CN112099516B - 一种基于模糊线性化理论的卫星集群姿态跟踪控制方法 - Google Patents

一种基于模糊线性化理论的卫星集群姿态跟踪控制方法 Download PDF

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CN112099516B CN202010854200.9A CN202010854200A CN112099516B CN 112099516 B CN112099516 B CN 112099516B CN 202010854200 A CN202010854200 A CN 202010854200A CN 112099516 B CN112099516 B CN 112099516B
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Abstract

本发明公开了一种新型卫星集群姿态跟踪控制方法，首先构建卫星集群姿态跟踪误差系统的动力学及运动学模型，再利用模糊线性化理论将误差系统模型进行模糊线性化处理，得到由多组模糊逻辑构成的模糊系统；针对模糊系统设计分布式协同控制律，将控制律代入模糊系统得到闭环系统，并将该闭环系统进行等价转化，再利用李雅普诺夫稳定性理论和线性矩阵不等式方法分析等价系统的性能，设计控制器参数。本发明方法能够在较小的输入时延下实现快速的姿态同步跟踪，在较大的输入时延下能够保证系统具有较好的性能。

Description

一种基于模糊线性化理论的卫星集群姿态跟踪控制方法
技术领域
本发明属于自动控制领域，具体涉及一种卫星姿态控制方法。
背景技术
针对卫星集群姿态跟踪控制，现有技术做了一定的研究，参考文献“Decentralizedrobust adaptive control for attitude synchronization under directedcommunication topology，Journal of Guidance Control and Dynamics，2011，34(4)，1276-1282”公开了一种卫星集群姿态同步控制方法。该方法将卫星姿态模型中的非线性项作为控制补偿项反馈到控制系统中，设计了多星姿态同步跟踪控制算法。在实际应用中，各类电子元件及电路系统本身的属性导致控制系统中不可避免的存在时延，卫星集群系统在信息交互过程中也会产生通信时延。时延的存在将对控制系统性能产生影响，甚至破坏系统的稳定性。该文献中并未考虑时延问题，直接应用参考文献中设计的方法处理时延问题将导致系统性能较差，在较大时延下系统甚至将不稳定。
发明内容
为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种基于模糊线性化理论的卫星集群姿态跟踪控制方法，首先构建卫星集群姿态跟踪误差系统的动力学及运动学模型，再利用模糊线性化理论将误差系统模型进行模糊线性化处理，得到由多组模糊逻辑构成的模糊系统；针对模糊系统设计分布式协同控制律，将控制律代入模糊系统得到闭环系统，并将该闭环系统进行等价转化，再利用李雅普诺夫稳定性理论和线性矩阵不等式方法分析等价系统的性能，设计控制器参数。本发明方法能够在较小的输入时延下实现快速的姿态同步跟踪，在较大的输入时延下能够保证系统具有较好的性能。
本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括以下步骤：
步骤1：构建卫星集群姿态跟踪误差系统的动力学及运动学模型；
定义卫星的实际姿态动力学及运动学模型如下：
Figure BDA0002645805380000011
式中，Ji表示卫星惯性矩阵，ωi(t)表示卫星本体坐标系
Figure BDA0002645805380000012
相对于惯性坐标系
Figure BDA0002645805380000013
的姿态角速度向量，
Figure BDA0002645805380000021
表示向量ωi(t)的斜对称矩阵；ui(t)和fi(t)分别表示卫星的控制输入和干扰输入，τ(t)表示输入时延变量，且
Figure BDA0002645805380000022
和
Figure BDA0002645805380000023
其中
Figure BDA0002645805380000024
和ρ为给定的正数；qi(t)和qi0(t)分别表示卫星姿态四元数的矢量和标量部分，
Figure BDA0002645805380000025
表示矢量qi(t)的斜对称矩阵；I3表示3阶单位矩阵，i表示第i个卫星，t表示时间；
定义卫星的期望姿态运动学模型如下：
Figure BDA0002645805380000026
式中，θi(t)和θi0(t)分别表示卫星期望姿态四元数的矢量和标量部分，
Figure BDA0002645805380000027
表示矢量θi(t)的斜对称矩阵；vi(t)表示卫星期望姿态的体坐标系
Figure BDA0002645805380000028
相对于惯性坐标系
Figure BDA0002645805380000029
的姿态角速度；
由式(1)和式(2)，构建卫星实际姿态与期望姿态之间的误差模型如下：
Figure BDA00026458053800000210
式中，ei(t)＝ωi(t)-χi(t)vi(t)表示实际姿态体坐标系
Figure BDA00026458053800000211
相对于期望姿态体坐标系
Figure BDA00026458053800000212
的角速度，即姿态角速度跟踪误差；
Figure BDA00026458053800000213
表示
Figure BDA00026458053800000214
相对于
Figure BDA00026458053800000215
的状态转移矩阵；
Figure BDA00026458053800000216
表示ei(t)的斜对称矩阵；
Figure BDA00026458053800000217
和
Figure BDA00026458053800000218
分别表示卫星姿态跟踪误差四元数的矢量和标量部分，
Figure BDA00026458053800000219
表示
Figure BDA00026458053800000220
的斜对称矩阵：
Figure BDA00026458053800000221
Figure BDA00026458053800000222
令卫星的惯性矩阵Ji由标称部分J0和非标称部分
Figure BDA00026458053800000223
构成，即
Figure BDA00026458053800000224
将标称惯性矩阵J0构建为J0＝j0I3，其中j0为一个给定正数；
因此将式(3)中的第1个等式化为如下形式：
Figure BDA0002645805380000031
式中，
Figure BDA0002645805380000032
由斜对称矩阵性质，将式(4)化作如下形式：
Figure BDA0002645805380000033
式中，
Figure BDA0002645805380000034
令
Figure BDA0002645805380000035
和
Figure BDA0002645805380000036
其中O3×3表示3×3阶的零矩阵，利用式(3)中的第2、3个等式和式(6)，得到如下状态空间方程：
Figure BDA0002645805380000037
式中，
Figure BDA0002645805380000038
令D＝[B O6×3]和fi c(t)＝[fi b(t)T O1×3]T，其中O6×3和O1×3分别表示6×3阶和1×3阶的零矩阵，则式(7)转化为最终的误差系统模型：
Figure BDA0002645805380000039
步骤2：构建由多组模糊逻辑构成的模糊系统；
令
Figure BDA00026458053800000310
和vi(t)＝[vi1(t) vi2(t) vi3(t)]T，其中
Figure BDA00026458053800000311
表示3维向量
Figure BDA0002645805380000041
的3个分量，vi1(t)、vi2(t)、vi3(t)表示3维向量vi(t)的3个分量；定义如下变量：
Figure BDA0002645805380000042
利用模糊线性化理论，将式(9)转化为如下模糊系统：
定义系统模糊规则αi：如果zi1(t)是
Figure BDA0002645805380000043
且zi2(t)是
Figure BDA0002645805380000044
且zi6(t)是
Figure BDA0002645805380000045
那么
Figure BDA0002645805380000046
其中，
Figure BDA0002645805380000047
表示模糊集，
Figure BDA0002645805380000048
表示模糊线性化后第αi个子系统的状态变量对应的参数矩阵，m表示模糊线性化后线性子系统的个数；
将式(11)中的m个线性子系统进行加权平均，得到模糊系统：
Figure BDA0002645805380000049
式中，
Figure BDA00026458053800000410
步骤3：针对步骤2中式(12)的模糊系统设计姿态协同跟踪控制律，得到闭环系统，并将该闭环系统进行等价转化；
采用多智能体一致性理论设计如下分布式姿态跟踪控制律：
Figure BDA00026458053800000411
式中，K表示待求的控制增益矩阵，aij表示卫星集群的相对姿态保持增益，aii表示每个卫星的姿态跟踪增益；
将式(13)中的控制律代入到式(12)中，得到如下闭环系统：
Figure BDA00026458053800000412
式中，
Figure BDA0002645805380000051
Figure BDA0002645805380000052
Figure BDA0002645805380000053
表示克罗内克乘积；
Figure BDA0002645805380000054
表示卫星集群之间的通信拓扑图对应的拉普拉斯矩阵，其表达式如下：
Figure BDA0002645805380000055
利用
Figure BDA0002645805380000056
且
Figure BDA0002645805380000057
将式(14)等价转化为如下闭环系统：
Figure BDA0002645805380000058
式中，
Figure BDA0002645805380000059
步骤4：利用依赖李雅普诺夫稳定性理论和线性矩阵不等式方法对步骤3中式(15)表示的等价转化之后的闭环系统进行分析，设计控制器参数；
定义系统的H∞性能如下：
若式(15)表示的闭环系统满足如下两组条件：
1)当F(t)＝0时，系统渐进稳定，即
Figure BDA00026458053800000510
2)当X(0)＝0时，不等式
Figure BDA00026458053800000511
对于任意F(t)≠0均成立，γ表示性能；
则称式(15)表示的闭环系统是满足H∞性能γ的渐进稳定系统；
选取如下时延依赖李雅普诺夫函数：
Figure BDA0002645805380000061
Figure BDA0002645805380000062
Figure BDA0002645805380000063
式中P和R为正定对称的实矩阵，β为任意正数，s和θ为积分项中的积分变量；
为了求解控制增益矩阵K，取参数c满足
Figure BDA0002645805380000064
其中
Figure BDA0002645805380000065
表示矩阵
Figure BDA0002645805380000066
的最大特征值；
利用李雅普诺夫稳定性理论，若对于任意αi∈{1,2,...,m}，均存在正定对称实矩阵
Figure BDA0002645805380000067
以及实矩阵
Figure BDA0002645805380000068
使得如下线性矩阵不等式成立：
Figure BDA0002645805380000069
式中，
Figure BDA00026458053800000610
Figure BDA00026458053800000611
Figure BDA00026458053800000612
则式(15)表示的闭环系统是满足H∞性能γ的渐进稳定系统；
求解不等式(19)，解出式(13)中的控制增益矩阵为
Figure BDA00026458053800000613
获取控制器参数，从而得到分布式姿态跟踪控制律。
本发明的有益效果：由于采用了本发明的一种基于模糊线性化理论的卫星集群姿态跟踪控制方法，能够保证在较小输入时延时卫星能够实现快速的姿态同步跟踪，在较大输入时延时，确保方法有效并具备较好的控制性能。
附图说明
图1是本发明的技术方案流程图。
图2是本发明实施例中12个卫星之间的通信拓扑图。
图3是本发明实施例中模糊规则对应的隶属度函数曲线。
图4是本发明实施例中在本发明设计的控制律下，当输入时延τ(t)＝cos(0.1t)+1秒时，12个卫星的姿态跟踪曲线。
图5是本发明实施例中在参考文献中设计的控制律下，当输入时延τ(t)＝cos(0.1t)+1秒时，12个卫星的姿态跟踪曲线。
图6是本发明实施例中在本发明设计的控制律下，当输入时延τ(t)＝4cos(0.1t)+4秒时，12个卫星的姿态跟踪曲线。
图7是本发明实施例中在参考文献中设计的控制律下，当输入时延τ(t)＝4cos(0.1t)+4秒时，12个卫星的姿态跟踪曲线。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。
如图1所示，本发明提供了一种基于模糊线性化理论的卫星集群姿态跟踪控制方法，包括以下步骤：
步骤1：构建卫星集群姿态跟踪误差系统的动力学及运动学模型；
定义卫星的实际姿态动力学及运动学模型如下：
Figure BDA0002645805380000071
式中，Ji表示卫星惯性矩阵，ωi(t)表示卫星本体坐标系
Figure BDA0002645805380000072
相对于惯性坐标系
Figure BDA0002645805380000073
的姿态角速度向量，
Figure BDA0002645805380000074
表示向量ωi(t)的斜对称矩阵；ui(t)和fi(t)分别表示卫星的控制输入和干扰输入，τ(t)表示输入时延变量，且
Figure BDA0002645805380000075
和
Figure BDA0002645805380000076
其中
Figure BDA0002645805380000077
和ρ为给定的正数；qi(t)和qi0(t)分别表示卫星姿态四元数的矢量和标量部分，
Figure BDA0002645805380000078
表示矢量qi(t)的斜对称矩阵；I3表示3阶单位矩阵，i表示第i个卫星，t表示时间；
向量的斜对称矩阵定义如下：对于一个3维向量a＝[a1 a2 a3]T，其斜对称矩阵为：
Figure BDA0002645805380000079
本发明的目的是确保每个卫星的实际姿态跟踪上期望姿态，定义卫星的期望姿态运动学模型如下：
Figure BDA0002645805380000081
式中，θi(t)和θi0(t)分别表示卫星期望姿态四元数的矢量和标量部分，
Figure BDA0002645805380000082
表示矢量θi(t)的斜对称矩阵；vi(t)表示卫星期望姿态的体坐标系
Figure BDA0002645805380000083
相对于惯性坐标系
Figure BDA0002645805380000084
的姿态角速度；
由式(1)和式(2)，构建卫星实际姿态与期望姿态之间的误差模型如下：
Figure BDA0002645805380000085
式中，ei(t)＝ωi(t)-χi(t)vi(t)表示实际姿态体坐标系
Figure BDA0002645805380000086
相对于期望姿态体坐标系
Figure BDA0002645805380000087
的角速度，即姿态角速度跟踪误差；
Figure BDA0002645805380000088
表示
Figure BDA0002645805380000089
相对于
Figure BDA00026458053800000810
的状态转移矩阵；
Figure BDA00026458053800000811
表示ei(t)的斜对称矩阵；
Figure BDA00026458053800000812
和
Figure BDA00026458053800000813
分别表示卫星姿态跟踪误差四元数的矢量和标量部分，
Figure BDA00026458053800000814
表示
Figure BDA00026458053800000815
的斜对称矩阵：：
Figure BDA00026458053800000816
Figure BDA00026458053800000817
令卫星的惯性矩阵Ji由标称部分J0和非标称部分
Figure BDA00026458053800000818
构成，即
Figure BDA00026458053800000819
将标称惯性矩阵J0构建为J0＝j0I3，其中j0为一个给定正数；
因此将式(3)中的第1个等式化为如下形式：
Figure BDA00026458053800000820
式中，
Figure BDA0002645805380000091
由斜对称矩阵性质：对于任意3维向量a和b，其斜对称矩阵具有如下性质：a×a＝0和a×b＝-b×a，将式(4)化作如下形式：
Figure BDA0002645805380000092
式中，
Figure BDA0002645805380000093
令
Figure BDA0002645805380000094
和
Figure BDA0002645805380000095
其中O3×3表示3×3阶的零矩阵，利用式(3)中的第2、3个等式和式(6)，得到如下状态空间方程：
Figure BDA0002645805380000096
式中，
Figure BDA0002645805380000097
令D＝[B O6×3]和fi c(t)＝[fi b(t)T O1×3]T，其中O6×3和O1×3分别表示6×3阶和1×3阶的零矩阵，则式(7)转化为最终的误差系统模型：
Figure BDA0002645805380000098
步骤2：构建由多组模糊逻辑构成的模糊系统；
令
Figure BDA0002645805380000099
和vi(t)＝[vi1(t) vi2(t) vi3(t)]T，其中
Figure BDA00026458053800000910
表示3维向量
Figure BDA00026458053800000911
的3个分量，vi1(t)、vi2(t)、vi3(t)表示3维向量vi(t)的3个分量；定义如下变量：
Figure BDA0002645805380000101
利用模糊线性化理论，将式(9)中转化为如下模糊系统：
定义系统模糊规则αi：如果zi1(t)是
Figure BDA0002645805380000102
且zi2(t)是
Figure BDA0002645805380000103
且zi6(t)是
Figure BDA0002645805380000104
那么
Figure BDA0002645805380000105
其中，
Figure BDA0002645805380000106
表示模糊集，
Figure BDA0002645805380000107
表示模糊线性化后第αi个子系统的状态变量对应的参数矩阵，m表示模糊线性化后线性子系统的个数；
将式(11)中的m个线性子系统进行加权平均，得到模糊系统：
Figure BDA0002645805380000108
式中，
Figure BDA0002645805380000109
步骤3：针对步骤2中式(12)的模糊系统设计姿态协同跟踪控制律，得到闭环系统，并将该闭环系统进行等价转化；
采用多智能体一致性理论设计如下分布式姿态跟踪控制律：
Figure BDA00026458053800001010
式中，K表示待求的控制增益矩阵，aij表示卫星集群的相对姿态保持增益，aii表示每个卫星的姿态跟踪增益；
将式(13)中的控制律代入到式(12)中，得到如下闭环系统：
Figure BDA00026458053800001011
式中，
Figure BDA00026458053800001012
Figure BDA0002645805380000111
Figure BDA0002645805380000112
表示克罗内克乘积；
Figure BDA0002645805380000113
表示卫星集群之间的通信拓扑图对应的拉普拉斯矩阵，其表达式如下：
Figure BDA0002645805380000114
式(14)中的闭环系统结构复杂，模糊加权项隐含在系统的系数矩阵中，较难对其进行稳定性分析，因此需要进行等价转化。利用利用模糊加权项
Figure BDA0002645805380000115
的性质，即
Figure BDA0002645805380000116
且
Figure BDA0002645805380000117
将式(14)等价转化为如下闭环系统：
Figure BDA0002645805380000118
式中，
Figure BDA0002645805380000119
步骤4：利用依赖李雅普诺夫稳定性理论和线性矩阵不等式方法对步骤3中式(15)表示的等价转化之后的闭环系统进行分析，设计控制器参数，保证系统具有较好的稳定性及稳态性能；
定义系统的H∞性能如下：
若式(15)表示的闭环系统满足如下两组条件：
1)当F(t)＝0时，系统渐进稳定，即
Figure BDA00026458053800001110
2)当X(0)＝0时，不等式
Figure BDA00026458053800001111
对于任意F(t)≠0均成立，γ表示性能；
则称式(15)表示的闭环系统是满足H∞性能γ的渐进稳定系统；
针对等价转化之后的闭环系统(15)，选取如下时延依赖李雅普诺夫函数：
Figure BDA0002645805380000121
Figure BDA0002645805380000122
Figure BDA0002645805380000123
式中P和R为正定对称的实矩阵；
为了求解控制增益矩阵K，取参数c满足
Figure BDA0002645805380000124
其中
Figure BDA0002645805380000125
表示矩阵
Figure BDA0002645805380000126
的最大特征值；
利用李雅普诺夫稳定性理论，若对于任意αi∈{1,2,...,m}，均存在正定对称实矩阵
Figure BDA0002645805380000127
以及实矩阵
Figure BDA0002645805380000128
使得如下线性矩阵不等式成立：
Figure BDA0002645805380000129
式中，
Figure BDA00026458053800001210
Figure BDA00026458053800001211
Figure BDA00026458053800001212
则式(15)表示的闭环系统是满足H∞性能γ的渐进稳定系统；
使用数值仿真软件MATLAB中已有成熟的线性矩阵不等式的工具箱(LMIToolBox)，直接对不等式(19)求解，解出式(13)中的控制增益矩阵为
Figure BDA00026458053800001213
获取控制器参数，从而得到分布式姿态跟踪控制律。
具体实施例：
假设系统中有12个卫星，每个卫星均可直接获取各自的期望姿态信息，即aii＝1，i＝1,2,...,11,12。卫星之间的通信拓扑图如图2所示，拓扑图对应的拉普拉斯矩阵如下：
Figure BDA00026458053800001214
Figure BDA0002645805380000131
Figure BDA0002645805380000132
根据条件
Figure BDA0002645805380000133
可选取c＝4。
取12个卫星的惯性矩阵分别为：
Figure BDA0002645805380000134
Figure BDA0002645805380000135
则标称惯性矩阵可取为J0＝20I3。
选取卫星的期望姿态角速度为：
vi(t)＝[0.01sin(0.01t) 0.01cos(0.01t) -0.01sin(0.01t)]T，并取模糊规则的4组工作点如下：
Figure BDA0002645805380000141
模糊规则对应的隶属度函数如图3所示。
将4组工作点代入到原系统(9)中，可得到如下模糊模型：
系统模糊规则αi：如果zi1(t)是
Figure BDA0002645805380000142
且…且zi6(t)是
Figure BDA0002645805380000143
那么
Figure BDA0002645805380000144
其中，
Figure BDA0002645805380000145
Figure BDA0002645805380000146
Figure BDA0002645805380000147
Figure BDA0002645805380000151
Figure BDA0002645805380000152
取
Figure BDA0002645805380000153
ρ＝0.1及β＝5，则通过求解不等式(19)，可计算出控制律(13)中的控制增益矩阵如下：
Figure BDA0002645805380000154
根据背景技术里参考文献中设计的控制方法，给出如下非线性补偿控制律：
Figure BDA0002645805380000155
式中，k1、k2为控制增益参数；
Figure BDA0002645805380000156
表示辅助变量；sat(si(t))＝[sat(si1(t))sat(si2(t))sat(si3(t))]T表示si(t)的饱和函数；
Figure BDA0002645805380000157
其中Γ为饱和函数的边界层厚度。
定义饱和函数如下：
Figure BDA0002645805380000158
对于式(20)中给出的控制律，取k1＝0.05、k2＝0.01和Γ＝0.5。
选取12个卫星的状态初值如下：
Figure BDA0002645805380000161
Figure BDA0002645805380000162
Figure BDA0002645805380000163
Figure BDA0002645805380000164
Figure BDA0002645805380000165
Figure BDA0002645805380000166
选取期望姿态角初值为θ1(0)＝θ2(0)＝…＝θ12(0)＝[0.10.10.1]T，选取干扰输入为f1(t)＝f2(t)＝…＝f12(t)＝1×10-4[sin(0.1t)sin(0.1t)sin(0.1t)]T。再分别选取输入时延为τ(t)＝cos(0.1t)+1和τ(t)＝4cos(0.1t)+4，可得到在两种输入时延情况下，本发明设计的控制律(13)和参考文献中设计的控制律(20)作用下的卫星集群系统姿态跟踪曲线。
如图4至图7所示，通过仿真曲线可知，当输入时延τ(t)＝cos(0.1t)+1秒时，本发明设计的控制律能够保证12个卫星的实际姿态在60秒内跟踪上期望姿态；而在参考文献中设计的控制律作用下，12个卫星的实际姿态需要160秒才能够跟踪上期望姿态。当输入时延τ(t)＝4cos(0.1t)+4秒时，本发明设计的控制律能够保证12个卫星的实际姿态在100秒内跟踪上期望姿态；而参考文献中设计的控制律无法保证12个卫星的实际姿态跟踪上期望姿态。
因此，相比于参考文献中设计的控制律(20)，本发明设计的控制律(13)可保证卫星的实际姿态以更快的速度跟踪上期望姿态。此外，在较大输入时延下，参考文献中设计的控制律失效，而本发明设计的控制律仍有效。

Claims (1)

1.一种基于模糊线性化理论的卫星集群姿态跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：构建卫星集群姿态跟踪误差系统的动力学及运动学模型；
定义卫星的实际姿态动力学及运动学模型如下：
Figure FDA0002645805370000011
式中，Ji表示卫星惯性矩阵，ωi(t)表示卫星本体坐标系
Figure FDA0002645805370000012
相对于惯性坐标系
Figure FDA0002645805370000013
的姿态角速度向量，
Figure FDA0002645805370000014
表示向量ωi(t)的斜对称矩阵；ui(t)和fi(t)分别表示卫星的控制输入和干扰输入，τ(t)表示输入时延变量，且
Figure FDA0002645805370000015
和
Figure FDA0002645805370000016
其中
Figure FDA0002645805370000017
和ρ为给定的正数；qi(t)和qi0(t)分别表示卫星姿态四元数的矢量和标量部分，
Figure FDA0002645805370000018
表示矢量qi(t)的斜对称矩阵；I3表示3阶单位矩阵，i表示第i个卫星，t表示时间；
定义卫星的期望姿态运动学模型如下：
Figure FDA0002645805370000019
式中，θi(t)和θi0(t)分别表示卫星期望姿态四元数的矢量和标量部分，
Figure FDA00026458053700000110
表示矢量θi(t)的斜对称矩阵；vi(t)表示卫星期望姿态的体坐标系
Figure FDA00026458053700000111
相对于惯性坐标系
Figure FDA00026458053700000112
的姿态角速度；
由式(1)和式(2)，构建卫星实际姿态与期望姿态之间的误差模型如下：
Figure FDA00026458053700000113
式中，ei(t)＝ωi(t)-χi(t)vi(t)表示实际姿态体坐标系
Figure FDA00026458053700000114
相对于期望姿态体坐标系
Figure FDA00026458053700000115
的角速度，即姿态角速度跟踪误差；
Figure FDA00026458053700000116
表示
Figure FDA00026458053700000117
相对于
Figure FDA00026458053700000118
的状态转移矩阵；
Figure FDA00026458053700000119
表示ei(t)的斜对称矩阵；
Figure FDA00026458053700000122
和
Figure FDA00026458053700000121
分别表示卫星姿态跟踪误差四元数的矢量和标量部分，
Figure FDA00026458053700000120
表示
Figure FDA00026458053700000212
的斜对称矩阵：
Figure FDA0002645805370000021
Figure FDA0002645805370000022
令卫星的惯性矩阵Ji由标称部分J0和非标称部分
Figure FDA0002645805370000023
构成，即
Figure FDA0002645805370000024
将标称惯性矩阵J0构建为J0＝j0I3，其中j0为一个给定正数；
因此将式(3)中的第1个等式化为如下形式：
Figure FDA0002645805370000025
式中，
Figure FDA0002645805370000026
由斜对称矩阵性质，将式(4)化作如下形式：
Figure FDA0002645805370000027
式中，
Figure FDA0002645805370000028
令
Figure FDA0002645805370000029
和
Figure FDA00026458053700000210
其中O3×3表示3×3阶的零矩阵，利用式(3)中的第2、3个等式和式(6)，得到如下状态空间方程：
Figure FDA00026458053700000211
式中，
Figure FDA0002645805370000031
令D＝[B O6×3]和fi c(t)＝[fi b(t)T O1×3]T，其中O6×3和O1×3分别表示6×3阶和1×3阶的零矩阵，则式(7)转化为最终的误差系统模型：
Figure FDA0002645805370000032
步骤2：构建由多组模糊逻辑构成的模糊系统；
令
Figure FDA00026458053700000312
和vi(t)＝[vi1(t) vi2(t) vi3(t)]T，其中
Figure FDA00026458053700000313
表示3维向量
Figure FDA00026458053700000314
的3个分量，vi1(t)、vi2(t)、vi3(t)表示3维向量vi(t)的3个分量；定义如下变量：
Figure FDA0002645805370000033
利用模糊线性化理论，将式(9)转化为如下模糊系统：
定义系统模糊规则αi：如果zi1(t)是
Figure FDA0002645805370000034
且zi2(t)是
Figure FDA00026458053700000315
…且zi6(t)是
Figure FDA0002645805370000035
那么
Figure FDA0002645805370000036
其中，
Figure FDA0002645805370000037
表示模糊集，
Figure FDA0002645805370000038
表示模糊线性化后第αi个子系统的状态变量对应的参数矩阵，m表示模糊线性化后线性子系统的个数；
将式(11)中的m个线性子系统进行加权平均，得到模糊系统：
Figure FDA0002645805370000039
式中，
Figure FDA00026458053700000310
步骤3：针对步骤2中式(12)的模糊系统设计姿态协同跟踪控制律，得到闭环系统，并将该闭环系统进行等价转化；
采用多智能体一致性理论设计如下分布式姿态跟踪控制律：
Figure FDA00026458053700000311
式中，K表示待求的控制增益矩阵，aij表示卫星集群的相对姿态保持增益，aii表示每个卫星的姿态跟踪增益；
将式(13)中的控制律代入到式(12)中，得到如下闭环系统：
Figure FDA0002645805370000041
式中，
Figure FDA0002645805370000042
Figure FDA0002645805370000043
Figure FDA0002645805370000044
表示克罗内克乘积；
Figure FDA0002645805370000045
表示卫星集群之间的通信拓扑图对应的拉普拉斯矩阵，其表达式如下：
Figure FDA0002645805370000046
利用
Figure FDA0002645805370000047
且
Figure FDA0002645805370000048
将式(14)等价转化为如下闭环系统：
Figure FDA0002645805370000049
式中，
Figure FDA00026458053700000410
步骤4：利用依赖李雅普诺夫稳定性理论和线性矩阵不等式方法对步骤3中式(15)表示的等价转化之后的闭环系统进行分析，设计控制器参数；
定义系统的H∞性能如下：
若式(15)表示的闭环系统满足如下两组条件：
1)当F(t)＝0时，系统渐进稳定，即
Figure FDA0002645805370000051
2)当X(0)＝0时，不等式
Figure FDA0002645805370000052
对于任意F(t)≠0均成立，γ表示性能；
则称式(15)表示的闭环系统是满足H∞性能γ的渐进稳定系统；
选取如下时延依赖李雅普诺夫函数：
Figure FDA0002645805370000053
Figure FDA0002645805370000054
Figure FDA0002645805370000055
式中P和R为正定对称的实矩阵，β为任意正数，s和θ为积分项中的积分变量；
为了求解控制增益矩阵K，取参数c满足
Figure FDA0002645805370000056
其中
Figure FDA0002645805370000057
表示矩阵
Figure FDA0002645805370000058
的最大特征值；
利用李雅普诺夫稳定性理论，若对于任意αi∈{1,2,...,m}，均存在正定对称实矩阵
Figure FDA0002645805370000059
以及实矩阵
Figure FDA00026458053700000510
使得如下线性矩阵不等式成立：
Figure FDA00026458053700000511
式中，
Figure FDA00026458053700000512
Figure FDA00026458053700000513
Figure FDA00026458053700000514
则式(15)表示的闭环系统是满足H∞性能γ的渐进稳定系统；
求解不等式(19)，解出式(13)中的控制增益矩阵为
Figure FDA00026458053700000515
获取控制器参数，从而得到分布式姿态跟踪控制律。
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