CN112380737A - 一种基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法。该方法包括以下步骤：运用等效传输线电路理论，建立薄层人工电磁结构单元的等效传输线电路模型；提取薄层人工电磁结构单元的等效表面阻抗，采用矢量拟合方法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式；使用基于表面阻抗边界条件的时域有限差分法对结构进行全波仿真，仿真过程中用表面阻抗边界条件来代替薄层人工电磁结构单元；对全波仿真得到的电磁场进行后处理。本发明方法对于计算薄层人工电磁结构，显著减少了薄层结构纵向和横向的计算未知量，节省了运算时间和内存，具有比较高的灵活性和有效性。

Description

一种基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法

技术领域

本发明属于目标电磁反射和透射特性数值计算技术，特别是一种基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法。

背景技术

自从薄层人工电磁结构这一新概念被提出以后，FDTD方法就被很多国内外科学工作者用来分析其电磁特性。时域有限差分算法是一种对麦克斯韦微分方程直接求解的时域方法，在迭代求解过程中将空间中某一节点的电磁场值与其周围四个相邻节点的电磁场值相关联，通过在时间上和空间上“蛙跳式”迭代，进而求解某一时间域内的电磁场。 FDTD方法使用六面体网格对计算区域进行剖分处理，这种方式在处理均匀介质时十分方便。然而当计算域内引入薄层人工电磁结构这种亚波长结构后，需要使用精细网格对薄层人工电磁结构进行剖分，这样处理的后果是会消耗大量的计算机内存和仿真计算时间。

采用已有的技术，如传统的FDTD-IBC方法(V.Nayyeri，M.Soleimani，O.M.Ramahi，“Modeling graphene in the finite-difference time-domain method using asurface boundary condition，”IEEE Trans.Antennas Propag.，vol.61，no.8，pp.4176-4182，May 2013)虽然能够减少未知量，实现计算效率的提升，但是只减少了纵向方向的未知量，横向的未知量并没有减少；传统的GSTC方法(C.L.Holloway，E.F.Kuester，J.A.Gordon，J.O′Hara，J. Booth，and D.R.Smith，“An overview of the theory andapplications of metasurfaces：the two-dimensional equivalents ofmetamaterials，”IEEE Antennas Propag.Mag.，vol.54，no.2， pp.10-35，Feb.2012；K.Achouri，M.A.Salem，and C.Caloz，“General metasurface synthesis based onsusceptibility tensors，”IEEE Trans.Antennas Propag.，vol.63，no.7，pp. 2977-2991，Jul.2015)仅能准确计算薄层无衬底的情况，缺乏高效的电磁仿真方法来分析薄层人工电磁结构。

发明内容

本发明目的在于提供一种具有较高灵活性和有效性的基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法。

实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法，包括以下步骤：

步骤1、运用等效传输线电路理论，建立薄层人工电磁结构单元的等效传输线电路模型；

步骤2、提取薄层人工电磁结构单元的等效表面阻抗，并采用矢量拟合方法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式；

步骤3、使用基于表面阻抗边界条件的时域有限差分法对薄层人工电磁结构进行全波仿真，仿真过程中采用表面阻抗边界条件代替薄层人工电磁结构单元；

步骤4、对全波仿真得到的电磁场进行后处理，包括反射系数的计算以及近场到远场的外推。

进一步地，根据权利要求1所述的基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法，其特征在于，步骤1中所述的运用等效传输线电路理论，建立薄层人工电磁结构单元的等效传输线电路模型，具体为：

对于位于自由空间的薄层人工电磁结构，将其考虑为表面阻抗Z_es即薄层人工电磁结构对应的阻抗值；对于接地介质基板界面的薄层人工电磁结构，将其考虑为接地介质衬底对应的输入阻抗值Z_in；对于一个角度θ的入射波，空气中的特性阻抗Z₀和介质衬底的特性阻抗Z_d表示为：

其中，μ₀和ε₀分别表示自由空间中的磁导率和介电常数，ε_r表示介质衬底的相对介电常数；对于厚度为h的接地介质衬底，对应的输入阻抗Z_in表示为：

其中k₀表示真空中的波数，j代表虚数单位；

对于斜入射，薄层人工电磁结构的阻抗表示为：

其中η_eff表示等效特征阻抗，表达式为

η₀为自由空间中的特征阻抗，ε_eff表示等效介电常数，表达式为(1+ε_r)/2；k_eff表示等效波数，表达式为

为极化率分量，

为磁化率分量；

和

分别代表薄层人工电磁结构在入射角度为θ的条件下，TE和TM极化的表面阻抗；

薄层人工电磁结构等效表面阻抗的张量形式

为对角矩阵：

其中

分别表示为x方向和y方向上的等效表面阻抗，根据传输线电路理论得：

进一步地，步骤2中所述的提取薄层人工电磁结构单元的等效表面阻抗，并采用矢量拟合方法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式，具体为：

根据广义薄层跃迁条件GSTC，无限薄的薄层人工电磁结构能够用薄层边界条件代替，薄层人工电磁结构能够用极化磁化率张量唯一地代替，只考虑具有零厚度导体片的对称、各向同性的薄层人工电磁结构，因此不存在纵向分量，所以电极化率张量

和磁极化率张量

表示为：

其中

分别表示为x方向和y方向上的电极化率，

表示z方向上的磁极化率；

为了提取表征薄层人工电磁结构的电极化率张量和磁极化率张量，需要两组周期边界条件下的全波仿真，一组是正入射，另一组是斜入射；利用全波仿真反射和透射系数，得到：

其中k₀表示自由空间的波数，T₀为垂直入射条件下的透射系数，R₀为垂直入射条件下的反射系数，T_TE(θ₀)为入射角度为θ₀的透射系数，和R_TE(θ₀)为入射角度为θ₀的反射系数；

在宽带的全波仿真中，表面阻抗和磁化率随频率的变化而变化，因此，在色散的FDTD仿真中，采用矢量拟合法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式：

其中Z_s(ω)为薄层人工电磁结构的等效表面阻抗，其中Z_con为一常数，c_p为有理分式的第p个零点，a_p为有理分式的第p个极点，N为有理分式的个数，ω代表角频率。

进一步地，步骤3中所述的使用基于表面阻抗边界条件的时域有限差分法对薄层人工电磁结构进行全波仿真，具体如下：

两种介质界面上的横向电场和磁场通过表面阻抗边界条件联系起来：

其中

代表薄层人工电磁结构等效表面阻抗的张量形式，J_s(ω)代表表面电流密度， E_t(ω)和H_t(ω)分别代表交界处的横向电场与横向磁场，

代表法向单位矢量；

对于所使用矩形环薄层人工电磁结构单元，有效表面阻抗为具有相同对角元的二维张量，因此上式化简为：

其中E_x(ω)和H_x(ω)为电场和磁场的x方向分量，E_y(ω)和H_y(ω)为电场和磁场的y 方向分量，

和

代表表面阻抗张量的形式对角线上的两个分量；

已知

将式(7)中提取的表面阻抗拟合成式(11)的形式，利用傅里叶变换得到时域表达式：

其中E_x(t)、H_x(t-τ)分别为电场和磁场的x分量的时域形式，E_y(t)、H_x(t-τ)分别为电场和磁场的y分量的时域形式，τ代表时延，

和

代表表面阻抗张量的形式对角线上的两个分量；

其中

其中d、a_n、c_n都为常数；

因为Z_s(t)具有指数形式，式(14)中的卷积积分采用递归卷积的方式；

在使用时域有限差分法对薄层人工电磁结构进行全波仿真时，使用表面阻抗边界条件来等效薄层人工电磁结构，通过离散求解式(14)来求解薄层人工电磁结构处的电磁场分量，其他区域的电磁场通过常规FDTD进行迭代求解。

本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)用均匀表面阻抗代替调制后的超表面的物理结构，均匀表面阻抗由独特的极化磁化率、入射极化率和入射角表示，在FDTD 全波仿真中，横向和纵向的未知量都大大减少，节省了更多的时间和内存；(2)能够计算宽频带的薄层人工电磁结构结构，具有比较高的灵活性和有效性；(3)采用了等效表面阻抗来表征薄层人工电磁结构单元，进行网格剖分时，只需要更少的网格，可以有效地仿真具有复杂结构的超表面结构，并且能够较准确地仿真衬底有一定厚度且接地的薄层超表面单元结构。

附图说明

图1为本发明中分析薄层人工电磁结构单元及阵列的示意图。

图2为本发明中薄层人工电磁结构单元的等效传输线电路模型示意图。

图3为本发明中时域有限差分-表面阻抗边界条件方法的流程示意图。

图4为本发明中矢量拟合一种尺寸(a＝4.8mm)的薄层人工电磁结构单元表面阻抗的结果示意图，其中(a)为表面阻抗实部示意图，其中(b)为表面阻抗虚部示意图。

图5为本发明中对薄层人工电磁结构单元采用FDTD-SIBC、常规FDTD和HFSS 的S参数幅度相位结果对比图。

具体实施方式

本发明基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法，包括以下步骤：

步骤1、运用等效传输线电路理论，建立薄层人工电磁结构单元的等效传输线电路模型；

步骤2、提取薄层人工电磁结构单元的等效表面阻抗，并采用矢量拟合方法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式；

步骤3、使用基于表面阻抗边界条件的时域有限差分法对薄层人工电磁结构进行全波仿真，仿真过程中采用表面阻抗边界条件代替薄层人工电磁结构单元；

步骤4、对全波仿真得到的电磁场进行后处理，包括反射系数的计算以及近场到远场的外推。

进一步地，根据权利要求1所述的基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法，其特征在于，步骤1中所述的运用等效传输线电路理论，建立薄层人工电磁结构单元的等效传输线电路模型，具体为：

对于位于自由空间的薄层人工电磁结构，将其考虑为表面阻抗Z_es即薄层人工电磁结构对应的阻抗值；对于接地介质基板界面的薄层人工电磁结构，将其考虑为接地介质衬底对应的输入阻抗值Z_in；对于一个角度θ的入射波，空气中的特性阻抗Z₀和介质衬底的特性阻抗Z_d表示为：

其中，μ₀和ε₀分别表示自由空间中的磁导率和介电常数，ε_r表示介质衬底的相对介电常数；对于厚度为h的接地介质衬底，对应的输入阻抗Z_in表示为：

其中k₀表示真空中的波数，j代表虚数单位；

对于斜入射，薄层人工电磁结构的阻抗表示为：

其中η_eff表示等效特征阻抗，表达式为

η₀为自由空间中的特征阻抗，ε_eff表示等效介电常数，表达式为(1+ε_r)/2；k_eff表示等效波数，表达式为

为极化率分量，

为磁化率分量；

和

分别代表薄层人工电磁结构在入射角度为θ的条件下，TE和TM极化的表面阻抗；

薄层人工电磁结构等效表面阻抗的张量形式

为对角矩阵：

其中

分别表示为x方向和y方向上的等效表面阻抗，根据传输线电路理论得：

进一步地，步骤2中所述的提取薄层人工电磁结构单元的等效表面阻抗，并采用矢量拟合方法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式，具体为：

根据广义薄层跃迁条件GSTC，无限薄的薄层人工电磁结构能够用薄层边界条件代替，薄层人工电磁结构能够用极化磁化率张量唯一地代替，只考虑具有零厚度导体片的对称、各向同性的薄层人工电磁结构，因此不存在纵向分量，所以电极化率张量

和磁极化率张量

表示为：

其中

分别表示为x方向和y方向上的电极化率，

表示z方向上的磁极化率；

为了提取表征薄层人工电磁结构的电极化率张量和磁极化率张量，需要两组周期边界条件下的全波仿真，一组是正入射，另一组是斜入射；利用全波仿真反射和透射系数，得到：

其中k₀表示自由空间的波数，T₀为垂直入射条件下的透射系数，R₀为垂直入射条件下的反射系数，T_TE(θ₀)为入射角度为θ₀的透射系数，和R_TE(θ₀)为入射角度为θ₀的反射系数；

在宽带的全波仿真中，表面阻抗和磁化率随频率的变化而变化，因此，在色散的FDTD仿真中，采用矢量拟合法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式：

其中Z_s(ω)为薄层人工电磁结构的等效表面阻抗，其中Z_con为一常数，c_p为有理分式的第p个零点，a_p为有理分式的第p个极点，N为有理分式的个数，ω代表角频率。

进一步地，步骤3中所述的使用基于表面阻抗边界条件的时域有限差分法对薄层人工电磁结构进行全波仿真，具体如下：

两种介质界面上的横向电场和磁场通过表面阻抗边界条件联系起来：

其中

代表薄层人工电磁结构等效表面阻抗的张量形式，J_s(ω)代表表面电流密度， E_t(ω)和H_t(ω)分别代表交界处的横向电场与横向磁场，

代表法向单位矢量；

对于所使用矩形环薄层人工电磁结构单元，有效表面阻抗为具有相同对角元的二维张量，因此上式化简为：

其中E_x(ω)和H_x(ω)为电场和磁场的x方向分量，E_y(ω)和H_y(ω)为电场和磁场的y 方向分量，

和

代表表面阻抗张量的形式对角线上的两个分量；

已知

将式(7)中提取的表面阻抗拟合成式(11)的形式，利用傅里叶变换得到时域表达式：

其中E_x(t)、H_x(t-τ)分别为电场和磁场的x分量的时域形式，E_y(t)、H_x(t-τ)分别为电场和磁场的y分量的时域形式，τ代表时延，

和

代表表面阻抗张量的形式对角线上的两个分量；

其中

其中d、a_n、c_n都为常数；

因为Z_s(t)具有指数形式，式(14)中的卷积积分采用递归卷积的方式；

在使用时域有限差分法对薄层人工电磁结构进行全波仿真时，使用表面阻抗边界条件来等效薄层人工电磁结构，通过离散求解式(14)来求解薄层人工电磁结构处的电磁场分量，其他区域的电磁场通过常规FDTD进行迭代求解。

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步详细描述。

实施例

本实施例提供一种基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法，该方法对于任意的薄层人工电磁结构单元都具有普适性，在此以图1薄层人工电磁结构单元结构为例。针对薄层人工电磁结构问题，本发明方法大大的节省了计算机内存，加快了运算的时间，具有高效性和灵活性。该方法的具体流程如图3所示，其步骤如下：

步骤1：运用等效传输线电路理论，建立薄层人工电磁结构单元的等效传输线电路模型；结合图2，薄层人工电磁结构单元可以用其等效电路模型进行分析，具体如下

对于位于自由空间和接地介质基板界面的薄层人工电磁结构，我们可以将其考虑为的分流阻抗Z_es(薄层人工电磁结构结构对应的阻抗值)，以及Z_in(接地介质衬底对应的输入阻抗值)。对于一个角度θ的入射波，Z₀和Z_d可以表示为：

其中Z₀代表空气中的特性阻抗，Z_d代表介质衬底的特性阻抗，μ₀和ε₀分别表示自由空间中的磁导率和介电常数，ε_r表示介质衬底的相对介电常数。对于厚度为h的接地介质衬底，它的输入阻抗Z_in可以表示为：

其中k₀表示真空中的波数。

对于斜入射，薄层人工电磁结构的阻抗可以表示为：

其中η_eff表示等效特征阻抗，表达式为

η₀为自由空间中的特征阻抗，ε_eff表示等效介电常数，表达式为(1+ε_r)/2，k_eff表示等效波数，表达式为

为极化率分量，

为磁化率分量，

和

分别代表薄层人工电磁结构在入射角度为θ的条件下，TE和TM极化的表面阻抗。

薄层人工电磁结构等效表面阻抗的张量形式

为对角矩阵：

其中

分别表示为x方向和y方向上的等效表面阻抗，根据传输线电路理论易得：

步骤2：提取薄层人工电磁结构单元的等效表面阻抗，并采用矢量拟合方法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式。具体如下：

根据广义薄层跃迁条件(GSTC)，无限薄的薄层人工电磁结构可以用薄层边界条件代替，其物理结构可以用其极化磁化率张量唯一地代替。为了简单起见，本发明只考虑由零厚度导体片构成的充分对称、各向同性的薄层人工电磁结构，因此不存在纵向分量。所以极化和磁化张量

和

可以表示为：

其中

分别表示为x方向和y方向上的电极化率，

表示z方向上的磁极化率。

为了提取极化磁化率，需要两组周期边界条件下的全波仿真，一组是正入射，另一组是斜入射。利用全波仿真得到反射和透射系数，可以计算出薄层人工电磁结构的电极化率和磁极化率：

其中k₀表示自由空间的波数，T₀和R₀为垂直入射条件下的透射和反射系数，T_TE(θ₀)和R_TE(θ₀)为入射角度为θ₀的透射和反射系数，薄层人工电磁结构的电极化率和磁极化率与其等效阻抗的关系由式(4)、(5)表示。

在宽带的全波仿真中，表面阻抗随频率的变化而变化。因此，在色散的FDTD仿真中，应采用矢量拟合方法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式：

其中Z_con为一常数，c_p和a_p分别为有理分式的第p个零点和极点，N为有理分式的个数。

步骤3：使用基于表面阻抗边界条件的时域有限差分法对结构进行全波仿真，仿真过程中用表面阻抗边界条件来代替反射型薄层人工电磁结构单元。具体如下：

两种介质界面上的横向电场和磁场可以通过表面阻抗边界条件联系起来：

其中J_s(ω)代表表面电流密度。对于所使用矩形环薄层人工电磁结构单元，其有效表面阻抗为具有相同对角元的二维张量，因此上式可以化简为：

其中

与式(9)定义相同。将式(9)中拟合的表面阻抗代入式(13) 中，利用傅里叶变换可以很容易地得到时域表达式：

其中

由于拟合的Z_s(t)具有指数形式，式(14)中的卷积积分可以很容易的通过递归卷积的方式来解决。

在使用时域有限差分法对薄层结构进行全波仿真时，使用表面阻抗边界条件来等效薄层结构，通过离散求解式(14)来求解薄层结构处的电磁场分量，其他区域的电磁场可以通过常规FDTD进行迭代求解。

步骤4：对全波仿真得到的电磁场进行后处理，如反射系数的计算以及近场到远场的外推等。

为了验证本文方法的正确性与有效性，下面给出数值算例验证理论和程序的有效性。

仿真环境：Intel Fortran 64-bit编译器，Intel(R)Core(TM)i7-8700 CPU@3.7GHz， 64GB内存。

仿真结构如图1所示，其中P＝6mm，a＝4.8mm，w＝0.5mm，ε_r＝3.5mm， tanθ＝0.0007，h＝2mm。x和y方向采用周期边界条件，z方向采用PML边界条件，平面波沿z轴负方向照射，平面波为高斯调制脉冲，中心频率7.5GHz，脉宽2.5。

如图4(a)和4(b)所示，为采用矢量拟合方法提取的薄层人工电磁结构单元表面阻抗的实部和虚部结果。显而易见，当取有理分式数N＝6和N＝8时结果相同，作为最后的表面阻抗的提取结果。

表1 FDTD和FDTD-SIBC计算时间和内存的比较

进一步的采用提取的表面阻抗带入FDTD方法中，计算出该薄层人工电磁结构单元的相位曲线与HFSS以及常规的FDTD方法进行比较，其结果如图5所示，可以发现本发明采用的FDTD-SIBC方法与HFSS、常规FDTD方法一致，证明了本发明方法的正确性。同时，表1给出了本发明采用的FDTD-SIBC方法和常规的FDTD效率的比较，本发明的方法计算时间更短，占用内存更少，效率更高。

Claims (4)

1.一种基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1、运用等效传输线电路理论，建立薄层人工电磁结构单元的等效传输线电路模型；

步骤2、提取薄层人工电磁结构单元的等效表面阻抗，并采用矢量拟合方法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式；

步骤3、使用基于表面阻抗边界条件的时域有限差分法对薄层人工电磁结构进行全波仿真，仿真过程中采用表面阻抗边界条件代替薄层人工电磁结构单元；

步骤4、对全波仿真得到的电磁场进行后处理，包括反射系数的计算以及近场到远场的外推。

2.根据权利要求1所述的基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法，其特征在于，步骤1中所述的运用等效传输线电路理论，建立薄层人工电磁结构单元的等效传输线电路模型，具体为：

对于位于自由空间的薄层人工电磁结构，将其考虑为表面阻抗Z_es即薄层人工电磁结构对应的阻抗值；对于接地介质基板界面的薄层人工电磁结构，将其考虑为接地介质衬底对应的输入阻抗值Z_in；对于一个角度θ的入射波，空气中的特性阻抗Z₀和介质衬底的特性阻抗Z_d表示为：

其中，μ₀和ε₀分别表示自由空间中的磁导率和介电常数，ε_r表示介质衬底的相对介电常数；对于厚度为h的接地介质衬底，对应的输入阻抗Z_in表示为：

其中k₀表示真空中的波数，j代表虚数单位；

对于斜入射，薄层人工电磁结构的阻抗表示为：

其中η_eff表示等效特征阻抗，表达式为

η₀为自由空间中的特征阻抗，ε_eff表示等效介电常数，表达式为(1+ε_r)/2；k_eff表示等效波数，表达式为

为极化率分量，

为磁化率分量；

和

分别代表薄层人工电磁结构在入射角度为θ的条件下，TE和TM极化的表面阻抗；

薄层人工电磁结构等效表面阻抗的张量形式

为对角矩阵：

其中

分别表示为x方向和y方向上的等效表面阻抗，根据传输线电路理论得：

3.根据权利要求1所述的基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法，其特征在于，步骤2中所述的提取薄层人工电磁结构单元的等效表面阻抗，并采用矢量拟合方法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式，具体为：

根据广义薄层跃迁条件GSTC，无限薄的薄层人工电磁结构能够用薄层边界条件代替，薄层人工电磁结构能够用极化磁化率张量唯一地代替，只考虑具有零厚度导体片的对称、各向同性的薄层人工电磁结构，因此不存在纵向分量，所以电极化率张量

和磁极化率张量

表示为：

其中

分别表示为x方向和y方向上的电极化率，

表示z方向上的磁极化率；

为了提取表征薄层人工电磁结构的电极化率张量和磁极化率张量，需要两组周期边界条件下的全波仿真，一组是正入射，另一组是斜入射；利用全波仿真反射和透射系数，得到：

其中k₀表示自由空间的波数，T₀为垂直入射条件下的透射系数，R₀为垂直入射条件下的反射系数，T_TE(θ₀)为入射角度为θ₀的透射系数，和R_TE(θ₀)为入射角度为θ₀的反射系数；

在宽带的全波仿真中，表面阻抗和磁化率随频率的变化而变化，因此，在色散的FDTD仿真中，采用矢量拟合法将宽频带的等效表面阻抗拟合成有理分式累加的形式：

其中Z_s(ω)为薄层人工电磁结构的等效表面阻抗，其中Z_con为一常数，c_p为有理分式的第p个零点，a_p为有理分式的第p个极点，N为有理分式的个数，ω代表角频率。

4.根据权利要求1所述的基于表面阻抗边界的薄层电磁结构的时域分析方法，其特征在于，步骤3中所述的使用基于表面阻抗边界条件的时域有限差分法对薄层人工电磁结构进行全波仿真，具体如下：

两种介质界面上的横向电场和磁场通过表面阻抗边界条件联系起来：

其中

代表薄层人工电磁结构等效表面阻抗的张量形式，J_s(ω)代表表面电流密度，E_t(ω)和H_t(ω)分别代表交界处的横向电场与横向磁场，

代表法向单位矢量；

对于所使用矩形环薄层人工电磁结构单元，有效表面阻抗为具有相同对角元的二维张量，因此上式化简为：

其中E_x(ω)和H_x(ω)为电场和磁场的x方向分量，E_y(ω)和H_y(ω)为电场和磁场的y方向分量，

和

代表表面阻抗张量的形式对角线上的两个分量；

已知

将式(7)中提取的表面阻抗拟合成式(11)的形式，利用傅里叶变换得到时域表达式：

其中E_x(t)、H_x(t-τ)分别为电场和磁场的x分量的时域形式，E_y(t)、H_x(t-τ)分别为电场和磁场的y分量的时域形式，τ代表时延，

和

代表表面阻抗张量的形式对角线上的两个分量；

其中

其中d、a_n、c_n都为常数；

因为Z_s(t)具有指数形式，式(14)中的卷积积分采用递归卷积的方式；

在使用时域有限差分法对薄层人工电磁结构进行全波仿真时，使用表面阻抗边界条件来等效薄层人工电磁结构，通过离散求解式(14)来求解薄层人工电磁结构处的电磁场分量，其他区域的电磁场通过常规FDTD进行迭代求解。

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