CN112014790A - 基于因子分析的近场源定位方法 - Google Patents

基于因子分析的近场源定位方法 Download PDF

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CN112014790A CN202010880775.8A CN202010880775A CN112014790A CN 112014790 A CN112014790 A CN 112014790A CN 202010880775 A CN202010880775 A CN 202010880775A CN 112014790 A CN112014790 A CN 112014790A
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Abstract

本发明公开了一种因子分析近场源定位方法，针对传统子空间方法计算复杂、无法实时处理且在低信噪比下参数估计性能不佳的问题。神经网络方法通常将训练样本信号的协方差矩阵的上三角元素作为信号的特征来进行网路训练，在阵元数较多的大型阵列中，将信号协方差矩阵的上三角元素作为输入信号特征将导致神经网络的复杂度提高，增加网络训练时间。为此本发明方法提出了利用因子分析方法进行降维的近场源信号定位方法，使用少数几个重构的特征变量代替原来的特征变量对事物进行研究分析从而降低网络输入信号特征维数，将降维后的输入信号特征用于神经网络的训练，使得训练速度增加，算法的实时性体高，增强了本发明方法的工程应用价值。

Description

基于因子分析的近场源定位方法
技术领域
本发明属于阵列信号处理技术领域，尤其涉及一种因子分析的近场源定位方法，简化了网络结构，降低了计算量。
背景技术
波达方向估计(Direction of Arrival,简称DOA)占有很重要地位，传统DOA估计主要通过多重信号分类(Multiple Signal Classification,MUSIC)算法、旋转不变子空间(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques,ESPRIT)算法及其衍生方法进行。由于传统的到达角估计算法需要的计算量大，低信噪比下的预测性能差，对实际应用环境的估计适应性差，因此这些估计算法大都主要停留在理论和模拟仿真上，很难真正广泛地应用于实际工程中。随着现代人工智能的普及和迅猛发展，也开始出现很多通过“软建模”的方式来估计DOA的智能算法，如利用神经网络算法、支持向量回归算法、遗传算法、粒子群算法等智能算法来进行来波方向估计。由于神经网络的非线性映射和良好的泛化能力，因此可以广泛被应用在DOA估计领域。神经网络算法主要是使用采样得到的样本数据集来训练得到网络模型，再使用构建好的网络模型来准确预测待估计信号的方位。在实际工程应用中，采样得到的训练数据的样本集不仅能够把信号噪声、信号处理模型、阵列结构误差等诸多因素综合考虑进去，也不用特征分解，不再划分角度空间进行谱峰搜索，并且计算能够并行快速的进行。因子分析通过研究对事物进行描述的多个特征变量之间的相互依赖关系，寻找一种原有特征变量数据的基本结构从而对数据进行简化处理的一种技术。因子分析的基本思想是使用少数几个假想的特征变量来表示原来特征变量数据的基本结构，并使用其来代替原来的特征变量来对事物进行研究分析。这几个假想的特征变量中包含了原来较多可观测特征变量中的有效特征信息，并去除了冗余信息和噪声信息。把这几个假想的特征变量称作因子，它是潜在而不可观测的特征变量,因子分析是一种从变量的协方差结构入手，在尽可能多地保留原始信息的基础上，用少数新变量来解释原始变量的多元统计分析方法。本发明利用因子分析降低信号特征矩阵的维数，使得降维后的信号特征矩阵既包含了信号的主要特征，同时也去除了冗余噪声，减小了神经网络算法的计算量。然后把使用因子分析算法降维后的信号特征变量作为BP神经网络的输入特征进行训练，通过仿真实验表明本发明的因子分析到达角估计算法对于近场源信号参数的估计有很高的精度。
发明内容
本发明的目的是提供一种网络结构简单、性能可靠且计算时间短的基于因子分析的神经网络近场源定位方法。
为了实现上述目的，本发明采取如下的技术解决方案：
K个窄带、非高斯、独立的近场信号源入射到由M个阵元组成的接收阵列上，以坐标原点位置处的阵元为参考阵元，信号快拍数为P，根据入射信号的情况，确定训练样本的取值区间为：到达角取值区间[θb,θd]，θb为入射角度的下限，θd是入射角度的上限，距离的取值区间为[re,rf]，re为信号源距离坐标原点的最近距离，rf为信号源距离坐标原点的最远距离，在训练区间内均匀选取N组训练样本信号源位置参数
Figure BDA0002654090040000021
其中
Figure BDA0002654090040000022
是第n个样本对应的入射信号参数集合，其维数为2K×1，θn为第n个样本对应的入射角集合，它是到达角区间内的一组取值，rn为第n个样本对应的距离集合，它是到距离取值区间内的一组取值。
一种基于因子分析的近场源定位方法具体步骤如下：
步骤一、计算出N个训练样本信号的协方差矩阵RX，并分别提取出N组信号协方差矩阵的上三角元素构成原始训练样本的输入特征数据矩阵Y。
其中，RX＝[RX1，RX2，…，RXn，…，RXN]，
Figure BDA0002654090040000023
Xn(m)是阵列接收的第n组样本的第m次快拍数据，P为快拍数，(·)H表示转置复共轭运算；yn是将RXn的上三角矩阵排成的列向量，Y＝[y1，y2，…，yn，…，yN]，
Figure BDA0002654090040000031
Y为C×N维矩阵，
Figure BDA0002654090040000032
代表每个样本对应的协方差矩阵上三角元素的个数，(·)T表示转置运算。
步骤二、将原始训练样本的输入特征数据矩阵Y进行归一化得到标准原始训练样本的输入特征数据矩阵
Figure BDA0002654090040000033
计算
Figure BDA0002654090040000034
的数据相关矩阵RY，并由数据相关矩阵RY特征分解得到特征值λ1≥…≥λC≥0，及其对应的单位特征矢量为t1,t2,…,tC，C为最初特征变量的个数。
步骤三、根据实际应用需求，确定累积方差贡献率η，根据累积贡献率η确定需要提取的因子个数W，保证W个因子的累积方差贡献率不低于η，一般情况下取累积方差贡献率为85％以上时就可以认为这些因子包含原始特征变量的绝大部分信息，选取步骤二得到的前面的W个大特征值及其对应的特征矢量得到因子载荷矩阵A。
其中因子载荷矩阵
Figure BDA0002654090040000035
λw是第w个大特征值，λw的大小反映了方差贡献率的大小，方差贡献率是衡量每一个因子相对重要性的一个尺度，因此我们选择贡献大的特征矢量，也就是选择大特征值对应的特征矢量，因此此处选择了前面的W个大特征值及其对应的特征矢量得到因子载荷矩阵A，因子个数W远小于最初特征变量的个数C。
步骤四、对N组训练样本数据信号协方差矩阵的上三角元素构成的矩阵
Figure BDA0002654090040000036
进行因子分析降维，得到降维后的输入特征数据矩阵为
Figure BDA0002654090040000037
其维数为W×N。其中
Figure BDA0002654090040000038
RY -1是归一化原始训练样本的输入特征数据矩阵
Figure BDA0002654090040000039
的数据相关矩阵的逆矩阵。
步骤五、将降维后的输入特征数据矩阵
Figure BDA00026540900400000310
作用于设计好的神经网络结构输入端，进行网络模型训练。
(5a)对网络进行初始化。根据网络的输入训练数据集
Figure BDA0002654090040000041
的行数W的数值确定构建网络所需的输入神经元个数I，根据Ωn的维数确定输出层的神经元个数J，根据精度要求以及输入和输出神经元数目确定隐含层神经元个数H，初始化输入层与隐含层神经元所连接的权值
Figure BDA0002654090040000042
和隐含层与输出层神经元所连接的权值
Figure BDA0002654090040000043
初始化隐含层神经元的阈值
Figure BDA0002654090040000044
和输出层神经元的阈值
Figure BDA0002654090040000045
表示的是某个训练样本的第i个特征，
Figure BDA0002654090040000046
为第h个隐层神经元的输出，
Figure BDA0002654090040000047
表示的是第j个输出层神经元的特征。
Figure BDA0002654090040000048
是步骤四中得到的降维后的输入特征数据矩阵，Ω是训练数据对应的信号源位置参数，也就是网络模型训练中的标签或者是期望，给定学习速率ηx，设定好训练要达到的目标误差ek，给定隐层激励函数为sigmoid函数，设为f1，输出层激励函数为purelin函数，设为f2。
(5b)计算隐含层的输出b＝[b1,b2,...,bh,...bH]。其中，bh为第h个隐层神经元的输出，
Figure BDA0002654090040000049
为1×N维向量，
Figure BDA00026540900400000410
表示第h个隐层神经元的输入。
(5c)计算输出层神经元的输出。
输出层神经元使用purelin函数作为激活函数，设为f2。计算输出层神经元的输出
Figure BDA00026540900400000411
其中，
Figure BDA00026540900400000412
为第j个神经元的输出，
Figure BDA00026540900400000413
表示j个输出层神经元的输入。
(5d)计算误差。根据神经网络输出层神经元的输出
Figure BDA00026540900400000414
与期望输出y，计算出所有样本的预测均方误差的和，
Figure BDA00026540900400000415
(5e)对网络中的权值和阈值进行更新。
Figure BDA00026540900400000416
Figure BDA00026540900400000417
由Δwih＝ηxehxi，Δvhj＝ηxgjbh，Δζh＝-ηxeh，Δχj＝-ηxgj权值和阈值的变换量。ηx∈(0,1)为学习率，控制着算法每次迭代中的更新步长，
Figure BDA0002654090040000051
(5f)判断训练误差Ek是否小于网络中设定的误差ek，若比设定误差小，则停止迭代，训练完成，否则返回步骤(1)。
(5g)训练完成后从数据集中任选一组样本进行预测。
前述步骤中，K表示信号源数目，k＝1,2,...,K表示信号源的标号，m＝1,2,...,M表示阵元的标号，n＝1,2,...,N表示样本个数，J表示输出层神经元数目，j＝1,2,...,J表示输出层神经元的标号，H表示输入层神经元数目，h＝1,2,...,H表示输入层神经元的标号，I表示隐层神经元数目，i＝1,2,...,I表示隐层神经元的标号，c＝1,2,...C表示最初特征变量个数，w＝1,2,...,W表示选取的因子个数，P表示信号采样快拍数。
本发明与现有阵列结构相比较有如下优点：
本发明方法给出了一种网络结构更简单，训练时间更短的因子分析的输入特征降维方法，该方法减少了输入层和隐层神经元的数目，提高了低信噪比下的参数估计的泛化性能，提高了模型训练的速度，与传统的MUSIC参数估计方法相比本发明方法大大缩短了测试时间，为算法应用于工程实际提供了可能。
附图说明
图1为本发明的阵列结构示意图；
图2为本发明的流程图；
图3本发明方法的因子贡献率；
图4本发明方法因子累积贡献率；
图5为本发明方法与BP和GRNN算法的网络训练时间对比图；
图6为本发明和两步MUSIC算法的参数估计时间对比图；
图7为本发明算法角度估计散点图；
图8为本发明算法距离估计散点图；
图9为本发明算法与其他几种算法均方根误差比较图；
具体实施方式
为了让本发明的上述和其它目的、特征及优点能更明显，下文特举本发明实施例，并配合所附图示，做详细说明如下：
本发明的目的是提供一种网络结构简单、性能可靠且计算时间短的神经网络到达角估计算法。
参照图1为本发明阵列结构示意图，从图1可看出在近场情况下信号的定位需要角度信息和距离信息。
K个窄带、非高斯、独立的近场信号源入射到由M个阵元组成的接收阵列上，以坐标原点位置处的阵元为参考阵元，信号快拍数为P，根据入射信号的情况，确定训练样本的取值区间为：到达角取值区间[θb,θd]，θb为入射角度的下限，θd是入射角度的上限，距离的取值区间为[re,rf]，re为信号源距离坐标原点的最近距离，rf为信号源距离坐标原点的最远距离，在训练区间内均匀选取N组训练样本信号源位置参数
Figure BDA0002654090040000061
其中
Figure BDA0002654090040000062
是第n个样本对应的入射信号参数集合，其维数为2K×1，θn为第n个样本对应的入射角集合，它是到达角区间内的一组取值，rn为第n个样本对应的距离集合，它是到距离取值区间内的一组取值。
一种基于因子分析的近场源定位方法具体步骤如下：
步骤一、计算出N个训练样本信号的协方差矩阵RX，并分别提取出N组信号协方差矩阵的上三角元素构成原始训练样本的输入特征数据矩阵Y。
其中，RX＝[RX1，RX2，…，RXn，…，RXN]，
Figure BDA0002654090040000063
Xn(m)是阵列接收的第n组样本的第m次快拍数据，P为快拍数，(·)H表示转置复共轭运算；yn是将RXn的上三角矩阵排成的列向量，Y＝[y1，y2，…，yn，…，yN]，
Figure BDA0002654090040000064
Y为C×N维矩阵，
Figure BDA0002654090040000065
代表每个样本对应的协方差矩阵上三角元素的个数，(·)T表示转置运算。
步骤二、将原始训练样本的输入特征数据矩阵Y进行归一化得到标准原始训练样本的输入特征数据矩阵
Figure BDA0002654090040000071
计算
Figure BDA0002654090040000072
的数据相关矩阵RY，并由数据相关矩阵RY特征分解得到特征值λ1≥…≥λC≥0，及其对应的单位特征矢量为t1,t2,…,tC，C为最初特征变量的个数。
步骤三、根据实际应用需求，确定累积方差贡献率η，根据累积贡献率η确定需要提取的因子个数W，保证W个因子的累积方差贡献率不低于η，一般情况下取累积方差贡献率为85％以上时就可以认为这些因子包含原始特征变量的绝大部分信息，选取步骤二得到的前面的W个大特征值及其对应的特征矢量得到因子载荷矩阵A。
其中因子载荷矩阵
Figure BDA0002654090040000073
λw是第w个大特征值，λw的大小反映了方差贡献率的大小，方差贡献率是衡量每一个因子相对重要性的一个尺度，因此我们选择贡献大的特征矢量，也就是选择大特征值对应的特征矢量，因此此处选择了前面的W个大特征值及其对应的特征矢量得到因子载荷矩阵A，因子个数W远小于最初特征变量的个数C。
步骤四、对N组训练样本数据信号协方差矩阵的上三角元素构成的矩阵
Figure BDA0002654090040000074
进行因子分析降维，得到降维后的输入特征数据矩阵为
Figure BDA0002654090040000075
其维数为W×N。其中
Figure BDA0002654090040000076
RY -1是归一化原始训练样本的输入特征数据矩阵
Figure BDA0002654090040000077
的数据相关矩阵的逆矩阵。
步骤五、将降维后的输入特征数据矩阵
Figure BDA0002654090040000078
作用于设计好的神经网络结构输入端，进行网络模型训练。
(5a)对网络进行初始化。根据网络的输入训练数据集
Figure BDA0002654090040000079
的行数W的数值确定构建网络所需的输入神经元个数I，根据Ωn的维数确定输出层的神经元个数J，根据精度要求以及输入和输出神经元数目确定隐含层神经元个数H，初始化输入层与隐含层神经元所连接的权值
Figure BDA00026540900400000710
和隐含层与输出层神经元所连接的权值
Figure BDA00026540900400000711
初始化隐含层神经元的阈值
Figure BDA00026540900400000712
和输出层神经元的阈值
Figure BDA00026540900400000713
表示的是某个训练样本的第i个特征，
Figure BDA0002654090040000081
为第h个隐层神经元的输出，
Figure BDA0002654090040000082
表示的是第j个输出层神经元的特征。
Figure BDA0002654090040000083
是步骤四中得到的降维后的输入特征数据矩阵，Ω是训练数据对应的信号源位置参数，也就是网络模型训练中的标签或者是期望，给定学习速率ηx，设定好训练要达到的目标误差ek，给定隐层激励函数为sigmoid函数，设为f1，输出层激励函数为purelin函数，设为f2。
(5b)计算隐含层的输出b＝[b1,b2,...,bh,...bH]。其中，bh为第h个隐层神经元的输出，
Figure BDA0002654090040000084
为1×N维向量，
Figure BDA0002654090040000085
表示第h个隐层神经元的输入。
(5c)计算输出层神经元的输出。
输出层神经元使用purelin函数作为激活函数，设为f2。计算输出层神经元的输出
Figure BDA0002654090040000086
其中，
Figure BDA0002654090040000087
为第j个神经元的输出，
Figure BDA0002654090040000088
表示j个输出层神经元的输入。
(5d)计算误差。根据神经网络输出层神经元的输出
Figure BDA0002654090040000089
与期望输出y，计算出所有样本的预测均方误差的和，
Figure BDA00026540900400000810
(5e)对网络中的权值和阈值进行更新。
Figure BDA00026540900400000811
Figure BDA00026540900400000812
由Δwih＝ηxehxi，Δvhj＝ηxgjbh，Δζh＝-ηxeh，Δχj＝-ηxgj权值和阈值的变换量。ηx∈(0,1)为学习率，控制着算法每次迭代中的更新步长，
Figure BDA00026540900400000813
(5f)判断训练误差Ek是否小于网络中设定的误差ek，若比设定误差小，则停止迭代，训练完成，否则返回步骤(1)。
(5g)训练完成后从数据集中任选一组样本进行预测。
前述步骤中，K表示信号源数目，k＝1,2,...,K表示信号源的标号，m＝1,2,...,M表示阵元的标号，n＝1,2,...,N表示样本个数，J表示输出层神经元数目，j＝1,2,...,J表示输出层神经元的标号，H表示输入层神经元数目，h＝1,2,...,H表示输入层神经元的标号，I表示隐层神经元数目，i＝1,2,...,I表示隐层神经元的标号，c＝1,2,...C表示最初特征变量个数，w＝1,2,...,W表示选取的因子个数，P表示信号采样快拍数。
本发明的效果可以通过以下的仿真结果进一步说明：
仿真实验一：两个近场、窄带、非高斯平稳声源信号入射到图1所示的8阵元均匀线性天线阵列上，阵元间隔为d＝λmin/4，信号频率设为[fs/8,fs/5]，fs是信号的采样频率，λmin是频率为fs/8信号对应的波长，快拍数为200，噪声为高斯白噪声。训练样本数据的角度间隔Δθ＝5°，距离间隔Δr＝0.05λmin，训练角度的区间设在[-90°,+90°]，训练距离的区间设在[2.9λmin,4λmin]，为了保留原始信号数据的较多特征，本发明取因子累积贡献率为95％。样本数据为173组，将样本数据交叉取样分为两部分，一部分用于训练，另一部分用于测试。仿真结果如图3～图6所示。
图3为各因子的贡献率，可以看出前几个因子的贡献率较高，各因子贡献率从前到后依次下降。图4为因子累积贡献率，从图中可以看出前8个因子的累积贡献率就达到100％了，可以得到前几个因子起主要作用，为了提取出原始信息更多的特征，同时减少冗余噪声，因此本发明取前5个因子来作为神经网络的输入特征来进行训练。
图5为本发明算法与BP算法、GRNN算法的训练时间比较图，本发明算法的训练时间是3.5109s，BP算法的训练时间是16.518s，GRNN算法的训练时间是7.6849s。可以看出本发明算法所用的训练时间是最短的，因此本发明算法的复杂度是最低的。图6是本发明算法与两步MUSIC算法的预测所用时间图，本发明算法所用的预测时间是0.0935s，两步MUSIC算法所用的预测时间是1.3833s，使用本发明算法可以大大减少对信号到达角的估计时间。
仿真实验二：仿真条件和实验一相同，在所选数据集中取两个未经训练过的信号用实验一所训练好的网络来进行预测，信号参数为[10°,3.4λmin,15°,3.45λmin]。仿真结果如图7～图9所示。
图7为本发明算法所估计得到的近场源的角度参数的散点图，图8为本发明算法所估计得到的近场源的距离参数的散点图，从图中可以看出本发明算法估计得到的角度和距离参数与真实值能很好的吻合。图9为本发明算法与两步MUSIC算法、BP算法、GRNN算法估计的近场信号的到达角的均方根误差比较图，从图中可以看出当信噪比从-10dB变化到20dB范围内，本发明算法估计得到的均方根误差均低于其他几种算法，当信噪比大于20dB时，本发明算法和其他算法的均方根误差都很低，都对近场源DOA具有较高的估计精度。因此，本发明算法对于近场源角度和距离参数的估计具有较高的性能.
以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明做任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.一种基于因子分析的近场源定位方法，包含以下步骤：
K个窄带、非高斯、独立的近场信号源入射到由M个阵元组成的接收阵列上，以坐标原点位置处的阵元为参考阵元，信号快拍数为P，根据入射信号的情况，确定训练样本的取值区间为：到达角取值区间[θb,θd]，θb为入射角度的下限，θd是入射角度的上限，距离的取值区间为[re,rf]，re为信号源距离坐标原点的最近距离，rf为信号源距离坐标原点的最远距离，在训练区间内均匀选取N组训练样本信号源位置参数
Figure FDA0002654090030000011
其中
Figure FDA0002654090030000012
是第n个样本对应的入射信号参数集合，其维数为2K×1，θn为第n个样本对应的入射角集合，它是到达角区间内的一组取值，rn为第n个样本对应的距离集合，它是到距离取值区间内的一组取值；
一种基于因子分析的近场源定位方法具体步骤如下：
步骤一、计算出N个训练样本信号的协方差矩阵RX，并分别提取出N组信号协方差矩阵的上三角元素构成原始训练样本的输入特征数据矩阵Y；
其中，RX＝[RX1，RX2，…，RXn，…，RXN]，
Figure FDA0002654090030000013
Xn(m)是阵列接收的第n组样本的第m次快拍数据，P为快拍数，(·)H表示转置复共轭运算；yn是将RXn的上三角矩阵排成的列向量，Y＝[y1，y2，…，yn，…，yN]，
Figure FDA0002654090030000014
Y为C×N维矩阵，
Figure FDA0002654090030000015
代表每个样本对应的协方差矩阵上三角元素的个数，(·)T表示转置运算；
步骤二、将原始训练样本的输入特征数据矩阵Y进行归一化得到标准原始训练样本的输入特征数据矩阵
Figure FDA0002654090030000016
计算
Figure FDA0002654090030000017
的数据相关矩阵RY，并由数据相关矩阵RY特征分解得到特征值λ1≥…≥λC≥0，及其对应的单位特征矢量为t1,t2,…,tC，C为最初特征变量的个数；
步骤三、根据实际应用需求，确定累积方差贡献率η，根据累积贡献率η确定需要提取的因子个数W，保证W个因子的累积方差贡献率不低于η，一般情况下取累积方差贡献率为85％以上时就可以认为这些因子包含原始特征变量的绝大部分信息，选取步骤二得到的前面的W个大特征值及其对应的特征矢量得到因子载荷矩阵A；
其中因子载荷矩阵
Figure FDA0002654090030000021
λw是第w个大特征值，λw的大小反映了方差贡献率的大小，方差贡献率是衡量每一个因子相对重要性的一个尺度，因此我们选择贡献大的特征矢量，也就是选择大特征值对应的特征矢量，因此此处选择了前面的W个大特征值及其对应的特征矢量得到因子载荷矩阵A，因子个数W远小于最初特征变量的个数C；
步骤四、对N组训练样本数据信号协方差矩阵的上三角元素构成的矩阵
Figure FDA0002654090030000022
进行因子分析降维，得到降维后的输入特征数据矩阵为
Figure FDA0002654090030000023
其维数为W×N，其中
Figure FDA0002654090030000024
RY -1是归一化原始训练样本的输入特征数据矩阵
Figure FDA0002654090030000025
的数据相关矩阵的逆矩阵；
步骤五、将降维后的输入特征数据矩阵
Figure FDA0002654090030000026
作用于设计好的神经网络结构输入端，进行网络模型训练；
(5.1)对网络进行初始化；根据网络的输入训练数据集
Figure FDA0002654090030000027
的行数W的数值确定构建网络所需的输入神经元个数I，根据Ωn的维数确定输出层的神经元个数J，根据精度要求以及输入和输出神经元数目确定隐含层神经元个数H，初始化输入层与隐含层神经元所连接的权值
Figure FDA0002654090030000028
和隐含层与输出层神经元所连接的权值
Figure FDA0002654090030000029
初始化隐含层神经元的阈值
Figure FDA00026540900300000210
和输出层神经元的阈值
Figure FDA00026540900300000211
Figure FDA00026540900300000212
表示的是某个训练样本的第i个特征，
Figure FDA00026540900300000213
为第h个隐层神经元的输出，
Figure FDA00026540900300000214
表示的是第j个输出层神经元的特征，
Figure FDA0002654090030000031
是步骤四中得到的降维后的输入特征数据矩阵，Ω是训练数据对应的信号源位置参数，也就是网络模型训练中的标签或者是期望，给定学习速率ηx，设定好训练要达到的目标误差ek，给定隐层激励函数为sigmoid函数，设为f1，输出层激励函数为purelin函数，设为f2；
(5.2)计算隐含层的输出b＝[b1,b2,...,bh,...bH]，其中，bh为第h个隐层神经元的输出，
Figure FDA0002654090030000032
为1×N维向量，
Figure FDA0002654090030000033
Figure FDA0002654090030000034
表示第h个隐层神经元的输入；
(5.3)计算输出层神经元的输出；
输出层神经元使用purelin函数作为激活函数，设为f2，计算输出层神经元的输出
Figure FDA0002654090030000035
其中，
Figure FDA0002654090030000036
为第j个神经元的输出，
Figure FDA0002654090030000037
Figure FDA0002654090030000038
表示j个输出层神经元的输入；
(5.4)计算误差；根据神经网络输出层神经元的输出
Figure FDA0002654090030000039
与期望输出y，计算出所有样本的预测均方误差的和，
Figure FDA00026540900300000310
(5.5)对网络中的权值和阈值进行更新；
Figure FDA00026540900300000311
Figure FDA00026540900300000312
由Δwih＝ηxehxi，Δvhj＝ηxgjbh，Δζh＝-ηxeh，Δχj＝-ηxgj权值和阈值的变换量，ηx∈(0,1)为学习率，控制着算法每次迭代中的更新步长，
Figure FDA00026540900300000313
(5.6)判断训练误差Ek是否小于网络中设定的误差ek，若比设定误差小，则停止迭代，训练完成，否则返回步骤(5.2)；
(5.7)训练完成后从数据集中任选一组样本进行预测。
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