CN111993412A - 一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法 - Google Patents

一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，利用鲁棒控制理论和最优控制理论，通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器，精确调整状态向量的变化，来实现二自由度机械臂的控制过程。本发明的控制方法能有效地补偿外部扰动，消除系统参数的不确定性，实现二自由度机械臂的优良运动控制。

Description

一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法
技术领域
本发明涉及机器人控制的技术领域，尤其涉及到一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法。
背景技术
机械臂是工业机器人中最常见的一种的机械装置，一般由刚性或柔性的机械手臂和多个活动关节轴组成。随着机器人在人类生活中的作用越来越重要，人们对机器人的品质要求也越来越高。但机器人是一种多输入多输出，具有高度非线性的复杂系统，由于对外部干扰等不确定因素较为敏感，机械臂的控制问题一直以来都是专家学者们的研究热点。最优控制作为现代控制方法的一员，在空间领域获得大量应用，但由于对精确数学模型的依赖，最优控制理论在机器人控制领域内难以拥有良好的控制效果。如何在发挥最优控制技术应用的同时，提高二自由度机械臂的控制效果，是本领域技术人员目前需要解决的问题。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种能提高控制效果的二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法。
为实现上述目的，本发明所提供的技术方案为：
一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，包括以下步骤：
S1、建立转轴关节状态向量x(t)、转轴关节跟踪误差e(t)，设定二自由度机械臂转轴关节的期望参考信号r(t)、转轴关节状态向量初始值xorigin(t)；
S2、建立二自由度机械臂动力学模型；
S3、通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器，调整二自由度机械臂动力学模型中的状态向量x(t)，使得误差e(t)迅速减小直至消失，实现二自由度机械臂的高效控制。
进一步地，所述步骤S1具体如下：
由于二自由度机械臂的控制目标是使转轴关节快速而稳定地抵达某个人为设定好的位置，因此，需要设定转轴关节的期望参考信号
Figure BDA0002594695060000021
它表示上述机械臂转轴关节的期望输出角度；然后再设定转轴关节状态向量
Figure BDA0002594695060000022
(表示4维的系统状态向量)、状态向量初始值
Figure BDA0002594695060000023
转轴关节跟踪误差
Figure BDA0002594695060000024
具体地，e(t)＝x(t)-r(t)＝[e1(t)e2(t) e3(t) e4(t)]T；
其中，符号T代表向量、矩阵的转置；e1(t),e2(t),e3(t),e4(t)为e(t)中的四个元素。若在控制器的作用下，状态向量x(t)从初始值xorigin(t)开始向参考信号r(t)不断逼近，即跟踪误差e(t)逐渐减小直至消失，则二自由度机械臂达到控制目标，且控制器具有一定的控制效果。
进一步地，所述步骤S2具体包括：
对二自由度机械臂进行动力学分析，由此可得二自由度机械臂转轴关节的状态方程如下：
Figure BDA0002594695060000025
其中，
Figure BDA0002594695060000026
表示四维的转轴关节状态向量，
Figure BDA0002594695060000027
为二维的转轴关节控制向量，
Figure BDA0002594695060000028
为四维系统输出向量，I表示4×4维的单位矩阵，
Figure BDA0002594695060000029
为转轴关节的常数矩阵，表示为：
Figure BDA00025946950600000210
Figure BDA00025946950600000211
表示上述机械臂的摄动矩阵，
Figure BDA00025946950600000212
为包含不确定性参数ξ的不确定性矩阵，如下所示：
Figure BDA0002594695060000031
Figure BDA0002594695060000032
Figure BDA0002594695060000033
Figure BDA0002594695060000034
上式中，θ(t)为机械臂的转轴关节角度，
Figure BDA0002594695060000035
为机械臂的转轴关节角速度，
Figure BDA0002594695060000036
表示机械臂的惯性矩阵，
Figure BDA0002594695060000037
代表惯性矩阵的标称部分，
Figure BDA0002594695060000038
代表惯性矩阵中的不确定部分；
Figure BDA0002594695060000039
表示机械臂的哥氏力矩阵，
Figure BDA00025946950600000310
代表哥氏力矩阵的标称部分，
Figure BDA00025946950600000311
代表哥氏力矩阵中的不确定部分。
进一步地，所述二自由度机械臂转轴关节的状态方程中的
Figure BDA00025946950600000312
为与ξ、θ(t)和
Figure BDA00025946950600000313
相关的不确定函数，但包括不确定因素在内的所有参数都是有界的，为便于状态方程的简化表达和方便运算，进行如下简化处理：
对
Figure BDA00025946950600000314
使用内点法，通过求解以下优化问题：
Figure BDA00025946950600000315
Figure BDA00025946950600000316
得到
Figure BDA00025946950600000317
的上界δ1～δ8，即
Figure BDA00025946950600000318
上式中，ξmin,ξmax分别为ξ的最小值和最大值，θmin,θmax分别为θ(t)的最小值和最大值，
Figure BDA00025946950600000319
分别为
Figure BDA00025946950600000320
的最小值和最大值；
为进一步简化计算，利用δ1～δ8对摄动矩阵ΔJ,ΔA进行约束，分别在ΔJ,ΔA的左右两边提取出两个常数矩阵，从而将
Figure BDA00025946950600000321
约束在一个有界对角矩阵
Figure BDA00025946950600000322
中，这个对角矩阵满足Φ(t,ξ)TΦ(t,ξ)≤I8×8，因此被约束后的摄动矩阵的数值波动范围永远在[-1,1]之间；
上述约束过程用以下公式表达：
ΔJ＝EΦ(t,ξ)Fj
ΔA＝EΦ(t,ξ)Fa (2)
上式中，E∈R4×8、Fj∈R8×4、Fa∈R8×4为常数矩阵：
Figure BDA0002594695060000041
Figure BDA0002594695060000042
将约束公式(2)代入状态方程(1)中可得
Figure BDA0002594695060000043
为简化右半部分的公式表达，定义辅助状态向量
Figure BDA0002594695060000044
和辅助向量
Figure BDA0002594695060000045
代入得到二自由度机械臂简化后的标准状态方程：
Figure BDA0002594695060000046
进一步地，所述状态向量x(t)通过控制向量u(t)进行控制，而u(t)由鲁棒控制器、标称二次型最优控制器、补偿控制器共同配合赋值，表示为：
u(t)＝u1(t)+u2(t)+u3(t)
其中，
Figure BDA0002594695060000047
为鲁棒控制输入，
Figure BDA0002594695060000048
为标称二次型最优控制输入，
Figure BDA0002594695060000051
为补偿控制输入。
进一步地，所述鲁棒控制器通过以下步骤设计得出：
求解标准状态方程(3)对应的鲁棒控制器
Figure BDA0002594695060000052
等价于求解标准状态方程(3)所对应的以下优化问题：
Figure BDA0002594695060000053
由上可得，优化问题(4)是一个带有线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化问题，ρ1为扰动抑制度标量，
Figure BDA0002594695060000054
为优化问题中的代求解的矩阵变量，且X1为对称矩阵；在求解优化问题(4)的过程中以求得最小的ρ1为目标，此时鲁棒控制输入u1(t)和鲁棒控制器K1的值通过最优解
Figure BDA0002594695060000055
得到：
Figure BDA0002594695060000056
Figure BDA0002594695060000057
进一步地，所述标称二次型最优控制器通过以下步骤设计得出：
由于标称二次型最优控制器的输出依赖精确的数学模型，状态方程(1)包含不确定因素而无法直接为最优控制器所使用，因此为最优控制器构造标称状态方程，通过去除(1)中的摄动矩阵ΔA,ΔJ，获得二自由度机械臂的标称状态方程：
Figure BDA0002594695060000058
上式中，
Figure BDA0002594695060000059
表示四维的标称状态向量，对应标称二自由度机械臂的转轴关节状态向量，
Figure BDA00025946950600000510
为二维的标称控制向量，
Figure BDA00025946950600000511
为四维标称输出向量，标称状态方程对应的性能指标泛函为：
Figure BDA00025946950600000512
上式中，
Figure BDA0002594695060000061
为标称状态向量的加权半正定矩阵，
Figure BDA0002594695060000062
为标称控制向量的输入加权正定矩阵；对Q,S取值，存在标称最优控制向量
Figure BDA0002594695060000063
使得性能指标J0达到最小值；因此，根据极小值原理，此时标称二次型最优控制器
Figure BDA0002594695060000064
和u2(t)由下式给出：
Figure BDA0002594695060000065
K2＝-S-1BTP
上式中，
Figure BDA0002594695060000066
为以下矩阵微分方程的正定解，P为对称矩阵：
PA+ATP-PBS-1BTP+Q＝0 (7)
对Riccati方程拆解得到的十个一阶方程进行求解，便可确定P的所有元素。
进一步地，所述补偿控制器通过以下步骤设计得出：
补偿控制输入由下式给出：
u3(t)＝K3KΔΔx
Δx＝x(t)-x0(t),
Figure BDA0002594695060000067
上式中，
Figure BDA0002594695060000068
表示状态向量误差，为避免过度补偿状态向量误差的情况发生，仅使用Δx的前两维，即对Δx左乘调节矩阵KΔ；
补偿控制器
Figure BDA0002594695060000069
通过协调系统(3)和(6)的输出趋向一致，进而间接增强输入u1(t)和u2(t)的协调性；
由于补偿控制输入u3(t)反馈于标准状态方程(3)，因此将u3(t)中的x0(t)看做另一种期望输出；
为求计算简便，让K3沿用K1的参数，则补偿控制输入u3(t)和补偿控制器K3由下式给出：
u3(t)＝K3KΔ[x(t)-x0(t)]
Figure BDA00025946950600000610
与现有技术相比，本方案原理及优点如下：
本方案利用鲁棒控制理论和最优控制理论，通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器，精确调整状态向量的变化，来实现二自由度机械臂的控制过程。
本方案的控制方法能有效地补偿外部扰动，消除系统参数的不确定性，实现二自由度机械臂的优良运动控制。
附图说明
为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的服务作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。
图1为本发明一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法的原理流程图；
图2为本发明一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法采用的控制结构图；
图3为本发明一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法中鲁棒控制器的设计过程示意图；
图4为本发明一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法中标称二次型最优控制器的设计过程示意图；
图5为本发明实施例使用鲁棒最优控制方法的跟踪误差响应结果图。
具体实施方式
下面结合具体实施例对本发明作进一步说明：
如图1所示，本实施例所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，包括以下步骤：
S1、建立转轴关节状态向量
Figure BDA0002594695060000071
转轴关节跟踪误差e(t)＝x(t)-r(t)＝[e1(t) e2(t) e3(t) e4(t)]T；再设定二自由度机械臂转轴关节的期望参考信号
Figure BDA0002594695060000072
(表示机械臂转轴关节的期望输出角度)，具体为r(t)＝[0 0 0 0]T；
以及设定状态向量初始值
Figure BDA0002594695060000081
S2、建立二自由度机械臂动力学模型，具体过程如下：
Figure BDA0002594695060000082
上式中，
Figure BDA0002594695060000083
表示四维的转轴关节状态向量，
Figure BDA0002594695060000084
为二维的转轴关节控制向量，
Figure BDA0002594695060000085
为四维系统输出向量，I表示4×4维的单位矩阵，
Figure BDA0002594695060000086
为转轴关节的常数矩阵，表示为：
Figure BDA0002594695060000087
Figure BDA0002594695060000088
表示机械臂的摄动矩阵，
Figure BDA0002594695060000089
为包含不确定性参数ξ的不确定性矩阵，如下所示：
Figure BDA00025946950600000810
Figure BDA00025946950600000811
Figure BDA00025946950600000812
Figure BDA00025946950600000813
上式中，θ(t)为机械臂的转轴关节角度，
Figure BDA00025946950600000814
为机械臂的转轴关节角速度。
Figure BDA00025946950600000815
表示机械臂的惯性矩阵，
Figure BDA00025946950600000816
代表惯性矩阵的标称部分，
Figure BDA00025946950600000817
代表惯性矩阵中的不确定部分；
Figure BDA00025946950600000818
表示机械臂的哥氏力矩阵，
Figure BDA00025946950600000819
代表哥氏力矩阵的标称部分，
Figure BDA00025946950600000820
代表哥氏力矩阵中的不确定部分。
由上述可知，
Figure BDA00025946950600000821
为与ξ、θ(t)和
Figure BDA00025946950600000822
相关的不确定函数。
Figure BDA00025946950600000823
虽然具有不确定因素，但包括不确定因素在内的所有参数都是有界的。为了简化表达和方便运算，对
Figure BDA00025946950600000824
使用内点法，通过求解以下优化问题：
Figure BDA0002594695060000091
Figure BDA0002594695060000092
得到
Figure BDA0002594695060000093
的上界δ1～δ8，即
Figure BDA0002594695060000094
本实例中，上界的取值如表1所示。其中，ξmin,ξmax分别为ξ的最小值和最大值，θmin,θmax分别为θ(t)的最小值和最大值，
Figure BDA0002594695060000095
分别为
Figure BDA0002594695060000096
的最小值和最大值。
Figure BDA0002594695060000097
为了进一步简化计算，接着利用δ1～δ8对摄动矩阵ΔJ,ΔA进行约束，将
Figure BDA0002594695060000098
约束在有界对角矩阵
Figure BDA0002594695060000099
中，约束公式如下所示：
[ΔJ ΔA]＝EΦ(t,ξ)[Fj Fa] (9)
其中，E∈R4×8、Fj∈R8×4、Fa∈R8×4为常数矩阵，Φ(t,ξ)满足Φ(t,ξ)TΦ(t,ξ)≤I8×8：
Figure BDA0002594695060000101
Figure BDA0002594695060000102
将约束公式(9)代入状态方程(8)中可得
Figure BDA0002594695060000103
为简化右半部分的公式表达，定义辅助状态向量
Figure BDA0002594695060000104
和辅助向量
Figure BDA0002594695060000105
代入得到二自由度机械臂简化后的标准状态方程：
Figure BDA0002594695060000106
S3、通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器，调整二自由度机械臂动力学模型中的状态向量u(t)，使得误差e(t)迅速减小直至消失，实现二自由度机械臂的高效控制。鲁棒控制器、标称二次型最优控制器以及补偿控制器三者配合的控制结构如图2所示。
本步骤中，状态向量x(t)通过控制向量u(t)进行控制，而u(t)由鲁棒控制器、标称二次型最优控制器、补偿控制器共同配合赋值，表示为：
u(t)＝u1(t)+u2(t)+u3(t)
其中，
Figure BDA0002594695060000107
为鲁棒控制输入，
Figure BDA0002594695060000108
为标称二次型最优控制输入，
Figure BDA0002594695060000109
为补偿控制输入。
具体地，1)如图3所示，鲁棒控制器通过以下步骤设计得出：
根据有界实引理，求解标准状态方程(10)对应的鲁棒控制器
Figure BDA0002594695060000111
等价于求解标准状态方程(10)所对应的以下优化问题：
minρ1
Figure BDA0002594695060000112
X1＞0 (11)
由上可得，优化问题(11)是一个带有线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化问题。ρ1为扰动抑制度标量，
Figure BDA0002594695060000113
为优化问题中的代求解的矩阵变量，且X1为对称矩阵。在求解优化问题(11)的过程中应以求得最小的ρ1为目标，实施例中，求解优化问题(11)后得到了ρ1＝0.8350的结果，因此鲁棒控制输入u1(t)和鲁棒控制器K1的值可以通过最优解
Figure BDA0002594695060000114
得到：
Figure BDA0002594695060000115
Figure BDA0002594695060000116
2)如图4所示，标称二次型最优控制器通过以下步骤设计得出：
由于标称二次型最优控制器的输出依赖精确的数学模型，状态方程(8)包含了不确定因素而无法直接为最优控制器所使用，因此接下来为最优控制器构造标称状态方程。去除(8)中的摄动矩阵ΔA,ΔJ，可获得二自由度机械臂的标称状态方程：
Figure BDA0002594695060000117
上式中，A,B均为转轴关节的常数矩阵，
Figure BDA0002594695060000118
表示四维的标称状态向量，对应标称二自由度机械臂的转轴关节状态向量，
Figure BDA0002594695060000119
为二维的标称控制向量，
Figure BDA00025946950600001110
为四维标称输出向量，相应地，标称状态方程对应的性能指标函数为
Figure BDA0002594695060000121
上式中，
Figure BDA0002594695060000122
为标称状态向量的加权半正定矩阵，
Figure BDA0002594695060000123
为标称控制向量的输入加权正定矩阵。在本实施例中，Q,S的取值如下：
Figure BDA0002594695060000124
此时标称二次型最优控制器
Figure BDA0002594695060000125
和u2(t)由下式给出：
u2(t)＝-K2[x0(t)-r(t)]
Figure BDA0002594695060000126
3)补偿控制器通过以下步骤设计得出：
由于鲁棒控制器和标称二次型最优控制器是用不同的状态方程设计的，所以输入u1(t)和u2(t)可能出现不协调的情况，影响二自由度机械臂的控制效果，为了抵消这一影响，本实施例提出了补偿控制器的设计思路。补偿控制输入由下式给出：
u3(t)＝K3KΔΔx
Δx＝x(t)-x0(t),
Figure BDA0002594695060000127
上式中，
Figure BDA0002594695060000128
表示状态向量误差，为避免过度补偿状态向量误差的情况发生，本实施例中的补偿控制器仅仅使用Δx的前两维，即对Δx左乘调节矩阵KΔ。由图2及上式可知，补偿控制器
Figure BDA0002594695060000129
通过协调状态方程(10)和(13)的输出趋向一致，进而间接增强输入u1(t)和u2(t)的协调性。由于补偿控制输入u3(t)反馈于二自由度机械臂的标准状态方程(10)，因此可将u3(t)中的x0(t)看做另一种期望输出。
由上所述，u3(t)和K3的设计方法完全可以效仿鲁棒控制器的设计。为求计算简便，可让K3沿用K1的参数，本实施例中补偿控制输入u3(t)和补偿控制器K3由下式给出：
Figure BDA0002594695060000131
Figure BDA0002594695060000132
图5为采用本实施例鲁棒最优控制方法的跟踪误差响应结果图，从图中可以看出，通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器可以实现跟踪误差的快速收敛。
以上所述之实施例子只为本发明之较佳实施例，并非以此限制本发明的实施范围，故凡依本发明之形状、原理所作的变化，均应涵盖在本发明的保护范围内。

Claims (7)

1.一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
S1、建立转轴关节状态向量x(t)、转轴关节跟踪误差e(t)，设定二自由度机械臂转轴关节的期望参考信号r(t)、转轴关节状态向量初始值xorigin(t)；
S2、建立二自由度机械臂动力学模型；
S3、通过补偿控制器协调鲁棒控制器和标称二次型最优控制器，调整二自由度机械臂动力学模型中的状态向量x(t)，使得误差e(t)迅速减小直至消失，实现二自由度机械臂的高效控制。
2.根据权利要求1所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，其特征在于，所述步骤S2具体包括：
对二自由度机械臂进行动力学分析，由此可得二自由度机械臂转轴关节的状态方程如下：
Figure FDA0002594695050000011
其中，
Figure FDA0002594695050000012
表示四维的转轴关节状态向量，
Figure FDA0002594695050000013
为二维的转轴关节控制向量，
Figure FDA0002594695050000014
为四维系统输出向量，I表示4×4维的单位矩阵，
Figure FDA0002594695050000015
为转轴关节的常数矩阵，表示为：
Figure FDA0002594695050000016
Figure FDA0002594695050000017
表示机械臂的摄动矩阵，
Figure FDA0002594695050000018
为包含不确定性参数ξ的不确定性矩阵，如下所示：
Figure FDA0002594695050000019
Figure FDA00025946950500000110
Figure FDA0002594695050000021
Figure FDA0002594695050000022
上式中，θ(t)为机械臂的转轴关节角度，
Figure FDA0002594695050000023
为机械臂的转轴关节角速度，
Figure FDA0002594695050000024
表示机械臂的惯性矩阵，
Figure FDA0002594695050000025
代表惯性矩阵的标称部分，
Figure FDA0002594695050000026
代表惯性矩阵中的不确定部分；
Figure FDA0002594695050000027
表示机械臂的哥氏力矩阵，
Figure FDA0002594695050000028
代表哥氏力矩阵的标称部分，
Figure FDA0002594695050000029
代表哥氏力矩阵中的不确定部分。
3.根据权利要求2所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，其特征在于，所述二自由度机械臂转轴关节的状态方程中的
Figure FDA00025946950500000210
为与ξ、θ(t)和
Figure FDA00025946950500000211
相关的不确定函数，但包括不确定因素在内的所有参数都是有界的，为便于状态方程的简化表达和方便运算，进行如下简化处理：
对
Figure FDA00025946950500000212
使用内点法，通过求解以下优化问题：
Figure FDA00025946950500000213
s.t.θmin≤θ(t)≤θmax,
Figure FDA00025946950500000214
ξmin≤ξ≤ξmax
得到
Figure FDA00025946950500000215
的上界δ1～δ8，即
Figure FDA00025946950500000216
上式中，ξmin,ξmax分别为ξ的最小值和最大值，θmin,θmax分别为θ(t)的最小值和最大值，
Figure FDA00025946950500000217
分别为
Figure FDA00025946950500000218
的最小值和最大值；
为进一步简化计算，利用δ1～δ8对摄动矩阵ΔJ,ΔA进行约束，分别在ΔJ,ΔA的左右两边提取出两个常数矩阵，从而将
Figure FDA00025946950500000219
约束在一个有界对角矩阵
Figure FDA00025946950500000220
中，这个对角矩阵满足Φ(t,ξ)TΦ(t,ξ)≤I8×8，因此被约束后的摄动矩阵的数值波动范围永远在[-1,1]之间；
上述约束过程用以下公式表达：
ΔJ＝EΦ(t,ξ)Fj
ΔA＝EΦ(t,ξ)Fa (2)
上式中，E∈R4×8、Fj∈R8×4、Fa∈R8×4为常数矩阵：
Figure FDA0002594695050000031
Figure FDA0002594695050000032
将约束公式(2)代入状态方程(1)中可得
Figure FDA0002594695050000033
为简化右半部分的公式表达，定义辅助状态向量
Figure FDA0002594695050000034
和辅助向量
Figure FDA0002594695050000035
代入得到二自由度机械臂简化后的标准状态方程：
Figure FDA0002594695050000036
4.根据权利要求3所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，其特征在于，所述状态向量x(t)通过控制向量u(t)进行控制，而u(t)由鲁棒控制器、标称二次型最优控制器、补偿控制器共同配合赋值，表示为：
u(t)＝u1(t)+u2(t)+u3(t)
其中，
Figure FDA0002594695050000037
为鲁棒控制输入，
Figure FDA0002594695050000038
为标称二次型最优控制输入，
Figure FDA0002594695050000041
为补偿控制输入。
5.根据权利要求4所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，其特征在于，所述鲁棒控制器通过以下步骤设计得出：
根据有界实引理，求解标准状态方程(3)对应的鲁棒控制器
Figure FDA0002594695050000042
等价于求解标准状态方程(3)所对应的以下优化问题：
minρ1
Figure FDA0002594695050000043
X1＞0 (4)
由上可得，优化问题(4)是一个带有线性矩阵不等式约束和线性目标函数的凸优化问题，ρ1为扰动抑制度标量，
Figure FDA0002594695050000044
为优化问题中的代求解的矩阵变量，且X1为对称矩阵；在求解优化问题(4)的过程中以求得最小的ρ1为目标，此时鲁棒控制输入u1(t)和鲁棒控制器K1的值通过最优解
Figure FDA0002594695050000045
得到：
Figure FDA0002594695050000046
Figure FDA0002594695050000047
6.根据权利要求5所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，其特征在于，所述标称二次型最优控制器通过以下步骤设计得出：
由于标称二次型最优控制器的输出依赖精确的数学模型，状态方程(1)包含不确定因素而无法直接为最优控制器所使用，因此为最优控制器构造标称状态方程，通过去除(1)中的摄动矩阵ΔA,ΔJ，获得二自由度机械臂的标称状态方程：
Figure FDA0002594695050000048
上式中，
Figure FDA0002594695050000049
表示四维的标称状态向量，对应标称二自由度机械臂的转轴关节状态向量，
Figure FDA00025946950500000410
为二维的标称控制向量，
Figure FDA00025946950500000411
为四维标称输出向量，标称状态方程对应的性能指标泛函为：
Figure FDA0002594695050000051
上式中，
Figure FDA0002594695050000052
为标称状态向量的加权半正定矩阵，
Figure FDA0002594695050000053
为标称控制向量的输入加权正定矩阵；对Q,S取值，存在标称最优控制向量
Figure FDA0002594695050000054
使得性能指标J0达到最小值；根据极小值原理，此时标称二次型最优控制器
Figure FDA0002594695050000055
和u2(t)由下式给出：
Figure FDA0002594695050000056
K2＝-S-1BTP
上式中，
Figure FDA0002594695050000057
为以下矩阵微分方程的正定解，P为对称矩阵：
PA+ATP-PBS-1BTP+Q＝0 (7)
对Riccati方程拆解得到的十个一阶方程进行求解，便可确定P的所有元素。
7.根据权利要求6所述的一种二自由度机械臂的鲁棒最优控制方法，其特征在于，所述补偿控制器通过以下步骤设计得出：
补偿控制输入由下式给出：
u3(t)＝K3KΔΔx
Δx＝x(t)-x0(t),
Figure FDA0002594695050000058
上式中，
Figure FDA0002594695050000059
表示状态向量误差，为避免过度补偿状态向量误差的情况发生，仅使用Δx的前两维，即对Δx左乘调节矩阵KΔ；
补偿控制器
Figure FDA00025946950500000510
通过协调状态方程(3)和(6)的输出趋向一致，进而间接增强输入u1(t)和u2(t)的协调性；
由于补偿控制输入u3(t)反馈于标准状态方程(3)，因此将u3(t)中的x0(t)看做另一种期望输出；
为求计算简便，让K3沿用K1的参数，则补偿控制输入u3(t)和补偿控制器K3由下式给出：
u3(t)＝K3KΔ[x(t)-x0(t)]
Figure FDA0002594695050000061
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