CN112966386A - 一种柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出一种柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算方法，属于小行星探测领域。该方法在小行星本体坐标系下，依次建立柔性绳网的力学模型、小行星引力场模型和小行星表面模型；通过小行星表面模型与柔性绳网的力学模型构建柔性绳网系统碰撞动力学模型；设计柔性绳网每个控制器在坐标系三个方向上的控制输入，进而建立柔性绳网系统动力学模型并求解，最终得到柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数。本发明通过引入球谐参数曲面数学模型以及滑模控制方法，求解柔性绳网位移矢量与速度矢量随时间的变化，可实现对柔性绳网系统在小行星引力场中的展开、接近及捕获过程进行仿真，利用本发明可以解决柔性绳网系统对小行星进行捕获的难题。

Description

一种柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算方法

技术领域

本发明属于小行星探测领域，具体涉及一种柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算方法。

背景技术

即使是一颗直径为百米左右的小行星，也蕴含着丰富的矿物资源，比如黄金、稀土、铂等及其他金属氧化物。如果能将小行星捕获至地球，将会有取之不尽的资源供人类利用。迄今为止，对于小行星的捕获机构、捕获方案却很少有人研究。近年来，柔性绳网系统在太空探索中的巨大潜力逐步引起人们的重视。柔性绳网系统由柔性绳网与连接在柔性绳网角点的控制器组成，柔性绳网系统中柔性绳网的构型及控制器的数量可根据任务背景进行设定。现阶段对柔性绳网系统的研究主要关注其在空间碎片捕获任务中的应用，采用柔性绳网系统作为捕获机构，对小行星进行捕获的仿真研究尚属于空白。考虑到柔性绳网系统具备较大的灵活性及较强的机动性，故采用其对具有复杂形状的小行星进行捕获，在未来空间探测任务中具有极为广阔的应用前景。采用数值仿真的手段对此捕获过程进行前期模拟，即仿真计算得到柔性绳网系统在小行星引力场中的运动轨迹、运动速度，从而有效规避实际任务中柔性绳网系统初始展开位置、初始发射速度设置不当，也可为实际捕获任务中柔性绳网系统的构型设计、材料的选取进行有效指导。

发明内容

本发明的目的是为了填补已有技术空白，提出一种柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算方法。本发明可求解其位移矢量与速度矢量随时间的变化，进而对柔性绳网系统在小行星引力场中的展开、接近及捕获过程进行仿真，利用本发明可以解决柔性绳网系统对小行星进行捕获的难题。

本发明提出一种柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算方法，其特征在于，该方法在小行星本体坐标系下，依次建立柔性绳网的力学模型、小行星引力场模型和小行星表面模型；通过小行星表面模型与柔性绳网的力学模型构建柔性绳网系统碰撞动力学模型；设计柔性绳网每个控制器在坐标系三个方向上的控制输入，进而建立柔性绳网系统动力学模型并求解，最终得到柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数。该方法包括以下步骤：

1)建立小行星本体坐标系；

2)建立柔性绳网的力学模型，计算柔性绳网中每个绳段单元的内力；具体步骤如下：

2-1)将柔性绳网中的每根绳均分为初始长度相等的绳段单元，然后使用弹簧阻尼元件近似替代每个绳段单元，绳段单元质量由在绳段单元两端的节点的质量替代；

2-2)获取柔性绳网的弹性模量E，阻尼比ζ，泊松比υ，截面积A，密度ρ_s，确定第i个绳段单元中弹簧元件的刚度系数k_i，第i个绳段单元中阻尼元件的阻尼系数c_i，进而确定第i个绳段单元的力学模型，表达式如下：

其中，l_i为第i个绳段单元的当前长度；

2-3)根据式(1)与式(2)，确定柔性绳网中第i个绳段单元的内力

计算表达式如下：

其中T_i为第i个绳段单元内部的拉力，D_i为第i个绳段单元内部的阻尼力，||Δr_i||为第i个绳段单元的当前变形量，

为第i个绳段单元的当前变形速度，

为第i个绳段单元的初始长度；

3)建立小行星引力场模型，计算位于小行星引力场中每个柔性绳网节点受到的引力大小；

其中，小行星引力场中每个柔性绳网节点i受到的引力大小

表达式如下：

其中r_i为柔性绳网节点i当前的位移矢量，m_i为柔性绳网节点i的质量，G为小行星引力常数，ρ为小行星密度，f表示小行星的多面体模型中任意多面体单元的任意侧面，e表示小行星的多面体模型中任意相邻两侧面f₁与f₂的公共棱边，ES表示小行星的多面体模型中所有棱边的集合，FS表示小行星的多面体模型中所有侧面的集合，n_f表示侧面f的单位外法向量，

和

分别表示侧面f₁与f₂的单位外法向量,

表示侧面f内的棱边e的单位法向量，L_e表示棱边e对应的线积分项,

ds表示棱边e的弧长积分元，θ_f表示侧面f对应的面积分项，

dS表示侧面f的面积分元；

4)建立小行星表面模型，表达式如下：

其中，

为小行星本体坐标系中小行星任一表面点的球坐标，

为原点到该表面点处的径向距离，

为球谐复系数；l为非负整数，是式(7)的中间参数；m为式(7)的中间参数；

为球谐基函数：

其中h表示复数；

表示l阶勒让德多项式：

根据式(9)得到球坐标为

的小行星表面点的法向量

表达式如下：

其中

为球坐标为

的单位矢量；

由式(7)得到：

其中

表示l阶勒让德多项式的一阶差商：

5)建立柔性绳网系统碰撞动力学模型；具体步骤如下：

5-1)碰撞检测；

采用式(7)的小行星表面模型与步骤2)中柔性绳网的力学模型得到柔性绳网与小行星表面发生碰撞的条件，表达式如下：

其中

为柔性绳网节点i的球坐标，d_i为柔性绳网节点i与球坐标同样为

的小行星表面点的相对距离大小，

表示球坐标为

的小行星表面点的径向距离；

当d_i≥0时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，转入步骤5-2)，此时d_i为柔性绳网节点i在小行星表面的嵌入量；当d_i＜0时，柔性绳网节点i与小行星未发生碰撞，转入步骤6)；

5-2)建立柔性绳网法向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的法向碰撞力；具体步骤如下：

5-2-1)获取小行星表面物质的弹性模量E_a和泊松比υ_a，计算柔性绳网节点i在与小行星碰撞处的弹簧元件的刚度系数S_i以及柔性绳网节点i在与小行星碰撞处的阻尼元件的阻尼系数P_i，表达式分别如下：

其中，

为柔性绳网节点i对应的在碰撞位置的等效曲率半径，

ε_i为柔性绳网节点i在碰撞点处的曲率半径，δ_i为与柔性绳网节点i对应的小行星表面碰撞点处的曲率半径；E^*为等效弹性模量，

e_res为恢复系数，

为柔性绳网节点i刚接触小行星表面的速度大小；

5-2-2)计算柔性绳网节点i受到的法向碰撞力N_i，表达式如下：

其中，

表示球坐标同样为

的小行星表面点的法向量；

5-3)建立柔性绳网切向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的摩擦力，表达式如下：

其中，f_i为柔性绳网节点i受到的摩擦力，μ为摩擦系数；

为柔性绳网节点i当前的速度矢量；然后进入步骤6)；

6)设计柔性绳网系统的控制力；具体步骤如下：

6-1)对柔性绳网系统中每个控制器k，设计该控制器x方向上的滑模面

y方向上的滑模面

和z方向上的滑模面

表达式如下：

其中，c为常数；k代表控制器序号；t为时间，

为控制器k在x方向上的实际位移x^k(t)与期望位移

之差，

为

的一阶导数；

为控制器在y方向上的实际位移y^k(t)与期望位移

之差，

为

的一阶导数；

为控制器在z方向上的实际位移z^k(t)与期望位移

之差，

为

的一阶导数；

6-2)设计控制器k在x方向的控制输入

在y方向的控制输入

在z方向的控制输入

表达式如下：

其中

为控制器k受到的外部作用力，

为控制器k受到来自柔性绳网的内力，(·)_x表示矢量在x方向上的投影，(·)_y表示矢量在y方向上的投影，(·)_z表示矢量在y方向上的投影；

7)建立柔性绳网系统动力学模型并求解，得到柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数；具体步骤如下：

7-1)建立柔性绳网的每个节点在小行星引力场中的动力学模型，表达式如下：

其中，m_i为柔性绳网节点i的质量，

为柔性绳网节点i受到的外部作用力，

为柔性绳网中第i个绳段单元的内力；Np表示柔性绳网中节点总数，ω为小行星绕自身惯性主轴旋转的角速度；δ_i为节点i的指示碰撞函数，当δ_i＝1时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，当δ_i＝0时，二者未发生碰撞；

7-2)建立柔性绳网系统中每个控制器的动力学模型，表达式如下：

其中，m_k为柔性绳网系统控制器k的质量；

7-3)对式(21)求解，得到每个时刻柔性绳网系统的每个柔性绳网节点在小行星引力场中的位移矢量r_i,i＝1,2,3...,Np，和速度矢量

对式(22)求解，得到每个时刻柔性绳网系统中每个控制器在小行星引力场中的位移矢量r_k,k＝1,2,3...,8，和速度矢量

柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算完毕。

本发明的特点及有益效果是：

本发明通过引入球谐参数曲面数学模型以及滑模控制方法，从而快速建立了柔性绳网系统在小行星引力场中的动力学模型。通过求解上述动力学模型即可得到柔性绳网系统在小行星引力场中的位移矢量与速度矢量随时间的变化，进而实现柔性绳网系统在小行星引力场中的展开、接近及捕获过程运动仿真，同时也为小行星捕捉提供了一种新技术。本发明未来可用于小行星表面大范围巡视探测、小行星采矿及小行星表面资源开发等场景。

附图说明

图1为本发明方法的整体流程图。

图2为本发明实施例中坐标系示意图。

图3为本发明实施例中柔性绳网的力学模型示意图。

图4为本发明实施例中四面体单元模型示意图。

图5为本发明实施例中采用的柔性绳网系统示意图。

具体实施方式

本发明提出一种柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算方法，下面结合附图和具体实施例对本发明进一步详细说明如下。

本发明提出一种柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算方法，整体流程如图1所示，包括以下步骤：

1)建立坐标系。本发明实施例中采用的坐标系为小行星本体坐标系，后续说明均基于此坐标系。图2为本发明实施例中坐标系示意图。如图2所示，小行星本体坐标系以小行星质心O为坐标的原点，其中x轴为小行星最小转动惯量主轴，y轴为小行星中间转动惯量主轴，z轴为小行星最大转动惯量主轴，三者形成右手系。θ表示x-y平面内原点O与小行星表面任一点a在x-y平面内对应投影点b的连线和x轴的夹角，

表示原点O与表面点a的连线和z轴的夹角，R为原点O到表面点a的径向距离。

2)建立柔性绳网的力学模型，计算柔性绳网中每个绳段单元的内力；

柔性绳网孔目形状可为方形、菱形、矩形等，柔性绳网尺寸可依据不同的任务背景进行设计。本发明实施例中采用集中质量弹簧阻尼法建立柔性绳网的仿真力学模型。具体步骤如下：

2-1)将柔性绳网中的每根绳均分为初始长度相等的若干绳段单元(在本发明实施例中均分后每个绳段单元初始长度均为50米)，然后使用弹簧阻尼元件近似替代每个绳段单元，绳段单元质量由在绳段单元两端的节点的质量替代(绳段单元质量平均分配给该绳段单元两端的节点)。图3为本发明实施例中柔性绳网的力学模型示意图。如图3所示为第i个绳段单元的力学模型，包括质量为m_i的节点i、质量为m_i+1的节点i+1、第i个绳段单元中刚度系数为k_i的弹簧元件以及第i个绳段单元中阻尼系数为c_i的阻尼元件。通过柔性绳网的力学模型，即可给出柔性绳网的内力计算表达式。

2-2)通过查阅资料或实验等方式获取柔性绳网的弹性模量E，阻尼比ζ，泊松比υ，截面积A，密度ρ_s参数，从而确定第i个绳段单元中弹簧元件的刚度系数k_i，第i个绳段单元中阻尼元件的阻尼系数c_i，进而确定第i个绳段单元的力学模型，表达式如下：

其中，l_i(单位：米)为第i个绳段单元的当前长度。

2-3)根据式(1)与式(2)，即可确定柔性绳网中第i个绳段单元的内力

计算表达式如下：

其中T_i为第i个绳段单元内部的拉力，D_i为第i个绳段单元内部的阻尼力，||Δr_i||为第i个绳段单元的当前变形量，

为第i个绳段单元的当前变形速度，

为第i个绳段单元的初始长度(本实施例为50米)。

3)建立小行星引力场模型，计算位于小行星引力场中每个柔性绳网节点受到的引力大小。

本发明实施例中采用多面体法建立小行星引力场模型。首先通过查阅资料获取小行星的多面体模型数据，本发明实施例中采用小行星Didymos的多面体模型，该多面体模型总共包含8162个四面体顶点，16320个侧面以及22480条棱。之后即可计算位于小行星引力场中每个柔性绳网节点i受到的引力大小

表达式如下：

其中r_i为柔性绳网节点i当前的位移矢量，m_i为柔性绳网节点i的质量，G为小行星引力常数，ρ为小行星密度，f表示小行星的多面体模型中任意多面体单元的任意侧面,e表示小行星的多面体模型中任意相邻两侧面f₁与f₂的公共棱边，ES表示小行星的多面体模型中所有棱边的集合，FS表示小行星的多面体模型中所有侧面的集合。以图4所示任意多面体单元为例(图4中为一个四面体)，

表示从r_i处到侧面f内棱边e上任意点的矢量,r_f表示从r_i处到侧面f上任意点的矢量，n_f表示侧面f的单位外法向量，

和

分别表示侧面f₁与f₂的单位外法向量,

表示侧面f内的棱边e的单位法向量,L_e表示棱边e对应的线积分项,

ds表示棱边e的弧长积分元，θ_f表示侧面f对应的面积分项，

dS表示侧面f的面积分元。

4)建立小行星表面模型。本发明实施例中采用球谐参数曲面建立小行星的表面模型，在步骤1)所建坐标系中，对小行星表面模型的拟合表达式如下：

其中，

为步骤1)所建坐标系中小行星任一表面点的球坐标，

为原点到该表面点处的径向距离，

为球谐复系数，在本发明实施例中由步骤3)的小行星的多面体模型中顶点坐标数据经最小二乘法拟合得到，l取值为非负整数，是式(7)的中间参数，m为式(7)的中间参数，

为球谐基函数：

其中h表示复数；

表示l阶勒让德多项式：

根据式(9)即可得到球坐标为

的小行星表面点的法向量

表达式如下：

其中

为球坐标为

的单位矢量，另外由式(7)可得：

其中

表示l阶勒让德多项式的一阶差商：

5)建立柔性绳网系统碰撞动力学模型。具体步骤如下：

5-1)碰撞检测。本发明实施例中采用式(7)小行星表面模型与步骤2)中柔性绳网的力学模型可以给出柔性绳网与小行星表面发生碰撞的条件，表达式如下：

其中

为柔性绳网节点i的球坐标，d_i为柔性绳网节点i与球坐标同样为

的小行星表面点的相对距离大小，

表示球坐标为

的小行星表面点的径向距离，r_i表示柔性绳网节点i当前的位移矢量。当d_i≥0时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，转入步骤5-2)，此时d_i为柔性绳网节点i在小行星表面的嵌入量；当d_i＜0时，二者未发生碰撞，转入步骤6)。

5-2)建立柔性绳网法向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的法向碰撞力。本发明实施例中采用非线性弹簧阻尼法建立柔性绳网在小行星表面的法向碰撞模型，计算法向碰撞力的大小；具体步骤如下：

5-2-1)通过查阅资料获取小行星表面物质的弹性模量E_a和泊松比υ_a，并结合步骤2)中给出的柔性绳网的弹性模量E、泊松比υ、截面积A、密度ρ_s参数，从而根据Hertz接触理论给出柔性绳网节点i在与小行星碰撞处的弹簧元件的刚度系数S_i，根据Hunt-Crossley阻尼理论给出柔性绳网节点i在与小行星碰撞处的阻尼元件的阻尼系数P_i，表达式如下：

其中，

为柔性绳网节点i对应的在碰撞位置的等效曲率半径，

ε_i为柔性绳网节点i在碰撞点处的曲率半径，本发明实施例中所有柔性绳网节点曲率半径均设为4米，δ_i为与柔性绳网节点i对应的小行星表面碰撞点处的曲率半径。E^*为等效弹性模量，

其中E为柔性绳网的弹性模量，E_a为小行星表面物质的弹性模量，υ_a为小行星表面物质的泊松比，υ为柔性绳网的泊松比。e_res为恢复系数，在本发明实施例中取0.5。

为柔性绳网节点i刚接触小行星表面的速度大小。

5-2-2)计算柔性绳网节点i受到的法向碰撞力N_i，表达式如下：

其中，d_i为步骤5-1)计算得到的柔性绳网节点i在小行星表面的嵌入量；

为柔性绳网中节点i的球坐标，

表示球坐标同样为

的小行星表面点的法向量。

5-3)建立柔性绳网切向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的摩擦力，表达式如下：

其中，f_i为柔性绳网节点i受到的摩擦力，μ为摩擦系数；当柔性绳网节点处于动摩擦状态时μ＝0.5；当柔性绳网节点处于静摩擦状态时，μ＝0.6；N_i为柔性绳网节点i受到的法向碰撞力，

为柔性绳网节点i当前的速度矢量。之后进入步骤6)。

6)设计柔性绳网系统控制力。

本发明实施例中采用图5所示的柔性绳网系统，包括8个控制器以及1个柔性绳网，柔性绳网构型以及控制器数量可以根据不同的任务需求自行设计。本发明实施例中采用滑模控制方法设计柔性绳网系统中各控制器的控制力，将每个控制器三个方向的位移分别作为该控制器的控制变量，控制器产生的推力作为控制输入。通过恰当设计控制输入，可使控制变量稳定至期望值。具体步骤如下：

6-1)以控制器k为例，设计其x方向上的滑模面

y方向上的滑模面

和z方向上的滑模面

表达式如下：

本发明实施例中c为常数，取为10；控制器序号k＝1,2,...8.，t为时间，

为控制器k在x方向上的实际位移x^k(t)与期望位移

之差，

其中

需人为设计给定，

为

的一阶导数；

为控制器在y方向上的实际位移y^k(t)与期望位移

之差，

其中

需人为设计给定，

为

的一阶导数；

为控制器在z方向上的实际位移z^k(t)与期望位移

之差，

其中

需人为设计给定，

为

的一阶导数。

6-2)设计控制器k在x方向的控制输入

在y方向的控制输入

在z方向的控制输入

在本发明实施例中，根据快速幂次趋近律知识，控制输入可设计为如下表达式：

其中

为控制器k受到的外部作用力，采用公式(21)即可求得控制器k受到的外部作用力，

为控制器k受到来自柔性绳网的内力，采用公式(3)可求得与控制器k相连的绳网的内力，(·)_x表示矢量在x方向上的投影，(·)_y表示矢量在y方向上的投影，(·)_z表示矢量在y方向上的投影。

7)建立柔性绳网系统动力学模型并求解，得到柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数；具体步骤如下：

7-1)建立柔性绳网的每个节点在小行星引力场中的动力学模型，表达式如下：

其中，m_i为柔性绳网节点i的质量，

为柔性绳网节点i受到的外部作用力，

为柔性绳网中第i个绳段单元的内力；Np表示柔性绳网中节点总数，ω为小行星绕自身惯性主轴旋转的角速度，N_i为柔性绳网节点i受到的法向碰撞力；f_i为柔性绳网节点i受到的摩擦力；δ_i为节点i的指示碰撞函数，当δ_i＝1时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，当δ_i＝0时，二者未发生碰撞；

7-2)建立柔性绳网系统中每个控制器的动力学模型，表达式如下：

其中，m_k为柔性绳网系统控制器k的质量。

7-3)在本发明实施例中，采用四阶龙格库塔法对式(21)求解，即可计算得到每个时刻柔性绳网系统的每个柔性绳网节点在小行星引力场中的位移矢量r_i,i＝1,2,3...,Np，和速度矢量

采用四阶龙格库塔法对式(22)求解，即可计算得到每个时刻柔性绳网系统中每个控制器在小行星引力场中的位移矢量r_k,k＝1,2,3...,8，和速度矢量

之后即可对柔性绳网系统捕获小行星的过程进行仿真。

进一步地，柔性绳网展开、接近及捕获过程仿真；具体步骤如下：

在本发明实施例中，柔性绳网系统在小行星北极正上方100米处展开，采用平面内弹射控制器的方式展开，每个控制器的弹射速度为1m/s，当柔性绳网首次展开到最大面积时，采用式(22)的模型加入控制作用，维持最大展开面积直至稳定。通过推力使每个控制器获得方向沿小行星南极正下方，大小为0.1m/s的初速度，柔性绳网系统开始接近小行星，并与之发生碰撞。当柔性绳网系统中探测器运动至小行星南极下方，采用式(22)的模型加入控制作用，使探测器稳定至小行星南极点上方5米位置，直至系统稳定，小行星捕获过程结束。

Claims (2)

1.一种柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算方法，其特征在于，该方法在小行星本体坐标系下，依次建立柔性绳网的力学模型、小行星引力场模型和小行星表面模型；通过小行星表面模型与柔性绳网的力学模型构建柔性绳网系统碰撞动力学模型；设计柔性绳网每个控制器在坐标系三个方向上的控制输入，进而建立柔性绳网系统动力学模型并求解，最终得到柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)建立小行星本体坐标系；

2)建立柔性绳网的力学模型，计算柔性绳网中每个绳段单元的内力；具体步骤如下：

2-1)将柔性绳网中的每根绳均分为初始长度相等的绳段单元，然后使用弹簧阻尼元件近似替代每个绳段单元，绳段单元质量由在绳段单元两端的节点的质量替代；

2-2)获取柔性绳网的弹性模量E，阻尼比ζ，泊松比υ，截面积A，密度ρ_s，确定第i个绳段单元中弹簧元件的刚度系数k_i，第i个绳段单元中阻尼元件的阻尼系数c_i，进而确定第i个绳段单元的力学模型，表达式如下：

其中，l_i为第i个绳段单元的当前长度；

2-3)根据式(1)与式(2)，确定柔性绳网中第i个绳段单元的内力

计算表达式如下：

其中T_i为第i个绳段单元内部的拉力，D_i为第i个绳段单元内部的阻尼力，||Δr_i||为第i个绳段单元的当前变形量，

为第i个绳段单元的当前变形速度，

为第i个绳段单元的初始长度；

3)建立小行星引力场模型，计算位于小行星引力场中每个柔性绳网节点受到的引力大小；

其中，小行星引力场中每个柔性绳网节点i受到的引力大小

表达式如下：

其中r_i为柔性绳网节点i当前的位移矢量，m_i为柔性绳网节点i的质量，G为小行星引力常数，ρ为小行星密度，f表示小行星的多面体模型中任意多面体单元的任意侧面，e表示小行星的多面体模型中任意相邻两侧面f₁与f₂的公共棱边，ES表示小行星的多面体模型中所有棱边的集合，FS表示小行星的多面体模型中所有侧面的集合，n_f表示侧面f的单位外法向量，

和

分别表示侧面f₁与f₂的单位外法向量,

表示侧面f内的棱边e的单位法向量，L_e表示棱边e对应的线积分项,

ds表示棱边e的弧长积分元，θ_f表示侧面f对应的面积分项，

dS表示侧面f的面积分元；

4)建立小行星表面模型，表达式如下：

其中，

为小行星本体坐标系中小行星任一表面点的球坐标，

为原点到该表面点处的径向距离，

为球谐复系数；l为非负整数，是式(7)的中间参数；m为式(7)的中间参数；

为球谐基函数：

其中h表示复数；

表示l阶勒让德多项式：

根据式(9)得到球坐标为

的小行星表面点的法向量

表达式如下：

其中

为球坐标为

的单位矢量；

由式(7)得到：

其中P_l ^m(·)′表示l阶勒让德多项式的一阶差商：

5)建立柔性绳网系统碰撞动力学模型；具体步骤如下：

5-1)碰撞检测；

采用式(7)的小行星表面模型与步骤2)中柔性绳网的力学模型得到柔性绳网与小行星表面发生碰撞的条件，表达式如下：

其中

为柔性绳网节点i的球坐标，d_i为柔性绳网节点i与球坐标同样为

的小行星表面点的相对距离大小，

表示球坐标为

的小行星表面点的径向距离；

当d_i≥0时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，转入步骤5-2)，此时d_i为柔性绳网节点i在小行星表面的嵌入量；当d_i＜0时，柔性绳网节点i与小行星未发生碰撞，转入步骤6)；

5-2)建立柔性绳网法向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的法向碰撞力；具体步骤如下：

5-2-1)获取小行星表面物质的弹性模量E_a和泊松比υ_a，计算柔性绳网节点i在与小行星碰撞处的弹簧元件的刚度系数S_i以及柔性绳网节点i在与小行星碰撞处的阻尼元件的阻尼系数P_i，表达式分别如下：

其中，

为柔性绳网节点i对应的在碰撞位置的等效曲率半径，

ε_i为柔性绳网节点i在碰撞点处的曲率半径，δ_i为与柔性绳网节点i对应的小行星表面碰撞点处的曲率半径；E^*为等效弹性模量，

e_res为恢复系数，

为柔性绳网节点i刚接触小行星表面的速度大小；

5-2-2)计算柔性绳网节点i受到的法向碰撞力N_i，表达式如下：

其中，

表示球坐标同样为

的小行星表面点的法向量；

5-3)建立柔性绳网切向碰撞模型，计算柔性绳网节点受到的摩擦力，表达式如下：

其中，f_i为柔性绳网节点i受到的摩擦力，μ为摩擦系数；

为柔性绳网节点i当前的速度矢量；然后进入步骤6)；

6)设计柔性绳网系统的控制力；具体步骤如下：

6-1)对柔性绳网系统中每个控制器k，设计该控制器x方向上的滑模面

y方向上的滑模面

和z方向上的滑模面

表达式如下：

其中，c为常数；k代表控制器序号；t为时间，

为控制器k在x方向上的实际位移x^k(t)与期望位移

之差，

为

的一阶导数；

为控制器在y方向上的实际位移y^k(t)与期望位移

之差，

为

的一阶导数；

为控制器在z方向上的实际位移z^k(t)与期望位移

之差，

为

的一阶导数；

6-2)设计控制器k在x方向的控制输入

在y方向的控制输入

在z方向的控制输入

表达式如下：

其中

为控制器k受到的外部作用力，

为控制器k受到来自柔性绳网的内力，(·)_x表示矢量在x方向上的投影，(·)_y表示矢量在y方向上的投影，(·)_z表示矢量在y方向上的投影；

7)建立柔性绳网系统动力学模型并求解，得到柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数；具体步骤如下：

7-1)建立柔性绳网的每个节点在小行星引力场中的动力学模型，表达式如下：

其中，m_i为柔性绳网节点i的质量，

为柔性绳网节点i受到的外部作用力，

为柔性绳网中第i个绳段单元的内力；Np表示柔性绳网中节点总数，ω为小行星绕自身惯性主轴旋转的角速度；δ_i为节点i的指示碰撞函数，当δ_i＝1时，柔性绳网节点i与小行星发生碰撞，当δ_i＝0时，二者未发生碰撞；

7-2)建立柔性绳网系统中每个控制器的动力学模型，表达式如下：

其中，m_k为柔性绳网系统控制器k的质量；

7-3)对式(21)求解，得到每个时刻柔性绳网系统的每个柔性绳网节点在小行星引力场中的位移矢量r_i,i＝1,2,3...,Np，和速度矢量

对式(22)求解，得到每个时刻柔性绳网系统中每个控制器在小行星引力场中的位移矢量r_k,k＝1,2,3...,8，和速度矢量

柔性绳网系统捕获小行星的控制运动参数计算完毕。

Images