CN112286043A - 基于被控对象阶跃响应特性数据的pid参数整定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法。本发明对自平衡被控对象进行阶跃响应试验，得到阶跃响应曲线；按采样周期采样和计算后，确定被控对象的单位阶跃响应序列；设置PID参数寻优区间、寻优参数和适应度函数，并随机生成初始PID参数；模拟PID闭环控制系统设定值扰动试验，按控制量增量公式和被控量改变量预测公式，得到PID整定时域内各采样时刻的被控量改变量的预测值和设定值与被控量的偏差量；计算各组PID参数对应的适应度函数，按遗传算法原理对PID参数进行寻优，得到符合适应度准则的最佳PID控制参数。本发明无需对被控对象进行模型辨识，直接基于被控对象的阶跃试验特性数据，利用寻优算法确定最佳PID控制参数。

Description

基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法

技术领域

本发明属于自动控制技术领域，更具体地，涉及一种基于自动控制系统被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法。

背景技术

比例-积分-微分(Proportion-integral-derivative，PID)控制器具有结构简单、容易实现、鲁棒性好等诸多优点，在工业过程自动化系统中得到了广泛应用。在工程应用中，如果PID参数不合理，不仅自动化系统的动态性能较差，而且可能需要操作人员频繁干预，甚至导致自动化系统退出自动控制状态。PID控制器只有三个可调参数，但要获得最佳参数组合并不容易，目前技术人员主要利用经验或理论方法整定PID参数。

经验整定方法包括衰减曲线法、齐格勒-尼科尔斯法等。这类方法一般先根据系统的开环或闭环阶跃响应特性曲线确定初始PID参数(如采用衰减曲线法时，调整控制器增益使系统产生4：1衰减震荡，再通过经验公式计算得到初始PID参数)，然后基于系统闭环阶跃响应特性不断调整PID参数，直至闭环系统获得比较满意的控制品质。由于经验整定方法需要反复测试和调整，整定时间较长，而且对技术人员的工程经验要求也比较高。

理论整定方法包括极点配置法、二次型优化法、遗传算法和粒子群算法等。这类方法一般在被控对象数学模型的基础上，通过各种寻优算法计算得到PID参数。如果被控对象建模比较准确，则可以获得使闭环系统具有良好控制品质的PID控制器。但无论是对象模型辨识、还是PID参数寻优，都要求技术人员具备较高的专业理论知识和工程实践经验；而且在进行了以阶跃信号或伪随机序列信号等作为输入信号的模型辨识试验后，还需要花很多时间进行离线模型辨识，无法在线整定PID参数。

对技术人员来说，如果可以通过对被控对象进行阶跃响应试验，利用试验数据和寻优算法直接来整定得到PID参数，必将大大降低PID参数整定难度、减少工作量。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是克服上述现有技术存在的不足，对于具有自平衡能力的被控对象，提出一种基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，该方法可以使技术人员不必进行模型辨识，直接基于自平衡被控对象的阶跃响应特性数据，利用各种寻优算法确定最佳PID控制参数。

为此，本发明采用如下的技术方案：基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其包括步骤：

1)对自平衡被控对象进行阶跃响应试验，得到自平衡被控对象的阶跃响应特性曲线；

2)对步骤1)得到的阶跃响应曲线进行采样，得到各采样时刻的被控量采样值；经计算后得到自平衡被控对象的单位阶跃响应序列；

3)设置PID参数寻优区间、寻优参数和适应度函数，并随机生成初始PID控制参数；

4)模拟PID闭环控制系统设定值扰动试验，按控制量增量公式和被控量改变量预测公式，得到PID整定时域内各采样时刻的被控量改变量的预测值和设定值与被控量的偏差量；

5)计算各组PID参数对应的适应度函数，按遗传算法原理对PID参数进行寻优，得到符合适应度准则的最佳PID控制参数。

作为上述技术方案的补充，步骤1)的具体内容如下：

在自平衡被控对象自动控制系统稳态运行时，断开PID控制器，将自动控制系统由自动控制状态切换至手动控制状态；在原稳态控制量U₀的基础上手动增加或减少一控制量改变量u；等待自动控制系统重新回到平衡状态，得到自平衡被控对象的阶跃响应特性曲线。

作为上述技术方案的补充，步骤2)的具体内容如下：

对于步骤1)中得到的阶跃响应特性曲线，按采样周期T采样，得到各采样时刻的被控量采样值Y_i＝Y(iT)，i＝0、1、2、…、N₁、…、N₂，其中N₁为自平衡被控对象的模型长度，N₂为PID参数整定的时域长度，是寻优算法适应度计算的时域上限；

对于各采样值Y_i,分别减去在阶跃试验开始前的稳态值Y₀，并除以控制量改变量u，得到单位阶跃响应序列a_i＝a(iT)，i＝1、2、…、N₁、…、N₂。

作为上述技术方案的补充，步骤3)的具体内容如下：

根据预期的自动控制系统性能要求，选择适合用于PID参数整定的适应度函数；

设置PID参数的寻优区间；随机生成一些初始PID参数组合；设置选择算子；设定交叉概率、变异概率；设定迭代寻优次数。

作为上述技术方案的补充，所述的适应度函数包括：平方误差积分ISE、误差绝对值积分IAE、时间乘平方误差积分ITSE和时间乘绝对误差积分ITAE，如式(1)所示：

上式中，e(k)表示在kT采样时刻设定值与被控量的偏差量，ISE对应的累加式用于计算寻优时域内误差平方的积分，IAE对应的累加式用于计算寻优时域内误差绝对值的积分，ITSE对应的累加式用于计算寻优时域内时间乘以误差平方的积分，ITAE对应的累加式用于计算寻优时域内时间乘以误差绝对值的积分。

作为上述技术方案的补充，步骤4)的具体内容如下：

由于线性系统满足叠加原理，故在kT时刻，对于未来N₂个(1、2、…、N₁、…、N₂)采样时刻的被控量改变量的预测值y(k+i|k)，按下式(2)进行预测：

其中，Δu(k+i)为(k+i)T采样时刻的控制量增量，Δu(k+i)＝u(k+i)-u(k+i-1)；

对于比例增益为K_P、积分增益为K_I、微分增益为K_D的增量式PID控制器，其控制量增量根据式(3)计算得到：

Δu(k)＝K_P(e(k)-e(k-1))+K_Ie(k)+K_D(e(k)-2e(k-1)+e(k-2)) (3)

其中，e(k)为设定值与被控量的偏差量，e(k)＝s(k)-y(k)，s(k)为设定值改变量；y(k)表示被控量改变量；

假设在kT时刻，对PID闭环控制系统进行设定值扰动试验，由于e(k)、e(k-1)和e(k-2)均已知，故由式(3)计算得到Δu(k)，将之代入式(2)即得到(k+1)T时刻被控量改变量的预测值y(k+1|k)；在(k+1)T时刻，e(k+1)、e(k)和e(k-1)也均已知，因此同样由(3)计算得到Δu(k+1)，进而求得(k+2)T时刻被控量改变量的预测值y(k+2|k)；

由此，PID闭环控制系统在未来N₂个采样时刻的被控量改变量的预测值y(k+i|k)由式(3)、(2)递推求解，同时计算得到未来N₂个采样时刻设定值与被控量的偏差量e(k+i)，i＝1、2、…、N₁，…，N₂。

作为上述技术方案的补充，步骤5)的具体内容如下：

由式(1)计算得到各样本的适应度函数，根据适应度计算结果，利用遗传算法的选择、交叉和变异算子，生成{K_P、K_I、K_D}优化后代，然后返回至步骤4)迭代运行；当迭代到设定次数后结束寻优，获得符合适应度准则的最佳PID控制参数。

本发明采用的另一种技术方案为：基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其包括：

步骤1、自动控制系统稳态运行时断开PID控制器，切换至手动控制；在原稳态控制量基础上手动增加或减少一控制量改变量；待自动控制系统恢复平衡状态，得到被控对象的阶跃响应曲线；

步骤2、对步骤1得到的阶跃响应曲线进行采样，得到各采样时刻的被控量采样值；经计算后得到单位阶跃响应序列；

步骤3、选择适应度函数；设定PID控制参数寻优区间；随机生成一些初始PID参数组合；设定选择算子；设定交叉概率、变异概率；设定遗传算法寻优次数；

步骤4、对于给定的PID参数{K_P、K_I、K_D}，模拟PID闭环控制系统设定值扰动试验，计算未来N₂个采样周期的被控量改变量和设定值与被控量的偏差量；

步骤5、计算各组PID参数对应的适应度函数；根据适应度值进行选择、交叉、变异变换，生成PID参数组的优化后代；如还未完成迭代次数，返回步骤4，否则寻优结束，得到符合适应度准则最佳的PID控制参数。

本发明的PID参数整定方法，技术人员无需对自平衡被控对象进行模型辨识，直接基于被控对象的阶跃试验特性数据，利用寻优算法，计算得到最佳PID控制参数；本发明的方法适用于具有自平衡能力的被控对象。

附图说明

图1是本发明PID参数整定方法的流程示意图；

图2是本发明应用例的被控对象具有自平衡能力的自动控制系统框图；

图3是本发明应用例的自平衡被控对象的阶跃试验响应曲线图；

图4是本发明应用例的PID闭环控制系统设定值扰动试验仿真曲线图。

具体实施方式

下面结合附图，对本发明的具体实施方式作进一步描述。以下实施例和应用例用于说明本发明，但不用来限制本发明的范围。

实施例

如图1，本发明一个具体实施例中，示出了一种基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法的流程示意图。

一种基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其包括以下步骤：

步骤1，在自平衡被控对象自动控制系统稳态运行时，断开PID控制器，将自动控制系统由自动控制状态切换至手动控制状态；在原稳态控制量U₀的基础上手动增加或减少一定幅值的控制量改变量u；等待自动控制系统重新回到平衡状态，得到被控自平衡对象的阶跃响应特性曲线。

步骤2，对于步骤1中得到的阶跃响应特性曲线，按一定采样周期T采样，得到各采样时刻的被控量采样值Y_i＝Y(iT)，i＝0、1、2、…、N₁、…、N₂，其中N₁为被控自平衡对象的模型长度(对于具有自平衡能力的被控对象，经过N₁个采样周期后，被控量可看作近似保持稳态值不变)，N₂为PID参数整定的时域长度，是寻优算法适应度计算的时域上限。

对于各采样值Y_i,分别减去在阶跃试验开始前的稳态值Y₀，并除以控制量改变量u，得到单位阶跃响应序列a_i＝a(iT)，i＝1、2、…、N₁、…、N₂。

步骤3，根据预期的系统性能要求，选择适合用于PID参数整定的适应度函数，如平方误差积分(ISE，采用该准则可使系统具有较快的响应速度，但系统振荡性较大，相对稳定性差)、误差绝对值积分(IAE，采用该准则可使系统具有适当的阻尼和良好的瞬态响应，但是当控制参数选择不同时，在性能指标上的反应不明显)、时间乘平方误差积分(ITSE，该指标着重考虑动态过程后期出现的误差，较少考虑响应中大的起始误差)、时间乘绝对误差积分(ITAE，采用该准则可使控制系统的瞬态响应振荡性小，对参数具有良好的选择性，但无法利用基于模型的寻优算法计算)等，如式(1)：

上式中，e(k)表示在kT采样时刻设定值与被控量的偏差量，ISE对应的累加式用于计算寻优时域内误差平方的积分，IAE对应的累加式用于计算寻优时域内误差绝对值的积分，ITSE对应的累加式用于计算寻优时域内时间乘以误差平方的积分，ITAE对应的累加式用于计算寻优时域内时间乘以误差绝对值的积分。

设置PID参数的寻优区间；随机生成一定数量的初始PID控制参数组合；设置选择算子；设定交叉概率、变异概率；设定迭代寻优次数。

步骤4，由于线性系统满足叠加原理，故在kT时刻，对于未来N₂个采样时刻的被控量改变量的预测值y(k+i|k)，可按下式(2)进行预测。

其中，Δu(k+i)为(k+i)T采样时刻的控制量增量，Δu(k+i)＝u(k+i)-u(k+i-1)。式(2)是计算被控量改变量预测值的关键公式。

对于比例增益为K_P、积分增益为K_I、微分增益为K_D的增量式PID控制器，其控制量增量可根据式(3)计算得到：

Δu(k)＝K_P(e(k)-e(k-1))+K_Ie(k)+K_D(e(k)-2e(k-1)+e(k-2)) (3)

其中e(k)为设定值与被控量的偏差量，e(k)＝s(k)-y(k)，s(k)为设定值改变量。

假设在kT时刻，对PID闭环控制系统进行设定值扰动试验。由于e(k)、e(k-1)和e(k-2)均已知，故可由式(3)计算得到Δu(k)，将之代入式(2)即可得到(k+1)T时刻被控量改变量的预测值y(k+1|k)；在(k+1)T时刻，e(k+1)、e(k)和e(k-1)也均已知，因此可同样由(3)计算得到Δu(k+1)，进而求得(k+2)T时刻被控量改变量的预测值y(k+2|k)。由此可见，PID闭环控制系统在未来N₂个采样时刻的被控量改变量预测值y(k+i|k)可由式(3)、(2)递推求解，同时也可以计算得到未来N₂个采样时刻设定值与被控量的偏差量e(k+i)，i＝1、2、…、N₁、…、N₂。

步骤5，由式(1)计算得到各样本的适应度函数。根据适应度计算结果，利用遗传算法的选择、交叉和变异算子，生成{K_P、K_I、K_D}优化后代，然后返回至步骤4迭代运行。当迭代到设定次数后结束寻优，获得符合适应度准则的最佳PID参数。

应用例

对于附图2所示被控对象具有自平衡能力的自动控制系统，假设被控对象的传递函数模型为：

利用本发明对该自动控制系统进行PID参数整定，总体上包括：

步骤1，在自动控制系统稳态运行时，断开PID控制器，将自动控制系统由自动控制状态切换至手动控制状态；在原稳态控制量U₀的基础上手动增加一控制量改变量u＝1；等待自动控制系统重新回到平衡状态，得到被控对象的阶跃响应特性曲线如附图3。

步骤2，如附图3所示，对于步骤1中得到的阶跃响应特性曲线，按采样周期T＝1s采样，得到各采样时刻的被控量采样值Y_i＝Y(iT)，i＝0、1、2、…、N₁、…、N₂，其中N₁＝300，为被控对象的模型长度(经过N₁个采样周期后，被控量可看作近似保持稳态值1.4不变，见附图3)，N₂＝600，为PID参数整定的时域长度，是寻优算法适应度计算的时域上限。

对于各采样值Y_i,分别减去在阶跃试验开始前的稳态值Y₀，并除以控制量改变量u，得到单位阶跃响应序列a_i＝a(iT)，i＝1，2，…，N₁，…，N₂。

步骤3，分别以时间乘平方误差积分(ITSE)、时间乘绝对误差积分(ITAE)作为适应度函数，即

将PID参数的寻优区间分别设置为K_P∈[0，2]、K_I∈[0，0.2]、K_D∈[10，100]；随机生成50组初始PID参数；设置选择算子为轮盘赌方式；设定交叉概率为0.5～0.85、变异概率为0.001～0.002；设定寻优次数为50次。在本步骤中，PID参数的寻优区间可凭借技术人员的工程经验来设置，对于经验不足的技术人员，可以由粗到细不断测试，当寻优区间较大且参数分辨率较大时，可能无法获得比较理想的PID参数，如采用较小分辨率也带来寻优时间较长的问题。初始PID参数的组数、选择算子类型、交叉概率等可按遗传算法通用做法进行配置。

步骤4，对于给定的各组PID参数{K_P、K_I、K_D}，模拟PID闭环控制系统设定值扰动试验，由控制量增量计算公式和被控量改变量预测公式递推计算得到未来N₂个采样周期的被控量改变量的预测值y(k+i|k)和设定值与被控量的偏差量e(k+i)，i＝1、2、…、N₁、…、N₂。

步骤5，利用步骤4中得到的e(k+i)计算各组PID参数的适应度函数；根据适应度值进行选择、交叉、变异变换，生成PID参数组的优化后代；如还未完成迭代次数，返回步骤4，否则寻优过程结束，确定符合适应度准则的最佳PID控制参数。本实施例以ITSE和ITAE指标作为适应度函数的PID参数整定结果如下：

适应度函数	K<sub>P</sub>	K<sub>P</sub>	K<sub>D</sub>
				ITSE	1.1693	0.0158	32.4698
ITAE	0.9724	0.0135	21.6836

附图4给出了采用上述两个PID控制器的PID闭环控制系统进行设定值扰动试验得到的仿真曲线，由曲线可知，本发明提出的PID参数整定方法可以确保自动控制系统具有良好的动态性能，其中ITSE曲线对应的PID闭环控制系统响应速度较快，动态过程后期误差符合预期，但存在较大的超调量；而ITAE曲线对应的PID闭环控制系统震荡较小，总体性能非常均衡。

本应用例的PID参数整定结果说明，基于被控对象阶跃响应特性数据，通过控制量增量计算公式和被控量改变量预测公式递推计算，得到被控对象在寻优时域内的未来预测值，并利用寻优算法确定最佳PID参数。在整定过程中，既不需要进行模型辨识，也无需反复调整和测试，因而可以大大降低难度、减少工作量。

Claims (10)

1.基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，包括步骤：

1)对自平衡被控对象进行阶跃响应试验，得到自平衡被控对象的阶跃响应特性曲线；

2)对步骤1)得到的阶跃响应曲线进行采样，得到各采样时刻的被控量采样值；经计算后得到自平衡被控对象的单位阶跃响应序列；

3)设置PID参数寻优区间、寻优参数和适应度函数，并随机生成初始PID控制参数；

4)模拟PID闭环控制系统设定值扰动试验，按控制量增量公式和被控量改变量预测公式，得到PID整定时域内各采样时刻的被控量改变量的预测值和设定值与被控量的偏差量；

5)计算各组PID参数对应的适应度函数，按遗传算法原理对PID参数进行寻优，得到符合适应度准则的最佳PID控制参数。

2.根据权利要求1所述的基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，步骤1)的具体内容如下：

在自平衡被控对象自动控制系统稳态运行时，断开PID控制器，将自动控制系统由自动控制状态切换至手动控制状态；在原稳态控制量U₀的基础上手动增加或减少一控制量改变量u；等待自动控制系统重新回到平衡状态，得到自平衡被控对象的阶跃响应特性曲线。

3.根据权利要求1或2所述的基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，步骤2)的具体内容如下：

对于步骤1)中得到的阶跃响应特性曲线，按采样周期T采样，得到各采样时刻的被控量采样值Y_i＝Y(iT)，i＝0、1、2、…、N₁、…、N₂，其中N₁为自平衡被控对象的模型长度，N₂为PID参数整定的时域长度，是寻优算法适应度计算的时域上限；

对于各采样值Y_i,分别减去在阶跃试验开始前的稳态值Y₀，并除以控制量改变量u，得到单位阶跃响应序列a_i＝a(iT)，i＝1、2、…、N₁、…、N₂。

4.根据权利要求3所述的基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，步骤3)的具体内容如下：

根据预期的自动控制系统性能要求，选择适合用于PID参数整定的适应度函数；设置PID参数的寻优区间；随机生成一些初始PID参数组合；设置选择算子；设定交叉概率、变异概率；设定迭代寻优次数。

5.根据权利要求4所述的基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，所述的适应度函数包括：平方误差积分ISE、误差绝对值积分IAE、时间乘平方误差积分ITSE和时间乘绝对误差积分ITAE，如式(1)所示：

上式中，e(k)表示在kT采样时刻设定值与被控量的偏差量，ISE对应的累加式用于计算寻优时域内误差平方的积分，IAE对应的累加式用于计算寻优时域内误差绝对值的积分，ITSE对应的累加式用于计算寻优时域内时间乘以误差平方的积分，ITAE对应的累加式用于计算寻优时域内时间乘以误差绝对值的积分。

6.根据权利要求5所述的基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，步骤4)的具体内容如下：

由于线性系统满足叠加原理，故在kT时刻，对于未来N₂个采样时刻的被控量改变量的预测值y(k+i|k)，按下式(2)进行预测：

其中，Δu(k+i)为(k+i)T采样时刻的控制量增量，Δu(k+i)＝u(k+i)-u(k+i-1)；

对于比例增益为K_P、积分增益为K_I、微分增益为K_D的增量式PID控制器，其控制量增量根据式(3)计算得到：

Δu(k)＝K_P(e(k)-e(k-1))+K_Ie(k)+K_D(e(k)-2e(k-1)+e(k-2)) (3)

其中，e(k)为设定值与被控量的偏差量，e(k)＝s(k)-y(k)，s(k)为设定值改变量；y(k)表示被控量改变量；

假设在kT时刻，对PID闭环控制系统进行设定值扰动试验，由于e(k)、e(k-1)和e(k-2)均已知，故由式(3)计算得到Δu(k)，将之代入式(2)即得到(k+1)T采样时刻被控量改变量的预测值y(k+1|k)；在(k+1)T采样时刻，e(k+1)、e(k)和e(k-1)也均已知，因此同样由(3)计算得到Δu(k+1)，进而求得(k+2)T采样时刻被控量改变量的预测值y(k+2|k)；

由此，PID闭环控制系统在未来N₂个采样时刻的被控量改变量的预测值y(k+i|k)由式(3)、(2)递推求解，同时计算得到未来N₂个采样时刻设定值与被控量的偏差量e(k+i)，i＝1、2、…、N₁，…，N₂。

7.根据权利要求6所述的基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，步骤5)的具体内容如下：

由式(1)计算得到各样本的适应度函数，根据适应度计算结果，利用遗传算法的选择、交叉和变异算子，生成{K_P、K_I、K_D}优化后代，然后返回至步骤4)迭代运行；当迭代到设定次数后结束寻优，获得符合适应度准则的最佳PID参数。

8.基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，包括：

步骤1、自动控制系统稳态运行时断开PID控制器，切换至手动控制；在原稳态控制量基础上手动增加或减少一控制量改变量；待自动控制系统恢复平衡状态，得到被控对象的阶跃响应曲线；

步骤2、对步骤1得到的阶跃响应曲线进行采样，得到各采样时刻的被控量采样值；经计算后得到单位阶跃响应序列；

步骤3、选择适应度函数；设定PID控制参数寻优区间；随机生成一些初始PID参数组合；设定选择算子；设定交叉概率、变异概率；设定遗传算法寻优次数；

步骤4、对于给定的PID参数{K_P、K_I、K_D}，模拟PID闭环控制系统设定值扰动试验，计算未来N₂个采样周期的被控量改变量的预测值和设定值与被控量的偏差量；

步骤5、计算各组PID参数对应的适应度函数；根据适应度值进行选择、交叉、变异变换，生成PID参数组的优化后代；如还未完成迭代次数，返回步骤4，否则寻优结束，得到符合适应度准则最佳的PID控制参数。

9.根据权利要求8所述的基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，步骤2的具体内容如下：

对于步骤1中得到的阶跃响应特性曲线，按采样周期T采样，得到各采样时刻的被控量采样值Y_i＝Y(iT)，i＝0、1、2、…、N₁、…、N₂，其中N₁为自平衡被控对象的模型长度，N₂为PID参数整定的时域长度，是寻优算法适应度计算的时域上限；

对于各采样值Y_i,分别减去在阶跃试验开始前的稳态值Y₀，并除以控制量改变量u，得到单位阶跃响应序列a_i＝a(iT)，i＝1、2、…、N₁、…、N₂。

10.根据权利要求8所述的基于被控对象阶跃响应特性数据的PID参数整定方法，其特征在于，步骤4的具体内容如下：

由于线性系统满足叠加原理，故在kT时刻，对于未来N₂个采样时刻的被控量改变量的预测值y(k+i|k)，按下式(2)进行预测：

其中，Δu(k+i)为(k+i)T采样时刻的控制量增量，Δu(k+i)＝u(k+i)-u(k+i-1)；

对于比例增益为K_P、积分增益为K_I、微分增益为K_D的增量式PID控制器，其控制量增量根据式(3)计算得到：

Δu(k)＝K_P(e(k)-e(k-1))+K_Ie(k)+K_D(e(k)-2e(k-1)+e(k-2)) (3)

其中，e(k)为设定值与被控量的偏差量，e(k)＝s(k)-y(k)，s(k)为设定值改变量；y(k)表示被控量改变量；

假设在kT时刻，对PID闭环控制系统进行设定值扰动试验，由于e(k)、e(k-1)和e(k-2)均已知，故由式(3)计算得到Δu(k)，将之代入式(2)即得到(k+1)T采样时刻被控量改变量的预测值y(k+1|k)；在(k+1)T时刻，e(k+1)、e(k)和e(k-1)也均已知，因此同样由(3)计算得到Δu(k+1)，进而求得(k+2)T采样时刻被控量改变量的预测值y(k+2|k)；

由此，PID闭环控制系统在未来N₂个采样时刻的被控量改变量的预测值y(k+i|k)由式(3)、(2)递推求解，同时计算得到未来N₂个采样时刻设定值与被控量的偏差量e(k+i)，i＝1、2、…、N₁，…，N₂。

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