CN112597617A - 一种梯度场线圈优化方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种梯度场线圈优化方法。该方法将线圈储能作为待优化函数，将成像区域内的磁场与骨架上的流函数作为约束条件，将线圈设计问题归结为一个带约束条件的优化问题。然后将线圈骨架上的流函数展开为基函数与待求系数的组合。与传统方法相比，该方法不需要确定权重系数，容易添加其他约束条件，且通过添加流函数约束条件能得到更合理的线圈结构，是一种功能更强大的梯度线圈优化方法。

Description

一种梯度场线圈优化方法
技术领域
本发明涉及一种核磁共振成像系统中的梯度场线圈的优化方法。
背景技术
目前发展起来的梯度场线圈设计方法有很多种，其中最成功的方法是流函数方法。所谓流函数方法，即首先在线圈布线区域，或者说骨架上构建一组流函数基函数，然后根据流函数表达式推导出骨架上的电流密度基函数，并电流密度基函数构建一个待优化的目标函数。对该目标函数进行求解，即可得到骨架上的电流密度与流函数。在绝大多数关于设计梯度场线圈的流函数方法文献中，都是将成像区域内的梯度场与理想梯度场的均方误差与线圈储能的加权和作为待优化的目标函数，然后采取合适的算法进行优化。采用这种方法如果想对其他参数进行优化，如线圈所受的洛伦兹力等，都是通过在目标函数中添加加权项的方法。这种方法的优点是所构建的目标函数的导数为0的点对应一个线性系统的解，只需求解该线性系统即可得到目标函数的最小值。但是这种方法的缺点也很明显。首先，各个权重系数不容易确定，需要通过很多次迭代来得到合适的权重系数。当待优化的参数比较多时，确定合适的权重系数会非常的麻烦。其次，实际梯度场与理想梯度场的均方误差与线性度没有直接的对应关系，在优化目标函数中施加均方误差项属于不必要的条件。再次，也是最重要的一点，采用该方法设计的梯度线圈可能在电磁性能上达到了要求，但是不一定适合工程应用；或者是通过流函数求线圈结构时需要做一些近似处理从而造成电磁性能的下降，这无疑限制了算法的功能。
发明内容
发明目的：本发明目的在于提供一种梯度场线圈优化方法，将线圈储能作为待优化的目标函数，将成像区域内的磁场与骨架上的流函数作为约束条件建立优化问题的数学模型，如果对其他参量进行优化，则都作为上述数学模型的约束条件之一，能有效避免选择权重系数的麻烦，并且约束条件的添加更为灵活。
技术方案：本发明所述的一种梯度场线圈优化方法，具体为：建立并求解如下的带约束条件的数学模型：
min W
s.t.
Figure BDA0002202341930000021
上式中，W为梯度场线圈储能，ε为梯度场线圈在成像区域内产生的梯度磁场所允许的最大误差，G为梯度场强度，R为成像区域半径，
Figure BDA0002202341930000022
为成像区域内及骨架上的采样点矢量坐标，
Figure BDA0002202341930000023
为坐标点
Figure BDA0002202341930000024
处的z方向磁场强度，
Figure BDA0002202341930000025
为坐标点
Figure BDA0002202341930000026
处期望的z方向磁场强度，K1为成像区域内的采样点个数，K2为骨架上的采样点个数，
Figure BDA0002202341930000027
为坐标
Figure BDA0002202341930000028
处的流函数表达式，
Figure BDA0002202341930000029
为坐标
Figure BDA00022023419300000210
处的流函数最小值与最大值，为预先设定的参数。
进一步，磁场强度约束条件表示为如下形式：
Figure BDA00022023419300000211
Figure BDA00022023419300000212
进一步，基于流函数法构造前述的优化问题，即在线圈骨架上构造一组流函数基函数，并且将流函数表示为基函数与其系数的组合：
Figure BDA00022023419300000213
式中，
Figure BDA00022023419300000214
j＝1，2...N为构造的流函数基函数，x＝{x1，x2，...xN}为待求系数，N为基函数个数，
Figure BDA00022023419300000215
为布线区域内任意一点处的坐标矢量。
进一步，采用如下的公式计算梯度场线圈骨架上的电流密度：
Figure BDA00022023419300000216
其中，
Figure BDA00022023419300000217
为骨架上坐标矢量产处的单位法向矢量，符号
Figure BDA00022023419300000218
表示旋度。
进一步，采用如下的公式计算梯度场线圈的储能：
Figure BDA00022023419300000219
上式中，μ0为真空磁导率，
Figure BDA00022023419300000220
与
Figure BDA00022023419300000221
为线圈骨架上任一点处的坐标矢量，
Figure BDA00022023419300000222
与
Figure BDA00022023419300000223
为梯度场线圈骨架上的电流密度，S为线圈骨架所在的面。
进一步，采用如下的公式计算梯度场线圈在空间任意一点
Figure BDA0002202341930000031
处产生的磁感应强度：
Figure BDA0002202341930000032
上式中，μ0为真空磁导率，
Figure BDA0002202341930000033
为线圈骨架上任一点处的坐标矢量，
Figure BDA0002202341930000034
为梯度场线圈骨架上的电流密度矢量，
Figure BDA0002202341930000035
包含三个分量：
Figure BDA0002202341930000036
S为线圈骨架所在的面，磁场矢量B同样包含三个分量：Bx、By、Bz。
进一步，数学模型中的所有约束条件都为x的线性函数，采用单形体法对优化问题进行求解。
进一步，所建立的数学模型还包括线圈所受的洛伦兹力的条件：
Mpx≤Mpx，max
Mpy≤Mpy，max
Mpz≤Mpz，max
上式中，Mpx，Mpy，Mpz为x、y、z三个方向的洛伦兹力，Mpx，max、Mpy，max、Mpz，max为所允许的三个方向的最大洛伦兹力，为预先给定的值。
进一步，Mpx，Mpy，Mpz的具体表达式为：
Figure BDA0002202341930000037
Figure BDA0002202341930000038
Figure BDA0002202341930000039
上式中，B0为梯度场线圈所在位置的外加磁感应强度，
Figure BDA00022023419300000310
为线圈骨架上坐标
Figure BDA00022023419300000312
处x、y、z三个方向的电流密度，
Figure BDA00022023419300000311
x、y、z为笛卡尔坐标。
有益效果：本发明设计方法的优点是：在约束条件为线性约束的情况下，所建立的数学模型为一个二次规划问题。实际工程中的大多数待优化参数都可以表示为线性约束。二次规划问题目前在数学上有非常成熟的求解方法。与传统方法相比，采用本发明中的方法避免了选择权重系数的麻烦。更重要的是，采用本发明中的数学模型可以根据需要灵活添加约束条件，而且在约束条件相同时与传统方法相比得到的线圈性能更好，因此本发明中的方法是一种功能更强大的优化算法。
附图说明
图1是柱面梯度场线圈的骨架形状与尺寸示意图。
图2是采用本发明中的方法设计的横向梯度场线圈的结构。
具体实施方式
本部分以柱面横向梯度场线圈为具体实施例，对本发明作具体的介绍。下面将采用本方法设计柱面梯度场线圈的过程描述如下：
假定梯度场线圈所在的柱面半径为a，轴线方向布线长度为2L，梯度场强度G，磁场最大误差ε；以柱面中心为原点，轴向为z轴建立笛卡尔坐标系。坐标系的x轴在水平面，y轴与水平面垂直，xyz三个轴符合右手螺旋法则，成像区域为以原点为圆心的球形区域，如图1所示。
具体设计步骤如下：
(1)预先给定梯度场线圈所在的柱面的半径a，轴线方向布线长度2L，成像区域范围，梯度场强度G，磁场最大误差ε；
(2)构造合适的流函数基函数与表达式：
Figure BDA0002202341930000041
(3)建立如下待优化的数学模型，求解得到流函数表达式的系数：
min W
s.t.
Figure BDA0002202341930000042
上式中，W为梯度场线圈储能，ε为梯度场线圈在成像区域内产生的梯度磁场所允许的最大误差，R为成像区域半径，
Figure BDA0002202341930000043
为成像区域内及骨架上的采样点矢量坐标，
Figure BDA0002202341930000044
为坐标点
Figure BDA0002202341930000045
处的z方向磁场强度，
Figure BDA0002202341930000046
为坐标点
Figure BDA0002202341930000047
处期望的z方向磁场强度，K1为成像区域内的采样点个数，K2为骨架上的采样点个数，
Figure BDA0002202341930000051
为坐标ri处的流函数表达式，
Figure BDA0002202341930000052
为坐标
Figure BDA0002202341930000053
处的流函数最小值与最大值，为预先设定的参数。
(4)利用求出的流函数基函数系数，求出流函数在空间的分布，进而得到梯度场线圈的布线形状。
本发明中，将骨架上的流函数作为约束条件，这样能够在一定程度上控制线圈的结构与电磁性能。例如，在采用流函数法设计梯度线圈时，得到的流函数最大值与最小值不一定为整数，这样通过骨架上的流函数获取线圈的结构时，就必须舍弃流函数的小数部分，从而造成电磁性能与设计结果不一致。而通过添加流函数约束能缓解这种情况。
本发明中，采用如下的公式计算梯度线圈骨架上的电流密度：
Figure BDA0002202341930000054
其中，
Figure BDA0002202341930000055
为线圈骨架上坐标矢量
Figure BDA0002202341930000059
处的单位法向矢量，符号
Figure BDA0002202341930000056
表示旋度。
Bz可利用毕奥-萨伐尔定律求得：
Figure BDA0002202341930000057
根据上式可计算出B的z方向分量Bz，S为线圈骨架所在的面。
W的表达式为：
Figure BDA0002202341930000058
将Bz以及W的表达式带入第(3)步中的数学模型，可得到一个由流函数系数x表示的带约束条件的优化问题。对其进行求解即可得到x。根据x的值，可以得到柱面上的流函数f(r)。通过该流函数可以得到梯度场线圈的结构。
本发明中的方法与传统方法的区别主要是上述第(3)步所构建的数学模型。在该模型中，除了磁场与流函数之外，还可以根据需要添加其他的约束条件。例如，如果对线圈所受的洛伦兹力进行优化，采用传统的流函数方法所构建的目标函数为：
Figure BDA0002202341930000061
上式中，第一项为在成像区域内的磁感应强度的平方误差，第二项为储能，第三项中的Mpx，Mpy，Mpz为三个方向的洛伦兹力，具体表达式为：
Figure BDA0002202341930000062
Figure BDA0002202341930000063
Figure BDA0002202341930000064
其中，B0为梯度场线圈所在位置的外加磁感应强度，
Figure BDA0002202341930000065
为线圈骨架上坐标
Figure BDA0002202341930000066
处在x、y、z三个方向的电流密度，
Figure BDA0002202341930000067
α、λpx、λpy、λpz均为权重系数。可以看出，上述目标函数中有很多权重系数。在优化上述目标函数时，需要达到的目标通常与目标函数中包含的项没直接对应关系，如设计目标为梯度场误差小于某一给定的值ε，这样就很难预先确定α，λpx，λpy，λpz的值。
采用本发明中的方法，所构建的目标函数为：
min W
st
Figure BDA0002202341930000068
上式中，Mpx，max、Mpy，max、Mpz，max为所允许的三个方向的最大洛伦兹力，为预先给定的值。可以看出，上式可以根据实际需求对每个参数精确设置约束条件。
上式为一个二次规划问题。在上述数学模型中，不包含待优化的权重系数，因此避免了传统方法中存在的问题。对于二次规划问题，目前在数学上有非常成熟的求解方法，采用单形体方法可以快速的收敛到最优解。
下面根据具体的算例给出仿真结果。假定某一横向梯度场线圈，直径为2a＝0.7m。设计参数为：设计指标为45cm×45cm×45cm的球形区域内的梯度磁场强度为56μT/m/A，线性度为5％。采用本发明中的方法但是不加流函数约束条件，设计得到的梯度场线圈流函数最小值为0，最大值为11.4。添加流函数约束条件，最后优化得到的流函数最小值为0，最大值为11。因为流函数最大值为整数，所以通过流函数来获取线圈结构时不存在电流舍入误差。得到的线圈形状如图2所示。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和优点。本行业的技术人员应该了解，上述实施例以柱面线圈为例来说明该发明的实施步骤，但是该发明同样适用于平面梯度线圈，凡采用等同替换或等效变换的方式所获得的技术方案，均落在本发明的保护范围内。

Claims (9)

1.一种梯度场线圈优化方法，其特征在于，所述方法在优化梯度场线圈结构时，将线圈储能的最小值作为优化目标，将成像区域内的磁场强度与线圈骨架上的流函数作为约束条件来构建梯度场线圈优化的数学模型；具体为建立并求解如下的带约束条件的数学模型：
minW
s.t.
Figure FDA0002202341920000011
上式中，W为梯度场线圈储能，ε为梯度场线圈在成像区域内产生的梯度磁场所允许的最大误差，G为梯度场强度，R为成像区域半径，
Figure FDA0002202341920000012
为成像区域内及骨架上的采样点矢量坐标，
Figure FDA0002202341920000013
为坐标点
Figure FDA0002202341920000014
处的z方向磁场强度，
Figure FDA0002202341920000015
为坐标点
Figure FDA0002202341920000016
处期望的z方向磁场强度，K1为成像区域内的采样点个数，K2为骨架上的采样点个数,
Figure FDA0002202341920000017
为坐标
Figure FDA0002202341920000018
处的流函数表达式，
Figure FDA0002202341920000019
为坐标
Figure FDA00022023419200000110
处的流函数最小值与最大值，为预先设定的参数。
2.根据权利要求1所述的梯度场线圈优化方法，其特征在于，磁场强度约束条件表示为如下形式：
Figure FDA00022023419200000111
3.根据权利要求1所述的梯度场线圈优化方法，其特征在于，在线圈骨架上构造一组流函数基函数，并且将流函数表示为基函数与其系数的组合：
Figure FDA00022023419200000112
式中，
Figure FDA00022023419200000113
为构造的流函数基函数，x＝{x1,x2，...xN}为待求系数，N为基函数个数，
Figure FDA00022023419200000114
为布线区域内任意一点处的坐标矢量。
4.根据权利要求3所述的梯度场线圈优化方法，其特征在于，采用如下的公式计算梯度场线圈骨架上的电流密度：
Figure FDA00022023419200000115
其中，
Figure FDA0002202341920000021
为骨架上坐标矢量
Figure FDA0002202341920000022
处的单位法向矢量，符号▽×表示旋度。
5.根据权利要求4所述的梯度场线圈优化方法，其特征在于，采用如下的公式计算梯度场线圈的储能：
Figure FDA0002202341920000023
上式中，μ0为真空磁导率，
Figure FDA0002202341920000024
与
Figure FDA0002202341920000025
为线圈骨架上任一点处的坐标矢量，
Figure FDA0002202341920000026
与
Figure FDA0002202341920000027
为梯度场线圈骨架上的电流密度，S为线圈骨架所在的面。
6.根据权利要求4所述的梯度场线圈优化方法，其特征在于，采用如下的公式计算梯度场线圈在空间任意一点
Figure FDA0002202341920000028
处产生的磁场强度：
Figure FDA0002202341920000029
上式中，μ0为真空磁导率，
Figure FDA00022023419200000210
为线圈骨架上任一点处的坐标矢量，S为线圈骨架所在的面。
7.根据权利要求1所述的梯度场线圈优化方法，其特征在于，采用单形体法对优化问题进行求解。
8.根据权利要求1所述的梯度场线圈优化方法，其特征在于，所建立的数学模型还包括线圈所受的洛伦兹力的条件：
Mpx≤Mpx,max
Mpy≤Mpy,max
Mpz≤Mpz,max
上式中，Mpx,Mpy,Mpz为x、y、z三个方向的洛伦兹力，Mpx,max、Mpy,max、Mpz,max为所允许的三个方向的最大洛伦兹力，为预先给定的值。
9.根据权利要求8所述的梯度场线圈优化方法，其特征在于，Mpx,Mpy,Mpz的具体表达式为：
Figure FDA0002202341920000031
Figure FDA0002202341920000032
Figure FDA0002202341920000033
上式中，B0为梯度场线圈所在位置的外加磁感应强度，
Figure FDA0002202341920000034
为线圈骨架上坐标
Figure FDA0002202341920000035
处x、y、z三个方向的电流密度，
Figure FDA0002202341920000036
x、y、z为笛卡尔坐标，S为线圈骨架所在的面。
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