CN111865843B - 大规模mimo-ofdm系统混合消息传递信道估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了大规模MIMO‑OFDM系统混合消息传递信道估计方法。本发明针对大规模MIMO‑OFDM系统进行建模，利用隐马尔可夫模型建模角度‑时延域信道矢量。基于贝叶斯自由能理论，将角度‑时延域稀疏信道估计问题转化为受限贝叶斯自由能最小化问题。通过拉格朗日乘子法求解该问题得到混合消息传递算法，利用该算法实现角度‑时延域信道估计。本发明中的大规模MIMO‑OFDM系统混合消息传递信道估计方法能够大幅提高角度‑时延域信道估计的准确性，具有很快的收敛速率，并且可以有效减少导频开销。

Description

大规模MIMO-OFDM系统混合消息传递信道估计方法

技术领域

本发明属于通信技术领域，涉及大规模MIMO-OFDM系统的信道估计方法。

背景技术

大规模多输入多输出(MIMO，Multiple-Input Multiple-Ouput)技术是5G以及未来无线通信系统的关键技术之一。它通过在基站(BS，Base Station)配备大规模天线阵列同时服务多个用户终端(UTs，User Terminals)极大地提高了频谱效率和系统容量。正交频分多址(OFDM，Orthogonal Frequency Division Multiplexing)技术是一种多载波调制技术，它可以充分提高数据传输速率并有效增强对抗频率选择的鲁棒性。未来，大规模MIMO-OFDM技术仍将是5G之后(B5G)移动通信的研究热点。

在大规模的MIMO-OFDM系统中，获取准确的信道状态信息(CSI，Channel StateInformation)是实现有效通信的关键。然而，对于大规模的MIMO-OFDM系统，上行信道估计面临着各种挑战。随着用户侧天线的增多，导频开销变得难以承受，而且导频的重复使用将会导致导频污染。此外，随着信道矩阵维数的增大，传统的信道估计方法，如最小二乘法(LS，Least Squares)和最小均方误差法(MMSE，Minimum Mean Square Error)具有非常高的计算复杂度，这给基站侧带来了很大的计算负担。因此，研究准确的CSI估计算法并有效降低计算复杂度和减少导频开销是非常有必要的。

发明内容

发明目的：本发明目的在于提供一种大规模MIMO-OFDM系统混合消息传递信道估计方法，能够克服现有技术的不足，降低计算复杂度和减少导频开销，准确地估计角度-时延域信道。

技术方案：为了达到上述目的，本发明所述的大规模MIMO-OFDM系统混合消息传递信道估计方法包括以下步骤：

(1)建立大规模MIMO-OFDM系统OFDM符号对应于角度-时延域信道的系统模型；

(2)利用隐马尔可夫模型进行角度-时延域信道矢量建模，将角度-时延域信道矢量建模为状态指示矢量和隐数值矢量的克罗内科积；

(3)基于贝叶斯自由能理论，将角度-时延域信道估计问题转化为受限贝叶斯自由能最小化问题；

(4)基于拉格朗日乘子法解决上述受限贝叶斯自由能最小化问题，通过求解受限贝叶斯自由能最小化问题的拉格朗日方程，得到混合消息传递算法，利用混合消息传递算法实现角度-时延域信道估计。

步骤(1)中大规模MIMO-OFDM系统在当前的OFDM符号t对应于角度-时延域信道的系统模型表示为：

其中

为基站侧观测矢量，

为导频子载波采样矩阵，

为K个用户的频率域发射信号矩阵，

为第k个用户的频率域发射信号矩阵，diag(·)表示对角化矢量操作，I_K和I_M分别为K维和M维的单位矩阵，F_N×L为N维酉DFT矩阵的前L列，

为测量矩阵，

表示克罗内科积运算，

为角度-时延域信道矢量，

为加性高斯白噪声矢量，M为基站侧天线数量，K为小区内用户数量，N为OFDM调制子载波总数，P为导频子载波数，L为保护间隔长度。

步骤(2)中角度-时延域信道矢量被建模为状态指示矢量和隐数值矢量的克罗内科积：

w^t＝s^t⊙θ^t

其中s^t∈{0,1}^MLK为状态指示矢量，

为隐数值矢量，⊙表示哈达玛积运算；

利用马尔可夫链模型建模状态指示矢量：

其中

为s^t的第(k-1)ML+(l-1)M+m个元素，ρ＝[ρ⁰¹,ρ¹⁰]为转移概率矩阵，

为ρ⁰¹的第(l-1)K+k个元素，表示由0到1的转移概率，

为ρ¹⁰的第(l-1)K+k个元素，表示由1到0的转移概率，初始概率密度

为对应马尔可夫链的稳态概率：

利用高斯-马尔可夫模型建模隐数值矢量：

其中

表示变量为

均值为

方差为

的循环对称复高斯分布，

λ_m,l,k、α_m,l,k分别为θ^t、θ^t-1、λ、α的第(k-1)ML+(l-1)M+m个元素，λ_m,l,k表示高斯扰动方差，α_m,l,k表示时间相关系数，初始概率密度被定义为

设为高斯-马尔可夫模型的稳态概率：

步骤(3)中受限贝叶斯自由能最小化问题中的贝叶斯自由能表达式为：

其中D[·‖·]和H[·]分别表示相对熵和熵，用上标(·)^τ表示第τ个OFDM符号，并且有τ∈{1,2,…,t}。导频子载波集合表示为

其中

定义辅助矢量z^τ＝Φ^τw^τ，用

表示辅助矢量

的第(m-1)P+p个元素，用

表示基站侧观测矢量

的第(m-1)P+p个元素，用

表示角度-时延域信道矢量w^τ的第(k-1)ML+(l-1)M+m个元素，用

表示第k个用户的频率域发射信号矢量

的第pΔ_d个元素，用

表示F_N×L第pΔ_d行第l列元素，用σ表示加性高斯白噪声方差矢量n^t的元素方差；则贝叶斯自由能表达式F_B中的因子置信和变量置信分别定义如下：b_Y,τ,m,p是信道转移函数

的因子置信，b_Z,τ,m,p是辅助变量函数

的因子置信，b_W,τ,m,l,k是角度-时延域信道函数

的因子置信，b_S,τ,m,l,k是马尔可夫转移函数

的因子置信，b_Θ,τ,m,l,k是高斯-马尔可夫转移函数

的因子置信，q_Z,τ,m,p是辅助变量

的变量置信，q_W,τ,m,l,k是角度-时延域信道元素

的变量置信，q_S,τ,m,l,k是状态指示变量

的变量置信，q_Θ,τ,m,l,k是隐数值变量

的变量置信，其中定义q_Θ,0,m,l,k＝1，δ(·)表示狄拉克函数。

步骤(3)中受限贝叶斯自由能最小化问题的置信约束条件包括因子化约束，均值与方差约束和边缘一致性约束；因子化约束为：

其中

和

分别表示因子化约束后对应于b_S,τ,m,l,k和b_Θ,τ,m,n,k的因子置信，

分别表示均未知的0到1转移概率的估计值、1到0转移概率的估计值、高斯扰动方差的估计值和时间相关系数的估计值；

均值与方差约束为：

其中E[·|·]表示求均值函数，Var[·|·]表示求方差函数；

边缘一致性约束为：

其中定义

下标

表示删去元素x_i。

步骤(4)中受限贝叶斯自由能最小化问题的拉格朗日方程表示为：

L_B＝F_B+L_C+L_S+L_H

其中F_B为贝叶斯自由能表达式，L_C为拉格朗日方程中的信道转移部分，表示为：

其中

分别为对应约束的拉格朗日乘子，Re(·)表示取实部操作，上标(·)^*表示取共轭操作；L_S为拉格朗日方程中的状态指示部分，表示为：

其中

分别为对应约束的拉格朗日乘子；L_H为拉格朗日方程中的隐变量部分，表示为：

其中

分别为对应约束的拉格朗日乘子。

步骤(4)中所述的混合消息传递算法由拉格朗日方程求解之后的不动点迭代方程按如下顺序排列而成，具体包含以下步骤：

(4.1)从当前OFDM符号t＝1开始，初始化对数似然比

拉格朗日乘子

待估转移概率

和待估高斯扰动方差

其中对数似然比

与拉格朗日乘子

有关，分别定义为：

(4.2)更新辅助对数似然比

和

它们分别与对数似然比

和

有关：

(4.3)定义与拉格朗日乘子

相关的对数似然比

并更新该对数似然比

(4.4)更新拉格朗日乘子

和辅助均值变量

其中

为上一个OFDM符号中隐数值变量

的估计值；

(4.5)更新因子置信b_W,t,m,l,k：

其中∝为正比符号；

(4.6)更新拉格朗日乘子

(4.7)更新辅助中间变量

(4.8)更新辅助均值变量

(4.9)更新拉格朗日乘子

(4.10)更新辅助中间变量

(4.11)更新拉格朗日乘子

(4.12)更新辅助均值变量

(4.13)更新因子置信b_W,t,m,l,k：

(4.14)更新对数似然比

和

其中

为因子置信b_W,t,m,l,k的边缘概率密度

的对数似然比；

(4.15)更新因子置信

(4.16)更新待估的0到1转移概率

为以下一元二次方程0到1的根：

其中一元二次方程系数a_1,l,k，b_1,l,k和c_1,l,k分别表示为：

其中辅助中间变量d_1,m,l,k，d_2,m,l,k和d_3,m,l,k分别表示为：

其中

表示在之前OFDM符号τ中已经得到的因子置信b_S,τ,m,l,k的估计值；

(4.17)更新待估的0到1转移概率

为以下一元二次方程0到1的根

其中一元二次方程系数a_2,l,k，b_2,l,k和c_2,l,k分别表示为：

(4.18)更新拉格朗日乘子

(4.19)更新辅助均值变量

(4.20)更新因子置信

(4.21)更新待估的高斯扰动方差

其中辅助中间变量e_1,m,l,k，e_2,m,l,k和e_3,m,l,k分别表示为：

其中

表示在之前OFDM符号τ中已经得到的因子置信

的估计值；

(4.22)更新待估的时间相关系数

为以下一元三次方程0到1的根：

其中一元三次方程系数a_3,m,l,k，b_3,m,l,k和c_3,m,l,k分别表示为

b_3,m,l,k＝-e_2,m,l,k

(4.23)重复步骤(4.2)至(4.22)直至算法收敛，输出信道估计值

(4.24)至下一个OFDM符号，重复步骤(4.1)至(4.23)，直至最大需要估计的OFDM符号数。

有益效果：与现有技术相比，本发明提出的大规模MIMO-OFDM系统混合消息传递信道估计方法具有很高的准确度和很快的迭代收敛速率，并且可以有效减少导频开销。

附图说明

图1为本发明实施例的方法流程图；

图2为混合消息传递算法与现有方法在不同信噪比下的性能比较图；

图3为混合消息传递算法与现有方法在不同迭代次数下的性能比较图；

图4为混合消息传递算法与现有方法在不同导频子载波数下的性能比较图。

具体实施方式

以下将结合具体实施例对本发明提供的技术方案进行详细说明，应理解下述具体实施方式仅用于说明本发明而不用于限制本发明的范围。

如图1所示，本发明实施例公开的大规模MIMO-OFDM系统混合消息传递信道估计方法，包括以下步骤：

(1)进行大规模MIMO-OFDM系统建模；

(2)利用隐马尔可夫模型进行角度-时延域信道矢量建模；

(3)建立受限贝叶斯自由能最小化问题；

(4)利用拉格朗日乘子法求解步骤(3)的受限贝叶斯自由能最小化问题，得到用于大规模MIMO-OFDM系统信道估计的混合消息传递算法。

步骤(1)中所述的大规模MIMO-OFDM系统建模具体为：

针对单小区大规模MIMO-OFDM系统上行链路，设基站侧配备均匀线阵，共有M个天线，小区内共有K个用户。OFDM调制共有N个子载波，P个导频子载波，导频子载波集合表示为

其中

保护间隔长度为L个系统采样间隔并大于最大信道时延扩展。那么当前OFDM符号t对应于角度-时延域信道的系统模型可以表示为

其中

为基站侧观测矢量，

为导频子载波采样矩阵，

为K个用户的频率域发射信号矩阵，

为第k个用户的频率域发射信号矩阵，I_K和I_M分别为K维和M维的单位矩阵，F_N×L为N维酉DFT矩阵的前L列，

表示克罗内克积运算，

为测量矩阵，

为角度-时延域信道矢量，

为加性高斯白噪声矢量。

步骤(2)中所述的利用隐马尔可夫模型进行角度-时延域信道矢量建模具体包括以下步骤：

(2.1)将角度-时延域信道矢量建模为状态指示矢量和隐数值矢量的克罗内科积：

w^t＝s^t⊙θ^t

其中s^t∈{0,1}^MLK为状态指示矢量，

为隐数值矢量，⊙表示哈达玛积运算。

(2.2)利用马尔可夫链模型建模状态指示矢量：

其中

为s^t的第(k-1)ML+(l-1)M+m个元素，ρ＝[ρ⁰¹,ρ¹⁰]为转移概率矩阵，

为ρ⁰¹的第(l-1)K+k个元素，表示由0到1的转移概率，

为ρ¹⁰的第(l-1)K+k个元素，表示由1到0的转移概率。并且初始概率密度

为对应马尔可夫链的稳态概率：

(2.3)利用高斯-马尔可夫模型建模隐数值矢量：

其中

表示变量为

均值为

方差为

的循环对称复高斯分布，

λ_m,l,k、α_m,l,k分别为第θ^t、θ^t-1、λ、α个元素，λ_m,l,k表示高斯扰动方差，α_m,l,k表示时间相关系数。并且初始概率密度被定义为

它被设为高斯-马尔可夫模型的稳态概率：

步骤(3)中所述的建立受限贝叶斯自由能最小化问题具体为包括以下步骤：

(3.1)对全局概率密度进行因子化分解：

其中z^τ＝Φ^τw^τ为辅助矢量，

表示基站侧观测矢量在OFDM符号1至当前OFDM符号t的集合，z^(t)，w^(t)，s^(t)，θ^(t)分别表示辅助矢量、角度时延域信道矢量、状态指示矢量和隐数值矢量在OFDM符号1至当前OFDM符号t的集合

(3.2)写出贝叶斯自由能表达式：

其中D[·‖·]和H[·]分别表示相对熵和熵。用上标(·)^τ表示第τ个OFDM符号，并且有τ∈{1,2,…,t}。定义辅助矢量z^τ＝Φ^τw^τ，用

表示辅助矢量

的第(m-1)P+p个元素，用

表示基站侧观测矢量

的第(m-1)P+p个元素，用

表示角度-时延域信道矢量w^τ的第(k-1)ML+(l-1)M+m个元素，用

表示第k个用户的频率域发射信号矢量

的第pΔ_d个元素，用

表示F_N×L第pΔ_d行第l列元素，用σ表示加性高斯白噪声方差矢量n^t的元素方差。则贝叶斯自由能表达式F_B(b,q)中的因子置信和变量置信分别定义如下：b_Y,τ,m,p是信道转移函数

的因子置信，b_Z,τ,m,p是辅助变量函数

的因子置信，b_W,τ,m,l,k是角度-时延域信道函数

的因子置信，b_S,τ,m,l,k是马尔可夫转移函数

的因子置信，b_Θ,τ,m,l,k是高斯-马尔可夫转移函数

的因子置信，q_Z,τ,m,p是辅助变量

的变量置信，q_W,τ,m,l,k是角度-时延域信道元素

的变量置信，q_S,τ,m,l,k是状态指示变量

的变量置信，q_Θ,τ,m,l,k是隐数值变量

的变量置信。

(3.3)确定置信的约束条件：

因子化约束为：

其中

和

分别表示因子化约束后对应于b_S,τ,m,l,k和b_Θ,τ,m,n,k的因子置信，

分别表示均未知的0到1转移概率的估计值、1到0转移概率的估计值、高斯扰动方差的估计值和时间相关系数的估计值。

均值与方差约束为：

其中E[·|·]表示求均值函数，Var[·|·]表示求方差函数。

边缘一致性约束为：

其中我们定义

下标

表示删去元素x_i。

(3.4)受限贝叶斯自由能最小化问题表示为：

在步骤(3.3)所述的置信约束条件下最小化步骤(3.2)所述的贝叶斯自由能表达式。

步骤(4)中受限贝叶斯自由能最小化问题的拉格朗日方程表示为：

L_B＝F_B+L_C+L_S+L_H

其中F_B为步骤(3.2)所述的贝叶斯自由能表达式，为了在线估计角度-时延域信道，在OFDM符号τ＝{1,2,…,T-1}的因子置信和变量置信被对应符号中算法产生的估计值所替代，因此拉格朗日方程中只考虑当前OFDM符号t的约束。L_C为拉格朗日方程中的信道转移部分，表示为：

其中

分别为对应约束的拉格朗日乘子，Re(·)表示取实部操作，上标(·)^*表示取共轭操作。L_S为拉格朗日方程中的状态指示部分，表示为：

其中

分别为对应约束的拉格朗日乘子。L_H为拉格朗日方程中的隐变量部分，表示为：

其中

分别为对应约束的拉格朗日乘子。

步骤(4)中所述的混合消息传递算法具体包含以下步骤：

(4.1)从当前OFDM符号t＝1开始，初始化对数似然比

拉格朗日乘子

待估转移概率

和待估高斯扰动方差

其中对数似然比

与权利要求6中的拉格朗日乘子

有关，分别定义为：

(4.2)更新辅助对数似然比

和

它们分别与对数似然比

和

有关：

(4.3)定义与权利要求6中的拉格朗日乘子

相关的对数似然比

并更新该对数似然比

(4.4)更新拉格朗日乘子

和辅助均值变量

其中

为上一个OFDM符号中隐数值变量

的估计值。

(4.5)更新因子置信b_W,t,m,l,k：

其中∝为正比符号。

(4.6)更新拉格朗日乘子

(4.7)更新辅助中间变量

(4.8)更新辅助均值变量

(4.9)更新辅助方差变量

(4.10)更新拉格朗日乘子

(4.11)更新拉格朗日乘子

(4.12)更新辅助均值变量

(4.13)更新因子置信b_W,t,m,l,k：

(4.14)更新对数似然比

和

其中

为因子置信b_W,t,m,l,k的边缘概率密度

的对数似然比。

(4.15)更新因子置信

(4.16)更新待估的0到1转移概率

为以下一元二次方程0到1的根：

其中一元二次方程系数a_1,l,k，b_1,l,k和c_1,l,k分别表示为：

其中辅助中间变量d_1,m,l,k，d_2,m,l,k和d_3,m,l,k分别表示为：

其中

表示在之前OFDM符号τ中已经得到的因子置信b_S,τ,m,l,k的估计值。

(4.17)更新待估的0到1转移概率

为以下一元二次方程0到1的根

其中一元二次方程系数a_2,l,k，b_2,l,k和c_2,l,k分别表示为：

(4.18)更新拉格朗日乘子

(4.19)更新辅助均值变量

(4.20)更新因子置信

(4.21)更新待估的高斯扰动方差

其中辅助中间变量e_1,m,l,k，e_2,m,l,k和e_3,m,l,k分别表示为：

其中

表示在之前OFDM符号τ中已经得到的因子置信

的估计值。

(4.22)更新待估的时间相关系数

为以下一元三次方程0到1的根：

其中一元三次方程系数a_3,m,l,k，b_3,m,l,k和c_3,m,l,k分别表示为

b_3,m,l,k＝-e_2,m,l,k

(4.23)重复步骤(4.2)至(4.22)直至算法收敛，输出信道估计值

(4.24)至下一个OFDM符号，重复步骤(4.1)至(4.23)，直至最大需要估计的OFDM符号数。

本发明方法主要适用于基站侧配备大规模天线阵列以同时服务多个用户的大规模MIMO-OFDM系统。下面结合具体的系统仿真场景对本发明涉及基于混合消息传递的稀疏信道估计方法与已有算法进行数值仿真和对比。需要说明的是本发明方法不仅适用于下面示例所举的系统场景，也同样适用于其它配置的系统场景。

考虑广泛采用的由3GPP/3GPP2组织提出的空间信道模型(Spatial ChannelModel，SCM)。具体系统配置为：基站侧天线数M＝128，用户数K＝10，中心频率为2GHz，子载波数N＝512，子载波间隔为15kHz，保护间隔长度L＝36，符号间隔为71.4μs，路径数为6，信号传播场景设定为郊区宏蜂窝场景，用户移动速度设为250km/h，性能指标为时间平均的归一化均方误差(Time-averaged Normalized Mean Squared Error，TNMSE)，定义为：

其中

是第t个OFDM符号角度-时延域信道矢量w^t的估计值。

首先，给出本实施例中混合消息传递算法与现有方法在不同信噪比下的性能比较。考虑导频子载波数P＝100，OFDM符号数T＝50。从图2中可以看出混合消息传递算法远好于EM-BG-AMP算法和已知到达时延的LS算法，能够逼近LMMSE算法，特别是在0至5dB的低信噪比情况下，混合消息传递算法非常接近于LMMSE算法，说明发明中的混合消息传递算法对于大规模MIMO-OFDM系统角度-时延域稀疏信道估计具有很高的准确性。

接着，给出本实施例中混合消息传递算法与现有方法在不同迭代次数下的性能比较。考虑导频子载波数P＝100，OFDM符号数T＝50。从图3可以看出，混合消息传递算法不仅性能远好于EM-BG-AMP算法，只需5次迭代就可以收敛，而EM-BG-AMP算法需要8次迭代，说明混合消息传递算法具有更快的收敛速率。

最后，给出本实施例中混合消息传递算法与现有方法在不同导频子载波数下的性能比较。考虑OFDM符号数T＝50，信噪比SNR＝10dB。从图4可以看出，不同导频子载波下混合消息传递算法性能都可以逼近LMMSE算法，远好于EM-BG-AMP算法和已知到达时延的LS算法，说明混合消息传递算法可以有效减少导频开销。

Claims (1)

1.大规模MIMO-OFDM系统混合消息传递信道估计方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

(1)建立大规模MIMO-OFDM系统OFDM符号对应于角度-时延域信道的系统模型；

(2)利用隐马尔可夫模型进行角度-时延域信道矢量建模，将角度-时延域信道矢量建模为状态指示矢量和隐数值矢量的克罗内科积；

(3)基于贝叶斯自由能理论，将角度-时延域信道估计问题转化为受限贝叶斯自由能最小化问题；

(4)基于拉格朗日乘子法解决上述受限贝叶斯自由能最小化问题，通过求解受限贝叶斯自由能最小化问题的拉格朗日方程，得到混合消息传递算法，利用混合消息传递算法实现角度-时延域信道估计；

步骤(1)中大规模MIMO-OFDM系统在当前的OFDM符号t对应于角度-时延域信道的系统模型表示为：

其中

为基站侧观测矢量，

为导频子载波采样矩阵，

为K个用户的频率域发射信号矩阵，

为第k个用户的频率域发射信号矩阵，diag(·)表示对角化矢量操作，I_K和I_M分别为K维和M维的单位矩阵，F_N×L为N维酉DFT矩阵的前L列，

为测量矩阵，

表示克罗内科积运算，

为角度-时延域信道矢量，

为加性高斯白噪声矢量，M为基站侧天线数量，K为小区内用户数量，N为OFDM调制子载波总数，P为导频子载波数，L为保护间隔长度；

步骤(2)中角度-时延域信道矢量被建模为状态指示矢量和隐数值矢量的克罗内科积：

w^t＝s^t⊙θ^t

其中s^t∈{0,1}^MLK为状态指示矢量，

为隐数值矢量，⊙表示哈达玛积运算；

利用马尔可夫链模型建模状态指示矢量：

其中

为s^t的第(k-1)ML+(l-1)M+m个元素，ρ＝[ρ⁰¹,ρ¹⁰]为转移概率矩阵，

为ρ⁰¹的第(l-1)K+k个元素，表示由0到1的转移概率，

为ρ¹⁰的第(l-1)K+k个元素，表示由1到0的转移概率，初始概率密度

为对应马尔可夫链的稳态概率：

利用高斯-马尔可夫模型建模隐数值矢量：

其中

表示变量为

均值为

方差为

的循环对称复高斯分布，

λ_m,l,k、α_m,l,k分别为θ^t、θ^t-1、λ、α的第(k-1)ML+(l-1)M+m个元素，λ_m,l,k表示高斯扰动方差，α_m,l,k表示时间相关系数，初始概率密度被定义为

设为高斯-马尔可夫模型的稳态概率：

步骤(3)中受限贝叶斯自由能最小化问题中的贝叶斯自由能表达式为：

其中D[·‖·]和H[·]分别表示相对熵和熵，用上标(·)^τ表示第τ个OFDM符号，并且有τ∈{1,2,…,t}，导频子载波集合表示为

其中

定义辅助矢量z^τ＝Φ^τw^τ，用

表示辅助矢量

的第(m-1)P+p个元素，用

表示基站侧观测矢量

的第(m-1)P+p个元素，用

表示角度-时延域信道矢量w^τ的第(k-1)ML+(l-1)M+m个元素，用

表示第k个用户的频率域发射信号矢量

的第pΔ_d个元素，用

表示F_N×L第pΔ_d行第l列元素，用σ表示加性高斯白噪声方差矢量n^t的元素方差；则贝叶斯自由能表达式F_B中的因子置信和变量置信分别定义如下：b_Y,τ,m,p是信道转移函数

的因子置信，b_Z,τ,m,p是辅助变量函数

的因子置信，b_W,τ,m,l,k是角度-时延域信道函数

的因子置信，b_S,τ,m,l,k是马尔可夫转移函数

的因子置信，b_Θ,τ,m,l,k是高斯-马尔可夫转移函数

的因子置信，q_Z,τ,m,p是辅助变量

的变量置信，q_W,τ,m,l,k是角度-时延域信道元素

的变量置信，q_S,τ,m,l,k是状态指示变量

的变量置信，q_Θ,τ,m,l,k是隐数值变量

的变量置信，其中定义q_Θ,0,m,l,k＝1，δ(·)表示狄拉克函数；

步骤(3)中受限贝叶斯自由能最小化问题的置信约束条件包括因子化约束，均值与方差约束和边缘一致性约束；因子化约束为：

其中

和

分别表示因子化约束后对应于b_S,τ,m,l,k和b_Θ,τ,m,n,k的因子置信，

分别表示均未知的0到1转移概率的估计值、1到0转移概率的估计值、高斯扰动方差的估计值和时间相关系数的估计值；

均值与方差约束为：

其中E[·|·]表示求均值函数，Var[·|·]表示求方差函数；

边缘一致性约束为：

其中定义

下标

表示删去元素x_i；

步骤(4)中受限贝叶斯自由能最小化问题的拉格朗日方程表示为：

L_B＝F_B+L_C+L_S+L_H

其中F_B为贝叶斯自由能表达式，L_C为拉格朗日方程中的信道转移部分，表示为：

其中

分别为对应约束的拉格朗日乘子，Re(·)表示取实部操作，上标(·)^*表示取共轭操作；L_S为拉格朗日方程中的状态指示部分，表示为：

其中

分别为对应约束的拉格朗日乘子；L_H为拉格朗日方程中的隐变量部分，表示为：

其中

分别为对应约束的拉格朗日乘子；

步骤(4)中所述的混合消息传递算法由拉格朗日方程求解之后的不动点迭代方程按如下顺序排列而成，具体包含以下步骤：

(4.1)从当前OFDM符号t＝1开始，初始化对数似然比

拉格朗日乘子

待估转移概率

和待估高斯扰动方差

其中对数似然比

与拉格朗日乘子

有关，分别定义为：

(4.2)更新辅助对数似然比

和

它们分别与对数似然比

和

有关：

(4.3)定义与拉格朗日乘子

相关的对数似然比

并更新该对数似然比

(4.4)更新拉格朗日乘子

和辅助均值变量

其中

为上一个OFDM符号中隐数值变量

的估计值；

(4.5)更新因子置信b_W,t,m,l,k：

其中∝为正比符号；

(4.6)更新拉格朗日乘子

(4.7)更新辅助中间变量

(4.8)更新辅助均值变量

(4.9)更新拉格朗日乘子

(4.10)更新辅助中间变量

(4.11)更新拉格朗日乘子

(4.12)更新辅助均值变量

(4.13)更新因子置信b_W,t,m,l,k：

(4.14)更新对数似然比

和

其中

为因子置信b_W,t,m,l,k的边缘概率密度

的对数似然比；

(4.15)更新因子置信

(4.16)更新待估的0到1转移概率

为以下一元二次方程0到1的根：

其中一元二次方程系数a_1,l,k，b_1,l,k和c_1,l,k分别表示为：

其中辅助中间变量d_1,m,l,k，d_2,m,l,k和d_3,m,l,k分别表示为：

其中

表示在之前OFDM符号τ中已经得到的因子置信b_S,τ,m,l,k的估计值；

(4.17)更新待估的0到1转移概率

为以下一元二次方程0到1的根

其中一元二次方程系数a_2,l,k，b_2,l,k和c_2,l,k分别表示为：

(4.18)更新拉格朗日乘子

(4.19)更新辅助均值变量

(4.20)更新因子置信

(4.21)更新待估的高斯扰动方差

其中辅助中间变量e_1,m,l,k，e_2,m,l,k和e_3,m,l,k分别表示为：

其中

表示在之前OFDM符号τ中已经得到的因子置信

的估计值；

(4.22)更新待估的时间相关系数

为以下一元三次方程0到1的根：

其中一元三次方程系数a_3,m,l,k，b_3,m,l,k和c_3,m,l,k分别表示为

b_3,m,l,k＝-e_2,m,l,k

(4.23)重复步骤(4.2)至(4.22)直至算法收敛，输出信道估计值

(4.24)至下一个OFDM符号，重复步骤(4.1)至(4.23)，直至最大需要估计的OFDM符号数。

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