CN110277145B - 一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法 - Google Patents
一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法 Download PDFInfo
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Abstract
本发明公开了一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法。该方法为:首先建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程;然后提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量,采用复共轭极点留数对的方法来拟合宽频带的电极化率张量和磁极化率张量;接着将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合,得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程;最后进行差分迭代,求解计算域内的电场强度与磁场强度,并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数。本发明方法节省了石墨烯电磁反射和透射特性的分析运算的时间和内存,具有较高的灵活性和有效性。
Description
技术领域
本发明属于目标电磁反射和透射特性数值计算技术领域,特别是一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法。
背景技术
石墨烯是排列在蜂窝状点阵中的由碳原子构成的二维平面单层结构,其厚度仅为0.34nm,是目前世界上已知的最薄的材料。石墨烯作为一种新型的二维超材料,除了具备优异的电学性质、热学性质和光学性质外,还具有柔韧性强、硬度高、密度小、耐腐蚀性、易于加工等优点,研究发现石墨烯是目前现有的材料中性能最为良好的,因此石墨烯成为了科学界和工业界深入研究的热点之一。
石墨烯作为一种新型的吸波材料,可以通过电调的方式达到吸收电磁波的效果。石墨烯和超表面的结合同样可以通过电调的方式达到预期的性能,基于石墨烯的超表面为新型可调石墨烯器件的研究设计开辟了新的方向。然而,针对石墨烯这种超薄电大尺寸的结构,传统的时域有限差分法为了精确模拟其电磁特性,会遇到差分网格过多的缺点。此外,现有的数值计算方法仅支持简单电导率模型下石墨烯的计算,难以描述石墨烯的宽频带色散特性。
发明内容
本发明的目的在于提供一种运算时间短、内存需求小,且灵活性和有效性高的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法。
实现本发明目的技术解决方案为:一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法,包括以下步骤:
步骤1、建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程;
步骤2、提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量;
步骤3、采用复共轭极点留数对的方法,拟合宽频带下的电极化率张量和磁极化率张量;
步骤4、将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合,得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程;
步骤5、进行差分迭代,求解计算域内的电场强度与磁场强度,并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数。
本发明与现有技术相比,其显著优点为:(1)采用了电极化率张量和磁极化率张量来表征石墨烯材料,而避免了对石墨烯材料直接建模,在进行网格剖分时,相较于常规的时域有限差分方法,只需要较少的网格数,节省了更多的时间和内存;(2)采用复共轭极点留数对的方法拟合石墨烯材料的电极化率和磁极化率的色散项,能够很好地模拟宽频带下石墨烯材料的色散特性。
附图说明
图1为本发明宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法中分析石墨烯问题的示意图。
图2为本发明宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法的流程示意图。
图3为本发明中时域有限差分-广义薄层传输条件方法的流程示意图。
图4为本发明中周期边界条件下十字型石墨烯的结构示意图。
图5为本发明中分析周期边界条件下十字型石墨烯的结果的示意图,其中(a)为用复共轭极点留数对的方法拟合的宽带极化率示意图,(b)为用本发明方法与商业软件计算的反射系数的示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
结合图1、图2,本发明一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法,包括以下步骤:
步骤1、建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程;
所述的广义薄层传输条件,具体为:
其中表示z轴上的单位向量,ΔH为石墨烯两侧磁场强度的差值,ΔE为石墨烯两侧电场强度的差值,ω为频率,P和M分别为电极化密度和磁极化密度,P||和Pz分别为电极化密度的切向分量和法向分量,M||和Mz分别为磁极化密度的切向分量和法向分量,▽为微分算符,▽||表示在切向作微分计算,ε和μ分别为真空中的介电常数和磁导率。
电极化密度和磁极化密度通过表面电极化率和磁极化率来描述:
设定石墨烯放置于平面z=0上,其法向电极化密度和磁极化密度为零,即Pz=Mz=0;
将(2a)与(2b)代入(1a)和(1b)可得:
其中ΔHx和ΔHy分别为与石墨烯两侧磁场强度在x方向上与y方向上的差值,ΔEx和ΔEy分别为与石墨烯两侧电场强度在x方向上与y方向上的差值,Ex,av和Ey,av分别表示石墨烯两侧电场强度在x方向上和在y方向上的平均值,Hx,av和Hy,av分别表示石墨烯两侧磁场强度在x方向上和在y方向上的平均值,表示x极化的电场激励的电极化率在x方向上的分量,表示x极化的电场激励的电极化率在y方向上的分量,表示y极化的电场激励的电极化率在x方向上的分量,表示y极化的电场激励的电极化率在y方向上的分量,表示x极化的磁场激励的电极化率在x方向上的分量,表示x极化的磁场激励的电极化率在y方向上的分量,表示y极化的磁场激励的电极化率在x方向上的分量,表示y极化的磁场激励的电极化率在y方向上的分量,表示x极化的电场激励的磁极化率在x方向上的分量,表示x极化的电场激励的磁极化率在y方向上的分量,表示y极化的电场激励的磁极化率在x方向上的分量,表示y极化的电场激励的磁极化率在y方向上的分量,表示x极化的磁场激励的磁极化率在x方向上的分量,表示x极化的磁场激励的磁极化率在y方向上的分量,表示y极化的磁场激励的磁极化率在x方向上的分量,表示y极化的磁场激励的磁极化率在y方向上的分量;
其中Jx为沿x方向的极化电流密度,Jy为沿y方向的极化电流密度,Kx为沿x方向的极化磁流密度,Ky为沿y方向的极化磁流密度,Ex为沿x方向的电场强度,Ey为沿y方向的电场强度,Hx为沿x方向的磁场强度,Hy为沿y方向的磁场强度,表示对时间求偏导数,ε0和μ0分别为真空中的介电常数和磁导率;
将式(4a)、(4b)、(4c)和(4d)代入安培定律和法拉第定律得:
其中节点(i,j,p)表示位于(i·Δx,j·Δy,p·Δz)的YEE网格,Δx、Δy、Δz分别表示x轴方向、y轴方向和z轴方向上的空间步长,Δt表示时间步长,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量,表示(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p-1)处磁场强度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量,表示时刻节点(i-1,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量,Jy(i,j,p)表示节点(i,j,p)处电流密度在y轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量,表示(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j-1,p)处磁场强度在z轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p-1)处磁场强度在y轴方向上的分量,Jx(i,j,p)表示节点(i,j,p)处电流密度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i-1,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p-1)处电场强度在x轴方向上的分量,Ky(i,j,p)表示节点(i,j,p)处磁流密度在y轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p-1)处电场强度在y轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j-1,p)处电场强度在z轴方向上的分量,Kx(i,j,p)表示节点(i,j,p)处磁流密度在x轴方向上的分量。
其他电磁场分量可以由传统时域有限差分迭代方法得到。
步骤2、提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量,具体如下:
由广义薄层传输条件可知,石墨烯超材料的电磁极化率不随入射角度和极化方向的变化而改变,因此可以使用x极化和y极化的平面波照射石墨烯超材料来提取电磁极化率张量。通过式(1a)和(1b),可以得到电磁极化率张量与平面波垂直入射求得的反射系数和透射系数的关系:
其中,表示真空中的波数,表示电场沿x方向极化时激励的电极化率张量,表示电场沿y方向极化时激励的电极化率张量,表示磁场沿x方向极化时激励的磁极化率张量,表示磁场沿y方向极化时激励的磁极化率张量,Tx表示电场沿x方向极化的平面波入射得到的透射系数,Ty表示电场沿y方向极化的平面波入射得到的透射系数,Rx表示电场沿x方向极化的平面波入射得到的反射系数,Ry表示电场沿y方向极化的平面波入射得到的反射系数。
步骤3、采用复共轭极点留数对的方法,拟合宽频带下的电极化率张量和磁极化率张量,具体如下:
步骤3.1、根据广义薄层传输条件,石墨烯超材料的等效表面电流密度和等效表面磁流密度分别为:
步骤3.2、用Drude模型来描述石墨烯的色散项,用复共轭极点留数对的部分分数之和来描述石墨烯的等效介电常数:
由式(8),采用复共轭极点留数对的部分分数之和的形式来描述石墨烯超材料电极化率和磁极化率:
其中,dx为电极化率的常数项,ap_x和cp_x分别为电极化率的第p个极点和留数,和分别为ap_x和cp_x的共轭形式,dy为电极化率的常数项,ap_y和cp_y分别为电极化率的第p个极点和留数,和分别为ap_y和cp_y的共轭形式,dkx为磁极化率的常数项,akp_x和ckp_x分别为磁极化率的第p个极点和留数,和分别为akp_x和ckp_x的共轭形式,dky为磁极化率的常数项,akp_y和ckp_y分别为电极化率的第p个极点和留数,和分别为akp_y和ckp_y的共轭形式,表示对N对共轭复数对求和;
步骤3.3、用矢量拟合技术得到式(9a)~(9d)中的复共轭极点留数对。
步骤4、将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合,得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程;
步骤4.1、将步骤3拟合电极化率和磁极化率代入到表面极化电流密度和表面极化磁流密度的表达式中,根据拟合形式将表面极化电流密度和表面极化磁流密度为常数项和色散项;
结合复共轭极点留数对,根据广义薄层传输条件,石墨烯结构的等效表面极化电流密度和等效表面极化磁流密度可以表示为色散项和常数项相加的形式:
Jx=Jx_dis+Jx_con (10a)
Jy=Jy_dis+Jy_con (10a)
Kx=Kx_dis+Kx_con (10b)
Ky=Ky_dis+Ky_con (10b)
其中Jx为x轴方向上的等效表面极化电流密度,Jx_dis和Jx_con分别为Jx的色散项和常数项,Jy为y轴方向上的等效表面极化电流密度,Jy_dis和Jy_con分别为Jy的色散项和常数项,Kx为x轴方向上的等效表面极化磁流密度,Kx_dis和Kx_con分别为Kx的色散项和常数项,Ky为y轴方向上的等效表面极化磁流密度,Ky_dis和Ky_con分别为Kx的色散项和常数项。
步骤4.2、计算出等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度常数项和色散项的时域差分离散化形式;
石墨烯等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项为:
对式(11a)~(11d)做中心差分近似,有
其中与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的等效表面极化电流密度的常数项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的电场强度,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的等效表面极化电流密度的常数项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的电场强度,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的等效表面极化磁流密度的常数项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的磁场强度,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的等效表面极化磁流密度的常数项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的磁场强度。
石墨烯等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的色散项为:
其中Re表示取实部。
对式(11a)~(11d)做中心差分近似,有
其中与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的表面极化电流密度的色散项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的表面极化电流密度的色散项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的表面极化磁流密度的色散项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的表面极化磁流密度的色散项,为的系数,为的系数,为的系数,为的系数,为的系数,为的系数,为的系数,为的系数。
步骤4.3、将等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项和色散项的时域差分离散化形式代入麦克斯韦的安培环路定理式(5a)、(5b)、(5c)和(5d)中,得到YEE网格节点(i,j,p)处的电场强度和磁场强度的更新方程:
其中表示对N个极点留数对的求和,Re表示取实部,表示在(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电流密度在y轴方向上的分量的色散项,表示在(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电流密度在x轴方向上的分量的色散项,表示在时刻节点(i,j,p)处磁流密度在y轴方向上的分量的色散项,在时刻节点(i,j,p)处磁流密度在x轴方向上的分量的色散项。
电场的z方向分量Ez和磁场的z方向分量Hz由常规时域有限差分迭代求得。
步骤5、进行差分迭代,求解计算域内的电场强度与磁场强度,并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数,结合图3,具体如下:
步骤5.1、初始化电极化率和次级化率张量的参数;
步骤5.2、使用FDTD-GSTC方法即式(15a)和(15b)更新石墨烯上的电场,使用常规FDTD更新其他区域的电场;
步骤5.3、更新石墨烯上的等效表面电流密度;
步骤5.4、使用FDTD-GSTC方法即式(15c)和(15d)更新石墨烯上的磁场,使用常规FDTD更新其他区域的磁场;
步骤5.5、更新石墨烯上的等效表面磁流密度;
步骤5.6、如果已迭代到给定的时间步数,则迭代终止,然后进行离散傅里叶变换求解反射系数和透射系数;否则返回步骤5.2。
实施例1
为了验证本文方法的正确性与有效性,下面给出数值算例验证理论和程序的有效性。程序是用Fortran语言编制并在Windows 7 64位系统,16GB内存,3.7GHz的主频个人计算机上执行的,CPU型号为Intel(R)CoreTMi3-4170。
如图4所示的周期十字结构的石墨烯贴片,其单元的周期p=60um,L=48um,d1=d2=6um;石墨烯的散射速率Γ=0.5meV,偏置电场E=2V/nm;入射波采用调制高斯脉冲,其中心频率f0=1THz,脉宽为tw=2,加源的频率范围为0.1THz~2THz,平面波沿着z轴正方向入射,电场的极化方向沿着x轴方向;剖分尺寸为dx=dy=dz=2um,PML的层数为20,总的网格数为30×30×99。
如图5(a)所示,采用复共轭留数对的方法矢量拟合通过商业软件HFSS的透射系数和反射系数得到的电极化率,可以发现电极化率拟合后的结果基本吻合,其中电极化率的常数项d、ap和cp的具体参数如表1所示。
表1 偏置电场为2V/nm下,填充的电极化率参数,d=4.13×10-8
如图5(b)为用本发明中所提方法与商业软件计算的反射系数的示意图,从图中可以看出本发明的结果与传统FDTD以及商业软件结果吻合。表2给出了本发明方法与传统FDTD的运行时间和所需内存的对比,从表中可以看出,本发明方法节省了网格数和计算内存。
表2 FDTD和FDTD-GSTC计算时间和内存的比较
Size of grid(um) | Time(s) | Memory(MB) | |
FDTD | 1×1×1 | 208 | 80 |
FDTD-GSTC | 2×2×2 | 27.9 | 31 |
综上所述,本发明采用了电极化率张量和磁极化率张量来表征石墨烯材料,而避免了对石墨烯材料直接建模,在进行网格剖分时,相较于常规的时域有限差分方法,只需要较少的网格数,节省了更多的时间和内存;同时,采用复共轭极点留数对的方法拟合石墨烯材料的电极化率和磁极化率的色散项,能够很好地模拟宽频带下石墨烯材料的色散特性。
Claims (5)
1.一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法,其特征在于,包括以下步骤:
步骤1、建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程;
步骤2、提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量;
步骤3、采用复共轭极点留数对的方法,拟合宽频带下的电极化率张量和磁极化率张量;
步骤4、将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合,得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程;
步骤5、进行差分迭代,求解计算域内的电场强度与磁场强度,并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数;
步骤1中所述的广义薄层传输条件,具体如下:
其中,表示z轴上的单位向量,ΔH为石墨烯两侧磁场强度的差值,ΔE为石墨烯两侧电场强度的差值,ω为频率,P和M分别为极化电流密度和极化磁流密度,P||和Pz分别为极化电流密度的切向分量和法向分量,M||和Mz分别为极化磁流密度的切向分量和法向分量,为微分算符,表示在切向作微分计算,ε和μ分别为真空中的介电常数和磁导率;
电极化密度和磁极化密度可以分别通过表面电极化率和磁极化率来描述:
步骤1所述的建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程,具体如下:
设定石墨烯放置于平面z=0上,石墨烯上法向电极化密度和磁极化密度为零,即Pz=Mz=0;
将(2a)、(2b)代入(1a)和(1b)中,得:
其中ΔHx和ΔHy分别为与石墨烯两侧磁场强度在x方向上与y方向上的差值,ΔEx和ΔEy分别为与石墨烯两侧电场强度在x方向上与y方向上的差值,Ex,av和Ey,av分别表示石墨烯两侧电场强度在x方向上和在y方向上的平均值,Hx,av和Hy,av分别表示石墨烯两侧磁场强度在x方向上和在y方向上的平均值,表示x极化的电场激励的电极化率在x方向上的分量,表示x极化的电场激励的电极化率在y方向上的分量,表示y极化的电场激励的电极化率在x方向上的分量,表示y极化的电场激励的电极化率在y方向上的分量,表示x极化的磁场激励的电极化率在x方向上的分量,表示x极化的磁场激励的电极化率在y方向上的分量,表示y极化的磁场激励的电极化率在x方向上的分量,表示y极化的磁场激励的电极化率在y方向上的分量,表示x极化的电场激励的磁极化率在x方向上的分量,表示x极化的电场激励的磁极化率在y方向上的分量,表示y极化的电场激励的磁极化率在x方向上的分量,表示y极化的电场激励的磁极化率在y方向上的分量,表示x极化的磁场激励的磁极化率在x方向上的分量,表示x极化的磁场激励的磁极化率在y方向上的分量,表示y极化的磁场激励的磁极化率在x方向上的分量,表示y极化的磁场激励的磁极化率在y方向上的分量;
其中Jx为沿x方向的极化电流密度,Jy为沿y方向的极化电流密度,Kx为沿x方向的极化磁流密度,Ky为沿y方向的极化磁流密度,Ex为沿x方向的电场强度,Ey为沿y方向的电场强度,Hx为沿x方向的磁场强度,Hy为沿y方向的磁场强度,表示对时间求偏导数,ε0和μ0分别为真空中的介电常数和磁导率;
将式(4a)、(4b)、(4c)和(4d)代入安培定律和法拉第定律得:
其中节点(i,j,p)表示位于(i·Δx,j·Δy,p·Δz)的YEE网格,Δx、Δy、Δz分别表示x轴方向、y轴方向和z轴方向上的空间步长,Δt表示时间步长,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量,表示(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p-1)处磁场强度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量,表示时刻节点(i-1,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量,Jy(i,j,p)表示节点(i,j,p)处电流密度在y轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量,表示(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j-1,p)处磁场强度在z轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p-1)处磁场强度在y轴方向上的分量,Jx(i,j,p)表示节点(i,j,p)处电流密度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i-1,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p-1)处电场强度在x轴方向上的分量,Ky(i,j,p)表示节点(i,j,p)处磁流密度在y轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量,表示时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p-1)处电场强度在y轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量,表示nΔt时刻节点(i,j-1,p)处电场强度在z轴方向上的分量,Kx(i,j,p)表示节点(i,j,p)处磁流密度在x轴方向上的分量。
2.根据权利要求1所述的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法,其特征在于,步骤2中所述的提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量,具体如下:
根据广义薄层传输条件,石墨烯超材料的电磁极化率不随入射角度和极化方向的变化而改变,因此使用x极化和y极化的平面波照射石墨烯超材料来提取电磁极化率张量;通过式(1a)和(1b),得到电磁极化率张量与平面波垂直入射求得的反射系数和透射系数的关系:
3.根据权利要求1所述的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法,其特征在于,步骤3所述的采用复共轭极点留数对的方法,拟合宽频带下的电极化率张量和磁极化率张量,具体如下:
步骤3.1、根据广义薄层传输条件,石墨烯超材料的等效表面电流密度和等效表面磁流密度分别为:
步骤3.2、用Drude模型来描述石墨烯的色散项,用复共轭极点留数对的部分分数之和来描述石墨烯的等效介电常数:
由式(8),采用复共轭极点留数对的部分分数之和的形式来描述石墨烯超材料电极化率和磁极化率:
其中,dx为电极化率的常数项,ap_x和cp_x分别为电极化率的第p个极点和留数,和分别为ap_x和cp_x的共轭形式,dy为电极化率的常数项,ap_y和cp_y分别为电极化率的第p个极点和留数,和分别为ap_y和cp_y的共轭形式,dkx为磁极化率的常数项,akp_x和ckp_x分别为磁极化率的第p个极点和留数,和分别为akp_x和ckp_x的共轭形式,dky为磁极化率的常数项,akp_y和ckp_y分别为电极化率的第p个极点和留数,和分别为akp_y和ckp_y的共轭形式,表示对N对共轭复数对求和;
步骤3.3、用矢量拟合技术得到式(9a)~(9d)中的复共轭极点留数对。
4.根据权利要求1所述的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法,其特征在于,步骤4所述的将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合,得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程,具体如下:
步骤4.1、将步骤3拟合电极化率和磁极化率代入到表面极化电流密度和表面极化磁流密度的表达式中,根据拟合形式将表面极化电流密度和表面极化磁流密度为常数项和色散项;
结合复共轭极点留数对,根据广义薄层传输条件,石墨烯结构的等效表面极化电流密度和等效表面极化磁流密度表示为色散项和常数项相加的形式:
Jx=Jx_dis+Jx_con (10a)
Jy=Jy_dis+Jy_con (10a)
Kx=Kx_dis+Kx_con (10b)
Ky=Ky_dis+Ky_con (10b)
其中Jx为x轴方向上的等效表面极化电流密度,Jx_dis和Jx_con分别为Jx的色散项和常数项,Jy为y轴方向上的等效表面极化电流密度,Jy_dis和Jy_con分别为Jy的色散项和常数项,Kx为x轴方向上的等效表面极化磁流密度,Kx_dis和Kx_con分别为Kx的色散项和常数项,Ky为y轴方向上的等效表面极化磁流密度,Ky_dis和Ky_con分别为Kx的色散项和常数项;
步骤4.2、计算出等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项和色散项的时域差分离散化形式;
石墨烯等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项为:
对式(11a)~(11d)做中心差分近似,有
其中与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的等效表面极化电流密度的常数项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的电场强度,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的等效表面极化电流密度的常数项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的电场强度,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的等效表面极化磁流密度的常数项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的磁场强度,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的等效表面极化磁流密度的常数项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的磁场强度;
石墨烯等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的色散项为:
其中Re表示取实部;
对式(11a)~(11d)做中心差分近似,有
其中与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的表面极化电流密度的色散项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的表面极化电流密度的色散项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的表面极化磁流密度的色散项,与分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的表面极化磁流密度的色散项,的系数,为的系数,为的系数,为的系数,为的系数,为的系数,为的系数,为的系数;
步骤4.3、将等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项和色散项的时域差分离散化形式代入麦克斯韦的安培环路定理式(5a)、(5b)、(5c)和(5d)中,得到YEE网格节点(i,j,p)处的电场强度和磁场强度的更新方程:
其中表示对N个极点留数对的求和,Re表示取实部,表示在(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电流密度在y轴方向上的分量的色散项,表示在(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电流密度在x轴方向上的分量的色散项,表示在时刻节点(i,j,p)处磁流密度在y轴方向上的分量的色散项,在时刻节点(i,j,p)处磁流密度在x轴方向上的分量的色散项;
电场的z方向分量Ez和磁场的z方向分量Hz由常规时域有限差分迭代求得。
5.根据权利要求4所述的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法,其特征在于,步骤5所述的进行差分迭代,求解计算域内的电场强度与磁场强度,并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数,具体如下:
步骤5.1、初始化电极化率和磁极化率张量的参数;
步骤5.2、使用FDTD-GSTC方法即式(15a)和(15b)更新石墨烯上的电场,使用常规FDTD更新其他区域的电场;
步骤5.3、更新石墨烯上的等效表面电流密度;
步骤5.4、使用FDTD-GSTC方法即式(15c)和(15d)更新石墨烯上的磁场,使用常规FDTD更新其他区域的磁场;
步骤5.5、更新石墨烯上的等效表面磁流密度;
步骤5.6、如果已迭代到给定的时间步数,则迭代终止,然后进行离散傅里叶变换求解反射系数和透射系数;否则返回步骤步骤5.2。
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