CN116330297A - 一种柔性机械臂关节系统的自适应控制器、模块及机器人 - Google Patents

Abstract

本发明本发明属于机器人技术领域，具体涉及一种柔性机械臂关节系统的自适应控制器、模块及机器人。本发明改进了机器人柔性关节的简化模型，并引入了虚拟控制和泄露型自适应法则。该设计得到的自适应控制器分别包括用于在理想状态下，根据约束方程对柔性机械臂关节系统的运动规划进行受限控制的约束控制器；用于处理柔性机械臂关节系统中初始条件不兼容的问题的兼容性稳定控制器；用于抵消负载端不确定性的影响的负载端自适应控制器；用于抵消电机端不确定性的影响的电机端自适应控制器；自适应控制器用于通过虚拟控制部分和实际控制部分对机器人进行融合控制，进而克服传统控制器的精度和稳定性问题，并增强控制器对阻尼场景的适应性。

Description

一种柔性机械臂关节系统的自适应控制器、模块及机器人

技术领域

本发明属于机器人技术领域，具体涉及一种柔性机械臂关节系统的自适应控制器、模块及机器人。

背景技术

机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器。机器人具有感知、决策、执行等基本特征，可以辅助甚至替代人类完成危险、繁重、复杂的工作，提高工作效率与质量，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范围。随着技术的不断进步，机器人已经在外科医疗手术、自动工业产线等领域广泛应用。并且随着机器人的小型化和轻量化，人工外骨骼、家居服务机器人、办公协作机器人等新型机器人也在逐渐变得热门起来。机器人能够执行复杂运动主要依赖关节的灵活性，机器人关节是一种典型的柔性传动系统(FTS)，该系统包括电机端和负载端两个主要部分。

在所有包含关节的机器人中，FTS在运动过程中都会产生较大的振动，这对运动精度有很大的影响。虽然阻尼会增加电机的额外负载，并影响机械手的响应速度。但是，为了减少机械手运动产生的振动，提高加工进度，许多柔性机械手仍将配备阻尼。因此，在控制器的设计中，柔性部件不能简单地视为一个弹簧结构，应充分考虑阻尼对柔性系统的影响。FTS的存在使得联动机构的负载端控制非常困难，如何研究一种有效的控制方法是当今柔性操纵器的主要方向之一。

对于柔性机械臂，目前已有学者研究了数类控制方法；包括柔性补偿技术、奇异摄动法、PID控制，反馈神经网络控制等。但是这一系列传统控制方法仍存在一些缺陷，例如，PID控制无法应对非线性扰动下的振动，奇异摄动法不合适弹性系数较小的情况，反馈神经网络控制的设计过程复杂，计算量较大等。此外，目前对于柔性机械臂的控制器设计多是基于多连杆机构，随着“刚-柔机械臂”的发展，单连杆或单关节的机械臂设计开始普及。同时，在过去人们通常会将柔性部分简化为一个弹簧系统，但是随着谐波减速器在机器人设计中的普遍运用，这种传统的简化模型可能已经不再适用。同时，为了减少工作时的振动，提高加工精度，还应该考虑系统阻尼的影响，这导致最终的柔性机械臂的动力学模型变得更加复杂和精细；而这同样也会给机器人关节系统的控制带来难度。因此，如何设计出可以对引入系统阻尼和外加负载后的关节系统发挥更好的控制能力的控制器，提高机器人的稳定性、安全性和控制精度，正成为本领域技术人员亟需解决的技术难题。

发明内容

为了解决现有单关节双质量柔性机械臂的复杂度高，控制难度大，传统控制方法无法有效应用包含系统阻尼和多样化负载等复杂场景的问题；本发明提供一种柔性机械臂关节系统的自适应控制器、模块及机器人。

本发明采用以下技术方案实现：

一种柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其应用于包含单关节或多关节的柔性机械臂关节系统中，用于实现关节系统的约束跟踪。该自适应鲁棒控制器的设计方法如下：

S1：将柔性关节分解为电机端和负载端两个部分，考虑柔性关节对应的柔性传动系统中阻尼和外加载荷的影响，构建单柔性关节双质量系统，并将其分解为对应的电机端动力学模型和负载端动力学模型。

S2：根据柔性关节所受的约束矩阵得到动力学模型对应的约束力，并建立相应的约束方程。

S3：将约束方程转换成二阶微分形式，并通过U-K理论处理系统阻尼将其以约束的形式进行描述，进而生成一个用于在考虑阻尼的条件下实现柔性关节轨迹跟踪的约束控制器p₁₁。

S4：在负载端动力学模型中引入一个待设计的虚拟控制量τ，得到一个改进的负载端动力学模型。

S5：基于改进的负载端动力学模型，根据柔性关节的运动轨迹与预定轨迹间的初始偏移量，设计满足要求的兼容性稳定控制器p₁₂。

S6：通过泄露型自适应法则评估改进的负载端动力学模型中不确定性的边界大小，并基于自调节泄漏的自适应律生成一个对应的负载端自适应控制器p₁₃。

S7：将虚拟控制量τ引入到电机端动力学模型并对其进行改写，得到实际控制的电机端模型。

S8：通过泄露型自适应法则评估实际控制的电机端模型中不确定性的边界大小，并基于自调节泄漏的自适应律生成一个对应的电机端自适应控制器p₂。

S9：对柔性传动系统中包含不确定性的参数进行分解，得到各参数对应的初值以及不确定部分；将各参数的初值作为理想控制参数。

S10：结合约束控制器p₁₁、兼容性稳定控制器p₁₂和负载端自适应控制器p₁₃得到所需的虚拟控制量τ；

上式中，q₁表示负载端关节角的广义坐标，q₁＝[q₁₁ q₁₂…q_1n]^T；t∈R代表时间。

S11：对虚拟控制量τ、电机端自适应控制器p₂，以及理想控制参数的初值进行融合，得到所需的自适应鲁棒控制器。在自适应鲁棒控制器中，电机的实际输入转矩τ_M的控制表达式为：

上式中，K_p和K_d均为带有相应维数的对角正增益矩阵，且满足：K_p∈R^n×n，K_d∈R^n×n；

为关节柔性部分的刚度K对应的初值；/>

为电机端的阻尼系数B_M对应的初值；N为关节中减速器的减速比；q₂表示电机端关节角的广义坐标，q₂＝[q₂₁ q₂₂…q_2n]^T；/>

为关节柔性部分的阻尼系数D的初值；/>

为电机的转动惯量J_M的初值；P和N分别为预设的参数矩阵，且满足：N＝diag[N_i]_n×n，P＝diag[P_i]_n×n；其中，N_i，P_i＞0，i＝1，2，…，n。

作为本发明进一步的改进，步骤1中，描述一个存在阻尼的单关节双质量柔性机械臂关节系统的动力学模型可表示为：

上式中，J_M为电机的转动惯量；J_L为关节负载端的转动惯量；θ_M和θ_L分别为该系统电机端和负载端的旋转位置；N为减速器的减速比；τ_ext为关节所受的外部接触力矩；B_M和B_L分别为电机端和负载端的阻尼系数；K、D分别为关节柔性部分的刚度和阻尼系数；τ_r为引起关节柔性部分发生变形的弹力；τ_M为电机力矩，是一个受控的系统输入变量。

分解后的电机端动力学模型和负载端动力学模型如下：

上式中，q₁＝[q₁₁ q₁₂…q_1n]^T，q₂＝[q₂ q₂₂…q_2n]^T为负载端和电机端关节角的广义坐标，q＝[q₁ ^T q₂ ^T]^T为系统的广义坐标；σ₁和σ₂分别为负载端和电机端的快速时变的不匹配不确定参数。

作为本发明进一步的改进，步骤S2中，动力学模型存在的约束力为：

上式中，“+”为广义逆矩阵；M(q(t)，σ(t)，t)为惯量矩阵，

为离心力，G(q(t)，σ(t)，t)为重力；C与U为约束方程/>

中的初始化参数。

作为本发明进一步的改进，步骤S3中，约束控制器p₁₁的表达式如下：

上式中，B_L为负载端的阻尼系数，J_L为关节负载端的转动惯量；D为关节柔性部分的阻尼系数，q₁为负载端的旋转位置，τ_ext为关节所受的外部接触力矩。

作为本发明进一步的改进，步骤S5中，设计出的兼容性稳定控制器p₁₂的表达式如下：

上式中，b预设的控制参数；Q为一个预设的参数矩阵，且满足：Q∈R^m×m，Q＞0；

其为约束方程的一阶矩阵形式。

作为本发明进一步的改进，步骤S6中，设计出的负载端自适应控制器p₁₃的表达式如下：

其中，

且函数Ω₁(·)中的参数/>

遵循如下法则：

上式中，常数k₁∈R₊，

t₀为初始时刻。

作为本发明进一步的改进，步骤S8中，设计出的电机端自适应控制器p₂的表达式如下：

其中，

且函数Ω₂(·)中的参数/>

遵循如下法则：

上式中，常量k₂∈R₊，

作为本发明进一步的改进，步骤S9中，包含不确定性的控制参数包括

J_M，B_M，K，各参数的分解方式如下：

其中，

为各参数已知的初值部分；而ΔJ_L、ΔB_L、Δτ_ext、ΔD、ΔJ_M、ΔB_M、ΔK为未知的不确定部分。

本发明还包括一种柔性机械臂关节系统的自适应控制模块，其适用于具有阻尼的柔性传输系统，并可实现约束跟随，以及生成优化后的电机的实际输入转矩τ_M。该自适应控制模块采用如前述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器的原理设计。自适应控制模块中包括：虚拟控制单元、电机端自适应控制器、理想控制参数生成单元、集成控制单元。

其中，虚拟控制单元由约束控制器、兼容性稳定控制器和负载端自适应控制器构成。虚拟控制单元用于在考虑约束的条件下对负载端进行优化控制。其中，约束控制器用于在理想状态下，根据约束方程对柔性机械臂关节系统的运动规划进行受限控制；兼容性稳定控制器用于处理柔性机械臂关节系统中初始条件不兼容的问题；负载端自适应控制器用于抵消负载端存在的不确定性的影响。约束控制器、兼容性稳定控制器、负载端自适应控制器均采用前述方案中设计的产品。

电机端自适应控制器用于抵消电机端存在的不确定性的影响，电机端自适应控制器也采用前述步骤中设计出的方案。理想控制参数生成单元用于获取柔性机械臂关节系统中各个具有不确定性的控制参数的初值，包括

集成控制单元用于融拟控制量、电机端自适应控制器，以及理想控制参数的初值，得到所需的自适应鲁棒控制器；进而实时生成所需的电机的实际输入转矩。

本发明还包括一种多自由度的柔性机器人，柔性机器人的控制系统中采用了前述的柔性机械臂关节系统的自适应控制模块。

本发明提供的技术方案，具有如下有益效果：

本实施例针柔性机器人的关节结构特征，提出了一种新的基于单柔性关节双质量系统的动力学模型，然后通过U-K理论处理系统阻尼与外加载荷的影响，并以约束力的形式进行表征。这种方式建立的简化模型相对于传统模型对机器人关节的分析更加精准，因而可以为后续的精准控制奠定基础。

本发明在自适应鲁棒控制器设计过程中引入虚拟约束将系统划分后，基于U-K理论得出的约束力方程来完成虚拟控制器的设计，其包含了考虑阻尼的理想约束控制、兼容性控制和抵消不确定性影响的自适应控制。剩余的变量由电机实际转矩τ_M控制，解决存在阻尼的柔性系统控制困难，计算量庞大的问题，此外，本发明还提出了泄露型的自适应法则处理系统来处理控制模型中的不确定边界问题。

本发明的方案最终结合新设计的虚拟控制部分和常规的实际控制器部分得到了所需的自适应鲁棒控制器，进而实现了对柔性机器人更加精准、稳定的控制；有效增强了柔性机器人在阻尼场景下的控制精度。

附图说明

附图用来提供对本发明的进一步理解，并且构成说明书的一部分，与本发明的实施例一起用于解释本发明，并不构成对本发明的限制。在附图中：

图1为本发明实施例1中提供的一种柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器的设计方法流程图。

图2为本发明实施例1建立的存在阻尼的单关节双质量柔性机械臂关节系统的简化模型。

图3为仿真过程中创建的单柔性关节双质量系统输出的轨迹跟踪曲线。

图4为仿真过程中创建的单柔性关节双质量系统输出的角速度跟踪轨迹。

图5为仿真过程中创建的单柔性关节双质量系统参数变化后的轨迹跟踪曲线。

图6为仿真过程中创建的单柔性关节双质量系统参数变化后的角速度跟踪轨迹

图7为仿真过程中创建的单柔性关节双质量系统的轨迹误差控制曲线。

图8为仿真过程中创建的单柔性关节双质量系统输出的角速度误差控制曲线。

图9为仿真过程中自适应鲁棒控制与PD+VSC+反馈控制的混合控制器对负载端的力矩控制对比图。

图10为仿真过程中不同不确定度大小下的平均扭矩分布图。

图11为本发明实施例2中提供的一种柔性机械臂关节系统的自适应控制模块的设计框架图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

实施例1

本实施例提供一种柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其应用于包含单关节或多关节的柔性机械臂关节系统中，用于实现关节系统的约束跟踪。如图1所示，该自适应鲁棒控制器的设计方法如下：

S1：将柔性关节分解为电机端和负载端两个部分，考虑柔性关节对应的柔性传动系统中阻尼和外加载荷的影响，构建单柔性关节双质量系统，并将其分解为对应的电机端动力学模型和负载端动力学模型。

具体地，描述一个存在阻尼的单关节双质量柔性机械臂关节系统的动力学模型可表示为：

上式中，J_M为电机的转动惯量；J_L为关节负载端的转动惯量；θ_M和θ_L分别为该系统电机端和负载端的旋转位置；N为减速器的减速比；τ_ext为关节所受的外部接触力矩；B_M和B_L分别为电机端和负载端的阻尼系数；K、D分别为关节柔性部分的刚度和阻尼系数；τ_r为引起关节柔性部分发生变形的弹力；τ_M为电机力矩，是一个受控的系统输入变量。

分解后的电机端动力学模型和负载端动力学模型如下：

上式中，q₁＝[q₁₁ q₁₂…q_1n]^T，q₂＝[q₂₁ q₂₂…q_2n]^T为负载端和电机端关节角的广义坐标，q＝[q₁ ^T q₂ ^T]^T为系统的广义坐标；σ₁和σ₂分别为负载端和电机端的快速时变的不匹配不确定参数。

S2：根据柔性关节所受的约束矩阵得到动力学模型对应的约束力，并建立相应的约束方程。具体地，存在阻尼的单关节双质量柔性机械臂关节系统的动力学模型中存在的约束力为：

上式中，“+”为广义逆矩阵；M(q(t)，σ(t)，t)为惯量矩阵，

为离心力，G(q(t)，σ(t)，t)为重力；C与U为约束方程/>

中的初始化参数。

S3：将约束方程转换成二阶微分形式，并通过U-K理论处理系统阻尼将其以约束的形式进行描述，进而生成一个用于在考虑阻尼的条件下实现柔性关节轨迹跟踪的约束控制器p₁₁。约束控制器p₁₁的表达式如下：

上式中，B_L为负载端的阻尼系数，J_L为关节负载端的转动惯量；D为关节柔性部分的阻尼系数，q₁为负载端的旋转位置，τ_ext为关节所受的外部接触力矩。

S4：在负载端动力学模型中引入一个待设计的虚拟控制量τ，得到一个改进的负载端动力学模型。

S5：基于改进的负载端动力学模型，根据柔性关节的运动轨迹与预定轨迹间的初始偏移量，设计满足要求的兼容性稳定控制器p₁₂。设计出的兼容性稳定控制器p₁₂的表达式如下：

上式中，b预设的控制参数；Q为一个预设的参数矩阵，且满足：Q∈R^m×m，Q＞0；

其为约束方程的一阶矩阵形式。

S6：通过泄露型自适应法则评估改进的负载端动力学模型中不确定性的边界大小，并基于自调节泄漏的自适应律生成一个对应的负载端自适应控制器p₁₃。

设计出的负载端自适应控制器p₁₃的表达式如下：

其中，

且函数Ω₁(·)中的参数/>

遵循如下法则：

上式中，常数k₁∈R⁺，

t₀为初始时刻。

S7：将虚拟控制量τ引入到电机端动力学模型并对其进行改写，得到实际控制的电机端模型。

S8：通过泄露型自适应法则评估实际控制的电机端模型中不确定性的边界大小，并基于自调节泄漏的自适应律生成一个对应的电机端自适应控制器p₂。

设计出的电机端自适应控制器p₂的表达式如下：

其中，

且函数Ω₂(·)中的参数/>

遵循如下法则：

上式中，常量k₂∈R₊，

S9：对柔性传动系统中包含不确定性的参数进行分解，得到各参数对应的初值以及不确定部分；将各参数的初值作为理想控制参数。

包含不确定性的控制参数包括

J_M，BM，K，各参数的分解方式如下：

其中，

为各参数已知的初值部分；而ΔJ_L、ΔB_L、Δτ_ext、ΔD、ΔJ_M、ΔB_M、ΔK为未知的不确定部分。

S10：结合约束控制器p₁₁、兼容性稳定控制器p₁₂和负载端自适应控制器p₁₃得到所需的虚拟控制量τ；

上式中，q₁表示负载端关节角的广义坐标，q₁＝[q₁₁ q₁₂…q_1n]^T；t∈R代表时间。

S11：对虚拟控制量τ、电机端自适应控制器p₂，以及理想控制参数的初值进行融合，得到所需的自适应鲁棒控制器。在自适应鲁棒控制器中，电机的实际输入转矩τ_M的控制表达式为：

上式中，K_p和K_d均为带有相应维数的对角正增益矩阵，且满足：K_p∈R^n×n，K_d∈R^n×n；

为关节柔性部分的刚度K对应的初值；/>

为电机端的阻尼系数B_M对应的初值；N为关节中减速器的减速比；q₂表示电机端关节角的广义坐标，q₂＝[q₂₁ q₂₂…q_2n]^T；/>

为关节柔性部分的阻尼系数D的初值；/>

为电机的转动惯量J_M的初值；P和N分别为预设的参数矩阵，且满足：N＝diag[N_i]_n×n，P＝diag[P_i]_n×n；其中，N_i，P_i＞0，i＝1，2，...，n。

为了解决传统模型无法适应柔性机器人的精细分析场景，以及传统控制器在阻尼条件下的控制精度低，稳定性差等问题。本实施例提供的方案设计出的自适应鲁棒控制器先基于新提出的单柔性关节双质量系统的动力学模型，解决系统阻尼与外加载荷的影响，并基于U-K理论用约束力的形式将他们表达出来。接下来，由于不确定性的准确值难以确定，故考虑系统不确定边界的存在性，设计相应的泄露型自适应法则来估计不确定边界的大小，设计控制时可以取其最大值来进行运算，来解决不确定性的影响。最后，引入虚拟约束将系统划分为关节的负载端和电机端两个子系统，解决存在阻尼的柔性系统控制困难，计算量庞大的问题。

最终设计出的自适应鲁棒控制器显著提升了柔性机器人的控制精度和稳定性，因此，该方案可以适用于解决柔性机器人应用过程中常见的稳定性问题，轨迹跟踪问题，最优性问题和约束跟随问题，等等。

为了更加清楚的介绍本实施例提供的自适应鲁棒控制器方案的工作原理和性能。以下分别从理论分析和仿真验证的角度，对方案的内容作出更加清晰的阐释。

一、自适应鲁棒控制器设计过程的理论分析

首先，对于约束系统基于Udwadia-Kalaba方法给出一一个系统通用的得到显式封闭的约束方程的方法。例如，。对于如下的典型的动力学系统：

其中，q(t)∈Rⁿ，为坐标矢量，t∈R代表时间，r(t)∈Rⁿ为动力转矩，而

为边界∑已知的p阶未知的不确定性矢量参数且有界。M(q(t)，σ(t)，t)，

G(q(t)，σ(t)，t)三者分别为惯量矩阵，离心力与科氏力，以及重力。

对于此类动力学模型，根据U-K理论，可以将系统所受的约束假设为：

其中，

为/>

的第i个元素，r＝1，2...m且m≤n，C_ri(·)和α_ri(·)皆为一阶连续。通常来说，上述约束均不可积但可以表示为如下的矩阵形式：

其中，C＝[C_ri]_m×n；α＝[α₁ α₂ … α_m]^T。

然后将约束方程的一阶形式转换为二阶形式，并对该方程中的时间变量t进行微分可以得到：

将该式进一步改写为如下所示：

则矩阵形式可表示为：

其中：U＝[U₁ U₂…U_m]^T。

为了继续进行理论推导，以下给出如下的一般性假设：

假设1：

矩阵M(·)，B(·)，G(·)皆连续，同时对于所有的(q，t)∈Rⁿ×R，σ(t)∈∑，都有M(q，σ，t)＞0。

那么，对于任意的C和R，方程(6)总是存在至少一个解

使方程(6)恒成立。

则在假设1条件下可以进一步得到如下的定理：

定理1：

根据假设1与公式(6)，可提出对于式(1)形式的动力学模型存在约束力为：

上式中，“+”为广义逆矩阵，该约束力满足达朗贝尔原理的拉格朗日形式，且可是系统满足约束条件。

接下来，对于任意一个复杂的柔性机器人的关节系统，本实施例将其简化为如图2所示的简化模型。该模型即为存在阻尼的单关节双质量柔性机械臂关节系统。描述一个存在阻尼的单关节双质量柔性机械臂关节系统的动力学模型可表示为：

上式中，J_M为电机的转动惯量，J_L为关节负载端的转动惯量，θ_M和θ_L分别为该系统电机端和负载端的旋转位置，N为减速器的减速比，τ_ext为关节所受的外部接触力矩，B_M和B_L分别为电机端和负载端的阻尼系数，K、D分别为关节柔性部分的刚度和阻尼系数，τ_r为引起关节柔性部分发生变形的弹力，τ_M为电机力矩，系统的输入变量，也是此处需要设计的控制量。

令θ_L＝q₁，θ_M＝q₂，将(8)改写为如下所示的形式：

式中，q₁＝[q₁₁ q₁₂…q_1n]^T，q₂＝[q₂₁ q₂₂…q_2n]^T为负载端和电机端关节角的广义坐标，同时令q＝[q₁ ^T q₂ ^T]^T为系统的广义坐标。σ₁和σ₂皆为快速时变的不匹配不确定参数。

从式(9)中可以发现输入τ_M的控制无法直接作用到负载端，同时由于不匹配不确定性参数的存在使得我们无法直接对输入变量τ_M进行控制，因此为了解决这个问题，我们首先对式(9)中的前式引入一个虚拟变量τ，将其改写为如下格式：

同时，令式（10）的两边同乘K^-1(σ₁，t)，令

将系统的方程改写为如下所示：

其中，

经由上式将该双质量柔性关节系统(9)分解为了虚拟控制的负载端子系统(11)和实际控制的电机端子系统(12)。

考虑到不确定性参数对于τ和τ_M的控制设计产生的不确定影响，故对

J_M，B_M，K做如下分解：

上式中，

K代表已知部分，而ΔJ_L、ΔB_L、Δτ_ext、ΔD、ΔJ_M、ΔB_M、ΔK为未知的不确定部分。

取I为单位阵，设：

继续给出如下的一般性假设：

假设二：

对于给定的q₁∈Rⁿ，C(q₁，t)满秩，则C(q₁，t)C^T(q₁，t)可逆，对于给定的Q∈R^m×m，Q＞0，使：

对于所有给定的(q₁，t)∈Rⁿ×R，存在一个不确定性的边界常量ρ_k＞-1，使得：

通常情况下，我们无法得到常量ρ_k的确定值，但当出现特殊情况例如不确定性不存在时，使得

E＝0，H＝0同时该常量ρ_k亦可取为0。在考虑不确定性时，可以取其边界的最大值进行相关计算。

由于通过引入虚拟变量τ使得整体柔性关节系统分为了两个部分，根据新的子系统的结构先对虚拟变量τ进行控制设计，剩余的变量由τ_M进行相关控制。其虚拟控制主要包含了三个部分：

为U-K方程下考虑阻尼的理想约束控制器；/>

为处理初始条件不兼容问题的兼容性控制；/>

为抵消不确定性影响的自适应控制。

继续给出如下的一般性假设：

假设三：

(a1)存在一个可能未知的j阶常量ψ₁∈(0，∞)^j及一个已知的函数Ω₁(·)：R^j×Rⁿ×Rⁿ×R→R₊，对于给定的

及σ₁∈∑₁能使下式成立：

(a2)对于给定的

函数Ω₁(·)对于ψ₁的每个组成部分皆可满足一阶连续可导、凹且非减的性质。对于ψ₁₁，ψ₁₂∈(0，∞)^j存在：

假设四：

(b1)存在一个可能未知的r阶常量ψ₂∈(0，∞)^r及一个已知的函数Ω₂(·)：R^r×Rⁿ×Rⁿ×Rⁿ×Rⁿ×R→R₊，对于给定的矩阵N＝diag[N_i]_n×n和P＝diag[P_i]_n×n满足N_i，P_i＞0，I＝1，2，...，N，

有σ₂∈∑₂使得：

(b2)对于每一个

函数Ω₂(·)对于ψ₂的每个组成部分皆可满足一阶连续可导、凹且非减的性质。对于ψ₂₁，ψ₂₂有：/>

根据假设1，将系统阻尼以约束的形式进行描述，并采用

的形式，令：

同时，为使控制保持稳定，令：

考虑系统的不确定性并给定正定标量ε₁＞0及ξ≥1，令：

上式中：

函数Ω₁(·)中的参数

遵循如下法则：

上式中，常数k₁∈R₊，

t₀为初始时刻。

根据式(21)、(22)、(23)可写出虚拟控制τ的表达式为：

给定一个正定标量ε₂＞0，提出电机的实际输入转矩τ_M的控制表达式为：

其中：

上式中

K_p∈R^n×n及K_d∈R^n×n为带有相应维数的对角正增益矩阵。

函数Ω₂(·)中的参数

遵循如下法则：/>

式中常量k₂∈R₊，

上述泄露型自适应法则(26)和(30)用以评估不确定性的边界大小。而二者中的参数

和/>

将会随着跟踪误差的减小而减小，而常量系数k₁和k₂则会决定系统收敛的速度。用于避免高估不确定性的泄漏项。值得注意的是，如果/>

和/>

则/>

时有/>

和/>

泄漏型项有望用于不确定性系统的自适应定律，以消除对不确定性或其导数上界的要求。

综上可得如下的定理：

定理2：

令

并使/>

基于假设三和假设四，所设计的控制器(28)可使系统(11)、(12)、(26)及(30)满足下列准则：

(a)一致有界性：若对于任意的r＞0，都有d(r)＜∞。则当

是不等式

的任意解时，对于所有的t≥t₀都有/>

(b)一致最终有界性：对于满足

的任意r＞0，都存在d＞0使得对于任意

和/>

有/>

其中/>

根据控制设计中的相关参数选取的李亚普洛夫函数如下所示：

其中：

为了验证所选取的李亚普洛夫函数合法，对于(32)分析其下界为：

其中，

同样地，可分析其上界为：

其中，

综上可获得V₁的边界为：/>

然后对(33)的下界进行分析：

其中，

由于β₁正定，故V₂同样正定，可知/>

满足正定性的要求，现在按照相同的方法对V₂的上界进行分析：

其中，

结合式(34)-(38)，可得到：

其中，δ₁＝min{s₁，s₃}，δ₂＝max{s₂，s₄}，由此可知V正定且有界。

对于给定的不确定性参数σ₁∈∑₁，σ₂∈∑₂和控制系统相应的轨迹

V₁的导数如下所示：

根据(13)和(14)将

和/>

分解并对上式进行分步分析：

根据(7)和(21)，在理想条件下(例如不存在不确定性时)有σ₁≡0，

/>

Q^c＝p₁₁，因此可以得到：

根据于(22)所提出的p₁₂的方程我们经过相关运算可以得到：

同样地根据(23)所提出的p₁₃的方程和(14)可以得到：

由式(25)的

可进一步得到：

由假设二中的(16)可以得到：

综上可知：

基于假设三可知：

由基本不等式

可知，对于任意的/>

ω＞0都有：

/>

其中，

且皆为常数。结合(25)综上可知：

对于ε₁＞0，因为有：

所以可得到：

根据假设三可以写出：

故可得出：

通过自适应法则(26)可以得出：

由(55)和(56)可以得出

上界为：τ_M/>

其中，

同样地，由式(33)对V₂求导可得到：

根据式(13)对其中系数进行分解可以得到：

由假设四及所设计的控制(28)和(29)可知：

当||γ₂||＞ε₂时，有：

当||γ₂||≤ε₂时，并由基本不等式2ab≤a²+b²可知：

综上所述，对于ε₂＞0有：

又因为：

其中，λ_d＝λ_min(NK_d)，λ_p＝λ_min(PK_p)。

相似的，基于自适应法则(30)可知：

结合(61)-(65)可知：

根据(57)-(66)可以得到V的导数为：

其中有：

λ＝min{λ_α，λ_β} (69)

对于(57)和(68)，总是有合适的数b，K_p，Kd能够使不等式

成立。因此，当/>

时总是可以得到

即所设立的李亚普洛夫函数满足衰减性的要求。

为满足一致有界性，给定所需的d(r)为：

当

时，为满足一致最终有界性，令：

综上所述，系统一致最终有界性的边界由

所决定。同时/>

与η成正比即当η趋于0时/>

亦会趋于0。要使η趋于0即使Z趋于0，根据相关公式可以得知，当ε₁，ε₂→0，k₁，k₂→∞时，

因此该控制是稳定的。

二、仿真验证

该仿真实验利用采用Windows 11系统的LAPTOP-3I26OLM6电脑，其处理器为Intel(R)Core(TM)i7-10875H@2.30GHz。并利用Matlab R2020a软件完成。

实验设备使用UR5协作机械臂，在电脑上装载子系统Ubuntu 16.04，并使用ROS控制系统来对机械臂进行操作。利用UR5协作机械臂作为图2所示的存在阻尼的单关节双质量柔性机械臂关节系统的柔性机器人，结合图2，本实验定义负载端的关节角矢量为q₁；电机端的关节角矢量为q₂。我们令该系统的负载端满足以下约束条件：

因此可以得到：A＝1；

同时对于假设三与四，我们选取的不确定性参数函数如下所示：

由此可以得到相应的自适应法则为：

考虑到弹性系数K以及电机端的转动惯量J_M中的不确定性，将他们分解为：

并令：×K＝0.4sin(t)，ΔJ_M＝0.4sin(t)。同时，给定各参数的参数值如下所示：

由此，可以得到下列方程满足假设二的条件：

/>

给定b＝50，使得系统能够满足

并给出相应的初始参数为：q₁(0)＝0.1，q₂(0)＝0.5，/>

然后利用本实施例设计的自适应鲁棒控制器对机器人进行运动控制，并得到如下的仿真实验结果：

1、可行性测试

仿真试验中，柔性机器人输出端的轨迹跟踪曲线和角速度跟踪曲线分别如图3和图4所示。从图中可以看到，在本实施例提供的自适应控制器的控制器的控制下，机器人的实际轨迹与设定的理想曲线能保持很好的贴合度。

而进一步地，改变仿真的参数值，使得理想曲线的幅值增大。继续分析柔性机器人的轨迹跟踪曲线和角速度跟踪曲线，二者分别如图5和图6所示。结合附图可知：除去初始状态外，两条曲线仍能够与理想曲线保持贴合状态，这说明本实施例设计的自适应鲁棒控制器具有很好的可行性，控制精度较高。

2、对比测试

仿真试验中进一步将本实施例设计的自适应鲁棒控制器(adaptive robustcontrol)与传统的采用PD+VSC+反馈控制的混合控制器(PD+VSC+feedback)进行对比，分析二者的性能差异。

具体地，本实施例方案与对照组方案的轨迹跟踪误差和角速度跟踪误差分别如图7和图8所示。分析图中数据可知：本实施例方案提供的自适应鲁棒控制器无论是轨迹跟踪误差还是角速度跟踪误差都要更小，而且更加稳定并趋近于0。进一步地，结合仿真结果可以得出结论，传统的控制器对于存在阻尼的场合控制效果较差，而本实施例方案则可以很好的应对存在阻尼的场景。

进一步测试本实施例方案与对照组方案在阻尼场景下的控制力矩输出曲线，得到的测试结果如图9所示。分析图9的数据可知：本实施例的自适应鲁棒控制器方案输出端的控制力矩曲线更加稳定，波动更小，再次体现了本控制器在考虑系统阻尼情况下的优越性。

3、鲁棒性测试

为了验证本实施例设计的自适应鲁棒控制器的鲁棒性，仿真试验中测试了本实施例方案在不同不确定性程度下的性能。测试结果如图10所示。对于图10中的控制扭矩，u为平均控制扭矩。显然，当不确定性变得很大时，该系统的成本就会更高。在刚度方面的不确定性仍然比在阻尼方面起着更重要的作用。

实施例2

在实施例1方案的基础上，本实施例进一步提供一种柔性机械臂关节系统的自适应控制模块，其适用于具有阻尼的柔性传输系统，并可实现约束跟随，以及生成优化后的电机的实际输入转矩τ_M。该自适应控制模块采用如前述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器的原理设计。如图11所示，自适应控制模块中包括：虚拟控制单元、电机端自适应控制器、理想控制参数生成单元、集成控制单元。

其中，虚拟控制单元由约束控制器、兼容性稳定控制器和负载端自适应控制器构成。虚拟控制单元用于在考虑约束的条件下对负载端进行优化控制。其中，约束控制器用于在理想状态下，根据约束方程对柔性机械臂关节系统的运动规划进行受限控制；兼容性稳定控制器用于处理柔性机械臂关节系统中初始条件不兼容的问题；负载端自适应控制器用于抵消负载端存在的不确定性的影响。约束控制器、兼容性稳定控制器、负载端自适应控制器均采用实施例1方案中设计的产品。

电机端自适应控制器用于抵消电机端存在的不确定性的影响，电机端自适应控制器也采用前述步骤中设计出的方案。理想控制参数生成单元用于获取柔性机械臂关节系统中各个具有不确定性的控制参数的初值，包括

集成控制单元用于融拟控制量、电机端自适应控制器，以及理想控制参数的初值，得到所需的自适应鲁棒控制器；进而实时生成所需的电机的实际输入转矩。

本实施例提供柔性机械臂关节系统的自适应控制模块实际上就是用来实现实施例1中方案的数据处理模块，该数据处理模块属于一种包含计算机程序的存储介质。该存储介质应用时，会自动执行相应计算机程序，并创建出对应的自适应鲁棒控制器。其中，存储介质及其计算机程序可以在一台计算机上执行，也可以在多台计算机上协作地执行。

当然，并非自适应鲁棒控制器处理的全部任务均需要由软件执行，也可以通过诸如专用集成电路(ASIC)等的硬件来执行处理的一部分或全部的任务。单个CPU进行所有处理的任务也不是限制性的，并且多个CPU可以适当时进行协作地来进行处理。在程序独立地启动的情况下，能够执行基于由除该程序以外的程序使用的信息的任务或指令。还可以通过读出并执行记录在存储介质上的计算机可执行指令以执行上述实施例中的一个或更多个的功能。或者提供用于执行上述实施例中的一个或更多个的功能的一个或更多个电路(例如，专用集成电路(ASIC))的系统或装置的计算机，来实现本实施的方案。

此外，还可以利用通过计算机读出并执行来自存储介质的计算机程序，以及实现上述实施例中的一个或更多个的功能；并且/或者控制一个或更多个电路以执行上述实施例中的一个或更多个的功能；以此的方法来实现本发明的实施例。

其中，本实施例提及的计算机可以包括一个或更多个处理器；例如，中央处理单元(CPU)、微处理单元(MPU)，并且可以包括分开的计算机或分开的处理器的网络，以读出并执行计算机程序。计算机程序可以从网络或存储介质被提供给计算机。

存储介质可以包括例如硬盘、随机存取存储器(RAM)、只读存储器(ROM)、分布式计算系统的存储器、光盘；诸如压缩光盘(CD)、数字通用光盘(DVD)或蓝光光盘(BD)、闪存装置以及存储卡等中的一个或更多个。当然，本实施例的方案还可以通过如下的方法来实现。即，通过网络或者各种存储介质将执行上述实施例的功能的软件(程序)提供给系统或装置，该系统或装置的计算机或是中央处理单元(CPU)、微处理单元(MPU)读出并执行程序的方法。

实施例3

本实施例提供一种多自由度的柔性机器人，柔性机器人的控制系统中采用了如实施例2中的柔性机械臂关节系统的自适应控制模块。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其特征在于：其应用于包含单关节或多关节的柔性机械臂关节系统中，用于实现关节系统的约束跟踪；所述自适应鲁棒控制器的设计方法如下：

S1：将柔性关节分解为电机端和负载端两个部分，考虑柔性关节对应的柔性传动系统中阻尼和外加载荷的影响，构建单柔性关节双质量系统，并将其分解为对应的电机端动力学模型和负载端动力学模型；

S2：根据柔性关节所受的约束矩阵得到动力学模型对应的约束力，并建立相应的约束方程；

S3：将约束方程转换成二阶微分形式，并通过U-K理论处理系统阻尼将其以约束的形式进行描述，进而生成一个用于在考虑阻尼的条件下实现柔性关节轨迹跟踪的约束控制器p₁₁；

S4：在负载端动力学模型中引入一个待设计的虚拟控制量τ，得到一个改进的负载端动力学模型；

S5：基于改进的负载端动力学模型，根据柔性关节的运动轨迹与预定轨迹间的初始偏移量，设计满足要求的兼容性稳定控制器p₁₂；

S6：通过泄露型自适应法则评估改进的负载端动力学模型中不确定性的边界大小，并基于自调节泄漏的自适应律生成一个对应的负载端自适应控制器p₁₃；

S7：将虚拟控制量τ引入到电机端动力学模型并对其进行改写，得到实际控制的电机端模型；

S8：通过泄露型自适应法则评估实际控制的电机端模型中不确定性的边界大小，并基于自调节泄漏的自适应律生成一个对应的电机端自适应控制器p₂；

S9：对柔性传动系统中包含不确定性的参数进行分解，得到各参数对应的初值以及不确定部分；将各参数的初值作为理想控制参数；

S10：结合约束控制器p₁₁、兼容性稳定控制器p₁₂和负载端自适应控制器p₁₃得到所需的虚拟控制量τ；

上式中，q₁表示负载端关节角的广义坐标，q₁＝[q₁₁ q₁₂…q_1n]^T；t∈R代表时间；

S11：对虚拟控制量τ、电机端自适应控制器p₂，以及理想控制参数的初值进行融合，得到所需的自适应鲁棒控制器；在所述自适应鲁棒控制器中，电机的实际输入转矩τ_M的控制表达式为：

上式中，K_p和K_d均为带有相应维数的对角正增益矩阵，且满足：K_p∈R^n×n，K_d∈R^n×n；

为关节柔性部分的刚度K对应的初值；/>

为电机端的阻尼系数B_M对应的初值；N为关节中减速器的减速比；q₂表示电机端关节角的广义坐标，q₂＝[q₂₁ q₂₂…q_2n]^T；/>

为关节柔性部分的阻尼系数D的初值；/>

为电机的转动惯量J_M的初值；P和N分别为预设的参数矩阵，且满足：N＝diag[N_i]_n×n，P＝diag[P_i]_n×n；其中，N_i，P_i＞0，i＝1，2，…，n。

2.如权利要求1所述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其特征在于：步骤1中，描述一个存在阻尼的单关节双质量柔性机械臂关节系统的动力学模型可表示为：

上式中，J_M为电机的转动惯量；J_L为关节负载端的转动惯量；θ_M和θ_L分别为该系统电机端和负载端的旋转位置；N为减速器的减速比；τ_ext为关节所受的外部接触力矩；B_M和B_L分别为电机端和负载端的阻尼系数；K、D分别为关节柔性部分的刚度和阻尼系数；τ_r为引起关节柔性部分发生变形的弹力；τ_M为电机力矩，是一个受控的系统输入变量；

分解后的电机端动力学模型和负载端动力学模型如下：

上式中，q₁＝[q₁₁ g₁₂…q_1n]^T，q₂＝[q₂₁ q₂₂…q_2n]^T为负载端和电机端关节角的广义坐标，q＝[q₁ ^T q₂ ^T]^T为系统的广义坐标；σ₁和σ₂分别为负载端和电机端的快速时变的不匹配不确定参数。

3.如权利要求2所述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其特征在于：步骤S2中，动力学模型存在的约束力为：

上式中，“+”为广义逆矩阵；M(q(t)，σ(t)，t)为惯量矩阵，

为离心力，G(q(t)，σ(t)，t)为重力；C与U为约束方程/>

中的初始化参数。

4.如权利要求3所述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其特征在于：步骤S3中，约束控制器p₁₁的表达式如下：

上式中，B_L为负载端的阻尼系数，J_L为关节负载端的转动惯量；D为关节柔性部分的阻尼系数，q₁为负载端的旋转位置，τ_ext为关节所受的外部接触力矩。

5.如权利要求4所述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其特征在于：步骤S5中，设计出的兼容性稳定控制器p₁₂的表达式如下：

上式中，b预设的控制参数；Q为一个预设的参数矩阵，且满足：Q∈R^m×m，Q＞0；

其为约束方程的一阶矩阵形式。

6.如权利要求5所述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其特征在于：步骤S6中，设计出的负载端自适应控制器p₁₃的表达式如下：

其中，

且函数Ω₁(·)中的参数/>

遵循如下法则：

上式中，常数k₁∈R₊，

t₀为初始时刻。

7.如权利要求6所述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其特征在于：步骤S8中，设计出的电机端自适应控制器p₂的表达式如下：

其中，

且函数Ω₂(·)中的参数/>

遵循如下法则：

上式中，常量k₂∈R₊，

8.如权利要求1所述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器，其特征在于：步骤S9中，包含不确定性的控制参数包括

J_M，B_M，K，各参数的分解方式如下：

J_M(σ₂)＝：J_M+ΔJ_M(σ₂)；B_M(σ₂，t)＝：B_M+ΔB_M(σ₂，t)

其中，

为各参数已知的初值部分；而ΔJ_L、ΔB_L、Δτ_ext、ΔD、ΔJ_M、ΔB_M、ΔK为未知的不确定部分。

9.一种柔性机械臂关节系统的自适应控制模块，其特征在于：其适用于具有阻尼的柔性传输系统，并可实现约束跟随，以及生成优化后的电机的实际输入转矩τ_M；所述自适应控制模块采用如权利要求1-9中任意一项所述的柔性机械臂关节系统的自适应鲁棒控制器的原理设计；所述自适应控制模块中包括：

虚拟控制单元，其由约束控制器、兼容性稳定控制器和负载端自适应控制器构成，所述虚拟控制单元用于在考虑约束的条件下对负载端进行优化控制；其中，约束控制器用于在理想状态下，根据约束方程对柔性机械臂关节系统的运动规划进行受限控制，所述约束控制器采用如权利要求4中的方案；兼容性稳定控制器用于处理柔性机械臂关节系统中初始条件不兼容的问题，所述兼容性稳定控制器采用如权利要求5中的方案；负载端自适应控制器用于抵消负载端存在的不确定性的影响，所述负载端自适应控制器采用如权利要求6中的方案。

电机端自适应控制器，其用于抵消电机端存在的不确定性的影响，所述电机端自适应控制器采用如权利要求7中的方案；

理想控制参数生成单元，其用于获取柔性机械臂关节系统中各个具有不确定性的控制参数的初值，包括

以及

集成控制单元，其用于融拟控制量、电机端自适应控制器，以及理想控制参数的初值，得到所需的自适应鲁棒控制器；进而实时生成所需的电机的实际输入转矩。

10.一种多自由度的柔性机器人，其特征在于，其采用的控制系统中采用了如权利要求9所述的柔性机械臂关节系统的自适应控制模块。

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