CN112128245B - 一种三极径向混合磁轴承的控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种三极径向混合磁轴承的控制方法，径向位移偏差Δx以及位移偏差变化率Δxc经第一模糊控制器处理后输出x方向的控制参数c₁和c₂；径向位移偏差Δy以及位移偏差变化率Δyc经第二模糊控制器处理后输出y方向的控制参数c₃和c₄；径向位移偏差Δx、控制参数c₁和c₂经第一反推控制模块处理后输出控制电流i_x；径向位移偏差Δy、控制参数c₃和c₄经第二反推控制模块处理后输出控制电流i_y；采用模糊控制器在线调节反推控制器的控制参数，反推控制模块使用构造Lyapunov函数的方法，避开了对信号的微分，最终控制信号通过一系列虚拟信号以递归的方式得到，简化了反推控制器的结构，可较灵活地选择控制信号。

Description

一种三极径向混合磁轴承的控制方法

技术领域

本发明涉及磁悬浮轴承的控制领域，具体涉及三极径向混合磁轴承的控制方法。

背景技术

磁悬浮轴承(简称磁轴承)利用通电线圈或永磁体产生电磁力将转子悬浮于空中，使定子和转子之间没有任何机械接触，其从根本上改变了传统轴承的支承形式，具有无摩擦、无磨损、无污染、高速度、高精度、高效率、噪声小和寿命长等一系列优点，特别适用于高速电机、飞轮储能、航空航天、生命科学等领域。在磁轴承系统中，需要实时检测转子的位置变化，从而对转子运动状态进行控制，使其稳定运行在平衡位置。磁轴承由于依靠电磁力实现转子的稳定悬浮，更加容易受到外界的干扰，磁轴承控制系统的优劣关系着磁轴承整体性能的优劣。

目前，磁轴承控制方法包括传统PID控制、滑模控制、线性输出反馈控制等。PID控制对系统模型要求不严格，但存在参数调节过程繁琐且抗干扰性较差的问题，不能适应越来越高的精度要求与稳定性要求。滑模控制对参数变化和扰动不敏感，但控制器输出会出现抖动。线性输出反馈控制敏感度低、性能较高，但响应时间较长、存在静态误差。

自适应反推控制是针对满足严格反馈的系统，通过反向递推设计，可以有效地改善误差追踪性能，有效地降低控制器设计难度。自适应反推控制方法可以简单理解为：控制系统被分为不超过系统阶数的多个子系统，每个子系统都由一个虚拟控制信号控制，最终控制信号通过一系列虚拟控制信号以递归的方式得到。ISA TRANSACTIONS杂志2014年9月第53卷第5期出版的文献《Adaptive control of an active magnetic bearing withexternal disturbance》中，针对存在外部扰动和系统不确定情况的主动磁轴承，DongLili采用自适应反推控制方法消除主动磁轴承的位置偏差，但是引入了较多的调节因素，这些调节因素的取值没有规律，使得最后的调节过程繁琐，导致控制误差大。

发明内容

本发明的目的是针对控制对象的特点和现有控制方法的不足，提供一种三极径向混合磁轴承的控制方法，基于模糊反推控制，将模糊控制和反推控制相结合使系统在动态和稳态都能达到较高的控制性能，能有效地改善控制系统误差追踪性能。

本发明所采用的技术方案是：三极径向混合磁轴承的转子在x和y方向的径向位移x和y与给定的径向位移参考值x*、y*进行比较得到径向位移偏差Δx、Δy，还包括以下步骤：

步骤A：径向位移偏差Δx、Δy分别经微分计算出对应的位移偏差变化率Δxc、Δyc，径向位移偏差Δx以及位移偏差变化率Δxc作为第一模糊控制器的输入量，经第一模糊控制器处理后输出x方向的控制参数c₁和c₂；径向位移偏差Δy以及位移偏差变化率Δyc作为第二模糊控制器的输入量，经第二模糊控制器处理后输出y方向的控制参数c₃和c₄；

步骤B：径向位移偏差Δx、控制参数c₁和c₂作为第一反推控制模块的输入量，经第一反推控制模块处理后输出控制电流i_x；径向位移偏差Δy、控制参数c₃和c₄作为第二反推控制模块的输入量，经第二反推控制模块处理后输出控制电流i_y；

步骤C：控制电流i_x和i_y输入到Clark逆变换模块，经变换输出三相电流期望值i_a*、i_b*、i_c*，三相电流期望值i_a*、i_b*、i_c*再经过电流滞环三相功率逆变器跟踪，输出控制电流i_a、i_b、i_c至三极径向混合磁轴承。

步骤B中，第一、第二反推控制模块先建立三极径向混合磁轴承对应的状态方程为

再分别计算出相应的控制电流i_x和i_y为；

x₁、x₂、x₃、y₁、y₂和y₃是六个状态变量，

分别为误差x₁、x₂、y₁、y₂的一阶导数，m为转子质量，k_d为力/位移刚度，k_i为力/电流刚度。

进一步地，第一反推控制模块先计算出第一个状态变量x₁的误差e₁＝x₁-x_ref，x_ref为转子在x方向的平衡位置，针对误差e₁的Lyapunov函数V₁的导数

进行稳定性验证，

恒成立，则稳定；再计算出第二个状态变量

及其误差e₂＝x₂-x_2d，针对误差e₂的Lyapunov函数V₂的导数

进行稳定性验证，

恒成立，则稳定；最后计算出第三个状态变量x₃＝(c₁ ²-1)e₁-(c₁+c₂)e₂；

第二反推控制模块的控制过程与第一反推控制模块雷同，将x₁换成y₁，x₂换成y₂，x₃换成y₃，x_ref换成转子在y方向的平衡位置y_ref，c₁、c₂分别换成c₃、c₄。

本发明的优点在于：

(1)在反推控制律中，棘手的是如何处理对虚拟控制信号的微分问题，而本发明的反推控制模块使用了构造Lyapunov函数的方法，避开了对信号的微分。

(2)反推的最终控制信号通过一系列“虚拟”信号以递归的方式得到，虚拟信号可直接经由计算得到，简化了反推控制器的结构。

(3)在递归过程中的每一步只需要处理一个相对简单的误差系统，可较灵活地选择控制信号，有效改善过渡过程品质。

(4)采用模糊控制器在线调节反推控制器的控制参数，简化了参数调节步骤，能更好地抑制参数变化带来的影响。

附图说明

图1是一种三极径向混合磁轴承的轴向截面结构示意图；

图2是三极径向混合磁轴承的模糊反推控制系统的控制框图；

图3是输入量在模糊论域[-6,6]上的隶属度函数图；

图4是输出量在模糊论域[0,6]上的隶属度函数图；

图中：1.三极径向混合磁轴承；11.环形永磁体；12.径向定子一；13.径向定子二；14.转子；15.径向控制线圈；2.反推控制器；21.第一反推控制模块；22.第二反推控制模块；31.第一模糊控制器；32.第二模糊控制器；4.Clark逆变换模块；5.电流滞环三相功率逆变器；6.位移传感器；7.位移调理电路。

具体实施方式

参见图1，三极径向混合磁轴承包括环形永磁体11、径向定子一12、径向定子二13、转子14和径向控制线圈15，径向定子一12和径向定子二13轴向对称布置，套在转子14外，在两个定子的轭部之间嵌环形永磁体11，在两个定子的定子极上绕在径向控制线圈15。

参见图2，采用模糊反推控制系统对三极径向混合磁轴承1进行控制，模糊反推控制系统包括位移传感器6、位移调理电路7、模糊控制器、反推控制器、Clark逆变换模块5以及电流滞环三相功率逆变器5，模糊控制器由第二模糊控制器31和第二模糊控制器32组成，反推控制器由第一反推控制模块21和第一反推控制模块22组成。位移传感器6检测三极径向混合磁轴承1的转子14的径向位移，将该径向位移输入位移调理电路7，经位移调理电路7处理输出转子在x和y方向的径向位移x和y，将径向位移x、y与给定的径向位移参考值x*、y*进行比较，得到径向位移偏差Δx、Δy；分别经微分计算出对应的位移偏差变化率Δxc、Δyc，将径向位移偏差Δx以及位移偏差变化率Δxc作为第一模糊控制器31的输入量，经第一模糊控制器31处理，输出x方向的控制参数c₁和c₂，将径向位移偏差Δy以及位移偏差变化率Δyc作为第二模糊控制器32的输入量，经第二模糊控制器32处理后输出y方向的控制参数c₃和c₄。将径向位移偏差Δx、控制参数c₁和c₂作为第一反推控制模块21的输入量，经第一反推控制模块21处理后输出控制电流i_x，将径向位移偏差Δy、控制参数c₃和c₄作为第二反推控制模块22的输入量，经第二反推控制模块22处理后输出控制电流i_y。控制电流i_x和i_y输入到Clark逆变换模块4，经变换输出三相电流期望值i_a*、i_b*、i_c*，三相电流期望值i_a*、i_b*、i_c*再经过电流滞环三相功率逆变器5跟踪，输出控制电流i_a、i_b、i_c至三极径向混合磁轴承1。其中，第一模糊控制器31根据输入的径向位移偏差Δx及位移偏差变化率Δxc调节第一反推控制模块21的控制参数c₁和c₂；第二模糊控制器32根据输入的径向位移偏差Δy及位移偏差变化率Δyc调节第二反推控制模块22的控制参数c₃和c₄。

第一模糊控制器31和第二模糊控制器32对输入量作模糊控制：

首先，第一模糊控制器31和第二模糊控制器32分别设置其输入量、输出量的基本论域和模糊论域。第一模糊控制器31的输入量为位移偏差Δx、位移偏差变化率Δxc；第二模糊控制器32的输入量为位移偏差Δy、位移偏差变化率Δyc。第一模糊控制器31的输出量为控制参数c₁和c₂；第二模糊控制器32的输出量为控制参数c₃和c₄。具体是：

第一模糊控制器31的输入量为位移偏差Δx、位移偏差变化率Δxc；第二模糊控制器32的输入量为位移偏差Δy、位移偏差变化率Δyc。

三极径向混合磁轴承1在运行过程中，位移偏差Δx、Δy的变化都在一定的范围，位移偏差Δx、Δy的变化范围决定其基本论域为在最小值和最大值之间，即Δx的基本论域为[Δx_L，Δx_H]，Δx_L是Δx的最小值，Δx_H是Δx的最大值；Δy的基本论域为[Δy_L，Δy_H]，Δy_L是Δy的最小值，Δy_H是Δy的最大值。同样，位移偏差变化率Δxc的变化范围决定其基本论域为[Δxc_L，Δxc_H]，Δxc_L是Δxc的最小值，Δxc_H是Δxc的最大值。位移偏差变化率Δyc的变化范围决定其基本论域为[Δyc_L，Δyc_H]。Δyc_L是Δyc的最小值，Δyc_H是Δyc的最大值。第一模糊控制器31和第二模糊控制器32设置位移偏差Δx、Δy、位移偏差变化率Δxc、Δyc的模糊论域都为[-6,6]。由此，根据输入量的基本论域和模糊论域由下式分别计算出位移偏差Δx、Δy、位移偏差变化率Δxc、Δyc的对应的量化因子k_Δx、k_Δy、k_Δxc、k_Δyc为：

第一模糊控制器31和第二模糊控制器32分别设置控制参数c₁的基本论域为[c_1L，c_1H]，c_1L是c₁的最小值，c_1H是c₁的最大值；设置控制参数c₂的基本论域为[c_2L，c_2H]，c_2L是c₂的最小值，c_2H是c₂的最大值；设置控制参数c₃的基本论域为[c_3L，c_3H]，c_3L是c₃的最小值，c_3H是c₃的最大值；设置控制参数c₄的基本论域为[c_4L，c_4H]，c_4L是c₄的最小值，c_4H是c₄的最大值。第一模糊控制器31设置其输出的控制参数c₁、c₂的模糊论域均为[0,6]，第二模糊控制器32设置其输出的控制参数c₃、c₄的模糊论域均为[0,6]。根据控制参数c₁、c₂、c₃、c₄的基本论域和模糊论域计算出对应的比例因子

为：

然后，第一模糊控制器31和第二模糊控制器32对输入量Δx、Δy、Δxc、Δyc进行模糊化处理：

将位移偏差Δx、Δy、位移偏差变化率Δxc、Δyc乘以对应的量化因子k_Δx、k_Δy、k_Δxc、k_Δyc变换到模糊论域[-6,6]范围内，得到四个输入清晰值Δx’、Δy’、Δxc’、Δyc’：

Δx'＝k_Δx·Δx,Δy'＝k_Δy·Δy,Δxc'＝k_Δxc·Δxc,Δyc'＝k_Δyc·Δyc。

如图3所示，第一模糊控制器31和第二模糊控制器32设置输入清晰值Δx’、Δy’、Δxc’、Δyc’的模糊论域为[-6,6]，模糊论域[-6,6]对应于七个模糊子集{NB(负大)NM(负中)NS(负小)ZO(零)PS(正小)PM(正中)PB(正大)}，图3中的横坐标是模糊论域[-6,6]，纵坐标则是七个模糊子集对应的隶属度，输入清晰值Δx’、Δy’、Δxc’、Δyc’在模糊论域[-6,6]上的输入量隶属度函数都是如图3所示的三角形隶属度函数F。

利用三角形隶属度函数F将输入清晰值Δx’、Δy’、Δxc’、Δyc’映射为模糊论域[-6,6]上的模糊子集，并将映射得到的模糊子集记作模糊输入量X、Y、XC、YC。

然后，第一模糊控制器31和第二模糊控制器32进行模糊推理：

根据模糊输入量X、Y、XC、YC和七个模糊子集{NB(负大)NM(负中)NS(负小)ZO(零)PS(正小)PM(正中)PB(正大)}以及控制经验，建立如下表1所示的关于模糊输出量G₁、G₂、G₃、G₄的模糊控制规则：

表1模糊输出量G₁、G₂、G₃、G₄的模糊控制规则表

根据表1，进行模糊推理，采用近似推理算法完成近似推理得到如下的49条模糊规则：

如果X(Y)是NB并且XC(YC)是NB，那么G₁、G₂(G₃、G₄)是PM、PS；

如果X(Y)是NB并且XC(YC)是NM，那么G₁、G₂(G₃、G₄)是PB、PM；

……以此类推出所有规则，得到模糊输出量G₁、G₂、G₃、G₄在每条模糊规则下的模糊子集。

最后，第一模糊控制器31和第二模糊控制器32对模糊输出量G₁、G₂、G₃、G₄进行去模糊化处理：

如图4所示，设置第一模糊控制器31和第二模糊控制器32的控制参数c₁、c₂、c₃、c₄的模糊论域都为[0,6]，模糊论域[0,6]对应于四个模糊子集{ZO(零)PS(正小)PM(正中)PB(正大)}，则所述的四个模糊子集对应于模糊论域[0,6]上的值分别为{0 2 4 6}，控制参数c₁、c₂、c₃、c₄在模糊论域[0,6]上的输出量的隶属度函数也是三角形隶属度函数F，都是如图4所示的三角形隶属度函数F，图4中的横坐标是模糊论域[0,6]，纵坐标是所述的四个模糊子集对应的隶属度。

将由表1推理得到的模糊输出量G₁、G₂、G₃、G₄在每条模糊规则下的模糊子集与图4中的四个模糊子集一一对应，得到模糊论域[0,6]上的值为g_jii(g_ji的值为0,2,4,6，g_ji＝0,2,4,6)，然后根据三角形隶属度函数F求得每个值g_ji对应的隶属度μ(g_ji)，即图4中纵坐标中四个模糊子集对应的隶属度。由于有模糊输出量G₁、G₂、G₃、G₄，故j＝1,2,3,4，由于共有49条模糊规则，故i＝49。

然后，根据值g_ji和对应的隶属度μ(g_ji)，求得g_ji的加权平均值g_j0：

将比例因子

分别乘以所得到的加权平均值g_j0就可以得到第一模糊控制器31和第二模糊控制器32输出的控制参数c_j，即c₁、c₂、c₃、c₄：

c_j＝k_cj·g_j0 (2)

j＝1,2,3,4，即

将得到的控制参数c₁、c₂及位移偏差Δx输入第一反推控制模块21得到控制电流i_x，将控制参数c₃、c₄及位移偏差Δy输入第二反推控制模块22得到控制电流i_y。因三极径向混合磁轴承是一个二阶系统，根据反推算法的思想，将二阶系统分为两个一阶的子系统，先为第一个子系统设计Lyapunov函数和虚拟控制量，第二个子系统以第一个子系统的虚拟控制量为逼近对象再次进行Lyapunov函数和虚拟控制量的设计，得到整个三极径向混合磁轴承系统的控制电流i_x和i_y。

第一反推控制模块21和第二反推控制模块22的控制过程如下：

根据图1所示的三极径向混合磁轴承1的结构，依据各个组成部分的特性，建立三极径向混合磁轴承1的悬浮力数学模型为：

其中，F_x和F_y分别为x方向和y方向的悬浮力，k_d为力/位移刚度，k_i为力/电流刚度，i_x和i_y分别为x方向和y方向的控制电流。

根据三极径向混合磁轴承1的转子悬浮力数学模型推导其状态方程为：

式中m为转子质量，x₁、x₂、x₃、y₁、y₂和y₃是六个状态变量，

分别为误差x₁、x₂、y₁、y₂的一阶导数。

以下以第一反推控制模块21的控制过程为例子，第二反推控制模块22和第一反推控制模块21的控制过程雷同：

第一反推控制模块21计算出第一个状态变量x₁的误差e₁为：

e₁＝x₁-x_ref (5)

其中，x₁为位移传感器6检测的转子实际位置，x_ref为转子在x方向的平衡位置，一般情况下平衡位置为0。

建立第一个误差e₁的Lyapunov函数：

则第一误差e₁的Lyapunov函数的导数为：

其中，

分别为误差e₁、第一个状态变量x₁、转子平衡位置x_ref的一阶导数。

稳定性验证：

恒成立，则稳定。

第二个状态变量x₂作为第一个子系统的虚拟控制量，

第二个状态变量x₂的理想值为x_2d，则第二个状态变量x₂的误差e₂为：

e₂＝x₂-x_2d (8)

建立第二误差e₂的Lyapunov函数：

则第二误差e₂的Lyapunov函数的导数为：

稳定性验证：

恒成立，则稳定。

第三个状态变量x₃作为第二个子系统的虚拟控制量，x₃＝(c₁ ²-1)e₁-(c₁+c₂)e₂。

根据机械端与电磁端的转换关系可得：

根据上述两个一阶子系统的构建及虚拟控制量的设计，得到的整个三极径向混合磁轴承系统x方向的控制电流为：

同理，重复上述控制过程，将公式(5)-(11)中的对应的Δx换成Δy，i_x换成i_y，x₁换成y₁，x₂换成y₂，x₃换成y₃，x_ref换成转子在y方向的平衡位置y_ref，c₁、c₂分别换成c₃、c₄就可得到y方向的控制电流为：

第一反推控制模块21根据第一模糊控制器31输出的控制参数c₁、c₂，经公式(12)计算就可以得到x方向的控制电流i_x，第二反推控制模块22根据第二模糊控制器32输出的控制参数输出量c₃、c₄，经公式(13)计算就可以可以得到y方向的控制电流i_y。

将控制电流i_x和i_y经过Clark逆变换模块4变换为三相电流期望值i_a*、i_b*、i_c*，再经过电流滞环三相功率逆变器5跟踪三相电流期望值输出控制电流i_a、i_b、i_c进而控制三极径向混合磁轴承1。

根据以上所述，便可实现本发明。

Claims (5)

1.一种三极径向混合磁轴承的控制方法，三极径向混合磁轴承的转子在x和y方向的径向位移x和y与给定的径向位移参考值x*、y*进行比较得到径向位移偏差Δx、Δy，其特征是还包括以下步骤：

步骤A：径向位移偏差Δx、Δy分别经微分计算出对应的位移偏差变化率Δxc、Δyc，径向位移偏差Δx以及位移偏差变化率Δxc作为第一模糊控制器的输入量，经第一模糊控制器处理后输出x方向的控制参数c₁和c₂；径向位移偏差Δy以及位移偏差变化率Δyc作为第二模糊控制器的输入量，经第二模糊控制器处理后输出y方向的控制参数c₃和c₄；

所述的第一、第二模糊控制器的控制方法是：

步骤1)：设置其输入量输出量的基本论域在各自的最小值和最大值之间，设置其输入量的模糊论域都为[-6,6]，输出量的模糊论域都为[0,6]；

步骤2)：根据输入量的基本论域和模糊论域计算出位移偏差Δx、Δy、位移偏差变化率Δxc、Δyc对应的量化因子k_△x、k_△y、k_△xc、k_△yc：根据输出量的基本论域和模糊论域计算出控制参数c₁、c₂、c₃、c₄对应的比例因子k_c1，k_c2，k_c3，k_c4；

步骤3)：计算出四个输入清晰值为：

△x'＝k_△x·△x,△y'＝k_△y·△y,△xc'＝k_△xc·△xc,△yc'＝k_△yc·△yc；

步骤4)：设置四个输入清晰值的模糊论域为[-6,6]，且其模糊论域[-6,6]对应于七个模糊子集，四个输入清晰值在模糊论域[-6,6]上的隶属度函数都是三角形隶属度函数，将四个输入清晰值映射为模糊论域[-6,6]上的模糊子集，映射得到的模糊子集则分别为模糊输入量X、Y、XC、YC；

步骤5)：根据模糊输入量X、Y、XC、YC和七个模糊子集建立49条模糊控制规则进行模糊推理，得到模糊输出量G₁、G₂、G₃、G₄在49条模糊控制规则下的模糊子集：

步骤6)：设置控制参数c₁、c₂、c₃、c₄的模糊论域对应于四个模糊子集，所述的四个模糊子集对应于模糊论域[0,6]上的值分别为{0 2 4 6}，将所述的模糊输出量G₁、G₂、G₃、G₄在每条模糊规则下的模糊子集与四个模糊子集一一对应，得到模糊论域[0,6]上的值g_ji，根据三角形隶属度函数求得每个值g_ji对应的隶属度μ(g_ji)，j＝1,2,3,4，i＝49；

步骤7)：根据值g_ji和对应的隶属度μ(g_ji)求得g_ji的加权平均值：

步骤8)：根据式

计算得到控制参数c₁、c₂、c₃、c₄；

步骤B：径向位移偏差Δx、控制参数c₁和c₂作为第一反推控制模块的输入量，经第一反推控制模块处理后输出控制电流i_x；径向位移偏差Δy、控制参数c₃和c₄作为第二反推控制模块的输入量，经第二反推控制模块处理后输出控制电流i_y；

步骤C：控制电流i_x和i_y输入到Clark逆变换模块，经变换输出三相电流期望值i_a*、i_b*、i_c*，三相电流期望值i_a*、i_b*、i_c*再经过电流滞环三相功率逆变器跟踪，输出控制电流i_a、i_b、i_c至三极径向混合磁轴承。

2.根据权利要求1所述的一种三极径向混合磁轴承的控制方法，其特征是：步骤B中，第一、第二反推控制模块先建立三极径向混合磁轴承对应的状态方程为

再分别计算出相应的控制电流i_x和i_y为；

x₁、x₂、x₃、y₁、y₂和y₃是六个状态变量，

分别为误差x₁、x₂、y₁、y₂的一阶导数，m为转子质量，k_d为力/位移刚度，k_i为力/电流刚度。

3.根据权利要求2所述的一种三极径向混合磁轴承的控制方法，其特征是：第一反推控制模块先计算出第一个状态变量x₁的误差e₁＝x₁-x_ref，x_ref为转子在x方向的平衡位置，针对误差e₁的Lyapunov函数V₁的导数

进行稳定性验证，

恒成立，则稳定；再计算出第二个状态变量

及其误差e₂＝x₂-x_2d，针对误差e₂的Lyapunov函数V₂的导数

进行稳定性验证，

恒成立，则稳定；最后计算出第三个状态变量x₃＝(c₁ ²-1)e₁-(c₁+c₂)e₂；

第二反推控制模块的控制过程与第一反推控制模块雷同，将x₁换成y₁，x₂换成y₂，x₃换成y₃，x_ref换成转子在y方向的平衡位置y_ref，c₁、c₂分别换成c₃、c₄。

4.根据权利要求1所述的一种三极径向混合磁轴承的控制方法，其特征是：步骤2)中，所述的量化因子k_△x、k_△y、k_△xc、k_△yc为：

Δx_L是Δx的最小值，Δx_H是Δx的最大值；Δy_L是Δy的最小值，Δy_H是Δy的最大值；Δxc_L是Δxc的最小值，Δxc_H是Δxc的最大值；Δyc_L是Δyc的最小值，Δyc_H是Δyc的最大值。

5.根据权利要求1所述的一种三极径向混合磁轴承的控制方法，其特征是：步骤2)中，所述比例因子

为：

c_1L是c₁的最小值，c_1H是c₁的最大值；c_2L是c₂的最小值，c_2H是c₂的最大值；c_3L是c₃的最小值，c_3H是c₃的最大值；c_4L是c₄的最小值，c_4H是c₄的最大值。

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