CN111881555A - 一种柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数计算方法，属于小行星探测领域。该方法首先在小行星本体坐标系中，建立柔性绳网的力学模型；然后分别建立小行星引力场模型和表面模型；对柔性绳网和小行星进行碰撞检测，计算柔性绳网节点的法向碰撞力和摩擦力，最终建立柔性绳网在小行星引力场中的动力学模型，计算得到柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数。利用本发明可以克服在小行星弱引力场附着任务中由于星表信息不足、着陆地形复杂等问题引起的探测器反弹逃逸与倾覆失控的难题。

Description

一种柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数计算方法

技术领域

本发明提出一种柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数计算方法，属于小行星探测领域。

背景技术

近年来，很多国家对不同小行星展开了近距离探测任务，小行星探测器动力学研究也逐步成为了航天动力学领域中的热点问题。然而在实际问题中，由于目标小行星的引力作用较弱且极其不规则，探测器在着陆的过程中极有可能因为反弹起跃速度过大，造成着陆失败。进一步考虑到小行星的表面局部地形复杂，而且人类对小行星的地貌观测信息不足，探测器在小行星表面进行着陆时极易发生倾覆，导致对其失去控制，这样也会造成探测器的任务失败。近年来，空间柔性绳网在太空探索中的巨大潜力逐步引起人们的重视。现阶段对空间柔性绳网的研究主要关注其在非合作空间目标捕获任务中的应用。当采用空间柔性绳网探测器对小行星展开近距离探测任务时，柔性绳网在小行星表面的附着过程是一个柔性接触的过程，然而目前针对探测器柔性附着技术的研究尚属于空白。考虑到柔性绳网探测器可以利用多体之间的相互作用以及能量内部耗散机制避免复杂地势下刚性附着运动中的不稳定性，故其在未来空间探测任务中具有极为广阔的应用前景。

发明内容

本发明的目的是为了填补已有技术空白，提出一种柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数计算方法。本发明能够求解柔性绳网在小行星引力场中的位移矢量与速度矢量随时间的变化，利用本发明可以克服在小行星弱引力场附着任务中由于星表信息不足、着陆地形复杂等问题引起的探测器反弹逃逸与倾覆失控的难题。

本发明提出一种柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立小行星本体坐标系；

2)建立柔性绳网的力学模型；具体步骤如下：

2-1)将柔性绳网中的每根绳均分为若干绳段单元，然后使用弹簧阻尼元件近似替代每个绳段单元，绳段单元质量由在绳段单元两端的节点的质量替代；

2-2)获取柔性绳网的弹性模量E，阻尼比ζ，泊松比υ，截面积A和密度ρ_s，确定第i个绳段单元中弹簧元件的刚度系数k_i，第i个绳段单元中阻尼元件的阻尼系数c_i，进而确定第i个绳段单元的力学模型，表达式如下：

其中，第i个绳段单元的力学模型包括：绳网节点i、绳网节点i+1、刚度系数为k_i的弹簧元件以及阻尼系数为c_i的阻尼元件；l_i为第i个绳段单元的当前长度；

2-3)根据步骤2-2)的结果，计算柔性绳网中第i个绳段单元的内力

表达式如下：

其中，T_i为第i个绳段单元内部的拉力，D_i为第i个绳段单元内部的阻尼力，||Δr_i||为第i个绳段单元的当前变形量，

为第i个绳段单元的当前变形速度，

为第i个绳段单元的初始长度；

3)建立小行星引力场模型；

获取小行星的多面体模型数据，计算位于小行星引力场中柔性绳网节点i受到的引力大小▽U(r_i)，表达式如下：

其中，r_i为柔性绳网节点i当前的位移矢量，m_i为柔性绳网节点i的质量，G为小行星引力常数，ρ为小行星密度，f表示小行星的多面体模型中任意多面体单元的任意侧面,e表示小行星的多面体模型中相邻两侧面f₁与f₂的公共棱边,ES表示小行星的多面体模型中所有棱边的集合,FS表示小行星的多面体模型中所有侧面的集合，r_f表示从r_i处到侧面f上任意点的矢量，n_f表示侧面f的单位外法向量，

和

分别表示侧面f₁与f₂的单位外法向量，L_e表示棱边e对应的线积分项,

ds表示棱边e的弧长积分元，θ_f表示侧面f对应的面积分项,

dS表示侧面f的面积分元；

4)建立小行星表面模型；

在步骤1)所建坐标系中，对小行星表面模型的拟合表达式如下：

其中，

为步骤(1)所建坐标系中小行星表面上任意点的球坐标角度，

为原点到该位置处的径向距离，c_l ^m为球谐复系数，l和m为中间参数，

为球谐基函数：

其中t表示复数，P_l ^m(·)表示l阶勒让德多项式：

根据式(7)计算球坐标为

的小行星表面点的法向量

表达式如下，

其中，

为球坐标为

的单位矢量；

由式(7)得到：

其中，P_l ^m(·)′表示l阶勒让德多项式的一阶差商：

5)确定柔性绳网与小行星表面发生碰撞的条件，表达式如下：

其中，

为柔性绳网节点i的球坐标角度，d_i为柔性绳网中节点i与球坐标同样为

的小行星表面点的相对距离大小，

表示球坐标为

的小行星表面点的径向距离，r_i表示柔性绳网节点i当前的位移矢量；

当d_i≥0时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，转入步骤6)，此时d_i为柔性绳网节点i在小行星表面的嵌入量；当d_i＜0时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞未发生碰撞，转入步骤8)；

6)建立柔性绳网法向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的法向碰撞力；具体步骤如下，

6-1)获取小行星表面物质的弹性模量E_a和泊松比ζ，计算柔性绳网节点i对应的弹簧元件的刚度系数K_i和柔性绳网节点i对应的阻尼元件的阻尼系数C_i，表达式如下：

其中，

为柔性绳网节点i对应的在碰撞位置的等效曲率半径，

ε_i为柔性绳网节点i在碰撞点处的曲率半径，κ_i为与柔性绳网节点i对应的小行星表面碰撞点处的曲率半径；E^*为等效弹性模量，

e为恢复系数，

为柔性绳网节点i刚接触小行星表面的速度大小；

6-2)计算柔性绳网节点i受到的法向碰撞力N_i，表达式如下：

其中，

表示球坐标同样为

的小行星表面点的法向量；

7)建立柔性绳网切向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的摩擦力，表达式如下：

其中，f_i为柔性绳网节点i受到的摩擦力，μ为摩擦系数；当柔性绳网节点处于动摩擦状态时μ＝0.5；当柔性绳网节点处于静摩擦状态时，μ＝0.6；

为柔性绳网节点i当前的速度矢量；

8)建立柔性绳网在小行星引力场中的动力学模型，计算柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数；具体步骤如下：

8-1)建立柔性绳网的每个节点在小行星引力场中的动力学模型，表达式如下：

其中，

为柔性绳网节点i受到的外部作用力，Np表示柔性绳网中节点总数，ω为小行星绕自身惯性主轴旋转的角速度；δ_i为指示碰撞函数；当δ_i＝1时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞；当δ_i＝0时，柔性绳网节点i与小行星未发生碰撞；

8-2)对式(19)的模型求解，计算得到每个时刻柔性绳网的每个节点在小行星引力场中的附着运动参数，包括：柔性绳网每个节点在小行星引力场中的位移矢量r_i,i＝1,2,3...,Np和速度矢量

本发明的特点及有益效果是：

本发明通过引入球谐参数曲面数学模型，统一了在小行星附近和表面的动力学研究框架，从而快速建立了柔性绳网在小行星引力场中的动力学模型。通过求解上述动力学模型即可得到柔性绳网在小行星引力场中的位移矢量与速度矢量随时间的变化，进而实现柔性绳网在小行星引力场中的附着运动仿真，同时也为解决弱引力场中着陆器的反弹逃逸和倾覆失控等难题提供了一种新技术。未来可用于小行星表面大范围巡视探测、小行星表面长时间稳定采样及近地小行星捕获等场景。

附图说明

图1为本发明方法的整体流程图。

图2为本发明实施例中坐标系示意图。

图3为本发明实施例中柔性绳网的力学模型示意图。

图4为本发明实施例中小行星的多面体模型示意图。

图5为本发明实施例中四面体单元模型示意图。

图6为本发明实施例中小行星的球谐参数曲面模型示意图。

具体实施方式

本发明提出一种柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数计算方法，下面结合附图和具体实施例对本发明进一步详细说明如下。

本发明提出一种柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数计算方法，整体流程如图1所示，包括以下步骤：

1)建立坐标系。本发明实施例中采用的坐标系为小行星本体坐标系，后续说明均基于此坐标系。图2为本发明实施例中坐标系示意图。如图2所示，小行星本体坐标系以小行星质心O为坐标的原点，其中x轴为小行星最小转动惯量主轴，y轴为小行星中间转动惯量主轴，z轴为小行星最大转动惯量主轴，三者形成右手系。θ表示x-y平面内原点O与投影点b的连线和x轴的夹角，

表示原点O与表面点a的连线和z轴的夹角，R为原点O到表面点a的径向距离。

2)建立柔性绳网的力学模型。

柔性绳网孔目形状可为方形、菱形、矩形等，柔性绳网尺寸可依据不同的任务背景进行设计。本发明实施例中采用集中质量弹簧阻尼法建立柔性绳网的仿真力学模型。具体步骤如下：

2-1)将柔性绳网中的每根绳均分为若干绳段单元(在本发明实施例中每个绳段单元初始长度均为50厘米)，然后使用弹簧阻尼元件近似替代每个绳段单元，绳段单元质量由在绳段单元两端的节点的质量替代(绳段单元质量平均分配给该绳段单元两端的节点)。图3为本发明实施例中柔性绳网的力学模型示意图。如图3所示为第i个绳段单元的力学模型，包括质量为m_i的节点i、质量为m_i+1的节点i+1、第i个绳段单元中刚度系数为k_i的弹簧元件以及第i个绳段单元中阻尼系数为c_i的阻尼元件。通过柔性绳网的力学模型，即可给出柔性绳网的内力计算表达式。

2-2)通过查阅资料或实验等方式获取柔性绳网的弹性模量E，阻尼比ζ，泊松比υ，截面积A，密度ρ_s参数，从而确定第i个绳段单元中弹簧元件的刚度系数k_i，第i个绳段单元中阻尼元件的阻尼系数c_i，进而确定第i个绳段单元的力学模型，表达式如下：

其中，l_i(单位：米)为第i个绳段单元的当前长度。

2-3)根据式(1)与式(2)，即可确定柔性绳网中第i个绳段单元的内力

计算表达式如下：

其中T_i为第i个绳段单元内部的拉力，D_i为第i个绳段单元内部的阻尼力，||Δr_i||为第i个绳段单元的当前变形量，

为第i个绳段单元的当前变形速度，

为第i个绳段单元的初始长度。

3)建立小行星引力场模型。

本发明实施例中采用多面体法建立小行星引力场模型。首先通过查阅资料获取小行星的多面体模型数据，如图4所示为本发明实施例中小行星Didymos的多面体模型，该多面体模型总共包含8162个顶点，16320个面以及22480条棱。之后即可计算位于小行星引力场中柔性绳网节点i受到的引力大小▽U(r_i)，表达式如下：

其中r_i为柔性绳网节点i当前的位移矢量，m_i为柔性绳网节点i的质量，G为小行星引力常数，ρ为小行星密度，f表示小行星的多面体模型中任意多面体单元的任意侧面,e表示小行星的多面体模型中相邻两侧面f₁与f₂的公共棱边,ES表示小行星的多面体模型中所有棱边的集合,FS表示小行星的多面体模型中所有侧面的集合。以图5所示任意多面体单元为例，

表示从r_i处到侧面f内棱边e上任意点的矢量,r_f表示从r_i处到侧面f上任意点的矢量，n_f表示侧面f的单位外法向量，

和

分别表示侧面f₁与f₂的单位外法向量,

表示侧面f内的棱边e的单位法向量,L_e表示棱边e对应的线积分项,

ds表示棱边e的弧长积分元，θ_f表示侧面f对应的面积分项,

dS表示侧面f的面积分元。

4)建立小行星表面模型。本发明实施例中采用球谐参数曲面建立小行星的表面模型，在步骤1)所建坐标系中，对小行星表面模型的拟合表达式如下：

其中，

为步骤(1)所建坐标系中小行星表面上任意位置的球坐标角度，

为原点到该位置处的径向距离，

为球谐复系数，在本发明实施例中由步骤3)的小行星的多面体模型中顶点坐标数据经最小二乘法拟合得到，l取值为非负整数，是式(7)的中间参数，m为式(7)的中间参数，

为球谐基函数：

其中t表示复数，P_l ^m(·)表示l阶勒让德多项式：

如图6所示为本发明实施例中采用21阶勒让德多项式得到的小行星Didymos的表面模型。

根据式(9)即可得到球坐标为

的小行星表面点的法向量

表达式如下：

其中

为球坐标为

的单位矢量，另外由式(7)可得：

其中P_l ^m(·)′表示l阶勒让德多项式的一阶差商：

5)碰撞检测。本发明实施例中采用式(7)小行星的表面模型与步骤2)中柔性绳网的力学模型可以给出柔性绳网与小行星表面发生碰撞的条件，表达式如下：

其中

为柔性绳网节点i的球坐标角度，d_i为柔性绳网中节点i与球坐标同样为

的小行星表面点的相对距离大小，

表示球坐标为

的小行星表面点的径向距离，r_i表示柔性绳网节点i当前的位移矢量。当d_i≥0时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，转入步骤6)，此时d_i为柔性绳网节点i在小行星表面的嵌入量；当d_i＜0时，二者未发生碰撞，，转入步骤8)。

6)建立柔性绳网法向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的法向碰撞力。本发明实施例中采用非线性弹簧阻尼法并结合步骤2)中柔性绳网的力学模型，建立柔性绳网在小行星表面的法向碰撞模型，计算法向碰撞力的大小；具体步骤如下：

6-1)通过查阅资料获取小行星表面物质的弹性模量E_a和泊松比ζ，并结合步骤2)中给出的柔性绳网的弹性模量E、泊松比υ、截面积A、密度ρ_s参数，从而根据Hertz接触理论给出柔性绳网节点i对应的弹簧元件的刚度系数K_i，根据Hunt-Crossley阻尼理论给出柔性绳网节点i对应的阻尼元件的阻尼系数C_i，表达式如下：

其中，

为柔性绳网节点i对应的在碰撞位置的等效曲率半径，

ε_i为柔性绳网节点i在碰撞点处的曲率半径，本发明实施例中所有柔性绳网节点曲率半径均设为4米，κ_i为与柔性绳网节点i对应的小行星表面碰撞点处的曲率半径。E^*为等效弹性模量，

其中E为柔性绳网的弹性模量，E_a为小行星表面物质的弹性模量，υ_a为小行星表面物质的泊松比，υ为柔性绳网的泊松比。e为恢复系数，在本发明实施例中取0.8。

为柔性绳网节点i刚接触小行星表面的速度大小。

6-2)计算柔性绳网节点i受到的法向碰撞力N_i，表达式如下：

其中，d_i为步骤5)计算得到的柔性绳网节点i在小行星表面的嵌入量；

为柔性绳网中节点i的球坐标，

表示球坐标同样为

的小行星表面点的法向量。

7)建立柔性绳网切向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的摩擦力，表达式如下：

其中，f_i为柔性绳网节点i受到的摩擦力，μ为摩擦系数；当柔性绳网节点处于动摩擦状态时μ＝0.5；当柔性绳网节点处于静摩擦状态时，μ＝0.6；N_i为柔性绳网节点i受到的法向碰撞力，

为柔性绳网节点i当前的速度矢量。

8)建立柔性绳网在小行星引力场中的动力学模型，计算柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数；具体步骤如下：

8-1)建立柔性绳网的每个节点在小行星引力场中的动力学模型，表达式如下：

其中，m_i为柔性绳网节点i的质量，

为柔性绳网节点i受到的外部作用力，

为柔性绳网中第i个绳段单元的内力；Np表示柔性绳网中节点总数，ω为小行星绕自身惯性主轴旋转的角速度，N_i为柔性绳网节点i受到的法向碰撞力；f_i为柔性绳网节点i受到的摩擦力；δ_i为指示碰撞函数，当δ_i＝1时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，当δ_i＝0时，二者未发生碰撞；

8-2)在本发明实施例中，采用四阶龙格库塔法对式(19)的模型求解，即可计算得到每个时刻柔性绳网的每个节点在小行星引力场中的位移矢量r_i,i＝1,2,3...,Np，和速度矢量

利用步骤8)得到的每个时刻柔性绳网在小行星引力场中的位移矢量r_i,i＝1,2,3...,Np，即可对柔性绳网在小行星引力场中的附着运动仿真。

Claims (1)

1.一种柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立小行星本体坐标系；

2)建立柔性绳网的力学模型；具体步骤如下：

2-1)将柔性绳网中的每根绳均分为若干绳段单元，然后使用弹簧阻尼元件近似替代每个绳段单元，绳段单元质量由在绳段单元两端的节点的质量替代；

2-2)获取柔性绳网的弹性模量E，阻尼比ζ，泊松比υ，截面积A和密度ρ_s，确定第i个绳段单元中弹簧元件的刚度系数k_i，第i个绳段单元中阻尼元件的阻尼系数c_i，进而确定第i个绳段单元的力学模型，表达式如下：

其中，第i个绳段单元的力学模型包括：绳网节点i、绳网节点i+1、刚度系数为k_i的弹簧元件以及阻尼系数为c_i的阻尼元件；l_i为第i个绳段单元的当前长度；

2-3)根据步骤2-2)的结果，计算柔性绳网中第i个绳段单元的内力

表达式如下：

其中，T_i为第i个绳段单元内部的拉力，D_i为第i个绳段单元内部的阻尼力，||Δr_i||为第i个绳段单元的当前变形量，

为第i个绳段单元的当前变形速度，

为第i个绳段单元的初始长度；

3)建立小行星引力场模型；

获取小行星的多面体模型数据，计算位于小行星引力场中柔性绳网节点i受到的引力大小

表达式如下：

其中，r_i为柔性绳网节点i当前的位移矢量，m_i为柔性绳网节点i的质量，G为小行星引力常数，ρ为小行星密度，f表示小行星的多面体模型中任意多面体单元的任意侧面,e表示小行星的多面体模型中相邻两侧面f₁与f₂的公共棱边,ES表示小行星的多面体模型中所有棱边的集合,FS表示小行星的多面体模型中所有侧面的集合，r_f表示从r_i处到侧面f上任意点的矢量，n_f表示侧面f的单位外法向量，

和

分别表示侧面f₁与f₂的单位外法向量，L_e表示棱边e对应的线积分项,

ds表示棱边e的弧长积分元，θ_f表示侧面f对应的面积分项,

dS表示侧面f的面积分元；

4)建立小行星表面模型；

在步骤1)所建坐标系中，对小行星表面模型的拟合表达式如下：

其中，

为步骤(1)所建坐标系中小行星表面上任意点的球坐标角度，

为原点到该位置处的径向距离，

为球谐复系数，l和m为中间参数，

为球谐基函数：

其中t表示复数，P_l ^m(·)表示l阶勒让德多项式：

根据式(7)计算球坐标为

的小行星表面点的法向量

表达式如下，

其中，

为球坐标为

的单位矢量；

由式(7)得到：

其中，P_l ^m(·)′表示l阶勒让德多项式的一阶差商：

5)确定柔性绳网与小行星表面发生碰撞的条件，表达式如下：

其中，

为柔性绳网节点i的球坐标角度，d_i为柔性绳网中节点i与球坐标同样为

的小行星表面点的相对距离大小，

表示球坐标为

的小行星表面点的径向距离，r_i表示柔性绳网节点i当前的位移矢量；

当d_i≥0时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，转入步骤6)，此时d_i为柔性绳网节点i在小行星表面的嵌入量；当d_i＜0时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞未发生碰撞，转入步骤8)；

6)建立柔性绳网法向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的法向碰撞力；具体步骤如下，

6-1)获取小行星表面物质的弹性模量E_a和泊松比ζ，计算柔性绳网节点i对应的弹簧元件的刚度系数K_i和柔性绳网节点i对应的阻尼元件的阻尼系数C_i，表达式如下：

其中，

为柔性绳网节点i对应的在碰撞位置的等效曲率半径，

ε_i为柔性绳网节点i在碰撞点处的曲率半径，κ_i为与柔性绳网节点i对应的小行星表面碰撞点处的曲率半径；E^*为等效弹性模量，

e为恢复系数，

为柔性绳网节点i刚接触小行星表面的速度大小；

6-2)计算柔性绳网节点i受到的法向碰撞力N_i，表达式如下：

其中，

表示球坐标同样为

的小行星表面点的法向量；

7)建立柔性绳网切向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的摩擦力，表达式如下：

其中，f_i为柔性绳网节点i受到的摩擦力，μ为摩擦系数；当柔性绳网节点处于动摩擦状态时μ＝0.5；当柔性绳网节点处于静摩擦状态时，μ＝0.6；

为柔性绳网节点i当前的速度矢量；

8)建立柔性绳网在小行星引力场中的动力学模型，计算柔性绳网在小行星引力场中的附着运动参数；具体步骤如下：

8-1)建立柔性绳网的每个节点在小行星引力场中的动力学模型，表达式如下：

其中，

为柔性绳网节点i受到的外部作用力，Np表示柔性绳网中节点总数，ω为小行星绕自身惯性主轴旋转的角速度；δ_i为指示碰撞函数；当δ_i＝1时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞；当δ_i＝0时，柔性绳网节点i与小行星未发生碰撞；

8-2)对式(19)的模型求解，计算得到每个时刻柔性绳网的每个节点在小行星引力场中的附着运动参数，包括：柔性绳网每个节点在小行星引力场中的位移矢量r_i,i＝1,2,3...,Np和速度矢量

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