最后3行可以直接用来计算全局坐标系中负载平台(刚体)的位移
Figure BDA0002206269300000223
这里即为将应变片测量得到的数据转换为沿相应应变梁的xi轴的位移，因此可以将应变梁视为一个可以测量沿局部坐标系xi轴位移的传感器。
然后用A的中间6行计算局部力；最后用前3行计算全局力；该方法可进一步提高计算速度。
这可以整理为3个公式：
AΔvΔ＝BΔ (39)
Aivi＝Bi (40)
AFvF＝BF (41)
其中
Figure BDA0002206269300000231
通过AΔvΔ＝BΔ即可以求解出负载平台的位移量。
当其中观测变量大于3个，即应变梁数量大于3或
Figure BDA0002206269300000232
中的某一些量能够被观测，该线性方程组转化为超定线性方程组；许多方法可以用来求解这样一个超定方程组。这里给出了一个简单的最小二乘法：ATAv＝ATB；
这意味着无论在刚性平台上附加多少根应变梁，计算整体力都是非常容易的，通常由于均化效应，随着梁数的增加，计算精度也会提高。
具体实施方式六：
本实施方式中，空间六维力传感器获得六维力的具体过程，上述空间变换矩阵
Figure BDA0002206269300000233
(具体有
Figure BDA0002206269300000234
Ti g、
Figure BDA0002206269300000235
等)将用具体公式写出。
下面的方法中采用应变片作为变形测量元件，且负载平台和支撑平台都考虑为纯刚体。
下面计算方法将应变梁在空间的Coordinate Ma变换中的沿x轴的旋转变换角度设为0，由于下面的计算中只采用应变梁沿局部坐标系xi轴的拉力作为初始计算条件，因此这种设定是合理的，当计算中也要将绕应变梁的局座坐标系的yi轴和zi轴的转矩作为初始计算条件时，则沿x轴的旋转变换角度不能忽略，则Coordinate Ma变换中的所有旋转角度均需要具体计算。
当沿x轴的旋转变换角度设为0时，如图3所示的Coordinate Ma的变换的旋转变换及逆变换为：
Figure BDA0002206269300000236
Figure BDA0002206269300000237
上述变换与Ti g变换是一致的。
相应的力变换可以具体推导：
Figure BDA0002206269300000238
Figure BDA0002206269300000241
施加在负载平台原点o点上的力矩应分为两部分：
Figure BDA0002206269300000242
Figure BDA0002206269300000243
表示由应变梁oi点上的力矩
Figure BDA0002206269300000244
产生的力矩，
Figure BDA0002206269300000245
表示由应变梁点oi上的力
Figure BDA0002206269300000246
产生的力矩；因此，
Figure BDA0002206269300000247
Figure BDA0002206269300000248
根据coordinate Ma，
Figure BDA0002206269300000249
Figure BDA00022062693000002410
当应变梁上的局部力在全局坐标系中从oi转换为o时，由转换引起的o上的扭矩为：
Figure BDA00022062693000002411
根据方程(50)和(51)，
Figure BDA00022062693000002412
上述变换即为包括了反对称算子的空间变换Ti g对力变换的具体表达公式。
相应的位移变换可以具体推导：
在全局坐标系xyz中，负载平台的原点o的位移
Figure BDA00022062693000002413
Figure BDA00022062693000002414
可写为
Figure BDA0002206269300000251
Figure BDA0002206269300000252
在全局坐标系xyz中，应变梁上的原点oi的位移
Figure BDA0002206269300000253
Figure BDA0002206269300000254
可写为
Figure BDA0002206269300000255
Figure BDA0002206269300000256
在局部坐标系xiyizi中，应变梁的原点oi的位移
Figure BDA0002206269300000257
Figure BDA0002206269300000258
可写为
Figure BDA0002206269300000259
Figure BDA00022062693000002510
加载平台的整体变形
Figure BDA00022062693000002511
与应变梁i的局部变形
Figure BDA00022062693000002512
之间的关系需要在下面计算。可以使用多种方法来计算关系。为了简化分析，下面应用矢量变换法，也就是前面所述的包括反对称算子(或叉乘算子)的Ti g变换的具体表示。
Figure BDA00022062693000002513
Figure BDA00022062693000002514
Figure BDA00022062693000002515
Figure BDA00022062693000002516
Figure BDA00022062693000002517
Figure BDA00022062693000002518
Figure BDA0002206269300000261
将方程(65)引入到方程(64)中，可得：
Figure BDA0002206269300000262
因此，在应变梁i的局部坐标系xiyizi中，局部原点oi的每个位移
Figure BDA0002206269300000263
Figure BDA0002206269300000264
都可以表示为全局原点的全局位移
Figure BDA0002206269300000265
Figure BDA0002206269300000266
的线性函数。
根据上述推导可以进行求解，其方法如下：
全局力可分为三步计算。
步骤(1)、计算负载平台的整体位移：
根据公式(66)，局部坐标系xiyizi中应变梁沿xi的变形为
Figure BDA0002206269300000267
采用公式(67)来构造AΔ和BΔ。
Figure BDA0002206269300000268
Figure BDA0002206269300000269
则公式(67)可以写为：
Figure BDA00022062693000002610
应变梁为6个，即n＝6，因此可以令i＝1～6，共构造6个方程，组成方程组，写成矩阵形式：
Figure BDA0002206269300000271
Figure BDA0002206269300000272
Figure BDA0002206269300000273
AΔvΔ＝BΔ (74)
相关参数可以参考公式(38)中的矩阵A和向量B获得；
可以使用公式(74)计算负载平台的全局位移。
当应变梁大于6，即n>6时，
Figure BDA0002206269300000274
Figure BDA0002206269300000275
用最小二乘法来计算vΔ：
AΔ TAΔvΔ＝AΔ TBΔ (77)
步骤(2)、计算局部坐标系中局部力：
在计算全局位移Δ的情况下，可以使用公式(63)和(66)计算局部坐标系中的所有局部位移；
然后，根据公式(1)至(6)用于计算局部坐标系中的所有局部力。
也可以采用矩阵方式进行求解：
Figure BDA0002206269300000281
Figure BDA0002206269300000282
Figure BDA0002206269300000283
ANivNi＝BNi (81)
可以用公式(48)分别求每个应变梁i的局部力，所有梁的全部方程式也可以写作：
Figure BDA0002206269300000284
BN＝[BN1 T,…,BNi T,…,BNn T]T (83)
vN＝[vN1 T,…,vNi T,…,vNn T]T (84)
ANvN＝BN (85)
因此，可以使用公式(85)直接求出所有应变梁的局部力。
步骤(3)、计算加载平台上的全局力：
根据方程(49)和(52)，可以计算出每个梁i对全局原点o施加的每个全局力和力矩。因此，
Figure BDA0002206269300000285
Figure BDA0002206269300000286
公式(86)和(87)也可以写作矩阵形式
Figure BDA0002206269300000291
Figure BDA0002206269300000292
vF＝[Fx，Fy，Fz，Mx，My，Mz]T (90)
AFvF＝BF (91)
采用上述方式即可以计算出传感器六维力，其也可以用一个统一线性方程组来表征。
以上公式(74)、(85)和(91)可以合并成一个方程系统；
Figure BDA0002206269300000293
B＝[B1,0,B3]T (93)
v＝[vF T,vN T,vΔ T]T (94)
Av＝B (95)
公式(95)也是Principle Ma考虑了全局位移、全局力和局部力的一种书写方式，当n＝6时，即有6个可观测量时，可以直接求解该齐次线性方程组；如果它是超定线性方程组，即n>6时，则可以使用最小二乘法ATAv＝ATB来计算结果。
具体实施方式七：
本实施方式为一种多维力获取方法，多维力为三维力或六维力。本实施方式中，平面三维力传感器获得三维力的具体过程中，或空间六维力传感器获得六维力的具体过程中，采用压电晶体作为应变梁获取多维力。
平面三维力传感器获得三维力的计算方法与具体实施方式五基本一致；
下面的方法中采用压电晶体作为应变梁，且负载平台和支撑平台都考虑为纯刚体。压电晶体采用预压紧方式安装，保证受力过程中不会与支撑平台和负载平台脱离接触。
如图23(a)所示压电晶体沿自身轴线xi的受力可以转换为压电晶体电荷的变化量，测量其点和变化量既可以得到每个压电晶体沿xi方向的正压力
Figure BDA0002206269300000294
进而得到此时负载平台与oi重合点在局部坐标系统oixiyizi中沿xi轴的变形量
Figure BDA0002206269300000295
其它的计算方法与前述实施例中的计算方法完全相同。
压电晶体的预紧方法如图23(b)所示，将支撑平台分为上装支撑平台(Uppersupporting platform)和下装支撑平台(Lower supporting platform)两部分，两部分用多组交叉布置的螺栓进行固定并同时施加预加载力；
对于空间六维力获取方式可以采用图24所示的原理图。
实施例
如图15所示，为设计的平面8梁结构的三维力传感器。
该结构的材料是铝合金7075，其性能如表1所示，
表1
Figure BDA0002206269300000301
平面8梁结构的三维力传感器结构参数如表2所示
表2
Figure BDA0002206269300000302
仿真中，在负载平台上施加两条单轴加载曲线。第一个加载曲线沿x轴，第二个加载曲线绕轴z。
第一加载曲线的输入力表示为
Fy＝50(N)；Mz＝5(Nm)；Fx＝[-100，-90，…，-10，-5，-1，0，1，5，10，…，90，100](N).
加载曲线上特定点的计算数据如表3所示。特定载荷下的应力云图如图16。
表3
Figure BDA0002206269300000303
Figure BDA0002206269300000311
在有限元软件中将输入力施加在负载平台上以计算结构的应力。此后，在有限元软件中测量梁沿轴xi的应力。接下来，将测量的应力输入到基于Principle Ma的程序中，以计算施加在负载平台上的力。最后，计算出的力可用于与初始输入力进行比较。
计算结果，计算误差和计算出的随机误差分别如图17，图18和图19所示。计算出的力和扭矩误差是使用输入力和计算力之间的差值，如图18所示。可以观察到误差是线性的。因此，可以通过线性校正来校正误差。
线性校正后的随机误差如图19所示。沿轴x和沿轴y的力的随机误差约为0.0006(N)，测量范围的标度为±100(N)，因此F.S的相对误差是0.0006/200＝0.0003％。绕轴z的扭矩随机误差约为0.000012(Nm)，测量范围的标度为±10(Nm)，因此F.S的相对误差是0.000012/20＝0.00006％。
来自FE软件的应力数据的有效位为6，如表3所示。因此截断误差为0.0005％。
可以看出，力和扭矩的计算随机误差甚至小于来自FE软件的初始计算数据的截断误差。原因在于均化效应，在结构中使用了8个应变梁。沿轴x的加载对沿轴y和绕轴z的计算结果具有小的线性影响。线性影响可以很容易地纠正。校正后几乎没有观察到维间耦合。
沿轴y的输入力的结果与沿轴x的输入力的结果完全相同，因此这里将不再示出结果。第二曲线的输入扭矩表示为Fx＝30(N)；Fy＝50(N)；Mz＝[-10，-9，…，-1，-0.5，-0.1，0，0.1，0.5，1，…，9，10](Nm)。
加载曲线上特定点的计算数据如表4所示，
表4
Figure BDA0002206269300000312
Figure BDA0002206269300000321
计算结果，计算误差和计算出的随机误差分别如图20，图21，图22所示。
图22中所示的随机误差与图19中所示的类似。这意味着在FE软件中使用上述求解方法的计算结果几乎无法观测到误差(包括I类误差，即沿力加载轴线误差，和II类误差，即维间耦合误差)。使用不同的FE软件(Solidworks simulation，Ansys，Abaqus)或使用不同的网格时(梁部位网格密度需要足够大)，结果基本类似。

Claims (10)

1.基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，其特征在于，包括以下步骤：
建立附着于支撑平台上的全局坐标系统；
分别建立基于应变梁和位移传感器的局部坐标系统，建立之后应变梁和位移传感器分别对应的局部坐标系统不随应变梁和位移传感器运动；
根据空间矢量变换法则建立局部坐标系统和全局坐标系统间的矢量变换关系矩阵，包括广义力变换关系、广义变形位移变换关系和位移传感器变换关系；
所述的广义力包括力和力矩，所述广义变形位移包括直线位移和转角位移；
根据理论力学、材料力学和弹性力学建立局部坐标系统下的应变梁、支撑平台及负载平台的变形和受力的关系矩阵，即局部刚度矩阵和局部柔度矩阵；
根据应变梁上粘贴的应变片，或/和压电晶体作为应变梁，或/和负载平台和支撑平台之间设置的位移传感器，得到负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系下沿/绕测量轴线的局部变形位移，称为可观测量；
根据所述负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系沿/绕测量轴线的局部变形位移计算负载平台在全局坐标系统下的变形位移，包括三个直线位移和三个转角位移；
根据负载平台在全局坐标系统下的变形位移计算每个应变梁相应局部坐标原点在局部坐标系统下的所有局部变形位移；
根据每个应变梁在局部坐标系统下的局部变形位移计算每个应变梁在局部坐标系统下的局部广义力；
将所有应变梁在局部坐标系统下的局部广义力根据局部坐标系统和全局坐标系统间的矢量变换关系平移到全局坐标系统原点并求和，得到多维力传感器的多维力。
2.根据权利要求1所述的基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，其特征在于，所述方法的具体过程如下：
建立附着于支撑平台上的全局坐标系统oxyz；
外力作用下负载平台在全局坐标系统oxyz下产生位移
Figure FDA0003297917400000011
其中，
Figure FDA0003297917400000012
为全局坐标系oxyz下的直线位移；
Figure FDA0003297917400000013
为全局坐标系oxyz下的转角位移；
分别建立以应变梁与负载平台接触面中心为局部坐标系原点oi，附着于应变梁上的局部坐标系统oixiyizi；i表示应变梁的序号；
以应变梁与支撑平台接触面中心为局部坐标系原点
Figure FDA0003297917400000014
分别建立支撑平台局部坐标系统
Figure FDA0003297917400000021
局部坐标系统中应变梁在力作用下产生变形位移，
Figure FDA0003297917400000022
其中
Figure FDA0003297917400000023
为局部坐标系oixiyizi下的直线位移；
Figure FDA0003297917400000024
为局部坐标系oixiyizi下的转角位移；
根据应变梁上粘贴的应变片，或/和压电晶体作为应变梁，或/和负载平台和支撑平台之间设置的位移传感器，得到负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系下沿测量轴线的局部变形位移，称为可观测量；根据空间矢量变换利用部分局部坐标系下的局部变形位移，即可观测量，计算出负载平台在全局坐标系统oxyz下产生位移
Figure FDA0003297917400000025
进而计算出所有应变梁局部坐标系下的局部位移
Figure FDA0003297917400000026
根据所述的得到的所有应变梁的
Figure FDA0003297917400000027
得到所有应变梁的局部广义力
Figure FDA0003297917400000028
其中
Figure FDA0003297917400000029
为局部坐标系oixiyizi下的力，
Figure FDA00032979174000000210
为局部坐标系oixiyizi下的力矩；
定义应变梁在局部坐标原点oi的柔度矩阵为
Figure FDA00032979174000000211
获得应变梁的在局部坐标原点oi的柔度矩阵
Figure FDA00032979174000000212
对于负载平台和支撑平台，将负载平台和支撑平台看做半弹性空间；定义负载平台在局部坐标原点oi的柔度矩阵为
Figure FDA00032979174000000213
定义支撑平台在支撑平台局部坐标原点
Figure FDA00032979174000000214
的柔度矩阵为
Figure FDA00032979174000000215
确定柔性矩阵
Figure FDA00032979174000000216
和
Figure FDA00032979174000000217
的近似值；
将支撑平台对应的柔度矩阵
Figure FDA00032979174000000218
移动到点oi，在局部坐标oi处负载平台、支撑平台的弹性变形部分与应变梁的柔度矩阵之和为：
Figure FDA00032979174000000219
Figure FDA00032979174000000220
表示从局部坐标系
Figure FDA00032979174000000221
到局部坐标系oixiyizi的空间矢量变换矩阵；进而获得柔度和矩阵的逆矩阵，即其刚度矩阵
Figure FDA00032979174000000222
将局部坐标系转换到全局坐标下得到全局坐标下刚度矩阵
Figure FDA00032979174000000223
Ti g表示从坐标系oi到坐标系o的空间矢量变换矩阵；
则在全局坐标系下的原点处的所有应变梁、负载平台、支撑平台的刚度矩阵和为
Figure FDA0003297917400000031
全局坐标系下负载平台承受的外部广义力为
Figure FDA0003297917400000032
全局坐标系下负载平台在承受外部力时的广义位移为
Figure FDA0003297917400000033
全局坐标系统下广义力和广义位移、刚度的关系为：
Figure FDA0003297917400000034
全局坐标系统下的广义力和应变梁局部坐标系统下的局部广义力的关系为：
Figure FDA0003297917400000035
根据上述获得的
Figure FDA0003297917400000036
和
Figure FDA0003297917400000037
采用公式
Figure FDA0003297917400000038
计算六维力
Figure FDA0003297917400000039
或者根据上述获得的
Figure FDA00032979174000000310
采用公式
Figure FDA00032979174000000311
计算六维力
Figure FDA00032979174000000312
3.根据权利要求2所述的基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，其特征在于，所述每个局部坐标系统oixiyizi与所述全局坐标系统oxyz的关系以及
Figure FDA00032979174000000313
和oixiyizi的关系确定方法如下：
假设初始状态为局部坐标系与全局坐标系重合，将应变梁相对初始位置沿着x旋转
Figure FDA00032979174000000314
再沿着y旋转
Figure FDA00032979174000000315
再沿着z旋转
Figure FDA00032979174000000316
然后沿着xyz坐标轴分别平移
Figure FDA00032979174000000317
每个局部坐标系统oixiyizi与全局坐标系统oxyz的关系都用三个旋转角度和三个平移距离来表示，记为
Figure FDA00032979174000000318
和
Figure FDA00032979174000000319
同理，
Figure FDA00032979174000000320
和oixiyizi也同样用三个旋转角度和三个平移距离来表示，记为
Figure FDA00032979174000000321
和
Figure FDA00032979174000000322
4.根据权利要求3所述的基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法其特征在于，所述
Figure FDA00032979174000000323
Rot(·)指坐标旋转，S(ri)和S(li)分别代表矢量ri和li对应的反对称算子。
5.根据权利要求2、3或4所述的基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，其特征在于，所述负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系下沿测量轴线的局部变形位移通过支撑平台和负载平台之间布置的微位移测量传感器获得，具体过程如下：
a、针对六维力传感器的微位移测量传感器测量负载平台在外力作用下的各个方向的微位移：
负载平台位移的测量采用电学微位移传感器或光学微位移传感器：
建立附着于微位移传感器上的位移传感器局部坐标系统，位移传感器测量的发生位移的方向为局部坐标系统xj轴；测量出沿位移传感器局部坐标系统xj轴的负载平台位移；
位移传感器在位移传感器局部坐标系下与在全局坐标系下的位移关系为
Figure FDA0003297917400000041
具体针对沿局部坐标系统xj轴微位移，上述变换关系具体写为：
Figure FDA0003297917400000042
方程中sβ＝sin(β)，cβ＝cos(β)，上式即为全局坐标系原点与位移传感器局部坐标系原点的位移协调关系方程，该方程进一步简写为：
Figure FDA0003297917400000043
式中，
Figure FDA0003297917400000044
分别为方程系数，可见这些系数完全由
Figure FDA0003297917400000045
和
Figure FDA0003297917400000046
确定，
Figure FDA0003297917400000047
由位移传感器测量得出；该方程称为沿局部坐标系统xj轴方向的协调关系方程；
当有6个以上的传感器，即j≥6时，则由上述协调关系方程组成方程组，方程组称为负载平台微位移求解方程组，每一个
Figure FDA0003297917400000048
由传感器直接测量得到，进而获得负载平台六个自由度的微位移；
b、针对三维力传感器的微位移测量传感器测量负载平台在外力作用下的各个方向的微位移，协调关系方程写为：
Figure FDA0003297917400000049
当有3个以上的传感器时，则列出负载平台微位移求解方程组，每一个
Figure FDA00032979174000000410
都由传感器直接测量得到，进而得到负载平台的位移。
6.根据权利要求2、3或4所述的基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，其特征在于所述负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系下沿测量轴线的局部变形位移通过弹性敏感元件上粘贴有的应变片实现获得，具体过程如下：
采用应变片时，应变片对称粘贴于四个应变梁侧面或者两个相对的应变梁侧面；
则应变梁沿其自身局部坐标系统的xi轴的拉伸力由以下差动电路获得，只用两个相对的侧面的应变片求得应变梁沿xi的拉伸力
Figure FDA00032979174000000411
或者采用四个侧面的应变片求得，即对两组相对的侧面确定的
Figure FDA0003297917400000051
求平均值；
应变梁的柔度系数已知，沿xi轴的拉伸柔度系数为
Figure FDA0003297917400000052
E为弹性模量，Ai为应变梁横截面面积，li是应变梁长度；或者，采用有限元分析方法或者试验方式测量确定
Figure FDA0003297917400000053
则应变梁沿xi轴的拉伸变形为
Figure FDA0003297917400000054
如果将负载平台和支撑平台都视为刚体，则负载平台与支撑平台之间沿局部坐标系统xi轴的位移视为等于上述应变梁沿xi轴的拉伸变形；从而获得负载平台六个自由度的位移；
如果考虑负载平台和支撑平台的柔度，由于负载平台和支撑平台在xi轴柔度均为已知有
Figure FDA0003297917400000055
Ai是应变梁的截面面积，μ是泊松比；或者，采用有限元分析方法或者试验方式测量确定
Figure FDA0003297917400000056
则负载平台与支撑平台之间沿局部坐标系统xi轴的位移为
Figure FDA0003297917400000057
从而获得负载平台六个自由度的位移。
7.基于并联杆系多维力传感器的多维力获取方法，其特征在于，包括以下步骤：
建立附着于支撑平台上的全局坐标系统；
分别建立基于应变梁和位移传感器的局部坐标系统，建立之后应变梁和位移传感器分别对应的局部坐标系统不随应变梁和位移传感器运动；
根据空间矢量变换法则建立局部坐标系统和全局坐标系统间的矢量变换关系矩阵，包括广义力变换关系、广义变形位移变换关系和位移传感器变换关系；
所述的广义力包括力和力矩，所述广义变形位移包括直线位移和转角位移；
根据理论力学、材料力学和弹性力学建立局部坐标系统下的应变梁、支撑平台及负载平台的变形和受力的关系矩阵，即局部刚度矩阵和局部柔度矩阵；
根据空间矢量变换关系，将每个梁的局部刚度矩阵和柔度矩阵平移到全局坐标系统原点并求和，得到多维力传感器的全局刚度矩阵和柔度矩阵；
根据应变梁上粘贴的应变片，或/和压电晶体作为应变梁，或/和负载平台和支撑平台之间设置的位移传感器，得到负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系下沿/绕测量轴线的局部变形位移，称为可观测量；
根据所述负载平台与相应局部坐标系原点重合点在局部坐标系沿/绕测量轴线的局部变形位移计算负载平台在全局坐标系统下的广义变形位移；
由于广义力与广义变形位移直接呈现线性关系，即广义力等于全局刚度矩阵乘以广义变形位移，根据上述得到的全局刚度矩阵和广义变形位移即可得到多维力传感器的广义力。
8.采用并联杆系的三维力传感器的三维力获取方法，所述的三维力传感器的负载平台和支撑平台位于同一平面内，其特征在于，包括以下步骤：
采用应变片测量负载平台在外力作用下的各个方向的微位移；
针对于平面的三维力传感器而言，在局部坐标系xiyi下
Figure FDA0003297917400000061
左上角的上角标代表坐标系统，左上角的上角标为g表示对应的参数为全局坐标系下的参数，左上角的上角标为i表示对应的参数为局部坐标系下的参数；
左下角的下角标代表矢量作用的点，左下角的下角标为o表示对应的矢量作用在全局坐标系的原点o，左下角的下角标为oi表示对应的矢量作用在局部坐标系的原点oi；
右上角的上角标为i表示施加者为第i根应变梁，g或者空白表示为全局量，即施加者为负载平台上的外力；
右下角的下角标代表矢量的方向，右下角的下角标为x表示沿着左上角坐标系中的x轴，左上角为g则指沿着全局坐标系oxyz的x轴，如果左上角为i则指沿着局部坐标系oixiyizi的xi轴；同样，右下角的下角标为y表示沿着左上角坐标系中的y轴，右下角的下角标为z表示沿着左上角坐标系中的z轴，右下角标带有F和M是指变量由力或力矩引起，不带指由力和力矩共同作用引起，右下角的下角标空白表示xyz轴共同构成的矢量；
参数的含义如下：
E为弹性模量；A为应变梁横截面面积，Ai为第i根应变梁的截面面积；l是应变梁长度，li是第i根应变梁的长度；ΔD为位移变形，
Figure FDA0003297917400000062
为第i根应变梁局部坐标系下沿着x轴的位移变形；F为力，
Figure FDA0003297917400000063
为第i根应变梁局部坐标系下沿着x轴的力；
Figure FDA0003297917400000064
Ii为惯性矩；G为剪切模量；右下角角标中的Fy1表示剪切变形对应的参数，Fy2表示弯曲变形对应的参数；
Figure FDA0003297917400000065
Figure FDA0003297917400000066
那么，在局部坐标系xiyi和全局坐标系xy下的oi位移的关系为：
Figure FDA0003297917400000071
上述关系中的
Figure FDA0003297917400000072
以及公式中与
Figure FDA0003297917400000073
的叉乘关系即为
Figure FDA0003297917400000074
具体形式；
在局部坐标系xiyi下和全局坐标系xy下的应变梁受到力的关系为
Figure FDA0003297917400000075
应变梁上的力从oi变换到全局坐标系的原点o，附加扭矩是
Figure FDA0003297917400000076
由应变梁i施加在点o上的扭矩为：
Figure FDA0003297917400000077
因此，负载平台上的总力为
Figure FDA0003297917400000078
基于以上的公式，基本方程组为：
Figure FDA0003297917400000081
方程组中的变量是：
Figure FDA0003297917400000082
变量包括全局力
Figure FDA0003297917400000083
局部力
Figure FDA0003297917400000084
和全局位移
Figure FDA0003297917400000085
Figure FDA0003297917400000086
视为观测变量，即可由粘贴于应变梁上的应变片测量得出，方程组(37)中有12个未知变量，即
Figure FDA0003297917400000087
线性方程系统写成
Av＝B (38)
其中，
Figure FDA0003297917400000091
Figure FDA0003297917400000092
其中，sβ＝sin(β)，cβ＝cos(β)；
观察线性方程系统Av＝B，最后3行直接用来计算全局坐标系中负载平台的位移
Figure FDA0003297917400000093
Figure FDA0003297917400000094
即为将应变片测量得到的数据转换为沿相应应变梁的xi轴的位移；
整理为3个公式：
AΔvΔ＝BΔ (39)
Aivi＝Bi (40)
AFvF＝BF (41)
其中
Figure FDA0003297917400000101
通过AΔvΔ＝BΔ求解出负载平台的位移量；通过公式(38)中的A和B即可进而得到Ai、Bi、AF和BF，进一步可以得到三维力。
9.采用并联杆系的六维力传感器的六维力获取方法，其特征在于，包括以下步骤：
采用应变片测量负载平台在外力作用下的各个方向的微位移；
coordinate Ma：假设初始状态为局部坐标系与全局坐标系重合，将应变梁相对初始位置沿着x旋转
Figure FDA0003297917400000102
再沿着y旋转
Figure FDA0003297917400000103
再沿着z旋转
Figure FDA0003297917400000104
然后沿着xyz坐标轴分别平移
Figure FDA0003297917400000105
当沿x轴的旋转变换角度设为0时，旋转变换及逆变换为：
Figure FDA0003297917400000106
Figure FDA0003297917400000107
上述变换与Ti g变换是一致的；
有：
Figure FDA0003297917400000108
Figure FDA0003297917400000109
施加在负载平台原点o点上的力矩应分为两部分：
Figure FDA00032979174000001010
Figure FDA00032979174000001011
表示由应变梁oi点上的力矩
Figure FDA00032979174000001012
产生的力矩，
Figure FDA00032979174000001013
表示由应变梁点oi上的力
Figure FDA00032979174000001014
产生的力矩；因此，
Figure FDA00032979174000001015
Figure FDA00032979174000001016
根据coordinate Ma，
Figure FDA0003297917400000111
Figure FDA0003297917400000112
当应变梁上的局部力在全局坐标系中从oi转换为o时，由转换引起的o上的扭矩为：
Figure FDA0003297917400000113
进而有：
Figure FDA0003297917400000114
上述变换即为包括了反对称算子的空间变换Ti g对力变换的具体表达公式；
在全局坐标系xyz中，负载平台的原点o的位移
Figure FDA0003297917400000115
写为
Figure FDA0003297917400000116
Figure FDA0003297917400000117
在全局坐标系xyz中，应变梁上的原点oi的位移
Figure FDA0003297917400000118
写为
Figure FDA0003297917400000119
Figure FDA00032979174000001110
在局部坐标系xiyizi中，应变梁的原点oi的位移
Figure FDA00032979174000001111
写为
Figure FDA00032979174000001112
Figure FDA00032979174000001113
应用矢量变换法有
Figure FDA0003297917400000121
Figure FDA0003297917400000122
Figure FDA0003297917400000123
将方程(65)引入到方程(64)中，可得：
Figure FDA0003297917400000124
因此，在应变梁i的局部坐标系xiyizi中，局部原点oi的每个位移
Figure FDA0003297917400000125
都能够表示为全局原点的全局位移
Figure FDA0003297917400000126
的线性函数；
然后确定全局力，具体过程如下：
计算负载平台的整体位移：
根据公式(66)，局部坐标系xiyizi中应变梁沿xi的变形为
Figure FDA0003297917400000127
采用公式(67)来构造AΔ和BΔ，
Figure FDA0003297917400000128
Figure FDA0003297917400000129
则公式(67)写为：
Figure FDA0003297917400000131
当应变梁为6个，即n＝6，令i＝1～6，共构造6个方程，组成方程组，写成矩阵形式：
Figure FDA0003297917400000132
Figure FDA0003297917400000133
Figure FDA0003297917400000134
AΔvΔ＝BΔ (74)
使用公式(74)计算负载平台的全局位移；
当当应变梁大于6，即n>6时，
Figure FDA0003297917400000135
Figure FDA0003297917400000136
用最小二乘法来计算vΔ：
AΔ TAΔvΔ＝AΔ TBΔ (77)
使用上述方法计算负载平台的全局位移；
最后根据负载平台的位移量得到六维力。
10.根据权利要求9所述的采用并联杆系的六维力传感器的六维力获取方法，其特征在于，根据负载平台的位移量得到六维力的过程如下：
计算局部坐标系中局部力：
在计算全局位移Δ的情况下，使用公式(63)和(66)计算局部坐标系中的所有局部位移；采用矩阵方式进行求解所有应变梁的局部力：
Figure FDA0003297917400000141
Figure FDA0003297917400000142
Figure FDA0003297917400000143
ANivNi＝BNi (81)
用公式(48)分别求每个应变梁i的局部力，所有梁的全部方程式写作：
Figure FDA0003297917400000144
Figure FDA0003297917400000145
vN＝[vN1 T,…,vNi T,…,vNn T]T (84)
ANvN＝BN (85)
使用公式(85)直接求出所有应变梁的局部力；
计算加载平台上的全局力：
根据方程(49)和(52)，计算出每个梁i对全局原点o施加的每个全局力和力矩；因此，
Figure FDA0003297917400000146
Figure FDA0003297917400000147
公式(86)和(87)写作矩阵形式
Figure FDA0003297917400000151
Figure FDA0003297917400000152
vF＝[Fx，Fy，Fz，Mx，My，Mz]T (90)
AFvF＝BF (91)
采用上述方式计算出传感器六维力，采用一个统一线性方程组来表征；
以上公式(74)、(85)和(91)合并成一个方程系统；
Figure FDA0003297917400000153
B＝[B1,0,B3]T (93)
v＝[vF T,vN T,vΔ T]T (94)
Av＝B (95)
根据公式(95)最终确定六维力。
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