CN110209057A - 一种最优状态反馈保性能的amd控制器的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，包括以下步骤：S1、进行LQR控制器的设计；S2、进行结构参数不确定性的保性能控制器的设计。本发明的有益效果是：可以对含不确定结构参数的系统进行修正补偿，提高了AMD控制器的鲁棒性。

Description

一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法

技术领域

本发明涉及主动质量阻尼器(AMD)，尤其涉及一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法。

背景技术

高柔结构的主动质量阻尼器AMD(Active Mass Damper)多用于控制水平方向的动力响应。线性二次型LQR(Linear Quadratic Regulator)最优控制算法是一种常用的AMD控制器设计方法，但LQR算法要求精确的数学模型，但被控结构一般采用简化模型，因此导致了高柔结构参数存在不确定性。

在实际工程中，Xu等针对了具有参数不确定性的系统，基于LMI理论提出了无记忆状态反馈的鲁棒H∞控制器、输出反馈H∞控制器设计方法以及非脆弱鲁棒H∞控制器设计方法。H∞控制不依赖于计算模型的精确性，主要考虑了系统的鲁棒稳定性，但会牺牲了系统的性能，而保性能控制算法GCC(Guaranteed Cost Control)是一种将系统性能和鲁棒性相结合的LQR 控制器设计方法。该控制算法对允许的不确定性，能使得闭环系统稳定，而且其二次型指标小于某一性能界限，保性能控制器不仅能解决了LQR控制算法的缺陷问题，还具备物理意义明确的特性。

在保性能控制方法运用到不确定系统中后，需要求解Riccati矩阵方程的正定解。早期主要基于求解Riccati方程的方法，针对不确定系统进行状态反馈控制器的设计，在实施前，需事先确定某些待定参数，然而当前依旧缺乏寻找这些参数的最优值的方法，这种人为确定参数的方法给控制系统带来了很大的保守性，而且求解Riccati方程的方法多为迭代方法，其收敛性不能得到保证。受计算手段的约束，求解Riccati方程较为困难，但基于线性矩阵不等式LMI(Linear Matrix Inequation)方法的状态反馈保性能控制律可解决该难题。在运用方面，Park等还针对中立型非线性时滞系统，提出了基于Lyapunov函数的有记忆保性能控制器。Guan等针对 Takagi-Sugeno(T-S)模糊模型，提出了具备时滞依赖的保性能控制器设计方法。Lien等针对时变时滞系统，提出了基于LMI的时滞独立和时滞依赖的保性能控制器设计方法。虽然上述基于保性能控制算法的系统中，考虑了时变时滞的补偿问题，但是在高柔结构振动控制中，结构参数包括刚度、质量的不确定量将降低了控制系统的性能。

因此，如何设计一种保性能的AMD控制器，可以对含不确定结构参数的系统进行修正补偿是本领域技术人员所亟待解决的技术问题。

发明内容

为了解决现有技术中的问题，本发明提供了一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法。

本发明提供了一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，包括以下步骤：

S1、进行LQR控制器的设计；

S2、进行结构参数不确定性的保性能控制器的设计。

作为本发明的进一步改进，步骤S1包括：

若考虑外激励作用，控制系统的力平衡方程为

式中，u和w分别为控制力输入和外激励输入，M₀，C₀和K₀分别为受控结构的名义质量、阻尼和刚度矩阵，B_s和B_w分别为控制力和外激励的作用位置矩阵；

控制系统的状态向量为则式(1)写成状态方程为

式中，A，B₁和B₂分别为系统状态矩阵、外激励和控制力作用矩阵，表示为

上述AMD系统控制力为

u(t)＝-GZ(t) (4)

式中，G为闭环系统反馈增益矩阵，由LQR控制算法算出，调用MATLAB 的函数lqr求解，即

G＝lqr(A,B₂,Q,R) (5)

式中，Q为系统状态变量的对称半正定加权矩阵，R为系统控制力的对称正定加权矩阵，LQR控制算法是通过调整权矩阵Q以及R，使AMD控制系统在满足其状态方程和约束条件下，选取合适的增益矩阵令二次型性能目标J最小，以此确定最优控制力u，定义二次型性能目标函数为

由式(6)可得，若要减小控制输出，应增大权矩阵R；若希望受控结构反应减小，则增大权矩阵Q；其中，权矩阵Q中的各个元素体现了对状态

向量中各个分量的重视程度，

将式(4)代入式(2)，得闭环系统的状态方程

作为本发明的进一步改进，受控结构的质量矩阵由集中质量法建立，受控结构的刚度矩阵通过柔度法建立。

作为本发明的进一步改进，受控结构的AMD控制器安装在所需控制的楼层，仅控制受控结构的弱轴向水平振动。

作为本发明的进一步改进，受控结构为高柔结构。

作为本发明的进一步改进，步骤S2包括：

具有不确定质量、刚度的控制系统在外激励下的力平衡方程为

式中，△M和△K分别为质量矩阵和刚度矩阵的不确定量，则模型参数表示为

M′＝(1+δ_M)M₀ (9)

K′＝(1+δ_K)K₀ (10)

式中，δ_M和δ_K分别为质量和刚度偏差系数；

具有不确定质量、刚度等参数的AMD控制器表示为

式中，△A，△B₁和△B₂为反映系统参数不确定性的实矩阵；

假定结构参数摄动矩阵为^[16]

[△A △B₂]＝DF[E₁ E₂] (12)

式中，为不确定矩阵，为小于1的不确定常数，矩阵D，E₁和E₂为

将式(12)代入到式(11)中，得

令若不考虑外激励作用，则闭环系统为

针对不确定系统(15)，对所有允许的不确定性有

式中，G为不确定系统(15)的保性能控制增益；

选取Lyapunov函数V(Z)＝Z^TPZ，其中P为正定矩阵，是V(Z)关于时间t的导数，根据转置矩阵的运算法则，有

根据式(16)，则有

由Lyapunov稳定理论得式(15)所示系统是渐近稳定的；

对式(18)两边同时对时间t积分，得不确定系统(15)的二次型性能目标为

其中，令J^*＝Z₀ ^TPZ₀，则J^*是二次型性能目标的一个上界，定义

则式(16)为

Y+PDF(E₁-E₂G)+(E₁-E₂G)^TF^T(PD)^T<0 (21)

对满足F^TF<I的矩阵F成立，当且仅当存在大于0的常数μ，有

Y+μPDD^TP+μ^-1(E₁-E₂G)^T(E₁-E₂G)<0 (22)

应用矩阵的Schur补性质，式(22)等价为

式中带*号的子元素根据矩阵的对称性得到，

对式(23)分别左乘和右乘diag{P^-1,I,I,I}，且令X＝P^-1、W＝-GP^-1，则对于不确定系统(15)和性能指标(6)，如果下述优化问题

求解问题(24)，若X′、W′为该问题的最优解，则

U＝-W′(X′)^-1Z(t) (25)

是不确定系统(15)的最优状态反馈保性能控制律。

本发明的有益效果是：可以对含不确定结构参数的系统进行修正补偿，提高了AMD控制器的鲁棒性。

附图说明

图1是本发明一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法的LQR 控制时实验系统响应时程对比图。

图2是本发明一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法的保性能控制时实验系统第四层响应时程对比图。

图3是本发明一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法的保性能控制时实验系统响应时程对比图

具体实施方式

下面结合附图说明及具体实施方式对本发明作进一步说明。

一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，先针对某十层精确模型提出线性二次型LQR经典最优控制器设计方法，并探讨了LQR控制算法中权矩阵Q、R的选取。再以LQR控制算法为基础，考虑所选取的权矩阵Q、R，针对考虑结构参数包括结构刚度、质量不确定性的某十层框架结构，基于最优状态反馈的保性能控制算法GCC设计其AMD鲁棒控制系统，并进行数值模拟，再通过四层钢框架结构及其AMD控制实验系统验证数值分析所得结论的正确性。

所述权矩阵Q和R是AMD控制系统两个重要参数，权矩阵的选取体现了人们对受控系统结构体系的安全性与经济性这一对相互矛盾的要求的重视程度。

所述LQR控制算法是通过调整权矩阵Q以及R，使AMD控制系统在满足其状态方程和约束条件下，选取合适的增益矩阵令二次型性能目标J最小，以此确定最优控制力u。

所述设计十层框架结构的LQR经典最优控制器，重点关注AMD装置所在结构楼层(第八层)的控制效果以及AMD行程的大小，仅控制结构的弱轴向水平振动。

所述结构的质量矩阵由集中质量法建立；结构的刚度矩阵通过柔度法建立。

本方案的另一目的在于提供一种针对考虑结构参数包括结构刚度、质量不确定性的某十层框架结构，基于最优状态反馈保性能控制算法设计其 AMD鲁棒控制系统，以保证良好的控制效果及稳定的控制参数。

所述保性能控制算法GCC(Guaranteed Cost Control)是一种将系统性能和鲁棒性相结合的LQR控制器设计方法。

所述最优状态反馈保性能控制器是基于上述已得出的LQR控制算法为理论基础设计，权矩阵Q和R的取值与前面一致。

本发明提供一种用于高柔结构的最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，包括以下过程：

1、LQR控制器设计

先进行了LQR控制器设计，具体步骤如下：

若考虑外激励作用，控制系统的力平衡方程为

式中，u和w分别为控制力输入和外激励输入，M₀，C₀和K₀分别为结构的名义质量、阻尼和刚度矩阵，B_s和B_w分别为控制力和外激励的作用位置矩阵。

控制系统的状态向量为则式(1)写成状态方程为

式中，A，B₁和B₂分别为系统状态矩阵、外激励和控制力作用矩阵，可表示为

上述AMD系统控制力为

u(t)＝-GZ(t) (4)

式中，G为闭环系统反馈增益矩阵，可由LQR控制算法算出，调用MATLAB 的函数lqr求解，即

G＝lqr(A,B₂,Q,R) (5)

式中，Q为系统状态变量的对称半正定加权矩阵，R为系统控制力的对称正定加权矩阵。其中，权矩阵Q和R是AMD控制系统两个重要参数，权矩阵的选取体现了人们对受控系统结构体系的安全性与经济性这一对相互矛盾的要求的重视程度。LQR控制算法是通过调整权矩阵Q以及R，使AMD控制系统在满足其状态方程和约束条件下，选取合适的增益矩阵令二次型性能目标J最小，以此确定最优控制力u。定义二次型性能目标函数为

由式(6)可得，若要减小控制输出，应增大R；若希望结构反应减小，则增大Q；其中，Q中的各个元素体现了对状态向量中各个分量的重视程度。

将式(4)代入式(2)可得闭环系统的状态方程

针对不同的结构，结构的质量矩阵由集中质量法建立，结构的刚度矩阵通过柔度法建立。结构的AMD控制系统安装在所需控制的楼层，仅控制结构的弱轴向水平振动。通过分析得出权矩阵Q和R这两个重要的AMD控制系统参数，权矩阵的选取体现了人们对受控系统结构体系的安全性与经济性这一对相互矛盾的要求的重视程度。这两个参数将运用于后面结构参数不确定性的保性能控制器的分析中。

2、结构参数不确定性的保性能控制器设计

在上述LQR控制器的基础上，再进行结构参数不确定性的保性能控制器设计，具体步骤如下：

具有不确定质量、刚度等参数的控制系统在外激励下的力平衡方程为

式中，△M和△K分别为质量矩阵和刚度矩阵的不确定量，则模型参数可表示为

M′＝(1+δ_M)M₀ (9)

K′＝(1+δ_K)K₀ (10)

式中，δ_M和δ_K分别为质量和刚度偏差系数。

具有不确定质量、刚度等参数的AMD控制系统可表示为

式中，△A，△B₁和△B₂为反映系统参数不确定性的实矩阵。

假定结构参数摄动矩阵为^[16]

[△A △B₂]＝DF[E₁ E₂] (12)

式中，为不确定矩阵，为小于1的不确定常数。矩阵D，E₁和E₂为

将式(12)代入到式(11)中，得

令若不考虑外激励作用，则闭环系统为

针对不确定系统(15)，对所有允许的不确定性有

式中，G为不确定系统(15)的保性能控制增益。

选取Lyapunov函数V(Z)＝Z^TPZ，其中P为正定矩阵，是V(Z)关于时间t的导数，根据转置矩阵的运算法则，有

根据式(16)，则有

由Lyapunov稳定理论可得式(15)所示系统是渐近稳定的。

对式(18)两边同时对时间t积分，可得不确定系统(15)的二次型性能目标为

其中，令J^*＝Z₀ ^TPZ₀，则J^*是二次型性能目标的一个上界。定义

则式(16)为

Y+PDF(E₁-E₂G)+(E₁-E₂G)^TF^T(PD)^T<0 (21)

对满足F^TF<I的矩阵F成立，当且仅当存在大于0的常数μ，有

Y+μPDD^TP+μ^-1(E₁-E₂G)^T(E₁-E₂G)<0 (22)

应用矩阵的Schur补性质，式(22)可等价为

式中带*号的子元素可根据矩阵的对称性得到。

对式(23)分别左乘和右乘diag{P^-1,I,I,I}，且令X＝P^-1、W＝-GP^-1，则对于不确定系统(15)和性能指标(6)，如果下述优化问题

可用LMI工具箱中的“mincx”求解问题(24)这一类具备线性矩阵不等式约束的凸优化问题，若X′、W′为该问题的最优解，则

U＝-W′(X′)^-1Z(t) (25)

是不确定系统(15)的最优状态反馈保性能控制律。

3、实例分析

本实验系统由一栋单跨四层钢框架结构及其AMD控制系统组成，先计算得到该框架结构各个楼层的质量，再利用集中质量法求得结构的质量矩阵；结构刚度矩阵则由建立的结构有限元模型计算得到；系统的阻尼矩阵可由测试得到的各楼层阻尼比平均值建立。经分析，该实验结构第一阶振型对结构动力响应起主要贡献，该阶态的振型质量参与系数为0.8557接近于1，而第一阶振型时顶部响应最大，因此在实验系统中将AMD控制器放置于顶层，使控制器起到更良好的控制效果。

控制电机、EtherCAT总线、dSPACE、伺服驱动器以及微型计算机组成了实验结构的AMD系统。控制电机由大族激光公司生产的LMCF210201直线控制电机，EtherCAT总线系统由德国BECKHOFF公司生产的EL3008输入端子、EL4034输出端子、EK1100耦合端子、AX5000伺服驱动器组合而成。由旋转电机、变频调速器以及配重组成了荷载加载系统。该系统采用GT02型力平衡加速度传感器以及激光位移传感器对结构水平弱轴向的加速度以及位移响应进行了测量，采用dSPACE系统作为采集仪；其中，加速度传感器放置于各层楼板与钢柱的交点，激光位移传感器的测点定位于各层楼板与钢柱的交点。该系统将框架弱轴向水平加速度信号作为系统反馈信号，用以计算实时控制力。

4、LQR控制结果分析

本实验重点关注AMD装置所在结构楼层(第四层)的控制效果以及AMD行程的大小。选取Q₄、Q₅、R分别取为6×10⁶、3×10²、1×10-³，其余各层的加权系数均设为1。在加载频率为1Hz、峰值为45.89N的正弦激励荷载作用下，无控、LQR控制时结构第四层位移、加速度响应时程对比情况如图1所示，对应的结构响应、控制效果以及AMD性能指标如表1所示。表中的每一工况的实验数据取时为300s，而时程图中都仅给出其中一段时间为30s 的数据。

表1 LQR控制时结构响应控制效果

结论：(1)因为AMD系统与结构的相互作用以及结构水平向与竖直向振动的耦合，当外荷载为正弦激励时，结构响应并不完全服从正弦变化规律； (2)由于控制加速度响应需要较高频率的控制力，但会激发结构的高阶振型，与结构第四层(AMD安装位置)高阶振型相位相反的第三层加速度控制效果会相对较差，其效果明显小于第二、四层；(3)采用LQR控制算法时，结构响应在每一个波峰处有明显地减弱，即采用LQR控制算法的AMD控制系统能明显地减小结构的动力响应；(4)由于本文对权矩阵进行选择时先对第四层进行的优化，其中第四层控制效果较为明显且优于上部楼层。

5、结构参数不确定系统的保性能控制结果分析

考虑结构参数无偏差以及刚度和质量最大偏差分别为-38.3％和16.8％两种工况。其中，通过在框架上施加额外配重来改变结构的楼层质量，通过调节连接螺栓的松紧程度来改变结构的楼层刚度。

图2为保性能控制时实验系统第四层响应时程对比(δ_K＝δ_M＝0％)，图3为保性能控制时实验系统响应时程对比，当不同工况时，在正弦激励荷载作用下，无控、GCC控制时结构第四层位移、加速度响应时程对比情况如图2、 3所示，对应的结构响应、控制效果以及AMD性能指标如表2、3所示。结果表明：(1)当结构参数没有偏差时，最优状态反馈保性能控制器能有效地减轻结构的动力响应；与LQR控制器(表1所示)对比，两者的控制效果、AMD控制力及其行程输出基本相当；(2)当结构刚度、质量具有大偏差时，保性能控制器依然有效，结构位移、加速度控制效果(表3所示)较无偏差系统(表2所示)而言，分别变化了0.93％、4.18％。因此，保性能控制方法能有效应对结构模型中含有较大不确定性的工况。

表2保性能控制时结构响应控制效果(δK＝δM＝0％)

表3保性能控制时结构响应控制效果(δ_K＝-38.3％,δM＝16.8％)

6、总结

本发明当结构参数无偏差时，最优状态反馈保性能控制器能明显减轻结构的风振响应，且与LQR控制算法对比，两者的控制效果、AMD控制力及其行程输出基本相当。当结构参数有大偏差时，最优状态反馈保性能控制器也能明显减轻结构的风振响应。且当考虑结构参数不确定性时，最优状态反馈保性能控制器的鲁棒性更强。实验中还发现，AMD放置楼层的控制效果最好，而且由于高频的控制力激发了结构的高阶振型，因此与该楼层高阶振型相位相反的邻层的加速度控制效果会相对较差。

本发明提供的一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，是一种考虑不确定结构参数包括刚度、质量的控制增益计算方法，以此提高不确定结构系统的稳定性，可以通过设计一个具备鲁棒性的保性能控制器对含不确定结构参数的系统进行修正补偿，并选取合适的权矩阵以使系统的鲁棒性能和系统性能相结合。

本发明提供的一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，采用了保性能控制算法，该控制算法对允许的不确定性，能使得闭环系统稳定，而且其二次型指标小于某一性能界限，不仅能解决了LQR控制算法的缺陷问题，还具备物理意义明确的特性。并基于线性矩阵不等式LMI(Linear Matrix Inequation)方法的状态反馈保性能控制律解决了相关方程求解难的难题。该具备鲁棒性的保性能控制器对含不确定结构参数的系统进行了修正补偿，并选取合适的权矩阵Q和R以使系统的鲁棒性能和系统性能相结合。当结构参数无偏差时，最优状态反馈保性能控制器能明显减轻结构的风振响应，且与LQR控制算法对比，两者的控制效果、AMD控制力及其行程输出基本相当。当结构参数有大偏差时，最优状态反馈保性能控制器也能明显减轻结构的风振响应。最优状态反馈保性能控制器的鲁棒性更强。

本发明提供的一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，适用性强，可拓展为运用于不同结构类型、不同结构高度以及不同控制位置的最优状态反馈保性能控制器。并且控制方法简单明了，易于把控。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的保护范围。

Claims (5)

1.一种最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、进行LQR控制器的设计；

S2、进行结构参数不确定性的保性能控制器的设计。

2.根据权利要求1所述的最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，其特征在于，步骤S1包括：

若考虑外激励作用，控制系统的力平衡方程为

式中，u和w分别为控制力输入和外激励输入，M₀，C₀和K₀分别为受控结构的名义质量、阻尼和刚度矩阵，B_s和B_w分别为控制力和外激励的作用位置矩阵；

控制系统的状态向量为则式(1)写成状态方程为

式中，A，B₁和B₂分别为系统状态矩阵、外激励和控制力作用矩阵，表示为

上述AMD系统控制力为

u(t)＝-GZ(t) (4)

式中，G为闭环系统反馈增益矩阵，由LQR控制算法算出，调用MATLAB的函数lqr求解，即

G＝lqr(A,B₂,Q,R) (5)

式中，Q为系统状态变量的对称半正定加权矩阵，R为系统控制力的对称正定加权矩阵，LQR控制算法是通过调整权矩阵Q以及R，使AMD控制系统在满足其状态方程和约束条件下，选取合适的增益矩阵令二次型性能目标J最小，以此确定最优控制力u，定义二次型性能目标函数为

由式(6)可得，若要减小控制输出，应增大权矩阵R；若希望受控结构反应减小，则增大权矩阵Q；其中，权矩阵Q中的各个元素体现了对状态向量中各个分量的重视程度，

将式(4)代入式(2)，得闭环系统的状态方程

3.根据权利要求2所述的最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，其特征在于：受控结构的质量矩阵由集中质量法建立，受控结构的刚度矩阵通过柔度法建立。

4.根据权利要求2所述的最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，其特征在于：受控结构的AMD控制器安装在所需控制的楼层，仅控制受控结构的弱轴向水平振动。

5.根据权利要求2所述的最优状态反馈保性能的AMD控制器的设计方法，其特征在于，步骤S2包括：

具有不确定质量、刚度的控制系统在外激励下的力平衡方程为

式中，△M和△K分别为质量矩阵和刚度矩阵的不确定量，则模型参数表示为

M′＝(1+δ_M)M₀ (9)

K′＝(1+δ_K)K₀ (10)

式中，δ_M和δ_K分别为质量和刚度偏差系数；

具有不确定质量、刚度等参数的AMD控制器表示为

式中，△A，△B₁和△B₂为反映系统参数不确定性的实矩阵；

假定结构参数摄动矩阵为^[16]

[△A △B₂]＝DF[E₁ E₂] (12)

式中，为不确定矩阵，为小于1的不确定常数，矩阵D，E₁和E₂为

将式(12)代入到式(11)中，得

令若不考虑外激励作用，则闭环系统为

针对不确定系统(15)，对所有允许的不确定性有

式中，G为不确定系统(15)的保性能控制增益；

选取Lyapunov函数V(Z)＝Z^TPZ，其中P为正定矩阵，是V(Z)关于时间t的导数，根据转置矩阵的运算法则，有

根据式(16)，则有

由Lyapunov稳定理论得式(15)所示系统是渐近稳定的；

对式(18)两边同时对时间t积分，得不确定系统(15)的二次型性能目标为

其中，令J^*＝Z₀ ^TPZ₀，则J^*是二次型性能目标的一个上界，定义

则式(16)为Y+PDF(E₁-E₂G)+(E₁-E₂G)^TF^T(PD)^T<0 (21)

对满足F^TF<I的矩阵F成立，当且仅当存在大于0的常数μ，有

Y+μPDD^TP+μ^-1(E₁-E₂G)^T(E₁-E₂G)<0 (22)

应用矩阵的Schur补性质，式(22)等价为

式中带*号的子元素根据矩阵的对称性得到，

对式(23)分别左乘和右乘diag{P^-1,I,I,I}，且令X＝P^-1、W＝-GP^-1，则对于不确定系统(15)和性能指标(6)，如果下述优化问题

求解问题(24)，若X′、W′为该问题的最优解，则

U＝-W′(X′)^-1Z(t) (25)

是不确定系统(15)的最优状态反馈保性能控制律。