CN110277145B - 一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法 - Google Patents

一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法。该方法为：首先建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程；然后提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量，采用复共轭极点留数对的方法来拟合宽频带的电极化率张量和磁极化率张量；接着将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合，得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程；最后进行差分迭代，求解计算域内的电场强度与磁场强度，并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数。本发明方法节省了石墨烯电磁反射和透射特性的分析运算的时间和内存，具有较高的灵活性和有效性。

Description

一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法
技术领域
本发明属于目标电磁反射和透射特性数值计算技术领域，特别是一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法。
背景技术
石墨烯是排列在蜂窝状点阵中的由碳原子构成的二维平面单层结构，其厚度仅为0.34nm，是目前世界上已知的最薄的材料。石墨烯作为一种新型的二维超材料，除了具备优异的电学性质、热学性质和光学性质外，还具有柔韧性强、硬度高、密度小、耐腐蚀性、易于加工等优点，研究发现石墨烯是目前现有的材料中性能最为良好的，因此石墨烯成为了科学界和工业界深入研究的热点之一。
石墨烯作为一种新型的吸波材料，可以通过电调的方式达到吸收电磁波的效果。石墨烯和超表面的结合同样可以通过电调的方式达到预期的性能，基于石墨烯的超表面为新型可调石墨烯器件的研究设计开辟了新的方向。然而，针对石墨烯这种超薄电大尺寸的结构，传统的时域有限差分法为了精确模拟其电磁特性，会遇到差分网格过多的缺点。此外，现有的数值计算方法仅支持简单电导率模型下石墨烯的计算，难以描述石墨烯的宽频带色散特性。
发明内容
本发明的目的在于提供一种运算时间短、内存需求小，且灵活性和有效性高的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法。
实现本发明目的技术解决方案为：一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法，包括以下步骤：
步骤1、建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程；
步骤2、提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量；
步骤3、采用复共轭极点留数对的方法，拟合宽频带下的电极化率张量和磁极化率张量；
步骤4、将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合，得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程；
步骤5、进行差分迭代，求解计算域内的电场强度与磁场强度，并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数。
本发明与现有技术相比，其显著优点为：(1)采用了电极化率张量和磁极化率张量来表征石墨烯材料，而避免了对石墨烯材料直接建模，在进行网格剖分时，相较于常规的时域有限差分方法，只需要较少的网格数，节省了更多的时间和内存；(2)采用复共轭极点留数对的方法拟合石墨烯材料的电极化率和磁极化率的色散项，能够很好地模拟宽频带下石墨烯材料的色散特性。
附图说明
图1为本发明宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法中分析石墨烯问题的示意图。
图2为本发明宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法的流程示意图。
图3为本发明中时域有限差分-广义薄层传输条件方法的流程示意图。
图4为本发明中周期边界条件下十字型石墨烯的结构示意图。
图5为本发明中分析周期边界条件下十字型石墨烯的结果的示意图，其中(a)为用复共轭极点留数对的方法拟合的宽带极化率示意图，(b)为用本发明方法与商业软件计算的反射系数的示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作进一步详细描述。
结合图1、图2，本发明一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法，包括以下步骤：
步骤1、建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程；
所述的广义薄层传输条件，具体为：
Figure BDA0002080920870000021
Figure BDA0002080920870000022
其中
Figure BDA0002080920870000023
表示z轴上的单位向量，ΔH为石墨烯两侧磁场强度的差值，ΔE为石墨烯两侧电场强度的差值，
Figure BDA0002080920870000024
ω为频率，P和M分别为电极化密度和磁极化密度，P||和Pz分别为电极化密度的切向分量和法向分量，M||和Mz分别为磁极化密度的切向分量和法向分量，▽为微分算符，▽||表示在切向作微分计算，ε和μ分别为真空中的介电常数和磁导率。
电极化密度和磁极化密度通过表面电极化率和磁极化率来描述：
Figure BDA0002080920870000031
Figure BDA0002080920870000032
其中，
Figure BDA0002080920870000033
表示电场激励的电极化率张量，
Figure BDA0002080920870000034
表示磁场激励的电极化率张量，
Figure BDA0002080920870000035
表示电场激励的磁极化率张量，
Figure BDA0002080920870000036
表示磁场激励的磁极化率张量，Eav和Hav分别为石墨烯结构两侧电场强度的平均值和磁场强度的平均值。
设定石墨烯放置于平面z＝0上，其法向电极化密度和磁极化密度为零，即Pz＝Mz＝0；
将(2a)与(2b)代入(1a)和(1b)可得：
Figure BDA0002080920870000037
Figure BDA0002080920870000038
其中ΔHx和ΔHy分别为与石墨烯两侧磁场强度在x方向上与y方向上的差值，ΔEx和ΔEy分别为与石墨烯两侧电场强度在x方向上与y方向上的差值，Ex,av和Ey,av分别表示石墨烯两侧电场强度在x方向上和在y方向上的平均值，Hx,av和Hy,av分别表示石墨烯两侧磁场强度在x方向上和在y方向上的平均值，
Figure BDA0002080920870000039
表示x极化的电场激励的电极化率在x方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000310
表示x极化的电场激励的电极化率在y方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000311
表示y极化的电场激励的电极化率在x方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000312
表示y极化的电场激励的电极化率在y方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000313
表示x极化的磁场激励的电极化率在x方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000314
表示x极化的磁场激励的电极化率在y方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000315
表示y极化的磁场激励的电极化率在x方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000316
表示y极化的磁场激励的电极化率在y方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000317
表示x极化的电场激励的磁极化率在x方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000318
表示x极化的电场激励的磁极化率在y方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000319
表示y极化的电场激励的磁极化率在x方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000320
表示y极化的电场激励的磁极化率在y方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000321
表示x极化的磁场激励的磁极化率在x方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000322
表示x极化的磁场激励的磁极化率在y方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000323
表示y极化的磁场激励的磁极化率在x方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000324
表示y极化的磁场激励的磁极化率在y方向上的分量；
设定石墨烯结构为单各向异性，则有χem＝χme＝0；并设定该石墨烯结构为单轴晶体，则有
Figure BDA0002080920870000041
因此，该石墨烯结构具有互易性和非旋性，得到式(3a)和(3b)的时域形式为：
Figure BDA0002080920870000042
Figure BDA0002080920870000043
Figure BDA0002080920870000044
Figure BDA0002080920870000045
其中Jx为沿x方向的极化电流密度，Jy为沿y方向的极化电流密度，Kx为沿x方向的极化磁流密度，Ky为沿y方向的极化磁流密度，Ex为沿x方向的电场强度，Ey为沿y方向的电场强度，Hx为沿x方向的磁场强度，Hy为沿y方向的磁场强度，
Figure BDA0002080920870000049
表示对时间求偏导数，ε0和μ0分别为真空中的介电常数和磁导率；
将式(4a)、(4b)、(4c)和(4d)代入安培定律和法拉第定律得：
Figure BDA0002080920870000046
Figure BDA0002080920870000047
Figure BDA0002080920870000048
Figure BDA0002080920870000051
其中节点(i,j,p)表示位于(i·Δx,j·Δy,p·Δz)的YEE网格，Δx、Δy、Δz分别表示x轴方向、y轴方向和z轴方向上的空间步长，Δt表示时间步长，
Figure BDA0002080920870000052
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000053
表示(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000054
表示
Figure BDA0002080920870000055
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000056
表示
Figure BDA0002080920870000057
时刻节点(i,j,p-1)处磁场强度在x轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000058
表示
Figure BDA0002080920870000059
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000510
表示
Figure BDA00020809208700000511
时刻节点(i-1,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量，Jy(i,j,p)表示节点(i,j,p)处电流密度在y轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000512
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000513
表示(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000514
表示
Figure BDA00020809208700000515
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000516
表示
Figure BDA00020809208700000517
时刻节点(i,j-1,p)处磁场强度在z轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000518
表示
Figure BDA00020809208700000519
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000520
表示
Figure BDA00020809208700000521
时刻节点(i,j,p-1)处磁场强度在y轴方向上的分量，Jx(i,j,p)表示节点(i,j,p)处电流密度在x轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000522
表示
Figure BDA00020809208700000523
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000524
表示
Figure BDA00020809208700000525
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000526
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000527
表示nΔt时刻节点(i-1,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量，
Figure BDA00020809208700000528
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000061
表示nΔt时刻节点(i,j,p-1)处电场强度在x轴方向上的分量，Ky(i,j,p)表示节点(i,j,p)处磁流密度在y轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000062
表示
Figure BDA0002080920870000063
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000064
表示
Figure BDA0002080920870000065
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000066
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000067
表示nΔt时刻节点(i,j,p-1)处电场强度在y轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000068
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量，
Figure BDA0002080920870000069
表示nΔt时刻节点(i,j-1,p)处电场强度在z轴方向上的分量，Kx(i,j,p)表示节点(i,j,p)处磁流密度在x轴方向上的分量。
其他电磁场分量可以由传统时域有限差分迭代方法得到。
步骤2、提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量，具体如下：
由广义薄层传输条件可知，石墨烯超材料的电磁极化率不随入射角度和极化方向的变化而改变，因此可以使用x极化和y极化的平面波照射石墨烯超材料来提取电磁极化率张量。通过式(1a)和(1b)，可以得到电磁极化率张量与平面波垂直入射求得的反射系数和透射系数的关系：
Figure BDA00020809208700000610
Figure BDA00020809208700000611
Figure BDA00020809208700000612
Figure BDA00020809208700000613
其中，
Figure BDA00020809208700000614
表示真空中的波数，
Figure BDA00020809208700000615
表示电场沿x方向极化时激励的电极化率张量，
Figure BDA00020809208700000616
表示电场沿y方向极化时激励的电极化率张量，
Figure BDA00020809208700000617
表示磁场沿x方向极化时激励的磁极化率张量，
Figure BDA00020809208700000618
表示磁场沿y方向极化时激励的磁极化率张量，Tx表示电场沿x方向极化的平面波入射得到的透射系数，Ty表示电场沿y方向极化的平面波入射得到的透射系数，Rx表示电场沿x方向极化的平面波入射得到的反射系数，Ry表示电场沿y方向极化的平面波入射得到的反射系数。
步骤3、采用复共轭极点留数对的方法，拟合宽频带下的电极化率张量和磁极化率张量，具体如下：
步骤3.1、根据广义薄层传输条件，石墨烯超材料的等效表面电流密度和等效表面磁流密度分别为：
Figure BDA0002080920870000071
Figure BDA0002080920870000072
Figure BDA0002080920870000073
Figure BDA0002080920870000074
从(7a)至(7d)式可以看出，石墨烯超材料的特性由电极化率
Figure BDA0002080920870000075
和磁极化率
Figure BDA0002080920870000076
来表征。
步骤3.2、用Drude模型来描述石墨烯的色散项，用复共轭极点留数对的部分分数之和来描述石墨烯的等效介电常数：
Figure BDA0002080920870000077
其中，εeq为石墨烯的等效介电常数，ε∞为无限大频率处的相对介电常数，ε0为真空中介电常数，ap和cp分别为第p个极点和留数，
Figure BDA0002080920870000078
和
Figure BDA0002080920870000079
分别为ap和cp的复数形式；
由式(8)，采用复共轭极点留数对的部分分数之和的形式来描述石墨烯超材料电极化率和磁极化率：
Figure BDA00020809208700000710
Figure BDA00020809208700000711
Figure BDA00020809208700000712
Figure BDA0002080920870000081
其中，dx为电极化率
Figure BDA0002080920870000082
的常数项，ap_x和cp_x分别为电极化率
Figure BDA0002080920870000083
的第p个极点和留数，
Figure BDA0002080920870000084
和
Figure BDA0002080920870000085
分别为ap_x和cp_x的共轭形式，dy为电极化率
Figure BDA0002080920870000086
的常数项，ap_y和cp_y分别为电极化率
Figure BDA0002080920870000087
的第p个极点和留数，
Figure BDA0002080920870000088
和
Figure BDA0002080920870000089
分别为ap_y和cp_y的共轭形式，dkx为磁极化率
Figure BDA00020809208700000810
的常数项，akp_x和ckp_x分别为磁极化率
Figure BDA00020809208700000811
的第p个极点和留数，
Figure BDA00020809208700000812
和
Figure BDA00020809208700000813
分别为akp_x和ckp_x的共轭形式，dky为磁极化率
Figure BDA00020809208700000814
的常数项，akp_y和ckp_y分别为电极化率
Figure BDA00020809208700000815
的第p个极点和留数，
Figure BDA00020809208700000816
和
Figure BDA00020809208700000817
分别为akp_y和ckp_y的共轭形式，
Figure BDA00020809208700000818
表示对N对共轭复数对求和；
步骤3.3、用矢量拟合技术得到式(9a)～(9d)中的复共轭极点留数对。
步骤4、将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合，得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程；
步骤4.1、将步骤3拟合电极化率和磁极化率代入到表面极化电流密度和表面极化磁流密度的表达式中，根据拟合形式将表面极化电流密度和表面极化磁流密度为常数项和色散项；
结合复共轭极点留数对,根据广义薄层传输条件，石墨烯结构的等效表面极化电流密度和等效表面极化磁流密度可以表示为色散项和常数项相加的形式：
Jx＝Jx_dis+Jx_con (10a)
Jy＝Jy_dis+Jy_con (10a)
Kx＝Kx_dis+Kx_con (10b)
Ky＝Ky_dis+Ky_con (10b)
其中Jx为x轴方向上的等效表面极化电流密度，Jx_dis和Jx_con分别为Jx的色散项和常数项，Jy为y轴方向上的等效表面极化电流密度，Jy_dis和Jy_con分别为Jy的色散项和常数项，Kx为x轴方向上的等效表面极化磁流密度，Kx_dis和Kx_con分别为Kx的色散项和常数项，Ky为y轴方向上的等效表面极化磁流密度，Ky_dis和Ky_con分别为Kx的色散项和常数项。
步骤4.2、计算出等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度常数项和色散项的时域差分离散化形式；
石墨烯等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项为：
Figure BDA0002080920870000091
Figure BDA0002080920870000092
Figure BDA0002080920870000093
Figure BDA0002080920870000094
对式(11a)～(11d)做中心差分近似，有
Figure BDA0002080920870000095
Figure BDA0002080920870000096
Figure BDA0002080920870000097
Figure BDA0002080920870000098
其中
Figure BDA0002080920870000099
与
Figure BDA00020809208700000910
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的等效表面极化电流密度的常数项，
Figure BDA00020809208700000911
与
Figure BDA00020809208700000912
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的电场强度，
Figure BDA00020809208700000913
与
Figure BDA00020809208700000914
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的等效表面极化电流密度的常数项，
Figure BDA00020809208700000915
与
Figure BDA00020809208700000916
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的电场强度，
Figure BDA00020809208700000917
与
Figure BDA00020809208700000918
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的等效表面极化磁流密度的常数项，
Figure BDA00020809208700000919
与
Figure BDA00020809208700000920
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的磁场强度，
Figure BDA00020809208700000921
与
Figure BDA00020809208700000922
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的等效表面极化磁流密度的常数项，
Figure BDA00020809208700000923
与
Figure BDA00020809208700000924
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的磁场强度。
石墨烯等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的色散项为：
Figure BDA0002080920870000101
Figure BDA0002080920870000102
Figure BDA0002080920870000103
Figure BDA0002080920870000104
其中Re表示取实部。
对式(11a)～(11d)做中心差分近似，有
Figure BDA0002080920870000105
Figure BDA0002080920870000106
Figure BDA0002080920870000107
Figure BDA0002080920870000108
其中
Figure BDA0002080920870000109
与
Figure BDA00020809208700001010
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的表面极化电流密度的色散项，
Figure BDA00020809208700001011
与
Figure BDA00020809208700001012
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的表面极化电流密度的色散项，
Figure BDA00020809208700001013
与
Figure BDA00020809208700001014
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的表面极化磁流密度的色散项，
Figure BDA00020809208700001015
与
Figure BDA00020809208700001016
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的表面极化磁流密度的色散项，
Figure BDA00020809208700001017
为
Figure BDA00020809208700001018
的系数，
Figure BDA00020809208700001019
为
Figure BDA00020809208700001020
的系数，
Figure BDA00020809208700001021
为
Figure BDA00020809208700001022
的系数，
Figure BDA00020809208700001023
为
Figure BDA00020809208700001024
的系数，
Figure BDA00020809208700001025
为
Figure BDA00020809208700001026
的系数，
Figure BDA00020809208700001027
为
Figure BDA0002080920870000111
的系数，
Figure BDA0002080920870000112
为
Figure BDA0002080920870000113
的系数，
Figure BDA0002080920870000114
为
Figure BDA0002080920870000115
的系数。
步骤4.3、将等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项和色散项的时域差分离散化形式代入麦克斯韦的安培环路定理式(5a)、(5b)、(5c)和(5d)中，得到YEE网格节点(i,j,p)处的电场强度和磁场强度的更新方程：
Figure BDA0002080920870000116
Figure BDA0002080920870000117
Figure BDA0002080920870000118
Figure BDA0002080920870000119
其中
Figure BDA00020809208700001110
表示对N个极点留数对的求和，Re表示取实部，
Figure BDA00020809208700001111
表示在(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电流密度在y轴方向上的分量的色散项，
Figure BDA00020809208700001112
表示在(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电流密度在x轴方向上的分量的色散项，
Figure BDA00020809208700001113
表示在
Figure BDA00020809208700001114
时刻节点(i,j,p)处磁流密度在y轴方向上的分量的色散项，
Figure BDA00020809208700001115
在
Figure BDA00020809208700001116
时刻节点(i,j,p)处磁流密度在x轴方向上的分量的色散项。
电场的z方向分量Ez和磁场的z方向分量Hz由常规时域有限差分迭代求得。
步骤5、进行差分迭代，求解计算域内的电场强度与磁场强度，并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数，结合图3，具体如下：
步骤5.1、初始化电极化率和次级化率张量的参数；
步骤5.2、使用FDTD-GSTC方法即式(15a)和(15b)更新石墨烯上的电场，使用常规FDTD更新其他区域的电场；
步骤5.3、更新石墨烯上的等效表面电流密度；
步骤5.4、使用FDTD-GSTC方法即式(15c)和(15d)更新石墨烯上的磁场，使用常规FDTD更新其他区域的磁场；
步骤5.5、更新石墨烯上的等效表面磁流密度；
步骤5.6、如果已迭代到给定的时间步数，则迭代终止，然后进行离散傅里叶变换求解反射系数和透射系数；否则返回步骤5.2。
实施例1
为了验证本文方法的正确性与有效性，下面给出数值算例验证理论和程序的有效性。程序是用Fortran语言编制并在Windows 7 64位系统，16GB内存，3.7GHz的主频个人计算机上执行的，CPU型号为Intel(R)CoreTMi3-4170。
如图4所示的周期十字结构的石墨烯贴片，其单元的周期p＝60um，L＝48um，d1＝d2＝6um；石墨烯的散射速率Γ＝0.5meV，偏置电场E＝2V/nm；入射波采用调制高斯脉冲，其中心频率f0＝1THz，脉宽为tw＝2，加源的频率范围为0.1THz～2THz，平面波沿着z轴正方向入射，电场的极化方向沿着x轴方向；剖分尺寸为dx＝dy＝dz＝2um，PML的层数为20，总的网格数为30×30×99。
如图5(a)所示，采用复共轭留数对的方法矢量拟合通过商业软件HFSS的透射系数和反射系数得到的电极化率，可以发现电极化率拟合后的结果基本吻合，其中电极化率的常数项d、ap和cp的具体参数如表1所示。
表1 偏置电场为2V/nm下，填充的电极化率参数，d＝4.13×10-8
Figure BDA0002080920870000121
如图5(b)为用本发明中所提方法与商业软件计算的反射系数的示意图，从图中可以看出本发明的结果与传统FDTD以及商业软件结果吻合。表2给出了本发明方法与传统FDTD的运行时间和所需内存的对比，从表中可以看出，本发明方法节省了网格数和计算内存。
表2 FDTD和FDTD-GSTC计算时间和内存的比较
Size of grid(um) Time(s) Memory(MB)
FDTD 1×1×1 208 80
FDTD-GSTC 2×2×2 27.9 31
综上所述，本发明采用了电极化率张量和磁极化率张量来表征石墨烯材料，而避免了对石墨烯材料直接建模，在进行网格剖分时，相较于常规的时域有限差分方法，只需要较少的网格数，节省了更多的时间和内存；同时，采用复共轭极点留数对的方法拟合石墨烯材料的电极化率和磁极化率的色散项，能够很好地模拟宽频带下石墨烯材料的色散特性。

Claims (5)

1.一种宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1、建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程；
步骤2、提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量；
步骤3、采用复共轭极点留数对的方法，拟合宽频带下的电极化率张量和磁极化率张量；
步骤4、将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合，得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程；
步骤5、进行差分迭代，求解计算域内的电场强度与磁场强度，并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数；
步骤1中所述的广义薄层传输条件，具体如下：
Figure FDA0002535596440000011
Figure FDA0002535596440000012
其中，
Figure FDA0002535596440000013
表示z轴上的单位向量，ΔH为石墨烯两侧磁场强度的差值，ΔE为石墨烯两侧电场强度的差值，
Figure FDA0002535596440000014
ω为频率，P和M分别为极化电流密度和极化磁流密度，P||和Pz分别为极化电流密度的切向分量和法向分量，M||和Mz分别为极化磁流密度的切向分量和法向分量，
Figure FDA0002535596440000015
为微分算符，
Figure FDA0002535596440000016
表示在切向作微分计算，ε和μ分别为真空中的介电常数和磁导率；
电极化密度和磁极化密度可以分别通过表面电极化率和磁极化率来描述：
Figure FDA0002535596440000017
Figure FDA0002535596440000018
其中，
Figure FDA0002535596440000019
表示电场激励的电极化率张量，
Figure FDA00025355964400000110
表示磁场激励的电极化率张量，
Figure FDA00025355964400000111
表示电场激励的磁极化率张量，
Figure FDA00025355964400000112
表示磁场激励的磁极化率张量，Eav和Hav分别为石墨烯结构两侧电场强度的平均值和磁场强度的平均值；
步骤1所述的建立基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方程，具体如下：
设定石墨烯放置于平面z＝0上，石墨烯上法向电极化密度和磁极化密度为零，即Pz＝Mz＝0；
将(2a)、(2b)代入(1a)和(1b)中，得：
Figure FDA0002535596440000021
Figure FDA0002535596440000022
其中ΔHx和ΔHy分别为与石墨烯两侧磁场强度在x方向上与y方向上的差值，ΔEx和ΔEy分别为与石墨烯两侧电场强度在x方向上与y方向上的差值，Ex,av和Ey,av分别表示石墨烯两侧电场强度在x方向上和在y方向上的平均值，Hx,av和Hy,av分别表示石墨烯两侧磁场强度在x方向上和在y方向上的平均值，
Figure FDA0002535596440000023
表示x极化的电场激励的电极化率在x方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000024
表示x极化的电场激励的电极化率在y方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000025
表示y极化的电场激励的电极化率在x方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000026
表示y极化的电场激励的电极化率在y方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000027
表示x极化的磁场激励的电极化率在x方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000028
表示x极化的磁场激励的电极化率在y方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000029
表示y极化的磁场激励的电极化率在x方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000210
表示y极化的磁场激励的电极化率在y方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000211
表示x极化的电场激励的磁极化率在x方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000212
表示x极化的电场激励的磁极化率在y方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000213
表示y极化的电场激励的磁极化率在x方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000214
表示y极化的电场激励的磁极化率在y方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000215
表示x极化的磁场激励的磁极化率在x方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000216
表示x极化的磁场激励的磁极化率在y方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000217
表示y极化的磁场激励的磁极化率在x方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000218
表示y极化的磁场激励的磁极化率在y方向上的分量；
设定石墨烯结构为单各向异性，则有χem＝χme＝0；设定该石墨烯结构为单轴晶体，则有
Figure FDA00025355964400000219
因此，该石墨烯结构具有互易性和非旋性，得到式(3a)和(3b)的时域形式为：
Figure FDA00025355964400000220
Figure FDA00025355964400000221
Figure FDA0002535596440000031
Figure FDA0002535596440000032
其中Jx为沿x方向的极化电流密度，Jy为沿y方向的极化电流密度，Kx为沿x方向的极化磁流密度，Ky为沿y方向的极化磁流密度，Ex为沿x方向的电场强度，Ey为沿y方向的电场强度，Hx为沿x方向的磁场强度，Hy为沿y方向的磁场强度，
Figure FDA0002535596440000033
表示对时间求偏导数，ε0和μ0分别为真空中的介电常数和磁导率；
将式(4a)、(4b)、(4c)和(4d)代入安培定律和法拉第定律得：
Figure FDA0002535596440000034
Figure FDA0002535596440000035
Figure FDA0002535596440000036
Figure FDA0002535596440000037
其中节点(i,j,p)表示位于(i·Δx,j·Δy,p·Δz)的YEE网格，Δx、Δy、Δz分别表示x轴方向、y轴方向和z轴方向上的空间步长，Δt表示时间步长，
Figure FDA0002535596440000038
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000039
表示(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000310
表示
Figure FDA00025355964400000311
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000312
表示
Figure FDA00025355964400000313
时刻节点(i,j,p-1)处磁场强度在x轴方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000041
表示
Figure FDA0002535596440000042
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000043
表示
Figure FDA0002535596440000044
时刻节点(i-1,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量，Jy(i,j,p)表示节点(i,j,p)处电流密度在y轴方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000045
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000046
表示(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000047
表示
Figure FDA0002535596440000048
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在z轴方向上的分量，
Figure FDA0002535596440000049
表示
Figure FDA00025355964400000410
时刻节点(i,j-1,p)处磁场强度在z轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000411
表示
Figure FDA00025355964400000412
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000413
表示
Figure FDA00025355964400000414
时刻节点(i,j,p-1)处磁场强度在y轴方向上的分量，Jx(i,j,p)表示节点(i,j,p)处电流密度在x轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000415
表示
Figure FDA00025355964400000416
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000417
表示
Figure FDA00025355964400000418
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在y轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000419
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000420
表示nΔt时刻节点(i-1,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000421
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在x轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000422
表示nΔt时刻节点(i,j,p-1)处电场强度在x轴方向上的分量，Ky(i,j,p)表示节点(i,j,p)处磁流密度在y轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000423
表示
Figure FDA00025355964400000424
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000425
表示
Figure FDA00025355964400000426
时刻节点(i,j,p)处磁场强度在x轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000427
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在y轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000428
表示nΔt时刻节点(i,j,p-1)处电场强度在y轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000429
表示nΔt时刻节点(i,j,p)处电场强度在z轴方向上的分量，
Figure FDA00025355964400000430
表示nΔt时刻节点(i,j-1,p)处电场强度在z轴方向上的分量，Kx(i,j,p)表示节点(i,j,p)处磁流密度在x轴方向上的分量。
2.根据权利要求1所述的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法，其特征在于，步骤2中所述的提取宽频带下石墨烯材料的电极化率张量和磁极化率张量，具体如下：
根据广义薄层传输条件，石墨烯超材料的电磁极化率不随入射角度和极化方向的变化而改变，因此使用x极化和y极化的平面波照射石墨烯超材料来提取电磁极化率张量；通过式(1a)和(1b)，得到电磁极化率张量与平面波垂直入射求得的反射系数和透射系数的关系：
Figure FDA0002535596440000051
Figure FDA0002535596440000052
Figure FDA0002535596440000053
Figure FDA0002535596440000054
其中，
Figure FDA0002535596440000055
表示真空中的波数，
Figure FDA0002535596440000056
表示电场沿x方向极化时激励的电极化率张量，
Figure FDA0002535596440000057
表示电场沿y方向极化时激励的电极化率张量，
Figure FDA0002535596440000058
表示磁场沿x方向极化时激励的磁极化率张量，
Figure FDA0002535596440000059
表示磁场沿y方向极化时激励的磁极化率张量，Tx表示电场沿x方向极化的平面波入射得到的透射系数，Ty表示电场沿y方向极化的平面波入射得到的透射系数，Rx表示电场沿x方向极化的平面波入射得到的反射系数，Ry表示电场沿y方向极化的平面波入射得到的反射系数。
3.根据权利要求1所述的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法，其特征在于，步骤3所述的采用复共轭极点留数对的方法，拟合宽频带下的电极化率张量和磁极化率张量，具体如下：
步骤3.1、根据广义薄层传输条件，石墨烯超材料的等效表面电流密度和等效表面磁流密度分别为：
Figure FDA00025355964400000510
Figure FDA00025355964400000511
Figure FDA0002535596440000061
Figure FDA0002535596440000062
从式(7a)～(7d)可以看出，石墨烯超材料的特性由电极化率
Figure FDA0002535596440000063
和磁极化率
Figure FDA0002535596440000064
来表征；
步骤3.2、用Drude模型来描述石墨烯的色散项，用复共轭极点留数对的部分分数之和来描述石墨烯的等效介电常数：
Figure FDA0002535596440000065
其中，εeq为石墨烯的等效介电常数，ε∞为无限大频率处的相对介电常数，ε0为真空中介电常数，ap和cp分别为第p个极点和留数，
Figure FDA0002535596440000066
和
Figure FDA0002535596440000067
分别为ap和cp的复数形式；
由式(8)，采用复共轭极点留数对的部分分数之和的形式来描述石墨烯超材料电极化率和磁极化率：
Figure FDA0002535596440000068
Figure FDA0002535596440000069
Figure FDA00025355964400000610
Figure FDA00025355964400000611
其中，dx为电极化率
Figure FDA00025355964400000612
的常数项，ap_x和cp_x分别为电极化率
Figure FDA00025355964400000613
的第p个极点和留数，
Figure FDA00025355964400000614
和
Figure FDA00025355964400000615
分别为ap_x和cp_x的共轭形式，dy为电极化率
Figure FDA00025355964400000616
的常数项，ap_y和cp_y分别为电极化率
Figure FDA00025355964400000617
的第p个极点和留数，
Figure FDA00025355964400000618
和
Figure FDA00025355964400000619
分别为ap_y和cp_y的共轭形式，dkx为磁极化率
Figure FDA00025355964400000620
的常数项，akp_x和ckp_x分别为磁极化率
Figure FDA00025355964400000621
的第p个极点和留数，
Figure FDA00025355964400000622
和
Figure FDA00025355964400000623
分别为akp_x和ckp_x的共轭形式，dky为磁极化率
Figure FDA00025355964400000624
的常数项，akp_y和ckp_y分别为电极化率
Figure FDA00025355964400000625
的第p个极点和留数，
Figure FDA00025355964400000626
和
Figure FDA00025355964400000627
分别为akp_y和ckp_y的共轭形式，
Figure FDA0002535596440000071
表示对N对共轭复数对求和；
步骤3.3、用矢量拟合技术得到式(9a)～(9d)中的复共轭极点留数对。
4.根据权利要求1所述的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法，其特征在于，步骤4所述的将拟合的极化率张量与基于广义薄层传输条件的电磁波时域有限差分方法相结合，得到极化电流密度和极化磁流密度的更新方程以及石墨烯上电场强度和磁场强度的更新方程，具体如下：
步骤4.1、将步骤3拟合电极化率和磁极化率代入到表面极化电流密度和表面极化磁流密度的表达式中，根据拟合形式将表面极化电流密度和表面极化磁流密度为常数项和色散项；
结合复共轭极点留数对，根据广义薄层传输条件，石墨烯结构的等效表面极化电流密度和等效表面极化磁流密度表示为色散项和常数项相加的形式：
Jx＝Jx_dis+Jx_con (10a)
Jy＝Jy_dis+Jy_con (10a)
Kx＝Kx_dis+Kx_con (10b)
Ky＝Ky_dis+Ky_con (10b)
其中Jx为x轴方向上的等效表面极化电流密度，Jx_dis和Jx_con分别为Jx的色散项和常数项，Jy为y轴方向上的等效表面极化电流密度，Jy_dis和Jy_con分别为Jy的色散项和常数项，Kx为x轴方向上的等效表面极化磁流密度，Kx_dis和Kx_con分别为Kx的色散项和常数项，Ky为y轴方向上的等效表面极化磁流密度，Ky_dis和Ky_con分别为Kx的色散项和常数项；
步骤4.2、计算出等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项和色散项的时域差分离散化形式；
石墨烯等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项为：
Figure FDA0002535596440000072
Figure FDA0002535596440000073
Figure FDA0002535596440000074
Figure FDA0002535596440000081
对式(11a)～(11d)做中心差分近似，有
Figure FDA0002535596440000082
Figure FDA0002535596440000083
Figure FDA0002535596440000084
Figure FDA0002535596440000085
其中
Figure FDA0002535596440000086
与
Figure FDA0002535596440000087
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的等效表面极化电流密度的常数项，
Figure FDA0002535596440000088
与
Figure FDA0002535596440000089
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的电场强度，
Figure FDA00025355964400000810
与
Figure FDA00025355964400000811
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的等效表面极化电流密度的常数项，
Figure FDA00025355964400000812
与
Figure FDA00025355964400000813
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的电场强度，
Figure FDA00025355964400000814
与
Figure FDA00025355964400000815
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的等效表面极化磁流密度的常数项，
Figure FDA00025355964400000816
与
Figure FDA00025355964400000817
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的磁场强度，
Figure FDA00025355964400000818
与
Figure FDA00025355964400000819
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的等效表面极化磁流密度的常数项，
Figure FDA00025355964400000820
与
Figure FDA00025355964400000821
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的磁场强度；
石墨烯等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的色散项为：
Figure FDA00025355964400000822
Figure FDA00025355964400000823
Figure FDA00025355964400000824
Figure FDA00025355964400000825
其中Re表示取实部；
对式(11a)～(11d)做中心差分近似，有
Figure FDA0002535596440000091
Figure FDA0002535596440000092
Figure FDA0002535596440000093
Figure FDA0002535596440000094
其中
Figure FDA0002535596440000095
与
Figure FDA0002535596440000096
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的表面极化电流密度的色散项，
Figure FDA0002535596440000097
与
Figure FDA0002535596440000098
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的表面极化电流密度的色散项，
Figure FDA0002535596440000099
与
Figure FDA00025355964400000910
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻x轴方向上的表面极化磁流密度的色散项，
Figure FDA00025355964400000911
与
Figure FDA00025355964400000912
分别为nΔt时刻和(n-1)Δt时刻y轴方向上的表面极化磁流密度的色散项，
Figure FDA00025355964400000913
的系数，
Figure FDA00025355964400000914
为
Figure FDA00025355964400000915
的系数，
Figure FDA00025355964400000916
为
Figure FDA00025355964400000917
的系数，
Figure FDA00025355964400000918
为
Figure FDA00025355964400000919
的系数，
Figure FDA00025355964400000920
为
Figure FDA00025355964400000921
的系数，
Figure FDA00025355964400000922
为
Figure FDA00025355964400000923
的系数，
Figure FDA00025355964400000924
为
Figure FDA00025355964400000925
的系数，
Figure FDA00025355964400000926
为
Figure FDA00025355964400000927
的系数；
步骤4.3、将等效表面极化电流密度及等效表面极化磁流密度的常数项和色散项的时域差分离散化形式代入麦克斯韦的安培环路定理式(5a)、(5b)、(5c)和(5d)中，得到YEE网格节点(i,j,p)处的电场强度和磁场强度的更新方程：
Figure FDA00025355964400000928
Figure FDA0002535596440000101
Figure FDA0002535596440000102
Figure FDA0002535596440000103
其中
Figure FDA0002535596440000104
表示对N个极点留数对的求和，Re表示取实部，
Figure FDA0002535596440000105
表示在(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电流密度在y轴方向上的分量的色散项，
Figure FDA0002535596440000106
表示在(n-1)Δt时刻节点(i,j,p)处电流密度在x轴方向上的分量的色散项，
Figure FDA0002535596440000107
表示在
Figure FDA0002535596440000108
时刻节点(i,j,p)处磁流密度在y轴方向上的分量的色散项，
Figure FDA0002535596440000109
在
Figure FDA00025355964400001010
时刻节点(i,j,p)处磁流密度在x轴方向上的分量的色散项；
电场的z方向分量Ez和磁场的z方向分量Hz由常规时域有限差分迭代求得。
5.根据权利要求4所述的宽频带下石墨烯电磁反射和透射特性的分析方法，其特征在于，步骤5所述的进行差分迭代，求解计算域内的电场强度与磁场强度，并使用离散傅里叶变换计算得到反射系数和透射系数，具体如下：
步骤5.1、初始化电极化率和磁极化率张量的参数；
步骤5.2、使用FDTD-GSTC方法即式(15a)和(15b)更新石墨烯上的电场，使用常规FDTD更新其他区域的电场；
步骤5.3、更新石墨烯上的等效表面电流密度；
步骤5.4、使用FDTD-GSTC方法即式(15c)和(15d)更新石墨烯上的磁场，使用常规FDTD更新其他区域的磁场；
步骤5.5、更新石墨烯上的等效表面磁流密度；
步骤5.6、如果已迭代到给定的时间步数，则迭代终止，然后进行离散傅里叶变换求解反射系数和透射系数；否则返回步骤步骤5.2。
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