CN111880471A - 一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法 - Google Patents

一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法 Download PDF

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CN111880471A CN202010631176.2A CN202010631176A CN111880471A CN 111880471 A CN111880471 A CN 111880471A CN 202010631176 A CN202010631176 A CN 202010631176A CN 111880471 A CN111880471 A CN 111880471A
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Abstract

一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，它涉及一种切削轨迹的计算方法。本发明为了解决现有超声椭圆振动切削轨迹若按照传统超精密加工的待加工曲线运动，存在过切现象进而增大加工表面的面形误差的问题。本发明提出了一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，该方法首先计算出在每一个振动周期内超声椭圆振动切削技术运动轨迹上与相应的待加工微直线段平行的切线所对应的切点，再通过坐标平移变换使得运动轨迹与待加工微直线段相切，再根据平移后的椭圆中心点序列重新计算得出新的超声椭圆振动切削技术运动轨迹，该运动轨迹则为超声椭圆振动切削技术切削轨迹。本发明用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算。

Description

一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法
技术领域
本发明涉及一种切削轨迹的计算方法，具体涉及一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，属于超精密切削加工技术领域。
背景技术
超声椭圆振动切削技术是一种具有优异加工性能的切削技术，该技术能有效降低车削、刨削等常用的超精密切削工艺的加工作用，例如，显著降低切削力、减少切削热，有效延长刀具使用寿命，提高脆性材料的塑脆转变临界切深等。超声椭圆振动切削技术具有上述优异加工性能的决定性因素是刀尖在切削平面内做椭圆轨迹运动，该运动由切削方向和切深方向的同频简谐运动合成。这种特殊的运动轨迹使得刀具与工件周期性接触与分离，切屑与刀具前刀面间的摩擦力的大体方向也周期性地出现与切削方向同向或反向，因此椭圆轨迹有效改善了切削作用。
在传统超精密加工工艺中，刀具与工件时刻保持接触，刀具与工件间接触点的运动轨迹，即切削轨迹，与待加工曲线相似或相同。但对于超声椭圆振动切削技术而言，该技术的切削轨迹无法采用上述切削轨迹规划方法，因为超声椭圆振动切削技术在切削平面内具有曲率半径。若椭圆轨迹中心按照待加工曲线运动，则必然造成过切现象，增大了加工表面的面形误差。从本质上说，超声椭圆振动切削技术是通过椭圆轨迹包络出待加工曲面，这与传统超精密加工工艺具有本质上的不同。目前还未见到相关研究，因此有必要研究超声椭圆振动切削技术切削路径的计算方法，以期提高超声椭圆振动切削技术的加工精度。
综上所述，现有超声椭圆振动切削轨迹若按照传统超精密加工的待加工曲线运动，存在过切现象，增大加工表面的面形误差的问题。
发明内容
本发明的目的是为了解决现有超声椭圆振动切削轨迹若按照传统超精密加工的待加工曲线运动，存在过切现象，增大加工表面的面形误差的问题。进而提供一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法。
本发明的技术方案是：一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，它包括以下步骤：
步骤一：离散待加工曲线，得到相邻两点距离不大于0.5μm的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，再从待加工的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)中依次提取出相邻两点并计算所构成的微直线段的斜率ki，进而得出斜率序列ki(i＝1,2,…,n)，其中，kn＝kn-1，斜率的计算公式为
Figure BDA0002568809940000021
式中，yi、yi+1、zi和zi+1分别为Qi和Qi+1的y坐标和z坐标；
步骤二：创建离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹，并设定超声椭圆振动切削技术运动轨迹的中心Ovi(yOi,zOi)通过相邻离散点的时间间隔为振动周期T，T＝1/f，其中f为超声椭圆振动切削装置的工作频率；因此，当运动轨迹中心由微直线段的端点Qi向端点Qi+1运动时，该微直线段所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹为：
Figure BDA0002568809940000022
式中，Av和Bv分别为两向简谐运动的幅值；ω(＝2πf)为简谐运动的角频率，；φ为两向简谐运动的相位差；vyi和vzi为椭圆中心沿微直线段运动的分-速度；其中，vyi＝(yi+1-yi)/T、vzi＝(zi+1-zi)/T；yv和zv分别为超声椭圆振动切削技术运动轨迹在坐标系OYtZt中的y坐标和z坐标；
步骤三：在每个微直线段所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹上计算与微直线段平行的切线及其切点Ti(yti,zti)；
超声椭圆振动切削技术运动轨迹的切线斜率由公式(2-1)可得：
Figure BDA0002568809940000023
式中，dzv和dyv为超声椭圆振动切削技术运动轨迹在两方向的运动速度。令kvi＝ki，则
Figure BDA0002568809940000024
上式是关于时间变量t的方程，经三角函数化简可得
Figure BDA0002568809940000031
式中，C1＝ω(Avki-Bvcosφ)，C2＝ωBvsinφ，C3＝kivyi-vzi，
Figure BDA0002568809940000032
进而可得到该方程的两个解，分别为
Figure BDA0002568809940000033
取位于区间[0,0.5T]的解为切点Ti(yti,zti)所对应的时刻t0，使用步骤二中的公式(2-1)进而得出超声椭圆振动切削技术运动轨迹上点Ti(yti,zti)所对应的坐标
Figure BDA0002568809940000034
步骤四：通过坐标平移变换计算出新的椭圆轨迹中心点坐标Ovi′(yOi′,zOi′)；
超声椭圆振动切削技术运动轨迹的中心点Ovi，即点Qi，以Ovi为原点沿向量
Figure BDA0002568809940000035
移动，进而得出新的椭圆轨迹中心点坐标Ovi′(yOi′,zOi′)；
Figure BDA0002568809940000036
步骤五：重复步骤三和步骤四直至计算出所有的新的椭圆中心，进而得到新的椭圆轨迹中心序列Ovi′(yOi′,zOi′)(i＝1,2,…,n-1)；
步骤六：根据步骤五中的椭圆轨迹中心序列Ovi′(yOi′,zOi′)(i＝1,2,…,n-1)，使用步骤二中公式(2-1)重新计算超声椭圆振动切削技术运动轨迹，新的运动轨迹则为超声椭圆振动切削技术的切削轨迹。
进一步地，步骤二中的超声椭圆振动切削技术运动轨迹的计算方法如下：
步骤二一：当超声椭圆振动切削装置未启动时，在刀具的刀尖位置分别创建刀具坐标系Oyvzv和固定坐标系Oyfzf；
其中，刀具坐标系Oyvzv为参考坐标系，将跟随超声椭圆振动切削装置沿着相关路径同步运动；
固定坐标系Oyfzf为基准坐标系，其位置保持固定不变，作为超声椭圆振动切削运动轨迹的参考基准；
当超声椭圆振动切削装置启动而未发生移动时，在电激励作用下，超声椭圆振动切削装置工作于共振状态，刀具的刀尖分别沿切削方向和切深方向，即刀具坐标系Oyvzv的y轴和z轴，做简谐运动，合轨迹为椭圆；
两方向简谐运动轨迹为：
Figure BDA0002568809940000041
式中，yv、zv为两向简谐运动的坐标，Av、Bv为两向简谐运动的幅值；ω(ω＝2πf)为简谐运动的角频率，其中，f(f＝1/T)为超声椭圆振动切削装置的工作频率，T为超声椭圆振动切削装置的振动周期；φ为两向振动的相位差；
由于超声椭圆振动切削装置位置未发生移动，则刀具坐标系Oyvzv与固定坐标系Oyfzf原点重合，公式(1-1)也是此状态下的超声椭圆振动切削技术运动轨迹；
当刀具在固定坐标系Oyfzf中沿某一直线匀速运动时，刀具的刀尖的运动轨迹在刀具坐标系Oyvzv仍为公式(1-1)，刀具坐标系Oyvzv的原点在固定坐标系Oyfzf中的位置为(vyt,vzt)；
依据齐次坐标变换方法，则在固定坐标系Oyfzf中的超声椭圆振动切削技术运动轨迹为：
Figure BDA0002568809940000042
式中，vy和vz分别为超声椭圆振动切削装置或刀具坐标系Oyvzv的原点在固定坐标系Oyfzf中沿y轴和z轴方向的分速度；
公式(1-2)所表达的运动轨迹为超声椭圆振动切削技术运动轨迹；
步骤二二：从待移动路径上提取离散点序列；
待移动路径为待加工曲面轮廓，具有任意形状；从待加工路径中以Y向等间距的方式提取得出待加工离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)；
步骤二三：插值细化离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)得到离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)；
当Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)序列中相邻两点的距离大于距离阈值时，则需在相邻两点间使用插值方法插入细分点Qi(yi,zi)，使得相邻两点间的距离不大于距离阈值，而后，相邻两点也将作为细分点；
所插入细分点个数的计算公式为：
Figure BDA0002568809940000051
式中，yi、zi为点Pi的y坐标和z坐标；yi+1、zi+1为点Pi+1的y坐标和z坐标；disthres为距离阈值；
Figure BDA0002568809940000052
为向下取整符号；
若P1和P2距离不大于距离阈值，则P1和P2直接作为细分点；以此类推，由较大距离的离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)计算得出较小距离的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，其中n≥m；
步骤二四：从Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)中提取出相邻两点组成微小直线段，再应用步骤一中的公式(1-2)计算Qi和Qi+1所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹；
在振动周期T时间段内，刀具坐标系Oyvzv的原点从点Qi沿微直线段运动至点Qi+1，则刀具坐标系Oyvzv的原点在固定坐标系Oyfzf中的位置为(vyt+yi,vzt+zi)；
根据齐次坐标变换方法得到该微小直线段所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹为：
Figure BDA0002568809940000053
式中，vyi和vzi分别为装置在该微小直线段的运动合速度在y轴和z轴的分速度，其中vyi＝(yi+1-yi)/T、vzi＝(zi+1-zi)/T，yi和zi分别为Qi的y坐标和z坐标，yi+1和zi+1分别和Qi+1的y坐标和z坐标；
步骤二五：重复步骤二四直至计算完离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，从而得出移动路径所对应的完整的超声椭圆振动切削技术运动轨迹。
进一步地，步骤二一中所述的超声椭圆振动切削装置为共振类型，振动形式为纵振-弯振复合形式、弯振-弯振复合或纵振-纵振复合。
进一步地，步骤二二中提取待加工离散点序列的时：
若移动路径为函数表达式，依据函数性质以等自变量间距或等弦长的方法提取离散点；
若移动路径难以用函数表达或者无函数表达式，从曲线中提取一系列离散点，该离散点序列将作为Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)。
进一步地，步骤二三中的插值方法为线性插值或多项式插值或样条曲线插值。
进一步地，步骤二三中的距离阈值由移动路径的运动轨迹确定。
进一步地，步骤二三中的待移动路径是直线时，距离阈值设置为10.0μm-15.00μm。
进一步地，步骤二三中的待移动路径是斜率平缓且变化缓慢的曲线，距离阈值设置为1.0-10.0μm；
进一步地，步骤二三中的待移动路径是斜率陡峭且变化快速的曲线，距离阈值设置为0.01μm-1.0μm。
进一步地，步骤一中的待加工点序列离散点序列Qi(yi,zi)提取方式如下：
步骤一一：若离散待加工曲线具有函数表达式，依据函数性质以等自变量间距或等距离的方法提取离散点；
步骤一二：若待加工曲线难以用函数表达或者无函数表达式，需从曲线中提取一系列离散点，该离散点序列将作为Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)；
步骤一三：若离散点距离在10.0μm-15.00μm之间，通过插值方法降低离散点间距，插值方法采用线性插值、多项式插值或样条曲线插值。
进一步地，超声椭圆振动切削技术运动轨迹的中心通过微直线段两端点的运动时间间隔不小于振动周期T。
本发明与现有技术相比具有以下效果：
1、本发明提出的超声椭圆振动切削技术切削轨迹计算方法，有效补偿了切削平面内的椭圆轨迹圆弧半径，从而使得切削轨迹的包络线为待加工曲线，这样有效避免超声椭圆振动切削技术在切削平面内由于曲率半径而造成的过切现象，将加工原理误差降至十几纳米，满足了超精密加工的面形精度要求。
2、本发明提出的超声椭圆振动切削技术切削轨迹计算方法中包含的各项公式均具有表达式且计算结果以解析解给出，因此适用于电脑编程计算，具有良好的应用性。若采用矩阵计算，则将进一步提高解算速度。
3、本发明所提出的超声椭圆振动切削技术切削轨迹计算方法能够计算出曲线或分段曲线轮廓所对应的切削轨迹，因而适用于轮廓形貌复杂的加工表面，而不再局限于平面加工，因此所提出的超声椭圆振动切削技术切削轨迹计算方法有效扩大了超声椭圆振动切削技术的可加工适用范围。
附图说明
图1是计算超声椭圆振动切削技术运动轨迹示意图。图中相关图形与符号的说明：1指代离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，近似拟合待加工曲线；2指代微直线段，该线段由离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)中任意相邻两点构成；3指代超声椭圆振动切削技术运动轨迹，其轨迹中心点沿着微直线段(2)运动。图中实心三角形代表了当椭圆轨迹中心从离散点Q5向Q6运动时的超声椭圆振动切削技术运动轨迹。
图2是计算超声椭圆振动切削技术切削轨迹示意图。图中相关图形与符号的说明：其中1、2、3的含义同附图1；4指代超声椭圆振动切削技术切削轨迹，超声椭圆振动切削技术切削轨迹由超声椭圆振动切削技术运动轨迹通过坐标平移变换而来。例如，附图2中的实心加粗曲线图表达了由超声椭圆振动切削技术运动轨迹求解超声椭圆振动切削技术切削轨迹的过程，首先，在第6条微直线段(2)所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)中求解切点T6，超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)在切点T6的切线平行于第6条微直线段(2)；其次，将上述超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)的中心点Ov6平移，平移向量为
Figure BDA0002568809940000071
从而得到新的中心位置Ov6′；然后，以此类推求出所有超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)所对应的新的中心位置Ovi′；最后，根据超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)的运动轨迹表达式求得新的超声椭圆振动切削技术运动轨迹，即为超声椭圆振动切削技术切削轨迹(4)。
图3是以齐次坐标变换方法研究超声椭圆振动切削技术运动轨迹表达式的示意图。图中相关图形与符号的说明：11指代刀具，图中三处位置的刀具是同一刀具处于不同运动状态时的位置，其中，虚线边线的刀具代表了超声椭圆振动切削装置未启动且未发生移动时的刀具位置，实现边线的两个刀具代表了当超声椭圆振动切削装置启动且沿移动路径移动时刀尖不同时刻的位置；22指代刀具坐标系Oyvzv，该坐标系随超声椭圆振动切削装置同步沿着移动路径运动；33指代固定坐标系Oyfzf，该坐标系是移动路径和刀尖运动位置的参考坐标系；44指代移动路径；55指代对应于斜直线移动路径的超声椭圆振动切削技术运动轨迹，同时也是刀尖的运动轨迹。
图4是移动路径为曲线时的超声椭圆振动切削技术运动轨迹图。图中相关图形与符号的说明：66指代移动路径；77指代移动路径所对应的超声椭圆振动切削技术运动路径。
具体实施方式
具体实施方式一：结合图1至图2说明本实施方式，本实施方式的一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，它包括以下步骤：
步骤一：离散待加工曲线，得到相邻两点距离不大于0.5μm的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)1，再从待加工的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)(1)中依次提取出相邻两点并计算所构成的微直线段2的斜率ki，进而得出斜率序列ki(i＝1,2,…,n)，其中，kn＝kn-1，斜率的计算公式为
Figure BDA0002568809940000081
式中，yi、yi+1、zi和zi+1分别为Qi和Qi+1的y坐标和z坐标；
步骤二：创建离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)1所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹3，并设定超声椭圆振动切削技术运动轨迹3的中心Ovi(yOi,zOi)通过相邻离散点的时间间隔为振动周期T，T＝1/f，其中f为超声椭圆振动切削装置的工作频率；因此，当运动轨迹中心由微直线段2的端点Qi向端点Qi+1运动时，该微直线段2所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹3为：
Figure BDA0002568809940000082
式中，Av和Bv分别为两向简谐运动的幅值；ω(＝2πf)为简谐运动的角频率，；φ为两向简谐运动的相位差；vyi和vzi为椭圆中心沿微直线段2运动的分-速度；其中，vyi＝(yi+1-yi)/T、vzi＝(zi+1-zi)/T；yv和zv分别为超声椭圆振动切削技术运动轨迹3在坐标系OYtZt中的y坐标和z坐标；
步骤三：在每个微直线段2所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹3上计算与微直线段2平行的切线及其切点Ti(yti,zti)；
超声椭圆振动切削技术运动轨迹3的切线斜率由公式(2-1)可得：
Figure BDA0002568809940000091
式中，dzv和dyv为超声椭圆振动切削技术运动轨迹3在两方向的运动速度。令kvi＝ki，则
Figure BDA0002568809940000092
上式是关于时间变量t的方程，经三角函数化简可得
Figure BDA0002568809940000093
式中，C1＝ω(Avki-Bvcosφ)，C2＝ωBvsinφ，C3＝kivyi-vzi，
Figure BDA0002568809940000094
进而可得到该方程的两个解，分别为
Figure BDA0002568809940000095
取位于区间[0,0.5T]的解为切点Ti(yti,zti)所对应的时刻t0，使用步骤二中的公式(2-1)进而得出超声椭圆振动切削技术运动轨迹3上点Ti(yti,zti)所对应的坐标
Figure BDA0002568809940000096
步骤四：通过坐标平移变换计算出新的椭圆轨迹中心点坐标Ovi′(yOi′,zOi′)；
超声椭圆振动切削技术运动轨迹3的中心点Ovi，即点Qi，以Ovi为原点沿向量
Figure BDA0002568809940000097
移动，进而得出新的椭圆轨迹中心点坐标Ovi′(yOi′,zOi′)；
Figure BDA0002568809940000098
步骤五：重复步骤三和步骤四直至计算出所有的新的椭圆中心，进而得到新的椭圆轨迹中心序列Ovi′(yOi′,zOi′)(i＝1,2,…,n-1)；
步骤六：根据步骤五中的椭圆轨迹中心序列Ovi′(yOi′,zOi′)(i＝1,2,…,n-1)，使用步骤二中公式(2-1)重新计算超声椭圆振动切削技术运动轨迹，新的运动轨迹则为超声椭圆振动切削技术的切削轨迹4。
本实施方式首先计算出在每一个振动周期内超声椭圆振动切削技术运动轨迹上与相应的待加工微直线段平行的切线所对应的切点，再通过坐标平移变换使得运动轨迹与待加工微直线段相切，再根据平移后的椭圆中心点序列计算得出新的超声椭圆振动切削技术运动轨迹，该运动轨迹则为超声椭圆振动切削技术切削轨迹。
具体实施方式二：结合图3至图4说明本实施方式，本实施方式步骤二中的超声椭圆振动切削技术运动轨迹3的计算方法如下：
步骤二一：采用齐次坐标变换的方法从全新的角度研究斜直线所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹表达式。超声椭圆振动切削装置的主体由压电陶瓷片组、变幅杆和刀具11组成。在某一频率的电激励作用下，压电陶瓷片组产生与电激励同频的位移输出，位移输出经变幅杆放大使得刀具11沿某一路径运动。当电激励的频率为装置固有频率时，超声椭圆振动切削装置处于共振状态，此时的输出振幅达到最大值。当超声椭圆振动切削装置的结构被精巧设计时，装置的某两阶不同振型将具有相近或相同的固有频率。因此以前述固有频率施加电激励作用时，装置将按照各自振型沿两方向做同频率简谐振动，合轨迹为椭圆。本发明所用超声椭圆振动切削装置为共振类型、纵振-弯振复合形式，所用振型分别是二阶纵振与五阶弯振，其位移输出方向分别平行于切削平面内的切削方向和切深方向。使用其他类型和其他形式的超声椭圆振动切削装置同样适用于下述技术方案。
当超声椭圆振动切削装置未启动时，在刀具11的刀尖位置分别创建刀具坐标系Oyvzv22和固定坐标系Oyfzf33。其中，刀具坐标系Oyvzv22为参考坐标系，将跟随超声椭圆振动切削装置沿着相关路径同步运动；固定坐标系Oyfzf33为基准坐标系，其位置保持固定不变，作为超声椭圆振动切削运动轨迹的参考基准，用于描述超声椭圆振动切削技术运动轨迹。当超声椭圆振动切削装置启动而未发生移动时，在电激励作用下，超声椭圆振动切削装置工作于共振状态，刀具11的刀尖分别沿切削方向和切深方向，即刀具坐标系Oyvzv22的y轴和z轴，做简谐运动，合轨迹为椭圆。两方向简谐运动轨迹为:
Figure BDA0002568809940000111
式中，yv、zv为两向简谐运动的坐标，Av、Bv为两向简谐运动的幅值；ω(ω＝2πf)为简谐运动的角频率，其中，f(f＝1/T)为超声椭圆振动切削装置的工作频率，T为超声椭圆振动切削装置的振动周期；φ为两向振动的相位差。由于超声椭圆振动切削装置位置未发生移动，则刀具坐标系Oyvzv22与固定坐标系Oyfzf33原点重合，公式(1-1)也是此状态下的超声椭圆振动切削技术运动轨迹。
当刀具11在固定坐标系Oyfzf33中沿某一直线44匀速运动时，刀具11的刀尖的运动轨迹在刀具坐标系Oyvzv22仍为公式(1-1)，刀具坐标系Oyvzv22的原点在固定坐标系Oyfzf33中的位置为(vyt,vzt)。依据齐次坐标变换方法，则在固定坐标系Oyfzf33中的超声椭圆振动切削技术运动轨迹为：
Figure BDA0002568809940000112
式中，vy和vz分别为超声椭圆振动切削装置(或刀具坐标系Oyvzv22的原点)在固定坐标系Oyfzf33中沿y轴和z轴方向的分速度。公式(1-2)所表达的运动轨迹为超声椭圆振动切削技术运动轨迹55。
公式(1-2)也可以表达为
Figure BDA0002568809940000113
对比现有超声椭圆振动切削技术运动表达式，公式(1-2)在切削速度和切削深度方向均出现了速度分项。
步骤二二：从待移动路径66上提取离散点序列。待移动路径66为待加工曲面轮廓，可具有任意形状。可从待加工路径66中以Y向等间距的方式提取得出待加工离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)。
步骤二三：插值细化离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)得到离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)。当Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)序列中相邻两点，例如，P1和P2，的距离大于距离阈值，如0.5μm时，则需在P1和P2间使用插值方法插入一些细分点，如Q2，使得相邻两点间的距离不大于0.5μm，而后，两端点P1和P2也将作为细分点Q1和Q3。所插入细分点个数的计算公式为:
Figure BDA0002568809940000121
式中，yi、zi为点Pi的y坐标和z坐标；yi+1、zi+1为点Pi+1的y坐标和z坐标；disthres为距离阈值；
Figure BDA0002568809940000122
为向下取整符号。若P1和P2距离不大于0.5μm，则P1和P2直接作为细分点。以此类推，可由较大距离的离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)计算得出较小距离的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，其中n≥m。
步骤二四：从Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)中提取出相邻两点，例如，Qi和Qi+1，组成微小直线段，再应用步骤一中的公式(1-2)计算Qi和Qi+1所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹。在振动周期T时间段内，刀具坐标系Oyvzv(2)的原点从点Qi沿微直线段运动至点Qi+1，则刀具坐标系Oyvzv(2)的原点在固定坐标系Oyfzf(3)中的位置为(vyt+yi,vzt+zi)。
根据齐次坐标变换方法可得该微小直线段所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹为：
Figure BDA0002568809940000123
式中，vyi和vzi分别为装置在该微小直线段的运动合速度在y轴和z轴的分速度，其中vyi＝(yi+1-yi)/T、vzi＝(zi+1-zi)/T，yi和zi分别为Qi的y坐标和z坐标，yi+1和zi+1分别和Qi+1的y坐标和z坐标。公式(1-4)也可以表达为：
Figure BDA0002568809940000124
对比现有超声椭圆振动切削技术运动表达式与前述公式(1-2)，公式(1-4)在切削速度和切削深度方向均出现了速度分项和位置分项，因而可以表达出复杂的待移动路径66所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹。
步骤二五：重复步骤四直至计算完离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，从而得出移动路径66所对应的完整的超声椭圆振动切削技术运动轨迹77。
本实施方式的超声椭圆振动切削技术运动轨迹表达式具有更好的通用性。传统的超声椭圆振动切削技术运动表达式仅能计算出待移动路径为水平线时的超声椭圆振动切削技术运动轨迹，无法计算出斜线甚至曲线形状的待移动路径所对应的运动轨迹。而本发明所提出的运动轨迹计算方法可适用于各种形状的移动路径，从而有效扩展了超声椭圆振动切削技术可加工几何结构的范围。
本实施方式采用的插值逼近方式虽然增加了计算量，但是有效降低了计算难度且适用于编程计算。根据实际加工经验，选择0.5μm作为计算细分点序列的距离阈值，选择该数值可使得直线段逼近曲线的误差控制在数十纳米之内，满足超精密加工要去，从理论上满足了超精密加工的面形要求。若待加工曲线形状简单，可适当增加距离阈值。
本实施方式的运动表达式较为简单，为后续规划超声椭圆振动切削技术的切削路径奠定基础。步骤四的运动表达式为三角函数，能够得出解析解，因此可以避免耗时的数值计算，而直接根据解析解快速地得出精确结果。
本实施方式的从超声椭圆振动切削技术运动轨迹的本质出发，即椭圆运动轨迹围绕刀具坐标系Oyvzv的原点运动，采用齐次坐标变换的方法揭示了超声椭圆振动切削技术运动轨迹的变化过程，从而得出了超声椭圆振动切削技术运动轨迹的计算方法。
具体实施方式三：结合图3和图4说明本实施方式，本实施方式的所提出的超声椭圆振动切削技术运动轨迹方法适用于不同类型和不同形式的超声椭圆振动切削装置。步骤一中所述的超声椭圆振动切削装置为非共振类型或共振类型，共振类型为纵振-弯振复合形式或弯振-弯振复合形式或纵振-纵振复合形式。还同样适用于非共振类型和共振类型的其他形式，如弯振-弯振复合、纵振-纵振复合等。虽然超声椭圆振动切削装置不尽相同，但是其内在的运动轨迹合成原理是相同的，因此所提出的超声椭圆振动切削技术运动轨迹计算方法同样适用于计算其他类型或同类型不同形式的超声椭圆振动切削装置的运动轨迹。因此所提出的方法具有适用性。其它组成和连接关系与具体实施方式一或二相同。
具体实施方式四：结合图3和图4说明本实施方式，本实施方式有多种方法确定离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)。若移动路径66为函数表达式，可依据函数性质以等自变量间距或等弦长的方法提取离散点；若移动路径66难以用函数表达或者无函数表达式，可从曲线中提取一系列离散点，该离散点序列将作为Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)。选用离散点序列的目的是采用直线逼近方式表示移动路径66，此外，选择离散点序列也更加符合实际加工中的程序运行过程。其它组成和连接关系与具体实施方式一、二或三相同。
具体实施方式五：结合图3和图4说明本实施方式，本实施方式有多种插值方法确定离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)。例如，在步骤三中，插值方法依移动路径性质而定，既可以使用线性插值、多项式插值、样条曲线插值，也可以使用其他插值方法。通过不同插值方法可使得直线段拟合曲线的误差控制在可接受范围之内，具体拟合误差取决于实际加工需求。其它组成和连接关系与具体实施方式一、二、三或四相同。
具体实施方式六：结合图3和图4说明本实施方式，本实施方式的步骤一中的待加工点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)提取方式如下：
步骤一一：若离散待加工曲线具有函数表达式，依据函数性质以等自变量间距或等距离的方法提取离散点；
步骤一二：若待加工曲线难以用函数表达或者无函数表达式，需从曲线中提取一系列离散点，该离散点序列将作为Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)；
步骤一三：若离散点距离大于所设定的阈值，可通过插值方法降低离散点间距，插值方法可采用线性插值或多项式插值或样条曲线插值。降低离散点间距可以减小待加工曲线的逼近误差，从而提升加工精度。其它组成和连接关系与具体实施方式一、二、三、四、五或六相同。
具体实施方式七：结合图1和图2说明本实施方式，本实施方式的超声椭圆振动切削技术运动轨迹3的中心通过微直线段2两端点的运动时间间隔不小于振动周期T。在步骤二中，使运动时间间隔为T可以降低计算量，提高计算效率。在实际加工中，受制于机床运动速度限制，运动时间间隔必将大于振动周期T，但是并不影响计算切削轨迹。因为计算切削轨迹的目的是保证切削轨迹与待加工曲面相切，从而包络出待加工曲面，所以运动时间间隔增大并不影响最终的计算结果。其它组成和连接关系与具体实施方式一、二、三、四、五或六相同。
实施例：
为更好地理解前述发明内容，以一具体实例并结合附图1和附图2说明前述的一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法。例如，计算两段折线段所对应的超声椭圆振动切削技术切削轨迹。取两段折线段的长度均为1μm，折线倾角从右至左依次为20°、60°，起始点坐标设为(0,0)。所用超声椭圆振动切削装置的振动参数为f＝41kHz(T＝24.3μs)、Av＝1μm、Bv＝2μm、φ＝π/2。以下计算过程中，若无特殊说明，则长度单位为微米，时间单位为秒。
由折线段得到的离散点坐标分别为P1(0,0)，P2(-0.93969,-0.34202)，P3(-1.4397,-1.208)。由于任意相邻两点P的距离大于设定的距离阈值0.5μm，因此需要对离散点序列{Pi}(i＝1,2,3)插值。由于待加工曲线为折线段，因此采用线性插值方式插入细分点得到细分点序列{Qi}(i＝1,2,…,7)。
现计算由点Q6和点Q7组成的微直线段l67所对应的超声椭圆振动切削技术切削轨迹。点Q6的坐标为(-1.273,-0.91937)，点Q7的坐标为(-1.4397,-1.208)，则所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹为
Figure BDA0002568809940000151
则微直线段l67所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹的切线斜率为
Figure BDA0002568809940000152
微直线段l67的斜率k6为1.7321。令kv6＝k6，则得
Figure BDA0002568809940000153
经计算可得t1＝3.327×10-6、t2＝1.5522×10-5，取位于[0,1.2195×10-5]之间的解，可得t0＝3.327×10-6，代入上述运动轨迹
Figure BDA0002568809940000154
可得T6(-0.64111,-2.4706)。通过坐标平移变换可得新的椭圆轨迹中心点坐标Ov6为
Figure BDA0002568809940000161
可得Ov6(-1.9049,-0.63186)。对于端点Q7，可以使用Q6的相关计算数据，如两向分运动速度、微直线段斜率等，因而可计算出Ov7(-2.0716,-0.34319)。重新使用上述运动公式，则可求得新的由Ov6和Ov7组成的微直线段所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹，该轨迹也是微直线段l67所对应的超声椭圆振动切削技术切削轨迹，切削轨迹公式为
Figure BDA0002568809940000162
其他微直线段所对应的超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算过程同上，因此可以得出折线段所对应的超声椭圆振动切削技术切削轨迹。
为更好地理解前述发明内容，以一具体实例并结合附图3和附图4说明前述的一种用于超声椭圆振动切削技术运动轨迹的计算方法。例如，计算某一正弦曲线(幅值为1μm、波长为2πμm)所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹。所用超声椭圆振动切削装置的相关参数为f＝41kHz(T≈24.3μs)、Av＝1μm、Bv＝2μm、φ＝π/2。下面各公式中的默认的长度单位为毫米、时间单位为秒。
步骤二一：当超声椭圆振动切削装置未启动时，在刀具1的刀尖位置分别创建刀具坐标系Oyvzv2和固定坐标系Oyfzf3。其中，刀具坐标系Oyvzv2为参考坐标系，将跟随超声椭圆振动切削装置沿着相关路径同步运动；固定坐标系Oyfzf3为基准坐标系，其位置保持固定不变，用于描述超声椭圆振动切削技术运动轨迹。当超声椭圆振动切削装置启动而未发生移动时，在电激励作用下，超声椭圆振动切削装置工作于共振状态，刀具1的刀尖分别沿切削方向和切深方向，即刀具坐标系Oyvzv2的y轴和z轴，做简谐运动，合轨迹为椭圆。两方向简谐运动轨迹为
Figure BDA0002568809940000163
步骤二二：从待移动路径6上提取离散点序列，待移动路径6的表达式为
Figure BDA0002568809940000171
在待加工路径6中以y向0.5μm的间距提取得出待加工离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)。
步骤二三：插值细化离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)得到离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)。当Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)序列中相邻两点，例如，P1(0,0)和P2(0.0005,-0.00048)的距离大于距离阈值0.5μm，则需在P1和P2间使用某一插值方法，例如，线性插值，插入一个或数个细分点，如Q2，使得相邻两点间的距离不大于0.5μm，而后，两端点P1和P2也将作为细分点Q1和Q3。在P1和P2间所插入细分点个数的为
Figure BDA0002568809940000172
若P1和P2距离不大于0.5μm，则P1和P2直接作为细分点Q1和Q2。以此类推，可由较大距离的离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)计算得出较小距离的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，其中n≥m。
步骤二四：从Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)中提取出相邻两点，例如，Q1(0,0)和Q2(-0.00025,-0.00024)，组成微小直线段。再应用发明内容步骤一中的公式(2)计算Q1和Q2所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹。在振动周期24.3μs时间段内，刀具坐标系Oyvzv2的原点由点Q1沿微直线段运动至点Q2，刀具坐标系Oyvzv2的原点在固定坐标系Oyfzf3中的位置为(-10.3t+0,-9.8t+0)，则根据齐次坐标变换方法可得该微小直线段所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹为
Figure BDA0002568809940000173
步骤二五：重复步骤四直至计算完离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，从而得出移动路径6所对应的完整的超声椭圆振动切削技术运动轨迹7。
以上实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的精神和范围。

Claims (8)

1.一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，其特征在于：它包括以下步骤：
步骤一：离散待加工曲线，得到相邻两点距离不大于0.5μm的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)(1)，再从待加工的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)(1)中依次提取出相邻两点并计算所构成的微直线段(2)的斜率ki，进而得出斜率序列ki(i＝1,2,…,n)，其中，kn＝kn-1，斜率的计算公式为
Figure FDA0002568809930000011
式中，yi、yi+1、zi和zi+1分别为Qi和Qi+1的y坐标和z坐标；
步骤二：创建离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)(1)所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)，并设定超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)的中心Ovi(yOi,zOi)通过相邻离散点的时间间隔为振动周期T，T＝1/f，其中f为超声椭圆振动切削装置的工作频率；因此，当运动轨迹中心由微直线段(2)的端点Qi向端点Qi+1运动时，该微直线段(2)所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)为：
Figure FDA0002568809930000012
式中，Av和Bv分别为两向简谐运动的幅值；ω(＝2πf)为简谐运动的角频率，；φ为两向简谐运动的相位差；vyi和vzi为椭圆中心沿微直线段(2)运动的分-速度；其中，vyi＝(yi+1-yi)/T、vzi＝(zi+1-zi)/T；yv和zv分别为超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)在坐标系OYtZt中的y坐标和z坐标；
步骤三：在每个微直线段(2)所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)上计算与微直线段(2)平行的切线及其切点Ti(yti,zti)；
超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)的切线斜率由公式(2-1)可得：
Figure FDA0002568809930000013
式中，dzv和dyv为超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)在两方向的运动速度。令kvi＝ki，则
Figure FDA0002568809930000021
上式是关于时间变量t的方程，经三角函数化简可得
Figure FDA0002568809930000022
式中，C1＝ω(Avki-Bvcosφ)，C2＝ωBv sinφ，C3＝kivyi-vzi，
Figure FDA0002568809930000023
进而可得到该方程的两个解，分别为
Figure FDA0002568809930000024
取位于区间[0,0.5T]的解为切点Ti(yti,zti)所对应的时刻t0，使用步骤二中的公式(2-1)进而得出超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)上点Ti(yti,zti)所对应的坐标
Figure FDA0002568809930000025
步骤四：通过坐标平移变换计算出新的椭圆轨迹中心点坐标Ovi′(yOi′,zOi′)；
超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)的中心点Ovi，即点Qi，以Ovi为原点沿向量
Figure FDA0002568809930000026
移动，进而得出新的椭圆轨迹中心点坐标Ovi′(yOi′,zOi′)；
Figure FDA0002568809930000027
步骤五：重复步骤三和步骤四直至计算出所有的新的椭圆中心，进而得到新的椭圆轨迹中心序列Ovi′(yOi′,zOi′)(i＝1,2,…,n-1)；
步骤六：根据步骤五中的椭圆轨迹中心序列Ovi′(yOi′,zOi′)(i＝1,2,…,n-1)，使用步骤二中公式(2-1)重新计算超声椭圆振动切削技术运动轨迹，新的运动轨迹则为超声椭圆振动切削技术的切削轨迹(4)。
2.根据权利要求1所述的一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，其特征在于：步骤二中的超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)的计算方法如下：
步骤二一：当超声椭圆振动切削装置未启动时，在刀具(11)的刀尖位置分别创建刀具坐标系Oyvzv(22)和固定坐标系Oyfzf(33)；
其中，刀具坐标系Oyvzv(22)为参考坐标系，将跟随超声椭圆振动切削装置沿着相关路径同步运动；
固定坐标系Oyfzf(33)为基准坐标系，其位置保持固定不变，作为超声椭圆振动切削运动轨迹的参考基准；
当超声椭圆振动切削装置启动而未发生移动时，在电激励作用下，超声椭圆振动切削装置工作于共振状态，刀具(11)的刀尖分别沿切削方向和切深方向，即刀具坐标系Oyvzv(22)的y轴和z轴，做简谐运动，合轨迹为椭圆；
两方向简谐运动轨迹为：
Figure FDA0002568809930000031
式中，yv、zv为两向简谐运动的坐标，Av、Bv为两向简谐运动的幅值；ω(ω＝2πf)为简谐运动的角频率，其中，f(f＝1/T)为超声椭圆振动切削装置的工作频率，T为超声椭圆振动切削装置的振动周期；φ为两向振动的相位差；
由于超声椭圆振动切削装置位置未发生移动，则刀具坐标系Oyvzv(22)与固定坐标系Oyfzf(33)原点重合，公式(1-1)也是此状态下的超声椭圆振动切削技术运动轨迹；
当刀具(11)在固定坐标系Oyfzf(3)中沿某一直线(44)匀速运动时，刀具(11)的刀尖的运动轨迹在刀具坐标系Oyvzv(22)仍为公式(1-1)，刀具坐标系Oyvzv(22)的原点在固定坐标系Oyfzf(33)中的位置为(vyt,vzt)；
依据齐次坐标变换方法，则在固定坐标系Oyfzf(33)中的超声椭圆振动切削技术运动轨迹为：
Figure FDA0002568809930000032
式中，vy和vz分别为超声椭圆振动切削装置或刀具坐标系Oyvzv(22)的原点在固定坐标系Oyfzf(33)中沿y轴和z轴方向的分速度；
公式(1-2)所表达的运动轨迹为超声椭圆振动切削技术运动轨迹(55)；
步骤二二：从待移动路径(66)上提取离散点序列；
待移动路径(66)为待加工曲面轮廓，具有任意形状；从待加工路径(66)中以Y向等间距的方式提取得出待加工离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)；
步骤二三：插值细化离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)得到离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)；
当Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)序列中相邻两点的距离大于距离阈值时，则需在相邻两点间使用插值方法插入细分点Qi(yi,zi)，使得相邻两点间的距离不大于距离阈值，而后，相邻两点也将作为细分点；
所插入细分点个数的计算公式为：
Figure FDA0002568809930000041
式中，yi、zi为点Pi的y坐标和z坐标；yi+1、zi+1为点Pi+1的y坐标和z坐标；disthres为距离阈值；
Figure FDA0002568809930000042
为向下取整符号；
若P1和P2距离不大于距离阈值，则P1和P2直接作为细分点；以此类推，由较大距离的离散点序列Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)计算得出较小距离的离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，其中n≥m；
步骤二四：从Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)中提取出相邻两点组成微小直线段，再应用步骤一中的公式(1-2)计算Qi和Qi+1所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹；
在振动周期T时间段内，刀具坐标系Oyvzv(22)的原点从点Qi沿微直线段运动至点Qi+1，则刀具坐标系Oyvzv(22)的原点在固定坐标系Oyfzf(33)中的位置为(vyt+yi,vzt+zi)；
根据齐次坐标变换方法得到该微小直线段所对应的超声椭圆振动切削技术运动轨迹为：
Figure FDA0002568809930000043
式中，vyi和vzi分别为装置在该微小直线段的运动合速度在y轴和z轴的分速度，其中vyi＝(yi+1-yi)/T、vzi＝(zi+1-zi)/T，yi和zi分别为Qi的y坐标和z坐标，yi+1和zi+1分别和Qi+1的y坐标和z坐标；
步骤二五：重复步骤二四直至计算完离散点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)，从而得出移动路径(66)所对应的完整的超声椭圆振动切削技术运动轨迹(77)。
3.根据权利要求2所述的一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，其特征在于：步骤二一中所述的超声椭圆振动切削装置为共振类型，振动形式为纵振-弯振复合形式、弯振-弯振复合或纵振-纵振复合。
4.根据权利要求3所述的一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，其特征在于：步骤二二中提取待加工离散点序列时：
若移动路径(66)为函数表达式，依据函数性质以等自变量间距或等弦长的方法提取离散点；
若移动路径(66)难以用函数表达或者无函数表达式，从曲线中提取一系列离散点，该离散点序列将作为Pi(yi,zi)(i＝1,2,…,m)。
5.根据权利要求4所述的一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，其特征在于：步骤二三中的插值方法为线性插值或多项式插值或样条曲线插值。
6.根据权利要求5所述的一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，其特征在于：步骤二三中的距离阈值由移动路径(66)的运动轨迹确定：
步骤二三中的待移动路径(66)是直线时，距离阈值设置为10.0μm-15.00μm；
步骤二三中的待移动路径(66)是斜率平缓且变化缓慢的曲线，距离阈值设置为1.0-10.0μm；
步骤二三中的待移动路径(66)是斜率陡峭且变化快速的曲线，距离阈值设置为0.01μm-1.0μm。
7.根据权利要求6所述的一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，其特征在于：步骤一中的待加工点序列Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)提取方式如下：
步骤一一：若离散待加工曲线具有函数表达式，依据函数性质以等自变量间距或等距离的方法提取离散点；
步骤一二：若待加工曲线难以用函数表达或者无函数表达式，需从曲线中提取一系列离散点，该离散点序列将作为Qi(yi,zi)(i＝1,2,…,n)；
步骤一三：若离散点距离在10.0μm-15.00μm之间，通过插值方法降低离散点间距，插值方法采用线性插值、多项式插值或样条曲线插值。
8.根据权利要求7所述的一种用于超声椭圆振动切削技术切削轨迹的计算方法，其特征在于：超声椭圆振动切削技术运动轨迹(3)的中心通过微直线段(2)两端点的运动时间间隔不小于振动周期T。
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