CN111830905A - 一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法 - Google Patents

一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法 Download PDF

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Abstract

一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，涉及数控加工技术领域，针对现有的基于牛顿极值搜索算法的轮廓误差估计方法中计算量大、求解时间长以及轨迹尖峰时的奇异性等问题，申请人所提出的基于简化牛顿轮廓误差估计算法相比经典的牛顿极值搜索算法，保证了较高的精度且不需要计算导数，在轮廓误差估计过程中既避免了奇异，同时减少了计算量。根据具体的实验效果，对多维系统轮廓误差的估计精度和效率较传统方案提高约30％‑50％。传统的基于牛顿极值搜索法的轮廓估计方法为局部收敛方法，其初值的选取将决定算法的收敛性和正确率，本发明则通过采用估计值
Figure DDA0002625278930000011
来做后次迭代的初值保证了全局收敛性。

Description

一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法
技术领域
本发明涉及数控加工技术领域，具体为基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法。
背景技术
随着制造业的不断发展，新一代的数控加工装置，要求具有高精度、高效率、高可靠性等性能指标。就当前数控加工行业现状而言，如何有效提升数控加工过程中的精度和效率是加工技术领域内亟需解决的问题。轮廓跟踪作为精密加工领域一个重要的技术环节，对加工精度及效率有着重要的影响。而轮廓误差估计是保证高精度的一项关键的工程技术，旨在精确快速估计轮廓误差，其准确度和计算速度，对整个数控加工作业的精度和效率有着巨大的影响。
现有的基于牛顿极值搜索算法的轮廓误差估计方法已经能够实现高精度轮廓误差估计，但该方法无法消除参考轮廓中存在尖峰时的奇异性，这种奇异性是不可导的。此外，该方法求极值算法的求导运算和迭代操作会消耗计算资源，延迟对高馈送率参考信号的响应速度。
发明内容
本发明的目的是：针对现有的基于牛顿极值搜索算法的轮廓误差估计方法中计算量大、求解时间长以及轨迹尖峰时的奇异性等问题，提出一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法。
本发明为了解决上述技术问题采取的技术方案是：
一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，包括以下步骤：
步骤一：初始化多维系统的各个参数和变量，所述参数和变量包括多维系统的参考轮廓轨迹向量Pr(t)和离散化的实际轮廓轨迹P(k)，并初始化迭代次数j＝0、简化牛顿法的估计时间
Figure BDA0002625278910000011
终止标记符flag＝0，然后设置迭代次数上限Ω、期望迭代精度
Figure BDA0002625278910000012
步骤二：将简化牛顿法的估计时间
Figure BDA0002625278910000013
代入参考轮廓轨迹向量Pr(t)，得到基于简化牛顿法的参考轮廓轨迹
Figure BDA0002625278910000014
根据
Figure BDA0002625278910000015
和P(k)计算在
Figure BDA0002625278910000016
时刻多维系统的轮廓误差向量
Figure BDA0002625278910000017
步骤三：在多维系统中设置时间间隔tδ，使tδ满足轮廓连续条件，然后计算
Figure BDA0002625278910000018
时刻轮廓误差估计算法的成本函数
Figure BDA0002625278910000019
步骤四：根据轮廓误差向量
Figure BDA0002625278910000021
时间间隔tδ及成本函数
Figure BDA0002625278910000022
利用简化牛顿法估计最小轮廓误差的时间t*，每步输出为
Figure BDA0002625278910000023
步骤五：更新轮廓误差估计算法的迭代次数：
判断if j≤Ω，则j＝j+1；if j＞Ω，则j＝0，flag＝1
式中，Ω为预设置的迭代次数上限，flag为终止标记符；
步骤六：当迭代过程中轮廓误差估计值的相邻时刻误差满足期望迭代精度
Figure BDA0002625278910000024
或迭代超出预设的迭代次数上限Ω时，则终止迭代，转至步骤七；反之，若不满足上述任意一条，则重复迭代步骤二至步骤五，直至满足迭代终止条件为止；
步骤七：迭代终止时的
Figure BDA0002625278910000025
即为最小轮廓误差的时间t*的估计值，计算
Figure BDA0002625278910000026
时刻的轮廓误差向量
Figure BDA0002625278910000027
即为基于简化牛顿法得到的最接近多维系统真实轮廓误差ε*的估计值。
进一步的，所述步骤一中初始化多维系统的各个参数和变量的具体步骤为：首先，参数化多维系统的参考轮廓轨迹为多维向量Pr(t)＝[pr1(t),pr2(t),...,prn(t)]T，其中t表示标准系统时间，pri(t),i＝1,2,...,n代表数控加工作业中各维空间的参考位置。然后，定义多维系统的实际轮廓轨迹向量为P(t)＝[p1(t),p2(t),...,pn(t)]T，并将多维系统的实际轮廓轨迹向量P(t)离散化为P(k)＝[p1(k),p2(k),...,pn(k)]T，其中采样时间为t＝kh，h为控制器的采样间隔，k为离散的系统时间。
进一步的，所述多维系统的轮廓误差向量
Figure BDA0002625278910000028
表示为：
Figure BDA0002625278910000029
进一步的，所述步骤三中使时间间隔tδ满足的轮廓连续条件为：
Figure BDA00026252789100000210
其中，Pr和
Figure BDA00026252789100000211
分别表示参考轮廓轨迹向量和每步基于简化牛顿法估计的时间。
进一步的，所述步骤三中成本函数
Figure BDA00026252789100000212
为：
Figure BDA00026252789100000213
进一步的，所述步骤四中简化牛顿法表示为：
Figure BDA00026252789100000214
式中，
Figure BDA0002625278910000031
表示第j-1次迭代中基于简化牛顿法估计的时间，C代表一个正的常数值。
进一步的，所述步骤六中迭代终止条件表示为：
Figure BDA0002625278910000032
或flag＝1。
本发明的有益效果是：
1、申请人所提出的基于简化牛顿轮廓误差估计算法相比经典的牛顿极值搜索算法，保证了较高的精度且不需要计算导数，在轮廓误差估计过程中既避免了奇异，同时减少了计算量。根据具体的实验效果，对多维系统轮廓误差的估计精度和效率较传统方案提高约30％-50％。
2、传统的基于牛顿极值搜索法的轮廓估计方法为局部收敛方法，其初值的选取将决定算法的收敛性和正确率，本发明则通过采用估计值
Figure BDA0002625278910000033
来做后次迭代的初值保证了全局收敛性。
3、针对牛顿极值搜索算法可能存在的不收敛现象，本发明可以在保证轮廓误差估计算法收敛的前提下，通过修改常数值C来调节轮廓误差估计方法的收敛速度，简化了算法参数调整过程。
4、在轮廓误差估计算法的成本函数中，本发明创新性地考虑了向量表达形式，使得算法具有相当简单的计算形式。尤其是当系统维度≥2时，该算法能明显地降低计算量、提高响应速度。
5、本发明能够保证任意复杂或极端轮廓转折点处的精度和非奇异性，有助于提高对高馈送率信号的响应速度和控制动作的实时性，这些使得本发明将更适用于多维系统的轮廓跟踪控制。
附图说明
图1为三维系统的轮廓误差向量关系示意图；
图2为基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计算法框图；
图3为实施例中，基于X-Y直线电机平台的慢圆轮廓跟踪表现对比图；
图4为实施例中，基于X-Y直线电机平台的慢圆轮廓估计的轮廓误差对比图；
图5为实施例中，基于X-Y直线电机平台的慢圆轮廓估计方法的误差对比图；
图6为实施例中，基于X-Y直线电机平台的快速星形轮廓跟踪表现对比图；
图7为实施例中，基于X-Y直线电机平台的快速星形轮廓估计的轮廓误差对比图；
图8为实施例中，基于X-Y直线电机平台的快速星形轮廓估计方法的误差对比图。
具体实施方式
具体实施方式一：参照图1和图2具体说明本实施方式，本实施方式所述的一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，包含以下步骤：
步骤一：初始化多维系统的各个参数和变量：首先，参数化多维系统的参考轮廓轨迹为多维向量Pr(t)＝[pr1(t),pr2(t),...,prn(t)]T，其中t表示系统时间，pri(t),i＝1,2,...,n代表数控加工作业中各维空间的参考位置。然后，定义多维系统实际的轮廓轨迹为
P(t)＝[p1(t),p2(t),...,pn(t)]T，考虑到工程应用的实际情况和计算机控制的离散特性，将其离散化为P(k)＝[p1(k),p2(k),...,pn(k)]T，其中采样时间为t＝kh，h为将要采用的控制器采样间隔，k为离散的系统时间。初始化迭代次数j＝0、简化牛顿法的估计时间
Figure BDA0002625278910000041
终止标记符flag＝0，并设置迭代次数上限Ω、期望迭代精度
Figure BDA0002625278910000042
步骤二：将简化牛顿法的估计时间
Figure BDA0002625278910000043
代入参考轮廓轨迹向量Pr(t)，得到基于简化牛顿法的参考轮廓轨迹
Figure BDA0002625278910000044
根据
Figure BDA0002625278910000045
和P(k)计算在
Figure BDA0002625278910000046
时刻多维系统的轮廓误差向量
Figure BDA0002625278910000047
由于轮廓误差为当前轮廓与参考轮廓的最短距离，因此定义所要估计的多维系统的真实轮廓误差向量为：ε*＝Pr(t*)-P(k)，式中，ε*产生于时刻t*。为了更直观的表达，本发明给出了如图1所示的三维系统的轮廓误差向量的关系示意图。图中，Pe＝Pr(t)-P(k)为系统在t时刻的未经简化牛顿法估计前的实际轮廓误差。
步骤三：设置足够小的时间间隔tδ，并使tδ满足多维系统的轮廓连续条件：
Figure BDA0002625278910000048
为了完善多维系统的轮廓误差估计，本发明设计了一个新的正定的成本函数：
Figure BDA0002625278910000049
理论来说，使得成本函数值最小即
Figure BDA00026252789100000410
的解则为最小的轮廓误差时间t*。
步骤四：由于
Figure BDA00026252789100000411
一般是个非线性的函数，很难得出解析解，但却可以得到数值解，所以本发明采用简化牛顿法来估计最小的轮廓误差时间t*：
Figure BDA00026252789100000412
式中，j表示算法的迭代次数，C代表一个正的常数值。C取代了传统牛顿法中的导数项，且可根据实际需要调节。在本发明中，只需要调节常数值C，就可以调节此轮廓误差估计方法的收敛速度，C值越小，估计算法的收敛速度越快。
步骤五：更新轮廓误差估计算法的迭代次数：
判断if j≤Ω，则j＝j+1；if j＞Ω，则j＝0，flag＝1
式中，Ω为预设置的迭代次数上限，flag为终止标记符。
步骤六：设置轮廓误差估计算法的迭代终止条件：
Figure BDA0002625278910000051
或flag＝1
当迭代过程中轮廓误差估计值的相邻时刻误差满足期望迭代精度
Figure BDA0002625278910000052
或迭代超出预设的迭代次数上限Ω时，则终止迭代，转至步骤七；反之，若不满足上述任意一条，则重复迭代步骤二至步骤五，直至满足迭代终止条件为止；
步骤七：迭代终止时的
Figure BDA0002625278910000053
即为最小轮廓误差的时间t*的估计值，计算
Figure BDA0002625278910000054
时刻的轮廓误差向量
Figure BDA0002625278910000055
即为基于简化牛顿法得到的最接近多维系统真实轮廓误差ε*的估计值。
如图2所示为此轮廓误差估计算法的一次完整迭代估计算法框图。图中各符号的意义如下：P(k)＝[p1(k),p2(k),...,pn(k)]T代表多维系统的实际轮廓向量，Pr(t)＝[pr1(t),pr2(t),...,prn(t)]T表示数控加工过程中的参考轮廓向量，
Figure BDA0002625278910000056
代表轮廓误差的估计向量，
Figure BDA0002625278910000057
表示表示基于简化牛顿法的估计时间，tδ是满足参考轮廓连续条件的时间间隔，1/C为轮廓误差估计算法的收敛速度调节增益。
本发明在保证了较高精度的同时且不需要计算导数，能够实现在复杂或极端轮廓条件下多维系统的精确轮廓误差估计。
实施例：
本发明将基于X-Y直线电机平台，进行数控加工过程中的慢圆轮廓和快速星形轮廓的误差估计与跟踪控制作为实施例进行说明。需要指出的是，本发明主要针对的是多维系统轮廓误差的估计方案，控制方法的引入是为了更好的说明误差估计方案的有效性和优越性。本发明可以应用到数控加工行业中的各类精密机床及加工平台等仪器设备的轮廓跟踪控制方案中，可以实现复杂及极端轮廓条件下多维系统的精确轮廓误差估计。
除此发明书所提出的具体实施例外，本发明在实际应用中还具有多种实施例。本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。
步骤一：初始化X-Y直线电机平台的各个参数和变量：首先，参数化直线电机平台的参考轮廓轨迹为多维向量Pr(t)＝[pr1(t),pr2(t)]T，其中t表示系统时间，pri(t),i＝1,2代表数控加工作业中各维空间的参考位置。然后，定义直线电机平台实际的轮廓轨迹为P(t)＝[p1(t),p2(t)]T，考虑到工程应用的实际情况和计算机控制的离散特性，将其离散化为P(k)＝[p1(k),p2(k)]T，其中采样时间为t＝kh，h为控制器的采样间隔，k为离散的系统时间。初始化迭代次数j＝0、简化牛顿法的估计时间
Figure BDA0002625278910000061
终止标记符flag＝0，并设置迭代次数上限Ω、期望迭代精度
Figure BDA0002625278910000062
注：迭代次数上限Ω一般为5-10次。
步骤二：将简化牛顿法的估计时间
Figure BDA0002625278910000063
代入直线电机平台的参考轮廓轨迹向量Pr(t)，得到基于简化牛顿法的参考轮廓轨迹
Figure BDA0002625278910000064
根据
Figure BDA0002625278910000065
和P(k)计算在
Figure BDA0002625278910000066
时刻直线电机平台的轮廓误差向量
Figure BDA0002625278910000067
表征在时刻
Figure BDA0002625278910000068
时从实际轮廓到参考轮廓的向量。
步骤三：设置足够小的时间间隔tδ，并使tδ满足直线电机平台的轮廓连续条件：
Figure BDA0002625278910000069
为了完善X-Y直线电机平台的轮廓误差估计算法，计算
Figure BDA00026252789100000610
时刻轮廓误差估计算法的成本函数
Figure BDA00026252789100000611
Figure BDA00026252789100000612
步骤四：根据轮廓误差向量
Figure BDA00026252789100000613
时间间隔tδ及成本函数
Figure BDA00026252789100000614
利用简化牛顿法估计来最小的轮廓误差时间t*，每步输出为
Figure BDA00026252789100000615
Figure BDA00026252789100000616
式中，j表示算法的迭代次数，C代表一个正的常数值。在本发明中，只需要调节常数值C，就可以调节此轮廓误差估计方法的收敛速度，C值越小，估计算法的收敛速度越快。
步骤五：更新X-Y直线电机平台的轮廓误差估计算法的迭代次数：
判断if j≤Ω，则j＝j+1；if j＞Ω，则j＝0，flag＝1
式中，Ω为预设置的迭代次数上限，flag为终止标记符。
步骤六：设置X-Y直线电机平台的轮廓误差估计算法的迭代终止条件：
Figure BDA00026252789100000617
或flag＝1
当迭代过程中轮廓误差估计值的相邻时刻误差满足期望迭代精度
Figure BDA00026252789100000618
或迭代超出预设的迭代次数上限Ω时，则终止迭代，转至步骤七；反之，若不满足上述任意一条，则重复迭代步骤二至步骤五，直至满足迭代终止条件为止；
步骤七：迭代终止时的
Figure BDA0002625278910000071
即为最小轮廓误差的时间t*的估计值，计算时刻
Figure BDA0002625278910000072
的轮廓误差向量
Figure BDA0002625278910000073
即为基于简化牛顿法，获得的最接近X-Y直线电机平台的真实轮廓误差ε*的估计值。为清晰表达起见，迭代算法最终输出的误差向量
Figure BDA0002625278910000074
标记为轮廓误差估计值ε(k)。
步骤八：根据轮廓误差估计值，定义直线电机平台的位置误差矢量
Figure BDA0002625278910000075
和速度误差矢量
Figure BDA0002625278910000076
设计离散分数阶滑模控制方案进行X-Y直线电机平台的轮廓跟踪控制实验。为了说明本发明的有效性和优越性，引入基于牛顿法的积分滑模控制方案设计对比实验。由此，基于X-Y直线电机平台设计半径10mm、角速度0.1πrad/s的慢圆轮廓跟踪实验，和圆弧轮廓半径10mm、角速度0.5πrad/s的快速星形轮廓跟踪实验，如图3至图8所示。其中图3为实施例中，基于X-Y直线电机平台的慢圆轮廓跟踪表现对比图；图4为实施例中，基于X-Y直线电机平台的慢圆轮廓估计的轮廓误差对比图；图5为实施例中，基于X-Y直线电机平台的慢圆轮廓估计方法的误差对比图；图6为实施例中，基于X-Y直线电机平台的快速星形轮廓跟踪表现对比图；图7为实施例中，基于X-Y直线电机平台的快速星形轮廓估计的轮廓误差对比图；图8为实施例中，基于X-Y直线电机平台的快速星形轮廓估计方法的误差对比图。
需要注意的是，具体实施方式仅仅是对本发明技术方案的解释和说明，不能以此限定权利保护范围。凡根据本发明权利要求书和说明书所做的仅仅是局部改变的，仍应落入本发明的保护范围内。

Claims (7)

1.一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，其特征在于包括以下步骤：
步骤一：初始化多维系统的各个参数和变量，所述参数和变量包括多维系统的参考轮廓轨迹向量Pr(t)和离散化的实际轮廓轨迹P(k)，并初始化迭代次数j＝0、简化牛顿法的估计时间
Figure FDA0002625278900000011
终止标记符flag＝0，然后设置迭代次数上限Ω、期望迭代精度
Figure FDA00026252789000000115
步骤二：将简化牛顿法的估计时间
Figure FDA0002625278900000012
代入参考轮廓轨迹向量Pr(t)，得到基于简化牛顿法的参考轮廓轨迹
Figure FDA0002625278900000014
根据
Figure FDA0002625278900000013
和P(k)计算在
Figure FDA0002625278900000015
时刻多维系统的轮廓误差向量
Figure FDA0002625278900000016
步骤三：在多维系统中设置时间间隔tδ，使tδ满足轮廓连续条件，然后计算
Figure FDA0002625278900000017
时刻轮廓误差估计算法的成本函数
Figure FDA0002625278900000018
步骤四：根据轮廓误差向量
Figure FDA00026252789000000110
时间间隔tδ及成本函数
Figure FDA00026252789000000111
利用简化牛顿法估计最小轮廓误差的时间t*，每步输出为
Figure FDA0002625278900000019
步骤五：更新轮廓误差估计算法的迭代次数：
判断if j≤Ω，则j＝j+1；if j＞Ω，则j＝0，flag＝1
式中，Ω为预设置的迭代次数上限，flag为终止标记符；
步骤六：当迭代过程中轮廓误差估计值的相邻时刻误差满足期望迭代精度
Figure FDA00026252789000000116
或迭代超出预设的迭代次数上限Ω时，则终止迭代，转至步骤七；反之，若不满足上述任意一条，则重复迭代步骤二至步骤五，直至满足迭代终止条件为止；
步骤七：迭代终止时的
Figure FDA00026252789000000113
即为最小轮廓误差的时间t*的估计值，计算
Figure FDA00026252789000000114
时刻的轮廓误差向量
Figure FDA00026252789000000112
即为基于简化牛顿法得到的最接近多维系统真实轮廓误差ε*的估计值。
2.根据权利要求1所述的一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，其特征在于所述步骤一中初始化多维系统的各个参数和变量的具体步骤为：首先，参数化多维系统的参考轮廓轨迹为多维向量Pr(t)＝[pr1(t),pr2(t),...,prn(t)]T，其中t表示标准系统时间，pri(t),i＝1,2,...,n代表数控加工作业中各维空间的参考位置。然后，定义多维系统的实际轮廓轨迹向量为P(t)＝[p1(t),p2(t),...,pn(t)]T，并将多维系统的实际轮廓轨迹向量P(t)离散化为P(k)＝[p1(k),p2(k),...,pn(k)]T，其中采样时间为t＝kh，h为控制器的采样间隔，k为离散的系统时间。
3.根据权利要求2所述的一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，其特征在于所述多维系统的轮廓误差向量
Figure FDA0002625278900000021
表示为：
Figure FDA0002625278900000022
4.根据权利要求3所述的一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，其特征在于所述步骤三中使时间间隔tδ满足的轮廓连续条件为：
Figure FDA0002625278900000023
其中，Pr和
Figure FDA0002625278900000024
分别表示参考轮廓轨迹向量和每步基于简化牛顿法估计的时间。
5.根据权利要求4所述的一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，其特征在于所述步骤三中成本函数
Figure FDA0002625278900000025
为：
Figure FDA0002625278900000026
6.根据权利要求5所述的一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，其特征在于所述步骤四中简化牛顿法表示为：
Figure FDA0002625278900000027
式中，
Figure FDA0002625278900000028
表示第j-1次迭代得到的简化牛顿法的估计时间，C代表一个正的常数值。
7.根据权利要求6所述的一种基于简化牛顿法的多维系统轮廓误差估计方法，其特征在于所述步骤六中迭代终止条件表示为：
Figure FDA0002625278900000029
或flag＝1。
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