CN111993412A - 一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法 - Google Patents
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Abstract
本发明公开了一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法,利用鲁棒控制理论和最优控制理论,通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器,精确调整状态向量的变化,来实现二自由度机械臂的控制过程。本发明的控制方法能有效地补偿外部扰动,消除系统参数的不确定性,实现二自由度机械臂的优良运动控制。
Description
技术领域
本发明涉及机器人控制的技术领域,尤其涉及到一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法。
背景技术
机械臂是工业机器人中最常见的一种的机械装置,一般由刚性或柔性的机械手臂和多个活动关节轴组成。随着机器人在人类生活中的作用越来越重要,人们对机器人的品质要求也越来越高。但机器人是一种多输入多输出,具有高度非线性的复杂系统,由于对外部干扰等不确定因素较为敏感,机械臂的控制问题一直以来都是专家学者们的研究热点。最优控制作为现代控制方法的一员,在空间领域获得大量应用,但由于对精确数学模型的依赖,最优控制理论在机器人控制领域内难以拥有良好的控制效果。如何在发挥最优控制技术应用的同时,提高二自由度机械臂的控制效果,是本领域技术人员目前需要解决的问题。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足,提供一种能提高控制效果的二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法。
为实现上述目的,本发明所提供的技术方案为:
一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法,包括以下步骤:
S1、建立转轴关节状态向量x(t)、转轴关节跟踪误差e(t),设定二自由度机械臂转轴关节的期望参考信号r(t)、转轴关节状态向量初始值xorigin(t);
S2、建立二自由度机械臂动力学模型;
S3、通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器,调整二自由度机械臂动力学模型中的状态向量x(t),使得误差e(t)迅速减小直至消失,实现二自由度机械臂的高效控制。
进一步地,所述步骤S1具体如下:
由于二自由度机械臂的控制目标是使转轴关节快速而稳定地抵达某个人为设定好的位置,因此,需要设定转轴关节的期望参考信号它表示上述机械臂转轴关节的期望输出角度;然后再设定转轴关节状态向量(表示4维的系统状态向量)、状态向量初始值转轴关节跟踪误差具体地,e(t)=x(t)-r(t)=[e1(t)e2(t) e3(t) e4(t)]T;
其中,符号T代表向量、矩阵的转置;e1(t),e2(t),e3(t),e4(t)为e(t)中的四个元素。若在控制器的作用下,状态向量x(t)从初始值xorigin(t)开始向参考信号r(t)不断逼近,即跟踪误差e(t)逐渐减小直至消失,则二自由度机械臂达到控制目标,且控制器具有一定的控制效果。
进一步地,所述步骤S2具体包括:
对二自由度机械臂进行动力学分析,由此可得二自由度机械臂转轴关节的状态方程如下:
上式中,θ(t)为机械臂的转轴关节角度,为机械臂的转轴关节角速度,表示机械臂的惯性矩阵,代表惯性矩阵的标称部分,代表惯性矩阵中的不确定部分;表示机械臂的哥氏力矩阵,代表哥氏力矩阵的标称部分,代表哥氏力矩阵中的不确定部分。
为进一步简化计算,利用δ1~δ8对摄动矩阵ΔJ,ΔA进行约束,分别在ΔJ,ΔA的左右两边提取出两个常数矩阵,从而将约束在一个有界对角矩阵中,这个对角矩阵满足Φ(t,ξ)TΦ(t,ξ)≤I8×8,因此被约束后的摄动矩阵的数值波动范围永远在[-1,1]之间;
上述约束过程用以下公式表达:
ΔJ=EΦ(t,ξ)Fj
ΔA=EΦ(t,ξ)Fa (2)
上式中,E∈R4×8、Fj∈R8×4、Fa∈R8×4为常数矩阵:
将约束公式(2)代入状态方程(1)中可得
进一步地,所述状态向量x(t)通过控制向量u(t)进行控制,而u(t)由鲁棒控制器、标称二次型最优控制器、补偿控制器共同配合赋值,表示为:
u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)
进一步地,所述鲁棒控制器通过以下步骤设计得出:
由上可得,优化问题(4)是一个带有线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化问题,ρ1为扰动抑制度标量,为优化问题中的代求解的矩阵变量,且X1为对称矩阵;在求解优化问题(4)的过程中以求得最小的ρ1为目标,此时鲁棒控制输入u1(t)和鲁棒控制器K1的值通过最优解得到:
进一步地,所述标称二次型最优控制器通过以下步骤设计得出:
由于标称二次型最优控制器的输出依赖精确的数学模型,状态方程(1)包含不确定因素而无法直接为最优控制器所使用,因此为最优控制器构造标称状态方程,通过去除(1)中的摄动矩阵ΔA,ΔJ,获得二自由度机械臂的标称状态方程:
上式中,为标称状态向量的加权半正定矩阵,为标称控制向量的输入加权正定矩阵;对Q,S取值,存在标称最优控制向量使得性能指标J0达到最小值;因此,根据极小值原理,此时标称二次型最优控制器和u2(t)由下式给出:
K2=-S-1BTP
PA+ATP-PBS-1BTP+Q=0 (7)
对Riccati方程拆解得到的十个一阶方程进行求解,便可确定P的所有元素。
进一步地,所述补偿控制器通过以下步骤设计得出:
补偿控制输入由下式给出:
u3(t)=K3KΔΔx
Δx=x(t)-x0(t),
由于补偿控制输入u3(t)反馈于标准状态方程(3),因此将u3(t)中的x0(t)看做另一种期望输出;
为求计算简便,让K3沿用K1的参数,则补偿控制输入u3(t)和补偿控制器K3由下式给出:
u3(t)=K3KΔ[x(t)-x0(t)]
与现有技术相比,本方案原理及优点如下:
本方案利用鲁棒控制理论和最优控制理论,通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器,精确调整状态向量的变化,来实现二自由度机械臂的控制过程。
本方案的控制方法能有效地补偿外部扰动,消除系统参数的不确定性,实现二自由度机械臂的优良运动控制。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案,下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的服务作简单地介绍,显而易见地,下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例,对于本领域普通技术人员来讲,在不付出创造性劳动的前提下,还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法的原理流程图;
图2为本发明一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法采用的控制结构图;
图3为本发明一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法中鲁棒控制器的设计过程示意图;
图4为本发明一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法中标称二次型最优控制器的设计过程示意图;
图5为本发明实施例使用鲁棒最优控制方法的跟踪误差响应结果图。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明作进一步说明:
如图1所示,本实施例所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法,包括以下步骤:
S1、建立转轴关节状态向量转轴关节跟踪误差e(t)=x(t)-r(t)=[e1(t) e2(t) e3(t) e4(t)]T;再设定二自由度机械臂转轴关节的期望参考信号(表示机械臂转轴关节的期望输出角度),具体为r(t)=[0 0 0 0]T;
S2、建立二自由度机械臂动力学模型,具体过程如下:
上式中,θ(t)为机械臂的转轴关节角度,为机械臂的转轴关节角速度。表示机械臂的惯性矩阵,代表惯性矩阵的标称部分,代表惯性矩阵中的不确定部分;表示机械臂的哥氏力矩阵,代表哥氏力矩阵的标称部分,代表哥氏力矩阵中的不确定部分。
[ΔJ ΔA]=EΦ(t,ξ)[Fj Fa] (9)
其中,E∈R4×8、Fj∈R8×4、Fa∈R8×4为常数矩阵,Φ(t,ξ)满足Φ(t,ξ)TΦ(t,ξ)≤I8×8:
将约束公式(9)代入状态方程(8)中可得
S3、通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器,调整二自由度机械臂动力学模型中的状态向量u(t),使得误差e(t)迅速减小直至消失,实现二自由度机械臂的高效控制。鲁棒控制器、标称二次型最优控制器以及补偿控制器三者配合的控制结构如图2所示。
本步骤中,状态向量x(t)通过控制向量u(t)进行控制,而u(t)由鲁棒控制器、标称二次型最优控制器、补偿控制器共同配合赋值,表示为:
u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)
具体地,1)如图3所示,鲁棒控制器通过以下步骤设计得出:
minρ1
X1>0 (11)
由上可得,优化问题(11)是一个带有线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化问题。ρ1为扰动抑制度标量,为优化问题中的代求解的矩阵变量,且X1为对称矩阵。在求解优化问题(11)的过程中应以求得最小的ρ1为目标,实施例中,求解优化问题(11)后得到了ρ1=0.8350的结果,因此鲁棒控制输入u1(t)和鲁棒控制器K1的值可以通过最优解得到:
2)如图4所示,标称二次型最优控制器通过以下步骤设计得出:
由于标称二次型最优控制器的输出依赖精确的数学模型,状态方程(8)包含了不确定因素而无法直接为最优控制器所使用,因此接下来为最优控制器构造标称状态方程。去除(8)中的摄动矩阵ΔA,ΔJ,可获得二自由度机械臂的标称状态方程:
u2(t)=-K2[x0(t)-r(t)]
3)补偿控制器通过以下步骤设计得出:
由于鲁棒控制器和标称二次型最优控制器是用不同的状态方程设计的,所以输入u1(t)和u2(t)可能出现不协调的情况,影响二自由度机械臂的控制效果,为了抵消这一影响,本实施例提出了补偿控制器的设计思路。补偿控制输入由下式给出:
u3(t)=K3KΔΔx
Δx=x(t)-x0(t),
上式中,表示状态向量误差,为避免过度补偿状态向量误差的情况发生,本实施例中的补偿控制器仅仅使用Δx的前两维,即对Δx左乘调节矩阵KΔ。由图2及上式可知,补偿控制器通过协调状态方程(10)和(13)的输出趋向一致,进而间接增强输入u1(t)和u2(t)的协调性。由于补偿控制输入u3(t)反馈于二自由度机械臂的标准状态方程(10),因此可将u3(t)中的x0(t)看做另一种期望输出。
由上所述,u3(t)和K3的设计方法完全可以效仿鲁棒控制器的设计。为求计算简便,可让K3沿用K1的参数,本实施例中补偿控制输入u3(t)和补偿控制器K3由下式给出:
图5为采用本实施例鲁棒最优控制方法的跟踪误差响应结果图,从图中可以看出,通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器可以实现跟踪误差的快速收敛。
以上所述之实施例子只为本发明之较佳实施例,并非以此限制本发明的实施范围,故凡依本发明之形状、原理所作的变化,均应涵盖在本发明的保护范围内。
Claims (7)
1.一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法,其特征在于,包括以下步骤:
S1、建立转轴关节状态向量x(t)、转轴关节跟踪误差e(t),设定二自由度机械臂转轴关节的期望参考信号r(t)、转轴关节状态向量初始值xorigin(t);
S2、建立二自由度机械臂动力学模型;
S3、通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器,调整二自由度机械臂动力学模型中的状态向量x(t),使得误差e(t)迅速减小直至消失,实现二自由度机械臂的高效控制。
2.根据权利要求1所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法,其特征在于,所述步骤S2具体包括:
对二自由度机械臂进行动力学分析,由此可得二自由度机械臂转轴关节的状态方程如下:
3.根据权利要求2所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法,其特征在于,所述二自由度机械臂转轴关节的状态方程中的为与ξ、θ(t)和相关的不确定函数,但包括不确定因素在内的所有参数都是有界的,为便于状态方程的简化表达和方便运算,进行如下简化处理:
为进一步简化计算,利用δ1~δ8对摄动矩阵ΔJ,ΔA进行约束,分别在ΔJ,ΔA的左右两边提取出两个常数矩阵,从而将约束在一个有界对角矩阵中,这个对角矩阵满足Φ(t,ξ)TΦ(t,ξ)≤I8×8,因此被约束后的摄动矩阵的数值波动范围永远在[-1,1]之间;
上述约束过程用以下公式表达:
ΔJ=EΦ(t,ξ)Fj
ΔA=EΦ(t,ξ)Fa (2)
上式中,E∈R4×8、Fj∈R8×4、Fa∈R8×4为常数矩阵:
将约束公式(2)代入状态方程(1)中可得
6.根据权利要求5所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法,其特征在于,所述标称二次型最优控制器通过以下步骤设计得出:
由于标称二次型最优控制器的输出依赖精确的数学模型,状态方程(1)包含不确定因素而无法直接为最优控制器所使用,因此为最优控制器构造标称状态方程,通过去除(1)中的摄动矩阵ΔA,ΔJ,获得二自由度机械臂的标称状态方程:
上式中,为标称状态向量的加权半正定矩阵,为标称控制向量的输入加权正定矩阵;对Q,S取值,存在标称最优控制向量使得性能指标J0达到最小值;根据极小值原理,此时标称二次型最优控制器和u2(t)由下式给出:
K2=-S-1BTP
PA+ATP-PBS-1BTP+Q=0 (7)
对Riccati方程拆解得到的十个一阶方程进行求解,便可确定P的所有元素。
7.根据权利要求6所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法,其特征在于,所述补偿控制器通过以下步骤设计得出:
补偿控制输入由下式给出:
u3(t)=K3KΔΔx
Δx=x(t)-x0(t),
由于补偿控制输入u3(t)反馈于标准状态方程(3),因此将u3(t)中的x0(t)看做另一种期望输出;
为求计算简便,让K3沿用K1的参数,则补偿控制输入u3(t)和补偿控制器K3由下式给出:
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